2021年广东省河源市中考数学一模试卷(含答案解析)

2021年广东省河源市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列实数中无理数是()3A. 3.2121B. 4C. √7D. √82.吉林省交警总队公布的数据显示，截止到2015年9月1日，全省机动车保有量超过4530000辆，4530000这个数用科学记数法表示为()A. 0.453×107B. 4.53×106C. 4.53×107D. 45.3×1053.如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为()A. 13B. 12C. 23D. 344.计算(−abx2)3÷(−abx)3的结果是()A. x2B. −x2C. x3D. −x35.如果|x−3|+√y−2=0，则√y(x+1)=()A. 2√2B. ±2√2C. −2√2D. 3√26.如图是一个几何体的表面展开图，这个几何体是()A.B.C.D.7. 如图，点O 是半圆圆心，BE 是半圆的直径，点A ，D 在半圆上，且AD//BO ，∠ABO =60°，AB =2，过点D 作DC ⊥BE 于点C ，则阴部分的面积是( ) A. 4π3−√32 B. 8π3−√3 C. 2π3+√32 D. 4π3−√38. 估计√31的值( )A. 在6和7之间B. 在5和6之间C. 在3和4之间D. 在2和3之间 9. 已知x 2+16x +k 是完全平方式，则常数k 等于( )A. 64B. 32C. 16D. 810. 已知点A(4,y 1)，B(1,y 2)，C(−3,y 3)在函数y =−3(x −2)2+m(m 为常数)的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )A. y 1>y 2>y 3B. y 1>y 3>y 2C. y 3>y 1>y 2D. y 2>y 1>y 3二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）11. 已知关于x 、y 的方程组{x +y =1+4a 2x −y =−a −7，给出下列结论： ①当a =0时，方程组的解也是方程x +y =1的解；②当x =y 时，a =52；③不论a 取什么实数，3x −y 值始终不变；④不存在a 使得2x =3y 成立；以上结论正确的是______．12. 将二次函数y =−x 2的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的函数图象对应的二次函数表达式为______．13. 如图，等腰直角三角形ABC 中，AB =3，点D 在BC 边上且BD =1，连接AD ，过点B 作AD 的垂线，垂足为E ，F 为AC 中点，连接EF 、BF ，则EF 的长度为______ ．14. 关于x 的方程(m −2)x m 2−2+3x −1=0是一元二次方程，则m 的值为______．15. 如果m +n =√3+1，那么代数式(m −n 2m )⋅mm−n的值是______． 16. 如图，▱ABCD 的顶点C 在等边△BEF 的边BF 上，点E 在AB 的延长线上，G 为DE 的中点，连接CG.若AD =3，AB =CF =2，则CG 的长为______．17. 如图，在矩形ABCD 中，AB =3，AE ⊥BD ，垂足为E ，ED =3BE ，点P 、Q 分别在BD 、AD 上，则AP +PQ 最小值为______．三、解答题（本大题共8小题，共62.0分）18. 求不等式(2x −1)(x +3)>0的解集．解：根据“同号两数相乘，积为正”可得：①{2x −1>0x +3>0或②{2x −1<0x +3<0.解①得x >12；解②得x <−3．∴不等式的解集为x >12或x <−3．请你仿照上述方法解决下列问题：(1)求不等式(2x −3)(x +1)<0的解集．(2)求分数形式的不等式：4x+1x−2≥0的解集．19. 