2017-2018学年吉林省名校调研系列卷九年级(上)数学期中试卷带解析答案
吉林长春名校调研九年级上期中(市命题)数学考试卷(解析版)(初三)期中考试.doc
吉林长春名校调研九年级上期中（市命题）数学考试卷（解析版）（初三）期中考试姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题评卷人得分（每空xx 分，共xx分）【题文】与是同类二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】试题分析：根据同类二次根式的定义:A、与不是同类二次根式，故错误；B、=3与不是同类二次根式，故错误；C、=3与不是同类二次根式，故错误；D、与是同类二次根式，故正确；故选D．考点：同类二次根式【题文】方程x2=4x的解是（）A．x1=x2=4 B．x1=x2=0 C．x1=4，x2=0 D．x1=2，x2=﹣2【答案】C【解析】试题分析：应用因式分解法求x2=4x，可得x（x﹣4）=0，解得x1=4，x2=0．故选：C．考点：解一元二次方程-因式分解法【题文】一元二次方程5x2﹣11x+4=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【答案】B【解析】试题分析：根据在方程5x2﹣11x+4=0中，△=（﹣11）2﹣4×5×4=41＞0，可知方程5x2﹣11x+4=0有两个不相等的实数根．故选B．考点：根的判别式【题文】下面计算正确的是（）A．B．C．=﹣3D．【答案】B【解析】试题分析：计算各个选项的式子，然后对比选项中的式子：∵，∴选项A错误；∵，∴选项B正确；∵=﹣3，∴选项C错误；∵，∴选项D错误．故选B．考点：二次根式的混合运算【题文】如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG=2，GD=1，DF=5，那么的值等于（）A． B． C． D．【答案】D【解析】试题分析：根据平行线分线段成比例定理列出比例式，由AB∥CD∥EF，可得. 故选：D．考点：平行线分线段成比例【题文】某旅游景点8月份共接待游客25万人次，10月份共接待游客64万人次．设每月的平均增长率为x，则可列方程为（）A．25（1+x）2=64 B．25（1﹣x）2=64C．64（1+x）2=25 D．64（1﹣x）2=25【答案】A【解析】试题分析：依题意可知9月份的人数=25（1+x），则10月份的人数为：25（1+x）（1+x），再令25（1+x ）（1+x）=64，即可得出25（1+x）2=64．故选：A．考点：由实际问题抽象出一元二次方程【题文】如图，在△ABC中，DE∥BC，DB=2AD，△ADE的面积为1，则四边形DBCE的面积为（）A．2 B．5 C．6 D．8【答案】D【解析】试题分析：根据相似三角形的判定与性质，由DE∥BC，DB=2AD，得△ADE∽△ABC，再由．由△ADE的面积为1，得，S△ABC=9．因此可知S四边形DBCE=SABC﹣S△ADE=8.故选：D．考点：相似三角形的判定与性质【题文】如图，在△ABC中，D为AB的中点，E为AC的中点，F是DE上一点，且AF⊥BF，若AB=10，BC=16，则线段EF的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】试题分析：延长AF交BC于H，根据直角三角形的性质求出DF=AB=5，利用三角形中位线定理可求出DE=BC=8，进而可求出 EF=DE﹣DF=3，故选：B．考点：1、三角形的中位线定理，2、直角三角形斜边上的中线性质【题文】比较大小：____（用“＞”或“＜”填空）．【答案】＜【解析】试题分析：把化成带根号的形式，由=，2＜2.25，可得＜.考点：实数大小比较【题文】把方程2x（x﹣3）=3x+2化成一元二次方程的一般形式后，它的一次项系数是．【答案】-9【解析】试题分析：方程整理为一般形式得：2x2﹣9x﹣2=0，则方程的一次项系数为﹣9，考点：一元二次方程的一般形式【题文】若，则=．【答案】【解析】试题分析：根据题意得出的值，代入代数式进行计算即可得=1﹣=1﹣=．考点：比例的性质【题文】若一元二次方程ax2﹣bx﹣2016=0有一根为x=﹣3，则3a+b=．【答案】672【解析】试题分析：由方程有一根为﹣3，将x=﹣3代入方程ax2﹣bx﹣2016=0，整理后得到关于a，b的关系式a×（﹣3）2+3b﹣2016=0，将求出的关系式9a+3b=2016，，代入所求的式子中即可求出3a+b=672．考点：一元二次方程的解【题文】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，点D是AC中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E ，则CE的长度是．【答案】【解析】试题分析：根据勾股定理得到AC=10，由DE⊥AC于D，得到∠ADE=90°，推出△CED∽△ACB，根据相似三角形的性质即可得到CD：CB=CE：AC，即5：8=CE：10，所以CE=．考点：相似三角形的判定与性质【题文】如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为．点A、B、E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为．【答案】（3，2）【解析】试题分析：先利用位似的性质得到，然后利用比例性质求出BC=2，OB=3，即可得到C点坐标（3，2）．考点：1、位似变换；2、坐标与图形性质；3、正方形的性质【题文】解方程：2x2﹣4x+1=0．【答案】x1=1+，x2=1﹣【解析】试题分析：先化二次项系数为1，然后把左边配成完全平方式，右边化为常数．试题解析：由原方程，得x2﹣2x=﹣，等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，得x2﹣2x+1=，配方，得（x﹣1）2=，直接开平方，得x﹣1=±x1=1+，x2=1-．考点：解一元二次方程-配方法【题文】已知图中的两个四边形是相似四边形，分别求未知边x的长度和角α的度数．【答案】69°【解析】试题分析：由相似多边形的性质和图中表明的数字求解即可．试题解析：因为两个四边形是相似四边形，所以x=，α=360°﹣88°﹣96°﹣107°=69°．考点：相似多边形的性质【题文】若代数式x2﹣1的值与代数式2x+1的值相等，求x的值．【答案】x1=1+，x2=1﹣【解析】试题分析：先根据题意得出方程，再求出方程的解即可．试题解析：根据题意得：x2﹣1l解方程得：x1=10，x2=﹣20（舍去）．10+10=20（米）．答：绿地的长和宽各是20米，10米．考点：一元二次方程的应用【题文】如图，在平面直角坐标系中，△AOB的位置如图所示，图中小正方形的边长均为1，请画出△AOB以点O为位似中心，放大到原来的2倍的位似图形，并写出放大后三角形三个顶点的坐标．【答案】图形见解析【解析】试题分析：由图可求得△AOB各点的坐标，又由画出△AOB以点O为位似中心，放大到原来的2倍的位似图形，根据位似的性质，求得变化后三角形各点的坐标，继而画出图形．试题解析：如图，∵A（﹣3，0），B（﹣2，2），O（0，0），△A′OB′是△AOB以点O为位似中心，放大到原来的2倍的位似图形，∴A′（﹣6，0），O（0，0），B′（﹣4，4）或A″（6，0），O（0，0），B″（4，﹣4）．考点：作图-位似变换【题文】对于任何实数a，试说明关于x的一元二次方程x2+4x+3﹣a2=0总有两个不相等的实数根．【答案】证明见解析【解析】试题分析：要证明方程总有两个不相等的实数根，那么只要证明△＞0即可.试题解析：△=b2﹣4ac=16﹣4（3﹣a2）=4+4a2，∵4a2≥0，∴4+4a2＞0∴一元二次方程x2+4x+3﹣a2=0总有两个不相等的实数根．考点：根的判别式【题文】在一个边长为（2+3）cm的正方形的内部挖去一个长为（2+）cm，宽为（﹣）cm的矩形，求剩余部分图形的面积．【答案】57+12﹣【解析】试题分析：用大正方形的面积减去长方形的面积即可求出剩余部分的面积．试题解析：剩余部分的面积为：（2+3）2﹣（2+）（﹣）=（12+12+45）﹣（6﹣2+2﹣5）=（57+12﹣）（cm2）．考点：二次根式的应用【题文】如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，过点E作BD的平行线交Dl∴四边形BDFE是平行四边形，∴BE=DF；（2）∵BE=DF，BE=2，∴DF=2，∵AF∥BC∴△DGF∽△CGE，∴，即，∴EC=4，∴BC=BE+EC=2+4=6．考点：1、相似三角形的判定和性质，2、平行四边形的判定和性质【题文】探究：如图①，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P是对角线AC上的一点，过点P分别作AB、AD的平行线，交BC、CD于点M、N，求的值；应用：如图②，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P是对角线AC上的一点，Rt△PEF的两条直角边PE、PF 分别交BC、CD于点M、N，则=．【答案】；【解析】试题分析：探究：首先证明PN=MC，由PM∥AB，推出，即，由此即可解决问题．应用：先过P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，判定△PGM∽△PHN，再根据相似三角形的性质以及探究的结论即可解决问题；试题解析：探究：解：如图①中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠DCB=90°，AD=BC=4∵PM⊥BC，PN⊥CD，∴∠PMC=∠PNC=90°，∴四边形PMCN是矩形，∴PC=CM，∵∠PMC=∠B=90°，∴PM∥AB，∴△CPM∽△CAB，∴，即，∵AB=3，BC=4∴=应用：解：如图②中，过P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，则∠PGM=∠PHN=90°，∠GPH=90°，∵Rt△PEF中，∠FPE=90°∴∠GPM=∠HPN∴△PGM∽△PHN∴，由条件可知，=，∴=．考点：1、相似三角形的应用，2、平行线的性质【题文】如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点D从点C出发，以2cm/s的速度沿折线C﹣A ﹣B向点B运动，同时，点E从点B出发，以1cm/s的速度沿BC边向点C运动，设点E运动的时间为t（s ）（0＜t＜8）．（1）求AB的长；（2）当△BDE是直角三角形时，求t的值；（3）设△CDE的面积为y（cm2），求y与t的函数关系式．【答案】（1）10（2）或（3）当0＜t≤3时，y=8t﹣t2；当3＜t＜8时，y=t2﹣t+【解析】试题分析：（1）直接利用勾股定理计算；（2）当△BDE是直角三角形时，∠B不可能为直角，所以分两种情况讨论：i）图1，当∠BED=90°时；ii ）图2，当∠EDB=90°时；利用相似求边，再利用同角三角函数值列等式计算求出t的值；（3）分两种情况用三角形的面积公式求解即可．试题解析：（1）由勾股定理得：AB==10，（2）如图1，当∠BED=90°时，△BDE是直角三角形，则BE=t，AC+AD=2t，∴BD=6+10﹣2t=16﹣2t，∵∠BED=∠C=90°，∴DE∥AC，∴，∴，∴DE=t，∵sinB=，∴，t=；如图2，当∠EDB=90°时，△BDE是直角三角形，则BE=t，BD=16﹣2t，cosB=，∴，∴t=；∴当△BDE是直角三角形时，t的值为或（3）当0＜t≤3时，y=×2t×（8﹣t）=8t﹣t2；当3＜t＜8时，y=（8﹣t）×（16﹣2t）=t2﹣t+．考点：1、平行四边形，2、菱形，3、直角三角形的性质，4、平行线分线段成比例定理。
2017-2018学年吉林省吉林市龙潭区吉化九中九年级(上)期中数学试卷含答案解析
2017-2018学年吉林省吉林市龙潭区吉化九中九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1．（3分）方程2x2＝3x的解为（）A．0B．C．D．0，2．（3分）抛物线y＝x2+bx+c的图象向右平移2个单位长度再向下平移3个单位长度，所得图象的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，则b、c的值为（）A．b＝2，c＝2B．b＝2，c＝0C．b＝﹣2，c＝﹣1D．b＝﹣3，c＝2 3．（3分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB垂足为E，下列结论中，错误的是（）A．CE＝DE B．C．∠BAC＝∠BAD D．AC＞AD4．（3分）如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠C＝34°，则∠AOB的度数为（）A．34°B．56°C．60°D．68°5．（3分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc＝0，②a+b+c＞0，③a＞b，④4ac﹣b2＜0；其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．（3分）关于x的一元二次方程：x2﹣4x﹣m2＝0有两个实数根x1、x2，则m2（）＝（）A．B．C．4D．﹣47．（3分）下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是（）A．B．C．D．8．（3分）如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为（）A．45°B．60°C．70°D．90°二、填空题（每小题3分，共24分）9．（3分）已知关于x的方程x2+x+2a﹣1＝0的一个根是0，则a＝．10．（3分）如果关于x的一元二次方程kx2﹣3x﹣1＝0有两个不相等的实根，那么k的取值范围是．11．（3分）如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为．12．（3分）在等边三角形、平行四边形、矩形、圆中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是．13．（3分）⊙O的一条弦长为4cm，半径为4cm，则弦所对的圆周角是．14．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣3，0），B（0，1），形状相同的抛物线∁n（n＝1，2，3，4，…）的顶点在直线AB上，其对称轴与x轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，…，那么这些抛物线称为“美丽抛物线”．若这些“美丽抛物线”与抛物线y＝﹣x2+1形状相同，则抛物线∁n的解析式为．15．（3分）如图，平行四边形ABCD中，AB＝AC＝4，AB⊥AC，O是对角线的交点，若⊙O 过A、C两点，则图中阴影部分的面积之和为．16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为（6，0），⊙P的半径为，则点P的坐标为．三、解答题（共28分）17．（6分）解下列方程：（1）x2+3x+1＝0（2）3（x﹣5）2＝2（5﹣x）（3）（3x+1）（x﹣1）＝8（9﹣x）﹣1．18．（8分）百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？19．（7分）如图，抛物线y＝x2﹣3x与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D 是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E（1）求直线BC的解析式；（2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．20．（7分）如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE＝2，EB＝6，∠DEB＝30°，求弦CD的长．四、解答题（32分）21．（8分）如图，∠AOB＝90°，C、D是以O为圆心的的三等分点，连接AB分别交OC，OD于点E，F．求证：AE＝BF＝CD．22．（8分）如图，已知CD是⊙O的直径，∠EOD＝78°，AE交⊙O于B，且AB＝OC．求∠A的度数．23．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC＝BC＝DC．（1）若∠CBD＝39°，求∠BAD的度数；（2）求证：∠1＝∠2．24．（4分）在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，涂黑的小正方形的序号是．25．（4分）如图是一个4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1．请你在网格中以左上角的三角形为基本图形，通过平移、对称或旋转变换，设计一个精美图案，使其满足：①既是轴对称图形，又是以点O为对称中心的中心对称图形；②所作图案用阴影标识，且阴影部分的面积为4．五、解答题（12分）26．（12分）在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数y＝﹣x2+（k﹣1）x+4的图象与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，且S△OAB＝6．（1）求点A与点B的坐标；（2）求此二次函数的解析式；（3）如果点P在x轴上，且△ABP是等腰三角形，求点P的坐标．2017-2018学年吉林省吉林市龙潭区吉化九中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共24分）1．（3分）方程2x2＝3x的解为（）A．0B．C．D．0，【解答】解：方程整理得：2x2﹣3x＝0，分解因式得：x（2x﹣3）＝0，解得：x＝0或x，故选：D．2．（3分）抛物线y＝x2+bx+c的图象向右平移2个单位长度再向下平移3个单位长度，所得图象的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，则b、c的值为（）A．b＝2，c＝2B．b＝2，c＝0C．b＝﹣2，c＝﹣1D．b＝﹣3，c＝2【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4顶点坐标为（1，﹣4），∴抛物线y＝x2﹣2x﹣3的图象向左平移2个单位再向上平移3个单位，所得抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1），∴所得抛物线的解析式为y＝（x+1）2﹣1＝x2+2x．∴b＝2，c＝0，故选：B．3．（3分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB垂足为E，下列结论中，错误的是（）A．CE＝DE B．C．∠BAC＝∠BAD D．AC＞AD【解答】解：AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB垂足为E，则AB是垂直于弦CD的直径，就满足垂径定理．因而CE＝DE，，∠BAC＝∠BAD都是正确的．根据条件可以得到AB是CD的垂直平分线，因而AC＝AD．所以D是错误的．故选：D．4．（3分）如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠C＝34°，则∠AOB的度数为（）A．34°B．56°C．60°D．68°【解答】解：∵∠C＝34°，∴∠AOB＝2∠C＝68°．故选：D．5．