非线性边值问题
一类三阶非线性方程组的两点边值问题
的两点边 值 问题
ｌ＝ （ ｔ ， １ ， ２ ， Ｔ １ １ ， ２ ） ｕ ２＝ （ ｔ ， “ １ ， Ｍ ２ ， Ｔ ｌ “ ｌ ， ２ ） Ｍ （ ０ ） ＝Ａ ， ｕ ２ （ ０ ）＝Ａ ２
则分别 称 （ ｔ ） ， （ ｔ ）为 方程 组 （ ５ ）～（ ７ ） 的上 解
与下解 ． 定 理 １ 假设
（ １ ） （ ２ ）
２＝ （ ｔ ， １ ， ２ ， １ ， Ｘ ｔ ｔ ２ ）
（ １ ） （ ｔ ， ， “ ： ）于 ［ ０ ， １ ］Ｘ Ｒ 上 连续 ， 且 存 在 正数 使得
所用技 巧可 以被应用到其它相应 的边值 问题 ． 关键词 ： 三阶微分方程组 ； 存在性 ； 积分算 子 ； 微分不等式
文 献 标 识码 ： Ａ
Ｏ 引言
众所周知 ， 关 于三 阶非线性方程 的各种边值 问题 已取 得 很 多 的 研 究 成 果 ４ ］ ， 但 对 于 方 程 组 情形 ， 目 前 的文献并不多 引 ． 本文研究某一类三 阶非 线性 方程 组 的两点 边值 问题
第３ ４卷 第 １期 ２ ０ １ ３年 ２月
大 连 交 通 大 学 学 报
Ｊ ０ＵＲＮＡＬ Ｏ Ｆ Ｄ ＡＬ Ｉ ＡＮ Ｊ Ｉ ＡＯＴ ＯＮＧ Ｕ ＮＩ ＶＥ ＲＳ Ｉ Ｔ Ｙ
Ｖ ｏ １ ． ３ ４ Ｎｏ ． １ Ｆ ｅ ｂ ． ２ ０ １ ３
则 对任 意 的实数 Ａ 。 ， Ａ ， 当
（ ０ ）≤ Ａ ≤ （ ０ ）
时边值问题 ｕ ｉ ＝ （ ， ｕ ， ） ， ｕ ｉ （ ０ ）＝Ａ ， ｉ ＝１ ，
２有 唯一 解 Ｍ （ ｔ ） ， 且 满足 （ ｔ ）≤ ｕ （ ｔ ）≤ （ ｔ ） ，
一类高阶非线性差分方程的边值问题
其 中 Ｆ＝｛ ｈ∈ｃ ， ） ｈｌ （ ： Ｑ＝ｉ ｝ ｉ Ｑ ａ 。 ｄ ， 是 ｄ
在 ｌ为 次线 性情 况 下 ， 厂 有
定 理 ２ 假设 ＞０对 ｉ —１ ２一 ＝１ ２ ， ，… ，
的恒 等算 子．
下 面借助 引理 ｌ 明定 理 １ 证 ．
成立 ，存在 正 数 Ｌ， 且 Ｌ小 于式 （ ） ５ 中的矩 阵 Ａ 的最 小 特征 值 Ａ使 得 Ｉ ｔ ） ≤￡Ｉ ＋Ｍ， ｔ ， ， ，ｒ 且 ｆ ， ｌ Ｉ （ ＝１ ２ … ，
． ）＝ｃ．显 然 ， 是 Ｉ在 Ｒ ， （ 。 ， 上 的 一 个 临 界 点．
故存 在 正 常数 Ｒ 使 得对 任 一 ∈ｏ 有 ｊｘ） ＞ Ｑ， （
≤０ 其中 Ｑ＝（ ｎＥ ） ｛ｅ０＜ｒ Ｒ ｝这样 ， ｏ ｒ： ＜ ．
得 到引 理 １中的条 件 （ ２ ． Ｊ ） 因此 ， 有 一 个 临界 值 ． ， ｃ≥Ｏ， 中 １ ｒ其
由（ ） ， 在 正常 数 Ⅱ 知 存 和 ｎ ， 得 使
Ｆ ｔ ）＝ｌ ， ｄ ≥６ Ｉ ｌ 一 ２ （ ） （， ｔ ）ｓ ／ Ⅱ １ ｓ ， ｌ ０
因此 ，
７ ’
则边 值 问题 （ ） （ ） １ 与 ２ 至少 存一 个解 ．
注 记 １ 若 Ｓ ｔ ）＝ｂ， ：１ ２ （， ｔ ， ，… ， 此 时（ ） （ ） 解等 价于方 程 Ａ １与 ２ 的 ＝（ 。 … ， ６ ，ｂ ，
Ｆ ）＝∑ Ｆ￡ ≥ｒ∑ Ｉ Ｉ一 ａ≥ （ （ ） 上 Ｔ ， 。
ｂ 。 一 （ ） １ １
对某个 常数 ６ 成 立． 由式 （ ） ｔ（ ｉ０ 因而 ． 又 ７ 知 ｒ Ａ） ， ＞
ｂ） （ ） 与 ２ 的解．因此 ， 若 ＞ ， ＝ｌ—ｎ ２一ｎ ０ ｉ ， ，
Clifford分析中无界域上向量值函数的非线性边值问题
