高中数学论文“新定义”高考新题型的新宠儿

“新定义”——近年高考创新题型的新宠儿
近年来全国各地的高考试卷都相继推出了以能力立意为目标，以增大思维容量为特色，具有相当浓度和明确导向的创新题型，使高考试题充满活力。

纵观全国各地高考试卷的创新题，不难发现，“新定义”型这种题目正可谓创新题型的新宠儿。

“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解。

一、 新概念型
例1（2006福建卷）对于直角坐标平面内的任意两点A (x 1,y 1)、B (x 2，y 2)，定义它们之间的一种“距离”：‖AB ‖=︱x 1－x 2︱+︱y 1－y 2︱.给出下列三个命题： ①若点C 在线段AB 上，则‖AC ‖+‖CB ‖=‖AB ‖;
②在△ABC 中，若∠C =90°，则‖AC ‖2+‖CB ‖2=‖AB ‖2；
③在△ABC 中，‖AC ‖+‖CB ‖>‖AB ‖.
其中真命题的个数为 （ ）
A.0
B.1
C.2
D.3
解析：对于直角坐标平面内的任意两点1122(,),(,)A x y B x y ，定义它们之间的一种“距离”：2121||.AB x x y y =-+- ①若点C 在线段AB 上，设C 点坐标为(x 0，y 0)，x 0在x 1、x 2之间，y 0在y 1、y 2之间， 则01012020||||||||AC CB x x y y x x y y +=-+-+-+-=2121||.x x y y AB -+-= ③在ABC ∆中，
01012020||||||||AC CB x x y y x x y y +=-+-+-+-＞
01200120|()()||()()|x x x x y y y y -+-+-+- =2121||.x x y y AB -+-= ∴命题① ③成立，而命题②在ABC ∆中，若90,o C ∠=则222
;AC CB AB +=明显不成立，选C.
评析：对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求。

但是，透过现象看本质，命题①中的本质是三点共线，点C 在线段AB 之间，①显然成立;命题③由两边之和大于第三边，显然成立。

它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是我们的制胜法宝。

二、新运算型
例2（2006四川卷）非空集合G 关于运算⊕满足：（1）对任意a 、b G ∈，都有a b G +∈；
（2）存在c G ∈，使得对一切a G ∈，都有a c c a a ⊕=⊕=，则称G 关于运算⊕为“融洽集”。

现给出下列集合和运算：
①G ={非负整数}，⊕为整数的加法。

②G ={偶数}，⊕为整数的乘法。

③G ={平面向量}，⊕为平面向量的加法。

④G ={二次三项式}，⊕为多项式的加法。

⑤G ={虚数}，⊕为复数的乘法。

其中G 关于运算⊕为“融洽集”的是 （写出所有“融洽集”的序号） 解析：非空集合G 关于运算⊕满足：（1）对任意,a b G ∈，都有a b G ⊕∈；
（2）存在e G ∈，使得对一切a G ∈，都有a e e a a ⊕=⊕=，则称G 关于运算⊕为“融洽集”；现给出下列集合和运算：
①{},G =⊕非负整数为整数的加法,满足任意,a b G ∈，都有a b G ⊕∈，且令0e =，有00a a a ⊕=⊕=，所以①符合要求；
②{},G =⊕偶数为整数的乘法,若存在a e a e a ⊕=⨯=，则1e =，矛盾，∴ ②不符合要求；
③{},G =⊕平面向量为平面向量的加法,取0e =，满足要求，∴ ③符合要求； ④{},G =⊕二次三项式为多项式的加法，两个二次三项式相加得到的可能不是二次三项式，所以④不符合要求；
⑤{},G =⊕虚数为复数的乘法，两个虚数相乘得到的可能是实数，∴ ⑤不符合要求，
这样G 关于运算⊕为“融洽集”的有①③。

评析：这种题目中出现了新的运算符号⊕，对学生来说是全新的，其解题的关键是抓住此运算的特征去解题。

三、新法则型
例3 (2006陕西卷)为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密规则为:明文a,b,c,d 对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为( )
A.4,6,1,7
B.7,6,1,4
C.6,4,1,7
D.1,6,4,7
解析：当接收方收到密文14，9，23，28时，
则214292323
428
a b b c c d d +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪=⎩，解得6417a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，解密得到的明文为C ．
评析：对于新法则，关键在于找到元素之间的对应关系，我们可以借助图表等方法寻找它们之间的对应关系，利用对应关系列方程。

练习：
1、如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”。

在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 （ ）
（A ）48 （B ） 18 （C ） 24 （D ）36
2、如图，平面中两条直线1l 和2l 相交于点O ，对于平面上任意一点M ，若p 、q 分别是M 到直线1l 和2l 的距离，则称有序非负实数对（p ，q ）是点M 的“距离坐标”．已知常数p ≥0，q ≥0，给出下列命题：
①若p ＝q ＝0，则“距离坐标”为（0，0）
的点有且仅有1个；
②若pq ＝0，且p ＋q ≠0，则“距离坐标” 1l 2l
O M （p ，q ）
为（p ，q ）的点有且仅有2个；
③若pq ≠0，则“距离坐标”为（p ，q ）的点有且仅有4个．
上述命题中，正确命题的个数是 （ ）
（A ）0； （B ）1； （C ）2； （D ）3．
3、设○
+是R 上的一个运算,A 是R 的非空子集,若对任意,a b A ∈有a ○+b A ∈,则称A 对运算○+封闭,下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是（
） (A)自然数集 (B)整数集 (C)有理数集 (D)无理数集。