高中数学新定义类型题
亮点纷呈,凸显能力——“新定义型”中考数学试题评析
“新 定 义 型 ” 中 考 数 学 试 题 评 析
王佳 珩 （ 江 苏省靖 江市斜桥 中学）
摘 要 ：综 观 近 年 全 国各 地 中考 数 学 试 卷 ， 均 体 现 出 以 能 力 Ｊ 司题 ．
立意 为 目标 ，突出考查 学生的数 学意识 和数 学能力 ，关注社会
猜想 ，总结规律 ；第（ ３ ） 问提醒教师在教 学时对数 学性 质的探 索 不可 包办代 替 ，数 学知识的应 用切 勿生搬硬 套 ，能力训 练功夫
在平时．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
要求学生完成 某种推理 证明或指定 要求 的问题 ，并 以此考查 学
生 学 习新 数 学 知 识 的 能 力 和 综 合 利 用 所 学 知 识 解 决 新 问 题 的 能
力 ，其背景相对公平 ，正是 中考所追求的理想题型之一．
在 一 个 新 型 的 数 学 情 境 中 ，学 生 应 该 在 阅读 理 解 的 基 础 上 ，
充分理解其 中的 内容 、方法和 思想 ，然后 在把握 本质的基础 上 做 出解答 ，问题往往 涉及 “ 数 与代数 ” 、“ 空 间与 图形” 、“ 统 计 与概率 ”等多个 学习领域 ．下 面对部分 试题作 以评析 ，供大 家
参考．
一
识 出发 ，建构新知 的能力．
二 、 新 定 义 整 式 模 型
例３ （ 浙江省课 改 实验 区）如果一 个正整数能表示 为两个
连续偶数的平方差 ，那么称这个正整数 为 “ 神秘数” ． 如 ：４＝２ ｚ
一
、
新 定 义 运 算 法 则
０ ，１ ２＝４ 一２ ，２ ０＝６ 一４ 。 ，因此 ４ 、１ ２ 、２ ０ 都是 “ 神秘数 ” ． （ １ ） ２ ８和 ２ ０ １ ２这两个数 是 “ 神秘数 ”吗？为什么？
高中数学——集合新定义题目(教案)
集合新定义题目1.（已知集合22{(,)3,,}A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，则A 中元素的个数为（ ） A. 9 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】A2211311x x y y -≤≤⎧+≤⎨-≤≤⎩，解得，又因为x Z y Z ∈∈，，所以1,0,11,01x y =-=-；，339⨯=，故A 中的元素有9个.2.已知集合{}1,2,3,4,5A =，,,,{()|}B x y x A y A x y A =∈∈-∈，则B 中所含元素的个数为( )A ．3B ．6C ．8D ．10 【答案】D 解：,,,{()|}B x y x A y A x y A =∈∈-∈，{}1,2,3,4,5A =，2x ∴=，1y =；3x =，1,2y =；4x =，1,2,3y =；5x =，1,2,3,4y =.()()()()()()()()()(){}2,13,13,24,14,24,35,15,,,,,,25,,,3,5,4,B ∴=，B ∴中所含元素的个数为10.3.已知集合A ，B 满足运算{|A B x x A *=∈且}x B ∉，若集合{}1,2,3A =，{}2,4B =，则A B *=( )A.{}1,2,3B.{}2,4C.{}1,3D.{}2【答案】C4.在集合{},,,a b c d 上定义两种运算⊕和⊗如下：a b c d a a b c d b b b b b c c b cbddb b d⊕ a b c d a a a a a b a b c d c accada d a d⊗ 那么()d a c ⊗⊕=( )A. aB. bC. cD. d 【答案】A5.若集合,1{}1A =-，{}0,2B =，则集合{|}z z x y x A y B =+∈∈，，中的元素个数为( )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个 【答案】C6.集合M 中的元素都是正整数，且若a M ∈，则6a M -∈，则所有满足条件的集合M 共有( )A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个 【答案】B7.已知元素为实数的集合S 满足下列条件：①0S ∉，1S ∉；②若a S ∈，则11S a∈-． （1）若{22}S -⊆，，求使元素个数最少的集合S ； （2）若非空集合S 为有限集，则你对集合S 的元素个数有何猜测？并请证明你的猜测正确．【答案】（1）1132,1,,2,,232⎧⎫--⎨⎬⎩⎭； 解：（1）2S ∈，则1S -∈，12S ∈，可得2S ∈；2S -∈，则13S ∈，32S ∈，可得2S -∈，∴{22}S -⊆，，使元素个数最少的集合S 为1132,1,,2,,232⎧⎫--⎨⎬⎩⎭． （2）非空有限集S 的元素个数是3的倍数． 证明如下：①设a S ∈则0a ≠，1且a S ∈，则11S a ∈-，11111a S a a-=∈--，111a S a a=∈--， 假设11a a =-，则2101a a a -+=≠（）无实数根，故11a a≠-.同理可证a ，11a -，1a a-两两不同．即若有a S ∈，则必有11,,1a a S a a -⎧⎫⊆⎨⎬-⎩⎭． ②若存在()b S b a ∈≠，必有11,,1b b S b b -⎧⎫⊆⎨⎬-⎩⎭1111,,,,11a b a b a a b b --⎧⎫⎧⎫=∅⎨⎬⎨⎬--⎩⎭⎩⎭于是1111,,,,,11a b a b S a ab b --⎧⎫⊆⎨⎬--⎩⎭．上述推理还可继续，由于S 为有限集，故上述推理有限步可中止，∴S 的元素个数为3的倍数． 8.已知集合(){}22,1A x y xy =+≤，{}()|,11,11B x y x y =≤≤-≤≤-，则集合()()(){}12121122,,,,,,x y x x x y y y x y A x N y B =+=∈=+∈表示的区域的面积是________．【答案】12π+解：由N 解得1212,x x x y y y =-=-，代入221x y +≤，得()()22221x x y y -+-≤，该解析式表示圆心在区域{()|,}1111x y x y ≤≤-≤≤-，内变动，变动过程中形成如图所示的平面区域，这个区域含有1个边长为2的正方形区域，以及4个四分之一圆形(半径为1)区域，个边长分别为2，1的矩形区域，故其面积是2242112ππ⨯+⨯⨯=+＋9. 设整数4n ≥，集合1,2,3,},{X n =⋯．令集合{(),,,|,S x y z x y z X =∈，且三个条件：x y z <<，y z x <<，z x y <<中恰有一个成立}，若(,,)x y z 和(,,)z w x 都在S 中，则下列选项正确的是( )A ．,,()y z w S ∈，,,()x y w S ∉B ．,,()y z w S ∈，,,()x y w S ∈C ．,,()y z w S ∉，,,()x y w S ∈D ．,,()y z w S ∉，,,()x y w S ∉ 【答案】B解：方法一：(一般方法)因为,,()x y z S ∈，,,()z w x S ∈，所以x y z <<①，y z x <<②，z x y <<③三个式子中恰有一个成立；z w x <<④，w x z <<⑤，x z w <<⑥三个式子中恰有一个成立．则x ，y ，z ，w 的大小有四种情况．第一种：①⑤成立，此时w x y z <<<，于是,,()y z w S ∈，,,()x y w S ∈；第二种：①⑥成立，此时x y z w <<<，于是,,()y z w S ∈，,,()x y w S ∈；第三种：②④成立，此时y z w x <<<，于是,,()y z w S ∈，,,()x y w S ∈；第四种：③④成立，此时z w x y <<<，于是,,()y z w S ∈，,,()x y w S ∈.综合上述四种情况，可得,,()y z w S ∈，,,()x y w S ∈.方法二：(特殊值法)不妨令2x =，3y =，4z =，1w =，则()(),1,4,,3y z w S =∈，()(),1,3,,2x y w S =∈，故选B.10.已知集合{(),|,}A x y x y R =∈，若,x y A ∈，已知()()1122,,,x x y y x y ==，定义集合A 中元素间的运算x y *，称为“*”运算，此运算满足以下运算规律： ①任意,x y A ∈有x y y x *=*；②任意,,x y z A ∈有()x y z x z y z +*=*+*，其中1212(),x x x y y y +=++；③任意,x y A ∈，a R ∈有()()ax y a x y *=*；④任意x A ∈有0x x *≥，且0x x *=成立的充分必要条件是)0(0x =，． 如果()()1122,,,x x y y x y ==，那么下列运算满足“*”运算的是( ) A ．11222x y x y x y *=+ B ．1122x y x y x y *=- C ．11221x y x y x y *=++ D ．12122x y x x y y *=+ 【答案】D易知A 、B 选项中的运算均不满足规律①；C 选项中，若令)0(0x =，，则0011x x *=++=，不满足规律④.故选D。
高中数学新定义型问题(解析版)
新定义型问题1(新高考北京卷)生物丰富度指数d =S -1ln N是河流水质的一个评价指标，其中S ,N 分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d 越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S 没有变化，生物个体总数由N 1变为N 2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则()A.3N 2=2N 1B.2N 2=3N 1C.N 22=N 31 D.N 32=N 21【答案】D【分析】根据题意分析可得S -1ln N 1=2.1,S -1ln N 2=3.15，消去S 即可求解.【详解】由题意得S -1ln N 1=2.1,S -1ln N 2=3.15，则2.1ln N 1=3.15ln N 2，即2ln N 1=3ln N 2，所以N 32=N 21.故选：D .2(新高考上海卷)定义一个集合Ω，集合中的元素是空间内的点集，任取P 1,P 2,P 3∈Ω，存在不全为0的实数λ1,λ2,λ3，使得λ1OP 1+λ2OP 2 +λ3OP 3 =0．已知(1,0,0)∈Ω，则(0,0,1)∉Ω的充分条件是()A.0,0,0 ∈Ω B.-1,0,0 ∈ΩC.0,1,0 ∈ΩD.0,0,-1 ∈Ω【答案】C【分析】首先分析出三个向量共面，显然当1,0,0 ,0,0,1 ,0,1,0 ∈Ω时，三个向量构成空间的一个基底，则即可分析出正确答案.【详解】由题意知这三个向量OP 1,OP 2 ,OP 3 共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底，对A ，由空间直角坐标系易知0,0,0 ,(1,0,0),(0,0,1)三个向量共面，则当-1,0,0 ,(1,0,0)∈Ω无法推出(0,0,1)∉Ω，故A 错误；对B ，由空间直角坐标系易知-1,0,0 ,(1,0,0),(0,0,1)三个向量共面，则当0,0,0 ,(1,0,0)∈Ω无法推出(0,0,1)∉Ω，故A 错误；对C ， 由空间直角坐标系易知1,0,0 ,0,0,1 ,0,1,0 三个向量不共面，可构成空间的一个基底，则由1,0,0 ,0,1,0 ∈Ω能推出0,0,1 ∉Ω，对D ，由空间直角坐标系易知1,0,0 ,0,0,1 ,0,0,-1 三个向量共面，则当0,0,-1 (1,0,0)∈Ω无法推出(0,0,1)∉Ω，故D 错误.故选：C ．3(新高考上海卷)已知函数f (x )的定义域为R ，定义集合M =x 0x 0∈R ,x ∈-∞,x 0 ,f x <f x 0 ，在使得M =-1,1 的所有f x 中，下列成立的是()A.存在f x 是偶函数B.存在f x 在x =2处取最大值C.存在f x 是严格增函数D.存在f x 在x =-1处取到极小值【答案】B【分析】对于ACD 利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值的概念即可判断，对于B ，构造函数f x =-2,x <-1x ,-1≤x ≤11,x >1即可判断.【详解】对于A ，若存在 y =f (x ) 是偶函数, 取 x 0=1∈[-1,1],则对于任意 x ∈(-∞,1),f (x )<f (1), 而 f (-1)=f (1), 矛盾, 故 A 错误；对于B ，可构造函数f x =-2,x <-1,x ,-1≤x ≤1,1,x >1,满足集合M =-1,1 ，当x <-1时，则f x =-2，当-1≤x ≤1时，f x ∈-1,1 ，当x >1时，f x =1，则该函数f x 的最大值是f 2 ，则B 正确；对C ，假设存在f x ，使得f x 严格递增，则M =R ，与已知M =-1,1 矛盾，则C 错误；对D ，假设存在f x ，使得f x 在x =-1处取极小值，则在-1的左侧附近存在n ，使得f n >f -1 ，这与已知集合M 的定义矛盾，故D 错误；故选：B .4(新高考上海卷)无穷等比数列a n 满足首项a 1>0,q >1，记I n =x -y x ,y ∈a 1,a 2 ∪a n ,a n +1 ，若对任意正整数n 集合I n 是闭区间，则q 的取值范围是．【答案】q ≥2【分析】当n ≥2时，不妨设x ≥y ，则x -y ∈0,a 2-a 1 ∪a n -a 2,a n +1-a 1 ∪0,a n +1-a n ，结合I n 为闭区间可得q -2≥-1qn -2对任意的n ≥2恒成立，故可求q 的取值范围.【详解】由题设有a n =a 1q n -1，因为a 1>0,q >1，故a n +1>a n ，故a n ,a n +1 =a 1q n -1,a 1q n ，当n =1时，x ,y ∈a 1,a 2 ，故x -y ∈a 1-a 2,a 2-a 1 ，此时I 1为闭区间，当n ≥2时，不妨设x ≥y ，若x ,y ∈a 1,a 2 ，则x -y ∈0,a 2-a 1 ，若y ∈a 1,a 2 ,x ∈a n ,a n +1 ，则x -y ∈a n -a 2,a n +1-a 1 ，若x ,y ∈a n ,a n +1 ，则x -y ∈0,a n +1-a n ，综上，x -y ∈0,a 2-a 1 ∪a n -a 2,a n +1-a 1 ∪0,a n +1-a n ，又I n 为闭区间等价于0,a 2-a 1 ∪a n -a 2,a n +1-a 1 ∪0,a n +1-a n 为闭区间，而a n +1-a 1>a n +1-a n >a 2-a 1，故a n +1-a n ≥a n -a 2对任意n ≥2恒成立，故a n +1-2a n +a 2≥0即a 1q n -1q -2 +a 2≥0，故q n -2q -2 +1≥0，故q -2≥-1qn -2对任意的n ≥2恒成立，因q >1，故当n →+∞时，-1qn -2→0，故q -2≥0即q ≥2.故答案为：q ≥2.