一次函数解析几何
一次函数几何综合题解题技巧
一次函数几何综合题解题技巧一次函数是初中数学的重点知识之一，同时也是中考的热点。
它与几何知识的综合应用在中考中主要体现在：利用一次函数求待定系数、一次函数图象与几何图形相结合、一次函数图象的应用等几个方面。
本文将结合实例谈谈一次函数与几何图形综合题的解题技巧。
一、利用一次函数求待定系数解决这类问题的关键是利用已知条件建立方程组，求出待定系数。
具体来说，一般先设出一次函数解析式，利用已知条件得到解析式中的系数，再得到一次函数解析式。
【例1】已知：如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与两坐标轴分别交于A、B两点，且与反比例函数的图象在第一象限交于点C。
（1）求该反比例函数的解析式；（2）求直线AB的解析式；（3）根据图像，当C的横坐标在哪个取值范围内时，线段AB不经过第四象限？分析：（1）由点C在反比例函数图象上，可直接求得解析式；（2）由于点C在直线AB上，可设直线AB的解析式为，将点C 的坐标分别代入解析式，可求得A、B两点的坐标，进而可求得直线AB 的解析式；（3）由图象可知，当C点的横坐标小于时，线段AB不经过第四象限。
解：（1）设反比例函数的解析式为，将点C（3，4）代入得，所以该反比例函数的解析式为；（2）设直线AB的解析式为，因为点C（3，4）在直线AB上，所以，解得，所以直线AB与轴交于点D（6，0），又因为点A（－3，－4），所以直线AB的解析式为；（3）由图象可知，当C点的横坐标小于时，线段AB不经过第四象限。
二、一次函数图象与几何图形相结合此类问题主要利用了待定系数法、数形结合的思想以及分类讨论的思想。
解题时要注意数形结合，根据已知条件建立方程或不等式，结合图形加以分析。
【例2】如图2，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、C的坐标分别为（4，0）、（0，2），点D是边BC上的一个动点（点D与B、C不重合），过点D的抛物线经过点A、C、E。
（1）求该抛物线的解析式；（2）当AC为何值时，四边形DEOB为平行四边形？请说明理由；（3）设点D的坐标为（x，y），①试求该抛物线的对称轴及点D 到直线AC的距离；②试探究在抛物线上是否存在点M，使四边形AMDE 的面积最大？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
数学必修二内容
数学必修二内容数学必修二是高中数学的一门重要课程，它是数学学科的基础，也是其他数学学科的理论和方法的基础。
数学必修二主要涵盖了函数、三角函数、解析几何和数列等内容。
下面将分别介绍这些内容。
一、函数函数是数学中的重要概念，它描述了两个数集之间的依赖关系。
在数学必修二中，我们首先学习了一次函数和二次函数。
一次函数是指函数的最高次数为1的函数，它的图像是一条直线。
二次函数是指函数的最高次数为2的函数，它的图像是一条抛物线。
我们学习了一次函数和二次函数的性质、图像和求解方法，掌握了如何根据函数的图像和性质解决实际问题。
二、三角函数三角函数是数学中的重要概念，它描述了角度和边长之间的关系。
在数学必修二中，我们学习了正弦函数、余弦函数和正切函数。
正弦函数和余弦函数描述了角度和三角形的边长之间的关系，正切函数描述了角度和三角形的边长之间的关系。
我们学习了三角函数的性质、图像和求解方法，掌握了如何根据角度和边长的关系解决实际问题。
三、解析几何解析几何是数学中的重要分支，它研究了几何图形和代数方程之间的关系。
在数学必修二中，我们学习了平面直角坐标系、直线和圆的方程。
平面直角坐标系是描述平面上点的坐标系，它由x轴和y 轴组成。
直线的方程可以用一次函数的形式表示，圆的方程可以用二次函数的形式表示。
我们学习了直线和圆的性质、方程和求解方法，掌握了如何根据几何图形的性质和方程解决实际问题。
四、数列数列是数学中的重要概念，它描述了一系列有规律的数的排列。
在数学必修二中，我们学习了等差数列和等比数列。