ｌ ｌ ，＋夕Ｊ 『 ｌ ｌＩ， ｌ Ｉ ｉ ＿Ｉ 卢 ｆ Ｂ＋ｌ ｐ ９
设Ｙ（）＝ （ｌＸ，２ ）… ， （）， ｘ ｘ ｆ（）ｆ（ ， ）Ｃ（）＝ （ｌ ） ｚ ，一 ，ｐ ） 其 中 ，ｉ ）∈ ｇ（ ， （）・ ｇ（） ９ ，（ （） （ ｇＸ Ｈ（ｆ， ，＝ １… ，） 函数向量， Ｏ２ ｉ ， ｐ是 ） 定义加法运算和乘法运算如下：
证明了其解 的存在性 ， 并给出了解 的积分表 达式．
§ 预备 知识 ２
设Ｒｎ 正 交 基 为ｅ，ｌｅ， ， 可 以构 造 一 个 实 的２ 维Ｃ ｉｏｄ 数 ， 基 由所 ＋的 ０ｅ ，２ … ｅ ． ｌ ｒ代 ｆ 其
：ｅ ｌ ｆ ａ＝ ｅ１ ・・ 和。组成．这里 ＝ ｛ ， ， ， ） ｛，，一，｝： ｅ２ －ｅｈ １ … ｈ １２・ 他 １ ２
高校应用数学学报
２ １，５２－１３１１ ００ ２ （） ６—７
Ｃｉｏｄ ｌ ｒ分析 中无 界域 上 向量 值 函数 ｆ 的非 线 性边 值 问题
谢 永 红 杨 贺 菊 ， ，
（．河北师范 大学 数学与信息科学学院，河北石 家庄 ０ ０ １ １ ５０６ ２ ．河北科技 大学 理学院数 学系， 河北石 家庄 ０ ０ １ ） ５ ０ ８
ｔ ￣ｔ ２ ￣
ｃ ａ ＝ ｓｐ １（ ｌ 日（， ，） （， ） ￣ ， ｕ ） ａ ＝ 力
ｔ力 ∈ ａ
ａ
，２ １ Ｉ ｉ ｎ 一２ ， ｔ ∈ ｌ ０ 】 ， ｔ
（． ２） ２
显然Ｈ（ｆ ） Ｏ２ 构成一个Ｂ ｎｃ￣Ｎ， ， ａａｈ ＿ 且有
＝Ｉ ｌ． Ｉ ｌ 对于，ｇ ￣ｅ ， ∈Ｈ（［ ） 易知有 Ｏ２ ， ，
非线性边值条件非线性方程的奇摄动问题
（ １ ） （ ２ ） （ ３ ） （ ４ ）
问题（ １ ． １ ） 一（ １ ． ４ ） 的退化 问题为
ｇ （ ｘ ， Ｙ ｏ ， ） ＝０ ， （ ｙ ０ （ ０ ） ， （ ０ ） ） ＝０ ，
显然如果ｒ ， ｔ 是系统
（ ５ ） （ ６ ）
ｇ ｖ （ ・ ） ｙ ２ － Ｉ － ｇ ｙ ， （ ・ ） ＋ 去 （ ・ ） ＋ ｇ ｙ ｙ ＇ （ ・ ） ｙ １ ＋ 去 （ ・ ） 。 ＝ ０ ，
ｇ ｙ ｇ ｙ ｙ ＇ （ ・ ） （ ｙ ２ ＋ ｙ １ ） ＋ ｇ ｙ ＇ ｙ ＇ （ ・ ） ＋ 去 ９ （ ・ ）
（ １ ０ ９ ０ １ １ ０ ３ ） ； 安徽高校省级 自然科学￣
（ ＫＪ ２ ０ １ １ Ａ１ ３ ５ ）
通讯作者， Ｅ － ｍａ ｉ ｌ ： ｙ ａ ｏ ｊ ｓ ０ ５ ５ ３ ＠１ ６ ３ ． ｔ ｏ ｍ
１ ７ ２
高 校 应 用 数 学 学 报
第２ ８ 卷第２ 期
的解就是（ ５ ） ． （ ６ ） 的解 首先作如下假设： 分光滑 ， 且 ， ， ， 有界． ，
（ １ ０ ）
（ ・ ・ ） ｙ ２ （ ０ ） ＋ｈ ｙ ， （ ・ ・ ） （ ０ ） ＋ ／ （ ・ ・ ） （ ０ ） ＋＾ ， （ ． ・ ） ｙ １ （ ０ ） （ ０ ） ＋ ｉ ， ， （ ． ・ ） 。 （ ０ ） ＝０ ，（ １ １ ）
（ Ｈ １ ） 函数／ （ ｘ ， Ｙ ， ） ， ｇ （ ｘ ， Ｙ ， ） ， ｐ （ ， Ｙ ， ” ） ， ｈ （ ｖ ， ｙ １ ） ， ｚ （ ｙ ， Ｙ ， ） 对各 自变量在对应区域内充