【点睛】思路点睛：与等比数列性质有关的不等式恒成立，可利用基本量法把恒成立为转为关于与公比有关的不等式恒成立，必要时可利用参变分离来处理.5(新课标全国Ⅰ卷)设m 为正整数，数列a 1,a 2,...,a 4m +2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项a i 和a j i <j 后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列a 1,a 2,...,a 4m +2是i ,j -可分数列．(1)写出所有的i ,j ，1≤i <j ≤6，使数列a 1,a 2,...,a 6是i ,j -可分数列；(2)当m ≥3时，证明：数列a 1,a 2,...,a 4m +2是2,13 -可分数列；(3)从1,2,...,4m +2中一次任取两个数i 和j i <j ，记数列a 1,a 2,...,a 4m +2是i ,j -可分数列的概率为P m ，证明：P m >18．【答案】(1)1,2 ,1,6 ,5,6 (2)证明见解析(3)证明见解析【分析】(1)直接根据i ,j -可分数列的定义即可；(2)根据i ,j -可分数列的定义即可验证结论；(3)证明使得原数列是i ,j -可分数列的i ,j 至少有m +1 2-m 个，再使用概率的定义.【详解】(1)首先，我们设数列a 1,a 2,...,a 4m +2的公差为d ，则d ≠0.由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列，故我们可以对该数列进行适当的变形a k =a k -a 1d+1k =1,2,...,4m +2 ，得到新数列a k =k k =1,2,...,4m +2 ，然后对a 1,a 2,...,a 4m +2进行相应的讨论即可.换言之，我们可以不妨设a k =k k =1,2,...,4m +2 ，此后的讨论均建立在该假设下进行.回到原题，第1小问相当于从1,2,3,4,5,6中取出两个数i 和j i <j ，使得剩下四个数是等差数列.那么剩下四个数只可能是1,2,3,4，或2,3,4,5，或3,4,5,6.所以所有可能的i ,j 就是1,2 ,1,6 ,5,6 .(2)由于从数列1,2,...,4m +2中取出2和13后，剩余的4m 个数可以分为以下两个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①1,4,7,10 ,3,6,9,12 ,5,8,11,14 ，共3组；②15,16,17,18 ,19,20,21,22 ,...,4m -1,4m ,4m +1,4m +2 ，共m -3组.(如果m -3=0，则忽略②)故数列1,2,...,4m +2是2,13 -可分数列.(3)定义集合A =4k +1 k =0,1,2,...,m =1,5,9,13,...,4m +1 ，B =4k +2 k =0,1,2,...,m =2,6,10,14,...,4m+2.下面证明，对1≤i<j≤4m+2，如果下面两个命题同时成立，则数列1,2,...,4m+2一定是i,j-可分数列：命题1：i∈A,j∈B或i∈B,j∈A；命题2：j-i≠3.我们分两种情况证明这个结论.第一种情况：如果i∈A,j∈B，且j-i≠3.此时设i=4k1+1，j=4k2+2，k1,k2∈0,1,2,...,m.则由i<j可知4k1+1<4k2+2，即k2-k1>-14，故k2≥k1.此时，由于从数列1,2,...,4m+2中取出i=4k1+1和j=4k2+2后，剩余的4m个数可以分为以下三个部分，共m组，使得每组成等差数列：①1,2,3,4,5,6,7,8,...,4k1-3,4k1-2,4k1-1,4k1，共k1组；②4k1+2,4k1+3,4k1+4,4k1+5,4k1+6,4k1+7,4k1+8,4k1+9,...,4k2-2,4k2-1,4k2,4k2+1，共k2-k1组；③4k2+3,4k2+4,4k2+5,4k2+6,4k2+7,4k2+8,4k2+9,4k2+10,...,4m-1,4m,4m+1,4m+2，共m-k2组.(如果某一部分的组数为0，则忽略之)故此时数列1,2,...,4m+2是i,j-可分数列.第二种情况：如果i∈B,j∈A，且j-i≠3.此时设i=4k1+2，j=4k2+1，k1,k2∈0,1,2,...,m.则由i<j可知4k1+2<4k2+1，即k2-k1>14，故k2>k1.由于j-i≠3，故4k2+1-4k1+2≠3，从而k2-k1≠1，这就意味着k2-k1≥2.此时，由于从数列1,2,...,4m+2中取出i=4k1+2和j=4k2+1后，剩余的4m个数可以分为以下四个部分，共m组，使得每组成等差数列：①1,2,3,4,5,6,7,8,...,4k1-3,4k1-2,4k1-1,4k1，共k1组；②4k1+1,3k1+k2+1,2k1+2k2+1,k1+3k2+1，3k1+k2+2,2k1+2k2+2,k1+3k2+2,4k2+2，共2组；③全体4k1+p,3k1+k2+p,2k1+2k2+p,k1+3k2+p，其中p=3,4,...,k2-k1，共k2-k1-2组；④4k2+3,4k2+4,4k2+5,4k2+6,4k2+7,4k2+8,4k2+9,4k2+10,...,4m-1,4m,4m+1,4m+2，共m-k2组.(如果某一部分的组数为0，则忽略之)这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含k2-k1-2个行，4个列的数表以后，4个列分别是下面这些数：4k1+3,4k1+4,...,3k1+k2，3k1+k2+3,3k1+k2+4,...,2k1+2k2，2k1+2k2+3,2k1+2k2+3,...,k1+3k2，k1+3k2+3,k1+3k2+4,...,4k2.可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍4k1+1,4k1+2,...,4k2+2中除开五个集合4k1+1,4k1+2，3k1+k2+1,3k1+k2+2，2k1+2k2+1,2k1+2k2+2，k1+3k2+1,k1+3k2+2，4k2+1,4k2+2中的十个元素以外的所有数.而这十个数中，除开已经去掉的4k1+2和4k2+1以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数.这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列1,2,...,4m+2是i,j-可分数列.至此，我们证明了：对1≤i<j≤4m+2，如果前述命题1和命题2同时成立，则数列1,2,...,4m+2一定是i,j-可分数列.然后我们来考虑这样的i,j的个数.首先，由于A∩B=∅，A和B各有m+1个元素，故满足命题1的i,j总共有m+12个；而如果j-i=3，假设i∈A,j∈B，则可设i=4k1+1，j=4k2+2，代入得4k2+2-4k1+1=3.但这导致k2-k1=12，矛盾，所以i∈B,j∈A.设i=4k1+2，j=4k2+1，k1,k2∈0,1,2,...,m，则4k2+1-4k1+2=3，即k2-k1=1.所以可能的k1,k2恰好就是0,1,1,2,...,m-1,m，对应的i,j分别是2,5,6,9,..., 4m-2,4m+1，总共m个.所以这m+12个满足命题1的i,j中，不满足命题2的恰好有m个.这就得到同时满足命题1和命题2的i,j的个数为m+12-m.当我们从1,2,...,4m+2中一次任取两个数i和j i<j时，总的选取方式的个数等于4m+24m+12=2m+14m+1.而根据之前的结论，使得数列a1,a2,...,a4m+2是i,j-可分数列的i,j至少有m+12-m个.所以数列a1,a2,...,a4m+2是i,j-可分数列的概率P m一定满足P m≥m+12-m2m+14m+1=m2+m+12m+14m+1>m2+m+142m+14m+2=m+12222m+12m+1=18.这就证明了结论.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对新定义数列的理解，只有理解了定义，方可使用定义验证或探究结论.6(新课标全国Ⅱ卷)已知双曲线C:x2-y2=m m>0，点P15,4在C上，k为常数，0<k<1．按照如下方式依次构造点P n n=2,3,...，过P n-1作斜率为k的直线与C的左支交于点Q n-1，令P n为Q n-1关于y轴的对称点，记P n的坐标为x n,y n.(1)若k=12，求x2,y2；(2)证明：数列x n-y n是公比为1+k1-k的等比数列；(3)设S n为△P n P n+1P n+2的面积，证明：对任意的正整数n，S n=S n+1.【答案】(1)x2=3，y2=0(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】(1)直接根据题目中的构造方式计算出P2的坐标即可；(2)根据等比数列的定义即可验证结论；(3)思路一：使用平面向量数量积和等比数列工具，证明S n的取值为与n无关的定值即可.思路二：使用等差数列工具，证明S n的取值为与n无关的定值即可.【详解】(1)由已知有m=52-42=9，故C的方程为x2-y2=9.当k=12时，过P15,4且斜率为12的直线为y=x+32，与x2-y2=9联立得到x2-x+322=9.解得x=-3或x=5，所以该直线与C的不同于P1的交点为Q1-3,0，该点显然在C的左支上.故P23,0，从而x2=3，y2=0.(2)由于过P n x n,y n且斜率为k的直线为y=k x-x n+y n，与x2-y2=9联立，得到方程x2-k x-x n+y n2=9.展开即得1-k2x2-2k y n-kx nx-y n-kx n2-9=0，由于P n x n,y n已经是直线y=k x-x n+y n和x2 -y2=9的公共点，故方程必有一根x=x n.从而根据韦达定理，另一根x=2k y n-kx n1-k2-x n=2ky n-x n-k2x n1-k2，相应的y=k x-x n+y n=y n+k2y n-2kx n1-k2.所以该直线与C的不同于P n的交点为Q n2ky n-x n-k2x n1-k2,y n+k2y n-2kx n1-k2，而注意到Q n的横坐标亦可通过韦达定理表示为-y n-kx n2-91-k2x n，故Q n一定在C的左支上.所以P n+1x n+k2x n-2ky n1-k2,y n+k2y n-2kx n1-k2.这就得到x n+1=x n+k2x n-2ky n1-k2，y n+1=y n+k2y n-2kx n1-k2.所以x n+1-y n+1=x n+k2x n-2ky n1-k2-y n+k2y n-2kx n1-k2=x n+k2x n+2kx n1-k2-y n+k2y n+2ky n1-k2=1+k2+2k1-k2x n-y n=1+k1-kx n-y n.再由x 21-y 21=9，就知道x 1-y 1≠0，所以数列x n -y n 是公比为1+k1-k 的等比数列.(3)方法一：先证明一个结论：对平面上三个点U ,V ,W ，若UV =a ,b ，UW=c ,d ，则S △UVW =12ad -bc .(若U ,V ,W 在同一条直线上，约定S △UVW =0)证明：S △UVW =12UV⋅UW sin UV ,UW =12UV ⋅UW 1-cos 2UV ,UW=12UV⋅UW 1-UV ⋅UWUV ⋅UW 2=12UV 2⋅UW 2-UV ⋅UW 2=12a 2+b 2c 2+d 2-ac +bd2=12a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2-a 2c 2-b 2d 2-2abcd =12a 2d 2+b 2c 2-2abcd =12ad -bc2=12ad -bc .证毕，回到原题.由于上一小问已经得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n 1-k 2，故x n +1+y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2+y n +k 2y n -2kx n 1-k 2=1+k 2-2k 1-k 2x n +y n=1-k1+k x n +y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1+y 1≠0，所以数列x n +y n 是公比为1-k 1+k 的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有x n y n +m -y n x n +m=12x n x n +m -y n y n +m +x n y n +m -y n x n +m -12x n x n +m -y n y n +m -x n y n +m -y n x n +m =12x n -y n x n +m +y n +m -12x n +y n x n +m -y n +m =121-k 1+k m x n -y n x n +y n-121+k 1-k mx n +y n x n -y n =121-k 1+k m -1+k 1-k m x 2n -y 2n=921-k 1+k m -1+k 1-k m .而又有P n +1P n =-x n +1-x n ,-y n +1-y n ，P n +1P n +2=x n +2-x n +1,y n +2-y n +1 ，故利用前面已经证明的结论即得S n =S △P n P n +1P n +2=12-x n +1-x n y n +2-y n +1 +y n +1-y n x n +2-x n +1 =12x n +1-x n y n +2-y n +1 -y n +1-y n x n +2-x n +1 =12x n +1y n +2-y n +1x n +2 +x n y n +1-y n x n +1 -x n y n +2-y n x n +2=12921-k 1+k -1+k 1-k +921-k 1+k -1+k 1-k -921-k 1+k 2-1+k 1-k 2.这就表明Sn 的取值是与n 无关的定值，所以S n =S n +1.方法二：由于上一小问已经得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n1-k 2，故x n +1+y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2+y n +k 2y n -2kx n 1-k 2=1+k 2-2k 1-k2x n +y n =1-k1+k x n +y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1+y 1≠0，所以数列x n +y n 是公比为1-k 1+k 的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有x n y n +m -y n x n +m=12x n x n +m -y n y n +m +x n y n +m -y n x n +m -12x n x n +m -y n y n +m -x n y n +m -y n x n +m =12x n -y n x n +m +y n +m -12x n +y n x n +m -y n +m =121-k 1+k m x n -y n x n +y n-121+k 1-k mx n +y n x n -y n =121-k 1+k m -1+k 1-k m x 2n -y 2n =921-k 1+k m -1+k 1-k m .