几类具非线性边界条件的奇摄动问题
奇异摄动理论中的高维多点非线性边值问题的开题报告
奇异摄动理论中的高维多点非线性边值问题的开题报告题目：奇异摄动理论中的高维多点非线性边值问题一、研究背景和意义奇异摄动理论是一种求解微分方程的特殊方法，它通过将微分方程中的小系数项视为扰动，将微分方程化为一个带扰动项的常微分方程，然后利用常微分方程的解析方法得到微分方程的解。
奇异摄动理论已经成功地用于解决大量的微分方程问题，包括非线性问题、奇异问题等。
在奇异摄动理论中，高维多点非线性边值问题是一个经典的研究问题。
这种问题通常包括一个多维微分方程系统和多个边界条件，每个边界条件都包含多个点。
它在应用领域中广泛存在，如固体力学、电路设计和流体动力学等，因此对于这种问题的研究具有重要的理论和应用意义。
二、研究内容和方法本研究将利用奇异摄动理论，研究高维多点非线性边值问题的数学模型和解析解。
具体来说，我们将首先推导出这种问题的一般数学模型，然后将其化为常微分方程带扰动项的形式。
接着，我们将利用常微分方程的分析方法，分析扰动项对方程解的影响，以得到微分方程的解析解。
针对研究对象的特殊性质，我们将采用如下研究方法：1.建立高维多点非线性边值问题的数学模型，明确研究对象。
2.采用奇异摄动理论将微分方程化为带扰动项的常微分方程。
3.利用常微分方程的分析方法研究扰动项对方程解的影响。
4.利用计算机仿真验证结果的正确性。
三、预期成果和意义本研究的预期成果如下：1.提出高维多点非线性边值问题的常微分方程带扰动项计算公式。
2.分析扰动项对常微分方程的解的影响。
3.推导高维多点非线性边值问题的解析解，以及扰动项对解的影响。
4.仿真计算验证解析解的正确性和有效性。
本研究对于奇异摄动理论的发展和应用具有重要意义。
其解析解的求解方法和成果可为相关领域的数学建模和应用提供有效的参考，促进相关领域的科技进步和发展。
非线性有限元及结构力学模拟中的三类非线性问题
非线性有限元及结构力学模拟中的三类非线性问题1. 线性分析外加载荷与系统的响应之间为线性关系。
例如线性弹簧，结构的柔度阵（将刚度阵集成并求逆）只需计算一次。
通过将新的载荷向量乘以刚度阵的逆，可得到结构对其它载荷情况的线性响应。
此外，结构对各种载荷情况的响应，可以用常数放大和/或相互叠加，以确定它对一种全新载荷情况的响应，所提供的新载荷情况是前面各种载荷的叠加（或相乘）。
这种载荷的叠加原理假定所有的载荷情况采用了相同的边界条件。
2. 非线性分析非线性结构问题是指结构的刚度随其变形而改变。
所有的物理结果均是非线性的。
线性分析只是一种近似，它对设计来说通常已经足够了。
但是，对于许多结构包括加工过程的模拟（诸如锻造或者冲压）、碰撞分析以及橡胶部件的分析（诸如轮胎或者发动机支座），线性分析是不够的。
一个简单例子就是具有非线性刚度响应的弹簧。
线性弹簧，刚度是常数非线性弹簧，刚度不是常数由于刚度依赖于位移，所以不能再用初始柔度乘以外加载荷的方法来计算任意载荷时弹簧的位移。
在非线性隐式分析中，结构的刚度阵在整个分析过程中必须进行许多次的生成和求逆，分析求解的成本比线性隐式分析昂贵得多。
在显式分析中，非线性分析增加的成本是由于稳定时间增量减小而造成的。
非线性系统的响应不是所施加载荷的线性函数，因此不能通过叠加来获得不同载荷情况的解答。
每种载荷情况都必须作为独立的分析进行定义和求解。
3. 非线性的来源在结构的力学模拟中有三种：材料非线性、边界非线性（接触）、几何非线性。
(1) 材料非线性大多数金属在低应变值时都具有良好的线性应力/应变关系；但是在高应变时材料发生屈服，此时材料的响应成为了非线性和不可恢复的。
橡胶材料等也是一种非线性、可恢复（弹性）响应的材料。
材料的非线性也可能与应变以外的其它因素有关。
应变率相关材料数据和材料失效都是材料非线性的形式。
材料性质也可以是温度和其它预先定义的场变量的函数。
(2) 边界非线性如果边界条件在分析过程中发生变化，就会产生边界非线性问题。
非线性边界条件下的二次奇摄动问题
非线性边界条件下的二次奇摄动问题
葛志新;徐华清;刘树德
【期刊名称】《安庆师范学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2008(014)003
【摘要】通过引入不同量级的伸长变量,对形如
"εy″=f(x,y,ε)(y′)2+g(x,y,ε),x∈(0,1),其中ε为正的小参
数,p(y(0),y′(0))=0,q=(y(1),y′(1))=0"的非线性边界条件下的二次奇摄动问题,构造了形式上的任意阶渐近解,并利用微分不等式证明了解的一致有效性.
