高等数学1.3 条件概率与独立性
条件概率和独立性的定义及应用
条件概率和独立性的定义及应用概率论是数学中的一个重要分支，它通过统计实验的方法，研究不同事件之间的关系和可能性。
在概率论中，条件概率和独立性是两个基本概念，它们在实际生活和各个领域的应用非常广泛。
本文将从定义和应用两个方面，详细介绍条件概率和独立性的概念以及它们在实际问题中的运用。
一、条件概率的定义和应用条件概率是指在某个条件下，事件发生的概率。
在概率论中，用P(A|B)表示事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
条件概率的计算方法是通过已知事件B发生的前提下，计算事件A发生的概率。
条件概率的应用非常广泛，例如，在医学领域中，通过已知病人某种症状的情况，可以计算出患上某种疾病的概率；在金融领域中，通过已知市场某种情况下，股票涨跌的概率可以得出。
条件概率的应用可以帮助我们更加准确地评估事物发生的可能性，提高决策的准确性。
二、独立性的定义和应用独立性是指两个事件之间相互独立，也就是说一个事件的发生不受另一个事件发生与否的影响。
在概率论中，事件A和事件B是相互独立的，当且仅当P(A|B) = P(A)和P(B|A) = P(B)成立。
独立性在实际问题中的应用也非常广泛。
例如，在抛硬币实验中，每次抛硬币的结果是独立的；在生产线中，如果某个部件的质量独立于其他部件，那么整个产品的质量也可以看作是独立的。
独立性的应用可以简化问题的复杂度，提高计算的效率。
三、条件概率和独立性的应用案例为了更好地理解条件概率和独立性的应用，以下将给出两个具体的案例：案例一：选书问题小明喜欢读书，他所喜欢的图书馆有A、B、C、D四个区域，每个区域的图书数量和种类都不相同。
已知小明喜欢科幻小说的概率为P(A) = 0.4，而在A区域中寻找到科幻小说的概率为P(B|A) = 0.6。
问小明在A区域找到科幻小说的条件下，其喜欢科幻小说的概率是多少？根据条件概率的定义，我们可以计算出P(A|B) = P(B|A) * P(A) /P(B)。
条件概率与事件的独立性
P( AB)
P( A)
16 11
4 11
16
变式:若已知取得是玻璃球,求取得是篮球的概率.
4
P(A| B)
P( AB)
P(B)
16 6
4 6
16
例3.设 100 件产品中有 70 件一等品，25 件二等品， 规定一、二等品为合格品．从中任取1 件，求 (1) 取 得一等品的概率；(2) 已知取得的是合格品，求它是 一等品的概率．
∴P(A·B)=P(A)·P(B)=0.8×0.7=0.56
⑶1–P(A·B)=1-P(A)·P(B)=1-(1-0.8)(1-0.7)=0.94
⑷P(A·B)+P(A·B)=P(A)P(B)+P(A)P(B) =0.8(1-0.7)+(1-0.6)×0.7=0.38
答：两粒种子都能发芽的概率是0.56；至少有一粒种子能 发芽的概率是0.94；恰好有一粒种子能发芽的概率是0.38
P(A |
B)
P( AB) P(B)
52 1
1 13
P(A)
4
P(A | B) P(A)
P( AB) P( A) P(B)
B发生时A发生的条件概率
A发生的概率
P(AB) P(A)P(B)
则称A，B相互独立
相互独立事件 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没 有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件
中一等奖的概率为多少？
P
1
C
7 31
（2）如果在甲没有中一等奖后乙去买彩票，
则乙中一等奖的概率为多少？
P
1
C
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
7 31
2．一个袋子中有5个白球和3个黑球，从袋中分 两次取出2个球。设第1次取出的球是白球叫做 事件A，第2次取出的球是白球叫做事件B。
高中数学概率计算中的条件概率与独立性判定
高中数学概率计算中的条件概率与独立性判定概率是数学中一个重要的概念，它描述了某个事件发生的可能性大小。
在概率计算中，条件概率与独立性判定是两个重要的考点，它们在解题过程中起着至关重要的作用。
