一类三阶三点边值问题的可解性
一类三阶n点边值问题的正解的存在性
０ 导 引
多点 边值 问题 描述 应用 数 学 中许 多现 象 ， 弹性 理论 、 牛 顿 流体 理 论 、 孔 介 质 中气 体 的湍 流 理 论 如 非 多 及 生 物生 态学 研究 等 领域 ．２ Ｏ世纪 ８ ０年代 ， Ａ．Ｖ ｉａ ｚ Ａ．Ａ ａ ｒｋｉ ．Ｂｔ ｄｅ和 ｓ ．Ｓ ｍａｓｉ首先研 究 了非 局部 线性 椭 圆 边 界 问题 ， ．Ａ．Ｉｉ Ｅ ．Ｍｏｓｅ Ｖ １ ｎ和 ．Ｉ ｉ ｖ首先 研究 了线 性 二 阶常微 分方 程 多点 边值 问题 Ｈ ］ 从 此 开始 ， 多 ｅ 卫． 众
王 岩岩 ，刘 伟１ ， ２，刘 麦 学
（ ．周 口师范学院数学系 ， １ 河南周 口 ４ ６０ ； ．上４ ； ．洛阳师范学院数学 系 ， ０２ ０ ３ 河南洛 阳 ４ １２ ） ７ ０ ２
摘 要 ： ０ ≥０ ｉ １ … ， 一 令 ， ＝ ， ｍ ３且 ｎ 一 ＞ ．再 令 满 足 ０＜ ＜ ＜… ＜ 一 ＜１且 口 ＜１ ２ ０ ｌ ２ 。 ．我 们 研 究 下 面
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一类三阶三点边值问题正解新的存在性定理
一类三阶三点边值问题正解新的存在性定理武晨;王全祥【摘要】考虑了一个三阶三点边值问题正解的存在性,通过利用Leray-Schauder 不动点定理得到了一个新的正解存在性结果.方法进一步改进和推广了已有的结果.【期刊名称】《淮阴师范学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(017)002【总页数】5页(P95-99)【关键词】Leray-Schauder不动点定理;三阶三点边值问题;正解【作者】武晨;王全祥【作者单位】江苏联合职业技术学院南京分院,基础课程教学部,江苏南京 210019;南京农业大学工学院,江苏南京 210095【正文语种】中文【中图分类】O1750 引言由于非线性三阶边值问题在生物工程、物理等领域的广泛的应用,对非线性三阶边值问题的研究一直是众多学者关注的热点,由此得到了许多三阶边值问题正解的存在性结果[1-10]．其中文[4]研究了如下的一个三阶三点边值问题(1)其中假设函数f满足条件:(C1) f∈C([0,+∞),[0,+∞));(C2) a(t)∈C([0,1],[0,+∞)),且在[τ,1]上a(t)不恒为0,其中τ为区间[0,1]上的任意实数.记假设：(i) f0=0且f∞=∞(超线性)；(ii) f0=∞且f∞=0(次线性)成立;则边值问题(1)至少存在一个正解．本文将利用Leray-Schauder不动点定理,在弱化文[4]中的条件下,得到边值问题(1)正解的存在性．1 预备知识引理1[4] 设边值问题(1)有唯一解其中引理2[4] 对任意的(t,s)∈[0,1]×[0,1],有0≤G(t,s)≤1-s.引理3[4] 令则对任意的(t,s)∈[τ,1]×[0,1],有G(t,s)≥γ(1-s),其中为任意常数．由引理3易得引理4[11](Leray-Schauder不动点定理) 假设X是Banach空间,T:X→X是全连续算子,如果存在R>0,对于λ∈(0,1),满足u=λTu,都有‖u‖≤R恒成立,则T有一个不动点．2 主要结果考虑Banach空间X=C[0,1],赋予范数定义算子定理1 假设 (C1),(C2)成立,若f0=0,则边值问题(1)至少存在一个正解．证明任取ε>0,且由f0=0可知存在常数R1>0,使得当0<u(t)≤R1时,有f(u)≤εu(t)成立．令则K1是X中的凸子集,对于任意的u∈K1,由引理2和引理3可知Tu(t)≥0,且由引理2可知从而‖Tu‖≤R1.因此TK1⊂K1,容易验证T:K1→K1是全连续的,对于任意0<λ<1,‖u‖=‖λTu‖<‖Tu‖≤R1,所以‖u‖≤R1．从而根据引理4可知,T在K1中至少有一个不动点,即边值问题(1)至少存在一个正解．注1 定理1相比文[4]中弱去了条件f∞=∞,因此该结论推广了文[4]中的结果．定理2 假设 (C1),(C2)成立,若f∞=0,则边值问题(1)至少存在一个正解．证明任取ε>0,且由f∞=0可知存在常数N>0,使得当u(t)>N时,有f(u)≤εu(t)成立．取令则K2是X中的凸子集,对于任意的u∈K2,由引理2和引理3可知Tu(t)≥0,且令J1={s∈[0,1]|u(s)>N},J2={s∈[0,1]|u(s)≤N}.