等差数列是指数之间的差值相等的数列，等比数列是指数之间的比值相等的数列。
我们学习了数列的性质、通项公式和求和公式，掌握了如何根据数列的性质和公式解决实际问题。
数学必修二是高中数学的一门重要课程，它包括了函数、三角函数、解析几何和数列等内容。
通过学习这些内容，我们可以掌握数学的基本概念和方法，提高数学思维能力和解决实际问题的能力。
一次函数图像
一次函数的图像前言我们知道函数是输入自变量，输出因变量的一种对应关系。
那么如果我们想要把函数画出来，就需要同时表示自变量和因变量两个值。
这个问题被法国数学家笛卡尔所解决，所使用的方法也因此用笛卡尔命名。
平面直角坐标系为了表示自变量和因变量两个值，笛卡尔选择使用两条数轴，一条横的一条竖的，让两条数轴在原点相交，并且互相垂直。
这样平面上的每一个点，就能够分别对应横向和纵向的两个数了。
这被叫做平面直角坐标系，或者笛卡尔坐标系。
探索：坐标系可不可以不垂直？（非正交坐标）探索：除了两条数轴，还能有别的坐标系吗？（极坐标）探索：如果把一个坐标当作数，可以建立计算规则吗？（向量）可以看到平面被两条数轴切成了四部分，也叫四个象限，我们把x轴和y轴都是正半轴的部分叫做第一象限，逆时针依次是第二三四象限。
练习：在平面直角坐标系上表示 (0,1),(−12,3),(2,−1) ，并说明它们在第几象限。
函数图像通常我们把横轴叫做x轴，表示自变量，纵轴叫做y轴，表示因变量。
我们知道数轴可以表示所有的实数，所以只要把x轴每个x对应的函数值在y轴上表示出来就行，即画出所有的 (x,y(x)) 。
例如对于函数y(x)=1，我们知道不管x是多少，函数值都是1，所以得到图像如下：可以看出，任何的x对应的y值都是1，也就是函数y(x)=1。
如果函数的定义域有限制，那么我们就只画有定义的部分，例如 y(x)=−2x,x≥0 ，定义域要求x非负，我们就只画非负的部分，得到：我们可以用图像表示许多函数，例如 y(x)=x34−2x+x−1x+3 ：一次函数的图像接下来我们着重讨论一次函数的图像。
把一次函数画出来，可以发现一次函数在平面直角坐标系上都是一条直线。
例如y(x)=x+1的图像如下：我们知道两个数据能够确定一次函数，而在几何上，我们定义两点确定一条直线。
探索：如何证明一次函数图像是一条直线？练习：在同一个坐标系内画出 y1(x)=−12x,y2(x)=2x−3,y3(x)=−x+3 。
一次函数与几何专题
一次函数在购物问题中的应用Fra bibliotek总结词
一次函数在购物问题中常被用来表示商品价格与购买 数量的关系，帮助消费者做出最优的购买决策。
详细描述
在购物时，商品的价格往往随着购买数量的增加而发生 变化。商家可能会提供折扣或优惠来鼓励消费者购买更 多。通过建立一次函数关系式，消费者可以计算出在什 么数量范围内购买最划算。例如，如果商品的单价为 p 元，购买数量为 q 个，折扣率为 r，则实际支付的总价 为 p × q × (1 - r)。通过比较不同数量和折扣率下的总 价，消费者可以选择最经济的购买方案。
一次函数与线段交点
通过求解一次函数的解析式，可以找 到该函数与线段的交点，从而确定线 段上的点。
一次函数与三角形
三角形面积计算
利用一次函数表示三角形的底和 高，可以计算三角形的面积。
三角形周长
通过一次函数表示三角形的三条 边，可以计算三角形的周长。
一次函数与四边形
四边形面积计算
利用一次函数表示四边形的对角线，可以计算四边形的面积 。
02
$k$是斜率，决定了函数的增减性 ；$b$是截距，决定了函数与$y$ 轴的交点。
一次函数的图像
一次函数的图像是一条直线，其斜率 为$k$，与$y$轴的交点为$(0, b)$。
当$k > 0$时，函数图像为上升直线； 当$k < 0$时，函数图像为下降直线。
一次函数的性质
一次函数是线性函数的一种，具 有线性函数的性质，如加法性质、
一次函数的旋转
总结词
旋转对函数值的影响
详细描述
当一次函数图像在坐标轴上旋转时，函数值不会发生变化。但图像的位置和方向会改变。 顺时针旋转θ角度后，图像向左下方移动一段距离；逆时针旋转θ角度后，图像向左上