本文将围绕这两个概念展开讨论，并通过具体题目的举例，说明其考点和解题技巧。
一、条件概率的概念和计算方法条件概率是指在已知某个条件下，另一个事件发生的概率。
常用的计算公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
例如，某班学生中有30%的人会打篮球，其中男生占总人数的40%，女生占总人数的60%。
现在从该班级中随机抽取一个学生，已知这个学生会打篮球，求这个学生是男生的概率。
解题思路：设事件A表示所抽取的学生是男生，事件B表示所抽取的学生会打篮球。
根据已知条件可知，P(A) = 40%，P(B) = 30%，P(A∩B) = P(B|A) * P(A) = 0.3 * 0.4 = 0.12。
根据条件概率的计算公式可得到所求概率：P(A|B) = P(A∩B) / P(B) = 0.12 / 0.3 = 0.4。
通过这个例子，我们可以看出条件概率在解题中的重要性。
在实际应用中，条件概率常常用于处理复杂的情况，如疾病的诊断、市场调研等领域。
二、独立性判定的概念和判定方法独立性是指两个事件之间的发生与否不相互影响。
如果事件A和事件B是独立的，那么P(A∩B) = P(A) * P(B)。
否则，事件A和事件B是相关的。
例如，某班学生中有80%的人喜欢音乐，70%的人喜欢阅读，已知喜欢音乐的学生中有60%的人也喜欢阅读。
问喜欢音乐和喜欢阅读这两个事件是否独立？解题思路：设事件A表示喜欢音乐，事件B表示喜欢阅读。
根据已知条件可知，P(A) = 80%，P(B) = 70%，P(A∩B) = 60%。
条件概率及独立性
1.3条件概率与独立性East China University of Science And TechnologyEast China University of Science And Technology1.3.1 条件概率, 乘法公式条件概率──考虑事件A 已发生的条件下,事件B 发生的概率。
1. 条件概率定义East China University of Science And Technology引例袋中有7只白球, 3只红球, 白球中有4只木球, 3只塑料球; 红球中有2只木球,1只塑料球.现从袋中任取1球, 假设每个球被取到的可能性相同.若已知取到的球是白球, 问它是木球的概率是多少？设A 表示任取一球，取得白球；B 表示任取一球，取得木球.所求的概率称为在事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率。
记为.()A B PEast China University of Science And Technology 解列表()74=A B P ()(|)()P AB P B A P A =白球红球小计木球426塑球314小计73104/107/10=而47(),()1010P AB P A ==P B A P AB P A (|)()()=恒成立吗？?East China University of Science And Technology定义给定一个随机试验, Ω是它的样本空间,对于任意两个事件A,B, 其中P (A )>0, 称为在已知事件A 发生的条件下, 事件B 的条件概率.()(|)()P AB P B A P AEast China University of Science And Technology概率P (B|A)与P (AB)的区别与联系联系：事件A ，B 都发生了.区别：（1）在P (B |A )中，事件A ，B 发生有时间上的差异，A 先B 后；在P (AB ）中，事件A ，B 同时发生。
《条件概率与独立性》课件
卡方检验法
卡方检验法是一种基于概率分布的统计方法， 通过计算观测值和理论值之间的偏差程度来检 验独立性。
条件概率与独立性的应用
金融市场预测
条件概率和独立性等概率理论方 法常用于分析和预测金融市场趋 势、股票涨跌等。
医学诊断
条件概率和独立性等概率理论方 法常用于医学诊断中的病例分析 和风险评估。
药物研发
计算条件概率
1
先决概率
先决概率是指在给定先决条件的情况下，某个事件的概率。
2