由引理2可知≤从而‖Tu‖≤R2.因此TK2⊂K2,容易验证T:K2→K2是全连续的,对于任意0<λ<1,‖u‖=‖λTu‖<‖Tu‖≤R2,所以‖u‖≤R2．从而根据引理4可知,T在K2中至少有一个不动点,即边值问题(1)至少存在一个正解．注2 定理2相比文[4]中弱去了条件f0=∞,因此该结论推广了文[4]中的结果．定理3 假设(C1),(C2)成立,若存在常数R3>0,使得当0<u≤R3时,有则边值问题(1)至少存在一个正解．证明令则K3是X中的凸子集,对于任意的u∈K3,由引理2和引理3可知Tu(t)≥0,且由引理2可知从而‖Tu‖≤R3.因此TK3⊂K3,容易验证T:K3→K3是全连续的,对于任意0<λ<1,‖u‖=‖λTu‖<‖Tu‖≤R3,所以‖u‖≤R3．从而根据引理4可知,T在K3中至少有一个不动点,即边值问题(1)至少存在一个正解．定理4 假设 (C1),(C2)成立,若存在常数N>0,R4>0,使得当u≥N时,有则边值问题(1)至少存在一个正解．证明取令则K4是X中的凸子集,对于任意的u∈K4,由引理2和引理3可知Tu(t)≥0,且令J1={s∈[0,1]|u(s)>N},J2={s∈[0,1]|u(s)≤N}.由引理2可知从而‖Tu‖≤d,因此TK4⊂K4,容易验证T:K4→K4是全连续的,对于任意0<λ<1,‖u‖=‖λTu‖<‖Tu‖≤d,所以‖u‖≤d.从而根据引理4可知,T在K4中至少有一个不动点,即边值问题(1)至少存在一个正解．3 应用示例例1 考虑非线性三阶边值问题(2)易得所以根据定理1可知上述边值问题(2)至少存在一个正解．注不满足文[4]中f∞=∞的情况,因此根据文[4]的结论并不能得出边值问题(2)正解的存在性结果．例2 考虑非线性三阶边值问题(3)易得所以根据定理2可知上述边值问题(3)至少存在一个正解．注不满足文[4]中f0=∞的情况,根据文[4]的结论并不能得出边值问题(3)正解的存在性结果,因此本文的结论更具一般性．参考文献：【相关文献】[1] Du Z J, Ge W G, Lin X J. Existence of solutions for a class of third-order nonlinear boundary problems[J]. J Math Anal Appl, 2004, 294(1):104-112.[2] Feng Y Q, Liu S Y. Solvability of a third-order two-point boundary value problems[J].Appl Math Lett, 2005,18(9):1034-1040.[3] Yao Q L, Feng Y Q. The existence of solutions for a third-order two-point boundary problems[J]. Appl Math Lett, 2002, 15(2):227-232.[4] 郭丽君. 三阶三点边值问题正解的存在性[J]. 兰州文理学院学报(自然科学版),2016,30(1):1-5.[5] Feng X F, Feng H, Bai D L. Eigenvalue for a singular third-order three-point boundary value problem[J]. Appl Math Comp, 2013,219(18): 9783-9790.[6] 刘瑞宽. 一类奇异三阶两点边值问题正解的存在[J]. 四川师范大学学报(自然科学版),2014,37(4):482-486.[7] 高婷,韩晓玲. 三阶无穷多点边值问题正解的存在性[J]. 四川大学学报(自然科学版),2016,53(1):35-41.[8] 武晨. 非线性二阶三点边值问题正解的存在性和唯一性[J]. 淮阴师范学院学报(自然科学版),2015,14(4):1-4.[9] 武晨. 一类三阶边值问题正解的存在性和唯一性[J]. 南通大学学报(自然科学版),2017,16(2):87-89.[10] 程德胜,武晨. 一类三阶三点边值问题正解的存在性[J]. 华侨大学学报(自然科学版),2017,38(1):127-130.[11] 武晨. 限区间上p-Laplacian方程解的存在性[J]. 长春师范大学学报(自然科学版),2015,34(10)1-4.。
一类分数阶微分方程积分三点边值问题的正解