这就得到x n +2y n +3-y n +2x n +3=921-k 1+k -1+k1-k=x n y n +1-y n x n +1，以及x n +1y n +3-y n +1x n +3=921-k 1+k 2-1+k 1-k 2=x n y n +2-y n x n +2.两式相减，即得x n +2y n +3-y n +2x n +3 -x n +1y n +3-y n +1x n +3 =x n y n +1-y n x n +1 -x n y n +2-y n x n +2 .移项得到x n +2y n +3-y n x n +2-x n +1y n +3+y n x n +1=y n +2x n +3-x n y n +2-y n +1x n +3+x n y n +1.故y n +3-y n x n +2-x n +1 =y n +2-y n +1 x n +3-x n .而P n P n +3 =x n +3-x n ,y n +3-y n ，P n +1P n +2 =x n +2-x n +1,y n +2-y n +1 .所以P n P n +3 和P n +1P n +2平行，这就得到S △P n P n +1P n +2=S △P n +1P n +2P n +3，即S n =S n +1.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合，需要综合运用多方面知识方可得解.7(新高考北京卷)设集合M =i ,j ,s ,t i ∈1,2 ,j ∈3,4 ,s ∈5,6 ,t ∈7,8 ,2i +j +s +t ．对于给定有穷数列A :a n 1≤n ≤8 ，及序列Ω:ω1,ω2,...,ωs ，ωk =i k ,j k ,s k ,t k ∈M ，定义变换T ：将数列A 的第i 1,j 1,s 1,t 1项加1，得到数列T 1A ；将数列T 1A 的第i 2,j 2,s 2,t 2列加1，得到数列T 2T 1A ⋯；重复上述操作，得到数列T s ...T 2T 1A ，记为ΩA ．(1)给定数列A :1,3,2,4,6,3,1,9和序列Ω:1,3,5,7 ,2,4,6,8 ,1,3,5,7 ，写出ΩA ；(2)是否存在序列Ω，使得ΩA 为a 1+2,a 2+6,a 3+4,a 4+2,a 5+8,a 6+2,a 7+4,a 8+4，若存在，写出一个符合条件的Ω；若不存在，请说明理由；(3)若数列A 的各项均为正整数，且a 1+a 3+a 5+a 7为偶数，证明：“存在序列Ω，使得ΩA 为常数列”的充要条件为“a 1+a 2=a 3+a 4=a 5+a 6=a 7+a 8”．【答案】(1)ΩA :3,4,4,5,8,4,3,10(2)不存在符合条件的Ω，理由见解析(3)证明见解析【分析】(1)直接按照ΩA 的定义写出ΩA 即可；(2)利用反证法，假设存在符合条件的Ω，由此列出方程组，进一步说明方程组无解即可；(3)分充分性和必要性两方面论证.【详解】(1)由题意得ΩA :3,4,4,5,8,4,3,10；(2)假设存在符合条件的Ω，可知ΩA 的第1,2项之和为a 1+a 2+s ，第3,4项之和为a 3+a 4+s ，则a 1+2 +a 2+6 =a 1+a 2+sa 3+4 +a 4+2 =a 3+a 4+s，而该方程组无解，故假设不成立，故不存在符合条件的Ω；(3)我们设序列T k ...T 2T 1A 为a k ,n 1≤n ≤8 ，特别规定a 0,n =a n 1≤n ≤8 .必要性：若存在序列Ω:ω1,ω2,...,ωs ，使得ΩA 为常数列.则a s ,1=a s ,2=a s ,3=a s ,4=a s ,5=a s ,6=a s ,7=a s ,8，所以a s ,1+a s ,2=a s ,3+a s ,4=a s ,5+a s ,6=a s ,7+a s ,8.根据T k ...T 2T 1A 的定义，显然有a k ,2j -1+a k ,2j =a k -1,2j -1+a k -1,2j ，这里j =1,2,3,4，k =1,2,....所以不断使用该式就得到，a 1+a 2=a 3+a 4=a 5+a 6=a 7+a 8，必要性得证.充分性：若a 1+a 2=a 3+a 4=a 5+a 6=a 7+a 8.由已知，a 1+a 3+a 5+a 7为偶数，而a 1+a 2=a 3+a 4=a 5+a 6=a 7+a 8，所以a 2+a 4+a 6+a 8=4a 1+a 2 -a 1+a 3+a 5+a 7 也是偶数.我们设T s ...T 2T 1A 是通过合法的序列Ω的变换能得到的所有可能的数列ΩA 中，使得a s ,1-a s ,2 +a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 最小的一个.上面已经证明a k ,2j -1+a k ,2j =a k -1,2j -1+a k -1,2j ，这里j =1,2,3,4，k =1,2,....从而由a 1+a 2=a 3+a 4=a 5+a 6=a 7+a 8可得a s ,1+a s ,2=a s ,3+a s ,4=a s ,5+a s ,6=a s ,7+a s ,8.同时，由于i k +j k +s k +t k 总是偶数，所以a k ,1+a k ,3+a k ,5+a k ,7和a k ,2+a k ,4+a k ,6+a k ,8的奇偶性保持不变，从而a s ,1+a s ,3+a s ,5+a s ,7和a s ,2+a s ,4+a s ,6+a s ,8都是偶数.下面证明不存在j =1,2,3,4使得a s ,2j -1-a s ,2j ≥2.假设存在，根据对称性，不妨设j =1，a s ,2j -1-a s ,2j ≥2，即a s ,1-a s ,2≥2.情况1：若a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 =0，则由a s ,1+a s ,3+a s ,5+a s ,7和a s ,2+a s ,4+a s ,6+a s ,8都是偶数，知a s ,1-a s ,2≥4.对该数列连续作四次变换2,3,5,8 ,2,4,6,8 ,2,3,6,7 ,2,4,5,7 后，新的a s +4,1-a s +4,2 +a s +4,3-a s +4,4 +a s +4,5-a s +4,6 +a s +4,7-a s +4,8 相比原来的a s ,1-a s ,2 +a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 减少4，这与a s ,1-a s ,2 +a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 的最小性矛盾；情况2：若a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 >0，不妨设a s ,3-a s ,4 >0.情况2-1：如果a s ,3-a s ,4≥1，则对该数列连续作两次变换2,4,5,7 ,2,4,6,8 后，新的a s +2,1-a s +2,2 +a s +2,3-a s +2,4 +a s +2,5-a s +2,6 +a s +2,7-a s +2,8 相比原来的a s ,1-a s ,2 +a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 至少减少2，这与a s ,1-a s ,2 +a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 的最小性矛盾；情况2-2：如果a s ,4-a s ,3≥1，则对该数列连续作两次变换2,3,5,8 ,2,3,6,7 后，新的a s +2,1-a s +2,2 +a s +2,3-a s +2,4 +a s +2,5-a s +2,6 +a s +2,7-a s +2,8 相比原来的a s ,1-a s ,2 +a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 至少减少2，这与a s ,1-a s ,2 +a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 的最小性矛盾.这就说明无论如何都会导致矛盾，所以对任意的j =1,2,3,4都有a s ,2j -1-a s ,2j ≤1.假设存在j =1,2,3,4使得a s ,2j -1-a s ,2j =1，则a s ,2j -1+a s ,2j 是奇数，所以a s ,1+a s ,2=a s ,3+a s ,4=a s ,5+a s ,6=a s ,7+a s ,8都是奇数，设为2N +1.则此时对任意j =1,2,3,4，由a s ,2j -1-a s ,2j ≤1可知必有a s ,2j -1,a s ,2j =N ,N +1 .而a s ,1+a s ,3+a s ,5+a s ,7和a s ,2+a s ,4+a s ,6+a s ,8都是偶数，故集合m a s ,m =N 中的四个元素i ,j ,s ,t 之和为偶数，对该数列进行一次变换i ,j ,s ,t ，则该数列成为常数列，新的a s +1,1-a s +1,2 +a s +1,3-a s +1,4 +a s +1,5-a s +1,6 +a s +1,7-a s +1,8 等于零，比原来的a s ,1-a s ,2 +a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 更小，这与a s ,1-a s ,2 +a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 的最小性矛盾.综上，只可能a s ,2j -1-a s ,2j =0j =1,2,3,4 ，而a s ,1+a s ,2=a s ,3+a s ,4=a s ,5+a s ,6=a s ,7+a s ,8，故a s ,n =ΩA 是常数列，充分性得证.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键在于对新定义的理解，以及对其本质的分析.8(新高考上海卷)对于一个函数f x 和一个点M a ,b ，令s x =(x -a )2+f x -b 2，若P x 0,f x 0 是s x 取到最小值的点，则称P 是M 在f x 的“最近点”．(1)对于f (x )=1x(x >0)，求证：对于点M 0,0 ，存在点P ，使得点P 是M 在f x 的“最近点”；(2)对于f x =e x ,M 1,0 ，请判断是否存在一个点P ，它是M 在f x 的“最近点”，且直线MP 与y =f (x )在点P 处的切线垂直；(3)已知y =f (x )在定义域R 上存在导函数f (x )，且函数g (x )在定义域R 上恒正，设点M 1t -1,f t -g t ，M 2t +1,f t +g t ．若对任意的t ∈R ，存在点P 同时是M 1,M 2在f x 的“最近点”，试判断f x 的单调性．【答案】(1)证明见解析(2)存在，P 0,1 (3)严格单调递减【分析】(1)代入M (0,0)，利用基本不等式即可；(2)由题得s x =(x -1)2+e 2x ，利用导函数得到其最小值，则得到P ，再证明直线MP 与切线垂直即可；(3)根据题意得到s 1 x 0 =s 2 x 0 =0，对两等式化简得f x 0 =-1g (t )，再利用“最近点”的定义得到不等式组，即可证明x 0=t ，最后得到函数单调性.【详解】(1)当M (0,0)时，s x =(x -0)2+1x -02=x 2+1x2≥2x 2⋅1x 2=2，当且仅当x2=1x2即x=1时取等号，故对于点M0,0，存在点P1,1，使得该点是M0,0在f x 的“最近点”．(2)由题设可得s x =(x-1)2+e x-02=(x-1)2+e2x，则s x =2x-1+2e2x，因为y=2x-1,y=2e2x均为R上单调递增函数，则s x =2x-1+2e2x在R上为严格增函数，而s 0 =0，故当x<0时，s x <0，当x>0时，s x >0，故s x min=s0 =2，此时P0,1，而f x =e x,k=f 0 =1，故f x 在点P处的切线方程为y=x+1.而k MP=0-11-0=-1，故k MP⋅k=-1，故直线MP与y=f x 在点P处的切线垂直．(3)设s1x =(x-t+1)2+f x -f t +g t2，s2x =(x-t-1)2+f x -f t -g t2，而s 1x =2(x-t+1)+2f x -f t +g tf x ，s 2x =2(x-t-1)+2f x -f t -g tf x ，若对任意的t∈R，存在点P同时是M1,M2在f x 的“最近点”，设P x0,y0，则x0既是s1x 的最小值点，也是s2x 的最小值点，因为两函数的定义域均为R，则x0也是两函数的极小值点，则存在x0,使得s1 x0=s2 x0=0，即s1 x0=2x0-t+1+2f x0f x0-f(t)+g(t)=0①s2 x0=2x0-t-1+2f x0f x0-f(t)-g(t)=0②由①②相等得4+4g(t)⋅f x0=0，即1+f x0g(t)=0，即f x0=-1g(t)，又因为函数g(x)在定义域R上恒正，则f x0=-1g(t)<0恒成立，接下来证明x0=t，因为x0既是s1x 的最小值点，也是s2x 的最小值点，则s1x0≤s(t),s2x0≤s(t)，即x0-t+12+f x0-f t +g t2≤1+g t2，③x0-t-12+f x0-f t -g t2≤1+g t2，④③+④得2x0-t2+2+2f x0-f(t)2+2g2(t)≤2+2g2(t)即x0-t2+f x0-f t2≤0，因为x0-t2≥0,f x0-f t2≥0则x0-t=0f x0-f t =0，解得x=t，则f t =-1g(t)<0恒成立，因为t的任意性，则f x 严格单调递减.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是结合最值点和极小值的定义得到f x 0 =-1g (t )，再利用最值点定义得到x 0=t 即可.一、单选题1(2024·湖南怀化·二模)给定整数n ≥3，有n 个实数元素的集合S ，定义其相伴数集T =a -b a ,b ∈S ,a ≠b ，如果min T =1，则称集合S 为一个n 元规范数集．(注：min X 表示数集X 中的最小数)．对于集合M =-0.1,-1.1,2,2.5 、N =-1.5,-0.5,0.5,1.5 ，则()A.M 是规范数集，N 不是规范数集B.M 是规范数集，N 是规范数集C.M 不是规范数集，N 是规范数集D.M 不是规范数集，N 不是规范数集【答案】C【分析】利用规范数集的定义，逐项判断即可得解.【详解】集合M =-0.1,-1.1,2,2.5 中，2∈M ,2.5∈M ，则|2-2.5|=0.5<1，即M 的相伴数集中的最小数不是1，因此M 不是规范数集；集合N =-1.5,-0.5,0.5,1.5 ，|-1.5-(-0.5)|=1,|-0.5-0.5|=1,|0.5-1.5|=1，|-1.5-0.5|=|-0.5-1.5|=2,|-1.5-1.5|=3，即N 的相伴数集中的最小数是1，因此N 是规范数集.故选：C2(2024·四川绵阳·模拟预测)一般地，任意给定一个角α∈R ，它的终边OP 与单位圆的交点P 的坐标，无论是横坐标x 还是纵坐标y ，都是唯一确定的，所以点P 的横坐标x 、纵坐标y 都是关于角α的函数.