全概率公式
全概率公式是计算条件概率的关键公式之一。
3
贝叶斯公式
贝叶斯公式是计算后验概率的重要工具，常用于医疗、金融领域中的决策分析。
独立性的判定
十字乘法判定法
十字乘法判定法是使用最常见的一种方法，它 通过直觉理解就可以判断两个事件之间是否独 立。
条件概率和独立性等概率理论方 法可以帮助科学家系统地评估新 药物的效果和安全性。
练习与总结
本节将提供练习题目，让你进一步巩固和应用所学知识，并对整个课程的内容进行回顾和总结。
条件概率与独立性
本课程以深入浅出的方式介绍了条件概率与独立性的概念、计算方法、判定 准则以及应用场景，并提供实例和练习，帮助你快速掌握这一重要知识点。
条件概率的定义
什么是条件概率？
条件概率指在某个条件下某一事 件发生的概率，常用于计算和预 测。
如何计算条件概率？
根据公式P(A|B)=P(AB)/P(B)，通 过分析样本空间，可以用不同的 方法计算条件概率。
为什么条件概率有用？
条件概率常用于实际应用场景中， 例如医学诊断、金融风险评估、 市场预测等。
独立性的概念
1 什么是独立性？
大学数学易考知识点概率论的条件概率与独立性
大学数学易考知识点概率论的条件概率与独立性大学数学易考知识点：概率论中的条件概率与独立性概率论是数学中一个重要的分支，研究事物发生的可能性。
在大学数学的学习中，概率论是一个比较常见的考点。
其中，条件概率与独立性是概率论中的两个基本概念。
本文将详细介绍条件概率与独立性的概念、性质以及应用。
一、条件概率条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
其计算公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A|B)表示事件B发生的条件下，事件A发生的概率；P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率；P(B)表示事件B发生的概率。
条件概率的计算可以通过实际问题的转化来帮助理解。
例如，某班级有60%的男生和40%的女生，已知班级中80%的学生喜欢数学。
现在要求已知一位学生是男生的条件下，他也喜欢数学的概率。
根据条件概率的计算公式，我们可以得到：P(喜欢数学|男生) = P(喜欢数学∩男生) / P(男生)由于已知喜欢数学的学生占总人数的80%，而男生占总人数的60%，则有：P(喜欢数学|男生) = (0.8*0.6) / 0.6 = 0.8所以，在已知一位学生是男生的条件下，他也喜欢数学的概率为0.8。
条件概率的计算方法对于实际问题的解决非常有用。
通过合理的条件划分，我们可以计算出各种条件下的概率，从而更好地理解和解决问题。
二、独立性在概率论中，独立性是指两个事件的发生与否互相不影响。
具体而言，事件A与事件B相互独立的条件为：P(A|B) = P(A)P(B|A) = P(B)即事件A发生的概率与事件B发生与否无关，事件B发生的概率与事件A发生与否无关。
两个独立事件的条件概率相等于事件的边际概率。
例如，某扑克牌中共有52张牌，我们从牌中随机抽取一张，记录下此牌的花色，然后将此牌放回。
再次从牌中随机抽取一张，记录下此牌为红桃。
问第一次所抽取的牌为红色的概率是多少？根据题意，第一次所抽取的牌为红色的概率为1/2，因为扑克牌中共有52张牌，其中红色牌有26张。
条件概率、独立性
19
(1) 由全概率公式得
(2) 由贝叶斯公式得
20
事件的独立性
定义 2 若两事件 A, B 满足 P( AB) P( A)P(B) ， 则称事件 A 与 B 相互独立。
定理 3 若 P ( A ) 0 ，则事件 A 与 B 相互独 立的充分必要条件是 P ( B | A) P ( B ) ； 若 P ( B ) 0 ，则事件 A 与 B 相互独立 的充分必要条件是 P ( A | B ) P ( A) 。
种，且它们是两两互不相容的，
k k nk P ( k ) P ( B ) C p ( 1 p ) 所以 n k n
k 0,1,2,, n
由于 恰好是 按二项公式展开时的各项，所以上述
公式称为二项概率公式。
40
41