一类分数阶微分方程积分三点边值问题的正解汤小松;刘清【期刊名称】《井冈山大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2013(000)001【摘要】研究了一类非线性分数阶微分方程的积分三点边值问题。
利用Krasnoselskii不动点理论，获得了该问题至少存在一个正解的两个充分条件。
这推广了整数阶微分方程的相应结果。
%We study the three-point integral boundary value problems for nonlinear fractional differential equations. Based on the Krasnoselskii fixed-point theory, we obtain two sufficient conditions for the existence of at least one positive solution for this problem. These results extend the corresponding ones of ordinary differential equations of integer order.【总页数】6页(P11-16)【作者】汤小松;刘清【作者单位】井冈山大学数理学院，江西，吉安 343009;井冈山大学电子与信息工程学院，江西，吉安 343009【正文语种】中文【中图分类】O175.8【相关文献】1.一类分数阶微分方程积分三点边值问题的正解 [J], 汤小松;刘清;2.一类分数阶微分方程三点边值问题正解的存在性 [J], 汤小松3.一类分数阶微分方程三点边值问题正解的存在性与不存在性 [J], 何健堃;贾梅;陈辉4.一类分数阶微分方程三点边值问题正解的存在性 [J], 张慧慧;刘文斌;李鑫;王刚5.一类具三点边值问题的分数阶微分方程正解的存在性 [J], 刘小刚;刘慧敏因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
一类高阶多点边值问题在共振条件下的可解性
一类高阶多点边值问题在共振条件下的可解性张海波;裴明鹤【摘要】考虑非线性高阶多点边值问题解的存在性,这里f:[0,1]×Rn→R是连续函数,e(t)∈L1[0,1],βj(j=1,2,…,m-2)为符号不全相同的实数,0<η1<η2<…<ηm-2<1.利用Mawhin连续性定理对于上述共振条件下的非线性n阶多点边值问题建立了解的存在性结果.【期刊名称】《北华大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(012)001【总页数】8页(P29-36)【关键词】多点边值问题;Mawhin连续性定理;Fredholm算子;共振【作者】张海波;裴明鹤【作者单位】北华大学数学学院,吉林,吉林,132033;吉林化工学院理学院,吉林,吉林,132022;北华大学数学学院,吉林,吉林,132033:【正文语种】中文【中图分类】O175.81 引言本文研究如下n阶多点边值问题x(n)(t)=f(t，x(t)，x′(t)，…，x(n-1)(t))+e(t)，t∈(0，1)，(1.1)x(i)(0)=0， i=0，1，…，n-2，(1.2)(1.3)其中： f：[0，1]×n→是连续函数；e(t)∈L1[0，1]；βj(j=1，2，…，m-2)为符号不全相同的实数；0<η1<η2<…<ηm-2<1.常微分方程多点边值问题起源于各种不同的应用数学和物理学领域，有着重要的理论及实际意义.因此，近年来微分方程多点边值问题引起了微分方程学者的广泛关注，并得到了一系列很好的结果，如文献[1-13].关于非共振多点边值问题，杜增吉等[2-4]、Gupta[8]和马如云等[12]已做过许多研究.关于共振边值问题，Gupta[7]、刘彬等[9-10]、Feng等[6]已对二阶多点边值问题进行了深入的研究，但关于高阶多点共振边值问题的研究还较少见到[1，5，11].2005年，杜增吉等[1]讨论了如下共振条件下的三阶多点边值问题x‴(t)=f(t，x(t)，x′(t)，x″(t))+e(t)，t∈(0，1)，(1.4)x(0)=0，x′(0)=0， x(1)(1.5)的可解性，其中： f：[0，1]×3→是连续函数；e(t)∈L1[0，1]；βj(j=1，2，…，m-2)为符号不全相同的实数；0<η1<η2<…<ηm-2<1.2006年，林晓洁等[11]讨论了下述共振条件下的n阶多点边值问题x(n)(t)=f(t，x(t)，x′(t)，…