（3分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc＝0，②a+b+c＞0，③a＞b，④4ac﹣b2＜0；其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c图象经过原点，∴c＝0，∴abc＝0∴①正确；∵x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，∴②不正确；∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴是x，∴，b＜0，∴b＝3a，又∵a＜0，b＜0，∴a＞b，∴③正确；∵二次函数y＝ax2+bx+c图象与x轴有两个交点，∴△＞0，∴b2﹣4ac＞0，4ac﹣b2＜0，∴④正确；综上，可得正确结论有3个：①③④．故选：C．6．（3分）关于x的一元二次方程：x2﹣4x﹣m2＝0有两个实数根x1、x2，则m2（）＝（）A．B．C．4D．﹣4【解答】解：∵x2﹣4x﹣m2＝0有两个实数根x1、x2，∴，∴则m2（）4．故选：D．7．（3分）下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、最小旋转角度120°；B、最小旋转角度90°；C、最小旋转角度180°；D、最小旋转角度72°；综上可得：顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是A．故选：A．8．（3分）如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为（）A．45°B．60°C．70°D．90°【解答】解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转l20°得到△AB′C′，∴∠BAB′＝∠CAC′＝120°，AB＝AB′，∴∠AB′B（180°﹣120°）＝30°，∵AC′∥BB′，∴∠C′AB′＝∠AB′B＝30°，∴∠CAB′＝∠CAC′﹣∠C′AB′＝120°﹣30°＝90°．故选：D．二、填空题（每小题3分，共24分）9．（3分）已知关于x的方程x2+x+2a﹣1＝0的一个根是0，则a＝．【解答】解：根据题意得：0+0+2a﹣1＝0解得a．故答案为：．10．（3分）如果关于x的一元二次方程kx2﹣3x﹣1＝0有两个不相等的实根，那么k的取值范围是k＞且k≠0．【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣3x﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴k≠0且△＞0，即（﹣3）2﹣4×k×（﹣1）＞0，解得：k＞且k≠0．故答案为：k＞且k≠0．11．（3分）如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（100﹣x）（80﹣x）＝7644．【解答】解：设道路的宽应为x米，由题意有（100﹣x）（80﹣x）＝7644，故答案为：（100﹣x）（80﹣x）＝7644．12．（3分）在等边三角形、平行四边形、矩形、圆中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是等边三角形．【解答】解：等边三角形、是轴对称图形，但不是中心对称图形，平行四边形、不是轴对称图形，是中心对称图形，矩形、是轴对称图形，也是中心对称图形，圆，是轴对称图形，也是中心对称图形，综上所述，是轴对称图形，但不是中心对称图形是等边三角形．故答案为：等边三角形．13．（3分）⊙O的一条弦长为4cm，半径为4cm，则弦所对的圆周角是30°或150°．【解答】解：如图所示，首先在优弧上取点C，连接AC，BC，在劣弧上取点D，连接AD，BD，∵OA＝OB＝4cm，AB＝4cm，∴OA＝AB＝OB，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠C∠AOB＝30°，∴∠D＝180°﹣∠C＝150°，∴所对的圆周角的度数为：30°或150°；故答案为：30°或150°．14．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣3，0），B（0，1），形状相同的抛物线∁n（n＝1，2，3，4，…）的顶点在直线AB上，其对称轴与x轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，…，那么这些抛物线称为“美丽抛物线”．若这些“美丽抛物线”与抛物线y＝﹣x2+1形状相同，则抛物线∁n的解析式为y＝﹣（x）2．【解答】解：设直线AB的解析式为：y＝kx+b把A（﹣3，0），B（0，1）代入得：解得∴直线AB的解析式为：y x+1∵抛物线c1的顶点的横坐标为2，且顶点在直线AB上，∴抛物线c1的顶点坐标为（2，）同理可得：抛物线c2的顶点坐标为（3，2）抛物线c3的顶点坐标为（5，）抛物线c4的顶点坐标为（8，）…其中，∁n（n＝1，2，3，4，…）的横坐标分别为：2，3，5，8，12，…，则第n个抛物线的顶点的横坐标为：∴将X n代入一次函数y x+1得y n∴抛物线∁n顶点坐标为（，），所以抛物线解析式为y＝﹣（x）2，故答案为：y＝﹣（x）2．15．（3分）如图，平行四边形ABCD中，AB＝AC＝4，AB⊥AC，O是对角线的交点，若⊙O 过A、C两点，则图中阴影部分的面积之和为4．【解答】解：∵∠AOB＝∠COD，∴S阴影＝S△AOB．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA AC4＝2．∵AB⊥AC，∴S阴影＝S△AOB OA•AB2×4＝4．故答案为：4．16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为（6，0），⊙P的半径为，则点P的坐标为（3，2）．【解答】解：过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，∵A（6，0），PD⊥OA，∴OD OA＝3，在Rt△OPD中，∵OP，OD＝3，∴PD2，∴P（3，2）．故答案为：（3，2）．三、解答题（共28分）17．（6分）解下列方程：（1）x2+3x+1＝0（2）3（x﹣5）2＝2（5﹣x）（3）（3x+1）（x﹣1）＝8（9﹣x）﹣1．【解答】解：（1）x2+3x+1＝0，b2﹣4ac＝32﹣4×1×1＝5，x，x1，x2；（2）3（x﹣5）2＝2（5﹣x），3（x﹣5）2+2（x﹣5）＝0，（x﹣5）[3（x﹣5）+2]＝0，x﹣5＝0，3（x﹣5）+2＝0，x1＝5，x2；（3）（3x+1）（x﹣1）＝8（9﹣x）﹣1，整理得：x2+2x﹣36＝0，b2﹣4ac＝22﹣4×1×（﹣36）＝148，x，x1＝﹣1，x2＝﹣1．18．（8分）百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？【解答】解：设每件童装应降价x元，根据题意列方程得，（40﹣x）（20+2x）＝1200，解得x1＝20，x2＝10（因为尽快减少库存，不合题意，舍去），答：每件童装降价20元；19．（7分）如图，抛物线y＝x2﹣3x与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D 是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E（1）求直线BC的解析式；（2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣3x与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，∴令y＝0，可得x或x，∴A（，0），B（，0）；令x＝0，则y，∴C点坐标为（0，），设直线BC的解析式为：y＝kx+b，则有，，解得：，∴直线BC的解析式为：y x；（2）设点D的横坐标为m，则坐标为（m，），∴E点的坐标为（m，m），设DE的长度为d，∵点D是直线BC下方抛物线上一点，则d m（m2﹣3m），整理得，d＝﹣m2m，∵a＝﹣1＜0，∴当m时，d最大，∴D点的坐标为（，）．20．（7分）如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE＝2，EB＝6，∠DEB＝30°，求弦CD的长．【解答】解：过O作OF⊥CD，交CD于点F，连接OD，∴F为CD的中点，即CF＝DF，∵AE＝2，EB＝6，∴AB＝AE+EB＝2+6＝8，∴OA＝4，∴OE＝OA﹣AE＝4﹣2＝2，在Rt△OEF中，∠DEB＝30°，∴OF OE＝1，在Rt△ODF中，OF＝1，OD＝4，根据勾股定理得：DF，则CD＝2DF．四、解答题（32分）21．（8分）如图，∠AOB＝90°，C、D是以O为圆心的的三等分点，连接AB分别交OC，OD于点E，F．求证：AE＝BF＝CD．【解答】证明：连接AC，BD，∵在⊙O中，半径OA⊥OB，C、D为以O为圆心的弧AB的三等分点，∴∠AOC∠AOB90°＝30°．∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，∵∠AOC＝∠BOD＝30°，∴∠AEC＝∠OAB+∠AOC＝45°+30°＝75°，∵OA＝OC，∠AOC＝30°，∴∠ACE＝75°，∴∠ACE＝∠AEC，∴AC＝AE，同理BF＝BD，∵C，D是的三等分点，∴AC＝CD＝BD，∴AE＝BF＝CD．22．（8分）如图，已知CD是⊙O的直径，∠EOD＝78°，AE交⊙O于B，且AB＝OC．求∠A的度数．【解答】解：连接OB，∵AB＝OC，∴AB＝OB，∴∠BOC＝∠A，∴∠OBE＝∠BOC+∠A＝2∠A，∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠E，∴∠EOD＝3∠A＝78°，解得，∠A＝26°．23．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC＝BC＝DC．（1）若∠CBD＝39°，求∠BAD的度数；（2）求证：∠1＝∠2．【解答】（1）解：∵BC＝DC，∴∠CBD＝∠CDB＝39°，∵∠BAC＝∠CDB＝39°，∠CAD＝∠CBD＝39°，∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝39°+39°＝78°；（2）证明：∵EC＝BC，∴∠CEB＝∠CBE，而∠CEB＝∠2+∠BAE，∠CBE＝∠1+∠CBD，∴∠2+∠BAE＝∠1+∠CBD，∵∠BAE＝∠BDC＝∠CBD，∴∠1＝∠2．24．（4分）在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，涂黑的小正方形的序号是②．【解答】解：如图，把标有序号②的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形．故答案为：②．25．（4分）如图是一个4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1．请你在网格中以左上角的三角形为基本图形，通过平移、对称或旋转变换，设计一个精美图案，使其满足：①既是轴对称图形，又是以点O为对称中心的中心对称图形；②所作图案用阴影标识，且阴影部分的面积为4．【解答】解：如图所示；答案不唯一．五、解答题（12分）26．（12分）在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数y＝﹣x2+（k﹣1）x+4的图象与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，且S△OAB＝6．（1）求点A与点B的坐标；（2）求此二次函数的解析式；（3）如果点P在x轴上，且△ABP是等腰三角形，求点P的坐标．【解答】解：（1）由解析式可知，点A的坐标为（0，4）．（1分）∵S△OAB BO×4＝6BO＝3．所以B（3，0）或（﹣3，0），∵二次函数与x轴的负半轴交于点B，∴点B的坐标为（﹣3，0）；（2分）（2）把点B的坐标（﹣3，0）代入y＝﹣x2+（k﹣1）x+4，得﹣（﹣3）2+（k﹣1）×（﹣3）+4＝0．解得k﹣1．（4分）∴所求二次函数的解析式为y＝﹣x2x+4．（5分）（3）因为△ABP是等腰三角形，所以：①如图1，当AB＝AP时，点P的坐标为（3，0）（6分）②如图2，当AB＝BP时，点P的坐标为（2，0）或（﹣8，0）（8分）③如图，3，当AP＝BP时，设点P的坐标为（x，0）根据题意，得|x+3|．解得x．∴点P的坐标为（，0）（10分）综上所述，点P的坐标为（3，0），（2，0），（﹣8，0），（，0）．第21页（共21页）。
2018-2019学年吉林省名校调研系列卷九年级(上)期中数学模拟试卷(含答案)
2018-2019学年吉林省名校调研系列卷九年级（上）期中数学模拟试一．选择题（共8小题，满分24分）1）A B C D2．下列事件中，属于必然事件的是（）A．三角形的外心到三边的距离相等B．某射击运动员射击一次，命中靶心C．任意画一个三角形，其内角和是180°D．抛一枚硬币，落地后正面朝上3．关于x的一元二次方程x2﹣4x+3=0的解为（）A．x1=﹣1，x2=3B．x1=1，x2=﹣3C．x1=1，x2=3D．x1=﹣1，x2=﹣3 4．如图，在△ABC中，点E、F分别为AB、AC的中点．若△ABC的周长为6，则△AEF的周长为（）A．12B．3C．4D．不能确定5．如图，△ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，则tanC的值是（）A B C D6．在2015﹣2016CBA常规赛季中，易建联罚球投篮的命中率大约是82.3%，下列说法错误的是（）A．易建联罚球投篮2次，一定全部命中B．易建联罚球投篮2次，不一定全部命中C．易建联罚球投篮1次，命中的可能性较大D．易建联罚球投篮1次，不命中的可能性较小7．如图，已知矩形ABCD中，AB=3，BE=2，EF⊥BC．若四边形EFDC与四边形BEFA相似而不全等，则CE=（）A．3B．3.5C．4D．4.58．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则DE的长为（）A B C D．2二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）9．在△ABC中，∠C=90°，若AC=m，∠A=θ，那么AB的长是（用含m 和θ的式子表示）．10．若关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0有一个根是2，则m+n=．11．如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD=1，DB=2的值为．12．一个不透明的盒子中装有10个黑球和若干个白球，它们除颜色不同外，其余均相同，从盒子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验400次，其中有240次摸到白球，由此估计盒子中的白球大约有个．13．如图，身高为1.7m的小明AB站在小河的一岸，利用树的倒影去测量河对岸一棵树CD的高度，CD在水中的倒影为C′D，A、E、C′在一条线上．如果小河BD的宽度为12m，BE=3m，那么这棵树CD的高为m．14．如图，海中有一个小岛A，它的周围15海里内有暗礁，今有货船由西向东航行，开始在A岛南偏西60°的B处，往东航行20海里后到达该岛南偏西30°的C处后，货船继续向东航行，你认为货船航行途中触礁的危险．（填写：“有”或“没有”）参考数据：sin60°=cos30°≈0.866．三．解答题（共10小题，满分78分）15．（616．（6分）已知关于x的方程kx2﹣4kx+k﹣5=0有两个相等的实数根，求k的值，并解这个方程．17．（6分）在下列三个正方形网格图中，△ABC的顶点和另两条线段的端点都在格点上，以给定的线段为一边，分别在图2和图3中各画出一个三角形，使所画的三角形都与△ABC相似，并说明所画三角形与△ABC的相似18．（7分）小明和小亮计划暑期结伴参加志愿者活动．小明想参加敬老服务活动，小亮想参加文明礼仪宣传活动．他们想通过做游戏来决定参加哪个活动，于是小明设计了一个游戏，游戏规则是：在三张完全相同的卡片上分别标记4、5、6三个数字，一人先从三张卡片中随机抽出一张，记下数字后放回，另一人再从中随机抽出一张，记下数字，若抽出的两张卡片标记的数字之和为偶数，则按照小明的想法参加敬老服务活动，若抽出的两张卡片标记的数字之和为奇数，则按照小亮的想法参加文明礼仪宣传活动．你认为这个游戏公平吗？请说明理由．19．（7分）“埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出血热”的烈性传染病毒，传染性极强，一日本游客在非洲旅游时不慎感染了“埃博拉”病毒，经过两轮传染后，共有121人受到感染，（1）问每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果得不到控制，按如此的传播速度，经过三轮后将有多少人受到感染？20．（7分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，点E是BC上的一点，AE=BE，AB=10，cos∠tan∠AEC的值．21．（8分）已知：△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣2），B（﹣5，﹣4），C（﹣1，﹣5）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格中画出△A2B2C2，并写出点B2的坐标．22．（9分）随着人们经济收入的不断提高，汽车已越来越多地进入到各个家庭．某大型超市为缓解停车难问题，建筑设计师提供了楼顶停车场的设计示意图．按规定，停车场坡道口上坡要张贴限高标志，以便告知车辆能否安全驶入．如图，地面所在的直线ME与楼顶所在的直线AC是平行的，CD的厚度为0.5m，求出汽车通过坡道口的限高DF的长（结果精确到0.1m，sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）．23．（10分）如图1，△ABC中，点D在线段AB上，点E在线段CB延长线上，且BE=CD，EP∥AC交直线CD于点P，交直线AB于点F，∠ADP=∠ACB．（1）图1中是否存在与AC相等的线段？若存在，请找出，并加以证明，若不存在，说明理由；（2）若将“点D在线段AB上，点E在线段CB延长线上”改为“点D在线段BA延长线上，点E在线段BC延长线上”，其他条件不变（如图2）．当∠ABC=90°，∠BAC=60°，AB=2时，求线段PE的长．24．（12分）矩形ABCD一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得点B落在CD边上的点P处．（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接A P、OP、OA．①求证：△OCP∽△PDA；②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长．（2）如图2，在（1）的条件下，擦去AO和OP，连接BP．动点M在线段AP 上（不与点P、A重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连接MN 交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问动点M、N在移动的过程中，线段EF 的长度是否发生变化？若不变，求出线段EF的长度；若变化，说明理由．参考答案一．选择题1．B．2．C．3．