具有吸附和非线性边值条件的p-laplace方程
变指数Sobolev空间在椭圆型微分方程中的应用
变指数Sobolev空间在椭圆型微分方程中的应用随着自然科学和工程技术中许多非线性问题的不断出现, Sobolev空间表现出了其应用范围的局限性.例如,对一类具有变指数增长性条件的非线性问题的研究.具有变指数增长性条件的非线性问题是一个新兴的研究课题.在对这类非线性问题进行研究时,变指数Lebesgue空间及Sobolev空间发挥着重要的作用.在本文中,我们主要以变指数Sobolev空间W1,p(x)(?)为背景,研究了一类具变分结构的椭圆型p(x)-Laplace方程(组)及半变分不等式,其中? ? RN.由于指数p(x)为函数, p(x)-Laplace算子较之p-Laplace具有更为复杂的非线性性.例如, p(x)-Laplace算子是非齐次的.这就使得在常指数情形下使用的研究方法对于变指数情形不再适用.在本文中,我们先在较为宽松的增长条件下对能量泛函的性质进行了讨论,然后结合变分的方法研究了此类p(x)-Laplace非线性问题的解.本文的主要内容如下:1.对一类具有次临界增长阶的p(x)-Laplace方程弱解的研究.首先,我们通过求与p(x)-Laplace方程相关的能量泛函φ的全球极小值点,得到了φ的一个非平凡临界点u0∈W1,p(x)(RN),从而得到了方程在RN上非平凡弱解的存在性.然后,基于一类对称的山路定理,我们得到了泛函φ的一列能量值趋于无穷的临界点{un} ? W1,p(x)(RN),进而得到了方程在RN上弱解的多重性.最后,通过上下解的方法,我们在有界域?上得到了方程弱解的一个分支结果.2.对一类具有次临界增长阶的p(x)-Laplace方程组弱解的研究.我们主要基于一类强不定泛函的临界点定理,得到了与方程组相关的能量泛函I的一列能量值趋于无穷的临界点{(un, vn)} ? W01 ,p(x)(?)×W01 ,p(x)(?),进而得到了此方程组Dirichlet边值问题在有界域?上弱解的多重性.3.对一类具有临界指数的p(x)-Laplace方程弱解的研究.首先,推广了Sobolev空间上的一类集中紧致性原理,我们在变指数Sobolev空间W1,p(x)(RN)上建立了集中紧致性原理.然后基于此集中紧致性原理,并结合对称的山路定理,我们得到了泛函φ的一列径向对称且能量值趋于无穷的临界点{un} ? W1,p(x)(RN),从而得到了方程在RN上弱解的多重性.4.对一类具有次临界增长阶的p(x)-Laplace半变分不等式的研究.在这部分中,主要基于一类不可微泛函的临界点理论,我们对与半变分问题相关的局部Lipschitz连续泛函φ的临界点进行了研究.进而分别在?为RN的有界及无界域的情况下,证明了此不等式至少有一个非平凡的解u0∈W01 ,p(x)(?).本文所得的结论是相应的p-Laplace问题结论的推广.另外,从本文结论的证明过程中,我们也可以看出具变指数增长性条件的非线性问题与常指数情况的不同.。
p-Laplace方程解的存在性
硕士学位论文（高校教师）p-Laplace方程解的存在性 )(xEXISTENCE OF SOLUTIONS OF )p-LAPLACE EQUATION(x房维维哈尔滨工业大学2009年6月中图分类号:O175.2 学校代码：10213 UDC：517.9 密级：公开理学硕士学位论文（高校教师）(xp-Laplace方程解的存在性)硕士研究生: 房维维导 师: 付永强教授申 请 学 位: 理学硕士学 科: 基础数学所 在 单 位: 哈尔滨师范大学阿城学院答 辩 日 期: 2009年6月授予学位单位: 哈尔滨工业大学Classified Index: O175.2U.D.C: 517.9Dissertation for the Master Degree in ScienceEXISTENCE OF SOLUTIONS