2011年5月1日正式实施的《公共场所卫生管理条例实施细则》规定“室内公共场所禁止吸烟”，为配合该项新规定的落实，某校八年级1班在学校所在的社区开展了“你最支持哪种戒烟方式”的问卷调查，并让小明对调查结果进行整理，小明制成了如下统计图，但都没有完成．(1)此次调查中同学们一共调查了多少人？(2)请将两幅统计图补充完整；(3)若该社区共有3000人，请根据以上调查结果估计社区中支持强制戒烟方式的人数．20.利用网格线画图：(注意格点的经过)(1)在图(1)中，画线段PQ的垂直平分线；(2)在图(2)中找一点O，使OA=OB=OC．21.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=−x+3交y轴于点A，交反比例函数y=kx (k<0)的图象于点D，y=kx(k<0)的图象过矩形OABC的顶点B，矩形OABC的面积为4，连接OD．(1)求反比例函数y=kx的表达式；(2)求△AOD的面积．22.某童装店购进一批20元/件的童装，由销售经验知，每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间存在如图的一次函数关系．(1)求y与x之间的函数关系；(2)当销售单价定为多少时，每天可获得最大利润，最大利润是多少？23.在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，E是射线DC上的点，连接AE，将△ADE沿直线AE翻折得△AFE．(1)如图①，点F恰好在BC上，求证：△ABF∽△FCE；(2)如图②，点F在矩形ABCD内，连接CF，若DE=1，求△EFC的面积；(3)若以点E、F、C为顶点的三角形是直角三角形，则DE的长为______．24.已知：AD为⊙O的直径，弦BC垂直平分OD于H，连接AB、AC．(1)如图1，求证，△ABC为等边三角形；(2)如图2，E为AB弧上一点，连接EC、AE、BE，求证：EC=EA+EB；(3)如图3，在(2)的条件下，点P为AB、EC的交点，G为BC延长线上一点，连接AG交⊙O于F，连接CF，若CE平分∠BCF，AP=2，CG=6，求弦EC的长．x2+k(k>0)的图象与x轴相交于A、25.如图，二次函数y=−1kC两点(点A在点C的左侧)，与y轴交于点B，点D为线段OC上一点(不与点O、C重合)，以OD为边向上作正方形ODEF，连接AE，BE，AB，AB，设点D的横坐标为m．(1)当k=3，m=2时，S△ABE=______ ，当k=4，m=3时，S△ABE=______ ，当k=5，m=4时，S△ABE=______ ；(2)根据(1)中的结果，猜想S△ABE的大小，并证明你的猜想；(3)当S△ABE=8时，在坐标平面内有一点P，其横坐标为n，当以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出m与n满足的关系式．【答案与解析】1.答案：C解析：解：A.3.2121是有限小数，属于有理数；B.4是整数，属于有理数；C.√7是无理数；3=2，是整数，属于有理数．D.√8故选：C．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．2.答案：B解析：解：将4530000用科学记数法表示为：4.53×106．故选B．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.答案：D解析：此题考查了概率公式，以及三角形的三边关系和勾股定理的逆定理运用，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，属于中考常考题型．从点A，B，C，D中任取三点，找出所有的可能，以及能构成直角三角形的情况数，即可求出所求的概率．解：如图：连接AC、AB、AD、BC、CD、BD，设小正方形的边长为1，由勾股定理得：AB2=12+22=5，AC2=22+42=20，AD2=12+32=10，BC2=52=25，CD2=12+32=10，BD2=12+22=5，∴AB2+AC2=BC2，AD2+CD2=AC2，BD2+AB2=AD2，∴△ABC、△ADC、△ABD是直角三角形，共3个直角三角形，∵从点A，B，C，D中任取三点能组成三角形的一共有4种可能，其中△ABD，△ADC，△ABC是直角三角形，∴所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为3．