【总页数】3页(P1-3)
【作者】葛志新;徐华清;刘树德
【作者单位】安徽师范大学,数学计算机科学学院,安徽,芜湖,241000;安徽师范大学,数学计算机科学学院,安徽,芜湖,241000;安徽师范大学,数学计算机科学学院,安徽,芜湖,241000
【正文语种】中文
【中图分类】O175.14
【相关文献】
1.一类具非线性边界条件的高阶方程的奇摄动问题 [J], 许友伟;姚静荪;刘燕
2.具非线性边界条件的Volterra型时滞微分方程边值问题奇摄动 [J], 任景莉;葛渭高
3.具有非线性边界条件的奇摄动微分系统边值问题 [J], 温朝晖;陈丽华;欧阳成;莫嘉琪
4.一类具非线性边界条件的高阶方程的双参数奇摄动问题 [J], 刘燕;姚静荪
5.一类高阶方程的非线性边界条件的奇摄动问题 [J], 刘燕; 姚静荪
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一类四阶非线性方程的奇摄动边值问题
（ 一ｚ） ￡ ， ＿ １ ￡ （ Ｏ １ ／ 即 ｚ一 一 ＞ ）
用 上 标 Ｊ 示 右 边 界层 附 近 的 内部 解 ， （ ８ 表 将 １） 式代 入 （ ） ， 到 １式 得
一
由（ ） 和特异 极 限的 理论 知 一１ 因此 ， ７式 ． 内部 解 所 满 足的方 程 为
可 知 ， 问题 在 区 间［ ， ］ 两端 有 两 个 边 界 层． 该 ０ １的 下
Ｏ 引 言
在 工程 技 术和科 学 领域 中存 在 的各 种理 论 和实
面来 求 上述 问题 的渐 近解 ．
பைடு நூலகம்
１ 外 部 解
假设 两项 外 展开 式为
Ｙ ＝ Ｙ （ － ｅ ｌ ） … … ． 。 ＝ ｏ ｚ）－ ｙ （ ＋ ＝ ｋ （） ４
即 ｚ—ｅ ｏ ． （ ＞ ）
（） ６
并 用上 标 ｉ 示左 边界 层 附近 的 内部解 ， （ ） 表 将 ６ 式代 入 （ ） ， 到 １式 得
收 稿 日期 ： ０ １ ０ ０ ２ １ —１ － ３
基 金 项 目 ： 江 省 自然 科 学 基 金 资 助 项 目（ １０ ０ ）浙 江 省新 世 纪 教 改 项 目（ Ｃ ９ ６ ） 浙 Ｙ６ １５ ２ ； Ｚ ０ ０ ３
到
－
将 （ ） 代入 （ ） ， 令 ￡ ， 系 数 相 等 ， ４式 １式 并 。 ｅ的 得
ｆ ｘ） ｊ＋ｇ（ ＝ｏ －ｆ ｘ） １＋矗 ， 。 ＝０ （ ｙ ） ， （ ｙ ｔ （ Ｙ ） ． ＇
由此 ， 们 得 到 问 题 （ ） （ ） 部 解 的 两 项 展 我 １一 ３外
摄 动 边值 问题 ：
ｅＹ “ 一，（ ）／ ｚ ３ ＋ｇ（ ＋ｅ （ ） ， ＜ ＜ ） ｈ ｚ， 一０ ０
一类边界层位置转移的非线性奇摄动问题
２ １ １ 忌＜ ０的情形 ． ． ． 由 （ ） 这时 伸长 变量 为 一 ｚ ￡， ９， ／ 问题 （ ） ３ 的零 次外 部解 是 由（ ） 出 的 ｙ 现 将它 与 相应 的 １ 一（ ） ８给 ？， 内层解 的零 次近 似 ， １ ） 即（ ２ 中的 相 匹配． 将 零次 外部 解 用 内 部 变 量 来 表 示 ， 对 小 的 ￡展 开 ， 到 零 次 外 部 解 的 内 展 开 式 ：（ ） 并 得
１ 引
言
在实 际应用 中 ， 出现 了大量 的非 线 性 奇异 摄 动 问题 ， 已成 为 国际 学术 界 十 分 关 注 的热 门问 题 之 它
一
［
．
近年来 ， 近方 法被 发展 和优 化 ， 渐 包括 平均 法 ， 多重 尺度 法 ， 界层 法 ， 边 匹配渐 近展 开法 ． 许多 学者 ，
Ｙ 一ｆ（ ｏ Ｏ ． ｙ ， ） （） ５
由假 设 ［ ， ＨＩ 方程 （ ） ５ 的通解 为
Ｙ ＝Ｇ（ ｏ＝ ＝ ｚ＋ ）． （） ６