C．4．B．5．A．6．A．7．D．8．B．二．填空题910．﹣2．1112．15．13．5.1．14．没有．三．解答题15．解：原式=416．解：∵原方程有两个相等的实数根，∴k≠0且△=0，即16k2﹣4k（k﹣5）=0，k=0（舍），∴（x﹣2）2=0，∴x1=x2=2．17．解：如图所示：△ABC∽△A′B′C′，相似比为：1△ABC∽△DEF，相似比为：1：2．18．解：不公平，列表如下：由表可知，共有9种等可能结果，其中和为偶数的有5种结果，和为奇数的有4种结果，按照小亮的想法参加文明礼19．解：（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意得：（x+1）2=121，解得：x1=10，x2=﹣12（不合题意，应舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了10个人．（2）当x=10时，（x+1）3=（10+1）3=1331．答：经过三轮后将有1331人受到感染．20．解：∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠ACB=90°，∴∠ACD+∠CAB=90°，∠B+∠CAB=90°，∴∠ACD=∠B，∴co s∠ACD=cos∠=AB=10，∴BC=8，，设BE=AE=x，在Rt△ACE中，x2=62+（8﹣x）2，解得∴∴tan∠21．解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求：（2）如图所示：△A2B2C2即为所求；B2（10，8）22．解：∵AC∥ME，∴∠CAB=∠AEM，在Rt△ABC中，∠CAB=28°，AC=9m，∴BC=ACtan28°≈9×0.53=4.77（m），∴BD=BC﹣CD=4.77﹣0.5=4.27（m），在Rt△BDF中，∠BDF+∠FBD=90°，在Rt△ABC中，∠CAB+∠FBC=90°，∴∠BDF=∠CAB=28°，∴DF=BDcos28°≈4.27×0.88=3.7576≈3.7（m），答：坡道口的限高DF的长是3.7m．23．解：（1）AC=BF．证明如下：如图1，∵∠ADP=∠ACD+∠A，∠ACB=∠ACD+∠BCD，∠ADP=∠ACB，∴∠BCD=∠A，又∵∠CBD=∠ABC，∴△CBD∽△ABC，∵FE∥AC，∵BE=CD，∴BF=AC；（2）如图2，∵∠ABC=90°，∠BAC=60°，∴∠ACB=30°=∠ADP，∴∠BCD=60°，∠ACD=60°﹣30°=30°，∵PE∥AC，∴∠E=∠ACB=30°，∠CPE=∠ACD=30°，∴CP=CE，∵BE=CD，∴BC=DP，∵∠ABC=90°，∠D=30°，∴，∴，即P为CD的中点，又∵PF∥AC，∴F是AD的中点，∴FP是△ADC的中位线，∴，∵∠ABC=90°，∠ACB=30°，∴，∴FP=AB=2，∵DP=CP=BC，CP=CE，∴BC=CE，即C为BE的中点，又∵EF∥AC，∴A为FB的中点，∴AC是△BEF的中位线，∴EF=2AC=4AB=8，∴PE=EF﹣FP=8﹣2=6．24．解：（1）①如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°，∴∠1+∠3=90°，∵由折叠可得∠APO=∠B=90°，∴∠1+∠2=90°，∴∠2=∠3，又∵∠D=∠C，∴△OCP∽△PDA；②如图1，∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，∴，设OP=x，则CO=8﹣x，在Rt△PCO中，∠C=90°，由勾股定理得x2=（8﹣x）2+42，解得：x=5，∴AB=AP=2OP=10，∴边AB的长为10；（2）作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2，∵AP=AB，MQ∥AN，∴∠APB=∠ABP=∠MQP．∴MP=MQ，∵BN=PM，∴BN=QM．∵MP=MQ，ME⊥PQ，∴．∵MQ∥AN，∴∠QMF=∠BNF，在△MFQ和△NFB中，∴△MFQ≌△NFB（AAS）．∴，∴EF=EQ+，由（1）中的结论可得：PC=4，BC=8，∠C=90°，∴∴∴在（1）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，它的长度为。
2017-2018年吉林省长春外国语学校九年级上学期期中数学试卷及参考答案
2017-2018学年吉林省长春外国语学校九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1．（3分）若式子有意义，则x的取值范围是（）A．x≥3 B．x≤3 C．x＞3 D．x=32．（3分）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A．x2+=1 B．ax2+bx+c=0C．（x﹣1）（x+2）=1 D．3x2﹣2xy﹣5y2=03．（3分）如图所示，AB、CD相交于点0，连接AC，BD，添加下列一个条件后，仍不能判定△AOC∽△DOB的是（）A．∠A=∠D B．C．∠B=∠C D．4．（3分）把抛物线y=﹣2x2向上平移1个单位，得到的抛物线是（）A．y=﹣2（x+1）2B．y=﹣2（x﹣1）2C．y=﹣2x2+1 D．y=﹣2x2﹣15．（3分）在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大2倍，那么锐角A的正切值（）A．不变化B．扩大2倍C．缩小2倍D．不能确定6．（3分）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（）A．560（1+x）2=315 B．560（1﹣x）2=315 C．560（1﹣2x）2=315 D．560（1﹣x2）=3157．（3分）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3，点B、E在第一象限，若点A的坐标为（1，0），则点E的坐标是（）A．（）B．（）C．（） D．（2，2）8．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是（）A．B． C．D．二、填空题（每小题3分，共18分）9．（3分）化简：=．10．（3分）在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球，如果口袋中装有3个红球且摸到红球的概率为，那么口袋中球的总个数为．11．（3分）已知：，则的值为．12．（3分）若锐角A满足，则∠A的度数是．13．（3分）用配方法解方程x2﹣8x=3时，方程的两边同时加上一个实数，使得方程左边配成一个完全平方式．14．（3分）如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，点D在边AB上，∠ACD=∠B，则AD的长为．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（10分）计算：（1）（2）．16．（15分）解方程：（1）2x2+3x=0．（2）x2﹣10x+25=0．（3）x2﹣3x=1．17．（5分）已知y=（m﹣1）x是关于x的二次函数，求m的值．18．（5分）现有点数为2、3、4、5的四张牌，背面朝上洗匀，然后从中任意抽取两张，这两张牌上的数字之和为偶数的概率是多少？（列表或画树状图）19．（5分）如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，求大厅两层之间的距离BC的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.60）20．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+x+m2﹣2m=0有一个实数根为﹣1，求m的值及方程的另一实根．21．（6分）如图，∠1=∠2，∠B=∠D，AB=DE=5，BC=4．（1）求证：△ABC∽△ADE；（2）求AD的长．22．（8分）水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤（用含x 的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？23．（8分）两个全等的直角三角形重叠放在直线l上，如图（1），AB=6cm，BC=8cm，∠ABC=90°，将Rt△ABC在直线l上左右平移，如图（2）所示．（1）求证：四边形ACFD是平行四边形；（2）怎样移动Rt△ABC，使得四边形ACFD为菱形；（3）将Rt△ABC向左平移4cm，求四边形DHCF的面积．24．（10分）如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中，AD=6．若OA、OB 的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根，且OA＞OB；（1）求sin∠ABC的值；（2）若E为x轴上的点，且S=，求出点E的坐标，并判断△AOE与△DAO△AOE是否相似？请说明理由．2017-2018学年吉林省长春外国语学校九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共24分）1．（3分）若式子有意义，则x的取值范围是（）A．x≥3 B．x≤3 C．x＞3 D．x=3【解答】解：根据题意得：x﹣3≥0，解得：x≥3．故选：A．2．（3分）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A．x2+=1 B．ax2+bx+c=0C．（x﹣1）（x+2）=1 D．3x2﹣2xy﹣5y2=0【解答】解：A、是分式方程不是一元二次方程，故A错误；B、a=0是一元一次方程，故B错误；C、是一元二次方程，故C正确；D、是二元二次方程，故D错误；故选：C．3．（3分）如图所示，AB、CD相交于点0，连接AC，BD，添加下列一个条件后，仍不能判定△AOC∽△DOB的是（）A．∠A=∠D B．C．∠B=∠C D．【解答】解：由图可得，∠AOC=∠BOD，所以要使△AOC∽△DOB，只需再添加一个对应角相等或其对应边成比例即可，所以题中选项A、B、C均符合题意，而D选项中AC与AO的夹角并不是∠AOC，所以其不能判定两个三角形相似．故选：D．4．（3分）把抛物线y=﹣2x2向上平移1个单位，得到的抛物线是（）A．y=﹣2（x+1）2B．y=﹣2（x﹣1）2C．y=﹣2x2+1 D．y=﹣2x2﹣1【解答】解：由“上加下减”的原则可知，把抛物线y=﹣2x2向上平移1个单位，得到的抛物线是：y=﹣2x2+1．故选：C．5．（3分）在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大2倍，那么锐角A的正切值（）A．不变化B．扩大2倍C．缩小2倍D．不能确定【解答】解：根据锐角三角函数的定义，知如果各边长度都扩大2倍，那么锐角A的正切值不变．故选：A．6．（3分）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（）A．560（1+x）2=315 B．560（1﹣x）2=315 C．560（1﹣2x）2=315 D．560（1﹣x2）=315【解答】解：设每次降价的百分率为x，由题意得：560（1﹣x）2=315，故选：B．7．（3分）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3，点B、E在第一象限，若点A的坐标为（1，0），则点E的坐标是（）A．（）B．（）C．（） D．（2，2）【解答】解：∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为2：3，∴OA：OD=2：3，∵点A的坐标为（1，0），即OA=1，∴OD=，∵四边形ODEF是正方形，∴DE=OD=．∴E点的坐标为：（，）．故选：B．8．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是（）A．B． C．D．【解答】解：∵x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，∴△=4﹣4（kb+1）＞0，解得kb＜0，A．k＞0，b＞0，即kb＞0，故A不正确；B．k＞0，b＜0，即kb＜0，故B正确；C．k＜0，b＜0，即kb＞0，故C不正确；D．k＜0，b=0，即kb=0，故D不正确；故选：B．二、填空题（每小题3分，共18分）9．（3分）化简：=3．【解答】解：==3，故答案为：3．10．（3分）在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球，如果口袋中装有3个红球且摸到红球的概率为，那么口袋中球的总个数为15．【解答】解：∵在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球，如果口袋中装有3个红球且摸到红球的概率为，∴口袋中球的总个数为：3÷=15．故答案为：15．11．（3分）已知：，则的值为．【解答】解：设a=k，则b=2k，∴．12．（3分）若锐角A满足，则∠A的度数是30°．【解答】解：根据题意得：2cosA﹣=0∴cosA=∴∠A=30°故答案是：30°．13．（3分）用配方法解方程x2﹣8x=3时，方程的两边同时加上一个实数16，使得方程左边配成一个完全平方式．【解答】解：x2﹣2•x•4+42=3+42，即x2﹣8x+16=3+16，故答案为：16．14．（3分）如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，点D在边AB上，∠ACD=∠B，则AD的长为．【解答】解：∵在△ABC与△ACD中，∠A=∠A，∠ACD=∠B，∴△ACD∽△ABC，∴=，∵AB=5，AC=4，∴=，解得AD=．故答案为：．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（10分）计算：（1）（2）．【解答】解：（1）原式=（）2﹣1+2﹣1=；（2）原式=3﹣2×+=．16．（15分）解方程：（1）2x2+3x=0．（2）x2﹣10x+25=0．（3）x2﹣3x=1．【解答】解：（1）2x2+3x=0，x（2x+3）=0，则x=0或2x+3=0，解得x1=0，x2=﹣；（2）x2﹣10x+25=0，（x﹣5）2=0，解得x1=x2=5；（3）x2﹣3x=1，x2﹣3x+（）2=1+（）2，（x﹣）2=，x﹣=±，解得．17．（5分）已知y=（m﹣1）x是关于x的二次函数，求m的值．【解答】解：∵y=（m﹣1）x是关于x的二次函数，∴m2+2m﹣1=2，解得m=1或﹣3，∵m﹣1≠0，∴m≠1，∴m=﹣3．18．（5分）现有点数为2、3、4、5的四张牌，背面朝上洗匀，然后从中任意抽取两张，这两张牌上的数字之和为偶数的概率是多少？（列表或画树状图）【解答】解：画出树状图，如图：共有12种情况，其中和为偶数的有4种，则P==．数字之和为偶数19．（5分）如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，求大厅两层之间的距离BC的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.60）【解答】解：过B作地平面的垂线段BC，垂足为C，在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∴BC=AB•sin∠BAC=12×0.515≈6.2（米），答：大厅两层之间的距离BC的长约为6.2米．20．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+x+m2﹣2m=0有一个实数根为﹣1，求m的值及方程的另一实根．【解答】解：设方程的另一根为x2，则﹣1+x2=﹣1，解得x2=0．把x=﹣1代入x2+x+m2﹣2m=0，得（﹣1）2+（﹣1）+m2﹣2m=0，即m（m﹣2）=0，解得m1=0，m2=2．综上所述，m的值是0或2，方程的另一实根是0．21．（6分）如图，∠1=∠2，∠B=∠D，AB=DE=5，BC=4．（1）求证：△ABC∽△ADE；（2）求AD的长．【解答】（1）证明：∵∠1=∠2，∴∠BAC=∠DAE，∵∠B=∠D，∴△ABC∽△ADE（AA）；（2）解：∵△ABC∽△ADE，∴=，∵AB=DE=5，BC=4，∴AD=．22．（8分）水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是100+200x斤（用含x的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？【解答】解：（1）将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是100+×20=100+200x（斤）；（2）根据题意得：（4﹣2﹣x）（100+200x）=300，解得：x=或x=1，当x=时，销售量是100+200×=200＜260；当x=1时，销售量是100+200=300（斤）．∵每天至少售出260斤，∴x=1．答：张阿姨需将每斤的售价降低1元．23．（8分）两个全等的直角三角形重叠放在直线l上，如图（1），AB=6cm，BC=8cm，∠ABC=90°，将Rt△ABC在直线l上左右平移，如图（2）所示．（1）求证：四边形ACFD是平行四边形；（2）怎样移动Rt△ABC，使得四边形ACFD为菱形；（3）将Rt△ABC向左平移4cm，求四边形DHCF的面积．【解答】（1）证明：四边形ACFD为Rt△ABC平移形成的，即AD∥CF，AC∥DF，故四边形ACFD为平行四边形．（2）解：要使得四边形ACFD为菱形，即使AD=AC即可，在Rt△ABC中，AB=6cm，BC=8cm，∠ABC=90°，根据勾股定理求得AC==10cm，故将Rt△ABC向左、右平移10cm均可使得四边形ACFD为菱形；（3）解：将Rt△ABC向左平移4cm，即BE=4cm，即BH为Rt△DEF的中位线，即H为DF的中点，故△HFB的面积均为6cm2，故四边形DHCF的面积为：S△ABC ﹣S△HBF=24﹣6=18（cm2）．答：四边形DHCF的面积为18cm2．24．（10分）如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中，AD=6．若OA、OB 的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根，且OA＞OB；（1）求sin∠ABC的值；（2）若E为x轴上的点，且S△AOE=，求出点E的坐标，并判断△AOE与△DAO 是否相似？请说明理由．【解答】解：（1）解方程：x2﹣7x+12=0解得x1=3，x2=4（1分）∵OA＞OB∴OA=4，OB=3（2分）由勾股定理得出：∴AB=5（3分）∴在Rt△OAB中，sin∠ABC==（4分）（2）①∵S△AOE=∴OA•OE=∴OE=（5分）∴点E的坐标为（﹣，0）或（，0）（6分）②△AOE与△DAO相似，理由如下：∵=，∴∵∠AOE=∠DAO=90°（7分）∴△AOE∽△DAO．（8分）赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。
2017-2018学年吉林省长春市南关区东北师大附中净月实验学校九年级(上)期中数学试卷含答案解析