4故选D．4.答案：C解析：解：(−abx2)3÷(−abx)3=−a3b3x6÷(−a3b3x3)=x3．故选：C．直接利用积的乘方运算法则化简，进而利用整式的除法运算法则计算得出答案．此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．5.答案：A解析：本题主要考查非负数的性质，解题的关键是掌握非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．先根据非负数的性质得出x和y的值，再代入化简即可得．解：∵|x−3|+√y−2=0，∴x−3=0，y−2=0，则x=3，y=2，∴√y(x+1)=√2×4=2√2，故选A．6.答案：C解析：解：A.该几何体有4个面，题干中的几何体有5个面，故选项A错误;B.该几何体的各面都为正方形，题干中的几何体两个底面是三角形，故选项B错误;C.该几何体的上、下两底面为三角形，侧面为三个矩形，符合题干中的展开图，故本选项正确D.该几何体的上、下两底面为圆形，题干中的几何体两个底面是三角形，故选项D错误;故选：C．由平面图形的折叠及三棱柱的展开图的特征作答．考查了几何体的展开图，解题时勿忘记三棱柱的特征．7.答案：C解析：解：连接OA，∵∠ABO=60°，OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∵AB=2，∴⊙O的半径为2，∵AD//OB，∴∠DAO=∠AOB=60°，∵OA=OD，∴∠AOD=60°，∵∠AOB=∠AOD=60°，∴∠DOE=60°，∵DC⊥BE于点C，∴CD=√32OD=√3，OC=12OD=1，∴BC=2+1=3，∴S阴影=S△AOB+S△OAD+S扇形ODE−S△BCD=2×12×2×√3+60π×22360−12×3×√3=23π+√32，故选：C．连接OA ，易求得圆O 的半径为2，扇形的圆心角的度数，然后根据S 阴影=S △AOB +S △OAD +S 扇形ODE −S △BCD 即可得到结论．本题考查了扇形的面积，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．8.答案：B解析：解：∵25<31<36，∴5<√31<6，故选B ．根据25<31<36，即可得√31的取值范围．本题考查了估算无理数的大小，运用“夹逼法”是解决本题的关键．9.答案：A解析：解：∵16x =2×x ×8，∴这两个数是x 、8，∴k =82=64．故选：A ．根据乘积项先确定出这两个数是x 和8，再根据完全平方公式的结构特点求出8的平方即可． 本题是完全平方公式的运用，熟练掌握完全平方公式的结构特点，求出这两个数是解题的关键． 10.答案：D解析：解：在二次函数y =−3(x −2)2+m ，对称轴x =2，在图象上的三点A(4,y 1)，B(1,y 2)，C(−3,y 3)，点C(−3,y 3)离对称轴的距离最远，B(1,y 2)离对称轴的距离最近，∴y 2>y 1>y 3，故选：D ．对二次函数y =−3(x −2)2+m ，对称轴x =2，在对称轴两侧时，则三点的横坐标离对称轴越近，则纵坐标越大，由此判断y 1、y 2、y 3的大小．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标的大小． 11.答案：①③解析：解：{x +y =1+4a ①2x −y =−a −7 ②， ①+②得：3x =3a −6，解得：x=a−2，把x=a−2代入①得：y=3a+3，当a=0时，x=−2，y=3，把x=−2，y=3代入x+y=1得：左边=−2+3=1，右边=1，是方程的解；当x=y时，a−2=3a+3，即a=−5；23x−y=3a−6−3a−3=−9，无论a为什么实数，3x−y的值始终不变为−9；令2x=3y，即2a−4=9a+9，即a=−13，存在，7则正确的结论是①③，故答案为：①③①把a看做已知数表示出方程组的解，把a=0代入求出x与y的值，代入方程检验即可；②令x=y求出a的值，即可作出判断；③把x与y代入3x−y中计算得到结果，判断即可；④令2x=3y求出a的值，判断即可．