例 甲、乙两名棋手进行比赛，已知甲 的实力较强，每盘棋获胜的概率为 0.6 ， 假定每盘棋的胜负是相互独立的，且 不会出现和棋。试求在下列三种情形 下甲最终获胜的概率。 （1） 采用三盘比赛制； （2）采用五盘比赛制。
13
14
15
例:用甲胎蛋白法普查肝癌。令C={被检验者 患肝癌 }，A={甲胎蛋白检验结果为阳性}， 则 C ={被检验者未患肝癌}
A ={甲胎蛋白检验结果为阴性}
由过去的统计资料已知
P( A | C ) 0.95
P( A | C ) 0.90
又已知某地居民的肝癌发病率为P(C)=0.0004. 在普查中查出一批甲胎蛋白检验结果为阳性 的人求这批人中真的患有肝癌的概率。
。
解 设 因事 件，A，B，C两两相互独立，则
54
即
因
故
13条件概率及事件的独立性
定义1.3.1 则称
设 A, B 是的两个随机事件，且 P( B) 0,
P( AB) P( A B) P( B)
为在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率。
性质
0 P( A B) 1
P( A B) P( A B) 1
各有红、白两色， 例2 一盒中混有100只新 、旧乒乓球， 分类如下表。 从盒中随机取出一球， 若取得的是一只红球， 试求该红球是新球的概率。 红 白 30 10
(2) 事件A与事件B相互对立； (3) 事件A与事件B不相互独立；
(4) 事件A与事件B相互独立；
例11. 从一付52张(去掉王)的扑克牌中任意抽取一张,令 A={抽出一张K}, B={抽出一张黑桃},问A与B是否独立?
1 解: P A , P B , P AB 1 , 1 1 C52 C52 C52
第三节
条件概率及事件 的相互独立性
一、条件概率和乘法公式
第一章
二、全概率公式和Bayes公式 三 、事件的相互独立性
§1.3.1 条件概率和乘法公式
在实际问题中，除了要知道事件 A 发生的概率 P(A) 外，有时还要考虑“在事件 B 发生的条件下，事件 A 发
生的概率”，这个概率记作 P(A|B)。 由于增加了条件“事 件B 已经发生”，所以一般说来，P(A|B) 和 P(A) 不同。 称P(A|B) 为在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的 条件概率。
C 4 P( A | B1 ) C 5 由Bayes公式: P( B1 ) P( A | B1 ) P( B1 | A) 2 0.0848 P( Bi ) P( A | Bi )
i 0
4 19 4 20
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
于是所求概率为
P ( A1 A2 A3 ) = P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 )
= 1 1 7 9 3 1 1 = 2 10 10 200
二、独立性：
1、定义1.4: 设A与B是两个事件,且 P(B)>0, 若 P( A B) = P( A) , 则称事件A 与B相互独立, 简称A 与B独立. 2、定理1.4: 设A与B是两个事件, 若满足等式 P ( AB ) = P ( A) P ( B ) , 则事件A 与B独立 . 证 仅推A与B是独立的, 其余类似. 因 A = A B B = AB AB P A = P AB AB = P AB P AB 所以 P AB = P A P AB = P A P A P B
第一章 随机事件与概率
1.3 条件概率与独立性
一、条件概率的定义：
1、定义1.3: P ( AB ) 设A与B是两个事件,且 P(B)>0, 称 P ( A B ) = P( B) 为在事件B发生的条件下A发生的条件概率. 注 条件概率P(B)符合概率定义中的三条,即 (1)非负性 对任一事件A , 有 P( A B) 0 ; (2)规范性 对必然事件 , 有 P( B) = 1 ; (3)可列可加性 设A1 , A2 ,是两两互斥的事件, 则有
= 0.6
作 业
习 题 一
P 16 : 12 , 13 , 14 , 15 , 16 , 18
= P A 1 P B = P A P B 即A与B独立.