由（ ） 问题 （ ） （ ） ６得 １ 一 ３ 的零次 外部 展开 式 的可 能形式 为
ｙ （ ）一 Ｇ － Ｆ（） ？ｚ ＋ ］， － ｙ （ ）： Ｇ［ Ｆ（） １ ｚ ｚ＋ 一 ］， 其中 ｙ（ ） ｙ（ ？ ｚ 与 ）分别 满 足边 界条 件 （ ） （ ） ２ 与 ３． 下 面来求 内层 解 ， 假设 ｚ 为边 界层 的位 置． 。 首先 在 Ｘ— ｚ 附近 引入 伸长 变量 。
如 Ｎｉ Ｗｅ［ 莫 嘉琪 、 阳成 等做 了大 量 的工作 ． 文在上 述 文献 的基 础上 ， 用 匹配渐 近 展开 和 ｉ ， 欧 本 利
法 进一 步研 究 非线性 奇 摄动 边值 问题 ， 推广 并 改进 了文献 ［ ］ ５ 的结 果．
一类高阶方程的非线性边界条件的奇摄动问题
（Ｅ ） ， ∑ （ ，
且其 具有性质
收稿 日期 ： ０ ２０ —２ ２ １ —３ １ 通 讯 作 者 ：姚 静 荪 修 回 日期 ： ０ ２０ — １ ２ １ —４ ２
（） ５
（） ６
基金项 目：国家 自 然科 学基金 （００ ０３； １９ １０ ）安徽高校 省级 自 然科学￣ ： Ｊ ０ １ ３ １ （ ２ １Ａ１５ Ｋ
Ｅ ｍａｌ ｊｙ ｏ － ｉ ｓ ａ ＠ｍａｌ ｈ ｕｅ ｕｃ ： ｉａ ｎ ． ．ｎ ． ｄ
的 形 式 渐 进 解 ， 运 用 了微 分 不 等 式理 论 证 明 了原 问题 解 的 存 在 性 及 所 得 形 式渐 近 解 并
的一致有效性 ， 最后给 出了一个例子说 明结果的意义． 关键词 ： 奇摄动； 线性； 非 高阶微分 方程； 微分 不等 式理论 中图分类号 ： ７ ． ０１５１ ４
１６ ７
高 校 应 用 数 学 学 报
第２卷第２ ７ 期
ｇｙ（－） ） 一 （）０ ＝０ （ｏ ２（ ， ｎ ０ ０，）
显然， ０ Ｓ 是系统 若 ， Ｏ
（） ７
ｆＯ ０ ０ … ， ， ｏ８） （，， ， ０ Ａ ，０ ＝０
ｇＡ ， ０ ０ ＝０ （ｏ ８， ）
的一组根 ，则初值问题
２
枷
。
［２ ｏ ｓ是（） （ 的一组根， Ｈ ］ ， ｏ ８， ９ Ａ ） 问题（０ （２在［ １ １） １） ０ ］ 一 ， 上存在充分光滑的解ｙ ：Ｙ （） ０ ｏｘ ［３ Ｈ】 存在正常数１ １ １ ２ ， 使得
ｇ（一） ，ｙ －） ｙ １＜０ ｇ（ ２（ ｎ ｎ ｎ一２！ １， ｙ 一） ， ｙ） ０（＝０ １ ’ 礼一３ ） １ｈ （ ＞０ ｈ（ ｎ ｉ ， ， 一， ）
一类非线性奇摄动问题的渐近解
非线性 奇摄 动 问题是 近 年来 国际学 术界 十分活跃 的研究 对象 ． 匹 配渐 近展 开法 是研 究非 线 性奇 摄动 边 值 问题 的一 种较好 的方法 ｌ １ ］ ． 利用 这种 方法 ， 不仅 可 以处 理有 限 区域上 非 线性 奇摄 动边 值 问题 ， 还可 以处 理 无 限长区域 上非线 性奇摄 动边 值 问题 ． 文献［ ２ —４ ］ 在 文献 ［ １ ］ 的基 础上 ， 研 究 了一般 的具 有无 限长 区域 的非 线性奇 摄动边 值 问题 ， 并得 到 了相关 问题 的一些 有意 义 的结果 ． 文献 ［ ５ ］ 研究 了一 个 特殊 的无 限 长 区域 上 的
Ｖ０ 】 ． ３ ６ Ｎｏ ． １
Ｊ ａ ｎ． ２ ０ １ ３
一
类 非线 性 奇摄 动 问题 的渐 近解
方 静， 欧 阳成
（ 湖州师范学 院 数学 系， 浙江 湖州 ３ １ ３ ０ ０ ０ ）
摘
要： 利 用 匹配渐近展 开法 ， 研 究 了一类无 限长 区域 上 的非 线性 奇摄 动 边值 问题 ， 给 出了解 的一
非线性 奇摄 动边值 问题 ， 除 了仍 用 匹配渐 近展开 法之 外 ， 还运 用 广义 积分 的收敛 性 ， Ｔ ａ ｙ ｌ ｏ ｒ 展 开等 有效 地解