下面给出这些函数的定义：①把点P 的纵坐标y 叫作α的正弦函数，记作sin α，即sin α=y ；②把点P 的横坐标x 叫作α的余弦函数，记作cos α，即cos α=x ；③把点P 的纵坐标y 的倒数叫作α的余割函数，记作csc α，即csc α=1y ；④把点P 的横坐标x 的倒数叫作α的正割函数，记作sec α，即sec α=1x.下列结论错误的是()A.sin α⋅csc α=1B.sec2π3=-2C.函数f x =sec x 的定义域为x x ≠k π,k ∈Z D.sec 2α+sin 2α+csc 2α+cos 2α≥5【答案】C【分析】根据定义可判断A ；利用定义转化为余弦求解可判断B ；转化为余弦表示，根据分母不为0求解可判断C ；转化为正弦和余弦，利用平方关系和二倍角公式化简，由正弦函数性质可判断D .【详解】由题知，csc α=1sin α,sec α=1cos α，对于A ，sin α⋅csc α=y ⋅1y=1，A 正确；对于B ，sec2π3=1x =1cos 2π3=1cos π-π3 =1-cos π3=-2，B 正确；对于C ，函数f x =sec x =1cos x ，由cos x ≠0得x ≠k π+π2,k ∈Z所以f x 的定义域为x x ≠k π+π2,k ∈Z ，C 错误；对于D ，sec 2α+sin 2α+csc 2α+cos 2α=1+1cos 2α+1sin 2α=1+1sin 2αcos 2α=1+4sin 22α≥5，当sin2α=±1时，等号成立，D 正确.故选：C .3(2024·河北邯郸·二模)对任意两个非零的平面向量a 和b ，定义：a ⊕b =a ⋅ba 2+b2，a ⊙b=a ⋅bb2．若平面向量a ,b 满足a >b >0，且a ⊕b 和a ⊙b 都在集合n 4|n ∈Z ,0<n ≤4 中，则a ⊕b +a ⊙b =()A.1B.32C.1或74D.1或54【答案】D【分析】根据a >b >0，得到a 2+b 2>2a b ，再利用题设中的定义及向量夹角的范围，得到a ⊕b <12，a ⊙b >12，再结合条件，即可求出结果.【详解】因为n 4|n ∈Z ,0<n ≤4=14,12,34,1，设向量a 和b 的夹角为θ，因为a >b >0，所以a 2+b 2>2a b，得到a⊕b =a ⋅b a 2+b 2=a b cos θa 2+b 2<a b cos θ2a ⋅b=cos θ2，又θ∈0,π ，所以cos θ2≤12，又a ⊕b 在集合n 4|n ∈Z ,0<n ≤4 中，所以cos θ2>14，即cos θ>12，得到a ⊕b =14，又因为a ⊙b =a ⋅b b 2=a ⋅b cos θb 2=a b cos θ>cos θ>12，所以a ⊙b =34或1，所以a ⊕b +a ⊙b =1或54，故选：D .4(2024·上海杨浦·二模)平面上的向量a 、b 满足：a =3，b =4，a ⊥b.定义该平面上的向量集合A ={x ||x +a |<|x +b |,x ⋅a >x ⋅b}.给出如下两个结论：①对任意c ∈A ，存在该平面的向量d ∈A ，满足c -d=0.5②对任意c ∈A ，存在该平面向量d ∉A ，满足c -d =0.5则下面判断正确的为()A.①正确，②错误B.①错误，②正确C.①正确，②正确D.①错误，②错误【答案】C【分析】根据给定条件，令a =(3,0)，b =(0,4)，设x =(m ,n )，利用向量模及数量积的坐标表示探求m ,n 的关系，再借助平行线间距离分析判断得解.【详解】由|a |=3，|b |=4，a ⊥b ，不妨令a =(3,0)，b =(0,4)，设x=(m ,n )，|x +a |<|x +b |，得|x +a |2<|x +b |2，而x +a =(m +3,n )，x +b =(m ,n +4)，则(m +3)2+n 2<m 2+(n +4)2，整理得6m -8n -7<0，由x ⋅a >x ⋅b，得3m -4n >0，平行直线6m -8n -7=0和3m -4n =0间的距离为d =0-(-7)62+82=0.7，到直线6m -8n -7=0和直线3m -4n =0距离相等的点到这两条直线的距离为0.35，如图，阴影部分表示的区域为集合A ，因此无论d 是否属于A ，都有c -d=0.5，所以命题①②都正确.故选：C【点睛】思路点睛：已知几个向量的模，探求向量问题，可以在平面直角坐标系中，借助向量的坐标表示，利用代数方法解决.5(2024·甘肃兰州·一模)球面上两点间距离的定义为：经过球面上两点的大圆在这两点间劣弧的长度(大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆)．设地球的半径为R ，若甲地位于北纬45°东经120°，乙地位于北纬45°西经60°，则甲、乙两地的球面距离为()A.2π6R B.2π3R C.π2R D.2π2R 【答案】C【分析】分析甲、乙两地的球心角，即可得解.【详解】甲、乙两地在北纬45°线上，所对圆心角为120°+60°=180°，即甲、乙两地在北纬45°线所在小圆的直径的两端，且小圆的半径r =R sin45°=22R ，则R 2+R 2=2R 2，所以甲、乙两地的球心角为π2，故甲、乙两地的球面距离为π2R .故选：C .二、多选题6(2024·安徽芜湖·二模)在平面直角坐标系xOy 中，角θ以坐标原点O 为顶点，以x 轴的非负半轴为始边，其终边经过点M a ,b ，OM =m m ≠0 ，定义f θ =b +a m ，g θ =b -am，则()A.f π6 +g π6 =1 B.f θ +f 2θ ≥0C.若f θg θ=2，则sin2θ=35 D.f θ g θ 是周期函数【答案】ACD【分析】根据题意分别求出cos θ=a m ，sin θ=b m ，则f θ =2sin θ+π4 ，g θ =2sin θ-π4，从而可对A 判断求解，利用换元法令t =sin θ+cos θ=2sin θ+π4 ∈-2,2 可对B 判断求解，由f θ g θ=tan θ+1tan θ-1=2求出tan θ=3，并结合sin2θ==2tan θtan 2θ+1从而可对C 判断求解，由f θ g θ =-cos2θ可对D 判断求解.【详解】由题意得M a ,b 在角θ的终边上，且OM =m ，所以cos θ=a m ，sin θ=b m，则f θ =b +a m =sin θ+cos θ=2sin θ+π4 ，g θ =b -a m =sin θ-cos θ=2sin θ-π4，对A ：f π6+g π6 =sin π6+cos π6+sin π6-cos π6=1，故A 正确；对B ：f θ +f 2θ =sin θ+cos θ+sin θ+cos θ 2，令t =sin θ+cos θ=2sin θ+π4∈-2,2 ，所以f θ +f 2θ =t +t 2=t +122-14≥-14，故B 错误；对C ：f θ g θ =sin θ+cos θsin θ-cos θ=tan θ+1tan θ-1=2，解得tan θ=3，又由sin2θ=2sin θcos θ=2sin θcos θsin 2θ+cos 2θ=2tan θtan 2θ+1=2×332+1=35，故C 正确；对D ：f θ g θ =sin θ+cos θ sin θ-cos θ =sin 2θ-cos 2θ=-cos2θ，因为y =cos2θ为周期函数，故D 正确.故选：ACD .7(2024·全国·模拟预测)已知函数f x 和实数m ，n ，则下列说法正确的是()A.定义在R 上的函数f x 恒有f x =f m -nx ，则当n =1时，函数的图象有对称轴B.定义在R 上的函数f x 恒有f x =f m -nx ，则当n =-1时，函数具有周期性C.若m =1，n =2，f x =-3x 2+2x ,x ≤13f m -nx ,x >13，则∀t ∈-∞,13 ，f t >f 23-t 恒成立D.若m =4，n =1，f x =ln x -a ,x ∈0,2 f m -nx ,x ∈2,4，且f x 的4个不同的零点分别为x 1,x 2,x 3x 4，且x 1<x 2<x 3<x 4，则x 1x 2+x 3x 4-4x 3+x 4 =-14【答案】ACD【分析】根据函数的对称性和周期性可分别判断AB ；求出x >13时的解析式，然后根据自变量范围代入相应表达式解不等式即可判断C ；将问题转化为直线y =a 与函数g x =ln x ,x ∈0,2ln 4-x ,x ∈2,4 有四个交点，结合图象求得四根的关系即可判断D .【详解】对于A ，若n =1，则f x =f m -x ，所以函数f x 的图象的对称轴为直线x =m2，故A 正确.对于B ，当n =-1时，f x =f m +x .若m =0，则f x =f x ，函数不具有周期性，故B 错误.对于C ，若m =1，n =2，则f x =-3x 2+2x ,x ≤13f 1-2x ,x >13，当x >13时，1-2x <13，则f x =-31-2x 2+21-2x =-34x 2-4x +1 +21-2x =-12x 2+8x -1，即当x >13时，f x =-12x 2+8x -1.当t ∈-∞,13 时，23-t ∈13,+∞ ，所以f t -f 23-t=-3t 2+2t --1223-t 2+823-t -1 =9t 2-6t +1=3t -1 2>0，所以f t >f 23-t恒成立，C 正确.对于D ，当x ∈2,4 时，4-x ∈0,2 ，则f x =ln x -a ,x ∈0,2ln 4-x -a ,x ∈2,4 ，令g x =ln x ,x ∈0,2ln 4-x ,x ∈2,4，作出函数g x 的图象和直线y =a ，如图.要使f x 有4个不同的零点，则函数g x 的图象与直线y =a 有4个不同的交点.又x 1<x 2<x 3<x 4，则-ln x 1=ln x 2=ln 4-x 3 =-ln 4-x 4 ，所以ln x 1+ln x 2=0，ln 4-x 3 +ln 4-x 4 =0， 所以x 1x 2=1，4-x 3 4-x 4 =1，则16-4x 3+x 4 +x 3x 4=1，所以x 1x 2+x 3x 4-4x 3+x 4 =-14，D 正确.故选：ACD .【点睛】思路点睛：关于函数零点个数的有关问题，一般转化为两个函数图象交点问题，利用函数图象分析求解即可.8(2024·浙江绍兴·模拟预测)对于任意的两点A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，定义A ,B 间的折线距离d AB =x 1-x 2 +y 1-y 2 ，反折线距离l AB =x 1-y 2 +x 2-y 1 ，O 表示坐标原点. 下列说法正确的是()A.d AB +d BC ≥d AC .B.若d AB <l AB ，则y 1-x 1 y 2-x 2 ≥0.C.若AB 斜率为k ，d AB =1+k1+k2AB .D.若存在四个点P x ,y 使得d OP =1，且x 2+y -r 2=r 2r >0 ，则r 的取值范围2-1,12 .【答案】ABD【分析】对于A ，直接使用绝对值不等式即可证明；对于B ，在使用绝对值不等式的同时考虑到绝对值不等式取等的条件(即a +b =a +b ，a +b ≥a -b ，ab ≥0两两等价，对两个不等式两边同时平方即得结论)，即可判断；对于C ，举出一个反例即可否定；对于D ，先将问题转化为方程组的解的个数问题，然后利用解析几何工具直观理解，猜出答案，最后再严格论证结果即可.【详解】对于A ，设C x 3,y 3 ，我们有d AB +d BC =x 1-x 2 +y 1-y 2 +x 2-x 3 +y 2-y 3 =x 1-x 2 +x 2-x 3 +y 1-y 2 +y 2-y 3 ≥x 1-x 2 +x 2-x 3 +y 1-y 2 +y 2-y 3 =x 1-x 3 +y 1-y 3 =d AC ，故A 正确；对于B ，若d AB <l AB ，则l AB >d AB =x 1-x 2 +y 1-y 2 ≥x 1-x 2 +y 1-y 2 =x 1-y 2 +y 1-x 2 ，这意味着x 1-y 2 +y 1-x 2 =x 1-y 2 +x 2-y 1 =l AB >x 1-y 2 +y 1-x 2 .从而由x 1-y 2 +y 1-x 2 >x 1-y 2 +y 1-x 2 ，知x 1-y 2 y 1-x 2 <0，即y 2-x 1 y 1-x 2 >0，所以y 2-x 1 +y 1-x 2 =y 2-x 1 +y 1-x 2 .故y 1-x 1 +y 2-x 2 =y 2-x 1 +y 1-x 2 =y 2-x 1 +y 1-x 2 =l AB .而d AB =x 1-x 2 +y 1-y 2 ≥y 1-y 2 -x 1-x 2 =y 1-x 1 -y 2-x 2 .故y 1-x 1 +y 2-x 2 =l AB >d AB ≥y 1-x 1 -y 2-x 2 .从而由y 1-x 1 +y 2-x 2 >y 1-x 1 -y 2-x 2 ，知y 1-x 1 y 2-x 2 ≥0，故B 正确；对于C ，考虑A 1,0 ，B 0,1 ，此时k =-1，所以1+k1+k 2AB =0.但d AB =1-0 +0-1 =2>0，故C 错误；对于D ，条件等价于关于x ,y 的方程组x +y =1x 2+y -r 2=r2，即x +y =1x 2+y 2=2ry 有四个解.如下图所示，该方程组可以直观地理解为正方形x +y =1和圆x 2+y 2=2ry 有四个公共点，直观的理解即为圆x 2+y 2=2ry 与矩形上方的两条边所在的直线均相交，且交点都在边的内部，而当r =2-1时，圆与上方的两条边相切，当r =12时，圆与上方的边的交点恰落在端点上，故可猜测取值范围是2-1,12，下面再使用二次方程工具严格证明此结论(也可以使用距离公式等其它方法证明).若x ,y 满足原方程组，则y =x 2+y 22r>0，故x +y =1.而r 2=x 2+y -r 2=x 2+1-x -r 2=2x 2-21-r x +1-r 2，故2x 2-21-r x +1-2r =0，同时还有x =1-y ≤1.由于当x 确定后，y 只有唯一可能的取值1-x ，而方程组有四个解，所以使得相应的y 存在的x 至少有四个.根据前面的讨论，这样的x 必满足2x 2-21-r x +1-2r =0，且x ≤1，所以方程2x 2-21-r x +1-2r =0必定在-1,1 上有四个解.这表明关于t 的方程2t 2-21-r t +1-2r =0在0,1 上一定有两个解，所以首先有判别式为正数，结合Δ=41-r 2-81-2r =41-2r +r 2-2+4r =4r 2+2r -1 ，就有r >2-1.同时，由于两根都在0,1 内，故两根乘积为正数，故1-2r >0，即r <12.这就证明了2-1<r <12.最后，当2-1<r <12时，原方程组的确存在四组不同的解：x =1-r +r 2+2r -12y =1+r -r 2+2r -12，x =-1-r +r 2+2r -12y =1+r -r 2+2r -12，x =1-r -r 2+2r -12y =1+r +r 2+2r -12，x =-1-r -r 2+2r -12y =1+r +r 2+2r -12.所以r 的取值范围是2-1,12，D 正确.故选：ABD .三、填空题9(2024·湖南长沙·三模)已知函数y =f x ，任取t ∈R ，定义集合A t ={y ∣y =f x ，点P t ,f t 、Q x ,f x 满足PQ ≤2 . 