13.1命题、定理与证明(课后拓展训练题)
5.3.2《命题、定理、证明》同步练习题（共5篇）
5.3.2《命题、定理、证明》同步练习题（共5篇）第一篇：5.3.2《命题、定理、证明》同步练习题新课标第一网不用注册，免费下载！5.3.2《命题、定理、证明》同步练习题（1）知识点：命题：判断一件事情的语句，命题由题设和结论组成真命题：题设成立，结论成立的命题假命题：题设成立，结论不一定成立的命题同步练习：一、填空题：（每题4分，共40分）1、每个命题都由＿＿＿＿＿和＿＿＿＿＿两部分组成。
2、命题“对顶角相等”的题设是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，结论是＿＿＿＿＿3、命题“同位角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿4、请用“如果…，那么…”的形式写一个命题：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿5、一个命题，如果题设成立，结论一定成立，这样的命题是＿＿＿命题；如果题设成立，结论不成立或不一定成立，这样的命题是＿＿＿命题（填“真”、“假”）6、以下四个命题：①一个锐角与一个钝角的和为180°；②若m 不是正数，则m一定小于零；③若ab＞0，则a＞0，b＞0；④如果一个数能被2整除，那么这个数一定能被4整除。
其中真命题有＿＿＿个。
新-课-标-第-一-网7、下列语句：①对顶角相等；②OA是∠BOC的平分线；③相等的角都直角；④线段AB。
其中不是命题的是＿＿＿＿＿＿＿（填序号）8、“两直线相交只有一个交点”的题设是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
9、命题“a、b是有理数，若a＞b，则a2＞b2”，若结论保持不变，怎样改变条件，命题才是真命题。
请你写出一种改法：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿10、对于同一平面内的三条直线a、b、c给出以下五个结论：① a∥b；② b∥c；③ a⊥b；④ a∥c；⑤ a⊥c。
以其中两个为题设，一个为结论，组成一个正确的命题：＿＿＿＿二、选择题（每题4分，共20分）11、如图，直线c与a、b相交，且a∥b，则下列结论：（1）∠1＝∠2；（2）1a2∠1＝∠3；（3）∠2＝∠3。
八年级数学上册 13.1 命题、定理与证明 如何寻找命题的条件和结论素材 (新版)华东师大版
如何寻找命题的条件和结论学习了“命题”以后，细心的同学会发现，课本中给出的很多命题都省略了“如果…，那么…”，因此使它的条件和结论不明显，对于这类命题，要经过分析，写成“如果…，那么…”的形式，才能准确地把握其条件和结论．下面就如何把命题改写成“如果…，那么…”谈点看法，供同学们参考．任何命题的结构都具有固定的形式，我们遇到的问题都是由题设和结论两部分组成。
题设（条件）是已知事项，结论是由已知事项推断出的事项．因此，命题常用“如果…… ，那么……”或“若…… ，则……”的形式表达，具有这种形式的命题中，“如果”或“若”引出的部分是条件，“那么”或“则”引出的部分是结论。
如果一个命题不是这种形式，我们就要将他们改写为“如果…… ，那么……”或“若…… ，则……”的形式，在改写前下要分出题设和结论，必要时可以结合图形来区分。
下面举例来说明。
例请将下列命题写成“如果…… ，那么……”的形式，并写出条件和结论．（1）平行于同一条直线的两条直线平行．（2）互为邻补角的两个角的角平分线互相垂直．分析：我们可以逆向思考，即（1）结论应为“平行”，那么什么平行呢？一般是两直线互相平行。
那么满足什么样的条件的两直线？可得条件是两条直线平行于同一条直线。
（2）结论应为“互相垂直”，那么什么互相垂直呢？一般是两条线（直线、射线或线段）互相垂直。
那么满足什么样的条件的两线互相垂直呢？可得条件是两条射线是互为邻补角的两个角的角平分线。
这样通过逐步逆向设问的方法可以帮助我们确定条件和结论，最后用完整的文字语言写出来即可。
解：（1）改写成“如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行．”条件是：两条直线平行于同一条直线；结论是：这两条直线平行．（2）改写成“如果两条射线是互为邻补角的两个角的角平分线，那么这两条射线互相垂直．”条件是：两条射线是互为邻补角的两个角的角平分线；结论是：这两条射线互相垂直点评：在改写命题时，不是机械地在原命题中添上“如果”和“那么…”，而要使改写后命题的实质不变，条件和结论明朗化，主要要求为（1）改写后的命题与改写前的命题的内容要一致；（2）改写后的命题的句子要完整、语句要通顺，必要时，要对原命题加一些修饰，并且补上原来省略的部分．比如改写命题“两点确定一条直线”，不能写成“如果两点，那么确定一条直线”，应该改写为“如果过两点作直线，那么能够作而且只能作一条直线．”练习：请将下列命题写成“如果…，那么…”的形式．（1）两直线相交只有一个交点．（2）角平分线上的点到角的两边距离相等．（3）平行四边形的对角线互相平分．（4）直角三角形两锐角互余．参考答案：（1）如果两条直线相交，那么它们只有一个交点．（2）如果某点是角平分线上的点，那么这个点到角的两边距离相等．（3）如果一个四边形是平行四边形，那么它的对角线互相平分．（4）如果两个角是直角三角形的一组锐角，那么这两个角互余．。
2024-2025学年初中数学八年级上册(冀教版)教案第13章全等三角形
第十三章全等三角形13.1 命题与证明（1（2题教学反思例1 判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题的真假：(1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点；(2)如果a >b ，那么a 2>b 2；(3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零； (4)如果ab <0，那么a >0，b <0. 教师引导，学生分析：可以先把原命题的条件和结论写出来，然后调换条件和结论即可得逆命题，最后判断真假性.教师提示：写逆命题并不是简简单单地把条件和结论互换即可，还要使命题的语句具有逻辑性. 解：（1）命题是真命题.逆命题为：如果两条直线只有一个交点，那么它们相交．是真命题.（2）是假命题.逆命题为：如果a 2>b 2，那么a >b ，是假命题.（3）是真命题.逆命题为：如果两个数的和为零，那么它们互为相反数，是真命题.（4）是假命题.逆命题为：如果a >0，b <0，那么ab <0.是真命题. 练习：请写出下列命题的逆命题，并指出原命题和逆命题的真假性：（1）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. （2）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.（3）如果一个数能被3整除，那么这个数也能被6整除. （4）已知两数a ,b .如果a +b >0，那么a -b <0. 学生独立完成，教师点评：（1）原命题是真命题，逆命题为：两条直线被第三条直线所截，如果这两条直线平行，那么内错角相等.逆命题也为真命题.（2）原命题是真命题，逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角. 逆命题为假命题.（3）原命题是假命题，逆命题为：如果一个数能被6整除，那么这个数也能被3整除.逆命题为真命题.（4）原命题是假命题，逆命题为：如果a -b <0，那么a +b >0.逆命题为假命题. 2.证明教师提问：刚才你们是怎么判断一个命题是假命题的？ 学生：举反例推翻这个命题.教师：那怎么判断一个命题是真命题呢？也用举例吗？仅仅举几个例子足以说明它是真命题吗？命题有真命题，也有假命题，要说明一个命题是假命题，只要举出反例即可；要说明一个命题是真命题，则需要进行推理论证，即证明.定义：要说明一个命题是真命题，则要从命题的条件出发，根据已学过的基本事实、定义、性质和定理等，进行有理有据的推理.这种推理的过程叫做证明. 例2 证明：平行于同一条直线的两条直线平行.已知：如图 ，直线a ，b ，c ，a ∥c ， b ∥c . 求证： a ∥b .证明：如图，作直线d ，分别与直线 a ，b ，c 相交∵ a ∥c (已知)，∴ ∠1＝∠2(两直线平行，同位角相等). ∵ b ∥c (已知)， 教学反思A BDCE∴ ∠2＝∠3(两直线平行，同位角相等). ∴ ∠1＝∠3(等量代换). ∴ a ∥b (同位角相等，两直线平行). 即平行于同一条直线的两条直线平行.教师：通过这个题，如何做证明题？（学生讨论） 证明的步骤：第一步：根据题意画图，将文字语言转换为符号（图形）语言； 第二步：根据条件、结论、 图形写出已知、求证； 第三步：根据基本事实、已有定理等进行证明.定义：如果一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命题也可以称为原定理的逆定理.我们已经知道命题“两直线平行，内错角相等”和它的逆命题“内错角相等，两直线平行”都是定理，因此它们就是互逆定理.．练习：已知：如图，点O 在直线AB 上，OD ,OE 分别是BOC AOC ∠∠,的平分线. 求证：OD ⊥OE .学生独立完成，教师点评：证明：∵ 点O 在直线AB 上，∴ ∠AOC +∠BOC ＝180°(平角的定义）. ∵ OD ，OE 分别是∠AOC ，∠BOC 的平分线，∴ ∠DOC ＝21∠AOC ,∠EOC ＝ 21∠BOC （角平分线的定义）， ∴ ∠DOC +∠EOC ＝21（∠AOC +∠BOC ）＝21×180°＝90°.∴ OD ⊥OE .课堂练习1.命题“如果a ＝b ，那么3a ＝3b ”的逆命题是______________________．2.写出下列命题的逆命题：(1)如果两直线都和第三条直线垂直，那么这两直线平行； (2)若a ＋b >0，则a >0，b >0； (3)等腰三角形的两个底角相等．3.已知：如图，直线a ,b 被直线c 所截，∠1与∠2互补. 求证：a ∥b.参考答案1.如果3a ＝3b ，那么a ＝b.2.解： (1)如果两直线平行，那么这两直线都和第三条直线垂直.