此题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，以及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12.答案：y=−(x−2)2−3解析：解：抛物线y=−x2的顶点坐标为(0,0)，点(0,0)向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度所得对应点的坐标为(2,−3)，所以平移后的抛物线解析式为y=−(x−2)2−3．故答案为y=−(x−2)2−3．先确定解抛物线y=−x2的顶点坐标为(0,0)，再利用点平移的坐标规律得到点(0,0)平移后所得对应点的坐标为(2,−3)，然后利用顶点式写出平移后的抛物线解析式．本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．13.答案：3√55解析：解：在AD上截取AM=BE，连接FM，设AD与BF交于点O，如图所示：∵△ABC是等腰直角三角形，F为斜边AC的中点，∴BF=12AC=AF=CF，BF⊥AC，∴∠AFO=90°，∵BE⊥AD，∴∠BEO=90°，∵∠AOF=∠BOE，∴∠FAM=∠FBE，在△AMF和△BEF中，{AM=BE∠FAM=∠FBE AF=BF，∴△AMF≌△BEF(SAS)，∴FM=FE，∠AFM=∠BFE，∴∠MFE=∠AFO=90°，∴△MEF是等腰直角三角形，∴EF=√22ME，在Rt△ABD中，∠ABD=90°，AB=3，BD=1，∴AD=√AB2+BD2=√32+12=√10，∵△ABD的面积=12AD×BE=12AB×BD，∴BE=AB×BDAD =√10=3√1010，∴AE=√AB2−BE2=(3√1010)=9√1010，∵AM=BE=3√1010，∴ME=AE−AM=9√1010−3√1010=3√105，∴EF=√22ME=3√55，故答案为：3√55．在AD上截取AM=BE，连接FM，设AD与BF交于点O，先证△AMF≌△BEF(SAS)，得FM=FE，∠AFM=∠BFE，再证△MEF是等腰直角三角形，得EF=√22ME，然后由勾股定理求出AD=√10，由三角形面积求出△ABD的面积求出BE=3√1010，即可解决问题．本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．14.答案：−2解析：本题考查了一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义，列出关于m的一元二次方程和一元一次不等式，解之即可．解：根据题意得：m2−2=2，解得：m1=2，m2=−2，m−2≠0，解得：m≠2，即m=−2，故答案为−2．15.答案：√3+1解析：本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式即可得出答案．解：当m+n=√3+1时，原式=m2−n2m ⋅mm−n=(m+n)(m−n)m⋅mm−n=m+n=√3+1，故答案为√3+1．16.答案：32解析：本题考查平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据平行四边形的性质和等边三角形的性质，可以得到BF和BE的长，然后可以证明△DCG和△EHG 全等，然后即可得到CG的长．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，CD=AB，DC//AB，∵AD=3，AB=CF=2，∴CD=2，BC=3，∴BF=BC+CF=5，∵△BEF是等边三角形，G为DE的中点，∴BF=BE=5，DG=EG，延长CG交BE于点H，∵DC//AB，∴∠CDG=∠HEG，在△DCG和△EHG中，{∠CDG=∠HEG DG=EG∠DGC=∠EGH，∴△DCG≌△EHG(ASA)，∴DC=EH，CG=HG，∵CD=2，BE=5，∴HE=2，BH=3，∵∠CBH=60°，BC=BH=3，∴△CBH是等边三角形，∴CH=BC=3，∴CG=12CH=32，故答案为：32．