设M t ,m t 分别表示集合A t 中元素的最大值和最小值，记h t =M t -m t ，试解答以下问题:(1)若函数f x =x 2，则h 0 =;(2)若函数f x =sin π2x ，则h t 的最小正周期为.【答案】12【分析】(1)把t =0代入，然后计算A t 的最大值和最小值即可.(2)先表示出P t ,sin π2t 、Q x ,sin π2x ，然后根据P 的位置分类分析M t ,m t 的值.【详解】对于 1 ，因为函数 f x =x 2，当 t =0 时，P 0,0 、Q x ,x 2 且 x -0 2+x 2-0 2≤2，即 x 2+x 4≤2，令 x 2=m ，即 m 2+m ≤2，解得 0≤m ≤1，所以 M t =1，m t =0，所以 h 0 =1-0=1 ；对于 2 ，如图所示，若函数 f x =sin π2x ，此时，函数的最小正周期为 2ππ2=4，点 P t ,sin π2t 、Q x ,sin π2x ，当点 P 在 A 点时，点 Q 在曲线 OAB 上，M t =1，m t =0，h t =M t -m t =1;当点 P 在曲线上从 A 接近 B 时，h t 逐渐增大，当点 P 在 B 点时，M t =1，m t =-1h t =M t -m t =2;当点 P 在曲线上从 B 接近 C 时，h t 逐渐减小，当点 P 在 C 点时，M t =1，m t =0，h t =M t -m t =1;当点 P 在曲线上从 C 接近 D 时，h t 逐渐增大，当点 P 在 D 点时，M t =1，m t =-1，h t =M t -m t =2;当点 P 在曲线上从 D 接近 E 时，h t 逐渐减小，当点 P 在 E 点时，M t =1，m t =0，h t =M t -m t =1;依此类推，发现 h t 的最小正周期为 2 ，故答案为：(1)1；(2)2.10(2024·四川成都·模拟预测)定义在封闭的平面区域D 内任意两点的距离的最大值称为平面区域D 的“直径”．如图，已知锐角三角形的三个顶点A ，B ，C 在半径为1的圆上，角的对边分别为a ，b ，c ，A =π3．分别以△ABC 各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和△ABC 构成平面区域D ，则平面区域D 的“直径”的取值范围是．【答案】3+32,332【分析】(1)根据给定条件，利用正弦定理边化角，结合和角的正弦公式求出A ；(2)利用向量线性运算，结合向量的三角不等式求出区域D 的“直径”关系式，再利用三角恒等变换结合正弦函数性质求出范围即得.【详解】如图，F ，G 是AC ，BC 的中点，E ，F ，G ，H 四点共线，设P ，Q 分别为BC 、AC 上任意一点，PQ =PG +GF +FQ，PQ =PG +GF +FQ ≤PG +GF +FQ=HG +GF +FE =HE =a +b +c2，即PQ 的长小于等于△ABC 周长的一半，当PQ 与HE 重合时取等，同理，三个半圆上任意两点的距离最大值等于△ABC 周长的一半，因此区域D 的“直径”为△ABC 的周长l 的一半，由正弦定理得：a =2sinπ3=3，b =2sin B ，c =2sin C ，则l =3+2sin B +2sin 2π3-B =3+3sin B +3cos B =3+23sin B +π6.由△ABC 为锐角三角形，得0<B <π20<2π3-B <π2 ，即π6<B <π2，则π3<B +π6<2π3，32<sin B +π6≤1，于是3+3<l ≤33，所以平面区域D 的“直径”的取值范围是3+32,332.故答案为:3+32,332.11(2024·广东佛山·二模)近年，我国短板农机装备取得突破，科技和装备支撑稳步增强，现代农业建设扎实推进.农用机械中常见有控制设备周期性开闭的装置.如图所示，单位圆O 绕圆心做逆时针匀速圆周运动，角速度大小为2πrad /s ，圆上两点A ，B 始终满足∠AOB =2π3，随着圆O 的旋转，A ，B 两点的位置关系呈现周期性变化.现定义：A ，B 两点的竖直距离为A ，B 两点相对于水平面的高度差的绝对值.假设运动开始时刻，即t =0秒时，点A 位于圆心正下方：则t =秒时，A ，B 两点的竖直距离第一次为0；A ，B 两点的竖直距离关于时间t 的函数解析式为f t =.【答案】133sin 2πt +π3【分析】以O 为原点，以OA 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，利用三角函数定义表示点A ,B 的坐标，由已知结合和角的正弦公式化简即得.【详解】以O 为原点，以OA 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，由于角速ω=2πrad /s ，设点A cos 2πt -π2 ,sin 2πt -π2 ，圆上两点A 、B 始终保持∠AOB =2π3，则B cos 2πt +π6 ,sin 2πt +π6，要使A 、B 两点的竖直距高为0，则sin 2πt -π2 =sin 2πt +π6 ，第一次为0时，4πt -π3=π，解得t =13，f (t )=sin 2πt +π6 -sin 2πt -π2=32sin2πt +12cos2πt +cos2πt=32sin2πt +32cos2πt=3sin 2πt +π3.故答案为：13；3sin 2πt +π3【点睛】关键点点睛：涉及三角函数实际应用问题，探求动点坐标，找出该点所在射线为终边对应的角是关键，特别注意，始边是x 轴非负半轴.12(2024·山东枣庄·模拟预测)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 为平面上两点，定义d (A ,B )=x 1-x 2 +y 1-y 2 、已知点P 为抛物线C :x 2=2py (p >0)上一动点，点Q (3,0),d (P ,Q )的最小值为2，则p =；若斜率为32的直线l 过点Q ，点M 是直线l 上一动点，则d (P ,M )的最小值为．【答案】 232【分析】利用定义结合二次函数求最值计算即可得第一空，过P 作PN ⎳x 并构造直角三角形，根据d (P ,M )。
高中数学经典高考难题集锦(解析版)1
2021年10月18日姚杰的高中数学组卷一．选择题〔共17小题〕1．〔2021•浙江〕设△ABC，P0是边AB上一定点，满足，且对于边AB上任一点P，恒有那么〔〕A．∠ABC=90°B．∠BAC=90°C．AB=AC D．AC=BC2．〔2021•广东〕对任意两个非零的平面向量和，定义○=，假设平面向量、满足||≥||＞0，与的夹角，且○和○都在集合中，那么○=〔〕A．B．1 C．D．3．〔2007•天津〕设两个向量和，其中λ，m，α为实数．假设，那么的取值范围是〔〕A．[﹣6，1]B．[4，8]C．〔﹣∞，1]D．[﹣1，6]4．〔2021•广东〕对任意两个非零的平面向量和，定义°=．假设两个非零的平面向量，满足与的夹角，且•和•都在集合中，那么•=〔〕A．B．C．1 D．5．〔2021•山东〕设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，假设〔λ∈R〕，〔μ∈R〕，且，那么称A3，A4调和分割A1，A2，点C〔c，0〕，D〔d，O〕〔c，d∈R〕调和分割点A〔0，0〕，B〔1，0〕，那么下面说法正确的选项是〔〕A．C可能是线段AB的中点B．D可能是线段AB的中点C．C，D可能同时在线段AB上D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上6．〔2021•福建〕设，，为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足与不共线，⊥，||=||，那么|•|的值一定等于〔〕A．以，为邻边的平行四边形的面积B．以，为两边的三角形面积C．，为两边的三角形面积D．以，为邻边的平行四边形的面积7．〔2021•浙江〕，是平面内两个互相垂直的单位向量，假设向量满足〔﹣〕•〔﹣〕=0，那么||的最大值是〔〕A．1 B．2 C．D．8．〔2007•山东〕在直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，那么以下等式不成立的是〔〕A．B．C．D．9．〔2007•湖北〕连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量与向量的夹角为θ，那么的概率是〔〕A．B．C．D．10．〔2006•福建〕||=1，||=，•=0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n〔m、n∈R〕，那么等于〔〕A．B．3 C．D．11．〔2005•湖南〕P是△ABC所在平面上一点，假设，那么P是△ABC的〔〕A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心12．〔2005•江西〕在△OAB中，O为坐标原点，，那么当△OAB的面积达最大值时，θ=〔〕A．B．C．D．13．〔2005•安徽〕点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，那么点O是△ABC的〔〕A．三个内角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点14．平面上一点P在原坐标系中的坐标为〔0，m〕〔m≠0〕，而在平移后所得到的新坐标系中的坐标为〔m，0〕，那么新坐标系的原点O′在原坐标系中的坐标为〔A 〕A．〔﹣m，m〕B．〔m，﹣m〕C．〔m，m〕 D．〔﹣m，﹣m〕15．〔2021•桃城区校级模拟〕设向量，满足，，＜＞=60°，那么||的最大值等于〔〕A．2 B．C．D．116．〔2021•安徽〕在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||=||=•=2，那么点集{P|=λ+μ，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是〔〕A．B． C． D．17．〔2021•上海〕在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、．假设m、M分别为〔++〕•〔++〕的最小值、最大值，其中{i，j，k}⊆{1，2，3，4，5}，{r，s，t}⊆{1，2，3，4，5}，那么m、M满足〔〕A．m=0，M＞0 B．m＜0，M＞0 C．m＜0，M=0 D．m＜0，M＜0二．解答题〔共13小题〕18．〔2005•上海〕在直角坐标平面中，点P1〔1，2〕，P2〔2，22〕，P3〔3，23〕，…，P n〔n，2n〕，其中n是正整数．对平面上任一点A0，记A1为A0关于点P1的对称点，A2为A1关于点P2的对称点，…，A n为A n﹣1关于点P n的对称点．〔1〕求向量的坐标；〔2〕当点A0在曲线C上移动时，点A2的轨迹是函数y=f〔x〕的图象，其中f〔x〕是以3位周期的周期函数，且当x∈〔0，3]时，f〔x〕=lgx．求以曲线C为图象的函数在〔1，4]上的解析式；〔3〕对任意偶数n，用n表示向量的坐标．19．〔2021•上海〕定义向量=〔a，b〕的“相伴函数〞为f〔x〕=asinx+bcosx，函数f〔x〕=asinx+bcosx的“相伴向量〞为=〔a，b〕〔其中O为坐标原点〕．记平面内所有向量的“相伴函数〞构成的集合为S．〔1〕设g〔x〕=3sin〔x+〕+4sinx，求证：g〔x〕∈S；〔2〕h〔x〕=cos〔x+α〕+2cosx，且h〔x〕∈S，求其“相伴向量〞的模；〔3〕M〔a，b〕〔b≠0〕为圆C：〔x﹣2〕2+y2=1上一点，向量的“相伴函数〞f〔x〕在x=x0处取得最大值．当点M在圆C上运动时，求tan2x0的取值范围．20．〔2021•江苏〕如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2，AB=1，点N是BC 的中点，点M在CC1上．设二面角A1﹣DN﹣M的大小为θ，〔1〕当θ=90°时，求AM的长；〔2〕当时，求CM的长．21．〔2021•山东〕设m∈R，在平面直角坐标系中，向量a=〔mx，y+1〕，向量b=〔x，y﹣1〕，a⊥b，动点M〔x，y〕的轨迹为E．〔Ⅰ〕求轨迹E的方程，并说明该方程所表示曲线的形状；〔Ⅱ〕m=．证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A，B，且OA⊥OB〔O为坐标原点〕，并求该圆的方程；〔Ⅲ〕m=．设直线l与圆C：x2+y2=R2〔1＜R＜2〕相切于A1，且l与轨迹E只有一个公共点B1．当R为何值时，|A1B1|取得最大值？并求最大值．22．〔2007•四川〕设F1、F2分别是椭圆=1的左、右焦点．〔Ⅰ〕假设P是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点P的作标；〔Ⅱ〕设过定点M〔0，﹣2〕的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角〔其中O为坐标原点〕，求直线l的斜率k的取值范围．23．〔2021•丰台区校级一模〕如图，△OFP的面积为m，且=1．〔I〕假设，求向量与的夹角θ的取值范围；〔II〕设，且．假设以O为中心，F为焦点的椭圆经过点P，当取得最小值时，求此椭圆的方程．24．设、为平面向量，假设存在不全为零的实数λ，μ使得λ+μ=0，那么称、线性相关，下面的命题中，、、均为平面M上的向量．①假设=2，那么、线性相关；②假设、为非零向量，且⊥，那么、线性相关；③假设、线性相关，、线性相关，那么、线性相关；④向量、线性相关的充要条件是、共线．上述命题中正确的选项是〔写出所有正确命题的编号〕25．〔2005•安徽〕椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A、B两点，与=〔3，﹣1〕共线．〔Ⅰ〕求椭圆的离心率；〔Ⅱ〕设M为椭圆上任意一点，且，证明λ2+μ2为定值．26．〔2021•江苏模拟〕如图，D是△ABC的中点，，那么λ1+λ2=．27．〔2021•泗县校级模拟〕单位圆⊙O：x2+y2=1，A〔1，0〕，B是圆上的动点，∥，．〔1〕求点P的轨迹E的方程；〔2〕求过A作直线l被E截得的弦长的最小值．28．〔2021•西安校级模拟〕向量，动点M到定直线y=1的距离等于d，并且满足，其中O是坐标原点，k是参数．〔1〕求动点M的轨迹方程，并判断曲线类型；〔2〕当时，求的最大值和最小值；〔3〕如果动点M的轨迹是圆锥曲线，其离心率e满足，求实数k的取值范围．29．〔2021•上海〕在直角坐标平面xOy上的一列点A1〔1，a1〕，A2〔2，a2〕，…，A n〔n，a n〕，…，简记为{A n}、假设由构成的数列{b n}满足b n+1＞b n，n=1，2，…，其中为方向与y轴正方向相同的单位向量，那么称{A n}为T点列，〔1〕判断，，是否为T点列，并说明理由；〔2〕假设{A n}为T点列，且点A2在点A1的右上方、任取其中连续三点A k、A k+1、A k+2，判断△A k A k+1A k+2的形状〔锐角三角形、直角三角形、钝角三角形〕，并予以证明；〔3〕假设{A n}为T点列，正整数1≤m＜n＜p＜q满足m+q=n+p，求证：．30．〔2021•临川区校级一模〕设点F〔，0〕〔p为正常数〕，点M在x轴的负半轴上，点P 在y轴上，且，．