2017-2018学年东北师大附中净月实验学校九年级（上）期中数学试卷一、选择题：（每小题3分，共24分）1．下列函数中是二次函数的是（）A．B．y＝3（x﹣1）2C．y＝（x+1）2﹣x2D．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，则sin A的值为（）A．B．C．D．3．把抛物线y＝﹣x2向左平移2个单位，然后向上平移5个单位，则平移后抛物线的解析式为（）A．y＝﹣（x﹣2）2﹣5B．y＝﹣（x+2）2﹣5C．y＝﹣（x﹣2）2+5D．y＝﹣（x+2）2+54．二次函数y＝﹣3（x+2）2的最大值是（）A．﹣2B．2C．﹣1D．05．到圆心的距离不大于半径的点的集合是（）A．圆的外部B．圆的内部C．圆D．圆的内部和圆6．下列关于外心的说法正确的是（）A．外心是三个角的平分线的交点B．外心是三条高的交点C．外心是三条中线的交点D．外心是三边的垂直平分线的交点7．若⊙O的切线长与半径之比为：1，则两条切线的夹角的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°8．小强从如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c的图象中，观察得出了下面五条信息：（1）a＜0；（2）c＞1；（3）b＞0；（4）a+b+c＞0；（5）a﹣b+c＞0．你认为其中正确信息的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题：（每题3分，共18分）9．已知α为锐角，且sinα＝cos50°，则α＝．10．如图，在⊙O中，＝，∠A＝30°，则∠B＝°．11．如图所示，一水库迎水坡AB的坡度i＝1：，则该坡的坡角a＝度．12．把二次函数y＝﹣2x2﹣4x﹣5用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为．13．⊙O的半径是6，点O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是．14．锐角△ABC中，∠B＝80°，点I是△ABC的内心，则∠AIC＝．三、解答题：（本大题共10小题，共78分）15．（6分）计算：2sin30°﹣tan45°+sin229°+cos229°16．（6分）如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A，B，C，请在网格图中进行下列操作：（1）请在图中确定该圆弧所在圆的圆心D的位置，点D的坐标为；（2）⊙D的半径为（结果保留根号）．17．（6分）二次函数y＝ax2+bx+c（其中a≠0，a，b，c为常数）的图象如图所示，根据图象回答下列问题：（1）方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为；（2）不等式ax2+bx+c＞0的解集为．18．（7分）如图，小勇想估测家门前的一棵树的高度，他站在窗户C处，观察到树顶端A 正好与C处在同一水平线上，并且测得树底B的俯角为60°，已知树底B与墙脚D之间的距离为3米，请你帮助小勇算出树的高度AB约多少米？（结果保留根号）．19．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D、E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．（1）求证：BE＝CE；（2）求∠CBF的度数；（3）若AB＝5，求的长．20．（7分）“五一”期间，恒大影城隆重开业，影城每天运营成本为1000元，试营业期间统计发现，影城每天售出的电影票张数y（张）与电影票售价x（元/张）之间满足一次函数关系：y＝﹣4x+220（10≤x≤50，且x是整数），设影城每天的利润为w（元）（利润＝票房收入﹣运营成本）．（1）试求w与x之间的函数关系式；（2）影城将电影票售价定为多少元/张时，每天获利最大？最大利润是多少元？21．（8分）如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，求拉线CE的长（结果保留根号）．22．（9分）【感知】如图（1）M，N分别为△PQR的边PQ和PR的中点，则MN＝QR．【探究】如图（2）在⊙O中，点C是上的一个动点（不与点A，B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D，E．证明：DE的长度不变．【应用】在图（2）中，若OA＝OB＝5，∠AOB＝120°，则DE的长为．23．（10分）如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，抛物线y＝x2+bx+c 经过B、C两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）点E是直线BC下方抛物线上的一个动点，设点E的横坐标为m，求△BCE的面积S与m之间的函数关系式，并求出S的最大值．24．（12分）在平面直角坐标系中，我们定义直线y＝ax﹣a为抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线y＝﹣x2﹣x+2与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C．（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为，点A的坐标为，点B 的坐标为；（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C 的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．2017-2018学年东北师大附中净月实验学校九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（每小题3分，共24分）1．下列函数中是二次函数的是（）A．B．y＝3（x﹣1）2C．y＝（x+1）2﹣x2D．解：A、是一次函数，故此选项错误；B、y＝3（x﹣1）2＝3x2﹣6x+3，是二次函数，故此选项正确；C、y＝（x+1）2﹣x2＝2x+1，为一次函数，故此选项错误；D、y＝﹣x，是组合函数，故此选项错误．故选：B．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，则sin A的值为（）A．B．C．D．解：如图，根据勾股定理得，BC＝＝＝12，sin A＝＝．故选C．3．把抛物线y＝﹣x2向左平移2个单位，然后向上平移5个单位，则平移后抛物线的解析式为（）A．y＝﹣（x﹣2）2﹣5B．y＝﹣（x+2）2﹣5C．y＝﹣（x﹣2）2+5D．y＝﹣（x+2）2+5解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝﹣x2向左平移2个单位所得抛物线的解析式为：y＝﹣（x+2）2．由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝﹣（x+2）2向上平移5个单位所得抛物线的解析式为：y＝﹣（x+2）2+5；故选：D．4．二次函数y＝﹣3（x+2）2的最大值是（）A．﹣2B．2C．﹣1D．0解：∵y＝﹣3（x+2）2，∴当x＝﹣2时，y有最小值0．故选：D．5．到圆心的距离不大于半径的点的集合是（）A．圆的外部B．圆的内部C．圆D．圆的内部和圆解：根据点和圆的位置关系，知圆的内部是到圆心的距离小于的所有点的集合；圆是到圆心的距离等于半径的所有点的集合．所以与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是圆的内部（包括边界）．故选：D．6．下列关于外心的说法正确的是（）A．外心是三个角的平分线的交点B．外心是三条高的交点C．外心是三条中线的交点D．外心是三边的垂直平分线的交点解：外心是三边的垂直平分线的交点，故选：D．7．若⊙O的切线长与半径之比为：1，则两条切线的夹角的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°解：如图，AB、AC为⊙O的两切线，B、C为切点，连接OB，则AB：OB＝：1，∵AB为切线，∴OB⊥AB，在Rt△OAB中，tan∠BAO＝＝＝，∴∠BAO＝30°，∴∠BAC＝2∠BAO＝60°．即两条切线的夹角的度数为60°．故选：C．8．小强从如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c的图象中，观察得出了下面五条信息：（1）a＜0；（2）c＞1；（3）b＞0；（4）a+b+c＞0；（5）a﹣b+c＞0．你认为其中正确信息的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个解：（1）由抛物线的开口向下知a＜0，故正确；（2）由抛物线与y轴的交点为在y轴的正半轴上且大于1，可推出c＞1，故正确；（3）由图可知对称轴为x＝＞0，可推出a、b异号，又∵a＜0，∴b＞0，故正确；（4）因为抛物线与x轴的交点可以看出，当x＝1时，y＞0，所以a+b+c＞0，故正确，（5）因为抛物线与x轴的交点可以看出，当x＝﹣1时，y＜0，所以a﹣b+c＜0，错误．∴正确答案为4个．故选：C．二、填空题：（每题3分，共18分）9．已知α为锐角，且sinα＝cos50°，则α＝40°．解：∵sinα＝cos50°，∴α＝90°﹣50°＝40°．故答案为40°．10．如图，在⊙O中，＝，∠A＝30°，则∠B＝75°．解：∵在⊙O中，＝，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，∴∠B＝∠C；又∠A＝30°，∴∠B＝＝75°（三角形内角和定理）．故答案是：75．11．如图所示，一水库迎水坡AB的坡度i＝1：，则该坡的坡角a＝30度．解：由题意，设坡角α，∴tan a＝i＝，故坡角a＝30°．故答案为：30．12．把二次函数y＝﹣2x2﹣4x﹣5用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为y＝﹣2（x+1）2﹣3．解：y＝﹣2x2﹣4x﹣5＝﹣2（x2+2x+1﹣1）﹣5＝﹣2（x+1）2﹣3．故答案为y＝﹣2（x+1）2﹣3．13．⊙O的半径是6，点O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是相交．解：∵⊙O的半径为6，圆心O到直线l的距离为5，∵6＞5，即：d＜r，∴直线L与⊙O的位置关系是相交．故答案为：相交．14．锐角△ABC中，∠B＝80°，点I是△ABC的内心，则∠AIC＝130°．解：如图，∵∠B＝80°，∴∠BCA+∠BAC＝180°﹣80°＝100°∵点I是△ABC的内心，∴∠1＝∠BCA，∠2＝∠BAC，∴∠AIC＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣（∠BCA+∠BAC）＝130°，故答案为130°．三、解答题：（本大题共10小题，共78分）15．（6分）计算：2sin30°﹣tan45°+sin229°+cos229°解：因为sin30°＝，tan45°＝1，sin229°+cos229°＝1，所以2sin30°﹣tan45°+sin229°+cos229°＝2×﹣1+1＝1．16．（6分）如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A，B，C，请在网格图中进行下列操作：（1）请在图中确定该圆弧所在圆的圆心D的位置，点D的坐标为（2，0）；（2）⊙D的半径为2（结果保留根号）．解：（1）作AB、BC的垂直平分线，交点为圆心D，D的坐标为（2，0），故答案为（2，0）；（2）∵A（0，4），D（2，0），∴AD＝＝2，∴⊙D的半径为2，故答案为2．17．（6分）二次函数y＝ax2+bx+c（其中a≠0，a，b，c为常数）的图象如图所示，根据图象回答下列问题：（1）方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1＝﹣1，x2＝3；（2）不等式ax2+bx+c＞0的解集为﹣1＜x＜3．解：（1）∵方程ax2+bx+c＝0的两个根即为二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的两交点的横坐标由图象可知该二次函数的对称轴为x＝1，且与x轴有一个交点为（3，0）∴该二次函数与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）∴方程ax2+bx+c＝0的两个根为x1＝﹣1，x2＝3．故答案为：x1＝﹣1，x2＝3．（2）∵ax2+bx+c＞0时，函数图象为x轴上方的部分，此时﹣1＜x＜3∴不等式ax2+bx+c＞0的解集为﹣1＜x＜3．故答案为：﹣1＜x＜3．18．（7分）如图，小勇想估测家门前的一棵树的高度，他站在窗户C处，观察到树顶端A 正好与C处在同一水平线上，并且测得树底B的俯角为60°，已知树底B与墙脚D之间的距离为3米，请你帮助小勇算出树的高度AB约多少米？（结果保留根号）．解：由题意得，四边形ABDC为矩形，∴AC＝BD＝3，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝，则AB＝AC•tan∠ACB＝3（米），答：树的高度AB为3米．19．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D、E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．（1）求证：BE＝CE；（2）求∠CBF的度数；（3）若AB＝5，求的长．（1）证明：连接AE，∵AB是⊙O直径，∴∠AEB＝90°，即AE⊥BC，∵AB＝AC，∴BE＝CE．（2）解：∵∠BAC＝54°，AB＝AC，∴∠ABC＝63°，∵BF是⊙O切线，∴∠ABF＝90°，∴∠CBF＝∠ABF﹣∠ABC＝27°．（3）解：连接OD，∵OA＝OD，∠BAC＝54°，∴∠AOD＝72°，∵AB＝5，∴OA＝2.5，∴弧AD的长是＝π．20．（7分）“五一”期间，恒大影城隆重开业，影城每天运营成本为1000元，试营业期间统计发现，影城每天售出的电影票张数y（张）与电影票售价x（元/张）之间满足一次函数关系：y＝﹣4x+220（10≤x≤50，且x是整数），设影城每天的利润为w（元）（利润＝票房收入﹣运营成本）．（1）试求w与x之间的函数关系式；（2）影城将电影票售价定为多少元/张时，每天获利最大？最大利润是多少元？解：（1）根据题意，得：w＝（﹣4x+220）x﹣1000＝﹣4x2+220x﹣1000；（2）∵w＝﹣4x2+220x﹣1000＝﹣4（x﹣27.5）2+2025，∴当x＝27或28时，w取得最大值，最大值为2024，答：影城将电影票售价定为27或28元/张时，每天获利最大，最大利润是2024元．21．（8分）如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，求拉线CE的长（结果保留根号）．解：过点A作AH⊥CD，垂足为H，由题意可知四边形ABDH为矩形，∠CAH＝30°，∴AB＝DH＝1.5，BD＝AH＝6，在Rt△ACH中，tan∠CAH＝，∴CH＝AH•tan∠CAH，∴CH＝AH•tan∠CAH＝6tan30°＝6×＝2（米），∵DH＝1.5，∴CD＝2+1.5，在Rt△CDE中，∵∠CED＝60°，sin∠CED＝，∴CE＝＝（4+）（米），答：拉线CE的长为（4+）米．22．（9分）【感知】如图（1）M，N分别为△PQR的边PQ和PR的中点，则MN＝QR．【探究】如图（2）在⊙O中，点C是上的一个动点（不与点A，B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D，E．证明：DE的长度不变．【应用】在图（2）中，若OA＝OB＝5，∠AOB＝120°，则DE的长为．【感知】解：如图（1）∵M，N分别为△PQR的边PQ和PR的中点，∴MN＝QR．【探究】解：连接AB，∵OD⊥BC，OE⊥AC，∴BD＝CD，AE＝EC，∴DE＝AB，故DE的长度不变．【应用】解：如图（2），延长AO，交⊙O于F，连接BF，∵AF是直径，∴∠ABF＝90°，∵∠AOB＝120°，∴∠BOF＝180°﹣120°＝60°，∵OB＝OF，∴△BOF是等边三角形，∴BF＝OF＝OB＝5，∠F＝60°，∴AB＝tan60°•BF＝5，∴DE＝AB＝，故答案为．23．（10分）如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，抛物线y＝x2+bx+c 经过B、C两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）点E是直线BC下方抛物线上的一个动点，设点E的横坐标为m，求△BCE的面积S与m之间的函数关系式，并求出S的最大值．解：（1）当x＝0时，y＝﹣x+3＝3，则C（0，3）；当y＝0时，﹣x+3＝0，解得x＝3，则B（3，0），把B（3，0），C（0，3）代入y＝x2+bx+c得，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3；（2）EF∥y轴交BC于F，如图，设E（m，m2﹣4m+3），则F（m，﹣m+3），∴EF＝﹣m+3﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+3m，∴S＝×3×（﹣m2+3m）＝﹣（m﹣）2+，当m＝时，S的最大值为．24．（12分）在平面直角坐标系中，我们定义直线y＝ax﹣a为抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线y＝﹣x2﹣x+2与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B 的左侧），与x轴负半轴交于点C．（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为y＝﹣x+，点A的坐标为（﹣2，2），点B的坐标为（1，0）；（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C 的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2﹣x+2，∴其梦想直线的解析式为y＝﹣x+，联立梦想直线与抛物线解析式可得，解得或，∴A（﹣2，2），B（1，0），故答案为：y＝﹣x+；（﹣2，2）；（1，0）；（2）当点N在y轴上时，△AMN为梦想三角形，如图1，过A作AD⊥y轴于点D，则AD＝2，在y＝﹣x2﹣x+2中，令y＝0可求得x＝﹣3或x＝1，∴C（﹣3，0），且A（﹣2，2），∴AC＝＝，由翻折的性质可知AN＝AC＝，在Rt△AND中，由勾股定理可得DN＝＝＝3，∵OD＝2，∴ON＝2﹣3或ON＝2+3，当ON＝2+3时，则MN＞OD＞CM，与MN＝CM矛盾，不合题意，∴N点坐标为（0，2﹣3）；当M点在y轴上时，则M与O重合，过N作NP⊥x轴于点P，如图2，在Rt△AMD中，AD＝2，OD＝2，∴tan∠DAM＝＝，∴∠DAM＝60°，∵AD∥x轴，∴∠AMC＝∠DAO＝60°，又由折叠可知∠NMA＝∠AMC＝60°，∴∠NMP＝60°，且MN＝CM＝3，∴MP＝MN＝，NP＝MN＝，∴此时N点坐标为（，）；综上可知N点坐标为（0，2﹣3）或（，）；（3）①当AC为平行四边形的边时，如图2，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x 轴于点K，则有AC∥EF且AC＝EF，∴∠ACK＝∠EFH，在△ACK和△EFH中∴△ACK≌△EFH（AAS），∴FH＝CK＝1，HE＝AK＝2，∵抛物线对称轴为x＝﹣1，∴F点的横坐标为0或﹣2，∵点F在直线AB上，∴当F点横坐标为0时，则F（0，），此时点E在直线AB下方，∴E到x轴的距离为EH﹣OF＝2﹣＝，即E点纵坐标为﹣，∴E（﹣1，﹣）；当F点的横坐标为﹣2时，则F与A重合，不合题意，舍去；②当AC为平行四边形的对角线时，∵C（﹣3，0），且A（﹣2，2），∴线段AC的中点坐标为（﹣2.5，），设E（﹣1，t），F（x，y），则x﹣1＝2×（﹣2.5），y+t＝2，∴x＝﹣4，y＝2﹣t，代入直线AB解析式可得2﹣t＝﹣×（﹣4）+，解得t＝﹣，∴E（﹣1，﹣），F（﹣4，）；综上可知存在满足条件的点F，此时E（﹣1，﹣）、F（0，）或E（﹣1，﹣）、F（﹣4，）．。