，x(n-1)(t))+e(t)，t∈(0，1)，(1.6)x(i)(0)=0， i=0，1，…，n-2，(1.7)(1.8)其中： f：[0，1]×n→是连续函数；e(t)∈L1[0，1]；βj(j=1，2，…，m-2)为符号不全相同的实数；0<η1<η2<…<ηm-2<1.2007年，高云柱[5]研究了如下共振条件下的高阶多点边值问题x(n)(t)=f(t，x(t)，x′(t)，…，x(n-1)(t))+e(t)，t∈(0，1)，(1.9)x(i)(0)=0， i=0，1，…，n-2，(1.10)(1.11)的可解性，其中：βj(j=1，2，…，m-2)为符号不全相同的实数；0<η1<η2<…<ηm-2<1； f：[0，1]×n→是连续函数；e(t)∈L1[0，1].本文受文献[1，5，11]的启发，主要利用Mawhin的连续性定理研究n阶多点边值问题(1.1)-(1.2)、(1.3)的解的存在性.据我们所知，关于共振条件下的n阶多点边值问题(1.1)-(1.2)、(1.3)解的存在性还不曾有人讨论过.2 预备知识在本文里，我们记X=Cn-1[0，1]，其范数为x=max{x∞，x(n-1)∞}，∀x∈X，其中：x(t).记Y=L1[0，1]具有范数·1.我们还将用到Sobolev空间Wn，1(0，1)={x:[0，1]→x，x′，…，x(n-1)在[0，1]上绝对连续，x(n)∈L1[0，1]}.定义线性算子L：DomL⊂X→Y如下：(Nx)(t)=f(t，x(t)，x′(t)，…，x(n-1)(t))+e(t)，∀x∈X.则边值问题(1.1)-(1.2)、(1.3)就等价于算子方程Lx=Nx.定义2.1 设X,Y是实Banach空间，L：DomL⊂X→Y是一线性映射，称L是一个零指标的Fredholm映射，如果满足下列条件：ⅰ) ImL是Y的闭子空间；ⅱ) dim KerL=co dim ImL<+∞.易见，若L：DomL⊂X→Y为零指标的Fredholm映射，则存在线性连续投影算子P：X→X，Q:X→Y，满足ImP=KerL， KerQ=ImL .因此序列是恰当序列，并且X=KerL⊕KerP，Y=ImL⊕ImQ.于是LDomL∩KerP：DomL∩KerP→ImL是可逆的，记其逆映射为KP.由于dim ImQ=dim KerL，因此存在代数与拓扑同构J:ImQ→KerL.定义2.2 设L：DomL⊂X→Y是一零指标的Fredholm映射，Ω⊂X是一有界开集，DomL∩Ω≠∅.若和都是紧的，则称N：X→Y在上是L-紧的.引理2.1[4](Mawhin连续性定理) 设L是一个零指标的Fredholm算子，N在上是L-紧的.如果下列条件成立：ⅰ)Lx≠λNx，∀(x，λ)∈[(DomL\KerL)∩∂Ω]×(0，1)；ⅱ)N xImL，∀x∈KerL∩∂Ω；ⅲ)deg(JQNKerL，Ω∩KerL，0)≠0.则方程Lx=Nx在中至少有一个解.3 主要结果这里我们将利用Mawhin连续性定理研究边值问题(1.1)-(1.2)、(1.3)的解的存在性.为此，先给出一些引理.引理3.1 如果则KerL={x∈DomL：x=ctn-1，c∈，t∈[0，1]}，ImL=，(3.1)并且L是零指标的Fredholm算子.证明易证KerL={x∈DomL：x=ctn-1，c∈，t∈[0，1]}.现证明(3.1)成立.为此，证明方程x(n)(t)=y(t)(3.2)有解x(t)满足边界条件(1.2)～(1.3)，当且仅当(3.3)事实上，如果方程(3.2)有解x(t)满足边界条件(1.2)～(1.3)，则由式(3.2)、(1.2)可知从而有特别地而由边界条件(1.3)有=根据我们得到反之，如果式(3.3)成立，令其中c是任意常数，则显然x(t)是(3.2)的解.下证x(t)满足边界条件(1.2)～(1.3).事实上，x(t)显然满足边界条件(1.2).另外，由于以及所以即x(t)满足边界条件(1.3).于是由式(3.2)～(3.3)知式(3.1)成立.更进一步ImL为闭的. 下面，对于y∈Y，定义算子Q：Y→Y如下：∀y∈Y.则易证Q：Y→Y为线性连续投影算子.对∀y∈Y，令y1=y-Qy，则Qy1=Qy-Q2y=0，从而进而y1∈ImL.故Y=ImL+.而ImL∩={0}，所以Y=ImL⊕.于是dim KerL=1=dim=dimY\ImL=co dim ImL<+∞.故L是零指标的Fredholm算子.引理3.2 如果则线性算子KP：ImL→DomL∩Ke rP可以写成∀y∈ImL，并且KPy≤y1，∀y∈ImL.