(2)若a >0，b >0，则a +b >0.(3)有两个角相等的三角形是等腰三角形．3.证明：∵ ∠1和∠3是对顶角，教学反思O∴ ∠1＝∠3.又∵ ∠1与∠2互补，∴ ∠1+∠2＝180°.∴ ∠2+∠3＝180°，∴ ∠1＝∠3（等角的补角相等）. ∴ a ∥b （同旁内角互补，两直线平行）.课堂小结（学生总结，教师点评） 1.互逆命题 2.证明证明的一般步骤：第一步，依据题意画图，将文字语言转换为符号（图形）语言.第二步，根据图形写出已知、求证. 第三步，根据基本事实、已有定理等进行证明.布置作业完成教材第34页习题第1，2，3题.板书设计 13.1 命题与证明教学反思一个命题的条件和结论分别为另一个命题的结论和条件的两个命题，称为互逆命题.命题与证明互逆命题命题与证明要说明一个命题是真命题，则要从命题的条件出发，根据已学过的基本事实、定义、性质和定理等，进行有理有据的推理.这种推理的过程叫做证明.第十三章全等三角形13.2 全等图形教学目标1.理解全等图形，了解全等图形的对应点、对应边和对应角.2.理解全等三角形的概念，能识别全等三角形的对应边、对应角.3.知道全等三角形的性质.教学重难点重点：了解全等图形的对应点、对应边和对应角；知道全等三角形的性质.难点：理解全等三角形的概念，能识别全等三角形的对应边、对应角.教学过程导入新课观察思考：（学生观察，教师引导）问题：如图，观察给出的五组图形.（1）每组图形中，两个图形的形状和大小各有怎样的关系？（2）先在半透明纸上画出同样大小的图形，再将每组中的一个图形叠放到另一个图形上，观察它们是否能够完全重合.（4）探究新知1.全等图形同桌两人合作完成，学生回答，教师评价.实验发现：(1)(2)(3)组中的两个图形能够完全重合，(4)(5)组中的两个图形不能完全重合．定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形.考考你对全等图形的理解：观察下面三组图形，它们是不是全等图形？（1）（2）（3）教师归纳：全等图形的性质：全等图形的形状和大小都相同.有关的概念：对应点当两个全等的图形重合时，互相重合的点叫对应点.如图，△ABC与△A′B′C′是两个全等三角形，点A和点A′,点B和点B′,点C和点C′分别是对应点.教学反思对应边当两个全等的图形重合时，互相重合的边叫对应边.如AB和A′B′,CB和C′B′,AC和A′C′.对应角当两个全等的图形重合时，互相重合的角叫对应角.如∠A和∠A′，∠B和∠B′, ∠C和∠C′.2.全等三角形全等的表示方法“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”.如△ABC与△A′B′C′全等，记作△ABC≌△A′B′C′，读作三角形ABC全等于三角形A′B′C′.（教师提示：书写时应把对应顶点写在对应的位置上）3.全等三角形的性质根据以下几个问题归纳全等三角形有哪些性质？（教师引导，学生讨论）1.两个能够完全重合的线段有什么关系？2.两个能够完全重合的角有什么关系？3.两个全等三角形的对应边之间有什么关系？对应角之间有什么关系？师生共同归纳：全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.全等三角形的性质的几何语言：（学生完成填空）如图，∵△ABC≌△A′B′C′，∴AB＝____，AC＝____，BC＝_____（全等三角形对应边_____），∠A＝_____，∠B＝_____，∠C＝_____（全等三角形对应角_____）.练习：如图1，若△BOD≌△COE，∠B＝∠C，指出这两个全等三角形的对应边；若△ADO≌△AEO，指出这两个全等三角形的对应角.教师引导，学生分析：找对对应点是解决此题的关键（△BOD与△COE中，B-C,D-E,O-O;△ADO与△AEO中A-A,D-E,O-O）解：△BOD与△COE的对应边为：BO与CO，OD与OE，BD与CE；△ADO与△AEO的对应角为：∠DAO与∠EAO，∠ADO与∠AEO，∠AOD与∠AOE.图1图2例已知：如图2，△ABC≌△DEF，∠A＝78°，∠B＝35°，BC＝18.(1)写出△ABC和△DEF的对应边和对应角.(2)求∠F的度数和边EF的长.（学生独立完成，教师评价）解：(1)边AB和边DE，边BC和边EF，边AC和边DF分别是对应边；教学反思AB CE DF∠A 和∠D ， ∠B 和∠DEF ， ∠ACB 和∠F 分别是对应角. (2)在△ABC 中，∵ ∠A ＋∠B ＋∠ACB ＝180°(三角形内角和定理)， ∴ ∠ACB ＝180°-∠A -∠B ＝180°-78°-35°＝67°. ∵ △ABC ≌△DEF ，∴ ∠F ＝∠ACB ＝ 67°，EF ＝BC ＝18. 拓展：(1)全等三角形的对应元素相等．其中，对应元素包括对应边、对应角、对应中线、对应高、对应角平分线、对应周长、对应面积等；(2)全等三角形的性质是证明线段相等、角相等的常用依据．课堂练习1.如图1，△ABC ≌△BAD ，如果AB ＝6 cm , BD ＝4 cm ，AD ＝5 cm ，那么BC 的长是( )A .7 cmB .5 cmC .4 cmD .无法确定2.如图2，△ABC ≌△ADE ，∠B ＝80°，∠C ＝30°，∠DAC ＝35°，则∠EAC 的度数为( )A .40°B .35°C .30°D .25°3.如图3，已知△ABE ≌△ACD ，∠1＝∠2，∠B ＝∠C ，下列选项不正确的是( ) A.AB ＝AC B.∠BAE ＝∠CAD C.BE ＝DC D.AD ＝CD4.如图4，△ABC ≌ △ADE ,若∠D ＝∠B ， ∠C ＝ ∠AED ，则∠DAE ＝__________.5.如图5，△ABC ≌△DEF ，且B ，C ，F ，E 在同一直线上，判断AC 与DF 的位置关系，并证明.参考答案1.B2. B3.D4.∠BAC5.解：AC ∥DF . 理由如下：∵ △ABC ≌△DEF ，∴ ∠ACB ＝∠DFE ， ∴ 180°-∠ACB ＝180°-∠DFE ， 即∠ACF ＝∠DFC ，∴ AC ∥DF .教学反思A DB C A BC DE F图1 图2 图3 图4 AB C DE 图5课堂小结13.2全等图形布置作业完成教材第37页习题A组、B组.板书设计1.全等图形及相关的概念；2.全等三角形的表示方法及性质.教学反思全等图形：能够完全重合的两个图形叫做全等图形全等图形全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形全等三角形的性质全等三角形的对应边相等全等三角形的对应角相等第十三章 全等三角形13.3 全等三角形的判定第1课时 边边边教学目标1.进行三角形全等条件的探索，积累数学活动经验；2.掌握基本事实一，利用基本事实一证明两个三角形全等；3.会利用三角形全等证明线段相等、角相等.教学重难点 重点：掌握基本事实一，利用基本事实一证明两个三角形全等；难点：会利用三角形全等证明线段相等、角相等.教学过程 导入新课1.什么叫全等三角形？能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.2.如图，已知△ABC ≌△DEF①AB ＝DE，② BC ＝EF ，③CA ＝FD ；④∠A ＝∠D ， ⑤∠B ＝∠E ，⑥∠C ＝∠F .探究新知 一、探究互动一 思考1：满足上述六个条件可以保证△ABC ≌△DEF 吗？思考2：可以用较少的条件判定△ABC ≌△DEF 吗？在以上六个条件中，能否选择其中部分条件，简捷地判定两个三角形全等呢？教师引导，学生探究（小组合作）探究1 只给一个条件，可以分哪几种情况？能够判断两个三角形全等吗？两个三角形不全等；两个三角形不全等； 结论：一个条件不能够判断两个三角形全等.探究2 只给两个条件.①两条边对应相等：若AB ＝DE ，AC ＝DF ,但两个三角形不全等；教学反思②一条边和一个角对应相等：若AB ＝DE ，∠A ＝ ∠D ，但两个三角形不全等；③两个角对应相等：若∠A ＝ ∠D ,∠C ＝ ∠AFE ，但两个三角形不全等.结论：两个条件也不能够判断两个三角形全等.探究3 给出三个条件.⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩①三角对应相等；②三边对应相等；三个条件③两边一角对应相等；④两角一边对应相等.问题 有三个角对应相等的两个三角形全等吗？结论：不一定全等.小亮认为，剩下的三种情况才有可能判断两个三角形全等，你赞同他的说法吗？二、探究互动二——基本事实一问题1：准备一些长都是13 cm 的细铁丝.和同学一起，每人用一根铁丝，折成一个边长分别是3 cm ，4 cm ，6 cm 的三角形. 把你做出的三角形和同学做出的三角形进行比较，它们能重合吗?问题2：准备一些长都是13 cm 的细铁丝.和同学一起，每人用一根铁丝，余下 1 cm ，用其余部分折成边长分别是3 cm ，4 cm ，5 cm 的三角形. 再和同学做出的三角形进行比较，它们能重合吗? 小组互动，教师指导. 归纳：基本事实一：如果两个三角形的三边对应相等，那么这两个三角形全等（可简记为“_______”或“_____”）.几何语言：如图，在△ABC 和△ DEF 中，,,,AB CA BC ⎧⎪⎨⎪⎩＝ ＝ ＝ ∴ △ABC ≌△ DEF （ ）.例1 如图1，已知点A ，D ，B ，F 在一条直线上，AC ＝FE ，BC ＝DE ，AD ＝FB .求证：△ABC ≌△FDE . 教师指导，学生分析：在两个三角形中分别找到对应的三条边，然后证明它们分别相等. 证明：∵ AD ＝FB ，∴ AD +DB ＝FB +DB ，即AB ＝FD .教学反思在△ABC 和△FDE 中，∵ ,,AC FE AB FD BC DE ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴ △ABC ≌△FDE (SSS ).图1 图2例2 如图2，已知：AB ＝AC ，AD ＝AE ，BD ＝CE . 求证：∠BAC ＝∠DAE .证明：在△ABD 和△ACE 中，∵ AB AC AD AE BD CE ＝，＝，＝，⎧⎪⎨⎪⎩∴ △ABD ≌△ACE (SSS)，∴ ∠BAD ＝∠CAE . ∴ ∠BAD ＋∠DAC ＝∠CAE ＋∠DAC ， 即∠BAC ＝∠DAE .练习：1.