一次函数的函数图像与方程解析解的实际应用
一次函数的函数图像与方程解析解的实际应用一次函数是数学中常见的一种函数类型，它可以表示为y = ax + b的形式，其中a和b为已知值，x和y为自变量和因变量。
在这篇文章中，我们将讨论一次函数的函数图像以及如何使用方程解析解来解决实际应用问题。
一、一次函数的函数图像一次函数的函数图像是一条直线，其斜率确定了直线的倾斜程度，截距则决定了直线与y轴的交点。
根据斜率的正负，可以判断直线是上升还是下降。
下面我们来看几个具体的例子。
1. 实例一：y = 2x + 1这个函数表示了一个斜率为2，截距为1的直线。
根据斜率的正值，我们知道这条直线上升。
当x增加1个单位时，y增加2个单位。
当x减小1个单位时，y减小2个单位。
通过这些关系，我们可以画出该函数的函数图像。
2. 实例二：y = -3x + 2这个函数表示了一个斜率为-3，截距为2的直线。
根据斜率的负值，我们知道这条直线下降。
当x增加1个单位时，y减小3个单位。
当x减小1个单位时，y增加3个单位。
同样地，我们可以通过这些关系画出该函数的函数图像。
通过观察这些例子，我们可以发现直线的倾斜程度（斜率）以及它与y轴的交点（截距）等信息可以从一次函数的解析解中推导出来。
这样，我们可以在解析解的基础上直观地了解一次函数的函数图像。
二、一次函数方程解析解的实际应用一次函数的解析解除了可以用来绘制函数图像之外，还可以应用于解决实际问题。
我们将通过以下两个实际应用问题来说明。
1. 实例一：销售收入问题假设一个公司以每件产品x销售价y的方式进行销售。
已知该公司每个月的固定成本是1000元，每件产品的可变成本是30元。
我们希望找到销售多少件产品时，公司能够实现盈亏平衡。
根据以上信息，我们可以写出一次函数的方程：总收入 = 总成本根据题意，总收入为yx，总成本为1000 + 30x。
将它们相等并整理方程，可得：yx = 1000 + 30x解这个一次方程，我们可以求得x的解析解。
一次函数与解析几何入门
一次函数与解析几何入门一次函数（也被称为线性函数）是代数中最简单的函数之一，它在解析几何中扮演着重要的角色。
通过研究一次函数与解析几何的关系，我们能够更好地理解和应用这两个概念。
本文将介绍一次函数的基本定义和性质，并探讨一次函数与解析几何的联系。
一、一次函数的定义与性质一次函数的一般形式为 f(x) = ax + b ，其中 a 和 b 是常数，且a ≠ 0。
这里的 x 是自变量，f(x) 是因变量。
一次函数的图像是一条直线，它的斜率为 a，截距为 b。
斜率代表了函数图像上的点沿着 x 轴正方向移动时的变化率，而截距则是函数图像与 y 轴的交点。
一次函数具有以下性质：1. 斜率：斜率是一次函数最重要的性质之一。
在一次函数中，斜率描述了函数图像的变化趋势。
斜率为正表示函数图像上的点随着 x 增大而增大，为负表示随着 x 的增大，函数图像上的点减小。
斜率的绝对值越大，函数图像越陡峭。
2. 截距：截距是函数图像与 y 轴的交点，表示当 x = 0 时，函数的取值。
截距是一次函数的常数项，它决定了函数图像在y 轴上的位置。
3. 零点：一次函数的零点即为使 f(x) = 0 的 x 值。
通过求解方程 ax+ b = 0 ，我们可以计算出一次函数的零点。
零点是函数图像与 x 轴的交点，也是方程的解。
二、解析几何中的直线在解析几何中，直线是最基本的图形之一。
直线可以用数学方程来表示，其中一次函数就是一种常用的直线方程形式。
1. 点斜式方程：点斜式方程是一种表示直线的方式。
它的一般形式为 y - y₁ = m(x - x₁)，其中 (x₁, y₁) 是直线上的已知点，m 是直线的斜率。
通过斜率和已知点，我们可以确定一条直线的方程。
2. 截距式方程：截距式方程是另一种表示直线的方式。
它的一般形式为 y = mx + b，其中 m 是直线的斜率，b 是直线与 y 轴的交点。
通过斜率和截距，我们可以确定一条直线的方程。
《一次函数》典型例题解析与点评剖析