17.答案：92解析：本题主要考查轴对称的应用，利用最小值的常规解法确定出A 的对称点，从而确定出AP +PQ 的最小值的位置是解题的关键，利用条件证明△A′DA 是等边三角形，借助几何图形的性质可以减少复杂的计算．在Rt △ABE 中，利用三角形相似可求得AE 、DE 的长，设A 点关于BD 的对称点A′，连接A′D ，可证明△ADA′为等边三角形，当PQ ⊥AD 时，则PQ 最小，所以当A′Q ⊥AD 时AP +PQ 最小，从而可求得AP +PQ 的最小值等于DE 的长，可得出答案．解：设BE =x ，则DE =3x ，∵四边形ABCD 为矩形，且AE ⊥BD ，∴△ABE∽△DAE ，∴AE 2=BE ⋅DE ，即AE 2=3x 2，∴AE =√3x ，在Rt △ABE 中，由勾股定理可得AB 2=AE 2+BE 2，即32=(√3x)2+x 2，解得x =32，∴AE =3√32，DE =92，BE =32， ∴AD =3√3，如图，设A 点关于BD 的对称点为A′，连接A′D ，PA′，则A′A =2AE =3√3=AD =A′D ，∴△AA′D 是等边三角形，∵PA =PA′，∴当A′、P 、Q 三点在一条线上时，A′P +PQ 最小，又垂线段最短可知当PQ ⊥AD 时，A′P +PQ 最小，∴AP +PQ =A′P +PQ =A′Q =DE =92，故答案是92．18.答案：解：(1)根据“异号两数相乘，积为负”可得：①{2x −3>0x +1<0或②{2x −3<0x +1>0， 解不等式组①得无解，解不等式组②得−1<x <32，故原不等式的解集为：−1<x <32．(2)由有理数的除法法则“两数相除，同号得正”且“分母不能为 0”，可知①{4x +1≥0x −2>0，②{4x +1≤0x −2<0， 解不等式组①得：x >2；解不等式组②得：x ≤−14，故不等式4x+1x−2≥0的解集为x >2或x ≤−14．解析：(1)化为两个一元一次不等式组求解即可；(2)根据分式不等式大于零可以得到其分子、分母同号，从而转化为两个一元一次不等式组求解即可 本题考查了一元一次不等式组的应用的知识，解题的关键是根据已知信息经过加工得到解决此类问题的方法． 19.答案：解：(1)这次调查中同学们调查的总人数为20÷10%=200(人)；(2)由(1)可知，总人数是200人．药物戒烟：200×15%=30(人)；警示戒烟：200×30%=60，强制戒烟：70÷200=35%．完整的统计图如图所示：(3)∵3000×70200=1050．∴估计社区中支持强制戒烟方式的人数为1050人．解析：(1)根据替代品戒烟20人占总体的10%，即可求得总人数；(2)根据求得的总人数，结合扇形统计图可以求得药物戒烟的人数，从而求得警示戒烟的人数，再根据各部分的人数除以总人数，即可求得各部分所占的百分比；(3)利用样本估计总体的思想即可解决问题．本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 20.答案：解：(1)如图(1)所示：AB 垂直平分PQ ，即为所求；(2)如图(2)所示：点O ，即为所求．解析：此题主要考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质，正确作出线段的垂直平分线是解题关键．(1)直接利用网格得出PQ 的垂直平分线，进而得出答案；(2)直接利用网格得出AB ，AC 的垂直平分线，进而得出答案．21.答案：解：(1)∵矩形OABC 的面积为4，双曲线在第二象限，∴k =−4，∴反比例函数的表达式为y =−4x ；(2))∵直线y =−x +3交y 轴于点A ，∴点A 的坐标为(0,3)，即OA =3，解方程组{y =−x +3y =−4x ， 得{x 1=4y 1=−1，{x 2=−1y 2=4， ∵点D 在第二象限，∴点D 的坐标为(−1,4)，∴△AOD 的面积=12×3×1=32．