如图，下列三角形中，与△ABC 全等的是_______.2.已知：如图，AB ＝DE ，AC ＝DF ，BF ＝CE ． 求证:(1)∠A ＝∠D ;(2)AB ∥DE . 学生独立完成，教师评价 1.③ 2.证明：（1） ∵ BF ＝CE ，∴ BF +FC ＝FC +CE ，即BC ＝EF .在△ABC 和△DEF 中， ∵,,AB DE BC EF AC DF =⎧⎪=⎨⎪=⎩,∴ △ABC ≌△DEF (SSS)， ∴ ∠A ＝∠D .（2）由（1）△ABC ≌△DEF ，可得∠B ＝∠E ，∴ AB ∥DE .三、三角形的稳定性问题1 问题2：观察右面两组木架，如果分别扭动它们，会得到怎样的结果？教学反思教师归纳：教学反思三角形的特性：三角形木架的形状_________，也就是说三角形是具有_____的图形.四边形的特性：四边形木架的形状_______，也就是说四边形是_________的图形.理解“稳定性”只要三角形三条边的长度固定，这个三角形的形状和大小也就完全确定，三角形的这种性质叫做“三角形的稳定性”.这就是说，三角形的稳定性不是“拉得动、拉不动”的问题，其实质应是“三角形边长确定，其形状和大小就确定了”.想一想：在我们日常生活中，还有哪些地方运用到了三角形的稳定性？你能举出例子来吗？课堂练习1.如图1，在△ABC中，AB＝AC，BE＝CE，则由“SSS”可以判定( )A.△ABD≌△ACDB.△BDE≌△CDEC.△ABE≌△ACED.以上都不对2.下列关于三角形稳定性和四边形不稳定性的说法中正确的是( )A.稳定性总是有益的，而不稳定性总是有害的B.稳定性有利用价值，而不稳定性没有利用价值C.稳定性和不稳定性均有利用价值D.以上说法都不对3.在生活中我们常常会看见如图2所示的情况加固电线杆，这是利用了三角形的________.4.如图3，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5.如图4，D，F是线段BC上的两点，AB＝CE，AF＝DE，要使△ABF≌△ECD，还需要条件________ (填一个条件即可）.6.如图5，AD＝BC，AC＝BD.求证：∠C＝∠D .图1 图2 图3图4图5参考答案1.C2.C3.稳定性4.C5.BD＝CF(答案不唯一)如果两个三角形的三边对应相等，那么这两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”)内容解题思路应用边边边注意事项三角形的稳定性结合图形找隐含条件和现有条件，找出三边对应相等1.证明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写.2.结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中6.证明：连接AB（图略）,在△ABD和△BAC中，,,, AD BC BD AC AB BA ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝∴△ABD≌△BAC(SSS)，∴∠D＝∠C.课堂小结1.基本事实一；2.基本事实一的应用；3.三角形的稳定性.布置作业完成教材第40页习题.板书设计13.3全等三角形的判定第1课时边边边教学反思第十三章全等三角形13.3 全等三角形的判定第2课时边角边教学目标教学反思1.探索并正确理解三角形全等的判定方法“SAS”；2.会用“SAS”判定方法证明两个三角形全等及进行简单的应用；3.了解“SSA”不能作为两个三角形全等的条件.教学重难点重点：会用“SAS”判定方法证明两个三角形全等及进行简单的应用；难点：了解“SSA”不能作为两个三角形全等的条件.教学过程旧知回顾回顾基本事实一的内容.导入新课问题情境小明不小心将一块大脸猫的玻璃摔成了三块(如图所示)，为了配一块和原来完全一样的玻璃，他带哪一块玻璃就可以了? 你能替他解决这个难题吗? 带着问题我们还是一块儿来学习一下这节课的内容吧!探究新知观察思考：问题1：画一个三角形，使它的两条边长分别是1.5cm，2.5cm，并且使长为1. 5cm的这条边所对的角是30°.小明的画图过程如图所示.小明根据所给的条件，画出了两个形状不同的三角形，这说明两个三角形的两条边和其中一边的对角对应相等时，这两个三角形不一定全等．那么两边和它们的夹角对应相等，这两个三角形又将是怎样的呢?问题2：已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，∠B＝∠B′，BC＝B′C′.(1)将△ABC叠放在△A′B′C′上，使顶点B与顶点B′重合，边BC落在边B′C′上，点A与点A′在边B′C′的同侧．点C与点C′是否重合，边BC与边B′C′是否重合? 边BA 是否落在边B ′A ′上，点A 与点A ′是否重合? (2)由“两点确定一条直线”，能不能得到边AC 与边A ′C ′重合，△ABC 和△A ′B ′C ′全等？教师引导，学生自主探索. 归纳：基本事实二如果两个三角形的________和它们的______对应相等，那么这两个三角形全等.（可简写成“________”或“_____”）几何语言：在△ABC 和△ DEF 中， ____________AB A AC ⎧⎪⎨⎪⎩＝，∠＝，＝， ∴ △ABC ≌△ DEF （______）．例 已知：如图，AD ∥BC ，AD ＝CB . 求证：△ADC ≌△CBA . 教师引导，学生分析： 由两条直线平行可得内错角相等，还有隐含条件AC是公共边，可由SAS 证得结论.证明：∵AD ∥BC (已知)，∴∠1＝∠2(两直线平行，内错角相等).在△ADC 和△CBA 中，∵(),12(),(),AD CB AC CA ⎧⎪⎨⎪⎩＝已知∠＝∠已推出＝公共边 ∴△ADC ≌△CBA (SAS ).三角形全等在实际生活中也有很广泛的应用.下图是一种测量工具的示意图．其中AB ＝CD ，并且AB ,CD 的中点O 被固定在一起， AB ,CD 可以绕点O 张合.在图中，只要量出AC 的长，就可以知道玻璃瓶的内径是多少．这是为什么？请把你的想法和同学进行交流．原理：SAS. 练习：在下列推理中填写需要补充的条件，使结论成立： 如图，在△AOB 和△DOC 中， AO ＝DO (已知)，______＝________( )，BO ＝CO (已知)，∴ △AOB ≌△DOC （ ）.学生独立完成，教师评价.答案：∠ AOB ∠ DOC 对顶角相等 SAS 课堂练习 1.如图，△ABC 中，已知AD 垂直于BC ，D 为BC 的中点，则下列结论不正确的是( ) A . △ABD ≌△ACD B . ∠B ＝∠CC . AD 是∠BAC 的平分线 D . △ABC 是等边三角形2.如果两个三角形两边对应相等，且其中一边所对的角也相等，那么这两个三角形( )A .一定全等B .一定不全等C .不一定全等D .面积相等 3.如图1，AB ，CD ，EF 交于点O ，且它们都被点O 平分，则图中共有______对全等教学反思内容 应用 边角边 如果两个三角形的两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等.（简写成 “边角边”或“SAS ”)1.“SSA ”不能作为判断三角形全等的依据;2. 根据已知条件，找到图形中的隐含条件，如公共边，公共角，对顶角，邻补角，外角，平角等，证明三角形全等.三角形.图1 图2 4.如图2，△ABC 和△EFD 分别在线段AE 的两侧，点C ，D 在线段AE 上，AC ＝DE ，AB ∥EF ，AB ＝EF .求证：△ABC ≌△EFD .5.某大学计划为新生配备如图3所示的折叠凳，图4是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB 和CD 的长相等，O 是它们的中点.为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD 设计为30 cm ，则由以上信息可推得CB 的长度是多少？ 参考答案 1.D 2.C 3.34.证明：∵ AB ∥EF ，∴ ∠A ＝∠E .在△ABC 和△EFD 中，,,,AC ED A E AB EF ⎧⎪⎨⎪⎩＝∠＝∠＝∴ △ABC ≌△EFD （SAS ）.5.解：∵ O 是AB ，CD 的中点，∴ OA ＝OB ,OD ＝OC .∴ CB ＝AD .在△AOD 和△BOC 中，OA OB AOD BOC OD OC ⎧⎪⎨⎪⎩＝,∠＝∠，＝， ∴ △AOD ≌△BOC (SAS ). ∵ AD ＝30 cm ,∴ CB ＝AD ＝30 cm.课堂小结1.基本事实二；2.SAS 的应用. 布置作业完成教材第43页习题.板书设计 13.3 全等三角形的判定第2课时 边角边 教学反思第十三章 全等三角形13.3 全等三角形的判定 第3课时 角边角、角角边教学目标1.分不同情况探索“两角一边”条件下两个三角形是否全等；2.掌握AAS 或ASA ，并会利用其证明两个三角形全等；3.会利用三角形全等证明线段相等、角相等.教学重难点 重点：掌握AAS 或ASA ，并会利用其证明两个三角形全等；难点：分不同情况探索“两角一边”条件下两个三角形是否全等.教学过程 导入新课探究新知1.角边角、角角边 问题1：如图，在△ABC和△A ′B ′C ′中，∠B ＝∠B ′，BC ＝B ′C ′.∠C ＝∠C ′.把△ABC 和△A ′B ′C ′叠放在一起，它们能够完全重合吗? 问题2：提出你的猜想，并试着说明理由.学生讨论会发现：将△ABC 叠放在△A ′B ′C ′上，使边BC 落在边B ′C ′上，顶点A 与顶点A ′在边B ′C ′的同侧．由BC ＝B ′C ′可得边BC 与边B ′C ′完全重合．因为∠B ＝∠B ′，∠C ＝∠C ′ ，∠B 的另一边BA 落在边B ′A ′上， ∠C 的另一边落在边C ′A ′上，所以∠B 与∠B ′完全重合， ∠C 与∠C ′完全重合．由于“两条直线相交只有一个交点”，所以点A 与点A ′重合.所以， △ABC 和△A ′B ′C ′全等. 归纳：基本事实三如果两个三角形的 两个角和它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等.（可简写成“角边角”或“ASA ”）几何语言： 如图，在△ABC 和△ DEF 中，∠A ＝∠D ，AB ＝DE ，∠B ＝∠E ，教学反思∴ △ABC ≌△ DEF （ASA ）．