OFp-LAPLACE EQUATION(x)Candidate:Weiwei FangSupervisor:Prof. Yongqiang FuAcademic Degree Applied for:Master of ScienceSpecialty:Fundamental Mathematics Affiliation: Harbin Normal University AchengCollegeDate of Defence:June, 2009Degree-Conferring-Institution:Harbin Institute of Technology摘要对非标准增长条件的-Laplace 方程问题的研究是近年来发展起来的一个新的研究课题。
由于Laplace 方程和)(x p p -Laplace 方程的研究方法已经不再适用于-Laplace 方程， 所以目前对-Laplace 方程的研究只有很少的成果出现， 因此对这类问题的研究具有广泛的理论与实际意义。
对-Laplace 方程的研究， 有很多不同的方法。
一类p(x)-Laplace方程正解的存在性
一类p(x)-Laplace方程正解的存在性
张启虎
【期刊名称】《兰州大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2006(042)001
【摘要】考虑方程{-△p(x)u=f(u),u-0 x∈Ω,x∈aΩ正解的存在性,这里-△p(x)u=-div(|△u|p(x)-2△u),p(x)∈C1(RN)是径向对称的,Ω=B(0,R)∩ RN是有界径向对称区域,其中R是充分大的正数.当u→+∞lim f(u)up--1=0时,证明了方程正解的存在性,而且未对f(0)的符号做任何限制.
【总页数】3页(P89-91)
【作者】张启虎
【作者单位】徐州师范大学数学系,江苏,徐州,221116
【正文语种】中文
【中图分类】O175
【相关文献】
1.一类带有梯度的p(x)-Laplace方程正解的存在性 [J], 赵凯芳;刘辉昭;丁纺
2.一类带临界非线性项的p-Laplace方程正解的存在性 [J], 李新英;罗蔚;周树清
3.一类具有非线性边界条件的发展型p-Laplace 方程组正解的爆破性及整体存在性 [J], 吴学凇;高文杰
4.一类一维奇异p-Laplace方程组边值问题正解的存在性 [J], 王芳;钟承奎;王彩勋
5.一类分数阶p-Laplace方程积分三点边值问题正解的存在性 [J], 汤小松;罗节英
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拉普拉斯(Laplace)方程
+
∂2u ∂y2
=
−
F
(x, T
y)
.
(1.15)
(1.15)式就是二维的Poisson方程。 类似地，从第四章的讨论中，我们也可以看到当研究稳定状态的热传导问题时，也
会导致Poisson方程。特别地，在没有热源的情：复变函数论中的解析函数 由复变函数理论知，一个解析函数的实部和虚部分别满足二维的Laplace方程。
数 ，f (x1, · · · , xn)是 一 给 定 的 已 知 函 数 。 它 们 具 有 广 泛 的 应 用 背 景 。 下 面 我 们
以n = 2, 3为例，讨论方程的导出以及定解条件的提法。
1.1 方程的导出
本小节我们讨论Laplace方程和Poisson方程的应用背景及方程的导出。
实例一：静电场的电势
(1.13)
实例三：膜平衡方程 在第三章中我们研究了膜的振动方程
ρ
∂2u ∂t2
=
T
∂2u ∂x2
+
∂2u ∂y2
+ F (t, x, y).
(1.14)
特别地，当研究在不随时间而变换的外力F (x, y)作用下的膜的平衡问题时，膜的位移 函数u和时间t无关，此时方程(1.14) 可化为膜平衡方程
∂2u ∂x2
u|∂Ω = g.
