非线性分数阶微分方程耦合系统三点边值问题解的存在性

非线性分数阶微分方程耦合系统三点边值问题解的存在性姜小霞;欧阳自根;彭湘凌【摘要】讨论了非线性分数阶微分方程耦合系统的三点边值问题，利用Green函数的性质，将其转化为等价的积分方程耦合系统，应用Schauder不动点定理得到解的存在的充分条件。

%In this paper,we study the three-point boundary value problem to a coupled system of nonlinear fractional differential equations. By the means of the Green’s function,the system can be reduced to the equivalent integral equation. Then we obtain some sufficient conditions for the existence of the solutions for the system by using the Schauder fixed-point theorem.【期刊名称】《南华大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(000)001【总页数】6页(P94-99)【关键词】耦合系统;边值问题;Riemann-Liouville分数阶导数;Schauder不动点定理【作者】姜小霞;欧阳自根;彭湘凌【作者单位】南华大学数理学院，湖南衡阳421001;南华大学数理学院，湖南衡阳421001;南华大学数理学院，湖南衡阳421001【正文语种】中文【中图分类】O175key words：coupled system;boundary value problem;Riemann-Liouville fractional derivative;Schauder fixed-point theorem近几十年来，分数阶微分方程在物理、机械、化学、工程等学科的应用越来越广泛，许多学者对分数阶微分方程进行了研究[1-6]，还有些学者对分数阶微分方程耦合系统进行了研究[7-11].例如Su[9]研究了以下分数阶微分方程耦合系统两点边值问题其中是Caputo型分数阶导数，f,g:[0,1]×R→R是连续函数，作者应用Schauder不动点定理证明了其解的存在性.在本文中，将对下面一类非线性分数阶微分方程耦合系统三点边值问题解的存在性进行研究其中1<αi<2,i=1,2,p,q,γ>0,0<η<1,α1-q≥1,α2-p≥1,γηαi-1<1,D是标准的Riemann-Liouville分数阶导数，且f,g:[0,1]×R×R→R是连续函数.利用Green函数的性质和Schauder不动点定理，得到分数阶微分方程耦合系统(1)～(2)解存在的充分条件.令I=[0,1],C(I)表示为定义在I上的所有连续函数所构成的集合，并令，则X为Banach空间，其中范数定义为为Banach空间，其范数为，这里0<p,q<1，那么(X×Y,‖·‖X×Y)也是Banach空间，且范数为‖(x,y)‖X×Y=max{‖x‖X,‖y‖Y}.由此容易得到对于任意αi>1,若x(t)∈X，则tα1-1x(t)∈X，若y(t)∈Y，则tα2-1y(t)∈Y.定义1[1,10] 函数f:(0,)→R的α>0阶Riemann-Liouville分数阶积分为其中Γ(α)为Gamma函数，右端在R+上逐点有定义.定义2[1,10] 连续函数f:(0,)→R的α阶Riemann-Liouville分数阶导数为其中α>0，n=[α]+1，Γ(α)为Gamma函数，右端在R+上逐点有定义.由定义2，有引理3[1,5] 令α>0，如果u∈C(0,1)∩L(0,1)，那么分数阶微分方程有一个解为u(t)=c1tα-1+c2tα-2+…+cNtα-N,ci∈R,i=1,2,…,N,N为大于或等于α的最小整数引理4[1,5] 假设u∈C(0,1)∩L(0,1)，且分数阶导数α>0，那么IαDαu(t)=u(t)+c1tα-1+c2tα-2+…+cNtα-N,ci∈R,i=1,2,…,N,N为大于或等于α的最小整数定理5(Schauder不动点定理)[12] 设P是E中有界凸闭集，T:P→P全连续，则T在P中必具有不动点.在本文中，假设f(t,x,y)，g(t,x,y)满足下列条件：(H1)f(t,x,y)，g(t,x,y)∈C(I×R×R,R)，f(t,x,y)，g(t,x,y)都是关于x和y的连续函数，且f(t,x,y)，g(t,x,y)对t∈I是可测的.(H2)f(t,x,y)，g(t,x,y)都是关于x和y的单调不减函数，存在非负函数a(t)，b(t)，c(t)，d(t)∈L(0,1)，使得其中p1,p2,q1,q2≥0，p1+p2<1，q1+q2<1.为方便起见，引入以下记号：，，，，，s.此外给出一些本文需要用到的引理.引理6[10] 问题(1)～(2)等价于以下列积分方程其中令那么问题(1)～(2)等价于下列积分方程记那么因此，只需研究积分方程(12)解的存在性.引理7 对任意是连续函数，且.证明下面只证明(t,s)>0，其他证明是相类似的，这里就不重复证明.很容易得到当max{t,η}<s≤1时，；当t<s≤η时，；当；当0≤s≤min{t,η}<1时，有于是.由式(8)～式(9)，容易得到引理对变量t∈(0,1)是单调不增的函数，当s≤t≤1时，；当0≤t≤s时，.