问题3：已知：如问题1中的图，在△ABC 和△A ′B ′C ′中， ∠A ＝∠A ′， ∠B ＝ ∠B ′，BC ＝B ′C ′. 求证： △ABC ≌△A ′B ′C ′.教师引导，学生观察：可将∠A ＝∠A ′这个条件转化为∠C ＝∠C ′. 证明：∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∠ A ′ ＋∠ B ′ ＋∠ C ′ ＝180°(三角形内角和定理)， 又∵ ∠A ＝∠A ′， ∠B ＝ ∠B ′(已知)， ∴ ∠C ＝∠C ′(等量代换).在△ABC 和△A ′B ′C ′中，,,,B B BC B C C C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩′′′′ ∴ △ABC ≌△A ′B ′C ′(ASA ). 想一想：从中我们可以得到什么规律？ 归纳：全等三角形的判定定理 如果两个三角形的 两角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等.（可简写成“角角边”或“AAS ”）几何语言：在△ABC 和△ DEF 中，∠B ＝∠E ，∠A ＝∠D ，BC ＝EF ， ∴ △ABC ≌△ DEF （AAS ）． 例 已知：如图，AD ＝BE ，∠A ＝∠FDE ，BC ∥EF . 求证：△ABC ≌△DEF .教师引导，学生分析.通过BC ∥EF ，可得∠ABC ＝∠E ，再根据等量代换可得AB ＝DE .证明：∵ AD ＝BE (已知)，∴ AB ＝DE (等式的性质). ∵ BC ∥EF (已知)， ∴∠ABC ＝∠E (两直线平行，同位角相等).在△ABC 和△DEF 中，,A FDE AB DE ABC E ⎧⎪⎨⎪⎩∠＝∠，＝，∠＝∠∴ △ABC ≌△DEF (ASA ). 练习：1.如图1，已知△ABC 的三条边和三个角，则甲、乙两个三角形中和△ABC 全等的图形是( )A.甲B.乙C.甲、乙D.甲、乙都不是图1 图22.如图2，点D ，E 分别在线段AB ，AC 上，BE ，CD 相交于点O ,AE ＝AD ，要使△ABE ≌△ACD ，根据“AAS ”需添加的一个条件是___________. 学生独立完成，教师评价.答案：1.B 2.∠B ＝∠C （答案不唯一）课堂练习1.在△ABC 与△A ′B ′C ′中，已知∠A ＝44°，∠B ＝67°，∠C ′＝69°，∠A ′教学反思＝44°，且AC＝A′C′，那么这两个三角形________________.2.如图1，在△ABC中，已知∠1＝∠2，BE＝CD，AB＝5，AE＝2，则CE＝________.图1 图23.如图2，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，若BD＝2cm，CF＝4cm，则AB的长为( )A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm4.如图3，∠1＝∠2，∠3＝∠4.求证：△ABC≌△ABD.5.已知：如图4，AB⊥BC，AD⊥DC，∠1＝∠2, 求证：AB＝AD.图3 图4参考答案1.全等2.33.C4.证明：∵∠3＝∠4，∴∠ABC＝∠ABD.在△ABC和△ABD中，12,,, AB ABABC ABD ⎧⎪⎨⎪⎩∠＝∠＝∠＝∠∴△ABC≌△ABD（ASA）. 5.证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC，∴∠B＝∠D＝90 °.在△ABC和△ADC中，12B DAC AC⎧⎪⎨⎪⎩∠＝∠，∠＝∠，＝（公共边）,∴△ABC≌△ADC（AAS)，∴AB＝AD.课堂小结1.角边角、角角边的内容；2.利用角边角、角角边解决问题.布置作业完成教材第47页习题.教学反思板书设计13.3全等三角形的判定第3课时角边角、角角边教学反思角边角角角边内容应用如果两个三角形的两个角和它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等（简写成“ASA”)如果两个三角形的两角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等（简写成“AAS”)注意“AAS”“ASA”中两角与边的区别第十三章 全等三角形13.3 全等三角形的判定第4课时 具有特殊位置关系的三角形全等教学目标1.会从图形变换的角度，认识两个可能全等的三角形的位置关系；2.会综合运用本节学过的基本事实及相关定理证明两个三角形全等.教学重难点重点：会从图形变换的角度，认识两个可能全等的三角形的位置关系；难点：会综合运用本节学过的基本事实及相关定理证明两个三角形全等. 教学过程 导入新课1.图形的变换---平移、旋转；2.三角形全等的几个基本事实. 探究新知 问题：如图，每组图形中的两个三角形都是全等三角形.观察每组中的两个三角形，请你说出其中一个三角形经过怎样的变换(平移或旋转)后，能够与另一个三角形重合.学生讨论会发现： （1）、（2）图通过平移重合；（3）、（4）、（5）、（6）通过旋转重合. 归纳：实际上，在我们遇到的两个全等三角形中，有些图形具有特殊的位置关系，即其中一个三角形是由另一个三角形经过平移或旋转(有时是两种变换) 得到的.发现两个三角形间的这种特殊关系，能够帮助我们找到命题证明的途径，较快地解决问题.例1 已知：如图，在△ABC 中， D 是BC 的中点，DE ∥AB，交AC 于点 E ，DF ∥AC ，交AB 于点F .求证：△BDF≌△DCE .教师引导，学生分析：将△BDF 沿BC 方向向右平移可使△BDF △DCE 重合. 证明：∵ D 是BC 的中点(已知)，∴ BD ＝DC (线段中点定义∵ DE ∥AB ，DF ∥AC ，(已知)∴ ∠B ＝∠EDC ，∠BDF ＝∠C ，(两直线平行，同位角相等)在△BDF 和△DCE 中，B EDC BD DC BDF C ⎧⎪⎨⎪⎩∠＝∠，＝，∠＝∠，∴ △BDF ≌△DCE (ASA ).例2 已知：如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，CF ∥AB ，交DE 的延长线于点F . 求证：DE ＝FE .教师引导，学生分析：将△ADE 绕点E 旋转，可与△CFE 重合.证明：∵CF ∥AB (已知)，∴∠A ＝∠ECF (两直线平行，内错角相等). 在△EAD 和△ECF 中， 教学反思,A ECF AE CE AED CEF ⎧⎪⎨⎪⎩∠＝∠，＝，∠＝∠ ∴△EAD ≌△ECF (ASA ).∴DE ＝FE (全等三角形的对应边相等). 练习： 1.如图1，由∠1＝∠2，BC ＝DC ，AC ＝EC ，得△ABC ≌△EDC 的根据是( ) A ．SAS B ．ASA C ．AAS D ．SSS图1 图2 2.已知：如图2，AB ∥CD ,AD ∥BC . 求证：AB ＝CD ,AD ＝BC .学生独立完成，教师评价.答案：1.A2.证明：连接AC （图略），∵ AD ∥BC ，∴ ∠DAC ＝∠ACB.∵ AB ∥CD ，∴ ∠BAC ＝∠DCA. 在△BAC 和△DCA 中,BAC DCA AC CA BCA DAC ⎧⎪⎨⎪⎩∠＝∠，＝，∠＝∠，∴ △BAC ≌△DCA ， ∴ AB ＝CD ,AD ＝BC . 课堂练习 1. 如图1，在△ABC 中，分别以AC ，BC 为边作等边三角形ACD 和等边三角形BCE ，连接AE ，BD 交于点O ，则∠AOB 的度数为________．2.如图2，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，则这两个滑梯与地面夹角∠ABC 与∠DFE 的度数和是( )A.60°B.90°C.120°D.150° 图1 图2 图3 图4 3.如图3，小敏做了一个角平分仪ABCD ，其中AB ＝AD ，BC ＝DC .将仪器上的点A与∠PR Q 的顶点R 重合，调整AB 和AD ，使它们分别落在角的两边上，过点A ，C画一条射线AE ，AE 就是∠PR Q 的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC ≌△ADC ，这样就有∠Q A E ＝∠P AE .则说明这两个三角形全等的依据是( )A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS4.如图4,AE ＝AC ,AB ＝AD ,∠EAB ＝∠CAD ,试说明:∠B ＝∠D.参考答案 1.120° 2.B 3.D 4.证明：∵ ∠ EAB ＝∠ CAD ，∴ ∠ EAB +∠ BAD ＝∠ CAD +∠ BAD ， 即∠ EAD ＝∠ CAB .教学反思。
人教版八年级上册 13.1 命题、定理与证明(共33张PPT)
动手试一试：
证明：直角三角形的两个锐角互余.
已知：如图，在△ABC中，∠C=90°.
求证：∠A+∠B=90°.
A
B
C
证明：∵∠A+∠B+∠C=180°，
又∵∠C=90°，
∴ ∠A+∠B=180°-∠C=90°.
随堂练习
练习
把下列命题改成“如果……，那么……”的 形式，并分别指出条件和结论.
（1）全等三角形的对应边相等； （2）在同一平面内，垂直于同一条直线的 两条直线相互平行.
（1）条件：如果两个三角形是全等三 角形，结论：那么它们的对应边相等；
练习
把下列命题改成“如果……，那么……”的 形式，并分别指出条件和结论.
（1）全等三角形的对应边相等； （2）在同一平面内，垂直于同一条直线的 两条直线相互平行.
（ 2）条件：如果在同一平面内两条直 线都垂直于同一条直线，结论：那么这两 条直线平行.
练习
指出下列命题中的真命题和假命题：
（1）同位角相等，两直线平行； （2）多边形的内角和等于180°； （3）三角形的外角和等于360°； （4）平行于同一条直线的两条直线相互 平行.
（2）是假命题； （1）（3）（4）是真命题.
练习
把下列定理改成“如果……，那么……” 的形式 ，指出它们的条件和结论，并用演绎 推理证明（1）所示的定理.
CD分别相交于E、F，PQ与 A
E
B
AB、CD分别相交于E、G，
C
∠PEM=27°，∠DGQ=63°.
求证：MN⊥CD.