《一次函数》典型例题解析与点评一次函数是初中数学中应用广泛、内容丰富的课题之一，通过学习一次函数，可有助于构造方程、深入理解函数的变化，使以后的学习、研究更加方便．本专题的基本要求是会根据已知条件，利用待定系数法确定一次函数的解析式；能用一次函数解决实际问题；会画一次函数的图像，并掌握其性质，所以我们从一些基础问题、最值问题、一次函数的应用、动点问题和定点问题这几个方面来阐述．例题１已知直线l 1：y ＝－3x ＋4与直线l 2：y ＝13x ＋4相交于点A ，其中直线l 1与x 轴交于点C ，现沿着x 轴将直线l 1在x 轴以下的部分向上翻折到x 轴的上半部，翻折后与直线l 2交于点B ．(1)求射线l CB （不含端点）对应的函数解析式及定义域；(2)求点B 的坐标；(3)求△ABC 的面积．【解答】(1)由y ＝－3x ＋4知，C （43，0）．【技巧】题中所求交点坐标是利用两个函数的解析式联立方程组求解，这种情况在“正反比例”中已做强调．而求面积的题目一般是通过构造特殊的图形，或者利用割补法来求解． 另外，以下知识点在一些教材需等高中才能讲授，作为本书阅读者可提前了解． 已知两直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2．(1)若l 1∥l 2，则k 1＝k 2，或l 1、l 2两直线同时平行y 轴；反之亦然．(2)若l 1⊥l 2，则k 1×k 2＝－1，或l 1、l 2中一条直线斜率为0，一条直线斜率不存在（两直线分别为平行于x 轴，y 轴）；反之亦然．在本题中，l1、l2为互相垂直．例题2已知abc <0，a＋b＋c<0，且一次函数y＝b cxa a的图像经过第一、二、三象限．求证：(1)a>0，b>0，c<0；(2)当x>0时，y>1．【解答】【技巧】本题考查的是一次函数的图像，根据图像所经过的象限判断出斜率和截距的情况，即b ÷a>0，（－c）÷a>0；再结合不等式的性质，推出a、b、c的大小，从而得证．反过来根据x的取值范围，再利用函数图像也能求出y的取值范围．例题3如图所示，在直角坐标系内，一次函数y＝kx＋b(kb>0，b<0)的图像分别与x轴、y轴和直线x＝4相交于A、B、C三点，直线x＝4与x轴交于点D，四边形OBCD的面积是10，若点A的横坐标是－0.5，求这个一次函数的解析式．【解答】【技巧】本题利用待定系数法和面积法构造二元一次方程组求解．要求一次函数的解析式，必须已知两个点，而本题只给出一个点的坐标，因此要从面积着手找出k与b之间的另一个关系．通过本题，可知解题还须熟记以下基本公式．(1)l ：y ＝kx ＋b 与x 轴的交点为(－b k，0），与y 轴的交点为(0，b)； (2)l 与x 轴、y 轴所围成的三角形面积为22b k． 例题４如图所示，在直角坐标平面内，函数y ＝m x(x>0，m 是常数)的图像经过点A(1，4)，B(a ，b)，其 中，过点A 作x 轴垂线，垂足为C ，过点B 作y 轴垂线，垂足为D ，连接AD 、DC 、CB ．(1)若△ABD 的面积为4，求点B 的坐标；(2)求证：DC 平行于AB ；(3)当AD ＝BC 时，求直线AB 的函数解析式．【解答】(1)将点A 代入y ＝m x得：m ＝4，所以y ＝4x ． 由△ABD 的面积为4，点B(a ，b)代入函数解析式得方程组：【技巧】注意斜率公式：k 1212y y x x -=-；两点间距离公式：d用待定系数法求出反比例函数关系式，然后通过已知条件的面积以及关于点B 的函数关系式找到两个等量关系，再构造方程组从而解出点B 的坐标，求证DC 与AB 的平行，由于在直角坐标系中本题完全可撇除通过平行的判定来证明，这里我们从直线的斜率上判断，原因在题1的技巧贴士中已经给出．第(3)问求函数关系式，选择待定系数法，通过AD ＝BC ，在直角坐标系中构造直角三角形，通过求边的长度找到等量关系．【点评】几何问题是一次函数中常见的题型，它经常以一次函数的翻折旋转、一次函数的性质定义、由面积求一次函数解析式等形式出现．在解题之前要熟记一次函数的定义、性质、特点等基本知识，特别是类似一次函数斜率k ≠0等问题．