即对任意的t∈(0,1)，有.由引理8，有下面令其中那么‖u(t)‖X≤r,‖v(t)‖Y≤r,也就意味着定义K上的算子T：Tw(t)=(T1v(t),T2u(t)),其中下面给出本文的主要结论和证明.定理9 若条件(H1)，(H2)成立，则问题(1)～(2)有一个解.证明证明算子T:K→K是一个完全连续算子. 第一步，证明算子T:K→K.ds于是同理，容易得到‖T2u(t)‖Y≤ν+Λ2rq1+q2≤r，因此‖Tw(t)‖X×Y≤r.第二步，证明算子T是连续算子.令wn(t)=(un(t),vn(t))是K中的序列，且满足，对t∈[0,1]，有tα1-1un(t)，tα1-1u(t)∈X，tα2-1vn(t)，tα2-1v(t)∈Y，因为f(t,x,y)，g(t,x,y)对于x和y都是连续函数，Gi(t,s)对于s∈[0,1]是一致连续的且满足因此，对任意的ε>0，t∈I，存在正整数N1，当n>N1时，有由式(16)～式(17)，有又因为T1vn(t)，T1v(t)∈X，于是对于上述ε，存在N2>0，当n>N2时，有由式(20)～式(22)有取N=max{N1,N2}，结合式(19)和式(23)，对于上述ε，当n>N，有即用同样的方式可得到结合上述两式，有所以T是K上的连续算子.最后，证明T是等度连续的.只需证明对于任意w(t)∈K，和任意的0<t1<t2<1，当t1→t2时，有Tw(t1)→Tw(t2)即可.接下来分以下三种情况来考虑：1)0<t1<t2<η；2)0<t1<η<t2；3)0<η<t1<t2.下面只对1)进行证明，2)和3)证明与1)完全类似，不再重复. 令，则相类似的可以得到于是算子T是完全连续算子.由Schaudar不动点定理可知，方程(1)～(2)存在一个解.[1] Kilbas A A,Srivastava H M,Trujillo J J.Theory and applications of fraction al differential equations[M].Amsterdam:Elsevier Science B V,2006.[2] Lakshmikantham V.Theory of fractional functional differential equations [J].Nonlinear Anal,2008,69(10):3337-3343.[3] Agarwal R P,Lakshmikantham V,Nieto Juan J.On the concept of solution for fractional differential equations with uncertainty[J].Nonlinear Anal,201 0,72(6):2859-2862.[4] Podlubny I.Fractional differential equations[M].San Diego:Academic Pre ss,1999.[5] Miller K S,Ross B.An introduction the fractional Calculus and fractional e quations[M].New York:Wiley,1993.[6] Agrawal R P,Zhou Y,He Y.Existence of fractional neutral differential equa tions[J].Compul.And Math.with appl,2010,59(3):1095-1110.[7] Bai C Z,Fang J X.The existence of a positive solution for a singular coupl ed system of nonlinear fractional differential equations[J]p ut,2004,150(3):611-621.[8] Chen Y,An H L.Numerical solutions of coupled Burgers equations with ti me-and space-fractional derivatives[J]put,2008,200(1):215-225.[9] Su X W.Boundary value problem for a coupled system of nonlinear fract ional differential eququations[J].Appl.Math.Lett,2009,22(1):64-69.[10] Ahmad B,Nieto J J.Existence results for a coupled system of nonlinear f ractional differential equations with three-point boundary conditions[J].Comput.Math.Appl,2009,58(9):1838-1843. [11] Zhou Y.Existence and uniqueness of solutions for a system of fractiona l differential equations[J].J.Frac.Calc.Appl.Anal,2009,12(2):195-204. [12] 郭大钧.非线性泛函分析[M].2版.济南:山东科学技术出版社,2001.。