〔Ⅰ〕当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹C的方程；〔Ⅱ〕直线l过点F且与曲线C相交于不同两点A，B，分别过点A，B作直线l1：x=﹣的垂线，对应的垂足分别为A1，B1，求的值；〔Ⅲ〕在〔Ⅱ〕的条件下，记，，，λ=，求λ的值．2021年10月18日姚杰的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题〔共17小题〕1．〔2021•浙江〕设△ABC，P0是边AB上一定点，满足，且对于边AB上任一点P，恒有那么〔〕A．∠ABC=90°B．∠BAC=90°C．AB=AC D．AC=BC考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：设||=4，那么||=1，过点C作AB的垂线，垂足为H，在AB上任取一点P，设HP0=a，那么由数量积的几何意义可得||2﹣〔a+1〕||+a≥0恒成立，只需△=〔a+1〕2﹣4a=〔a﹣1〕2≤0即可，由此能求出△ABC是等腰三角形，AC=BC．解答：解：设||=4，那么||=1，过点C作AB的垂线，垂足为H，在AB上任取一点P，设HP0=a，那么由数量积的几何意义可得，=||•||=||2﹣〔a+1〕〕||，•=﹣a，于是•≥••恒成立，整理得||2﹣〔a+1〕||+a≥0恒成立，只需△=〔a+1〕2﹣4a=〔a﹣1〕2≤0即可，于是a=1，因此我们得到HB=2，即H是AB的中点，故△ABC是等腰三角形，所以AC=BC．应选：D．点评：此题主要考查了平面向量的运算，向量的模及向量的数量积的概念，向量运算的几何意义的应用，还考查了利用向量解决简单的几何问题的能力2．〔2021•广东〕对任意两个非零的平面向量和，定义○=，假设平面向量、满足||≥||＞0，与的夹角，且○和○都在集合中，那么○=〔〕A．B．1 C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：空间向量及应用．分析：由题意可得•==，同理可得•==，故有n≥m 且m、n∈z．再由cos2θ=，与的夹角θ∈〔0，〕，可得cos2θ∈〔，1〕，即∈〔，1〕，由此求得n=3，m=1，从而得到•==的值．解答：解：由题意可得•====．同理可得•====．由于||≥||＞0，∴n≥m 且m、n∈z．∴cos2θ=．再由与的夹角θ∈〔0，〕，可得cos2θ∈〔，1〕，即∈〔，1〕．故有n=3，m=1，∴•==，应选C．点评：此题主要考查两个向量的数量积的定义，得到n≥m 且m、n∈z，且∈〔，1〕，是解题的关键，属于中档题．3．〔2007•天津〕设两个向量和，其中λ，m，α为实数．假设，那么的取值范围是〔〕A．[﹣6，1]B．[4，8]C．〔﹣∞，1]D．[﹣1，6]考点：相等向量与相反向量；平面向量共线〔平行〕的坐标表示．专题：压轴题．分析：利用，得到λ，m的关系，然后用三角函数的有界性求解的比值，为了简化，把换元．解答：解：由，，，可得，设代入方程组可得消去m化简得，再化简得再令代入上式得〔sinα﹣1〕2+〔16t2+18t+2〕=0可得﹣〔16t2+18t+2〕∈[0，4]解不等式得因而解得﹣6≤k≤1．应选A．点评：此题难度较大，题目涉及到向量、三角函数的有界性、还用到了换元和解不等式等知识，表达了化归的思想方法．4．〔2021•广东〕对任意两个非零的平面向量和，定义°=．假设两个非零的平面向量，满足与的夹角，且•和•都在集合中，那么•=〔〕A．B．C．1 D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：先求出•=，n∈N，•=，m∈N，再由cos2θ=∈〔0，〕，故m=n=1，从而求得•=的值．解答：解：∵°•=====，n∈N．同理可得°•====，m∈N．再由与的夹角，可得cosθ∈〔0，〕，∴cos2θ=∈〔0，〕，故m=n=1，∴•==，应选：D．点评：此题主要考查两个向量的数量积的定义，求得m=n=1，是解题的关键，属于中档题．5．〔2021•山东〕设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，假设〔λ∈R〕，〔μ∈R〕，且，那么称A3，A4调和分割A1，A2，点C〔c，0〕，D〔d，O〕〔c，d∈R〕调和分割点A〔0，0〕，B〔1，0〕，那么下面说法正确的选项是〔〕A．C可能是线段AB的中点B．D可能是线段AB的中点C．C，D可能同时在线段AB上D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上考点：平面向量坐标表示的应用．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得到c和d的关系，，只需结合答案考查方程的解的问题即可．A和B中方程无解，C中由c和d的范围可推出C和D点重合，由排除法选择答案即可．解答：解：由可得〔c，0〕=λ〔1，0〕，〔d，0〕=μ〔1，0〕，所以λ=c，μ=d，代入得〔1〕假设C是线段AB的中点，那么c=，代入〔1〕d不存在，故C不可能是线段AB 的中点，A错误；同理B错误；假设C，D同时在线段AB上，那么0≤c≤1，0≤d≤1，代入〔1〕得c=d=1，此时C和D点重合，与条件矛盾，故C错误．应选D点评：此题为新定义问题，考查信息的处理能力．正确理解新定义的含义是解决此题的关键．6．〔2021•福建〕设，，为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足与不共线，⊥，||=||，那么|•|的值一定等于〔〕A．以，为邻边的平行四边形的面积B．以，为两边的三角形面积C．，为两边的三角形面积D．以，为邻边的平行四边形的面积考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；压轴题．分析：利用向量的数量积公式表示出，有得到的夹角与夹角的关系，利用三角函数的诱导公式和条件表示成的模及夹角形式，利用平行四边形的面积公式得到选项．解答：解：假设与的夹角为θ，|•|=||•||•|cos＜，＞|=||•||•|cos〔90°±θ〕|=||•||•sinθ，即为以，为邻边的平行四边形的面积．应选A．点评：此题考查向量的数量积公式、三角函数的诱导公式、平行四边形的面积公式．7．〔2021•浙江〕，是平面内两个互相垂直的单位向量，假设向量满足〔﹣〕•〔﹣〕=0，那么||的最大值是〔〕A．1 B．2 C．D．考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：压轴题．分析：本小题主要考查向量的数量积及向量模的相关运算问题，所给出的两个向量是互相垂直的单位向量，这给运算带来很大方便，利用数量积为零的条件时要移项变化．解答：解：．∵，∵，∴，∵cosθ∈[﹣1，1]，∴的最大值是．应选C．点评：启发学生在理解数量积的运算特点的根底上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质，此题也可以利用数形结合，，对应的点A，B在圆x2+y2=1上，对应的点C在圆x2+y2=2上即可．8．〔2007•山东〕在直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，那么以下等式不成立的是〔〕A．B．C．D．考点：平面向量数量积的性质及其运算律．专题：压轴题．分析：根据，∴A是正确的，同理B也正确，再由D答案可变形为，通过等积变换判断为正确，从而得到答案．解答：解：∵，∴A是正确的，同理B也正确，对于D答案可变形为，通过等积变换判断为正确应选C．点评：此题主要考查平面向量的数量积的定义．要会巧妙变形和等积变换．9．〔2007•湖北〕连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量与向量的夹角为θ，那么的概率是〔〕A．B．C．D．考点：数量积表示两个向量的夹角；等可能事件的概率．专题：计算题；压轴题．分析：由题意知此题是一个古典概型，根据分步计数原理可以得到试验发生包含的所有事件数，满足条件的事件数要通过列举得到，题目大局部内容考查的是向量的问题，这是一个综合题．解答：解：由题意知此题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件数6×6，∵m＞0，n＞0，∴=〔m，n〕与=〔1，﹣1〕不可能同向．∴夹角θ≠0．∵θ∈〔0，】•≥0，∴m﹣n≥0，即m≥n．当m=6时，n=6，5，4，3，2，1；当m=5时，n=5，4，3，2，1；当m=4时，n=4，3，2，1；当m=3时，n=3，2，1；当m=2时，n=2，1；当m=1时，n=1．∴满足条件的事件数6+5+4+3+2+1∴概率P==．应选C．点评：向量知识，向量观点在数学．物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份〞能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点．10．〔2006•福建〕||=1，||=，•=0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n〔m、n∈R〕，那么等于〔〕A．B．3 C．D．考点：向量的共线定理；向量的模．专题：计算题；压轴题．分析：将向量沿与方向利用平行四边形原那么进行分解，构造出三角形，由题目，可得三角形中三边长及三个角，然后利用正弦定理解三角形即可得到答案．此题如果没有点C在∠AOB内的限制，应该有两种情况，即也可能为OC在OA顺时针方向30°角的位置，请大家注意分类讨论，防止出错．解答：解：法一：如下图：=+，设=x，那么=．=∴==3．法二：如下图，建立直角坐标系．那么=〔1，0〕，=〔0，〕，∴=m+n=〔m，n〕，∴tan30°==，∴=3．应选B点评：对一个向量根据平面向量根本定理进行分解，关键是要根据平行四边形法那么，找出向量在基底两个向量方向上的分量，再根据条件构造三角形，解三角形即可得到分解结果．11．〔2005•湖南〕P是△ABC所在平面上一点，假设，那么P是△ABC的〔〕A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心考点：平面向量数量积的运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：计算题；压轴题．分析：此题考查的知识点是平面向量的数量积运算，由，我们任取其中两个相等的量，如，根据平面向量乘法分配律，及减法法那么，我们可得，同理我们也可以得到PA⊥BC，PC⊥AB，由三角形垂心的性质，我们不难得到结论．解答：解：∵，那么由得：，∴PB⊥AC同理PA⊥BC，PC⊥AB，即P是垂心应选D点评：重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍．该点叫做三角形的重心．外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点．该点叫做三角形的外心．垂心定理：三角形的三条高交于一点．该点叫做三角形的垂心．内心定理：三角形的三内角平分线交于一点．该点叫做三角形的内心．12．〔2005•江西〕在△OAB中，O为坐标原点，，那么当△OAB的面积达最大值时，θ=〔〕A．B．C．D．考点：数量积表示两个向量的夹角；向量在几何中的应用．专题：压轴题．分析：在边长为1的正方形中，减去要求的三角形以外的三角形的面积，把要求的结果表示为有三角函数的代数式，后面题目变为求三角函数的最值问题，逆用二倍角公式得到结果．解答：解：在直角坐标系里△OAB的面积=1﹣==∵θ∈〔0，]，∴2θ∈〔0，π]∴当2θ=π时取得最大，即θ=应选D．点评：此题考查简单的图形面积和三角函数的最值问题，用三角函数表示的式子，因此代入后，还要进行简单的三角函数变换，二倍角公式逆用．13．〔2005•安徽〕点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，那么点O是△ABC的〔〕A．三个内角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点考点：平面向量数量积的运算；向量在几何中的应用．专题：计算题；压轴题．分析：由得到，从而所以OB⊥AC，同理得到OA⊥BC，所以点O是△ABC的三条高的交点解答：解；∵∴；∴；∴OB⊥AC，同理由得到OA⊥BC∴点O是△ABC的三条高的交点应选D点评：此题考查向量的数量积及向量的运算，对学生有一定的能力要求14．平面上一点P在原坐标系中的坐标为〔0，m〕〔m≠0〕，而在平移后所得到的新坐标系中的坐标为〔m，0〕，那么新坐标系的原点O′在原坐标系中的坐标为〔A 〕A．〔﹣m，m〕B．〔m，﹣m〕C．〔m，m〕 D．〔﹣m，﹣m〕考点：向量在几何中的应用．专题：压轴题；阅读型．分析：利用平移公式求出平移向量，再利用平移公式求出新坐标系的原点O′在原坐标系中的坐标．解答：解：设按向量，那么新坐标系的原点O′在原坐标系中的坐标为〔k，l〕那么据平移公式故∴解得即新坐标系的原点O′在原坐标系中的坐标为〔﹣m，m〕应选项为A点评：此题考查平移公式的应用．15．〔2021•桃城区校级模拟〕设向量，满足，，＜＞=60°，那么||的最大值等于〔〕A．2 B．C．D．1考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：计算题；压轴题．分析：利用向量的数量积求出的夹角；利用向量的运算法那么作出图；结合图，判断出四点共圆；利用正弦定理求出外接圆的直径，求出最大值．解答：解：∵，∴的夹角为120°，设，那么；=如下图那么∠AOB=120°；∠ACB=60°∴∠AOB+∠ACB=180°∴A，O，B，C四点共圆∵∴∴由三角形的正弦定理得外接圆的直径2R=当OC为直径时，模最大，最大为2应选A点评：此题考查向量的数量积公式、向量的运算法那么、四点共圆的判断定理、三角形的正弦定理．16．〔2021•安徽〕在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||=||=•=2，那么点集{P|=λ+μ，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是〔〕A．B． C． D．考点：平面向量的根本定理及其意义；二元一次不等式〔组〕与平面区域；向量的模．专题：压轴题；平面向量及应用．分析：由两定点A，B满足==2，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形，设出两个定点的坐标，再设出P点坐标，由平面向量根本定理，把P的坐标用A，B的坐标及λ，μ表示，把不等式|λ|+|μ|≤1去绝对值后可得线性约束条件，画出可行域可求点集P所表示区域的面积．解答：解：由两定点A，B满足==2，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形．不妨设A〔〕，B〔〕．再设P〔x，y〕．由，得：．所以，解得①．由|λ|+|μ|≤1．所以①等价于或或或．可行域如图中矩形ABCD及其内部区域，那么区域面积为．应选D．点评：此题考查了平面向量的根本定理及其意义，考查了二元一次不等式〔组〕所表示的平面区域，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键在于读懂题意，属中档题．