对于翻折旋转问题，还请了解以下内容．正因为如此，题1中l 1：y ＝－3x ＋4关于x 轴对称可直接表达为－y ＝－3x ＋4，当然也可以取l 1上一点（2，－2），则该点关于x 轴的对称点为(2，2)，求出经点C （43，0）与(2，2)的解析式即l BC ．这种“取点”方法间接解决了函数y ＝f(x)关于某点对称的函数y ＝g(x)的求法，即取y ＝f(x)上的一些点，这些点的对称点比较容易求出，并且这些点都在y ＝g(x)上，有了这些点，利用“待定系数法”等技巧可以表达出y ＝g(x)．对于面积问题，通过题1、题3、题4的讲解我们知道，在一次函数中，要么用割补法，如题1，要么数形结合，直接用公式，如题4，以BD 为底，△ABD 的高为4－b ．例题5已知f(x)是一次函数．(1)若f[f(x ＋1)]＝4x ＋7，求函数f(x)的表达式；(2)若f(1)＝1，且f[(2)]＝2×4b k，求函数f(x)的表达式． 【解答】【技巧】首先设一次函数表达式为f(x)＝kx ＋b(k ≠0)，比较左右两边的系数构造方程组求解，先设出一次函数的表达式，通过两次代换得到一个新的函数，再利用两边对应项系数相等构造出方程组，从而解出k 和b 的值，如对于f(f(x))，现标记为f 1(f 2(x))，先计算出f 2(x)，再将f 2(x)视为一个整体代入f 1(x)．例题６在直角坐标系xOy ，x 轴上的动点M(x ，0)到定点P(5，5)，Q(2，1)的距离分别为MP 和MQ ，那么当MP ＋MQ 取最小值时，求点M 的横坐标．【解答】如图所示，作点Q 关于x 轴的对称点Q'（2，－1）．设直线PQ'的解析式为y ＝kx ＋b ，将点P(5，5)，Q'（2，－1）代入解析式得5512k b k b =+⎧⎨-=+⎩，解得k ＝2，b ＝－5，则直线 PQ'的解析式为y ＝2x －5．令y ＝0，则x ＝2.5即为所求．下面证明点M(2.5，0)使MP ＋MQ 取最小值．在x 轴上任取点M ，连接MP 、MQ 、PQ'．因为点Q 关于x 轴的对称点为Q'，所以x 轴为线段QQ'的垂直平分线．由此可得MQ ＝MQ'，因为MP ＋MQ'≥PQ'，两点间距离线段最短，所以MP ＋MQ 的最小值即MP ＋MQ'的最小值为PQ'．则PQ'与x 轴的交点即为所求点M ．【技巧】本题关键在于将问题转换为求两定点距离之和的最小值，即利用“两点之间线段最短”，由于点P 、点Q 分布在x 轴的同侧，所以利用对称的知识首先将其中一点Q 找到它的对称点Q'，因为M 点在x 轴上，那么我们可以理解其为直线PQ'与x 轴的交点．还请注意，找到了M 点，还需证明M 使MP ＋MQ 取最小值，因此本题分两步：首先找出M ，接着证明M 即为所求．例题７设f(x)＝mx ＋1m（1－x ），其中m>0，记f(x)在0≤x ≤1的最小值为g(m)，求g(m)及其最大值，并作y ＝g(m)的图像．【解答】所以g(m)在0<m≤1上为递增函数，g(m)在m≥1上为递减函数．故g(x)max＝g(1)＝1．【技巧】本题主要运用分类讨论的思想．先将f(x)整理成一次函数的常规形式，因x的系数是字母，不知道它的正负情况，因此要进行分类讨论．例题8某汽车出租公司要购买轿车和面包车共10辆，其中轿车至少要购买3辆，轿车每辆7万元，面包车每辆4万元，公司可投入的购车款不超过55万元．(1)符合公司要求的购买方案有几种？请说明理由．(2)如每辆轿车的日租金为200元，每辆面包车的日租金为110元，假设新购买的这10辆车每日都可租出，要使这10辆车的日租金不低于1500元，应选择以上哪种购买方案？【解答】(1)设要购买x辆轿车，那么面包车要购买(10－x)辆，由题意得7x＋4(10－x)≤55，解得x≤5．因为x≥3，则x＝3，4，5．所以购买方案有三种：①轿车3辆，面包车7辆；②轿车4辆，面包车6辆；③轿车5辆，面包车5辆．(2)方案①的日租金为：3×200＋7×110＝1370（元）；方案②的日租金为：4×200＋6×110＝1460(元)；方案③的日租金为：5×200＋5×110＝1550(元)．