解析：(1)根据矩形的面积求出AB ，求出反比例函数的解析式；(2)解方程组求出反比例函数与一次函数的交点，确定点D 的坐标，根据三角形的面积公式计算即可． 本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，掌握反比例函数的系数k 的几何意义、解方程组求出反比例函数与一次函数的交点是解题的关键． 22.答案：解：(1)设一次函数解析式为y =kx +b(k ≠0)，由图象可知一次函数的过(30,400)和(40,300)，代入解析式可得{30k +b =40040k +b =300， 解得{k =−10b =700∴y 与x 的函数关系式为y =−10x +700；(2)由(1)可知每天的销售量为y 千克，∴p =y(x −20)=(−10x +700)(x −20)=−10x 2+900x +14000=−0(x −45)2+6250， ∵−10<0，∴p =−10(x −45)2+6250是开口向下的抛物线，∴当x =45时，p 有最大值，最大值为6250元，即销售单价为45元时，每天可获得最大利润，最大利润为6250元．解析：(1)由一次函数的图象可知过(30,400)和(40,300)，利用待定系数法可求得y 与x 的关系式；(2)利用x 可表示出p ，再利用二次函数的性质可求得p 的最大值．本题主要考查二次函数的应用，求得每天的销售量y 与x 的函数关系式是解题的关键，注意二次函数最值的求法．23.答案：5(√34−5)3或53或5或15， 解析：(1)解：在矩形ABCD 中，∠B =∠C =∠D =90°，由折叠可得：∠D =∠EFA =90°，∵∠EFA =∠C =90°，∴∠CEF +∠CFE =∠CFE +∠AFB =90°，∴∠CEF =∠AFB ，在△ABF 和△FCE 中∵∠AFB=∠CEF，∠B=∠C=90°，∴△ABF∽△FCE；(2)解：如图1，过点F作FG⊥DC交DC于点G，交AB于点H，则∠EGF=∠AHF=90°在矩形ABCD中，∠D=90°，由折叠可得：∠D=∠EFA=90°，DE=EF=1，AD=AF=5∵∠EGF=∠EFA=90°，∴∠GEF+∠GFE=∠AFH+∠GFE=90°，∴∠GEF=∠AFH，在△FGE和△AHF中，∵∠GEF=∠AFH，∠EGF=∠FHA=90°，∴△FGE∽△AHF，∴EFFA =GFAH，∴15=GFAH，∴AH=5GF，在Rt△AHF中，∠AHF=90°，∵AH2+FH2=AF2，∴(5GF)2+(5−GF)2=52，∴GF=513，∴△EFC的面积为12×513×2=513；(3)解：设DE=x，∵以点E、F、C为顶点的三角形是直角三角形，∴①当点E在线段CD上时，∠DAE<45°，∴∠AED>45°，由折叠知，∠AEF=∠AED>45°，∴∠DEF=∠AED+∠AEF>90°，∴∠CEF<90°，∴只有∠EFC=90°或∠ECF=90°，Ⅰ、当∠EFC=90°时，如图2，由折叠知，∠AFE=∠D=90°，∴∠AFE+∠EFC=90°，∴点A，F，C在同一条线上，即：点F在矩形的对角线AC上，在Rt△ACD中，AD=5，CD=AB=3，根据勾股定理得，AC=√34，由折叠知，EF=DE=x，AF=AD=5，∴CF=AC−AF=√34−5，在Rt△ECF中，EF2+CF2=CE2，∴x2+(√34−5)2=(3−x)2，∴x=5(√34−5)，3即：DE=5(√34−5)；3Ⅱ、当∠ECF=90°时，如图3，点F在BC上，由折叠知，EF=DE=x，AF=AD=5，在Rt△ABF中，根据勾股定理得，BF=√AF2−AB2=4，∴CF=BC−BF=1，在Rt△ECF中，根据勾股定理得，CE2+CF2=EF2，∴(3−x)2+12=x2，∴x=5，3；即：DE=53②当点E在DC延长线上时，CF在∠AFE内部，而∠AFE=90°，∴∠CFE<90°，∴只有∠CEF=90°或∠ECF=90°，Ⅰ、当∠CEF=90°时，如图4，由折叠知，AD=AF=5，∠AFE=90°=∠D=∠CEF，∴四边形AFED是正方形，∴DE=AF=5；Ⅱ、当∠DCF=90°时，如图5，∵∠ABC=∠BCD=90°，∴点F 在CB 