证明定义投影算子P：X→X如下：∀x∈X.则L的广义逆KP：ImL→DomL∩KerP可表示为事实上，一方面，对于y∈ImL，有(LKP)y(t)=[(KPy)(t)](n)=y(t);另一方面，对于x∈DomL∩KerP有而由x∈DomL∩KerP知x(0)=x′(0)=…=x(n-2)(0)=x(n-1)(0)=0，从而(KPL)x(t)=x(t).故∀y∈ImL.另外，对∀y∈ImL，有KPy∞=…y(τ1)dτ1dτ2…dτn≤…y(τ1)dτ1dτ2…dτn=y1.同理可证，对每一个i=1，2，…，n-1，有(KPy)(i)∞≤y1，故KPy≤y1.现在，我们给出并证明边值问题(1.1)-(1.2)、(1.3)解的存在性结果.定理3.1 设f：[0，1]×n→是连续函数，e(t)∈L1[0，1].如果下列条件成立：aiH2)存在函数a1(t),a2(t),…,an(t),b(t),r(t)∈L1[0，1]和常数θ∈[0，1)，使得∀(t，x1，x2，…，xn)∈[0，1]×n，满足下列条件之一：f(t，x1，x2，…，xn)xi+b(t)xnθ+r(t)，(3.4)f(t，x1，x2，…，xn)xi+b(t)xn-1θ+r(t)，⋮f(t，x1，x2，…，xn)≤ai(t)xi+b(t)x1θ+r(t).(3.6)H3)存在常数M>0，使得∀x∈DomL，若x(n-1)(t)>M，∀t∈[0，1]，则(3.7)H4)存在常数M*>0，使得∀c∈，如果c>M*，则下列不等式之一成立：(3.8)或(3.9)则边值问题(1.1)-(1.2)、(1.3)在Cn-1[0，1]上至少有一个解.证明首先，证明集合Ω1{x∈DomL\KerL：Lx=λNx，λ∈[0，1]}是有界的.为此，设x∈Ω1，则存在λ∈(0，1]，使得Lx=λNx，Nx∈ImL=KerQ.从而于是由H3)可知，存在t0∈[0，1]使得x(n-1)(t0)≤M.根据我们有又对x∈Ω1，x∈DomL\KerL，有(I-P)x∈DomL∩KerP， LPx=0.于是由引理3.2可得(I-P)x=(KP)L(I-P)x≤L(I-P)x1=Lx1≤Nx1. (3.11)从而由式(3.10)～(3.11)可得x≤Px+(I-P)x≤2Nx1+M.(3.12)如果式(3.4)成立，则由式(3.12)有x≤ 2f(t，x(t)，…，x(n-1)(t))+e(t)dt+M≤f(t，x(t)，…，x(n-1)(t))e(t)dt+M≤x(i-1)(t)+b(t)x(n-1)(t)θ+r(t)dt+2e1+M≤2ai(t)·b(t)·r(t)dt+e1+M≤2ai1x(i-1)∞+b1，其中C=r1+于是xai1x(i-1)∞+b1 .(3.13)再由x∞≤x和式(3.13)可得ai1x(i-1)∞+b1 .(3.14)又由x，式(3.13)～(3.14)可得xai1x(i-1)∞+b1 .于是有ai1x(i-1)∞+b1 .(3.15)类似可得.(3.16)因为θ∈[0，1)，所以由式(3.16)可知，存在M1>0，使得x(n-1)∞≤M1 .更进一步，由边界条件(1.2)得：存在Mi>0(i=2，…，n)，使得x(n-1)∞≤Mi (i=2，3，…，n).因此x=max{x∞，x(n-1)∞}≤max{M1，M2，…，Mn}.这就证明了Ω1是有界集.如果式(3.5)或(3.6)成立，则类似于上面的讨论，我们也可以证明集合Ω1是有界的.其次，证明集合Ω2{x∈KerL：Nx∈ImL}是有界集.为此，设x∈Ω2，则x∈KerL={x∈DomL：x=ctn-1，c∈，t∈[0，1]}，QNx=0.于是因此由H3)有c故Ω2是有界集.第三，由条件H4)，不妨设c>M*时，有(3.17)则集合Ω3{x∈KerL：-λx+(1-λ)JQNx=0，λ∈[0，1]}是有界集，其中J：ImQ→KerL是一个线性同构映射：J(c)=ctn-1，∀c∈.事实上，对x=c0tn-1∈Ω3，有.若λ=1，则c0=0.若λ∈[0，1)，则c0≤M*.事实上，若c0>M*，从而由式(3.17)有这与矛盾.故Ω3⊂{x∈KerL：x≤(n-1)!M*}是有界集.若c>M*时，有则类似于上面的讨论，我们仍可以证明集合Ω3{x∈KerL：λx+(1-λ)JQNx=0，λ∈[0，1]}是有界集.最后，我们将验证引理2.1的所有条件全部被满足.事实上，选取Ω是X的一个有界开子集，满足⊂Ω.则显然是紧的，并且由Arzela-Ascoli引理，易证也是紧的.因此，N在上是L-紧的.