F GD
Q N
作业
PM
A
E
B
CF
证明： AB//CD（ ），
八年级数学上册 13.1 命题、定理与证明达标检测(AB卷,含解析)(新版)华东师大版
13.1命题、定理与证明A卷基础达标题组一命题的判断及组成1.下列语句不是命题的是( )A.无限小数是无理数B.过点A作CD的垂线C.互为倒数的两数乘积等于1D.两条直线相交,只有一个交点【解析】选B.因为选项B是作图语句,没有作出任何判断.2.下列语句不是命题的是( )A.两点之间线段最短B.山峰必有最高点C.x与y的和等于0吗?D.对顶角不相等【解析】选C.A,B,D都符合命题的定义;C是问语不是命题.3.下列语句是命题的是( )A.延长线段AB到CB.用量角器画∠AOB=90°C.两点之间线段最短D.任何数的平方都不小于0吗?【解析】选C.“延长线段AB到C”和“用量角器画∠AOB=90°”都是描述性语言,它们都不是命题;“任何数的平方都不小于0吗?”是疑问句,它不是命题;“两点之间线段最短”是命题.4.命题“直角三角形两个锐角互余”的条件是.【解析】“直角三角形两个锐角互余”的条件是一个直角三角形中的两个锐角,结论是这两个锐角互余.答案:一个直角三角形中的两个锐角5.下列句子中哪些是命题?(1)动物需要水.(2)猴子是动物的一种.(3)玫瑰花是动物.(4)美丽的天空.(5)负数都小于0.(6)你的作业做完了吗?(7)所有的质数都是奇数.(8)过直线l外一点作l的平行线.(9)如果a=b,a=c,那么b=c.【解析】(1)动物需要水,是命题.(2)猴子是动物的一种,是命题.(3)玫瑰花是动物,是命题.(4)美丽的天空,不是命题.(5)负数都小于0,是命题.(6)你的作业做完了吗?不是命题.(7)所有的质数都是奇数,是命题.(8)过直线l外一点作l的平行线,不是命题.(9)如果a=b,a=c,那么b=c,是命题.【知识归纳】表示祈使、感叹、疑问语气的句子,都不是命题.题组二真假命题的判断1.说明命题“如果a,b,c是△ABC的三边,那么长为a-1,b-1,c-1的三条线段能构成三角形”是假命题的反例可以是( )A.a=2,b=2,c=3B.a=2,b=2,c=2C.a=3,b=3,c=4D.a=3,b=4,c=5【解析】选A.当a=2,b=2,c=3时,a-1=1,b-1=1,c-1=2,此时:1+1=2,所以不能构成三角形.2.下列命题中,为真命题的是( )A.相等的角是对顶角B.同旁内角互补C.若|x|>|y|,则x>yD.若x=y,则x+1=y+1【解析】选 D.相等的角不一定是对顶角;同旁内角互补的条件是两直线平行;当x=-4,y=-3时,是选项C的一个反例;根据等式的性质可知选项D是一个真命题.【知识归纳】判断假命题最简捷的方法(1)与学过的正确知识相矛盾的结论.(2)能举出一个反例.3.请写出命题“两个不同的无理数的差一定不是整数”的反例的两个数是.(只要写出一种情况即可)【解析】命题:“两个不同的无理数的差一定不是整数”,反例的两个数可以是:-1,+1. 答案:-1,+1(答案不唯一)4.举反例说明下面命题是假命题.(1)互补的两个角一定是一个锐角,一个钝角.(2)两个负数的差一定是负数.(3)一正一负两个数的和为0.【解析】(1)两个直角互补,所以,互补的两个角一定是一个锐角,一个钝角是假命题.(2)-1-(-2)=1,所以,两个负数的差一定是负数是假命题.(3)-1+2=1,所以,一正一负两个数的和为0是假命题.题组三证明1.如图,因为∠AOC=∠BOD,所以∠AOC+∠AOB=∠BOD+∠AOB,这个推理的依据是( )A.等量加等量和相等B.等量减等量差相等C.等量代换D.整体大于部分【解析】选A.因为∠AOC=∠BOD,∠AOB=∠AOB,所以∠AOC+∠AOB=∠BOD+∠AOB.等号左右两边分别加上了一个相等的量,其结果仍然相等.2.如图,下列条件中能判定直线l1∥l2的是( )A.∠1=∠2B.∠1=∠5C.∠1+∠3=180°D.∠3=∠5【解析】选C.根据∠1=∠2不能推出l1∥l2;∵∠5=∠3,∠1=∠5,∴∠1=∠3,即根据∠1=∠5不能推出l1∥l2;∵∠1+∠3=180°,∴l1∥l2;根据∠3=∠5不能推出l1∥l2.3.小聪、小玲、小红三人参加“普法知识竞赛”,其中前5题是选择题,每题10分,每题有A,B两个选项,有且只有一个选项是正确的,三人的答案和得分如下表,试问:这5道题的正确答案(按1～5题的顺序排列)依次是.【解析】根据得分可得小聪和小玲都是只有一个题答错,小红有两个题答错.第5题,三人选项相同,若不是选A,则小聪和小玲的其他题目的答案一定相同,与已知矛盾,则第5题的答案是A;第3题、第4题小聪和小玲都不同,则一定在这两题上其中一人有错误,则第1,2题正确,即1的答案是B,2的答案是A;则小红的错题是1和2,则3和4正确,则3的答案是B,4的答案是B.所以,这5道题的正确答案(按1～5题的顺序排列)依次是BABBA.答案:BABBA4.小红、小强、小华三名同学中有一个把教室打扫得干干净净,事后,老师问他们三人是谁做的好事.小红说:“是小强做的”;小强说:“不是我做的”;小华说:“不是我做的”.如果他们三人中有两人说了假话,一人说了真话,那么老师能判定教室是谁打扫的吗?(要有分析)【解析】若小红说的是对的,那么小强、小华就是错的,那么小红与小华的话相矛盾;若小华说的是对的,那么小红、小强就是错的,那么三人之话也相矛盾;所以小强所说的是对的.分析得出是小华做的.所以教室是小华打扫的.【易错警示】推理应有依据,不能想当然!首先假设其中两人所说的是假话,进行分析,得出与已知的矛盾,进而得出符合要求的答案.5.将一副三角板拼成如图所示的图形,过点C作CF平分∠DCE交DE于点F.求证:CF∥AB.【证明】∵CF平分∠DCE,∴∠1=∠2=∠DCE,∵∠DCE=90°,∴∠1=45°.∵∠3=45°,∴∠1=∠3,∴CF∥AB.【鉴前毖后】对命题“同角的补角相等”.画图,并写出已知、求证.(不证明)(1)错因:______________________.(2)纠错:_________________________________________________ ___________________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________ ___________________________________________________________ 答案: (1)把同角当成了相等的角(2)如图已知:∠AOC和∠BOD是∠AOB的补角.求证:∠AOC=∠BOD.B卷能力达标(测试时间30分钟试题总分50分)一、选择题(每小题4分,共12分)1..下列语句是命题的是( )A.延长线段ABB.你吃过午饭了吗?C.锐角都小于90°D.连结A,B两点【解析】选C.A是作图语言,不符合命题的定义;B是一个问句,不符合命题的定义;C符合命题的定义;D是作图语言,不符合命题的定义.【知识归纳】基本事实、定理、命题之间的联系(1)有些命题,是公认的真命题,不需要证明,这就是基本事实.(2)有些命题,经过证明确定是真命题,这就是定理.(3)所有的基本事实、定理都是命题中的真命题.2.下列选项中,可以用来说明命题“两个锐角的和是钝角”是假命题的是( )A.∠A=30°,∠B=50°B.∠A=30°,∠B=70°C.∠A=30°,∠B=90°D.∠A=30°,∠B=110°【解析】选 A.当∠A=30°,∠B=50°,而∠A+∠B=80°,即这两个锐角的和为锐角,所以命题“两个锐角的和是钝角”是假命题.3.下列命题错误的是( )A.所有的实数都可用数轴上的点表示B.等角的补角相等C.无理数包括正无理数,0,负无理数D.两点之间,线段最短【解析】选C.0不是无理数,无理数包括正无理数和负无理数.二、填空题(每小题4分,共12分)4.命题“如果a+b>0,那么a>0,b>0”是命题(填“真”或“假”).【解析】当a=2,b=-1时,a+b>0成立,但a>0,b>0不成立.故命题“如果a+b>0,那么a>0,b>0”是假命题.答案:假5.请举反例说明“对于任意实数x,x2+5x+5的值总是正数”是假命题,你举的反例是x= .(写出一个x的值即可)【解析】当x=-2时,代数式的值为-1,不是正数.答案:-2(答案不唯一)6.把命题“平行于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式是 .【解析】条件为:两条直线平行于同一条直线,结论为:平行,故写成“如果……那么……”的形式是:如果两条直线平行于同一条直线,那么它们平行. 答案:如果两条直线平行于同一条直线,那么它们平行三、解答题(共26分)7.(8分)下列语句中,哪些是命题,哪些不是命题?(1)若a,b互为相反数,则a+b=0.(2)两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角互补吗?(3)画线段AB=5cm.(4)若a3=b3,则a≠b.(5)解方程3x+5=11.(6)x=5不是方程3x2-2x-65=0的解.【解题指南】解答本题的关键解答本题需要准确判断每一个语句所表示的语气,一般情况下表示祈使、感叹、疑问的语句都不是命题.【解析】(1)(4)(6)是命题,而(2)(3)(5)不是命题.8.(8分)指出下列命题的条件和结论,并指出该命题是真命题,还是假命题.(1)一个锐角的补角大于这个角的余角.(2)不相等的两个角不是对顶角.(3)异号两数相加得零.【解析】(1)条件:一个角是锐角;结论:这个角的补角大于这个角的余角.真命题.(2)条件:两个角不相等;结论:这两个角不是对顶角.真命题.(3)条件:两个数异号;结论:这两个数相加得零.假命题,如-3和5是异号两数,但-3+5=2≠0. 【培优训练】9.(10分)命题:“两个连续奇数的平方差是8的倍数”是真命题还是假命题?如果认为是假命题,请说明理由;如果认为是真命题,请给出证明.【解析】“两个连续奇数的平方差是8的倍数”是真命题.理由:设两个连续奇数为2n+1,2n-1,它们的平方差是(2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n·2=8n,故两个连续奇数的平方差是8的倍数.。
2024八年级数学上册第十三章全等三角形13.1命题与证明习题课件新版冀教版
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2. 下列说法正确的是( A ) A. 命题一定有逆命题 B. 所有的定理一定有逆定理 C. 真命题的逆命题一定是真命题 D. 假命题的逆命题一定是假命题
【点拨】 A. 命题一定有逆命题，本选项说法正确，符合题意；
B. 不是所有的定理一定有逆定理，故本选项说法错误，不 符合题意；C. 真命题的逆命题不一定是真命题，故本选项 说法错误，不符合题意；D. 假命题的逆命题不一定是假命 题，故本选项说法错误，不符合题意；故选A.
冀教版 八年级上
第十三章 全等三角形 13.1 命题与证明
目 录
CONTENTS
01 名师点金 02 认知基础练 03 素养提升练
1. 命题是对事情作出肯定或否定的判断，它是陈述句，而疑 问句、祈使句、感叹句和表示作图的语句都不是命题.