17．〔2021•上海〕在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、．假设m、M分别为〔++〕•〔++〕的最小值、最大值，其中{i，j，k}⊆{1，2，3，4，5}，{r，s，t}⊆{1，2，3，4，5}，那么m、M满足〔〕A．m=0，M＞0 B．m＜0，M＞0 C．m＜0，M=0 D．m＜0，M＜0考点：平面向量数量积的运算；进行简单的合情推理．专题：压轴题；平面向量及应用．分析：利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于0，从而可结论．解答：解：由题意，以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、，∴利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于0，∵m、M分别为〔++〕•〔++〕的最小值、最大值，∴m＜0，M＜0应选D．点评：此题考查向量的数量积运算，考查学生分析解决问题的能力，分析出向量数量积的正负是关键．二．解答题〔共13小题〕18．〔2005•上海〕在直角坐标平面中，点P1〔1，2〕，P2〔2，22〕，P3〔3，23〕，…，P n〔n，2n〕，其中n是正整数．对平面上任一点A0，记A1为A0关于点P1的对称点，A2为A1关于点P2的对称点，…，A n为A n﹣1关于点P n的对称点．〔1〕求向量的坐标；〔2〕当点A0在曲线C上移动时，点A2的轨迹是函数y=f〔x〕的图象，其中f〔x〕是以3位周期的周期函数，且当x∈〔0，3]时，f〔x〕=lgx．求以曲线C为图象的函数在〔1，4]上的解析式；〔3〕对任意偶数n，用n表示向量的坐标．考点：平面向量的综合题．专题：综合题；压轴题；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：〔1〕利用中点坐标公式求出点A1，A2的坐标，再利用向量的坐标公式求出的坐标．〔2〕由判断出y=f〔x〕的图象是由C按平移得到的；得到C是由f〔x〕左移两个单位，下移4个单位得到，利用图象变换求出C的解析式．〔3〕利用向量的运算法那么将有以P n为起点终点的向量表示，利用向量的坐标公式求出各向量的坐标，利用等比数列的前n项和公式求出向量的坐标．解答：解：〔1〕设点A0〔x，y〕，A1为A0关于点P1的对称点，A1的坐标为〔2﹣x，4﹣y〕，A1为P2关于点的对称点A2的坐标为〔2+x，4+y〕，∴={2，4}．〔2〕∵={2，4}，∴f〔x〕的图象由曲线C向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到．因此，设曲线C是函数y=g〔x〕的图象，其中g〔x〕是以3为周期的周期函数，且当x∈〔﹣2，1]时，g〔x〕=lg〔x+2〕﹣4．于是，当x∈〔1，4]时，g〔x〕=lg〔x﹣1〕﹣4．〔3〕=++…+，由于=，得=2〔++…+〕=2〔{1，2}+{1，23}+…+{1，2n﹣1}〕=2{，}={n，}点评：此题考查中点坐标公式、向量的坐标公式、图象的平移变换、等比数列的前n项和公式．19．〔2021•上海〕定义向量=〔a，b〕的“相伴函数〞为f〔x〕=asinx+bcosx，函数f〔x〕=asinx+bcosx的“相伴向量〞为=〔a，b〕〔其中O为坐标原点〕．记平面内所有向量的“相伴函数〞构成的集合为S．〔1〕设g〔x〕=3sin〔x+〕+4sinx，求证：g〔x〕∈S；〔2〕h〔x〕=cos〔x+α〕+2cosx，且h〔x〕∈S，求其“相伴向量〞的模；〔3〕M〔a，b〕〔b≠0〕为圆C：〔x﹣2〕2+y2=1上一点，向量的“相伴函数〞f〔x〕在x=x0处取得最大值．当点M在圆C上运动时，求tan2x0的取值范围．考点：平面向量的综合题；复合三角函数的单调性．专题：计算题；压轴题；新定义．分析：〔1〕先利用诱导公式对其化简，再结合定义即可得到证明；〔2〕先根据定义求出其相伴向量，再代入模长计算公式即可；〔3〕先根据定义得到函数f〔x〕取得最大值时对应的自变量x0；再结合几何意义求出的范围，最后利用二倍角的正切公式即可得到结论．解答：解：〔1〕g〔x〕=3sin〔x+〕+4sinx=4sinx+3cosx，其‘相伴向量’=〔4，3〕，g〔x〕∈S．〔2〕h〔x〕=cos〔x+α〕+2cosx=〔cosxcosα﹣sinxsinα〕+2cosx=﹣sinαsinx+〔cosα+2〕cosx∴函数h〔x〕的‘相伴向量’=〔﹣sinα，cosα+2〕．那么||==．〔3〕的‘相伴函数’f〔x〕=asinx+bcosx=sin〔x+φ〕，其中cosφ=，sinφ=．当x+φ=2kπ+，k∈Z时，f〔x〕取到最大值，故x0=2kπ+﹣φ，k∈Z．∴tanx0=tan〔2kπ+﹣φ〕=cotφ=，tan2x0===．为直线OM的斜率，由几何意义知：∈[﹣，0〕∪〔0，]．令m=，那么tan2x0=，m∈[﹣，0〕∪〔0，}．当﹣≤m＜0时，函数tan2x0=单调递减，∴0＜tan2x0≤；当0＜m≤时，函数tan2x0=单调递减，∴﹣≤tan2x0＜0．综上所述，tan2x0∈[﹣，0〕∪〔0，]．点评：本体主要在新定义下考查平面向量的根本运算性质以及三角函数的有关知识．是对根底知识的综合考查，需要有比拟扎实的根本功．20．〔2021•江苏〕如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2，AB=1，点N是BC 的中点，点M在CC1上．设二面角A1﹣DN﹣M的大小为θ，〔1〕当θ=90°时，求AM的长；〔2〕当时，求CM的长．考点：向量在几何中的应用．专题：立体几何．分析：〔1〕建立如下图的空间直角坐标系，D﹣xyz，设CM=t〔0≤t≤2〕，通过，求出平面DMN的法向量为，，求出平面A1DN 的法向量为，推出〔1〕利用θ=90°求出M的坐标，然后求出AM 的长．〔2〕利用cos=以及，求出CM 的长．解答：解：建立如下图的空间直角坐标系，D﹣xyz，设CM=t〔0≤t≤2〕，那么各点的坐标为A〔1，0，0〕，A1〔1，0，2〕，N〔，1，0〕，M〔0，1，t〕；所以=〔，1，0〕.=〔1，0，2〕，=〔0，1，t〕设平面DMN的法向量为=〔x1，y1，z1〕，那么，，即x1+2y1=0，y1+tz1=0，令z1=1，那么y1=﹣t，x1=2t所以=〔2t，﹣t，1〕，设平面A1DN的法向量为=〔x2，y2，z2〕，那么，，即x2+2z2=0，x2+2y2=0，令z2=1那么y2=1，x2=﹣2所以=〔﹣2，1，1〕，〔1〕因为θ=90°，所以解得t=从而M〔0，1，〕，所以AM=〔2〕因为，所以，cos==因为=θ或π﹣θ，所以=解得t=0或t=根据图形和〔1〕的结论，可知t=，从而CM的长为．点评：此题是中档题，考查直线与平面，直线与直线的位置关系，考查转化思想的应用，向量法解答立体几何问题，方便简洁，但是注意向量的夹角，计算数据的准确性．21．〔2021•山东〕设m∈R，在平面直角坐标系中，向量a=〔mx，y+1〕，向量b=〔x，y﹣1〕，a⊥b，动点M〔x，y〕的轨迹为E．〔Ⅰ〕求轨迹E的方程，并说明该方程所表示曲线的形状；〔Ⅱ〕m=．证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A，B，且OA⊥OB〔O为坐标原点〕，并求该圆的方程；〔Ⅲ〕m=．设直线l与圆C：x2+y2=R2〔1＜R＜2〕相切于A1，且l与轨迹E只有一个公共点B1．当R为何值时，|A1B1|取得最大值？并求最大值．考点：平面向量数量积的运算；圆的标准方程；轨迹方程；直线和圆的方程的应用．专题：平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：〔1〕由a⊥b，所以a•b=0，代入坐标化简整理即得轨迹E的方程mx2+y2=1．此为二元二次曲线，可分m=0、m=1、m＞0且m≠1和m＜0四种情况讨论；〔2〕当m=时，轨迹E的方程为=1，表示椭圆，设圆的方程为x2+y2=r2〔0＜r＜1〕，当切线斜率存在时，可设圆的任一切线方程为y=kx+t，由直线和圆相切可得k和t的关系，由OA⊥OB，所以x1x2+y1y1=0，只需联立直线和圆的方程，消元，维达定理，又可以得到k和t的关系，这样就可解出r．当切线斜率不存在时，代入检验即可．〔3〕因为l与圆C相切，故△OA1B1为直角△，故|A1B1|2=|OB1|2﹣|OA1|2，只需求出OB1和OA1的长度即可，直线l与圆C相切，且与椭圆相切找出关系，将|A1B1|表示为R的函数，转化为函数求最值．解答：解：〔Ⅰ〕因为a⊥b，所以a•b=0，即〔mx，y+1〕•〔x，y﹣1〕=0，故mx2+y2﹣1=0，即mx2+y2=1．当m=0时，该方程表示两条直线；当m=1时，该方程表示圆；当m＞0且m≠1时，该方程表示椭圆；当m＜0时，该方程表示双曲线．〔Ⅱ〕当时，轨迹E的方程为，设圆的方程为x2+y2=r2〔0＜r＜1〕，当切线斜率存在时，可设圆的任一切线方程为y=kx+t，A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，所以，即t2=r2〔1+k2〕．①因为OA⊥OB，所以x1x2+y1y1=0，即x1x2+〔kx1+t〕〔kx2+t〕=0，整理得〔1+k2〕x1x2+kt〔x1+x2〕+t2=0．②由方程组消去y得〔1+4k2〕x2+8ktx+4t2﹣4=0．③由韦达定理代入②式并整理得〔1+k2〕，即5t2=4+4k2．结合①式有5r2=4，r=，当切线斜率不存在时，x2+y2=也满足题意，故所求圆的方程为x2+y2=．〔Ⅲ〕显然，直线l的斜率存在，设l的方程y=k1x+t1，B1〔x3，y3〕轨迹E的方程为．由直线l与圆相切得t12=R2〔1+k12〕，且对应③式有△=〔8k1t1〕2﹣4〔1+4k12〕〔4t12﹣4〕=0，即t12=1+4k12，由方程组，解得当l与轨迹E只有一个公共点时，对应的方程③应有两个相等的．由韦达定理x32===，又B1在椭圆上，所以，因为l与圆C相切，所以|A1B1|2=|OB1|2﹣|OA1|2=x32+y32﹣R2===≤，其中，等号成立的条件，。
高中数学新题型选编(共70个题)(一)
高中数学新题型选编（共70个题）（一）1、（Ⅰ）已知函数：1()2()(),([0,),)n n n f x x a x a x n N -*=+-+∈+∞∈求函数()f x 的最小值;（Ⅱ）证明:()(0,0,)22n n na b a b a b n N *++≥>>∈；（Ⅲ）定理:若123,,k a a a a L 均为正数,则有123123()n n nn nk k a a a a a a a a k k++++++++≥L L 成立(其中2,,)k k N k *≥∈为常数．请你构造一个函数()g x ，证明：当1231,,,,,k k a a a a a +L 均为正数时，12311231()11n n n nn k k a a a a a a a a k k ++++++++++≥++L L ．解：（Ⅰ）令111'()2()0n n n f x nx n a x ---=-+=得11(2)()2n n x a x x a x x a --=+∴=+∴=…2分 当0x a ≤≤时，2x x a <+ '()0f x ∴≤ 故()f x 在[0,]a 上递减．当,'()0x a f x >>故()f x 在(,)a +∞上递增．所以，当x a =时，()f x 的最小值为()0f a =.….4分 （Ⅱ）由0b >，有()()0f b f a ≥= 即1()2()()0n n n n f b a b a b -=+-+≥故 ()(0,0,)22n n na b a b a b n N *++≥>>∈．………………………………………5分（Ⅲ）证明:要证： 12311231()11n n n nn k k a a a a a a a a k k ++++++++++≥++L L只要证：112311231(1)()()n n n n n n k k k a a a a a a a a -+++++++≥++++L L设()g x =1123123(1)()()n n n nn n k a a a x a a a x -+++++-++++L L …………………7分 则11112'()(1)()n n n k g x k nx n a a a x ---=+⋅-++++L令'()0g x =得12ka a a x k+++=L …………………………………………………….8分当0x ≤≤12ka a a k+++L 时，1112'()[(]()n n k g x n kx x n a a a x --=+-++++L≤111212()()0n n k k n a a a x n a a a x --++++-++++=L L故12()[0,]k a a a g x k +++L 在上递减，类似地可证12()(,)ka a a g x k++++∞L 在递增所以12()k a a a x g x k +++=L 当时，的最小值为12()ka a a g k+++L ………………10分而11212121212()(1)[()]()n n n n n nk k k k k a a a a a a a a a g k a a a a a a k k k-+++++++++=+++++-++++L L L L L=1121212(1)[()()(1)()]n n n n n n n k k k nk k a a a a a a k a a a k-++++++++-++++L K L=11212(1)[()()]n n n n n n k k nk k a a a k a a a k -++++-+++L L =1112121(1)[()()]n n n n n n k k n k k a a a a a a k---++++-+++L L 由定理知: 11212()()0n n n nn k k k a a a a a a -+++-+++≥L L 故12()0k a a a g k+++≥L1211[0,)()()0kk k a a a a g a g k+++++∈+∞∴≥≥L Q故112311231(1)()()n n n n n n k k k a a a a a a a a -+++++++≥++++L L即: 12311231()11n n n nn k k a a a a a a a a k k ++++++++++≥++L L .…………………………..14分答案：5354321b b b b b b =••••3、10．定义一种运算“*”：对于自然数n 满足以下运算性质：（i ）1*1=1，（ii ）（n +1）*1=n *1+1，则n *1等于A ．nB ．n +1C ．n -1D ．2n 答案：D4、若)(n f 为*)(12N n n ∈+的各位数字之和，如：1971142=+，17791=++，则17)14(=f ;记=∈===+)8(*,)),(()(,)),(()(),()(20081121f N k n f f n f n f f n f n f n f k k 则K ____答案：55、下面的一组图形为某一四棱锥S-ABCD 的侧面与底面。
江苏专版2023_2024学年新教材高中数学第1章集合培优课1集合中的新定义问题课件苏教版必修第一册
故所有奇子集的容量之和为 + + + × + × + × + × × = .故答
案为47.