（ Ｈ ２ ） （ ， Ｙ ， ｚ ， Ｗ ， Ｅ ） ＝￡ ， （ ， Ｙ ， ｚ ） ｗ＋ｇ （ ｘ ， Ｙ ， 名 ） 是在 ＝｛ （ ， Ｙ ， Ｚ ， ） Ｊ 一１ Ｘ １ ， 一 。 。＜ Ｙ ， Ｚ ， ＜＋ ∞， ０≤￡ ￡ ０ ）上充分光滑的函数， 且在 ｌ ：｛ （ ， Ｙ ， ， 伽 ） ｌ 一１ ０ ， 一 ∞ ＜ Ｙ ， Ｚ ， Ｗ ＜＋ ∞， ０ Ｅ ￡ ０ ）上关于Ｙ 递减， 在 ＝ ｛ （ ， Ｙ ， Ｚ ， 叫 ） ｌ ０ １ ， 一 Ｏ ０＜Ｙ ， ， Ｗ＜ ＋∞， ０ Ｅ Ｃ Ｏ １上关于Ｙ 递增， 其中Ｅ Ｏ 是正常数 ． （ Ｈ ３ ） 存在正常数ｆ １ Ｌ （ Ｌ ６ ｔ ） ， 使得Ｌ ｇ ￣ （ ｘ ， Ｙ ， ｚ ） ｆ Ｉ ； ｇ ｚ ｘ ， Ｙ ， 名 ） Ｌ＞０ ． （ Ｈ ４ ） 存在正常数 １ ， ｋ ２ ， ｋ ３ ， 使得 ＜ ０ ， Ｐ ， ， ＞０ Ｊ ｔ ｐ 一Ｐ ， ｋ ｌ ； ｈ ， ｋ ２ ； ＜０ ， ， ， ＞
非线性常微分方程边值问题的有限解析法
非线性常微分方程边值问题的有限解析法本文讨论了非线性常微分方程边值问题的有限解析法，涵盖了它的基本概念、性质、原理和应用。
具体来说，本文回顾了非线性常微分方程的基本概念，包括概念的定义、特征性质、基本求解法以及典型应用等。
接着介绍了非线性常微分方程边值问题的研究内容，然后论述了有限解析法在处理非线性常微分方程边值问题中的重要作用，说明了该方法的几个主要步骤，以及其优缺点。
本文最后介绍了有限解析法在实际应用中的重要性，并且简要介绍了几个应用实例，如模式识别、控制理论和数值分析等。
非线性常微分方程是一种在非线性数学中的基本类型，它的应用遍布整个社会。
它可以用来描述许多现象，如流体动力学、拓扑动力学、结构动力学、电磁学、化学反应动力学和物理现象的变化等。
它的解可以表示为一类函数，可以用来描述物理系统的稳定性和可靠性，以及控制系统的行为。
在应用上，求解非线性常微分方程是有一定难度的，常见的数学方法有全局线性化，有限差分方法，格式化数值方法，变分法，非线性谱法，局部定性分析等。
其中，有限解析法在求解非线性常微分方程边值问题中具有重要作用。
有限解析法是一种可以寻找非线性微分方程边界值问题定式解的数值方法。
它是一种能够给出定式解的方法，可以从边界非线性微分方程中求解定式解，从而可以给出解析解。
其基本原理是通过将非线性常微分方程转变为一组线性方程组。
然后可以将其转化为标准的线性方程组求解。
有限解析法对应用也非常重要，它可以用来处理模式识别、控制理论和数值分析等一些比较典型的应用领域。
如在模式识别中，有限解析法可以用来识别动态非线性系统，有助于准确捕捉不同输入状态下系统的行为特性；在控制理论中，有限解析法可帮助我们理解系统中存在的非线性元件带来的特性，并可以更好地控制系统的行为；在数值分析中，有限解析法可以用来处理一些复杂的非线性微分方程，如常微分方程组，能够精确求解出解析解，具有较强的精度。
本文就非线性常微分方程边值问题的有限解析法作了全面的综述，说明了这种方法的特点、原理及应用，并指出它在处理非线性问题中的重要性。
非线性常微分方程边值问题的有限解析法
非线性常微分方程边值问题的有限解析法非线性常微分方程边值问题（NonlinearOrdinaryDifferentialEquationBoundaryValueProblem，简称BVP）是系统动力学，数学物理，流体动力学及控制等多个学科中的重要问题。
自20世纪60年代以来，BVP的研究得到了迅猛的发展，研究的解析方法从精确解析方法到近似解析方法，再到近似解法及混合解法，主要包括：有限元法，采用多项式进行有限差分法，多项式拟合法，幂级数法，变分法，迭代法等。
比较近些年，有限解析法受到越来越多的关注，这项研究不仅有助于深入了解BVP的数学本质，还可以指导现实问题的解决。