为保证日租金不低于1500元，应选方案③，【技巧】解决本题的关键是要抓住题目中的关键词语“不超过”，“有几种方案”．首先根据已知条件列出不等式7x＋4(10－x)≤55，并且要注意的是，本题为应用题，所以x的取值应该是正整数．结合实际意义找出相对应的解，确定出三种方案，再对各种方案求出各种租金进行比较．例题9已知某服装厂现有A种布料70米，B种布料52米，现计划用这两种布料生产M、N 两种型号的时装共80套．已知做M型号的时装需用A种布料1.1米，B种布料0.4米，可获利50元；做一套N型号的时装需用A种布料0.6米，B种布料0.9米，可获利45元．设生产M型号的时装x套，用这批布料生产两种型号的时装所获得的总利润为y元．(1)求y（元）与x（套）的函数关系式，并求出自变量的取值范围；(2)当M型号的时装为多少套时，能使该厂获利润最大？最大利润是多少？【解答】(1)由题意得：y＝50x＋45(80－x)＝5x＋3600．因为两种型号的时装共用A 种布料70米，B 种布料52米，则有()()70 1.10.680,520.40.980,x x x x ⎧≥+-⎪⎨≥+-⎪⎩解得40≤x ≤44， 因x 为整数，所以x ＝40，41，42，43，44．所以y 与x 的函数关系式是y ＝5x ＋3600(x ＝40，41，42，43，44)．(2)因为5>0，所以y 随x 的增大而增大，所以当x ＝44时，y max ＝3820，即生产M 型号的时装44套时，该厂利润最大，最大利润是3820元．【技巧】(1)求解自变量的取值范围的时候，我们要运用到题设中所给的条件“两种型号的时装共用A 种布料70米，B 种布料52米”，确定出两个不等关系，找出相应的范围，注意不等式是可以取得等号的．(2)通过5种方案分别计算求出利润并比较找出最大值，我们发现利润y 与x 的函数关系为y ＝5x ＋3600(x ＝40，41，42，43，44)，y 随x 的增大而增大，因此x 取最大值的时候可以得到y max ＝3820．【点评】以上5题主要涉及函数的迭代问题、最值问题和实际应用问题．迭代问题，就是将里面的函数看成一个整体代入外面的函数中，从内到外，逐层推算．这就要考同学们对函数定义的理解了，将外面函数中的x 用里面函数的函数值代替再运算就可以了．再次强调对于f(f(x))的计算，现标记为f 1(f 2(x))，先计算出f 2(x)，再将f 2(x)视为一个整体代入f 1(x)，同理，f 1(f 2(f 3(x)))也是如此，从内到外，先算f 3，再将f 3作为整体代入计算f 2，最后将f 2作为整体代人f 1．最值问题分为两个方面，一个是两点间线段最短．另一个是分段函数，需要进行分类讨论，分析函数增减性，画出函数图像，得到在定义域中函数值取到的最大值或最小值． 题6的做法在专题6中还会出现，至于题7的最值则要在确定g(m)的基础上才能确定．对于题6，请千万牢记，本题要有两个步骤：首先找出M ，接着证明M 即为所求，第一个步骤是确定存在性，到底有没有满足条件的M 点，第二步则是证明唯一性．而实际应用问题，如题8和题9，这两题是一次函数与不等式相结合的应用问题．首先根据题目中的条件确定出不等关系，找出相应的自变量的范围，确定出几种方案，再对各种方案求出因变量进行比较，得出最佳方案．例题10 如图所示，在平面直角坐标系中，已知OA ＝12cm ，OB ＝6cm ．点P 从点O 开始沿OA 边向点A 以1cm/s 的速度移动；点Q 从点B 开始沿BO 边向点O 以1cm/s 的速度移动．如果点P 、点Q 同时出发，用t （秒）表示移动的时间(0≤t ≤6)，则：(1)设△POQ 的面积为y ，求y 关于t 的函数解析式；(2)当△POQ 的面积最大时，将△POQ 沿直线PQ 翻折后得到△PCQ ，试判断点C 是否落在直线AB 上，并说明理由．【解答】(1)由题意得，BQ ＝t ＝OP ，CQ＝6－t，所以y＝－12t2＋3t(0≤t≤6)．(2)已知坐标A(12，0)，B(0，6)，所以直线AB为y＝－12x＋6．