(1.16)
边界条件(1.16)称为:第::一:::类:::边::界:::条:::件::，也称为:D::ir:i:c:h::le:t:边:::界:::条::件:: 。 第二边值问题(也称为Neumann问题) 设有一光滑的闭曲面Γ并在其上给一连续函
数g，求解这样的一个函数u = u(x1, · · · , xn)使得它在Γ 所围成的区域Ω的内部满足方
一类p—laplace方程边值问题解的存在性
一类p—laplace方程边值问题解的存在性理解一类p-Laplace方程边值问题解的存在性：1. p—Laplace方程简介p—Laplace方程是一种常见的椭圆型偏微分方程，它在空间变换、热传导中也有广泛的应用。
它的解由p—Laplace方程决定：∂u/∂x+∂v/∂y=u^(p-2)f，其中p是大于等于1的任意常数，u，v是满足边界条件的函数，x，y是定义域内的坐标，f是常函数。
2. 一类p—Laplace方程边值问题的存在性一类p—Laplace方程的边值问题的存在性取决于其常数p的大小。
如果p大于1，那么该方程有唯一解；如果p小于1，那么该方程可能有无穷多解；如果p=1，则该方程常有唯一解，又有可能出现无穷多解。
3. p—Laplace方程边值问题解的存在性判定判定一类p—Laplace方程边值问题解的存在性，要仔细检查边界条件是否符合两个条件：（1）任意的边界函数都必须满足给定边界条件；（2）边界条件必须对所有满足方程组调和函数，如成反馈函数、空间变换函数等来施加有效制约。
缺一不可，边值问题解才能有存在性。
4. p＞1时一类p—Laplace方程边值问题解的存在性当p大于1时，p—Laplace方程边值问题解有唯一解。
这是因为二阶偏微分方程组只能有一个解， p大于1时，椭圆型经ene变换可以转化为二阶偏微分方程组，根据拓扑的余定理，二阶偏微分方程组必有唯一解，故这时候方程解有存在性。
5. p＜1时一类p-Laplace方程边值问题解的存在性当p小于1时，p—Laplace方程边值问题解可能有无穷多解。
这是因为当p＜1时，椭圆型经ene变换不能转化为二阶偏微分方程组，根据拓扑的余定理，任一条件的任何解，如满足给定的边界条件，都是经en变换回解法所得，因此这种情况下该方程解有无穷多解的存在性。
6. p=1时一类p—Laplace方程边值问题解的存在性当p等于1时，p—Laplace方程边值问题解存在性有两种情形：（1）如果边界条件符合两个条件（前面讲到），有唯一解；（2）另一种情形是，如果边界条件不完全符合两个条件，则可能出现无穷多解。
共振情形下四阶P—Laplace方程四点边值问题
续 映射 ，如 果 ｄｍｋｒ ｉ ｅＬ： ｄｍ（／ｍＬ ｉ Ｙ Ｉ ）＜ 十。， Ｉ 。 且 ｍＬ为 ｙ 中的 闭集 ，则 称 是指 标 为零
收 稿 日期 ： ０ ８０ —３ 修 订 １ ： ０ ９１ —４ ２ ０ ９２ ； ３期 ２ ０ —２２
， ㈣ ● ｌ ＋ 现 ，㈤
所 以存在 ｔ ０ １， ｌ∈【 】使得 ， ｆｔ， ｌ １， （ ） （２ １） ＝０ （ Ｘ （ ） ￡ ， （ ）） ， ｌ ｔ １ ｑ
摘要：该文讨论 了共振情 形下四阶 ｐＬ ｐａ ｅ方程四点边值 问题 － ａ ｌｃ
（ （ ｔ） ｐｕ （ ） ， ｔ乱 ｔ， ）ｕｉｔ） ０＜ｔ＜ １ ） ＝ （， （）Ｕ ， ｉ ）， （ ，
ｕｏ ＝０ （） Ⅱ∈， ０ ： ０ ｕ＇ ） ｂ 叩， （） ， １ ：ｎ （） ｕ （） ， ｔ１ ＝ ｕ （） （