根据以上的讨论，有C1)Lx≠λNx，∀(x，λ)∈[(DomL\KerL)∩∂Ω]×(0，1)；C2)NxImL，∀x∈KerL∩∂Ω；C3)令H(x，λ)=∓λx+(1-λ)JQNx，则有H(x，λ)≠0，x∈KerL∩∂Ω .于是由度的同伦不变性，可得deg(JQNKerL，Ω∩KerL，0)= deg(H(·，0)，Ω∩KerL，0)=deg(H(·，1)，Ω∩KerL，0)=deg(∓I，Ω∩KerL，0)=∓1≠0.故由引理2.1，方程Lx=Nx在中至少有一个解，即边值问题(1.1)-(1.2)、(1.3)在Cn-1[0，1]中至少有一个解.【相关文献】[1] Du Zengji，Bai Zhanbing，Ge Weigao.Existence Results of Third Order Multi-Point Boundary Value Problem at Resonance[J].J Beijing Inst Technol，2005，14(4):449-452. [2] Du Zengji，Ge Weigao，Zhou Mingru.Singular Perturbations for Third-Order Nonlinear Multi-point Boundary Value Problem[J].J Differential Equations，2005，218(1):69-90.[3] Du Zengji，Lin Xiaojie，Ge Weigao.Existence of Solutions for a Class of Third-Order Nonlinear Boundary Value Problems[J].J Math Anal Appl，2004，294(1):104-112.[4] Du Zengji，Xue Chunyuan，Ge Weigao.On Eigenvalue Intervals for Discrete Second Order Boundary Value Problem[J].Acta Math Appl Sin Engl Ser，2005，2(1):105-114.[5] 高云柱.具共振条件下高阶多点边值问题的可解性[D].吉林：北华大学，2007.[6] W Feng，J R L Webb.Solvability of m-point Boundary Value Problems with Nonlinear Growth[J].J Math Anal Appl，1997，212(2):467-480.[7] C P Gupta.A Second Order m-point Boundary Value Problem at Resonance[J].Nonlinear Anal，1995，24(10):1483-1489.[8] C P Gupta.A Generalized multi-point Boundary Value Problem for Second Order Ordinary Differential Equation[J].Appl Math Comput，1998，89(1):133-146.[9] Liu Bin，Yu Jianshe.Solvability of Multi-point Boundary Value Problem at Resonance[J].Appl Math Comput，2002，129(1):119-143.[10] Liu Bin.Solvability of Multi-point Boundary Value Problem at Resonance[J].Appl Math Comput，2003，136(2):353-377.[11] Lin Xiaojie,Du Zengji,Ge Weigao.Existence of Solutions for Higher Order Multi-point Boundary Value Problem at Resonance[J].Applied Mathematics and Mechanics,2006，27(5)：624-630.[12] Ma Ru-yun，Nelson Castaneda.Existence of Solutions of Nonlinear m-point Boundary Value Problems[J].J Math Anal Appl，2001，256(2):556-567.[13] J Mawhin.Topological Degree Methods in Nonlinear Boundary Value Problems[C]//Nsfcbms Regional Conference Series in Mathematics C.Providence.RhodsIsland:American Mathematical Society，USA，1979.[14] 薛春艳，葛渭高.共振条件下多点边值问题解的存在性[J].数学学报，2005，48(2)：282-291.。