2. 为准确地表述命题的题设和结论，有时需要对命题的 词序进行调整或增减，使语句通顺，语意明确，且意 思保持不变.
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3. 请写出命题“如果 a ＞ b ，那么 b － a ＜0”的逆命 题： 如果 b － a ＜0，那么 a ＞ b .
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知识点2 证明
4. [新考法·条件补充法]下面是投影屏上出示的一道抢答题，需要回答横 线上符号代表的内容：
已知：如图，∠ BEC ＝∠ B ＋∠ C . 求证： AB ∥ CD . 证明：延长 BE 交 ※ 于点 F ， 则∠ BEC ＝ ◎ ＋∠ C (三角形的外角等于与 它不相邻的两个内角之和). 又由∠ BEC ＝∠ B ＋∠ C ，得∠ B ＝ ▲ ， 故 AB ∥ CD ( @ 相等，两直线平行)
人教版七年级下册数学命题、定理、证明课时练习题(含答案)
人教版七年级下册数学命题、定理、证明课时练习题（含答案）一、单选题1．能说明命题“对于任意实数a，|a|>−a”是假命题的一个反例可以是（）A．a=−2B．a=13C．a=√2D．a=22．下列各数中，可以用来说明命题“任何偶数都是8的倍数”是假命题的反例是（）A．9B．16C．8D．43．下列结论中，正确的是（）A．过任意三点一定能画一条直线B．两点之间线段最短C．射线AB和射线BA是同一条射线D．经过一点的直线只有一条4．下列命题：①对顶角相等；②内错角相等；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等.其中真命题是（）A．①③B．①④C．①③④D．①②③④5．下列选项中，可以用来证明命题“若a2-4a=0，则a=0”是假命题的反例是（）.A．a = -2B．a = -1C．a = 4D．a = 26．下列命题中，真命题有（）个①若AC：BC＝√5−12，则点C是线段AB的黄金分割点；②以矩形各边的中点为顶点的四边形是菱形；③若√(x−2)2=2−x，则x的取值范围是x＜2；④已知点A（0，3），B（﹣4，3），以原点O为位似中心，把线段AB缩短为原来的14，其中点C与点A对应，点D与点B对应，则点D的坐标为（﹣1，3 4）．A．1B．2C．3D．47．下列说法中，正确的有（）①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②从直线外一点到直线的垂线段叫做点到直线的距离；③两平行线间距离处处相等；④平行于同一直线的两直线互相平行．A．1个B．2个C．3个D．4个8．下列说法正确的有（）①绝对值等于本身的数是正数．②连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离．③若AC=BC，则点C就是线段AB的中点．④不相交的两条直线是平行线．A．1个B．2个C．3个D．4个9．下列表述中，正确的是（）A．“在地面向上抛石子，石子落在地上”是随机事件B．若彩票的中奖率为10%，则“买100张彩票有10张中奖”是必然事件C．“经固镇到蚌埠的K371次列车明天准点到达”是随机事件D．掷两枚硬币，朝上面是一正面一反面的概率为1310．下列说法正确的是（）A．相等的圆心角所对的弧相等B．平分弦的直径垂直弦并平分弦所对的弧C．相等的弦所对的圆心角相等D．等弧所对的弦相等11．下列说法正确的是（）A．−a一定是负数B．如果|a|=|b|，那么a=bC．一个数的绝对值小于它本身D．相反数等于它本身的数只有012．已知下列命题：①若a>b，则ac>bc；②若|a|=a，则a>0；③内错角相等；④周长相等的所有等腰直角三角形全等，其中真命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题13．把命题“直角三角形的两个锐角互余”改写成“如果……那么……”的形式：.14．命题“a，b，c是直线，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c”是．（填写“真命题”或“假命题”）15．命题“同旁内角互补，两直线平行”写成“如果……那么……”的形式是它是命题（填“真”或“假”）.16．命题“如果a=b，那么a2=b2”是命题．（填“真”或“假”）17．下列说法：①无理数就是开方开不尽的数；②满足- √5<x< √5的x的整数有4个；③-3是√81的一个平方根；④不带根号的数都是有理数；⑤对于任意实数a，都有√a2=a．其中说法正确的是(填序号)．18．在四边形ABCD中，用①AB⊥DC，②AD＝BC，③⊥A＝⊥C中的两个作为题设，余下的一个作为结论．用“如果…，那么…“的形式，写出一个真命题：在四边形ABCD中，．19．下列三个命题：①两个角的和等于平角时，这两个角互为邻补角；②两直线平行，内错角相等；③同旁内角互补，它们是真命题的是 ．（填序号）20．命题“全等三角形的面积相等”的条件是 ，结论是 ．21．“正方形对角线互相垂直平分”的逆命题是 （填“真命题”或“假命题”）．22．命题“内错角相等，两直线平行”的条件是 .23．已知三条不同的直线a 、b 、c 在同一平面内，下列四个命题：①如果a //b ，a⊥c ，那么b⊥c ；②如果b //a ，c //a ，那么b //c ；③如果b⊥a ，c⊥a ，那么b⊥c ；④如果b⊥a ，c⊥a ，那么b //c ．其中是假命题的是 ．（填序号）24．以下四个命题：①用换元法解分式方程x 2+1x +2x x 2+1＝1时，如果设x 2+1x＝y ，那么可以将原方程化为关于y 的整式方程y 2+y －2＝0；②二次函数y ＝ax 2－2ax+1，自变量的两个值x 1，x 2对应的函数值分别为y 1、y 2，若|x 1－1|＞|x 2－1|，则a （y 1－y 2）＞0；③有一个圆锥，与底面圆直径是√3且体积为√3π2的圆柱等高，如果这个圆锥的侧面展开图是半圆，那么它的母线长为43；④如果半径为r 的圆的内接正五边形的边长为a ，那么a ＝2r sin54°．其中正确的命题的序号为三、解答题25．命题“两直线平行，内错角相等”的题设是 .26．判断下面命题的真假，若是假命题，请举出反例说明:①一个三角形的3个内角中至少有1个钝角；②若三条线段a ，b ，c 满足a +b >c ，则这三条线段a ，b ，c 能够组成三角形；③个位数字是5的整数，能被5整除；④对于所有的自然数n ，代数式n 2-n +11的值都是质数；答 案1．A 2．D 3．B 4．A 5．C 6．B 7．B 8．A 9．C 10．D 11．D 12．A 13．如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余 14．假命题15．如果同旁内角互补，那么这两条直线平行；真 16．真 17．③18．如果AB⊥DC ，⊥A ＝⊥C ，那么AD ＝BC 19．②20．两个三角形是全等三角形；这两个三角形的面积相等 21．假命题 22．内错角相等 23．③ 24．②③ 25．两直线平行26．解：①假命题，锐角三角形； ②假命题，a=2，b=5，c=3；③真命题； ④假命题，n=11。
中考数学一轮复习《命题、定理与证明》知识要点及专题练习
中考数学一轮复习知识点课标要求专题训练：命题、定理与证明（含答案）一、知识要点：1、命题与定理定义1：判断一件事情的语句，叫做命题。
命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。
数学中的命题常可以写成“如果……，那么……”的形式。
“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论。
定义2：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题。
定义3：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题。
定义4：如果一个命题的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理。
定义5：两个命题的题设和结论正好相反，我们把这样的两个命题叫做互为逆命题。
其中一个叫做原命题，另外一个叫做逆命题。
如果定理的逆命题是正确的，那么它也是一个定理，我们把这个定理叫做原定理的逆定理。
2、证明:一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做证明。
二、课标要求：1、通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义。
2、结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念。
会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。
3、知道证明的意义和证明的必要性，知道证明要合乎逻辑，知道证明的过程可以有不同的表达形式，会综合法证明的格式。
4、了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的。
三、常见考点：1、命题及命题真伪的判断。
2、命题的条件和结论的区分。
3、写出命题的逆命题。