决 了该 问题 ． 这为 研究无 限长 区域上 的非 线性 奇摄动 边值 问题 提供 了有 价值 的思想 方法 ． 文献 ［ ６ ］ 利 用文 献 ［ ５ ］ 的思想 ， 讨 论 了另一个 无 限长 区域上 的非线 性奇摄 动边值 问题 ．
第３ ６卷 １期 ２ ０１ ３ 年１ 月
安 徽 师 范 大 学 学ｉ 报 （ 自然科学版 ） Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ａ ｎ ｈ ｕ ｉ Ｎ ｏ ｒ ｍａ ｌ Ｕｎ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ（ Ｎａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ）
一类非线性奇摄动Dirichlet边值问题的匹配解法
是 边界层 问题 ． ［Ｏ 参数 忌的三 种 不 同取 值 ， 文 １３按 即 近 引入伸 长 变量
是＜ ０ 矗＞ １０＜ ｋ＜ ｌ 对 问题 作 了相应 的研究 ， ， ， ， 其 中边 界层 位置分 别 在左 端 、 端 和 内部 ． 右 我们 不 仅 将 问题 推广 到更一 般 的情形 ， 对 是一 ０和 ｋ一 １ 了 还 作 进一步 讨论 ． 虽然 这两 种 情况 与 是＜ ０ 忌＞ １的情 况 ，
（ ）＝ 口， Ｏ （ ）： ， １ ＝ ：
其解 为
—
Ｅ ｍ 一 １ｘ＋ ｃ ， （ ） ］
（） ４
其 中 Ｃ为任 意常数 ．
（） １
（） ２ （） ３
由（ ）得 问题 （ ） （ ）的零 次 外部 解 的 可 能形 ４ １一 ３
式 为
其 中 ￡ 正的小 参数 ， 为 竹∈ Ｎ ｍ ∈ ２ ａ口 常数 （ ， Ｚ， ， 为 当 为正偶 数时 ， ， ａ ≠ Ｏ ． ）
Ｎ （ ｏ Ｎ 、 边 界 层 又各 分 为 两 种 类 型 ）进 而 给 出 该 问题 解 的零 次 渐 近展 开 式 ， 广 并 改 进 了 已有 的结 果 ． Ｎ ｅ 右 ． 推
关 键 词 非 线 性 ； 摄 动 ； 界 层 ； 奇 边 匹配 ； 近 展 开 式 渐 中 图分 类 号 Ｏ１５ １ ７ ．４
一
２； － ／
：＝ ＿ ＝
＿
Ｘ （ ＞ Ｏ ０ ）
．
（ ７）
记 问题 （ ） （ ）内层 解 为 Ｙ ， （ ） 入 （ ） 到 １一 ３ 将 ７ 代 １得
￡ ” 卜 ＋ 。 一
样， 边界层 位 置也 分 别在 左 端 和 右端 ， 边 界层 函 但
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几类具非线性边界条件的奇摄动问题
本文主要讨论了几类具非线性边界条件的奇摄动问题,文章的结构安排如下：第一章简述了奇异摄动问题的研究意义和概况,综述了与本文相关的国内外关于具非线性边界条件的奇摄动问题的研究成果,并陈述了本文将要用到的主要方法和理论及本文的主要工作.第二章本章研究了一类具非线性两点边值条件的双参数奇摄动问题εy(?)=,(x,y,y’,μy"),0<x<1x, y(0)=A, g(g’
(0))-y"(0)=0, h(y(1),y’(1),y"(1))=0.首先运用合成展开法对两变量进行展开,构造了该问题的形式渐近解,再利用微分不等式理论,证明了该问题解的存在性和上述形式解的渐近性态.第三章本章研究了一类非线性三点边值条件的非线性方程的奇摄动问题ε2y(?)=εf(x,y,y’)y"+g(x,y,y’),-1<x<1,
p(y(-1),y’(-1),y"(-1))=0, h(y(0),y’(0))=0, Ⅰ(y(1),y’(1),y"(1))=0.采用伸长变量和合成展开法构造了问题的形式渐近解,并用微分不等式理论证明了问题解的存在性及所得渐近解在所讨论的区域上的一致有效性.第四章举例说明了第二章、第三章中的研究成果的应用价值.。