一类三阶微分方程组三点边值问题正解的存在性
一类三阶微分方程组三点边值问题正解的存在性王彩勋【摘要】利用乘积锥上的不动点指数定理,研究了一类三阶微分方程组三点边值问题正解的存在性.【期刊名称】《产业与科技论坛》【年(卷),期】2016(015)015【总页数】2页(P58-59)【关键词】三阶微分方程组;乘积锥;不动点指数;正解【作者】王彩勋【作者单位】青海大学基础部【正文语种】中文三阶微分方程在应用数学和物理学的不同领域得到了广泛应用,但关于三阶微分方程组的研究并不多见。
文献[1]研究了当f是超线性或次线性的情况下, 三阶微分方程三点边值问题u‴(t)+a(t)f(u(t))=0,t∈(0,1),u(0)=u′(0)=(0),u′(1)=au′(η)至少存在一个正解。
本文进一步研究三阶微分方程组三点边值问题：正解的存在性。
文中总是假设下面条件成立：(H0)0<η<1，0<aη<1,ai∈C((0,1),R+)且满足:0<ai(t)dt<+∞,fi∈C([0,1]×R+×R+,R+),R+=[0，+∞),i=1,2方程组(1)中一个方程的非线性项是超线性的,另一个的是次线性的, 通过构造新的Green函数, 利用乘积锥上的不动点指数定理解决三阶微分方程组三点边值问题正解的存在性。
由文献[2]中非线性项的定义得到启发, 给出如下定义。
定义1如果fi,i=1,2满足：关于v+∈R+一致成立,则称1关于u在原点是超线性的,2关于v在原点是次线性的。
定义2如果i=1,2满足:关于v∈R+一致成立,关于u∈R+一致成立,则称2关于u在无穷远处是超线性的,2关于v在无穷远处是次线性的。
若1关于u在原点和无穷远处均是超线性的, 称1是超线性的；若2关于在原点和无穷远处均是次线性的, 称2是次线性的。
记E=C[0，1],取‖u‖|u(t)|, 则E是Banach空间。
当k≥2时定义K为：则K是E中的锥。
一类非线性三阶三点边值问题的正解
一类非线性三阶三点边值问题的正解
孙建平;彭俊国;郭丽君;赵亚红
【期刊名称】《兰州理工大学学报》
【年(卷),期】2009(35)2
【摘要】考虑一类带有参数的非线性三阶三点边值问题.通过定义指标i0和
i SymboleB@ , 从而根据它们的不同取值, 对于参数适当的变化范围, 建立该边值问题正解的存在性以及不存在性准则.所用的工具为不动点指数理论.
【总页数】4页(P142-145)
【作者】孙建平;彭俊国;郭丽君;赵亚红
【作者单位】兰州理工大学理学院,甘肃,兰州,730050;兰州理工大学理学院,甘肃,兰州,730050;兰州理工大学理学院,甘肃,兰州,730050;兰州理工大学理学院,甘肃,兰州,730050
【正文语种】中文
【中图分类】O175
【相关文献】
1.一类非线性奇异三阶三点边值问题正解的存在性 [J], 曹珂
2.一类非线性三阶三点边值问题的多个正解 [J], 吴红萍
3.一类非线性三阶三点边值问题单调正解的存在性 [J], 曹珂
4.一类奇异非线性三阶三点边值问题正解的存在性 [J], 秦宏立;周居政;付华;李飞飞
5.一类非线性微分方程三阶三点边值问题正解的存在性 [J], 郭丽君
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一类三阶奇异微分方程边值问题正解的存在性
文章 编号 １０—８３２ １）６０ ５．４ ３２４ （０ ０ ．８９０ ０ １
一
类三阶奇异微 分方程边值 问题正解 的存在性
秦 宏立 周居政
７６０１ １０ ０ （ 延安 大学数 学与计算机学院，陕西延安
摘
要 ： 用 Ｋｒｓｏｅ ｋｉ 运 ａｎ ｓｌ ｉ不动点定理讨论 了一类三阶三点奇异微分 方程边值 问题的正解，获得 了其正解的存在条件 ｌ
１ 预备知识
引理 １１ 设 ７≠１ 则边值问题（） ［ ７ ７ ， １ 有唯一解
）ｆ（）） （ ＝ ，（ （） ， ｌｔ Ｇ ）