有限解析法是一种以数学分析的方法求解BVP边界值问题的方法，主要是利用多项式函数近似解，或是采用多项式多项式拟合法进行离散，最后得出精确的解析解。
这种方法被广泛应用于边界值问题的解决，其优势在于不需要迭代求解，即使求解过程复杂，有限解析法仍能得到快速而准确的结果。
二、原理有限解析法的原理是：将BVP边界值问题转换为一个多项式拟合的问题，首先以离散化的方式将非线性常微分方程边值问题转换为一个线性方程组，然后再用多项式函数近似求解有限结点方程组，并通过一组特定的约束条件使多项式函数唯一确定，最终得出有限的解析解。
三、实例下面以一个实例来说明有限解析法的用法。
假设给定一个BVP如下：y + 3y - 2y = x， y(0)=1， y(1)=5此非线性常微分方程边值问题的解析解可以用有限解析法来解决。
首先，以离散化的形式转换为线性方程组，把解区间[0, 1]选择为 N等分，即为xi=i/N，i=0,1,2…N-1，在节点处yi=yi(xi)。
由于边界已知，所以将节点拆分为 N+1个即yi(0)=1，yi(1)=5，那么有限元可以确定y0,y1,y2…yN-1的值，一共N组值。
现在构造N组多项式拟合，即有yi = a0 + a1xi + a2xi2 + +aN-1xiN-1,i=0,1,2…N-1，将构造出的多项式代入原问题，将原问题转移到下面N组线性方程系：(1) a0 + a1(0) + a2(0)2 + +aN-1(0)N-1 = 1；(2) a0 + a1(1/N) + a2(1/N)2 + +aN-1(1/N)N-1 = f(1/N)；(3) a0 + a1(2/N) + a2(2/N)2 + +aN-1(2/N)N-1 = f(2/N)；…………(N) a0 + a1(N-1/N) + a2(N-1/N)2 + +aN-1(N-1/N)N-1 =f(N-1/N)；最后求解上述N组线性方程组的唯一解，即可得出yi的值，从而得出有限的解析解。
常微分方程的奇点与边值问题
常微分方程的奇点与边值问题常微分方程是数学中的重要分支，它研究的是描述自然现象的数学方程，如牛顿定律、热传导方程等。
这些方程通常包含未知函数及其导数，所以被称为常微分方程。
它们广泛应用于物理、工程、生物学、经济学等领域中的问题，具有很高的实用价值。
本文将介绍常微分方程中的奇点和边值问题，并探讨其在实际应用中的重要性。
一、奇点奇点是指常微分方程函数在某一点上其解变得不唯一或不能解析的点。
在正常情况下，微分方程的解应该是唯一的，并且在各个点上应该具有良好的解析性质。
但是有些情况下，函数会出现奇点，解变得不可解析，不同解之间也不再唯一。
奇点通常有两种类型：可去奇点和本质奇点。
可去奇点是指函数在该点上的不连续性可以被消除。
例如，当函数在某一点上的值为无穷大时，我们可以用极限的方法来消除该奇点。
但是本质奇点是无法消除的，它是函数固有的性质，例如在某一点上的导数不存在或者无界（趋向于无穷大或负无穷大）。
奇点的存在和性质对于常微分方程的解的形式和性质有着重要的影响。
例如，可以证明当微分方程的解在某个点上具有本质奇点时，解无法延拓到该点的某个领域内，因此在分析解的性质时应该注意奇点的存在。
二、边值问题在研究某些物理或工程问题时，我们可能需要求出微分方程在某个区间上的解，而且在区间的两个端点上需要满足一定的限制条件，这就是边值问题。