的延长线上，∴∠ABF =90°，由折叠知，EF =DE =x ，AF =AD =5，在Rt △ABF 中，根据勾股定理得，BF =√AF 2−AB 2=4， ∴CF =BC +BF =9，在Rt △ECF 中，根据勾股定理得，CE 2+CF 2=EF 2， ∴(x −3)2+92=x 2，∴x =15，即：DE =15，综上所述，DE 的长为5(√34−5)3或53或5或15， 故答案为5(√34−5)3或53或5或15，(1)先利用同角的余角相等，判断出∠CEF =∠AFB ，即可得出结论；(2)先判断出△FGE∽△AHF ，得出EF FA =GFAH ，进而得出AH =5GF ，在Rt △AHF 中，根据勾股定理求出GF =513，即可得出结论；(3)分点E 在线段CD 上和DC 的延长线上，再分别分两种情况，利用勾股定理直接计算或建立方程求解即可得出结论．此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，三角形的面积，用分类讨论的思想，根据题意画出图形是解本题的关键， 24.答案：(1)证明：如图1中，连接OB ，在⊙O 中，∵OA ⊥OD∴BD⏜=CD ⏜，AB ⏜=AC ⏜，∴AB=AC，∴∠BAD=∠CAD，又∵弦BC垂直平分OD于H，∴OH=OD=12OD=12OB，在Rt△OBH中，cos∠BOH=12，∴∠BOH=60°，∴∠ABD=30°，∴∠CAD=30°，∴∠BAC=60°，∴等腰△ABC为等边三角形．(2)证明：如图2中，在EC上取一点M使得EM=EB，又∵∠BAC=∠BEC=60°，∴△EBC为等边三角形，∴BE=BM，∠EBC=60°，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=60°，BA=BC，∴∠EBC=∠ABC，∴∠ABC−∠ABM=∠EBC−∠ABM，即∠EBA=∠MBC，∴△EBA≌△MBC(SAS)，∴EA=MC，∴EC=EM+MC=EB+EA．(3)解：如图3中，在BC上取一点Q，使得BQ=AP，连接AQ，设∠ACE=α，则∠ECB=60°−α，又∵EC平分∠BCF，∴∠BCE=∠FCE=60°−α，∵四边形ABCF为圆内接四边形，∴∠ABC+∠AFC=180°，∴∠AFC=120°，∴∠CAF=2α，∵AB=AC，∠CAP=∠ABQ=60°，AP=BQ，∴△ABQ≌△CAP(SAS)，∴∠BAQ=∠ACP=α，∵∠AQG=60°+α，∠QAG=60°+α，∴∠AQG=∠QAG，∴AG=QG，设CQ=a，则QG=AG=a+6，AC=BC=a+2，作GN⊥AC角AC延长线于N，则CN=3，GN=3√3，AN=a+5，由勾股定理得：(3√3)2+(a+5)2=(a+6)2，∴a=8，∵∠AEP=∠BMP=60°，∠APE=∠BPM，∴△AEP∽△BMP，∴APBP =AEBM，∴AEBM =AEBE=28=14，∴AB=BC=10，BP=8，过B作BK⊥AE角AE的延长线于K，设AE=x，BE=4x，∠BEK=180°−∠BEC−∠AEC=180°−60°−60°−60°，则在Rt△BEK中，∵∠EBK=30°，∴EK=2x，BK=2√3x，由勾股定理可得，(2√3x)2+(3x)2=102，解得，x=1021√21，∴EC=AE+BE=5x=5021√21．解析：(1)证明AB=AC，∠BAC=60°即可解决问题．(2)如图2中，在EC上取一点M使得EM=EB，证明△EBA≌△MBC(SAS)，推出EA=MC，可得结论．(3)如图3中，在BC上取一点Q，使得BQ=AP，连接AQ，证明△ABQ≌△CAP(SAS)，推出∠BAQ=∠ACP=α，由∠AQG=60°+α，∠QAG=60°+α，推出∠AQG=∠QAG，推出AG=QG，设CQ=a，则QG=AG=a+6，AC=BC=a+2，利用勾股定理构建方程求出a，证明△AEP∽△BMP，推出AP BP =AEBM，推出AEBM=AEBE=28=14，推出AB=BC=10，BP=8，过B作BK⊥AE角AE的延长线于K，设AE=x，BE=4x，再利用勾股定理构建方程求解即可．