带p-Laplacian算子的三阶微分方程边值问题正解的存在性

带p-Laplacian算子的三阶微分方程边值问题正解的存在性郭彦平;李春景;韩迎迎【摘要】许多不同应用数学和物理领域的研究都可归结为带有p-Laplacian算子的边值问题,因此对此问题的研究具有重要的理论意义和应用价值.本文讨论了带p-Laplacian算子三阶三点边值问题:｛(φp(u′))″(t)+a(t)f(t,u(t),u′(t))=0,0＜t＜1,u(0)=0,φp(u′)(1)=αφp(u′)(η),(φp(u′))′(0)=0的正解的存在性,其中φp(s)=｜s｜p-2 s,p＞1.应用Avery-Peterson不动点定理,当非线性项f满足一定的增长条件时,得到上述边值问题至少存在三个正解的充分条件.【期刊名称】《河北科技大学学报》【年(卷),期】2014(035)006【总页数】5页(P524-528)【关键词】p-Laplacian;边值问题;Avery-Peterson不动点定理【作者】郭彦平;李春景;韩迎迎【作者单位】河北科技大学理学院,河北石家庄050018;河北科技大学理学院,河北石家庄050018;河北科技大学理学院,河北石家庄050018【正文语种】中文【中图分类】O175.8的正解的存在性，其中φp(s)=|s|p-2s,p>1。

应用Avery-Peterson不动点定理，当非线性项f满足一定的增长条件时，得到上述边值问题至少存在三个正解的充分条件。

本文讨论带p-Laplacian算子的三阶三点边值问题：的正解的存在性，其中φp(s)=|s|p-2s，p>1。

近年来，许多学者都在关注三阶微分方程边值问题，并研究其正解的存在性[1-15]。

张立新等在文献[1]中研究了三阶三点边值问题：其中φp(s)=|s|p-2s,p>1，利用Avery-Peterson不动点定理证明了3个正解的存在性。

郭少聪等在文献[2]中讨论了三点边值问题：3个拟对称正解的存在性，其中α>0,0<η<1,φp(s)=|s|p-2s。

通过应用Avery-Peterson不动点定理得到上述边值问题具有3个拟对称正解的充分条件。

在本文中总假设以下条件成立：H1)0<η<1,0<α<1;H2)f∈C([0,1]×[0,+∞)×R,(0,+∞)),a(t)在[0,1]上非负连续。

定义1 设E是一个赋泛线性空间，P是E中的一个非空闭凸集。

若P满足：1)∀x∈P,λ>0⟹λx∈P;2)x,-x∈P⟹x=0，则P称为E中的一个锥。

定义2 一个算子如果连续且映有界集为相对紧集，则称它是全连续算子。

定义3 设P是Banach空间E中的一个锥。

若映射α:P→[0,∞)连续且∀x,y∈P,∀r∈[0,1]，有：α(rx+(1-r)y)≥rα(x)+(1-r)α(y),则称α是P上非负连续凹泛函。

类似地，若映射β:P→[0,∞)连续且∀x,y∈P,∀r∈[0,1],有：β(rx+(1-r)y)≤rβ(x)+(1-r)β(y),则称β是P上非负连续凸泛函。

令γ和θ是锥P上的非负连续凸泛函，α是P上的非负连续凹泛函，ψ是P上的非负连续泛函，对正数a,b,c,d定义如下凸集：和闭集：下面给出Avery-Peterson不动点定理。

定理1 设P为Banach空间E中的一个锥，γ和θ是P上的非负连续凸泛函，α是P上的非负连续凹泛函，ψ是P上的非负连续泛函满足对0≤λ≤1有ψ(λx)≤λψ(x)，且存在正数M,d使得对所有有：假设是全连续算子，如果存在正数a,b,c(a<b),使得：C1){x∈P(α,b;θ,c;γ,d)|α(x)>b}≠∅且对x∈P(α,b;θ,c;γ,d)有α(Tx)>b;C2)对x∈P(α,b;γ,d)且θ(Tx)>c,有α(Tx)>b;C3)0∉R(ψ,a;γ,d)且当x∈R(ψ,a;γ,d),ψ(x)=a时,ψ(Tx)<a。