对于线性常微分方程，边值问题可以表示为：$$\begin{cases}y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=f(x) & (a<x<b) \\y(a)=\alpha, y(b)=\beta\end{cases}$$其中$p(x)$和$q(x)$是区间$[a,b]$上的已知函数，$f(x)$是右侧的已知函数，$\alpha$和$\beta$是区间两端点的给定值。
边值问题可以进一步分类为两类：线性边界值问题和非线性边界值问题。
前者是指微分方程是线性的，后者是指微分方程是非线性的。
三阶非线性两点边值问题解的存在性
Ｇ ｛－， ｃ 一 ｏ 一（ ０ ｔｓ １）
具 有性质
１２ ’ ｃ
法获 得 了其正 解 的存在 性结 果 ， 文［］ 而 文 Ｅ］ 见 ３． ４
作 者 在非线 性项 厂满足条 件
（ ） ｆ ｔ ） ｆ ｔＵ ）≥ 一 Ｍ （ ２ Ｈ （， 一 （ ，１ ２ ｕ 一 １ ， ）
（ ｉ ｔｓ＞ ｏ Ｖ￡ｓ Ｏ １ ； ）Ｇ（，） ， ，Ｅ［ ，］ ｔ
首 先 ， 们 给 出上 下解 的定义 ． 我 ’
ｒ （ ＋ （ ≥ ∈［， ， ４ ￡ ￡ ） ） ｏ］ ） １ （
Ｉ （ ）一 ０ ｖ １ 口０ ， （ ）一 ０ ， 显然 ， 证 （） ｏ 只需 证 （） ｏ即可 ． 一 要 ￡＞ ， １ ￡＞ １ 令
（） ￡＋ＭＴ （） （） 则 ＾ ￡∈Ｃ ［ ，］为 了证 ｖ ｔ一＾ ， （） ＋ Ｏ １．
Ｉ Ｏ （ ）一 ０ ０ （ ）＝ １ ， Ｕ ０ （ ）一 ０ ， Ｕ ， 则
其中０ ＜Ｍ￣２为 常数 ， ， 介 于上 下解 之 间 ， 。 利 用上 下 解方法 获 得 了解 的 存 在 性 结 果． 文 的 目 本
的是 放宽 文［ ］ ４ 中条 件 （ 对 于 常 数 Ｍ 的 限 制 ， Ｈ） 通过 新建 立 的极 大 值 原理 ， 利 用 上 下 解 的单 调 并
（ ）Ｇ（ ， Ｇ（ ，） Ｇ（ ，） Ｇ（ ，） Ｖｔ ｓ ｉ ｉ ｆ￡ ｓ ｓ ≤ ） ｔｓ ≤ ｓ ｓ ， ，
∈［ ，］ Ｏ１ ．
Ｖｔ ［ ，］ “ ≥ １ ∈ Ｏ １ ，２ ，
下 面我们 建立 三 阶微分 方程 的极 大值原 理
引理 ２ 设 Ｏ Ｍ≤ ３为 常 数 ， （） ３ Ｏ ≤ ｔ ￡ ∈Ｃ ［ ， ‘ １， ］ 若 （） 足 ￡满
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练习题目：关于非线性边值问题方面的相关文献
1．分析检索概念，拟定检索策略：
1）分析检索概念
本课题的主要概念为“非线性”“边值”“问题”,对应的英语单词为:
非线性：nonlinear,non-linear relationship,
边值:boundary value，boundary conditions
问题: problem*, mining
2）拟定检索策略
(nonlinear OR non-linear relationship) and (boundary value OR boundary conditions ) and （problem* OR mining）
2．快速检索界面检索过程和得到的检索结果
nonlinear OR non-linear relationship Subject/title/abstract
AND boundary value OR boundary conditions Subject/title/abstract
AND problem* OR mining Subject/title/abstract
检索选项设置取默认状态，以上策略结果为12649篇