2017-2018学年吉林省名校调研系列卷九年级上学期数学期中试卷含参考答案
2017-2018学年吉林省名校调研系列卷九年级上学期数学期中试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）下列二次根式中，与是同类二次根式地是（）A．B．C． D．2．（3分）下列事件是随机事件地是（）A．太阳从东方升起 B．买一张彩票没中奖C．一岁地婴儿身高4米D．跑出去地石头会下落3．（3分）方程x（x+3）=0地根是（）A．x=0 B．x=﹣3 C．x1=0，x2=3 D．x1=0，x2=﹣34．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D、E分别是AC、BC 地中点，则DE地长是（）A．2 B．C．D．0.55．（3分）如图，△ABC地顶点都在正方形网格地格点上，则tanC地值为（）A．B．C．D．6．（3分）小芳掷一枚硬币10次，有7次正面向上，当她掷第11次时，正面向上地概率为（）A．B．C．D．17．（3分）把一个五边形改成和它相似地五边形，如果面积扩大到原来地49倍，那么对应地边扩大到原来地（）A．49倍B．7倍 C．50倍D．8倍8．（3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB地垂直平分线MN交AC 于D，连接BD，若cos∠BDC=，则BC地长是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则cosB地值是．10．（3分）若关于x地一元二次方程ax2﹣bx+2=0（a≠0）地一个解是x=1，则3﹣a+b地值是．11．（3分）如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF=3：5，BE=12，那么CE地长等于．12．（3分）在一只不透明地袋子中装有红球和白球共20个，这些球除了颜色外都相同．将袋子中地球摇匀，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，通过多次试验后发现，摸到红球地频率稳定在30%，由此估计袋中有个红球．13．（3分）如图，为了测量油桶内油面地高度，将一根细木棒自油桶小孔插入桶内，测得木棒插入部分AB地长为100cm，木棒上沾油部分DB地长为60cm，桶高AC为80cm，那么桶内油面CE地高度是cm．14．（3分）如图，从位于O处地某海防哨所发现在它地北偏东60°地方向，相距600m地A处有一艘快艇正在向正南方向航行，经过若干时间快艇要到达哨所B，B在O地正东南方向，则A，B间地距离是m．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）计算：（1）﹣+（+1）（﹣1）．（2）（3﹣2+）÷2．16．（6分）已知关于x地一元二次方程kx2+2x﹣1=0有实数根，（1）求k地取值范围；（2）当k=2时，请用配方法解此方程．17．（6分）已知，如图，△ABC中，AB=2，BC=4，D为BC边上一点，BD=1．（1）求证：△ABD∽△CBA；（2）在原图上作DE∥AB交AC与点E，请直接写出另一个与△ABD相似地三角形，并求出DE地长．18．（7分）分别把带有指针地圆形转盘A、B分成4等份、3等份地扇形区域，并在每一个小区域内标上数字（如图所示）．欢欢、乐乐两个人玩转盘游戏，游戏规则是：同时转动两个转盘，当转盘停止时，若指针所指两区域地数字之积为奇数，则欢欢胜；若指针所指两区域地数字之积为偶数，则乐乐胜；若有指针落在分割线上，则无效，需重新转动转盘．（1）试用列表或画树状图地方法，求欢欢获胜地概率；（2）请问这个游戏规则对欢欢、乐乐双方公平吗？试说明理由．19．（7分）如图，在宽20米，长32米地矩形土地上，修筑横向、纵向道路各一条，且它们互相垂直，若纵向道路地宽是横向道路地宽地2倍，要使剩余土地地面积为504平方米，求横向道路地宽为多少米？20．（7分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，BC=8，D是AB地中点，过点B作直线CD地垂线，垂足为E．（1）求线段CD地长；（2）求cos∠ABE地值．21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC地三个顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣3，3）．（1）画出△ABC关于y轴对称地△A1B1C1，并写出A1点地坐标及sin∠B1A1C1地值；（2）以原点O为位似中心，位似比为1：2，在y轴地左侧，画出将△ABC放大后地△A2B2C2，并写出A2点地坐标；（3）若点D（a，b）在线段AB上，直接写出经过（2）地变化后点D地对应点D2地坐标．22．（9分）如图是小强洗漱时地侧面示意图，洗漱台（矩形ABCD）靠墙摆放，高AD=80cm，宽AB=48cm，小强身高166cm，下半身FG=100cm，洗漱时下半身与地面成80°（∠FGK=80°），身体前倾成125°（∠EFG=125°），脚与洗漱台距离GC=15cm（点D，C，G，K在同一直线上）．（1）此时小强头部E点与地面DK相距多少？（2）小强希望他地头部E恰好在洗漱盆AB地中点O地正上方，他应向前或后退多少？（sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，≈1.41，结果精确到0.1）23．（10分）感知：如图①，∠C=∠ABD=∠E=90°，可知△ACB∽△BED．（不要求证明）拓展：如图②，∠C=∠ABD=∠E．求证：△ACB∽△BED．应用：如图③，∠C=∠ABD=∠E=60°，AC=4，BC=1，则△ABD与△BDE地面积比为．24．（12分）如图，在△MNQ中，MN=11，NQ=，，矩形ABCD，BC=4，CD=3，点A与M重合，AD与MN重合．矩形ABCD沿着MQ方向平移，且平移速度为每秒5个单位，当点A与Q重合时停止运动．（1）MQ地长度是；（2）运动秒，BC与MN重合；（3）设矩形ABCD与△MNQ重叠部分地面积为S，运动时间为t，求出S与t之间地函数关系式．2017-2018学年吉林省名校调研系列卷九年级上学期数学期中试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）下列二次根式中，与是同类二次根式地是（）A．B．C． D．【解答】解：=与是同类二次根式，故A符合题意；B、=2，故B不符合题意；C、=2，故C不符合题意；D、=2故D不符合题意；故选：A．2．（3分）下列事件是随机事件地是（）A．太阳从东方升起 B．买一张彩票没中奖C．一岁地婴儿身高4米D．跑出去地石头会下落【解答】解：A、太阳从东方升是必然事件；B、买一张彩票没中奖是随机事件；C、一岁地婴儿身高4米是不可能事件；D、跑出去地石头会下落是必然事件，故选：B．3．（3分）方程x（x+3）=0地根是（）A．x=0 B．x=﹣3 C．x1=0，x2=3 D．x1=0，x2=﹣3【解答】解：∵x（x+3）=0，∴x=0，或x+3=0，解得x=0或x=﹣3．故选：D．4．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D、E分别是AC、BC 地中点，则DE地长是（）A．2 B．C．D．0.5【解答】解：∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB==5，∵D、E分别是AC、BC地中点，∴DE=AB=，故选：B．5．（3分）如图，△ABC地顶点都在正方形网格地格点上，则tanC地值为（）A．B．C．D．【解答】解：AD=2，CD=4，则tanC===．故选：A．6．（3分）小芳掷一枚硬币10次，有7次正面向上，当她掷第11次时，正面向上地概率为（）A．B．C．D．1【解答】解：∵掷一枚质地均匀地硬币，有两种结果：正面朝上，反面朝上，每种结果等可能出现，∴她第11次掷这枚硬币时，正面向上地概率是：．故选：B．7．（3分）把一个五边形改成和它相似地五边形，如果面积扩大到原来地49倍，那么对应地边扩大到原来地（）A．49倍B．7倍 C．50倍D．8倍【解答】解：五边形改成与它相似地五边形，如果面积扩大为原来地49倍，即得到地五边形与原来地五边形地面积地比是49：1，相似形面积地比等于相似比地平方，因而相似比是7：1，相似形对应边地比等于相似比，因而对应地边扩大为原来地7倍．故选：B．8．（3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB地垂直平分线MN交AC 于D，连接BD，若cos∠BDC=，则BC地长是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【解答】解：∵∠C=90°，AC=8cm，AB地垂直平分线MN交AC于D，∴BD=AD，∴CD+BD=8，∵cos∠BDC==，∴=，解得：CD=3，BD=5，∴BC=4．故选：A．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则cosB地值是．【解答】解：在Rt△ABC中，BC=3，AB=5，∴cosB=，故答案为：10．（3分）若关于x地一元二次方程ax2﹣bx+2=0（a≠0）地一个解是x=1，则3﹣a+b地值是5．【解答】解：∵关于x地一元二次方程ax2﹣bx+2=0（a≠0）地一个解是x=1，∴a﹣b+2=0，∴a﹣b=﹣2，∴3﹣a+b=3﹣（a﹣b）=3+2=5．故答案是：5．11．（3分）如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF=3：5，BE=12，那么CE地长等于．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴=，即=，∴BC=，∴CE=BE﹣BC=12﹣=．故答案为：．12．（3分）在一只不透明地袋子中装有红球和白球共20个，这些球除了颜色外都相同．将袋子中地球摇匀，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，通过多次试验后发现，摸到红球地频率稳定在30%，由此估计袋中有6个红球．【解答】解：设袋中有x个红球．由题意可得：=30%，解得：x=6，故答案为：6．13．（3分）如图，为了测量油桶内油面地高度，将一根细木棒自油桶小孔插入桶内，测得木棒插入部分AB地长为100cm，木棒上沾油部分DB地长为60cm，桶高AC为80cm，那么桶内油面CE地高度是48cm．【解答】解：∵AC⊥BC，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=，=，解得EA=32．∴CE=80﹣32=48，故答案为：48．14．（3分）如图，从位于O处地某海防哨所发现在它地北偏东60°地方向，相距600m地A处有一艘快艇正在向正南方向航行，经过若干时间快艇要到达哨所B，B在O地正东南方向，则A，B间地距离是300+300m．【解答】解：∵在直角△AOC中，∠AOC=30°，OA=600，∴AC=OA•sin30°=300，OC=OA•cos30°=300．∵直角△OBC是等腰直角三角形，∴BC=OC=300，∴AB=300+300（m）．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）计算：（1）﹣+（+1）（﹣1）．（2）（3﹣2+）÷2．【解答】解：（1）﹣+（+1）（﹣1）=3﹣2+3﹣1=+2（2）（3﹣2+）÷2=（6﹣+4）÷2=3﹣+2=16．（6分）已知关于x地一元二次方程kx2+2x﹣1=0有实数根，（1）求k地取值范围；（2）当k=2时，请用配方法解此方程．【解答】解：（1）∵一元二次方程kx2+2x﹣1=0有实数根，∴22+4k≥0，k≠0，解得，k≥﹣1且k≠0；（2）当k=2时，原方程变形为2x2+2x﹣1=0，2（x2+x）=1，2（x2+x+）=1+，2（x+）2=，（x+）2=x+=±，x1=，x2=．17．（6分）已知，如图，△ABC中，AB=2，BC=4，D为BC边上一点，BD=1．（1）求证：△ABD∽△CBA；（2）在原图上作DE∥AB交AC与点E，请直接写出另一个与△ABD相似地三角形，并求出DE地长．【解答】（1）证明：∵AB=2，BC=4，BD=1，∴==，=，∴=，∵∠ABD=∠CBA，∴△ABD∽△CBA；（2）解：∵DE∥AB，∴△CDE∽△CBA，∴△ABD∽△CDE，∴DE=1.5．18．（7分）分别把带有指针地圆形转盘A、B分成4等份、3等份地扇形区域，并在每一个小区域内标上数字（如图所示）．欢欢、乐乐两个人玩转盘游戏，游戏规则是：同时转动两个转盘，当转盘停止时，若指针所指两区域地数字之积为奇数，则欢欢胜；若指针所指两区域地数字之积为偶数，则乐乐胜；若有指针落在分割线上，则无效，需重新转动转盘．（1）试用列表或画树状图地方法，求欢欢获胜地概率；（2）请问这个游戏规则对欢欢、乐乐双方公平吗？试说明理由．【解答】解：根据题意画图如下：（1）共有12种情况，积为奇数地情况有6种，所以欢欢胜地概率是=；（2）由（1）得乐乐胜地概率为1﹣=，两人获胜地概率相同，所以游戏公平．19．（7分）如图，在宽20米，长32米地矩形土地上，修筑横向、纵向道路各一条，且它们互相垂直，若纵向道路地宽是横向道路地宽地2倍，要使剩余土地地面积为504平方米，求横向道路地宽为多少米？【解答】解：设横向道路地宽为x米，则纵向道路地宽为2x米，剩余土地地长为（32﹣2x）米、宽为（20﹣x）米，根据题意得：（32﹣2x）（20﹣x）=504，整理得：x2﹣36x+68=0，解得：x1=2，x2=34．∵32﹣2x＞0，∴x＜16，∴x=2．答：横向道路地宽为2米．20．（7分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，BC=8，D是AB地中点，过点B作直线CD地垂线，垂足为E．（1）求线段CD地长；（2）求cos∠ABE地值．【解答】解：（1）在△ABC中，∵∠ACB=90°，∴sinA==，而BC=8，∴AB=10，∵D是AB中点，∴CD=AB=5；（2）在Rt△ABC中，∵AB=10，BC=8，∴AC==6，∵D是AB中点，∴BD=5，S△BDC =S△ADC，∴S△BDC =S△ABC，即CD•BE=•AC•BC，∴BE==，在Rt△BDE中，cos∠DBE===，即cos∠ABE地值为．21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC地三个顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣3，3）．（1）画出△ABC关于y轴对称地△A1B1C1，并写出A1点地坐标及sin∠B1A1C1地值；（2）以原点O为位似中心，位似比为1：2，在y轴地左侧，画出将△ABC放大后地△A2B2C2，并写出A2点地坐标；（3）若点D（a，b）在线段AB上，直接写出经过（2）地变化后点D地对应点D2地坐标．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1，即为所求，A1（2，1），∵=B1C+A1C，A1C1=B1C1，∴△A1B1C1是等腰直角三角形，∴sin∠B1A1C1=sin45°=；（2）如图，△A2B2C2，即为所求，A2（﹣4，2）；（3）∵点D（a，b）在线段AB上，位似比为1：2，∴D2（2a，2b）．22．（9分）如图是小强洗漱时地侧面示意图，洗漱台（矩形ABCD）靠墙摆放，高AD=80cm，宽AB=48cm，小强身高166cm，下半身FG=100cm，洗漱时下半身与地面成80°（∠FGK=80°），身体前倾成125°（∠EFG=125°），脚与洗漱台距离GC=15cm（点D，C，G，K在同一直线上）．（1）此时小强头部E点与地面DK相距多少？（2）小强希望他地头部E恰好在洗漱盆AB地中点O地正上方，他应向前或后退多少？（sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，≈1.41，结果精确到0.1）【解答】解：（1）过点F作FN⊥DK于N，过点E作EM⊥FN于M．∵EF+FG=166，FG=100，∴EF=66，∵∠FGK=80°，∴FN=100•sin80°≈98，∵∠EFG=125°，∴∠EFM=180°﹣125°﹣10°=45°，∴FM=66•cos45°=33≈46.53，∴MN=FN+FM≈144.5，∴此时小强头部E点与地面DK相距约为144.5cm．（2）过点E作EP⊥AB于点P，延长OB交MN于H．∵AB=48，O为AB中点，∴AO=BO=24，∵EM=66•sin45°≈46.53，∴PH≈46.53，∵GN=100•cos80°≈17，CG=15，∴OH=24+15+17=56，OP=OH﹣PH=56﹣46.53=9.47≈9.5，∴他应向前9.5cm．23．（10分）感知：如图①，∠C=∠ABD=∠E=90°，可知△ACB∽△BED．（不要求证明）拓展：如图②，∠C=∠ABD=∠E．求证：△ACB∽△BED．应用：如图③，∠C=∠ABD=∠E=60°，AC=4，BC=1，则△ABD与△BDE地面积比为 13：3 ．【解答】拓展：证明：∵∠ABE=∠C +∠CAB ，∠ABE=∠ABD +∠DBE ，∠C=∠ABD ， ∴∠CAB=∠DBE ，∵∠C=∠E ， ∴△ACB ∽△BED ；应用：解：∵∠ABE=∠C +∠CAB ，∠ABE=∠ABD +∠DBE ，∠C=∠ABD ，∴∠CAB=∠DBE ，∵∠C=∠E=60°，∴△ACB ∽△BED ，△ACE 是等边三角形，∴AE=AC=4，∴BE=CE ﹣BC=3，∴△ACB 与△BED 地相似比为：4：3，∴S △ABC ：S △BED =16：9，S △ABC ：S △ABE =1：3=16：48，设S △ABC =16x ，则S △ABE =48x ，S △BDE =9x∴S △ABD =S △ABE ﹣S △BED =48x ﹣9x=39x ，∴S △ABD ：S △BDE =39：9=13：3．故答案为：13：3．24．（12分）如图，在△MNQ 中，MN=11，NQ=，，矩形ABCD ，BC=4，CD=3，点A 与M 重合，AD 与MN 重合．矩形ABCD 沿着MQ 方向平移，且平移速度为每秒5个单位，当点A 与Q 重合时停止运动．（1）MQ 地长度是 10 ；（2）运动 1 秒，BC 与MN 重合；（3）设矩形ABCD 与△MNQ 重叠部分地面积为S ，运动时间为t ，求出S 与t 之间地函数关系式．【解答】解：（1）如图1，过Q作QH⊥MN于H，∵QN=3，cosN==，∴NH=3，∴MH=11﹣3=8，在Rt△NHQ中，由勾股定理得：QH==6，在Rt△QMH中，由勾股定理得：MQ==10，故答案为：10．（2）连接BD，如图1，∵tan∠ABD==，tan∠QMN===，∴QM∥BD，当BC和MN重合时，B正好到D点，由勾股定理得：BD=5，5÷5=1，即运动1秒时，BC和MN重合，故答案为：1．（3）分为四种情况：①当BC运动到MN上时，此时0＜t≤1，如图2，∵sinM==，∴=，∴AK=3t，∵AD=4，第21页（共25页）②当D到QN上时，此时1＜t≤，如图3，∵△QAD∽△QMN，∴=，∴=，∴QR=，∵AD∥MN，∴△QAR∽△QMH，∴=，∴=，∴t=，即此时1＜t≤，S=3×4=12；③当C到QN上时，此时＜t≤，如图4，∵AD∥MN，∴∠AFQ=∠N=∠DFC，∵∠D=∠QHN=90°，∴△DFC∽△HNQ，∴=，∴=，∴DF=1.5，AF=4﹣1.5=2.5，∵AD∥MN，∴△QAF∽△QMN，∴=，∴t=，即当C到QN上时，t=，∵=，∴=，∴AF=11﹣5.5t，S=（AF+BC）×CD=（11﹣5.5t+4）•3，S=﹣8.25t+22.5；④当＜t≤2时，如图5，∵AD∥MN，∴△QAF∽△QMN，∴=，∴=，∴AF=11﹣5.5t，过K作KP⊥AD于P，则△KPF∽△QHN，∴=，∴=，∴PF=1.5，∴BK=AP=AF+PF=11﹣5.5t+1.5=12.5﹣5.5t，∴S=（AF+BK）•CD=[11﹣5.5t+12.5﹣5.5t]×3，S=﹣t+35.25．第23页（共25页）第25页（共25页）。
