数学建模论文--人狗追线

人狗追线
摘要
本文通过研究狗追人的追线问题。

本文的整体方案满足狗追人路线问题。

对于人的行走路线及狗追人的路线进行分析，使用数学中的微分及积分知识，对建模内容进行分析概括，最终得出狗追人的路线轨迹。

通过数学建模，吧生活中的实际问题转化为数学问题进行分析解决，充分体现实际与理论知识的相结合。

在此过程中忽略实际情况中的一些微小变化，用理论知识分析相对理想化的问题！
关键词
一定速率微分积分始终
正文
问题的背景：在公园的一块草坪上，一个人依一个速率散步，一只狗一定的速率且方向始终指向此人追此人。

提出问题：（1）求狗追人的运动轨迹；
（2）这只狗是否能够追上此人，再什么情况下能够追上此人？
分析
假设选取此人散步的方向是沿y轴方向。

够在（c，0）位置时，发现人在（0, 0）处，且立即去追人。

显然人、狗的大小远远比他、它们的运动范围要小得多，即可视人、够为质点。

设狗发现人时算起时间，t时间后，人到达y轴上的R (0，at)点，
狗到达D(x ，y)点，如下图所示，
y
R
D
（0，0） (C ，0） x
所以，因直线RD 与狗的运动路线轨迹相切。

由几何关系得：
x at y dx dy -==αtan ；
或 at y dx dy x
-=- ； （1） 为消去t ，先把（1）对x 微分，
得到： dx
dt a dx y d x -=22 ； （2）
代入 dt
ds b =
得：
2)(11.dx dy b dx ds ds dt dx dt +-== ； （3）
这里有负号是因s 随x 的减小而增大，结合（2），（3）得到：
微分方程 {222')(1;
0)(,0)(dx
dy k dx y d x c y c y +=== ； （4）
其中
x dx k p dp dx dp dx y d p dx dy y b a k =+===2
221,则上式可化为：及令，上式不显含；
两端积分并利用初始条件：x=c 时， p=0，得到：
k
c x p p )ln()1ln(2=++；
从而 .0)(,21=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛==c y x c c x dx dy p k k （5)
要继续求y 是x 的怎样一个函数，必须进一步确定k 。

（1）若a<b ，从而k<1，由积分式（5）得：
211111112k ck c x k c x k c y k k -+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+；
当x=0时，2221a
b ab
c k ck y -=-=， 所以人被狗追上时所走过的距离是2
2a b abc -，所用
时间 22a
b b
c a y t -==。

（2）若b a =，即1=k ，由积分式（5）得：
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=c x c c c x y ln 2212
2；
显然x 不能取零值，即狗是不可能追伤人的。

（3）若a >b ，即k >1，显然够不可能追上人。

综合上所述所有的分析：
（1）若a <b ，即k <1时，狗的运动路线轨迹为：
211111112k ck c x k c x k c y k k -+⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+;
且当0=x 时，也就是经过22a b bc t -=
时间后，
狗能够追上人； （2）若b a =，即1=k 时，狗的运动路线轨迹为：
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=c x c c c x y ln 22122;
因为x 不能取零，所以此时狗不可能追上 人；
（3）若a >b ，即k >1，此时显然狗追不可能上人。

经过对数学模型的分析，学习了解了生活中的很多实际问题都可以通过建立数学模型来解决。

例如通过对狗追人问题建模的分析，我学会了对实际问题的数学模型化。

通过对本题的分析，由此我想到了很多此类的数学模型，如，实际生活中够追逐兔子的问题、舰艇追击问题等，都可通过数学建模的形式来解决。

数学模型是描述实际问题数量规律的、有数学符号组成的、抽象
的、简化的数学命题、数学公式、图表及算法。

研究数学模型，建立数学模型，进而借鉴数学模型，对提高解决实际问题的能力，以及提高数学素养都是十分重要的。