本题属于圆综合题，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．25.答案：(1)92；8；252；(2)12k2；(3)m+n=−4，m−n=4和n−m=4；解析：解：(1)令y=−1kx2+k=0，则x2=k2，解得：x1=−k，x2=k，∴点A的坐标为(−k,0)．令x=0，则y=k，∴点B的坐标为(0,k)．∵D点的横坐标为m，∴点E的坐标为(m,m)，点D的坐标为(m,0)．当k=3，m=2时，A(−3,0)，B(0,3)，E(2,2)，D(2,0)，S△ABE=12AO⋅OB+12(OB+DE)⋅OD−12AD⋅DE=12×3×3+12×(3+2)×2−12(3+2)×2=92；当k =4，m =3时，A(−4,0)，B(0,4)，E(3,3)，D(3,0)，S △ABE =12AO ⋅OB +12(OB +DE)⋅OD −12AD ⋅DE =12×4×4+12×(4+3)×3−12(4+3)×3=8； 当k =5，m =4时，A(−5,0)，B(0,5)，E(4,4)，D(4,0)，S △ABE =12AO ⋅OB +12(OB +DE)⋅OD −12AD ⋅DE =12×5×5+12×(5+4)×4−12(5+4)×4=252．故答案为：92；8；252．(2)S △ABE =12k 2． 证明：由(1)知：A(−k,0)，B(0,k)，E(m,m)，D(m,0)，S △ABE =12AO ⋅OB +12(OB +DE)⋅OD −12AD ⋅DE =12k ⋅k +12(k +m)m −12(k +m)m =12k 2．(3)设点P 的坐标为(n,y)．∵S △ABE =12k 2=8， ∴k =4．当以A ，B ，E ，P 为顶点的四边形为平行四边形时，分三种情况：①当AB 、EP 为对角线时，令对角线的交点为M ，如图1所示．∵四边形AEBP 为平行四边形，∴点M 平分AB ，点M 平分EP ．∵A(−4,0)，B(0,4)，E(m,m)，P(n,y)，∴−4+0=m +n ，即m +n =−4；②AB 、EP 为对边，且点P 在E 的左侧时，延长ED ，过点P 作PN ⊥ED 于点N ，如图2所示．∵四边形AEBP为平行四边形，∴AB=PE，且AB//PE，∴AO=PN．∵A(−4,0)，B(0,4)，E(m,m)，P(n,y)，∴0−(−4)=m−n，即m−n=4；③AB、EP为对边，且点P在E的右侧时，延长FE，过点P作PN⊥FE于点N，如图3所示．∵四边形AEBP为平行四边形，∴AB=PE，且AB//PE，∴AO=PN．∵A(−4,0)，B(0,4)，E(m,m)，P(n,y)，∴0−(−4)=n−m，即n−m=4．综上可知：当以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形时，m与n满足的关系式有m+n=−4，m−n=4和n−m=4．(1)令y=0，解关于x的一元二次方程得出x的值，即可得知点A的坐标，令x=0求出y值，由此得出B点的坐标，再根据正方形形的性质以及D点的横坐标为m得出点D、点E的坐标，代入k、m的值得出点A、B、E、D四点的坐标，再根据三角形的面积公式即可得出结论；(2)S△ABE=1k2.由(1)得出由k、m表示的点A、B、E、D四点的坐标，结合三角形的面积公式求出S△ABE2即可得出结论；(3)根据S△ABE=8找出k值，设点P的坐标为(n,y).以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形有三种情况，分情况考虑，利用平行四边形的性质以及坐标系中点的意义即可得出结论．本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题、三角形的面积公式以及平行四边形的性质，解题的关键是：(1)找出点A、B、E、D四点的坐标；(2)用k、m表示出点A、B、E、D四点的坐标；(3)结合平行四边形的性质找出m、n之间的关系．本题属于中档题，(1)(2)难度不大；(3)分三种情况考虑，部分同学经常性的会落下一两种情况，因此在日常做题时要注意培养孩子们做题的完整性、考虑问题的全面性．。