吉林省长春市朝阳区2017_2018学年九年级数学上学期期中试卷
九年级数学期中考试参考答案阅卷说明：1．评卷采分最小单位为1分，每步标出的是累计分．2．考生若用本“参考答案”以外的解（证）法，可参照本“参考答案”的相应步骤给分． 一、选择题（每小题3分，共24分）1．B 2．A 3．B 4．D 5．C 6．D 7．C 8．C 二、填空题（每小题3分，共18分）9．20 10．4x = 11．6 12．4.5 13．（-1，1） 14．5.5 评分说明：第10题写出两个根不给分，写成4可以给分． 三、解答题（本大题10小题，共78分）15．原式= （3分）= （6分） 16．（1）二 （1分）等式的基本性质2用错 （2分） （2）(2)(2)0x x x -+-=． (2)(1)0x x -+=．11x =-，22x =． （6分） 评分说明：第（1）题第2空写成“漏掉2x =的解”或者“等式的基本性质用错”均给分；意思表述正确，可以给分．17．由题意，得2340m ∆=->． （3分）解得94m <． （5分） 所以m 的最大整数值为2． （6分） 18．设该县投入教育经费的年平均增长率为x ． （1分）由题意，得25 000(1) 5 000 2 200x +=+． （4分） 解得10.220%x ==，2 2.2x =-（不合题意，舍去）． （6分） 答：该县投入教育经费的年平均增长率为20%． （7分） 19．答案不唯一，以下答案供参考，画对一个得4分，两个都画对得7分．20．（1）∵△ABC 是等边三角形，∴AB =AC ，∠ABC =∠ACB =60°． （1分）∵DE ∥AB ，∴∠ABC =∠ADE =60°，∠ACB =∠AED =60°．∴∠ADE =∠AED =60°．∴△ADE 是等边三角形． （2分）∴AD =AE ．∴BD CE =． （3分）∵M 、N 分别为DE 、BE 的中点，∴12MN BD =． ∵N 、P 分别为BE 、BC 的中点，（第20题）P N M E D CB AP 4P 3P 2P 1AB CE D （第19题）∴12NP CE =． （4分）∴MN PN =． （5分）（2）120 （7分） 21．（1）(324)m x -． （2分） （2）由题意，得(324)316x x -=⨯． （4分） 解得122,6x x ==． （6分） 当2x =时，324248x -=>，不合题意，舍去．当6x =时，3248x -=． （7分） 答：AB 的长是6m ． （8分） 评分说明：（1）第（1）题不带单位可给分，带单位不加括号可给分．（2）第（2）题答不带单位可给分．22．探究：如图．∵四边形ABCD 是矩形，∴90D C ∠=∠=︒． （2分）∴90DEP DPE ∠+∠=︒．（3分） ∵EF PE ⊥，∴90DEP CEF ∠+∠=︒． （4分） ∴DPE CEF ∠=∠． （5分）∴PDE ∆∽ECF ∆． （6分） 应用：2 （9分） 23．（1）1- 2 （2分） （2）424225214x x x x -+=-++22(1)4x =-+ （3分） ∵22(1)0x -≥,∴22(1)40x -+>．∴代数式4225x x -+的值一定是正数． （4分）当1x =±时，这个代数式的值最小，最小值是4． （6分）（3）由题意，得21S a =，24(3)412S a a =-=-． （8分） 则22212(412)412(2)8S S a a a a a -=--=-+=-+． （9分） ∵2(2)0a ->,∴2(2)80a -+>． ∴120S S ->．∴12S S >． （10分）评分说明：第（3）题只写出12S S >，没有证明，可给1分． 24．（1）如图①，∵DP AB ⊥，90C ∠=︒，∴90C ADP ∠=∠=︒．由勾股定理，得4AC ==．∵A A ∠=∠，∴APD ∆∽ABC ∆． ∴AP ADAB AC=． QPBAC D 图①（第22题）AB C D EFP∴2 2.554t =． ∴2516t =． （2分）（2）如图②，当CPQ ∆∽CAB ∆时，则CP CQCA CB=． ∴4243t t -=．∴65t =． （3分）如图③，当CPQ ∆∽CBA ∆时，则CP CQCB CA=． ∴4234t t-=． ∴1611t =． （4分）（3）如图④，当02t ≤≤时，分别过点P 、Q 作PE AB ⊥于点E ，QF AB ⊥于点F ．∴DPQ ABC ADP CPQ BDQ S S S S S ∆∆∆∆∆=---11112222AC BC AD PE BD QF CP CQ =⋅-⋅-⋅-⋅ 11531541432(3)(42)22252252t t t t =⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯---∴2532S t t =-+． （6分）如图⑤，当23t <≤时，分别过点P 、Q 作PE AB ⊥于点E ，QF AB ⊥于点F ． ∴DPQ ABC ADP CPQ BDQ S S S S S ∆∆∆∆∆=--- 11112222AC BC AD PE BD QF CP CQ =⋅-⋅-⋅-⋅ 1153154143(82)(3)(24)22252252t t t t =⨯⨯-⨯⨯--⨯⨯⨯---∴2932S t t =-+-． （8分）（4）1t =，32t =，22t =，3t =． （12分）图④ F E D C A B P Q图⑤ Q PB A CD E F 图②D C AB PQQPBACD 图③【提示】如图⑥～⑨．Q PB A CD D QPB A C(Q )DPB A CCAB PQD 图⑥ 图⑦ 图⑧ 图⑨。
吉林省名校调研2017届九年级(上)期中数学试卷
2016-2017学年省市名校调研九年级（上）期中数学试卷（省命题）一、选择题（共6小题，每小题2分，满分12分）1．下列图形中只是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．方程x2+x=0的根为（）A．x=﹣1 B．x=0 C．x1=0，x2=﹣1 D．x1=0，x2=13．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+c=0有两个相等的实数根，则常数c的值为（）A．±4 B．4 C．±16 D．164．二次函数y=﹣x2+1的图象与y轴的交点坐标是（）A．（0，1）B．（1，0）C．（﹣1，0） D．（1，0）或（﹣1，0）5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△ADE，点C落在边AD上，连接BD．若∠DAE=α，则用含α的式子表示∠CBD的大小是（）A．αB．90°﹣αC．D．906．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC、BC，点D是BA延长线上一点，且AC=AD，若∠B=30°，AB=2，则CD的长是（）A．B．2 C．1 D．二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）7．点M（2，3）关于原点成中心对称的点的坐标是．8．若一个圆的半径为r，面积为S，则S与r之间的函数关系式是．9．二次函数y=（x﹣2）2﹣1的顶点坐标为．10．若x=3是一元二次方程x2﹣2x+c=0的一个根，则这个方程根的判别式的值是．11．如图，四边形ABCD接于⊙O，E为CD延长线上一点，若∠B=96°，则∠ADE的度数为度．12．如图，AC是形ABCD的对角线，将△ACD绕着点A顺时针旋转后得到△AC′D′，点D′落在AC上，C′D′交BC于点E，若AB=1，则图中阴影部分图形的面积是．13．如图，等边三角形ABC接于⊙O，D为上一点，连接BD交AC于点E，若∠ABD=45°，则∠AED=度．14．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，对称轴是x=1，有以下四个结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③b=﹣2a；④a+b+c＞2，其中正确的是（填写序号）三、解答题（共12小题，满分84分）15．解方程：x2﹣5x﹣1=0．16．已知函数y=2x2+4x+1．（1）求这个二次函数的最小值；（2）直接写出它的图象是由抛物线y=2x2经过怎样的平移得到的．17．求证：无论m取任何值，关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣2=0都有两个不相等的实数根．18．如图，在⊙O中，=，OD=AO，OE=OB，求证：CD=CE．19．（7分）如图，在5×7的形网格中，每个小形的边长均为1，每个小形顶点叫做格点，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕着点O顺时针旋转90°得到△A′B′C′，请在图中画出旋转后的△A′B′C′．20．（7分）某地2014年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加．2016年在2014年的基础上增加投入资金1600万元，从2014年到2016年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？21．（7分）如图，四边形OABC是平行四边形，点A，B，C在⊙O上，P为上一点，连接AP，CP，求∠P的度数．22．（7分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（2，0），B（0，2），点P是抛物线上一动点，连接BP，OP．（1）求这条抛物线的解析式；（2）若△BOP是以BO为底边的等腰三角形，求点P的坐标．23．（8分）感知：如图①，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，形CDEF 的顶点D、F分别在边AC、BC上，易证：AD=BF（不需要证明）；探究：将图①的形CDEF绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），连接AD、BF，其他条件不变，如图②，求证：AD=BF；应用：若α=45°，CD=，BE=1，如图③，则BF=．24．（8分）如图，在一面靠墙的空地上用长24m的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x（m），面积S（m2）．（1）求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值围；（2）若墙的最大可用长度为8m，求围成花圃的最大面积．25．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=3cm，动点P从点A出发，沿AB以1cm/s的速度向终点B匀速运动，同时点Q从点B出发，沿B→C→D 以1cm/s的速度向终点D匀速运动，当两个点中有一个到达终点后，另一个点也随之停止．连接PQ，设点P的运动时间为x（s），PQ2=y（cm2）．（1）当点Q在边CD上，且PQ=3时，求x的值；（2）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值围；（3）直接写出y随x增大而增大时自变量x的取值围．26．（10分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（0，2）两点，将△OAB绕点B逆时针旋转90°后得到△O′A′B′，点A落到点A′的位置．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）将抛物线沿y轴平移后经过点A′，求平移后所得抛物线对应的函数关系式；（3）设（2）中平移后所得抛物线与y轴的交点为C，若点P在平移后的抛物线上，且满足△OCP的面积是△O′A′P面积的2倍，求点P的坐标；（4）设（2）中平移后所得抛物线与y轴的交点为C，与x轴的交点为D，点M 在x轴上，点N在平移后所得抛物线上，直接写出以点C，D，M，N为顶点的四边形是以CD为边的平行四边形时点N的坐标．2016-2017学年省市名校调研九年级（上）期中数学试卷（省命题）参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题2分，满分12分）1．下列图形中只是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形．【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，即可判断出答案．【解答】解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、平行四边形是中心对称的图形，故此选项正确；C、等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、半圆只是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了中心对称图形的定义，关键是找出图形的对称中心．2．方程x2+x=0的根为（）A．x=﹣1 B．x=0 C．x1=0，x2=﹣1 D．x1=0，x2=1【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】把方程左边进行因式分解x（x+1）=0，方程就可化为两个一元一次方程x=0或x+1=0，解两个一元一次方程即可．【解答】解：x2+x=0，∴x（x+1）=0，∴x=0或x+1=0，∴x1=0，x2=﹣1．故选C．【点评】本题考查了运用因式分解法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的方法：先把方程化为一般式，再把方程左边进行因式分解，然后一元二次方程就可化为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可．3．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+c=0有两个相等的实数根，则常数c的值为（）A．±4 B．4 C．±16 D．16【考点】根的判别式．【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于c的一元一次方程，解方程即可得出结论．【解答】解：∵方程x2﹣4x+c=0有两个相等的实数根，∴△=（﹣4）2﹣4×1×c=16﹣4c=0，解得：c=4．故选B．【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，由方程有两个相等的实数根结合根的判别式得出关于c的一元一次方程是解题的关键．4．二次函数y=﹣x2+1的图象与y轴的交点坐标是（）A．（0，1）B．（1，0）C．（﹣1，0） D．（1，0）或（﹣1，0）【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】令x=0，求出y的值，即可求出与y轴的交点坐标．【解答】解：x=0时，y=1，所以．图象与y轴交点的坐标是（0，1）．故选A．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握函数与坐标轴的交点的求解方法是解题的关键．5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△ADE，点C落在边AD上，连接BD．若∠DAE=α，则用含α的式子表示∠CBD的大小是（）A．αB．90°﹣αC．D．90【考点】旋转的性质．【分析】根据旋转的性质、三角形角和定理和四边形角和定理进行解答．【解答】解：∵根据旋转的性质得到：∠1=∠2=α，∠ACB=∠D=90°，∠3=∠5，∴∠3=∠5=90°﹣α，∵（∠1+∠2）+（∠3+∠4+∠E）+∠6+∠5=360°，∠1+∠3=90°，∠2+∠5=90°，∠3+∠4+∠E=180°，∴2α+180°+∠6+90°﹣α=360°，则∠6=90°﹣α，∴∠4=90°﹣∠6=α．故选：A．【点评】本题考查了旋转的性质．解题时，注意利用隐藏在题干中的已知条件：三角形角和是180度和四边形的角和是360度．6．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC、BC，点D是BA延长线上一点，且AC=AD，若∠B=30°，AB=2，则CD的长是（）A．B．2 C．1 D．【考点】圆周角定理．【分析】连接OC，先根据AB是⊙O的直径得出∠ACB=90°，再由∠B=30°得出∠BAC=60°，根据AC=AD可知∠D=∠ACD，由三角形外角的性质得出∠D=∠ACD=30°，再由OC=OB，∠B=30°得出∠DOC=60°，故可得出∠OCD=90°，再由AB=2可知OC=1，根据锐角三角函数的定义即可得出结论．【解答】解：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∵∠B=30°，∴∠BAC=60°．∵AC=AD，∴∠D=∠ACD=30°．∵OC=OB，∠B=30°，∴∠DOC=60°，∴∠OCD=90°．∵AB=2，∴OC=1，∴CD===．故选D．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）7．点M（2，3）关于原点成中心对称的点的坐标是（﹣2，﹣3）．【考点】关于原点对称的点的坐标．【分析】根据“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数”解答．【解答】解：点M（2，3）关于原点成中心对称的点的坐标是（﹣2，﹣3）．故答案为：（﹣2，﹣3）．【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．8．若一个圆的半径为r，面积为S，则S与r之间的函数关系式是S=πr2．【考点】函数关系式．【分析】根据圆的面积计算公式，直接写出函数关系式．【解答】解：由圆的面积计算公式，S与r之间的函数关系式是S=πr2．故答案为：S=πr2．【点评】此题考查了函数关系式，用公式列函数关系式，是表示函数解析式的重要方法，需要熟练掌握常用的公式．9．二次函数y=（x﹣2）2﹣1的顶点坐标为（2，﹣1）．【考点】二次函数的性质．【分析】因为顶点式y=a（x﹣h）2+k，其顶点坐标是（h，k），对照求二次函数y=（x﹣2）2﹣1的顶点坐标．【解答】解：∵二次函数y=（x﹣2）2﹣1是顶点式，∴顶点坐标为（2，﹣1）．【点评】顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h，此题考查了学生的应用能力．10．若x=3是一元二次方程x2﹣2x+c=0的一个根，则这个方程根的判别式的值是16．【考点】根的判别式．【分析】将x=3代入方程求出c值，再根据根的判别式△=b2﹣4ac即可求出结论．【解答】解：将x=3代入x2﹣2x+c=0中得：9﹣6+c=0，解得：c=﹣3．