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即， ∈Ｉ ｍＬ和 ｙ ＝Ｉ Ｌ＋Ｒ ． ｍ 另外， Ｉ 。 ０， ｍＬｎＲ ＝｛） 从而 ｙ＝Ｉ ２ 这就意味着 ｍＬ０Ｒ ．
ｄｍＫ ｒ ｉ ｅＬ＝ ｃｄｍＩ ｏ ｉ ｍＬ＜＋∞， 以 是一 个是 指标 为零 的 Ｆ ｅ ｈ ｌ 算 子 ．另一方面 ，记 所 ｒｄ ｏ ｍ 为 ＬＩ。 ｎ。 Ｌ的逆 ，则 Ｋ ｄ Ｐ
一
㈡，
㈤． ， ， ）
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其 中 ｄ ｍＬ＝ ｛ ｏ ∈Ｃ。 ，］ Ｃ ［，】 Ｘ （） ，１１ ＝ ０ １∈， （） ， （） ｂ～ｘ （）； 【 １ｘ １： ｌ０ ＝０Ｘ（） （） ０ ＝０ １ ＝ ｖ １２叩｝ ０ ０ ２ ２
一个粘性非线性源的p-Laplace发展方程弱解的唯一性
（ ４ ）
， 或者是包括热力学温度 ０＝“一ｋ
△“ 和传导 温度 “ 内的热传 导模 型 】方程 （） 在 ． ４ 已被广 泛研究 ， 关于解 的存 在性 、 唯一性 、 正则性及 其它特殊性 质等方 面取
Ｂ Ｄ． ｏｅ ａ ， Ｊ１ ｌ ． Ｃ ｌｍ ｎ Ｒ．． ￣ｔ ３ ｎ和 Ｖ ＪＭｉ ［ 研究 了关 于不稳定 的简单 断裂流体 （ｈａｉｇｆ ｗ 的一种特殊 运动状态 ， 出 了 ．． ｌｌ ３ ｓｅｒ ｌ ） ｎ ｏ 导
Ｈ Ｏ Ｉ ａ ｎ＝ ，
（ １ ）
（） ２
Ｈ ， ） ｏ ） ∈ｎ， （ Ｏ ＝ｕ （ ，
．
（） ３
其 中 ｌ ＣＲ ＂ 为有 界域 ，ｏ ） ｔ Ｕ （ 为初值 函数 ， ＞Ｏ为粘性 系数． １ 中的项 ｋ＿ 衣小 ． ｔ 因子或粘性 因此 ， ｋ （） ａ ｋ ￣伯 比松 驰 ／ｕ 称方 程 （ ） １ 为
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第 ２ 卷第 ２ ２ 期
２０ ０ ７年 ６月
柳
州
师
专
学
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Ｖ １２ ｏ ２ ０． ２ Ｎ ．
Ｊ ｕ ａ ｆＬ ｕ ｈ ｕ Ｔ ａ ｈ ｒ ｏｌｇ ｏ ｒ ｌｏ ｉｚ ｏ ｅ ｃ ｅｓＣ ｌ ｅ ｎ ｅ
Ｊｎ ｏ ７ ｕ ｅ２ ０
一
个粘性 非线性源 的 ｐＬｐ ｃ 发展 方程 弱解 的唯一性 －ａｌ ｅ ａ
郭 金 勇
非线性拟合表面张力等温线与表面吸附等温线
溶液的表面张力目的：测定正丁醇的表面张力。
理论：表面张力源于分子间的作用力，可定义为σ ＝ ⎝⎛⎭⎫∂G∂A T ，p。
表面张力的测定常用最大泡压法，其原理可如下公式表示πr 2Δp max ＝ 2πr σσ ＝ r 2Δp max ＝ r2ρg Δh max最大泡压法的优点是装置简单、不需要测定接触角。
表面张力与温度、压力及溶液浓度有关。
恒定温度下的表面张力与溶液浓度的关系称为表面张力等温线。
表面张力等温线可分为三类：溶质加入使溶液表面张力缓慢线性增加（I 类）或使表面张力非线性下降（II 、III 类，称为表面活性物质或表面活性剂）。
溶液-空气界面是极性不对称界面，空气是非极性介质，而水溶液是极性介质，因此对与具有不对称结构（有极性头和非极性长链构成）表面活性物质而言，溶液-空气界面是最合适的存身之所。
大量表面活性物质在表面的富集造成所谓的表面吸附现象（即表面浓度与本体浓度不一致）。