注 独立性概念可推广到一般情况 . 3、定义1.5: 设A, B, C是三个事件, 若满足如下等式
P ( AB ) = P ( A) P ( B ) , P ( AC ) = P ( A) P (C ) , P ( BC ) = P ( B ) P (C ) , P ( ABC ) = P ( A) P ( B ) P (C ) ,
解 以Ai (i = 1, 2, 3, 4)表示"第i次取到红球", 则Ai (i = 1, 2, 3, 4)表示"第i次取到黑球", 于是所)
= P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P( A3 A1 A2 ) P( A4 A1 A2 A3 ) a a+c b b+c = a + b a + b + c a + b + 2c a + b + 3c
P( Ai B) = P ( Ai B)
i 1 i 1
注 (1)一般概率所具有的性质, 条件概率均满足.
(2)条件概率定义中的式子可变形, 即
P( AB) P( B) P( A B)
( P( B) > 0)
(3)条件概率定义中的"P ( B ) > 0"与"P ( B ) 0"是
等价的 , 也就是说事件B已经发生 .
2、定理1.3(乘法公式):
设A1 , A2 ,, An 是任意n个事件, 若P ( A1 A2 An-1 ) > 0, 则有
P( A1 A2 An ) = P( A1 ) P( A2 A1 ) P( An A1 A2 An- 1 )
例1.18(Polya模型)在有a个红球、b个黑球的袋中随机 取一球，记下颜色放回，并加入c个同色球. 若在袋 中连续取球4次，试求第一、二次取到红球且第三、 四次取到黑球的概率 .
例1.21三人独立地破译一份密码, 已知各人能译出的 概率分别为1/5 , 1/3 , 1/4 . 问三人中至少有一人能将 此密码译出的概率是多少?
解 设Ai i = 1, 2, 3, 4 表示"第i 个人能译出密码", 则 P ( A1 ) = 1 / 5 , P ( A2 ) = 1 / 3 , P ( A3 ) = 1 / 4 再设B表示"密码被译出", 则 B = A1 A2 A3
(1) 推论1.4:若A1 , A2 , … , An 相互独立, 则其中任意 k个(2≤k≤n)事件均独立 . (2) 推论1.5:若A1 , A2 , … , An 相互独立, 则将这n个事 件中若干个 Ai 换作其对立事件, 则所得 的n个事件仍独立 .
5、定义1.7: 设 A1 , A2 , 是随机事件序列, 若序列中任意n个事件 均是相互独立的 , 则称这个事件序列是相互独立事件 序列 . 注 在实际应用中, 若两事件A与B之间没有关联或者 关联很微弱, 就认为它们是独立的 .
P( B)
= P ( A1 A2 A3 A1 A4 ) = P ( A1 A2 A3 ) + P ( A1 A4 ) P ( A1 A2 A3 A4 ) = P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) + P ( A1 A4 ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) P ( A4 ) = p1 p2 p3 + p1 p4 p1 p2 p3 p4
例1.20设有4个独立工作的元件1 , 2 , 3 , 4 . 它们的可靠
性分别为 P1 , P2 , P3 , P4 , 将
它们按右图联接, 试求这个 系统的可靠性 .
1 4 2 3
解 设Ai i = 1, 2, 3, 4 表示"第i个元件正常工作",
B表示"系统能正常工作",
由图知 B = A1 A2 A3 A4 = A1 A2 A3 A1 A4
例1.19设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时打 破的概率为1/2 , 若第一次落下未打破, 第二次落下打 破的概率为7/10 , 若前两次落下未打破, 第三次落下 打破的概率为9/10 , 求透镜落下三次而未打破的概率 .
解 设 Ai ( i = 1, 2, 3)表示"第i次落下透镜打破",
P ( B) = P ( A1 A2 A3 )
= P ( A1 ) + P ( A2 ) + P ( A3 ) P ( A1 A2 ) P ( A2 A3 ) P ( A1 A3 ) + P ( A1 A2 A3 ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 5 3 4 5 3 3 4 5 4 5 3 4
则称事件A ,B ,C相互独立 . 注 要注意三个事件相互独立与两两相互独立的区别 .
4、定义1.6:
设 A1 , A2 , , An 是n个事件, 若对于其中的任意2个,
任意3个, , 任意n个事件的积事件的概率, 均等于
各事件概率之积, 则称事件 A1 , A2 , , An 相互独立 .