由(1)得，当y取最大值时，t＝3，所以CQ＝3，OP＝3，即△POQ是等腰直角三角形．将△POQ沿直线PQ翻折，可得到边长为3的正方形OPCQ，得点C坐标(3，3)，代入y＝－12x＋6不成立，即点C没有落在直线AB上，【技巧】本题是一个动点问题．(1)要求y关于t的函数解析式，只要求出OQ、OP的长度（包含未知数t）即可；(2)先求出当△POQ的面积最大时t的值，从而求得OQ＝3和OP＝3，然后不难求出C点的坐标是(3，3)，代入一次函数y＝－12x＋6即可．例题11已知函数f(x)＝(m－2)x＋2m－3．(1)求证：无论m取何实数，这些函数的图像恒过某一定点．(2)当x在[1，2]内变化时，y在[4，5]内变化，求实数m的值．【解答】(1)令y＝f(x)＝(m－2)x＋2m－3，则有(x＋2)m－2x－3－y＝0．【技巧】本题是一个定点问题．(1)由“无论m取何实数时，这些函数的图像恒过某一定点”可知，这个定点与m的取值无关．所以只需变换一次函数解析式，把含有m的项合并，转换成a．m＝b，其中a＝0，b＝0即可．(2)对f(x)＝(m－2)x＋2m－3，还需讨论m－2的取值范围，确定一次函数是增函数还是减函数后，方可利用题设所给出的x、y范围的端点值代入一次函数的解析式，最终求得m．【点评】动点问题与定点问题是一次函数实际运用中最多也是最实用的两类问题，动点问题就是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目．解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题．其中数形结合是解决动点问题最主要的方法，在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路，这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质．例如题10，其特点是有两个动点P 、Q ，而且它们分别在两条不同的射线上运动，解答问题的关键是认为点P 、Q 是“静止”的，不要被“运动”二字所迷惑，只要将△POQ 的面积表达出来即可． 要求面积最大，可利用配方法，即()2211933222y t t t =-+=--+，确定了点P 、Q 的坐标后进一步求出点C 的坐标．对于题10，再做以下几点说明，这些规律对于解题很有帮助，所以请牢记！(1)求最值问题，可能会涉及一元二次方程中的“配方法”（专题2中已作说明）以及函数的性质问题（如题7的分段函数）．(2)在最值的情况下，题中所形成的图形往往是“特殊”的（如题11中等腰直角三角形POQ ，专题3题8技巧贴士中所提及的正方形）．(3)本题也属于翻折情况．将本问题引申：若三角形POQ 是任意三角形（不一定是直角三角形），那经翻折后，C 点何时在直线AB 上呢？翻折的详细情况可见专题7中的“思维点评”．至于“定点问题”，这是在运动变化中寻找不变量的另外一个类型，这类问题常常会用到特殊与一般的数学思想，定点问题是数学思想与数学知识紧密结合的一类综合性试题，是中考考查能力的热点题型之一，定点问题一般分为两类：一类是直线过定点问题．如题11的第一个问题，具体解法技巧贴士中已给出；另一类是函数图像过定点问题，这类问题目前所学知识还未涉及，将在9年级“二次函数”专题中涉及．。
中考数学压轴题讲解分析：一次函数与几何综合问题
中考数学压轴题讲解分析：一次函数与几何综合问题大家都知道函数相关知识内容一直是中考数学的重难点、热点，必考内容之一。
纵观历年全国各地中考数学试卷，我们可以很直观的发现，函数所占的分值较高，甚至全国大多数的中考数学压轴题都是以函数为知识背景。
一次函数作为初中数学三大函数之一，自然受到中考数学命题的特别青睐。
在中考冲刺复习阶段，很多考生往往只盯着二次函数的复习，忽视了一次函数和反比例的巩固和学习，认为只要复习好二次函数就能拿到中考函数的全部分数，这样的复习方法是非常危险。
像这样“以偏概全”的中考复习方法要不得，要想“打好”中考这场战争，我们就需要做好全面复习，落实每一个基础知识点，掌握好每一个方法技巧和数学思想方法等，这样才能从容应对中考。