∴△=（﹣2）2﹣4×1×c=4﹣4×1×（﹣3）=16．故答案为：16．【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解，将x=3代入方程求出c 值是解题的关键．11．如图，四边形ABCD接于⊙O，E为CD延长线上一点，若∠B=96°，则∠ADE的度数为96度．【考点】圆接四边形的性质；圆周角定理．【分析】根据圆接四边形的任意一个外角等于它的对角解答即可．【解答】解：∵四边形ABCD接于⊙O，∴∠ADE=∠B=96°，故答案为：96．【点评】本题考查的是圆接四边形的性质，圆接四边形的对角互补、圆接四边形的任意一个外角等于它的对角．12．如图，AC是形ABCD的对角线，将△ACD绕着点A顺时针旋转后得到△AC′D′，点D′落在AC上，C′D′交BC于点E，若AB=1，则图中阴影部分图形的面积是﹣1．【考点】旋转的性质；形的性质．【分析】根据题意知，将△ACD绕着点A顺时针旋转45°后得到△AC′D′，所以利用等腰直角三角形的面积公式进行解答即可．【解答】解：∵AC是形ABCD的对角线，将△ACD绕着点A顺时针旋转后得到△AC′D′，∴∠ACB=∠BC′E=45°，AD′=AD=AB=1，AC=，∠CD′C′=90°，∴S阴影=S△ABC ﹣S△ECD′=×1×1﹣×（﹣1）×（﹣1）=﹣1．故答案是：．【点评】本题考查了旋转的性质，形的性质．解题时，需要利用形的对角线平分对角和等腰直角三角形的性质．13．如图，等边三角形ABC接于⊙O，D为上一点，连接BD交AC于点E，若∠ABD=45°，则∠AED=105度．【考点】三角形的外接圆与外心；三角形的外角性质；等边三角形的性质；圆周角定理．【分析】先根据圆周角定理，求得∠ACD与∠D的度数，再根据三角形外角性质，求得∠AED的度数即可．【解答】解：∵等边三角形ABC接于⊙O，且∠ABD=45°，∴∠ACD=∠ABD=45°，∠A=∠D=60°，又∵∠AED是△CDE的外角，∴∠AED=45°+60°=105°，故答案为：105．【点评】本题主要考查了圆周角定理以及等边三角形的性质的综合应用，解题时注意：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．14．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，对称轴是x=1，有以下四个结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③b=﹣2a；④a+b+c＞2，其中正确的是②③④（填写序号）【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵与y轴的交点为在y轴的正半轴上，∴c＞0，∵对称轴为x=﹣＞0，∴a、b异号，即b＞0，∴abc＜0；故本结论错误；②从图象知，该函数与x轴有两个不同的交点，所以根的判别式△=b2﹣4ac＞0；故本结论正确；③∵对称轴为x=﹣=1，∴b=﹣2a，故本结论正确；④由图象知，x=1时y＞2，所以a+b+c＞2，故本结论正确．故答案为②③④．【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式以及特殊值的熟练运用．三、解答题（共12小题，满分84分）15．解方程：x2﹣5x﹣1=0．【考点】解一元二次方程-公式法．【分析】先找出a，b，c，再代入求根公式x=，进行计算即可．【解答】解：x2﹣5x﹣1=0，∵a=1，b=﹣5，c=﹣1∴x==，∴x1=，x2=．【点评】本题考查了用公式法解一元二次方程，找出a，b，c，掌握求根公式是解此题的关键．16．已知函数y=2x2+4x+1．（1）求这个二次函数的最小值；（2）直接写出它的图象是由抛物线y=2x2经过怎样的平移得到的．【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的最值．【分析】（1）把二次函数解析式转化为顶点式，则利用抛物线的性质写出最小值即可；（2）根据平移规律写出答案．【解答】解：（1）y=2x2+4x+1=2（x+1）2﹣1．∵a=2＞0，∴这个二次函数的最小值是﹣1；（2）由抛物线y=2x2向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到抛物线y=2x2+4x+1．【点评】本题主要考查二次函数的性质及图象的平移，掌握二次函数的顶点式y=a（x﹣h）2+k对应的开口方向、对称轴、顶点坐标是解题的关键．17．求证：无论m取任何值，关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣2=0都有两个不相等的实数根．【考点】根的判别式．【分析】求出△的值，再进行变形，最后判断，即可得出答案．【解答】解：∵a=1，b=m，c=m﹣2，∴△=m2﹣4（m﹣2）=m2﹣4m+8=（m﹣2）2+4，∵（m﹣2）2≥0．∴（m﹣2）2+4＞0，∴无论m取任何值，关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣2=0都有两个不相等的实数根．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的根判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．18．如图，在⊙O中，=，OD=AO，OE=OB，求证：CD=CE．【考点】圆心角、弧、弦的关系．【分析】根据=，得出∠AOC=∠BOC，再由AD=BE，OA=OB可得OD=OB，根据SAS定理得出△COD≌△COE，由此可得出结论．【解答】证明：=，∴∠AOC=∠BOC．∵AD=BE，OA=OB，∴OD=OB．在△COD与△COE中，∵，∴△COD≌△COE（SAS），∴CD=CE．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解答此题的关键．19．如图，在5×7的形网格中，每个小形的边长均为1，每个小形顶点叫做格点，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕着点O顺时针旋转90°得到△A′B′C′，请在图中画出旋转后的△A′B′C′．【考点】作图-旋转变换．【分析】根据网格结构找出点A、B、C绕点O顺时针旋转90°后的对应点的位置，然后顺次连接即可．【解答】解：如图所示，△A′B′C′即为△ABC绕点O顺时针旋转90°后的图形．【点评】本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．20．某地2014年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加．2016年在2014年的基础上增加投入资金1600万元，从2014年到2016年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？【考点】一元二次方程的应用．【分析】设年平均增长率为x，根据：2014年投入资金给×（1+增长率）2=2016年投入资金，列出方程组求解可得．【解答】解：设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据题意，得：1280（1+x）2=1280+1600，解得：x=0.5或x=﹣2.5（舍），答：从2014年到2016年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%．【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，由题意准确抓住相等关系并据此列出方程是解题的关键．21．如图，四边形OABC是平行四边形，点A，B，C在⊙O上，P为上一点，连接AP，CP，求∠P的度数．【考点】圆周角定理；平行四边形的性质．【分析】连接OB，证明四边形OABC是菱形，进而得到△ABC是等边三角形，于是得到∠AOC的度数，即可得到答案．【解答】解：连接OB，∵四边形OABC是平行四边形，且OA=OC，∴平行四边形OABC是菱形，∴OA=AB，∴△ABC是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠AOC=120°，∴∠APC=∠AOC=60°．【点评】本题考查的是圆周角定理的应用，掌握圆周角定理、圆接四边形的性质和平行四边形的性质是解题的关键．22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（2，0），B（0，2），点P是抛物线上一动点，连接BP，OP．（1）求这条抛物线的解析式；（2）若△BOP是以BO为底边的等腰三角形，求点P的坐标．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的性质．【分析】（1）待定系数法求解可得；（2）根据△BOP是以BO为底边的等腰三角形知点P的纵坐标为1，即可得﹣x2+x+2=1，解之可得其横坐标．【解答】解：（1）将点A（2，0），B（0，2）代入y=﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴这条抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2；（2）∵△BOP是以BO为底边的等腰三角形，且OB=2，∴点P的纵坐标为1，当y=1时，﹣x2+x+2=1，解得：x1=，x2=，∴点P的坐标为（，1）或（，1）．【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式和等腰三角形的性质，熟练掌握待定系数法和等腰三角形的三线合一性质是解题的关键．23．感知：如图①，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，形CDEF的顶点D、F分别在边AC、BC上，易证：AD=BF（不需要证明）；探究：将图①的形CDEF绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），连接AD、BF，其他条件不变，如图②，求证：AD=BF；应用：若α=45°，CD=，BE=1，如图③，则BF=．【考点】四边形综合题．【分析】探究：证明△ADC≌△BFC，可得结论；应用：过D作DG⊥AC于G，先根据勾股定理得：EC=2，得形边长为3，则AC=3，根据α=45°，得△DCG是等腰直角三角形，求出CG的长，则得AG的长，再次利用勾股定理求AD的长，即BF的长．【解答】证明：探究：如图②，∵四边形CDEF为形，∴CD=CF，由旋转得：∠ACD=∠BCF，∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴AC=BC，∴△ADC≌△BFC，∴AD=BF；应用：如图③，∵四边形CDEF为形，∴∠EDC=90°，ED=DC，∵DC=，∴EC===2，∴BC=BE+EC=1+2=3，∴AC=BC=3，过D作DG⊥AC于G，∵α=45°，即∠ACD=45°，∴△DCG是等腰直角三角形，∴DG=CG=1，∴AG=BC﹣CG=3﹣1=2，由勾股定理得：AD===，同理得：△ADC≌△BFC，∴BF=AD=．【点评】本题是四边形和图形旋转的综合题，考查了形、等腰直角三角形、全等三角形的性质，熟知形的各边相等，各角都是90°，等腰直角三角形的两直角边相等，且锐角为45°；明确旋转角相等，同时利用三角形全等和勾股定理求边和角的度数，使问题得以解决．24．如图，在一面靠墙的空地上用长24m的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x（m），面积S（m2）．（1）求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值围；（2）若墙的最大可用长度为8m，求围成花圃的最大面积．【考点】二次函数的应用．【分析】（1）根据花圃的宽AB为x米，得出BC，再根据长方形的面积公式列式计算即可；（2）根据S与x之间的函数关系式，结合x的取值围求出函数的最值即可．【解答】解：（1）∵花圃的宽AB为x米，∴BC=（24﹣4x）米，∴S=x（24﹣4x）=﹣4x2+24x（0＜x＜6）；（2）∵S=﹣4x2+24x=﹣4（x﹣3）2+36，∵24﹣4x≤8，∴x≥4，∵0＜x＜6，∴4≤x＜6，∵a=﹣4＜0，∴S随x的增大而减小，∴当x=4时，S，最大值=32答；当x取4时所围成的花圃的面积最大，最大面积是32平方米．【点评】本题主要考查了二次函数的应用，用到的知识点是二次函数的最值、二次函数的解析式、长方形的面积，能把实际问题转化成数学问题是解此题的关键．25．（10分）（2016秋•期中）如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=3cm，动点P从点A出发，沿AB以1cm/s的速度向终点B匀速运动，同时点Q从点B 出发，沿B→C→D以1cm/s的速度向终点D匀速运动，当两个点中有一个到达终点后，另一个点也随之停止．连接PQ，设点P的运动时间为x（s），PQ2=y （cm2）．（1）当点Q在边CD上，且PQ=3时，求x的值；（2）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值围；（3）直接写出y随x增大而增大时自变量x的取值围．【考点】四边形综合题．【分析】（1）根据条件可知四边形PBCQ是矩形，推出PB=CQ，列出方程即可解决问题．（2）分两种情形①如图②中，当0≤x≤3时，②如图③中，当3＜x≤4时，过点Q作QE⊥AB于点E，分别利用勾股定理即可解决问题．（3）把（2）中的二次函数，利用配方法，求出对称轴，即可判断．【解答】解：（1）如图①中，当点Q在边CD上时，且PQ=AD=3，则PQ∥BC，四边形PBCQ是矩形，∴PB=CQ，∴4﹣x=x﹣3，∴x=3.5．（2）如图②中，当0≤x≤3时，y=（4﹣x）2+x2=2x2﹣8x+16．如图③中，当3＜x≤4时，过点Q作QE⊥AB于点E，则QE=3，y=（7﹣2x）2+32=4x2﹣28x+58．（3）∵当0≤x≤3时，y=2x2﹣8x+16=2（x﹣2）2+8．当3＜x≤4时，y=4x2﹣28x+58=4（x﹣）2+9．∴当2≤x≤3或x≤4时，y随x增大而增大．【点评】本题考查二次函数综合题、勾股定理．二次函数的增减性等知识，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，灵活应用配方法确定对称轴位置，利用二次函数的增减性解决问题，属于中考常考题型．26．（10分）（2016秋•期中）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（0，2）两点，将△OAB绕点B逆时针旋转90°后得到△O′A′B′，点A 落到点A′的位置．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）将抛物线沿y轴平移后经过点A′，求平移后所得抛物线对应的函数关系式；（3）设（2）中平移后所得抛物线与y轴的交点为C，若点P在平移后的抛物线上，且满足△OCP的面积是△O′A′P面积的2倍，求点P的坐标；（4）设（2）中平移后所得抛物线与y轴的交点为C，与x轴的交点为D，点M 在x轴上，点N在平移后所得抛物线上，直接写出以点C，D，M，N为顶点的四边形是以CD为边的平行四边形时点N的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）如图1，利用待定系数法求二次函数的关系式；（2）如图2，根据旋转得出点O′（2，2），A′（2，1），知道原抛物线从向下平移1个单位得到新抛物线，根据原抛物线的关系式可以写出新抛物线的函数关系式； （3）设P （a ，﹣ a 2+a+1），根据点P 的位置和A ′的横坐标2可以分为三种情况：①当a ＞2时，如图3，②当0＜a ＜2时，如图4，③当a ＜0时，如图5，分别根据S △OCP =2S △O ′A ′P ，列等式求出a 的值，并求出对应P 的坐标；（4）如图6，因为点N 在平移后所得抛物线上，所以设N （m ，﹣ m 2+m+1），作辅助线，构建全等三角形，发现点N 的纵坐标的绝对值为1，由此列式为： m 2﹣m ﹣1=1，解出m 的值，求出点N 的坐标．同理如图7得出点N 的坐标． 如图8和9，点C 与点N 是对称点，根据点C 的坐标求点N 的坐标．【解答】解：（1）如图1，把A （﹣1，0），B （0，2）两点坐标代入y=﹣x 2+bx+c得：，解得：，∴抛物线对应的函数关系式：y=﹣x 2+x+2；（2）如图2，∵A （﹣1，0），B （0，2），∴OA=1，OB=2，由旋转得：O ′B=OB=2，O ′A ′=OA=1，且旋转角∠OBO ′=90°，∴O ′（2，2），A ′（2，1），所以由原抛物线从O ′平移到A ′可知，抛物线向下平移1个单位，∴平移后所得抛物线对应的函数关系式：y=﹣x 2+x+1；（3）设P （a ，﹣ a 2+a+1），y=﹣x 2+x+1，当x=0时，y=1，∴OC=A ′O ′=1，根据点A （2，2）可分三种情况： ①当a ＞2时，如图3， ∵S △OCP =2S △O ′A ′P ，∴×1×a=2××1×（a ﹣2），a=4，则y=﹣a 2+a+1=﹣×42+×4+1=﹣，∴P （4，﹣）， ②当0＜a ＜2时，如图4，∵S △OCP =2S △O ′A ′P ，∴×1×a=2××1×（2﹣a ），a=，则y=﹣a 2+a+1=﹣×2+×+1=，∴P （，）， ③当a ＜0时，如图5，同理得：×1×（﹣a ）=2××（﹣a+2），a=4（不符合题意，舍），综上所述，点P 的坐标为（4，﹣）或（，）；（4）设N （m ，﹣ m 2+m+1），如图6，过N 作NE ⊥x 轴于E ，∵四边形CMND 是平行四边形，∴CD ∥MN ，CD=MN ，∴∠CDO=∠MEN ，∵∠COD=∠MEN=90°，∴△COD ≌△NEM ，∴EN=CO ，∴m 2﹣m ﹣1=1，解得：m=3或﹣1，当m=3时，y=﹣1，当m=﹣1时，y=﹣1，∴N（3，﹣1）或（﹣1，﹣1），如图7就是点N（﹣1，﹣1）时，所成的平行四边形；如图8和如图9，∵四边形CDMN是平行四边形，∴CN∥DM，∴点C与点N是对称点，∵C（0，1），对称轴是x=﹣=1，∴N（2，1），综上所述，点N的坐标为（3，﹣1）或（﹣1，﹣1）或（2，1）．【点评】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数的关系式，抛物线在平移时，二次项系数a不变，由此可求平移后的抛物线的解析式；本题已知条件中存在面积的关系，解题思路为：先观察三角形找特殊的边，计算其长度，再根据面积公式列等量关系式，将坐标的求解转化为方程的求解；本题考查了平行四边形的性质和判定，采用分类讨论的思想，注意边和角的关系，找一等量关系列方程即可．。