其 中 Ｇｒｅ ｅｎ函数为
２ 一（一 ７ ｆ ＋ ） ￣ （ ２ Ｓ ｍｉ｛ ， ； ｔ １ ７ （ 一 ｚ ｑ ＋Ｓ） ） ｔ ， ｎｑ ｔ ）
（１ ’ Ｃ ，Ｒ） Ａ） ∈ （ ／ 是连续的；
（ ２ （ ｅ （ ，】Ｒ） Ａ）ａｔ ［ １ ） ｃ ｏ ， 是连续的，且在ｉ 上不恒为零． ，
口 一
令 ：ｉ ｌ 丛 ， ：ｌ ｉ ｍ丛 ． 运用Ｋａ ｏ ｌｉ ｒｎｓｌｉ ｓ ｅｋ 不动点定理讨论了 边值问题（ 正解的存在性． １ ）
Ｉ ＋ ）（ ）＝ ，， ［ １ ｘ ） ０ ∈０ ］ ） ，，
ｌ（） ）（） ，ｃ１＝ （） ０＝ｃＯ＝０ ） ） ｘ７． （ ７
其中Ｏ＜７＜１ ＜ ＜１ ７ 与ｌ 一是常量，以 在 与 １ （ ） ＝０ 处是奇异的．
７ ７
…
若记 Ｒ ＋＝［， ｏ， ０ ＋ｏ 并假定下列条件成立： ）
２ 主 要结果
为 便 见 设 ｃ ， ｌ Ｊ ａｃ ／ ， 定 其 数 ｌｍ＇ （ ， ∈ ． 设 Ｅ 方 起 ， ＝ 【 １￣＇Ｂ ａ Ｉ 并 义 范 为 ＝ ｆｌ ） ｘ Ｅ 又 是 上 ０ ］ ＂ ｎｈ ＇ ｆｇ ￣ － ］ ｆｘ ｆ ∈１ ｌ ａｘ ０ １
一类三阶两点边值问题解的存在性
一类三阶两点边值问题解的存在性一类三阶两点边值问题是指具有以下形式的微分方程：y'''(x) = f(x,y(x),y'(x),y''(x))在区间[a, b]上，同时满足以下边界条件：y(a) = y_0, \quad y(b) = y_1y_0, y_1是已知常数。
我们需要关注方程的连续性和可导性。
根据连续性理论，如果f在闭区间[a, b]上连续，则对于给定的初值y_0, y_1，存在唯一的解y(x)在该区间上存在。
对于三阶微分方程，我们需要更高级的连续性条件来保证解的存在性。
这里我们引入分析学中的一个重要概念：Lipschitz条件。
如果函数f(x,y,y',y'')满足Lipschitz条件，即存在常数L>0，使得对于任意(x,y,y',y'')和(x,z,z',z'')，有|f(x,y,y',y'') - f(x,z,z',z'')| \leq L(|y-z| + |y'-z'| + |y''-z''|)那么我们可以得到Peano存在性定理和Picard-Lindelöf存在唯一性定理。
根据Peano存在性定理，对于三阶微分方程y'''(x) = f(x,y(x),y'(x),y''(x))，如果f(x,y,y',y'')在闭区间[a, b]上连续，则存在至少一个解y(x)在该区间上存在。
Peano 存在性定理不能保证解的唯一性。
Picard-Lindelöf存在唯一性定理则给出了解的唯一性的条件。
如果f(x,y,y',y'')满足Lipschitz条件，并且在闭区间[a, b]上连续，则对于给定的初值y_0, y_1，存在唯一解y(x)在该区间上存在。
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一类三阶三点边值问题的可解性
近年来，非线性椭圆型偏微分方程的发展受到了广泛关注，众多学者研究了其中一类三阶三点边值问题(TPBVP)的可解性。
本文将针
对这类问题，进行一些深入的研究，尝试寻找解决方案。
TPBVP是一类非线性椭圆型偏微分方程的三点边值问题。
它的特点是拥有三个边界条件，在边界条件的作用下，有一个未知函数在满足椭圆型偏微分方程的定义域内满足这一条件。
在此基础上，本文将以具有三参数K，L，M的一类三阶三点边值问题为研究对象，尝试寻找解决该问题的方法。
首先，通过数学分析，推导出问题的三个定性结果，即在K>0,L>0,M>0时，该问题是可解的；在K≤0,L≤0,M≤0时，该问题是不可解的；在K，L，M取任意实数时，问题的可解性是未知的。
其次，将寻求未知函数的问题转化为求解一个非线性有限元方程组的形式，并将空间化为FEM（有限元方法）中最常见的三角形元单元，及其剖分网格，采用Galerkin有限元方法，分别建立出二阶和三阶系数矩阵，并采用LU分解求解该方程组，从而求得未知参数K、L、M时，该问题的可解性。
最后，本文分析了一类三阶三点边值问题可解性的特点，得出结论：K、L、M三个参数值任意取实数时，该问题都是可解的，其可解性取决于参数K、L、M具体取值，当参数均大于零时，问题是可解的；当参数有一个或多个小于零时，问题是不可解的。
本文对于一类三阶三点边值问题的可解性做了一些深入的分析，旨在探索其可解性的本质，为此类问题的研究提供了一定的理论基础，
为今后相关研究提供借鉴。