四、专题训练：1．下列说法正确的是（）A．一组数据6，5，8，8，9的众数是8B．甲、乙两组学生身高的方差分别为S甲2＝2.3，S乙2＝1.8，则甲组学生的身高较整齐C．命题“若|a|＝1，则a＝1”是真命题D．三角形的外角大于任何一个内角2．下列命题正确的是（）A．三角形的一个外角大于任何一个内角B．三角形的三条高都在三角形内部C．三角形的一条中线将三角形分成两个三角形面积相等D．两边和其中一边的对角相等的三角形全等3．下列四个命题：①5是25的算术平方根；②（﹣4）2的平方根是﹣4；②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；④同旁内角互补．其中真命题的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个4．下列说法中，不正确的个数是（）①若a+b＝0，则有a，b互为相反数，且＝﹣1；②若|a|＞|b|，则有（a+b）（a﹣b）是正数；③三个五次多项式的和也是五次多项式；④a+b+c＜0，abc＞0，则﹣+﹣的结果有三个；⑤方程ax+b＝0（a，b为常数）是关于x的一元一次方程．A．1个B．2个C．3个D．4个5．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，把矩形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到矩形AB′C′D′，其中点C的运动路径为，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．6．下列命题：①负数没有立方根；②一个实数的算术平方根一定是正数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的算术平方根是这个数本身，那么这个数是1或0；⑤如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0，其中错误的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个7．写出“对顶角相等”的逆命题．8．四位同学参加数学知识竞赛活动，分别获得第一、二、三、四名，大家猜测谁得第几名时，明明说：“甲得第一，乙得第二”；文文说：“甲得第二，丁得第四”；凡凡说：“丙得第二，丁得第三”．名次公布后，他们每人都只猜对了一半，那么甲、乙、丙、丁的名次顺序为．（按一、二、三、四的名次排序）9．如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是第二象限图象上一动点，PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，连接MN，在点P的运动过程中，线段MN长度的最小值是．10．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB'C'D'，点C的运动路径为．当点B'落在CD上时，图中阴影部分的面积为．11．如图，等边△ABC中，AB＝3，点D，点E分别是边BC，CA上的动点，且BD＝CE，连接AD、BE交于点F，当点D从点B运动到点C时，则点F的运动路径的长度为．12．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝4．如图，将直角顶点B放在原点，点A放在y轴正半轴上，当点B在x轴上向右移动时，点A也随之在y轴上向下移动，当点A 到达原点时，点B停止移动，在移动过程中，点C到原点的最大距离为．13．如图，▱ABCD中，E为AD上一点，F为BC上一点，EF与对角线BD交于点O，以下三个条件：①BO＝DO；②EO＝FO；③AE＝CF，以其中两个作为题设，余下的一个作为结论组成命题，其中真命题的个数为．14．如图，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，M为AB中点，D是射线BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接ED、ME，则点D在运动过程中ME的最小值为．15．如图，在半径为2的⊙O中，弦AB⊥直径CD，垂足为E，∠ACD＝30°，点P为⊙O上一动点，CF⊥AP于点F．①弦AB的长度为；②点P在⊙O上运动的过程中，线段OF长度的最小值为．16．如图，一个长为4，宽为3的长方形木板斜靠在水平桌面上的一个小方块上，其短边与水平桌面成30°夹角，将长方形木板按逆时针方向做两次无滑动的翻滚，使其短边恰好落在水平桌面上，则长方形木板顶点A在滚动过程中所经过的路径长为．17．桌子上有7张反面向上的纸牌，每次翻转n张（n为正整数）纸牌，多次操作后能使所有纸牌正面向上吗？用“+1”、“﹣1”分别表示一张纸牌“正面向上”、“反面向上”，将所有牌的对应值相加得到总和，我们的目标是将总和从﹣7变化为+7．（1）当n＝1时，每翻转1张纸牌，总和的变化量是2或﹣2，则最少次操作后所有纸牌全部正面向上；（2）当n＝2时，每翻转2张纸牌，总和的变化量是，多次操作后能使所有纸牌全部正面向上吗？若能，最少需要几次操作？若不能，简要说明理由；（3）若要使多次操作后所有纸牌全部正面向上，写出n的所有可能的值．18．阅读下面内容，并解答问题．在学习了平行线的性质后，老师请学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直．小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件．已知：如图1，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．∠BEF的平分线与∠DFE的平分线交于点G．求证：．（1）请补充要求证的结论，并写出证明过程；（2）请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择题．A．在图1的基础上，分别作∠BEG的平分线与∠DFG的平分线交于点M，得到图2，则∠EMF 的度数为．B．如图3，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．点O在直线AB，CD之间，且在直线EF右侧，∠BEO的平分线与∠DFO的平分线交于点P，则∠EOF与∠EPF满足的数量关系为．19．点E、F分别是菱形ABCD边BC、CD上的点．（1）如图，若CE＝CF，求证AE＝AF；（2）判断命题“若AE＝AF，则CE＝CF”的真假．若真，请证明；若假，请在备用图上画出反例．20．概念学习．已知△ABC，点P为其内部一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC、△PAC 中，如果存在一个三角形，其内角与△ABC的三个内角分别相等，那么就称点P为△ABC 的等角点．理解应用（1）判断以下两个命题是否为真命题，若为真命题，则在相应横线内写“真命题”；反之，则写“假命题”．①内角分别为30°、60°、90°的三角形存在等角点；；②任意的三角形都存在等角点；；（2）如图①，点P是锐角△ABC的等角点，若∠BAC＝∠PBC，探究图①中，∠BPC、∠ABC、∠ACP之间的数量关系，并说明理由．解决问题如图②，在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C，若△ABC的三个内角的角平分线的交点P是该三角形的等角点，求△ABC三角形三个内角的度数．参考答案1．解：A、一组数据6，5，8，8，9的众数是8，是真命题；B、甲、乙两组学生身高的方差分别为S甲2＝2.3，S乙2＝1.8，则乙组学生的身高较整齐，原命题是假命题；C、命题“若|a|＝1，则a＝1”是假命题，原命题是假命题；D、三角形的外角大于任何一个不与它相邻的内角，原命题是假命题；故选：A．2．解：A、三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角，原命题是假命题；B、钝角三角形的三条高不在三角形内部，原命题是假命题；C、三角形的一条中线将三角形分成两个三角形面积相等，是真命题；D、两边和其夹角相等的三角形全等，原命题是假命题；故选：C．3．解：①5是25的算术平方根，本小题说法是真命题；②∵（﹣4）2的平方根是±4，∴本小题说法是假命题；②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，本小题说法是真命题；④∵两直线平行，同旁内角互补，∴本小题说法是假命题；故选：C．4．解：①若a+b＝0，则有a，b互为相反数，当a＝b＝0时，无意义，本小题说法不正确；②∵|a|＞|b|，∴a2＞b2，∴（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2＞0，是正数，本小题说法正确；③（2a5+a﹣3）+（﹣a5+2a﹣3）+（﹣a5+a2﹣30）＝a2+3a﹣36，则三个五次多项式的和不一定是五次多项式，本小题说法不正确；④当a+b+c＜0，abc＞0时，a、b、c两个正数、一个负数或一个正数、两个负数，则﹣+﹣的结果有两个，本小题说法不正确；⑤方程ax+b＝0（a，b为常数），当a＝0时，不是关于x的一元一次方程，本小题说法不正确；故选：D．5．解：连接AC'，在矩形ABCD中，∵∠B＝90°，AB＝，BC＝1，∴tan∠BAC＝＝，∴∠BAC＝30°，∵旋转角为30°，∴A、B′、C共线．∴AC＝＝＝2，∵S阴＝S扇形ACC′﹣S△AB′C′，∴S阴＝﹣＝﹣，故选：B．6．解：①负数有立方根，原命题是假命题；②一个实数的算术平方根一定是非负数，原命题是假命题；③一个正数或负数的立方根与这个数同号，原命题是真命题；④如果一个数的算术平方根是这个数本身，那么这个数是1或0，原命题是真命题；⑤如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1、﹣1或0，原命题是假命题；故选：B．7．解：∵原命题的条件是：如果两个角是对顶角，结论是：那么这两个角相等；∴其逆命题应该为：如两个角相等那么这两个角是对顶角，简化后即为：相等的角是对顶角．8．解：因为他们每人只猜对一半，可以先假设明明说“甲得第一”是正确的，由此推导：明明：甲得第一→文文：丁得第四→凡凡：丙得第二→乙得第三，成立；若假设明明说“乙得第二”是正确的，由此进行推导：明明：乙得第二→文文：丁得第四→凡凡：丙得第二，矛盾．所以甲、乙、丙、丁的名次顺序为甲、丙、乙、丁．故答案为：甲、丙、乙、丁．9．解：连接OP．∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A（﹣2，0），B（02），∴OA＝2，OB＝2，∴tan∠BAO＝＝，∴∠BAO＝30°，∵PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，∴∠PMO＝∠PNO＝∠MON＝90°，∴四边形OMPN是矩形，∴MN＝OP，∴当OP⊥AB时，MN＝OP的值最小，最小值＝OA•sin30°＝，故答案为．10．解：如图，连接AC，AC′．∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝∠DAB＝90°，∵AB＝2，BC＝，∴AC＝＝＝，∵cos∠DAB′＝，∴∠DAB′＝30°，DB′＝AB′＝1，∴∠BAB′＝∠CAC′＝60°，CB′＝CD﹣DB′＝2﹣1＝1，∴S阴＝S扇形CAC′﹣S△AC′B′﹣S△ACB′＝﹣×2×﹣×1×＝﹣．故答案为﹣．11．解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝∠BCE＝60°，∴在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD＝∠CBE，∵∠AFE＝∠BAD+∠FBA＝∠CBE+∠FBA＝∠ABC＝60°，∴∠AFB＝120°，∴点F的运动轨迹是以点O为圆心，OA为半径的弧，如图，此时∠AOB＝120°，OA＝＝，所以弧AB的长为：＝．则点F的运动路径的长度为．故答案为：．12．解：如图所示：取A1B1的中点E，连接OE，C1E，当O，E，C1在一条直线上时，点C到原点的距离最大，在Rt△A1OB1中，∵A1B1＝AB＝8，点OE为斜边中线，∴OE＝B1E＝A1B1＝4，又∵B1C1＝BC＝4，∴C1E＝＝4，∴点C到原点的最大距离为：OE+C1E＝4+4．故答案为：4+4．13．解：已知②EO＝OF；①BO＝DO，结论：③AE＝CF．