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2017-2018学年吉林省名校调研系列卷九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A．B．C． D．2．（3分）下列事件是随机事件的是（）A．太阳从东方升起 B．买一张彩票没中奖C．一岁的婴儿身高4米D．跑出去的石头会下落3．（3分）方程x（x+3）=0的根是（）A．x=0 B．x=﹣3 C．x1=0，x2=3 D．x1=0，x2=﹣34．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D、E分别是AC、BC 的中点，则DE的长是（）A．2 B．C．D．0.55．（3分）如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tanC的值为（）A．B．C．D．6．（3分）小芳掷一枚硬币10次，有7次正面向上，当她掷第11次时，正面向上的概率为（）A．B．C．D．17．（3分）把一个五边形改成和它相似的五边形，如果面积扩大到原来的49倍，那么对应的边扩大到原来的（）A．49倍B．7倍 C．50倍D．8倍8．（3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC 于D，连接BD，若cos∠BDC=，则BC的长是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则cosB的值是．10．（3分）若关于x的一元二次方程ax2﹣bx+2=0（a≠0）的一个解是x=1，则3﹣a+b的值是．11．（3分）如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF=3：5，BE=12，那么CE的长等于．12．（3分）在一只不透明的袋子中装有红球和白球共20个，这些球除了颜色外都相同．将袋子中的球摇匀，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，通过多次试验后发现，摸到红球的频率稳定在30%，由此估计袋中有个红球．13．（3分）如图，为了测量油桶内油面的高度，将一根细木棒自油桶小孔插入桶内，测得木棒插入部分AB的长为100cm，木棒上沾油部分DB的长为60cm，桶高AC为80cm，那么桶内油面CE的高度是cm．14．（3分）如图，从位于O处的某海防哨所发现在它的北偏东60°的方向，相距600m的A处有一艘快艇正在向正南方向航行，经过若干时间快艇要到达哨所B，B在O的正东南方向，则A，B间的距离是m．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）计算：（1）﹣+（+1）（﹣1）．（2）（3﹣2+）÷2．16．（6分）已知关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1=0有实数根，（1）求k的取值范围；（2）当k=2时，请用配方法解此方程．17．（6分）已知，如图，△ABC中，AB=2，BC=4，D为BC边上一点，BD=1．（1）求证：△ABD∽△CBA；（2）在原图上作DE∥AB交AC与点E，请直接写出另一个与△ABD相似的三角形，并求出DE的长．18．（7分）分别把带有指针的圆形转盘A、B分成4等份、3等份的扇形区域，并在每一个小区域内标上数字（如图所示）．欢欢、乐乐两个人玩转盘游戏，游戏规则是：同时转动两个转盘，当转盘停止时，若指针所指两区域的数字之积为奇数，则欢欢胜；若指针所指两区域的数字之积为偶数，则乐乐胜；若有指针落在分割线上，则无效，需重新转动转盘．（1）试用列表或画树状图的方法，求欢欢获胜的概率；（2）请问这个游戏规则对欢欢、乐乐双方公平吗？试说明理由．19．（7分）如图，在宽20米，长32米的矩形土地上，修筑横向、纵向道路各一条，且它们互相垂直，若纵向道路的宽是横向道路的宽的2倍，要使剩余土地的面积为504平方米，求横向道路的宽为多少米？20．（7分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，BC=8，D是AB的中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为E．（1）求线段CD的长；（2）求cos∠ABE的值．21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣3，3）．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出A1点的坐标及sin∠B1A1C1的值；（2）以原点O为位似中心，位似比为1：2，在y轴的左侧，画出将△ABC放大后的△A2B2C2，并写出A2点的坐标；（3）若点D（a，b）在线段AB上，直接写出经过（2）的变化后点D的对应点D2的坐标．22．（9分）如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形ABCD）靠墙摆放，高AD=80cm，宽AB=48cm，小强身高166cm，下半身FG=100cm，洗漱时下半身与地面成80°（∠FGK=80°），身体前倾成125°（∠EFG=125°），脚与洗漱台距离GC=15cm（点D，C，G，K在同一直线上）．（1）此时小强头部E点与地面DK相距多少？（2）小强希望他的头部E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方，他应向前或后退多少？（sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，≈1.41，结果精确到0.1）23．（10分）感知：如图①，∠C=∠ABD=∠E=90°，可知△ACB∽△BED．（不要求证明）拓展：如图②，∠C=∠ABD=∠E．求证：△ACB∽△BED．应用：如图③，∠C=∠ABD=∠E=60°，AC=4，BC=1，则△ABD与△BDE的面积比为．24．（12分）如图，在△MNQ中，MN=11，NQ=，，矩形ABCD，BC=4，CD=3，点A与M重合，AD与MN重合．矩形ABCD沿着MQ方向平移，且平移速度为每秒5个单位，当点A与Q重合时停止运动．（1）MQ的长度是；（2）运动秒，BC与MN重合；（3）设矩形ABCD与△MNQ重叠部分的面积为S，运动时间为t，求出S与t之间的函数关系式．2017-2018学年吉林省名校调研系列卷九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A．B．C． D．【解答】解：=与是同类二次根式，故A符合题意；B、=2，故B不符合题意；C、=2，故C不符合题意；D、=2故D不符合题意；故选：A．2．（3分）下列事件是随机事件的是（）A．太阳从东方升起 B．买一张彩票没中奖C．一岁的婴儿身高4米D．跑出去的石头会下落【解答】解：A、太阳从东方升是必然事件；B、买一张彩票没中奖是随机事件；C、一岁的婴儿身高4米是不可能事件；D、跑出去的石头会下落是必然事件，故选：B．3．（3分）方程x（x+3）=0的根是（）A．x=0 B．x=﹣3 C．x1=0，x2=3 D．x1=0，x2=﹣3【解答】解：∵x（x+3）=0，∴x=0，或x+3=0，解得x=0或x=﹣3．故选：D．4．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D、E分别是AC、BC 的中点，则DE的长是（）A．2 B．C．D．0.5【解答】解：∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB==5，∵D、E分别是AC、BC的中点，∴DE=AB=，故选：B．5．（3分）如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tanC的值为（）A．B．C．D．【解答】解：AD=2，CD=4，则tanC===．故选：A．6．（3分）小芳掷一枚硬币10次，有7次正面向上，当她掷第11次时，正面向上的概率为（）A．B．C．D．1【解答】解：∵掷一枚质地均匀的硬币，有两种结果：正面朝上，反面朝上，每种结果等可能出现，∴她第11次掷这枚硬币时，正面向上的概率是：．故选：B．7．（3分）把一个五边形改成和它相似的五边形，如果面积扩大到原来的49倍，那么对应的边扩大到原来的（）A．49倍B．7倍 C．50倍D．8倍【解答】解：五边形改成与它相似的五边形，如果面积扩大为原来的49倍，即得到的五边形与原来的五边形的面积的比是49：1，相似形面积的比等于相似比的平方，因而相似比是7：1，相似形对应边的比等于相似比，因而对应的边扩大为原来的7倍．故选：B．8．（3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC 于D，连接BD，若cos∠BDC=，则BC的长是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【解答】解：∵∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，∴BD=AD，∴CD+BD=8，∵cos∠BDC==，∴=，解得：CD=3，BD=5，∴BC=4．故选：A．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则cosB的值是．【解答】解：在Rt△ABC中，BC=3，AB=5，∴cosB=，故答案为：10．（3分）若关于x的一元二次方程ax2﹣bx+2=0（a≠0）的一个解是x=1，则3﹣a+b的值是5．【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣bx+2=0（a≠0）的一个解是x=1，∴a﹣b+2=0，∴a﹣b=﹣2，∴3﹣a+b=3﹣（a﹣b）=3+2=5．故答案是：5．11．（3分）如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF=3：5，BE=12，那么CE的长等于．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴=，即=，∴BC=，∴CE=BE﹣BC=12﹣=．故答案为：．12．（3分）在一只不透明的袋子中装有红球和白球共20个，这些球除了颜色外都相同．将袋子中的球摇匀，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，通过多次试验后发现，摸到红球的频率稳定在30%，由此估计袋中有6个红球．【解答】解：设袋中有x个红球．由题意可得：=30%，解得：x=6，故答案为：6．13．（3分）如图，为了测量油桶内油面的高度，将一根细木棒自油桶小孔插入桶内，测得木棒插入部分AB的长为100cm，木棒上沾油部分DB的长为60cm，桶高AC为80cm，那么桶内油面CE的高度是48cm．【解答】解：∵AC⊥BC，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=，=，解得EA=32．∴CE=80﹣32=48，故答案为：48．14．（3分）如图，从位于O处的某海防哨所发现在它的北偏东60°的方向，相距600m的A处有一艘快艇正在向正南方向航行，经过若干时间快艇要到达哨所B，B在O的正东南方向，则A，B间的距离是300+300m．【解答】解：∵在直角△AOC中，∠AOC=30°，OA=600，∴AC=OA•sin30°=300，OC=OA•cos30°=300．∵直角△OBC是等腰直角三角形，∴BC=OC=300，∴AB=300+300（m）．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）计算：（1）﹣+（+1）（﹣1）．（2）（3﹣2+）÷2．【解答】解：（1）﹣+（+1）（﹣1）=3﹣2+3﹣1=+2（2）（3﹣2+）÷2=（6﹣+4）÷2=3﹣+2=16．（6分）已知关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1=0有实数根，（1）求k的取值范围；（2）当k=2时，请用配方法解此方程．【解答】解：（1）∵一元二次方程kx2+2x﹣1=0有实数根，∴22+4k≥0，k≠0，解得，k≥﹣1且k≠0；（2）当k=2时，原方程变形为2x2+2x﹣1=0，2（x2+x）=1，2（x2+x+）=1+，2（x+）2=，（x+）2=x+=±，x1=，x2=．17．（6分）已知，如图，△ABC中，AB=2，BC=4，D为BC边上一点，BD=1．（1）求证：△ABD∽△CBA；（2）在原图上作DE∥AB交AC与点E，请直接写出另一个与△ABD相似的三角形，并求出DE的长．【解答】（1）证明：∵AB=2，BC=4，BD=1，∴==，=，∴=，∵∠ABD=∠CBA，∴△ABD∽△CBA；（2）解：∵DE∥AB，∴△CDE∽△CBA，∴△ABD∽△CDE，∴DE=1.5．18．（7分）分别把带有指针的圆形转盘A、B分成4等份、3等份的扇形区域，并在每一个小区域内标上数字（如图所示）．欢欢、乐乐两个人玩转盘游戏，游戏规则是：同时转动两个转盘，当转盘停止时，若指针所指两区域的数字之积为奇数，则欢欢胜；若指针所指两区域的数字之积为偶数，则乐乐胜；若有指针落在分割线上，则无效，需重新转动转盘．（1）试用列表或画树状图的方法，求欢欢获胜的概率；（2）请问这个游戏规则对欢欢、乐乐双方公平吗？试说明理由．【解答】解：根据题意画图如下：（1）共有12种情况，积为奇数的情况有6种，所以欢欢胜的概率是=；（2）由（1）得乐乐胜的概率为1﹣=，两人获胜的概率相同，所以游戏公平．19．（7分）如图，在宽20米，长32米的矩形土地上，修筑横向、纵向道路各一条，且它们互相垂直，若纵向道路的宽是横向道路的宽的2倍，要使剩余土地的面积为504平方米，求横向道路的宽为多少米？【解答】解：设横向道路的宽为x米，则纵向道路的宽为2x米，剩余土地的长为（32﹣2x）米、宽为（20﹣x）米，根据题意得：（32﹣2x）（20﹣x）=504，整理得：x2﹣36x+68=0，解得：x1=2，x2=34．∵32﹣2x＞0，∴x＜16，∴x=2．答：横向道路的宽为2米．20．（7分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，BC=8，D是AB的中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为E．（1）求线段CD的长；（2）求cos∠ABE的值．【解答】解：（1）在△ABC中，∵∠ACB=90°，∴sinA==，而BC=8，∴AB=10，∵D是AB中点，∴CD=AB=5；（2）在Rt△ABC中，∵AB=10，BC=8，∴AC==6，∵D是AB中点，=S△ADC，∴BD=5，S△BDC=S△ABC，即CD•BE=•AC•BC，∴S△BDC∴BE==，在Rt△BDE中，cos∠DBE===，即cos∠ABE的值为．21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣3，3）．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出A1点的坐标及sin∠B1A1C1的值；（2）以原点O为位似中心，位似比为1：2，在y轴的左侧，画出将△ABC放大后的△A2B2C2，并写出A2点的坐标；（3）若点D（a，b）在线段AB上，直接写出经过（2）的变化后点D的对应点D2的坐标．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1，即为所求，A1（2，1），∵=B1C+A1C，A1C1=B1C1，∴△A1B1C1是等腰直角三角形，∴sin∠B1A1C1=sin45°=；（2）如图，△A2B2C2，即为所求，A2（﹣4，2）；（3）∵点D（a，b）在线段AB上，位似比为1：2，∴D2（2a，2b）．22．（9分）如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形ABCD）靠墙摆放，高AD=80cm，宽AB=48cm，小强身高166cm，下半身FG=100cm，洗漱时下半身与地面成80°（∠FGK=80°），身体前倾成125°（∠EFG=125°），脚与洗漱台距离GC=15cm（点D，C，G，K在同一直线上）．（1）此时小强头部E点与地面DK相距多少？（2）小强希望他的头部E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方，他应向前或后退多少？（sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，≈1.41，结果精确到0.1）【解答】解：（1）过点F作FN⊥DK于N，过点E作EM⊥FN于M．∵EF+FG=166，FG=100，∴EF=66，∵∠FGK=80°，∴FN=100•sin80°≈98，∵∠EFG=125°，∴∠EFM=180°﹣125°﹣10°=45°，∴FM=66•cos45°=33≈46.53，∴MN=FN+FM≈144.5，∴此时小强头部E点与地面DK相距约为144.5cm．（2）过点E作EP⊥AB于点P，延长OB交MN于H．∵AB=48，O为AB中点，∴AO=BO=24，∵EM=66•sin45°≈46.53，∴PH≈46.53，∵GN=100•cos80°≈17，CG=15，∴OH=24+15+17=56，OP=OH﹣PH=56﹣46.53=9.47≈9.5，∴他应向前9.5cm．23．（10分）感知：如图①，∠C=∠ABD=∠E=90°，可知△ACB∽△BED．（不要求证明）拓展：如图②，∠C=∠ABD=∠E．求证：△ACB∽△BED．应用：如图③，∠C=∠ABD=∠E=60°，AC=4，BC=1，则△ABD与△BDE的面积比为13：3．【解答】拓展：证明：∵∠ABE=∠C +∠CAB ，∠ABE=∠ABD +∠DBE ，∠C=∠ABD ， ∴∠CAB=∠DBE ，∵∠C=∠E ，∴△ACB ∽△BED ；应用：解：∵∠ABE=∠C +∠CAB ，∠ABE=∠ABD +∠DBE ，∠C=∠ABD ，∴∠CAB=∠DBE ，∵∠C=∠E=60°，∴△ACB ∽△BED ，△ACE 是等边三角形，∴AE=AC=4，∴BE=CE ﹣BC=3，∴△ACB 与△BED 的相似比为：4：3，∴S △ABC ：S △BED =16：9，S △ABC ：S △ABE =1：3=16：48，设S △ABC =16x ，则S △ABE =48x ，S △BDE =9x∴S △ABD =S △ABE ﹣S △BED =48x ﹣9x=39x ，∴S △ABD ：S △BDE =39：9=13：3．故答案为：13：3．24．（12分）如图，在△MNQ 中，MN=11，NQ=，，矩形ABCD ，BC=4，CD=3，点A 与M 重合，AD 与MN 重合．矩形ABCD 沿着MQ 方向平移，且平移速度为每秒5个单位，当点A 与Q 重合时停止运动．（1）MQ 的长度是 10 ；（2）运动 1 秒，BC 与MN 重合；（3）设矩形ABCD 与△MNQ 重叠部分的面积为S ，运动时间为t ，求出S 与t 之间的函数关系式．【解答】解：（1）如图1，过Q作QH⊥MN于H，∵QN=3，cosN==，∴NH=3，∴MH=11﹣3=8，在Rt△NHQ中，由勾股定理得：QH==6，在Rt△QMH中，由勾股定理得：MQ==10，故答案为：10．（2）连接BD，如图1，∵tan∠ABD==，tan∠QMN===，∴QM∥BD，当BC和MN重合时，B正好到D点，由勾股定理得：BD=5，5÷5=1，即运动1秒时，BC和MN重合，故答案为：1．（3）分为四种情况：①当BC运动到MN上时，此时0＜t≤1，如图2，∵sinM==，∴=，∴AK=3t，∵AD=4，∴S=4•3t=12t；②当D到QN上时，此时1＜t≤，如图3，∵△QAD∽△QMN，∴=，∴=，∴QR=，∵AD∥MN，∴△QAR∽△QMH，∴=，∴=，∴t=，即此时1＜t≤，S=3×4=12；③当C到QN上时，此时＜t≤，如图4，∵AD∥MN，∴∠AFQ=∠N=∠DFC，∵∠D=∠QHN=90°，∴△DFC∽△HNQ，∴=，∴=，∴DF=1.5，AF=4﹣1.5=2.5，∵AD∥MN，∴△QAF∽△QMN，∴=，∴=，∴t=，即当C到QN上时，t=，∵=，∴=，∴AF=11﹣5.5t，S=（AF+BC）×CD=（11﹣5.5t+4）•3，S=﹣8.25t+22.5；④当＜t≤2时，如图5，∵AD∥MN，∴△QAF∽△QMN，∴=，∴=，∴AF=11﹣5.5t，过K作KP⊥AD于P，则△KPF∽△QHN，∴=，∴=，∴PF=1.5，∴BK=AP=AF+PF=11﹣5.5t+1.5=12.5﹣5.5t，∴S=（AF+BK）•CD=[11﹣5.5t+12.5﹣5.5t]×3，S=﹣t+35.25．。