2020版新设计一轮复习数学(理)江苏专版课时跟踪检测(三十七)点、线、面之间的位置关系 含解析

课时跟踪检测（三十七）点、线、面之间的位置关系一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是________．①P∈a，P∈α⇒a⊂α；②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β；③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α；④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b.答案：③④2．(2018·高邮期中)给出以下说法：①不共面的四点中，任意三点不共线；②有三个不同公共点的两个平面重合；③没有公共点的两条直线是异面直线；④分别和两条异面直线都相交的两条直线异面；⑤一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面．其中正确结论的序号是________．解析：在①中，不共面的四点中，任意三点不共线是正确命题，可以用反证法证明：若其中任意三点共线，则四点必共面，故①正确；在②中，有三个不同公共点的两个平面重合或相交，故②错误；在③中，没有公共点的两条直线是异面直线或平行直线，故③错误；在④中，分别和两条异面直线都相交的两条直线异面或共面，故④错误；在⑤中，一条直线和两条异面直线都相交，则由两条相交线能确定一个平面得它们可以确定两个平面，故⑤正确．答案：①⑤3．若平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．解析：如果这四点在同一平面内，那么确定一个平面；如果这四点不共面，则任意三点可确定一个平面，所以可确定四个．答案：1或4B1C1D1中，既与AB共面又与CC1共4．如图，平行六面体ABCD-A面的棱有________条．解析：依题意，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行有棱AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1.故符合条件的有5条．答案：55．设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线．上述命题中正确的命题是____(写出所有正确命题的序号)．解析：由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错；当a 与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③错；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④错．答案：①二保高考，全练题型做到高考达标1．已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的______条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．解析：若A，B，C，D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直线AC和BD不相交，若直线AC和BD平行时，A，B，C，D四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件．答案：充分不必要2．(2019·常州一中检测)如图，在长方体ABCD -A1B1C1D1中，点E，F 分别为B1O和C1O的中点，长方体的各棱中，与EF平行的有______条．解析：∵EF是△OB1C1的中位线，∴EF∥B1C1.∵B1C1∥BC∥AD∥A1D1，∴与EF平行的棱共有4条．答案：43．下列命题中，真命题的个数为________．①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合；②两条直线可以确定一个平面；③空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；④若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l.解析：根据公理3，可判断①是真命题；两条异面直线不能确定一个平面，故②是假命题；在空间，相交于同一点的三条直线不一定共面(如墙角)，故③是假命题；根据平面的性质可知④是真命题．综上，真命题的个数为2.答案：24．已知l，m，n为两两垂直的三条异面直线，过l作平面α与直线m垂直，则直线n与平面α的关系是________．解析：因为l⊂α，且l与n异面，所以n⊄α，又因为m⊥α，n⊥m，所以n∥α.答案：n∥α5．如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，点F ，G 分别是边BC ，CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝23，则下列说法正确的是______(填序号)．①EF 与GH 平行； ②EF 与GH 异面；③EF 与GH 的交点M 可能在直线AC 上，也可能不在直线AC 上； ④EF 与GH 的交点M 一定在直线AC 上． 解析：连结EH ，FG ，如图所示．依题意，可得EH ∥BD ，FG ∥BD ， 故EH ∥FG ，所以E ，F ，G ，H 共面． 因为EH ＝12BD ，FG ＝23BD ，故EH ≠FG ，所以EFGH 是梯形，EF 与GH 必相交， 设交点为M .因为点M 在EF 上，故点M 在平面ACB 上．同理，点M 在平面ACD 上， 所以点M 是平面ACB 与平面ACD 的交点， 又AC 是这两个平面的交线， 所以点M 一定在直线AC 上． 答案：④6．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB ，CD ，EF ，GH 在原正方体中互为异面直线的对数为________对．