那么算子T至少有3个不动点满足：引理1 设α≠1,则对h∈C[0,1],边值问题：有唯一解v(t)=G(t,s)h(s)ds。

其中：证明v″(t)=-h(t),从0到t积分得v′(t)=-h(s)ds,从0到t积分得v(t)=-(h(r)dr)ds+A,交换积分次序得v(t)=-(t-s)h(s)ds+A,代入v(1)=αv(η)得-(1-s)h(s)ds+A=α(-(η-s)h(s)ds+A)，求得：A=(1-s)h(s)ds-(η-s)h(s)ds。

所以有：若t≤η,则由式(5)得：若t≥η,则由式(5)得：所以边值问题(3)有唯一解v(t)=G(t,s)h(s)ds,其中G(t,s)由式(4)给出。

引理2 若条件H1)成立,则对h∈C[0,1],边值问题：有唯一解(r)dr)ds,其中G(s,r)由式(4)给出,是φp的反函数。

证明令φp(u′)(t)=v(t),则原边值问题可简化为由引理1得此边值问题有唯一解v(t)=G(t,s)h(s)ds。

由φp(u′)(t)=v(t)得u′(t)从0到t积分得(s))ds,代入v(t)=G(t,s)h(s)ds得引理3 若条件H1)成立,且h(t)≥0,t∈[0,1],则边值问题(6)的解u(t)满足如下条件：i)u(t)≥0; ii)u(t)在(0,1)上是凹的。

证明 i)由于0<η<1,0<α<1,t∈[0,1],则G(t,s)≥0。

又由于h(t)≥0,所以u(t)≥0。

ii)由(φp(u′))″(t)=-h(t),两边从0到t积分得(φp(u′))′(t)=-h(s)ds≤0,所以φp(u′)(t)是非增的,所以u′(t)也是非增的,因此可以得到u(t)在(0，1)上是凹的。

令Banach空间E=C[0,1],在E中定义范数：‖u‖在E中定义锥P:P={u∈E:u(t)≥0,u(0)=0,u在(0，1)上是凹的}。

在P上定义非负连续凸泛函γ,θ,非负连续凹泛函α和非负连续泛函ψ如下：对u∈P定义算子引理4 若u∈P,则有：证明若u∈P,则(t)|。

由u(0)=0得：由引理4及前面定义的泛函得：α(u)≤ψ(u), θ(u)≤γ(u), ‖u‖≤γ(u)。

所以定理1的式(2)满足。

引理5 假设条件H1)和条件H2)成立,则算子T:P→P是全连续算子。

证明对u∈P,由T的定义及引理3可以得到(Tu)(t)≥0,(Tu)(0)=0,(Tu)(t)在(0,1)上是凹的，所以TP⊂P。

用常规方法可以证明T是全连续算子。

记：；；定理2 假设条件H1)和条件H2)成立,存在正数a,b,d满足a<b<ηd且Lb≤Md,有：A1)f(t,u,v)≤φp(),(t,u,v)∈[0,1]×[0,d]×[0,d]；A2)f(t,u,v)>φp(),(t,u,v)∈[η,1]×[b,]×[0,d]；A3)f(t,u,v)<φp(),(t,u,v)∈[0,1]×[0,a]×[0,d],则边值问题(1)至少存在3个正解满足：证明边值问题(1)有解u=u(t)当且仅当算子方程u=Tu有不动点。

下面验证算子T 满足Avery-Peterson不动点定理的条件。

证明设则：由假设A1)得：γ(Tu)=|(Tu)′(t)|=(Tu)′(0)=(G(0,s)a(s)f(s,u(s),u′(s))ds)≤这就证明了取u≡,则α(u)=>b,θ(u)=,γ(u)=0<d。

所以{u∈P(α,b;θ,;γ,d)|α(u)>b}≠∅。

因此,当u∈P(α,b;θ,;γ,d)时,有b≤u(t)≤,|u′(t)|≤d,η≤t≤1。

由假设A2)得：α(Tu)=|(Tu)(t)|=(Tu)(η)=(G(s,r)a(r)f(r,u(r),u′(r))dr)ds≥(G(s,r)a(r)f(r,u(r),u′(r))dr)ds>(G(s,r)a(r)dr)ds=b。

这样定理1的条件C1)满足。

对u∈P(α,b;γ,d)且θ(Tu)>,利用u的凹性，得:这样定理1的条件C2)满足。

因为ψ(0)=0<a,所以0∉R(ψ,a;γ,d)。

当u∈R(ψ,a;γ,d)且ψ(u)=a时,由假设A3)得：ψ(Tu)=|(Tu)(t)|=(Tu)(1)=(G(s,r)a(r)f(r,u(r),u′(r))dr)ds<这样定理1的条件C3)满足。

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