理由：在△DOE和△BOF中，∴△DOE≌△BOF（SAS），∴DE＝BF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∴AE＝FC，同理可得：已知②EO＝FO，③AE＝CF，结论：①BO＝DO，是真命题；已知：①BO＝DO，③AE＝CF，结论：②EO＝FO，是真命题，故答案为：3．14．解：如图，连接BE，过点M作MG⊥BE的延长线于点G，过点A作AK⊥AB交BD的延长线于点K，∵等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠B＝45°，∴∠K＝45°，∴△AKB是等腰直角三角形．∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，∴△ADE是等腰直角三角形，∴∠KAD+∠DAB＝∠BAE+∠DAB＝90°，∴∠KAD＝∠BAE，在△ADK和△AEB中，∴△ADK≌△AEB（SAS），∴∠ABE＝∠K＝45°，∴△BMG是等腰直角三角形，∵AC＝BC＝4，∴AB＝4，∵M为AB中点，∴BM＝2，∴MG＝BG＝2，∠G＝90°，∴BM＞MG，∴当ME＝MG时，ME的值最小，∴ME＝BE＝2．故答案为2．15．解：①如图，连接OA．∵OA＝OC＝2，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，∴∠AOE＝∠OAC+∠ACO＝60°，∴AE＝OA•sin60°＝，∵OE⊥AB，∴AE＝EB＝，∴AB＝2AE＝2，故答案为2．②取AC的中点H，连接OH，OF，HF，∵OA＝OC，AH＝HC，∴OH⊥AC，∴∠AHO＝90°，∵∠COH＝30°，∴OH＝OC＝1，HC＝，AC＝2，∵CF⊥AP，∴∠AFC＝90°，∴HF＝AC＝，∴OF≥FH﹣OH，即OF≤﹣1，∴OF的最小值为﹣1．故答案为﹣1．16．解：第一次转动是以点M为圆心，AM为半径，圆心角是60度所以弧AA1的长＝＝π，第二次转动是以点N为圆心，A′N为半径圆心角为90度，所以弧A′A″的长＝＝π，所以总长为π．故答案为π．17．解：（1）总变化量：7﹣（﹣7）＝14，次数（至少）：14÷2＝7，故答案为：7；（2）①两张由反到正，变化：2×[1﹣（﹣1）]＝4，②两张由正到反，变化：2×（﹣1﹣1）＝﹣4，③一正一反变一反一正，变化﹣1﹣1+1﹣（﹣1）＝0，不能全正，总变化量仍为14，无法由4，﹣4，0组成，故不能所有纸牌全正；故答案为：14；（3）由题可知：0＜n≤7．①当n＝1时，由（1）可知能够做到，②当n＝2时，由（2）可知无法做到，③当n＝3时，总和变化量为6，﹣6，2，﹣2，14＝6+6+2，故n＝3可以，④当n＝4时，总和变化量为8，﹣8，4，﹣4，0，14无法由8，﹣8，4，﹣4，0组成，故＝4不可以，⑤当n＝5时，总和变化量为10，﹣10，6，﹣6，2，﹣2，14＝10+2+2，故n＝5可以，⑥当n＝6时，总和变化量为12，﹣12，8，﹣8，4，﹣4，0，无法组合，故n＝6不可以，⑦当n＝7时，一次全翻完，可以，故n＝1，3，5，7时，可以．18．解：（1）结论：EG⊥FG；理由：如图1中，∵AB∥CD，∴∠BEF+∠DFE＝180°，∵EG平分∠BEF，FG平分∠DFE，∴，，∴．在△EFG中，∠GEF+∠GFE+∠G＝180°，∴∠G＝180°﹣（∠GEF+∠GFE）＝180°﹣90°＝90°，∴EG⊥FG．故答案为EG⊥GF．（2）A．如图2中，由题意，∠BEG+∠DFG＝90°，∵EM平分∠BEG，MF平分∠DFG，∴∠BEM+∠MFD＝（∠BEG+∠DFG）＝45°，∴∠M＝∠BEM+∠MFD＝45°，B．如图3中，由题意，∠EOF＝∠BEO+∠DFO，∠EPF＝∠BEP+∠DFP，∵PE平分∠BEO，PF平分∠DFO，∴∠BEO＝2∠BEP，∠DFO＝2∠DFP，∴∠EOF＝2∠EPF，故答案为A或B，45°，∠EOF＝2∠EPF．19．解：（1）连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ACE＝∠ACF，在△ACE与△ACF中，∴△ACE≌△ACF（SAS），∴AE＝AF，（2）当AE＝AF＝AF'时，CE≠CF'，如备用图，所以命题“若AE＝AF，则CE＝CF”是假命题．20．解：理解应用（1）①内角分别为30、60、90的三角形存在等角点是真命题；②任意的三角形都存在等角点是假命题，如等边三角形不存在等角点；故答案为：真命题，假命题；（2）如图①，∵在△ABC中，∠BPC＝∠ABP+∠BAC+∠ACP，∠BAC＝∠PBC，∴∠BPC＝∠ABP+∠PBC+∠ACP＝∠ABC+∠ACP；解决问题如图②，连接PB，PC∵P为△ABC的角平分线的交点，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，∵P为△ABC的等角点，∴∠PBC＝∠BAC，∠BCP＝∠ABC＝2∠PBC＝2∠BAC，∠ACB＝∠BPC＝4∠A，又∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠A+2∠A+4∠A＝180°，∴∠A＝，∴该三角形三个内角的度数分别为，，。
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13.1 命题、定理与证明练习
1、判断下列语句是不是命题 （1）延长线段AB （ ）
（2）两条直线相交，只有一交点（ ） （3）画线段AB 的中点（ ） （4）若|x|=2，则x=2（ ） （5）角平分线是一条射线（ ） 2、选择题
（1）下列语句不是命题的是（ ）
A 、两点之间，线段最短
B 、不平行的两条直线有一个交点
C 、x 与y 的和等于0吗？
D 、对顶角不相等。
（2）下列命题中真命题是（ ）
A 、两个锐角之和为钝角
B 、两个锐角之和为锐角
C 、钝角大于它的补角
D 、锐角小于它的余角
（3）命题：①对顶角相等；②垂直于同一条直线的两直线平行；③相等的角是对顶角；④同位角相等。
其中假命题有（ ）
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个 3、分别指出下列各命题的题设和结论。
（1）如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c （2）同旁内角互补，两直线平行。
4、分别把下列命题写成“如果……，那么……”的形式。
（1）两点确定一条直线； （2）等角的补角相等； （3）内错角相等。
5、已知：如图AB ⊥BC ，BC ⊥CD 且∠1=∠2，求证：BE ∥CF
证明：∵AB ⊥BC ，BC ⊥CD （已知）
∴ = =90°（ ）
∵∠1=∠2（已知） ∴ = （等式性质） ∴BE ∥CF （ ）
6、已知：如图，AC ⊥BC ，垂足为C ，∠BCD 是∠B 的余角。
求证：∠ACD=∠B 。
证明：∵AC ⊥BC （已知）
∴∠ACB=90°（ ） ∴∠BCD 是∠DCA 的余角
∵∠BCD 是∠B 的余角（已知） ∴∠ACD=∠B （ ） 7、已知，如图，BCE 、AFE 是直线，AB ∥CD ，∠1=∠2，∠3=∠4。
C A
B D
E F
1 2
B D A C
求证：AD ∥BE 。
证明：∵AB ∥CD （已知）
∴∠4=∠ （ ） ∵∠3=∠4（已知）
∴∠3=∠ （ ） ∵∠1=∠2（已知）
∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF （ ） 即∠ =∠ ∴∠3=∠ （ ） ∴AD ∥BE （ ）
8、已知，如图，AB ∥CD ，∠EAB+∠FDC=180°。
求证：AE ∥FD 。
9、已知：如图，DC ∥AB ，∠1+∠A=90°。
求证：AD ⊥DB 。
10、如图，已知AC ∥DE ，∠1=∠2。
求证：AB ∥CD 。
11、已知，如图，AB ∥CD ，∠1=∠B ，∠2=∠D 。
求证：BE ⊥DE 。
12、求证：两条平行直线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行。
A
D B
C
E
F 1 2 3 4
D
A B
C
E F G A B
D
E 1 2 A B
C
D E
1 2
A
B
C
D
1
【练习答案】
1、（1）不是 （2）是 （3）不是 （4）是 （5）是
2、（1）C （2）C （3）B
3、（1）题设：a ∥b ，b ∥c 结论：a ∥c
（2）题设：两条直线被第三条直线所截的同旁内角互补。
结论：这两条直线平行。
4、（1）如果有两个定点，那么过这两点有且只有一条直线
（2）如果两个角分别是两个等角的补角，那么这两个角相等。
（3）如果两个角是内错角，那么这两个角相等。
5、∠ABC=∠BCD ，垂直定义，∠EBC=∠BCF ，内错角相等，两直线平行。
6、垂直定义；余角定义，同角的余角相等。
7、∠BAE 两直线平行同位角相等 ∠BAE （等量代换） 等式性质 ∠BAE ，∠CAD ，∠CAD （等量代换） 内错角相等，两直线平行。
8、证明：∵AB ∥CD
∴∠AGD+∠FDC=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵∠EAB+∠FDC=180°（已知） ∴∠AGD=∠EAB （同角的补角相等） ∴AE ∥FD （内错角相等，两直线平行）
9、证明：∵DC ∥AB （已知）
∴∠A+∠ADC=180°（两直线平行，同旁内角互补） 即∠A+∠ADB+∠1=180° ∵∠1+∠A=90°（已知） ∴∠ADB=90°（等式性质） ∴AD ⊥DB （垂直定义） 10、证明：∵AC ∥DE （已知）
∴∠2=∠ACD （两直线平行，内错角相等） ∵∠1=∠2 （已知）
∴∠1=∠ACD （等量代换）
∴AB ∥CD （内错角相等，两直线平行） 11、证明：作EF ∥AB ∵AB ∥CD ∴∠B=∠3（两直线平行，内错角相等）
∵∠1=∠B （已知）
∴∠1=∠3（等量代换）
A B
D
E
1 2
4 3
∵AB∥EF，AB∥（已作，已知）
∴EF∥CD（平行于同一直线的两直线平行）
∴∠4=∠D（两直线平行，内错角相等）
∵∠2=∠D（已知）
∴∠2=∠4（等量代换）
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°（平角定义）
∴∠3+∠4=90°（等量代换、等式性质）
即∠BED=90°
∴BE⊥ED（垂直定义）
12、已知：AB∥CD，EG、FR分别是∠BEF、∠EFC的平分线。
求证：EG∥FR。
证明：∵AB∥CD（已知）
∴∠BEF=∠EFC（两直线平行，内错角相等）
∵EG、FR分别是∠BEF、∠EFC的平分线（已知）
∴2∠1=∠BEF，2∠2=∠EFC（角平分线定义）
∴2∠1=2∠2（等量代换）
∴∠1=∠2（等式性质）
∴EG∥FR（内错角相等，两直线平行）
R
A B C D
E
F
G
1
2。