12649 records in Compendex for 1969-2012Save Search - Create Alert
((((nonlinear OR non-linear relationship) WN KY) AND ((boundary value OR boundary conditions) WN KY)) AND ((problem* OR mining) WN KY))
因为检索结果篇数过多，利用检索结果限制选项，将文献类型限制为只检索期刊论文(Journal article)，文献性质限制为实验性质的论文(Experimental)，语言限制为英语(English)，年份限制为2007年。
系统给出的检索策略和结果篇数分别为：
50 records in Compendex for 2007-2007Save Search - Create Alert -
((((nonlinear OR non-linear relationship) WN KY) AND ((boundary value OR boundary conditions) WN KY)) AND ((problem* OR mining) WN KY)), Journal article only, Experimental only, English only
3. 专家检索界面检索过程和得到的检索结果
考虑到上步检索所得文献篇数偏多，专家检索界面除继续使用年份限制外，还使用near 算符，以作进一步限制。
调整后的检索策略为：
1）(nonlinear onear boundary value onear problem*) wn ti
得到的检索结果篇数为：26 records in Compendex for 2007-2007
(nonlinear onear boundary value onear problem*) wn ti
注意：下面的检索式是错误的！！
（(nonlinear or non-linear relationship) onear boundary value onear problem*）wn ti
优先算符和位置算符联用所致
选取其中第一篇切题文献的题录信息如下：
Existence and nonexistence of solutions of second-order nonlinear boundary value problems
Kong, Qingkai(Department of Mathematics, Northern Illinois University, DeKalb, IL 60115, United S tates) Source:Nonlinear Analysis, Theory, Methods and Applications, v 66, n 11, p 2635-2651, June 1, 20072）扩展检索范围：
((nonlinear or non-linear relationship) and （boundary value OR boundary conditions）and（problem* OR mining )wn ti
得到的检索结果篇数为：2307 r ecords in Compendex for 2007-2007
((nonlinear or non-linear relationship) and （boundary value OR boundary conditions）and （problem* OR mining )wn ti。