表面吸附量是温度和浓度的函数，温度一定时吸附量与浓度关系称为表面吸附等温线。
表面吸附等温线可用Gibbs 吸附公式Г ＝ －c RT ⎝⎛⎭⎫∂σ∂c T描述。
通过测定表面张力，绘制出表面张力等温线，再用镜面法做出表面张力等温线上给定点的切线，代入Gibbs 表面吸附公式后，计算出各点的表面吸附量，连接不同浓度时对应的吸附量即得表面吸附等温线。
步骤：①清洁试管和毛细管。
调节水浴。
②测定水的高度差。
③测定不同浓度时溶液的高度差。
计算:①计算298 K 时水的表面张力。
②绘制溶液的表面张力等温线。
③绘制表面吸附等温线。
参考实验数据：c /()mol•dm -3 0 0.006250.01250.0250.050.10.2 Δp max /cmH 2O 6.2 5.87 5.73 5.17 4.17 3.8 2.77参考数据处理：因为σ ＝ K Δp max ，所以K＝σΔp max ＝σH 2O Δp max ，c ＝0＝ 0.072 N/m 6.2 cm ＝ 1.16 N/m 2 σГc/()mol•dm-30 0.006250.01250.025 0.05 0.1 0.2 σ/()N•m-10.07198 0.068150.066530.060020.048410.04412 0.03216 用σ-c非线性拟合作图：非线性拟合的步骤：Гmol•m-2cmol•dm-3σ/()N•m-1c/()mol•dm-3点击Action-Fit，输入初始参数点击1 Iter，或10 Iter，直至P1、P2、P3不变为止σ/（m o l ·m -2）c /（mol ·dm -3）σ/(N •m -1)复制数据到数据表中，用Gibbs吸附公式计算出吸附量Γ/（m o l ·m -2）c /（mol ·dm -3）。
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具有吸附和非线性边值条件的p-laplace方程
来描述
p-Laplace方程是一个有趣而有用的数学方程，它提供了一种解决不同类型问题的通用方法。
p-Laplace方程通常应用于小波和数据降维应用，也可用于解决具有吸附和非线性边
值条件的问题。
p-Laplace方程的数学表达式是u_p (x) = div (P)，其中P是微分向量积分变量，P(x) =
|∇u(x)|^p-2 ∇u(x)。
p-Laplace方程的好处在于它包含了一个可调的参数p，这可以用来控
制边界条件的形式和不同的实现情况。
上述的p-Laplace方程也可以用来表达不同种类的方程，例如非线性边值问题和吸附问题。
例如，对于一个具有非线性边值条件的多元方程组，我们可以利用p-Laplace方程来解决：u_p [x] = div (P (x))，其中P (x) = |∇u(x)|^p-2 ∇u(x)，∇u(x)表示梯度算子，这样就可以利
用具有不同边界条件的p-Laplace方程来求解。
此外，p-Laplace方程还可以用于解决吸附方程。
在这种情况下，p-Laplace方程的一般形
式可以写成：|∇u(x)|^p-2 ∇u(x) = |f(x)|^p，其中f (x)代表吸附系数。
这个方程可以帮助我们求解复杂的吸附问题，例如是否存在可以克服吸附的有效解决方案。
总而言之，p-Laplace方程是一个有趣而强大的数学方程，它可以用于处理不同类型的问题，特别适用于具有吸附和非线性边值条件的问题。
它可以帮助我们更好地理解问题，并得出有效解决方案。