解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB ，CD ，EF 和GH 在原正方体中，显然AB 与CD ，EF 与GH ，AB与GH都是异面直线，而AB 与EF 相交，CD 与GH 相交，CD 与EF 平行．故互为异面的直线有且只有3对．答案：37．如图是正四面体的平面展开图，G ，H ，M ，N 分别为DE ，BE ，EF ，EC 的中点，在这个正四面体中，①GH 与EF 平行； ②BD 与MN 为异面直线； ③GH 与MN 成60°角； ④DE 与MN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．解析：还原成正四面体知GH 与EF 为异面直线，BD 与MN 为异面直线，GH 与MN 成60°角，DE ⊥MN .答案：②③④8．(2019·通州月考)如图所示，在正方体ABCD -A1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是棱CC 1，C 1D 1，D 1D ，CD 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足________时，有MN ∥平面B 1BDD 1.解析：∵HN ∥DB ，FH ∥D 1D ， ∴平面FHN ∥平面B 1BDD 1.∵点M 在四边形EFGH 及其内部运动， 故M ∈FH .答案：M 在线段FH 上9．(2018·南师附中检测)如图，E ，F 分别是长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱A 1A ，C 1C 的中点．求证：四边形B 1EDF 是平行四边形．证明：设Q 是DD 1的中点，连结E Q ，Q C 1，如图．因为E 是AA 1的中点，Q 是DD 1的中点，所以E Q 綊A 1D 1. 又A 1D 1綊B 1C 1，所以E Q 綊B 1C 1，所以四边形E Q C 1B 1为平行四边形，所以B 1E 綊C 1Q . 又Q ，F 分别是D 1D ，C 1C 的中点， 所以Q D 綊C 1F ，所以四边形D Q C 1F 为平行四边形，所以C 1Q 綊DF . 故B 1E 綊DF ，所以四边形B 1EDF 是平行四边形．10．如图所示，四边形ABEF 和四边形ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC ∥AD ，BC ＝12AD ，BE ∥FA ，BE ＝12FA ，G ，H 分别为FA ，FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形；(2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？说明理由． 解：(1)证明：因为G ，H 分别为FA ，FD 的中点， 所以GH ∥AD ，GH ＝12AD .又BC ∥AD ，BC ＝12AD ，所以GH 綊BC ，所以四边形BCHG 为平行四边形．(2)四点共面，理由如下：由BE ∥FA ，BE ＝12FA ，G 为FA 的中点知，BE ∥FG ，BE ＝FG ，所以四边形BEFG 为平行四边形，所以EF ∥BG .由(1)知BG ∥CH ，所以EF ∥CH ，所以EF 与CH 共面． 又D ∈FH ，所以C ，D ，F ，E 四点共面． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．如图所示，设E ，F ，G ，H 依次是空间四边形ABCD 边AB ，BC ，CD ，DA 上除端点外的点，AE AB ＝AH AD ＝λ，CF CB ＝CGCD＝μ，则下列结论中正确的是________(填序号)．①当λ＝μ时，四边形EFGH 是平行四边形； ②当λ≠μ时，四边形EFGH 是梯形；③当λ≠μ时，四边形EFGH 一定不是平行四边形； ④当λ＝μ时，四边形EFGH 是梯形．解析：由AE AB ＝AH AD ＝λ，得EH ∥BD ，且EH BD ＝λ，同理得FG ∥BD 且FGBD＝μ，当λ＝μ时，EH ∥FG 且EH ＝FG .当λ≠μ时，EH ∥FG ，但EH ≠FG ，所以①②③正确，只有④错误．答案：①②③2．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AA 1，CC 1的中点，则在空间中与三条直线A 1D 1，EF ，CD 都相交的直线有________条．解析：如图，在A 1D 1上任取一点P ，过点P 与直线EF 作一个平面α，因为CD 与平面α不平行，所以它们相交，设α∩CD ＝Q ，连结P Q ，则P Q 与EF 必然相交，即P Q 为所求直线．由点P 的任意性，知有无数条直线与A 1D 1，EF ，CD 都相交．答案：无数3．如图所示，三棱柱ABC -A1B 1C 1，底面是边长为2的正三角形，侧棱A 1A ⊥底面ABC ，点E ，F 分别是棱CC 1，BB 1上的点，点M 是线段AC 上的动点，EC ＝2FB ＝2.(1)当点M 在何位置时，BM ∥平面AEF?(2)若BM ∥平面AEF ，判断BM 与EF 的位置关系，说明理由；并求BM与EF 所成的角的余弦值．解：(1)法一：如图所示，取AE 的中点O ，连结OF ，过点O 作OM ⊥AC 于点M .因为侧棱A 1A ⊥底面ABC ， 所以侧面A 1ACC 1⊥底面ABC . 又因为EC ＝2FB ＝2，所以OM ∥FB ∥EC 且OM ＝12EC ＝FB ，所以四边形OMBF 为矩形，BM ∥OF . 因为OF ⊂平面AEF ，BM ⊄平面AEF ，故BM∥平面AEF，此时点M为AC的中点．法二：如图所示，取EC的中点P，AC的中点Q，连结P Q，PB，B Q.因为EC＝2FB＝2，所以PE綊BF，所以P Q∥AE，PB∥EF，所以P Q∥平面AFE，PB∥平面AEF，因为PB∩P Q＝P，PB，P Q⊂平面PB Q，所以平面PB Q∥平面AEF.又因为B Q⊂平面PB Q，所以B Q∥平面AEF.故点Q即为所求的点M，此时点M为AC的中点．(2)由(1)知，BM与EF异面，∠OFE(或∠MBP)就是异面直线BM与EF所成的角或其补角．易求AF＝EF＝5，MB＝OF＝3，OF⊥AE，所以cos∠OFE＝OFEF＝35＝155，所以BM与EF所成的角的余弦值为15 5.。