因此，今天我们就一起来讲讲一次函数与几何相关的综合问题。
一次函数与几何图形相关的综合问题，大部分都是解答题，而且有时难度较大。
考生在考试中遇到此类问题，如果不认真审题,理清题意，或是没有把一次函数知识点吃透，很容易让自己花费了大量时间,但又无法正确解决问题。
下面我们先来看一道典型例题。
中考数学，一次函数与几何相关综合题，典型例题分析1：如图，已知一次函数y=－x 7与正比例函数y=4x/3的图象交于点A，且与x轴交于点B．（1）求点A和点B的坐标；（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴．动点P 从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O﹣C﹣A的路线向点A 运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A 时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．考点分析：一次函数综合题.题干分析：（1）根据图象与坐标轴交点求法直接得出即可，再利用直线交点坐标求法将两直线解析式联立即可得出交点坐标；（2）①利用S梯形ACOB－S△ACP－S△POR－S△ARB＝8，表示出各部分的边长，整理出一元二次方程，求出即可；②根据一次函数与坐标轴的交点得出，∠OBN＝∠ONB＝45°，进而利用勾股定理以及等腰三角形的性质和直角三角形的判定求出即可。
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一次函数解析几何
1. 如图，直线AB 分别交y 轴、x 轴于A 、B ，点C （2，3）在直线上，且
，求AB 的解析式
2. 如图，直线AB 的解析式为y ＝
,与y 轴、x 轴分别交于点A 、B ，直线CD 的解析式为y ＝ ,与y
轴、x 轴分别交于点C 、D 。
（1）平移AC ，使A 的对应点P 在CD 上，C 的对应点Q 在AB 上，求P 、Q 坐标； （2）平移AB ，使A 的对应点P 在x 轴上，B 的对应点Q 在CD 上，求P 、Q 坐标； （3）平移线段BC ，使C 的对应点P 在AB 上，B 的对应点Q 在CD 上，求P 、Q 坐标；
3. 如图，直线AB 的解析式为y ＝1
3
x+1，C 点坐标为（0，－2）。
若直线y=kx-1交y 轴于点M ，交AB 于G 点，
交AC 于N 点，且MN ＝MG ，求k.
4. 如图，直线AB 的解析式为y ＝1
3
x+1，C 点坐标为（0，－2）。
若直线y=kx+k 交x 轴于点P ，交AB 于E 点，
交AC 于F 点，且PE ＝PF ，求k.
5.
直线
与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，直线AD 解析式为 交x 轴于D.
(1)如图1，直线AD 上的两点F 、G ，△BFG 是以FG 为斜边的等腰直角三角形，求点G 的坐标
(2)如图2，点P 是直线AB 上一点，点Q 是直线AD 上一点，且P 、Q 均在第四象限，点E 是x 轴上一点，若四边形PQDE 为菱形，求点E 的坐标
6. 已知：
如图，直线ｙ＝－x ＋b 交x 轴于A （6，0），交y 轴于B ，点D 在线段OA 上，且直线BD 的解析式为 。
）若过原点O 的直线EF 交BD 于E ，交AB 于F ，若DAFE
1
5∆=
ODE 四边形S S ，求E 、F 两点坐标。
7. 一次函数y ＝kx ＋3交x 轴于点B ，y 轴于点A ．如图，点M 、N 是直线y ＝kx ＋3（k ＞0）上的两点，设点M 、
N 的横坐标分别为b a 、，且a ＜0，b ＞0，a ＋b ≠0，过M 作直线l 1：y ＝ax 和过N 作直线l 2：y ＝bx ． （1）求ab 的值；
（2）在y 轴的负半轴上存在一点P ，使得∠MP A ＝∠APN ，求出P 点坐标。