题后反思 对重新定义新模型问题，要读懂题意，用列举法分情况讨论.
跟踪训练3 已知集合 = {1,2,3,4} , ⊆ ，集合 中所有元素的乘积称为集合 的
“累积值”，且规定：当集合 只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的
累积值为0，设集合 的累积值为 .
2
（1）若 = 3 ，则这样的集合 共有___个；
[解析] 若 = ，由“累积值”的定义，得 = {} 或 = {, } ，这样的集合 共有2个.
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
01
要点深化·核心知识提炼
集合中的新定义问题的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出
几个新模型来创设全新的问题情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，
联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应
1
−
6
+
5
进
3
跟踪训练2 设全集 = {1,2,3,4,5,6} ，且 的子集可表示由0，1组成的6位字符串，
如： {2,4} 表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字
符串010100，并规定，空集表示的字符串为000000.对于任意两个集合 ， ，我们定
题后反思 掌握新概念的特点，确定 , 中一个集合中的元素，对另一个集合进行讨论.
(完整word版)高中数学新定义类型题
同步练习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I 卷（选择题）一、选择题（本题共22道小题，每小题5分，共110分）1.定义,max{,},a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩，设实数,x y 满足约束条件22x y ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，则max{4,3}z x y x y =+-的取值范围是（ ）（A ）[8,10]- （B ） [7,10]-（C ）[6,8]- （D ）2.对于复数a,b,c,d ,若集合{}S=a,b,c,d 具有性质“对任意x,y S ∈,必有xy S ∈”,则当22a=1b =1c =b ⎧⎪⎨⎪⎩时,b+c+d 等于 ( ) A 、1 B 、-1 C 、0 D 、i 3.在实数集R 中定义一种运算“*”，R b a ∈∀,，a b *为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意R a ∈，0a a *=； （2）对任意,R a b ∈，(0)(0)a b ab a b *=+*+*．关于函数1()()x x f x e e=*的性质，有如下说法：①函数)(x f 的最小值为3；②函数)(x f 为偶函数；③函数)(x f 的单调递增区间为(,0]-∞．其中正确说法的序号为（ ） A ．①B ．①②C ．①②③D ．②③4.设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A 且k ＋1∉A ，那么称k 是集合A 的一个“好元素”．给定集合S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有（ ）A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个 5.对于集合∈+==k k x x S ，12{N }和集合}{S b a b a x x T ∈⊕==，，， 若满足S T ⊆，则集合T 中的运算“⊕”可以是A ．加法B ．减法C ．乘法D ．除法 6.设函数)(x f 的定义域为R ，如果存在函数()(g x ax a =为常数），使得)()(x g x f ≥对于一切实数x 都成立，那么称)(x g 为函数)(x f 的一个承托函数. 已知对于任意(0,1)k ∈，()g x ax =是函数()e x kf x =的一个承托函数，记实数a 的取值范围为集合M ，则有（ ）A. 1e ,e M M -∉∉B. 1e ,e M M -∉∈C.1e ,e M M -∈∉ D.1e ,e M M -∈∈ 7.用C (A )表示非空集合A 中的元素个数，定义⎩⎨⎧<-≥-=-)()(),()()()(),()(||B C A C A C B C B C A C B C A C B A . 若}2,1{=A ，2{|23|}B x x x a =+-=，且|A-B|=1，由a 的所有可能值构成的集合为S ，那么C (S )等于( )A ．1B ．2C ．3D ．48.对于集合M 、N ，定义M －N ＝{x |x ∈M 且x ∉N }，M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M )，设A ＝{y |y ＝3x ， x ∈R}，B ＝{y |y ＝－122++x x ，x ∈R}，则A ⊕B 等于( )A ．[0,2)B ．(0,2]C ．(－∞，0]∪(2，＋∞)D ．(－∞，0)∪[2，＋∞)9.在实数集R 中定义一种运算“*”，R b a ∈∀,，a b *为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意R a ∈，0a a *=；（2）对任意,R a b ∈，(0)(0)a b ab a b *=+*+*．的性质，有如下说法：①函数)(x f 的最小值为3；②函数)(x f 为偶函数；③函数)(x f 的单调递增区间为(,0]-∞．其中所有正确说法的个数为( ) A ．0B．1C ．2．310.给出定义:（其中m 则m 叫做与实数x “亲密的整数”, 记作{}x m =,数()y f x =在(0,1)x ∈上是增函数;②函数()y f x =的图象关于直线称;③函数()y f x =是周期函数,最小正周期为1;④当(0,2]x ∈时，函数()()ln g x f x x =-有两个零点. 其中正确命题的序号是____________.A ．②③④B ．①③C ．①②D ．②④ 11.定义运算a b ad bc c d=-，若函数()123x f x xx -=-+在(,)m -∞上单调递减，则实数m 的取值范围是A ．(2,)-+∞B ．[2,)-+∞C ．(,2)-∞-D ． (,2]-∞-12.对于函数()f x ，若,,a b c R ∀∈，()()(),,f a f b f c 为某一三角形的三边长，则称()f x 为“可构造三角形函数”，已知函数()1x xe tf x e +=+是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是A ．[)0,+∞B ．[]0,1C ．[]1,2D ．1[,2]213.对于集合A ，如果定义了一种运算“⊕”，使得集合A 中的元素间满足下列4个条件：（ⅰ）,a b A ∀∈，都有a b A ⊕∈；（ⅱ）e A ∃∈，使得对a A ∀∈，都有e a a e a ⊕=⊕=；（ⅲ）a A ∀∈，a A '∃∈，使得a a a a e ''⊕=⊕=；（ⅳ）,,a b c A ∀∈，都有()()a b c a b c ⊕⊕=⊕⊕，则称集合A 对于运算“⊕”构成“对称集”．下面给出三个集合及相应的运算“⊕”： ①{}A =整数，运算“⊕”为普通加法；②{}A =复数，运算“⊕”为普通减法；③{}A =正实数，运算“⊕”为普通乘法．其中可以构成“对称集”的有( ) A ①②B ①③C ②③D ①②③14.设()f x 与()g x 是定义在同一区间[a ，b]上的两个函数，若函数()()y f x g x =-在[,]x a b ∈上有两个不同的零点，则称()f x 和()g x 在[,]a b 上是“关联函数”，区间[,]a b 称为“关联区间”．若2()34f x x x =-+与()2g x x m =+在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围是( )A. 9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦ B ．[－1,0] C ．(－∞，－2] D. 9,4⎛⎫--∞ ⎪⎝⎭ 15.设函数()f x 的定义域为D，如果对于任意的1x D ∈，存在唯一的2x D ∈，使得12()()2f x f x C+= 成立（其中C 为常数），则称函数()y f x =在D 上的均值为C ， 现在给出下列4个函数： ①3y x = ②4sin y x = ③lg y x = ④2x y = ，则在其定义域上的均值为 2的所有函数是下面的 （ ）A. ①②B. ③④C. ①③④D. ①③16.对任意实数,a b 定义运算""*如下()()a ab a b b a b ≤⎧⎪*=⎨>⎪⎩，则函数x x x f 221log )23(log )(*-=的值域为（ ）A. [)0,+∞B. (],0-∞C. ⎥⎦⎤ ⎝⎛0,32log 2D. 22log ,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 17.设B A ,是非空集合，定义},|{B A x B A x x B A ⋂∉⋃∈=⨯且，已知}20|{≤≤=x x A ，}0|{≥=x x B ，则B A ⨯等于（ ）.A ),2(+∞ .B ),2[]1,0[+∞⋃ .C ),2()1,0[+∞⋃ .D ),2(]1,0[+∞⋃18.设集合A ⊆R ，如果x 0∈R 满足：对任意a ＞0，都存在x ∈A ，使得0＜|x ﹣x 0|＜a ，那么称x 0为集合A 的一个聚点．则在下列集合中： （1）Z +∪Z ﹣； （2）R +∪R ﹣；（3）{x|x=，n ∈N *}； （4）{x|x=，n ∈N *}．其中以0为聚点的集合有（ ） A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ．4个19.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，例如解析式为y ＝2x 2＋1，值域为{9}的“孪生函数”三个：（1）y ＝2x 2＋1，}2{-∈x ； （2）y ＝2x 2＋1，}2{∈x ； （3）y ＝2x 2＋1，}2,2{-∈x 。
数学创新题的类型及特征
数学创新题的类型及特征近几年高考数学试题越来越重视对数学基本概念及其性质、基本技能和基本方法的考查。
当然，高考数学试题对数学“双基”的考查并非为考“双基”而考“双基”，而是将数学这门基础学科作为一个整体，进行综合的考查，要求考生能够运用数学的思想方法，灵活和正确地运用数学知识解决问题。
纵观近四年我省高考数学试卷，一直在寻求“双基”与“创新”之间的一个平衡。
有许多新颖别致的创新试题，这些试题的编制，是以“双基”为立足点，进行横向类比、纵向加深或陈题开放。
这些数学创新题目以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，其背景新颖，运算量不大，但思维容量大，它没有明确的条件或结论，或解题方向不明，自由度大，具有相当大的不确定性，需要通过对问题的观察、分析、类比、归纳等处理过程方能解决，靠“题海战术”和大量的重复操练是无法达到的，是训练和考查学生的数学思维能力、分析问题和解决问题的能力的好题型。
一、探究型创新题主要考查学生的综合素质与创新精神，是创造力的体现。
解答探究型创新题时应注意抓住有限的（或隐含的）题设条件，通过联想创造性地运用知识，设计出解决问题的方法，化归与转化是解决这类问题常用的数学思想。
例1.（2004年高考福建文22）已知f（x）=4x+ax2— x3（x∈R）在区间[—1，1]上是增函数。
（1）求实数a的值组成的集合A。
（2）设关于x的方程f（x）=2x+ x3的两个非零实根为x1、x2。
试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1≥|x1—x2|对任意a∈A及t∈[—1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由。
评析：本题的第二问以方程为“外衣”，综合考查不等式等有关知识，考查数形结合及分类讨论思想和灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力。
由4x+ax2— x3=2x+ x3，得x=0，或x2—ax—2=0。
x1、x2是方程x2—ax—2=0的两个非零实根，求出|x1—x2|的最大值为3后，当且仅当m2+tm+1≥3对任意t∈[—1，1]恒成立，即m2+tm—2≥0对任意t∈[—1，1]恒成立。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
同步练习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明评卷人得分一、选择题（本题共22道小题，每小题5分，共110分）1.定义,max{,},a a b a b b ab，设实数,x y 满足约束条件22x y，则max{4,3}zxy xy 的取值范围是（）（A ）[8,10]（B ）[7,10]（C ）[6,8]（D ）2.对于复数a,b,c,d ,若集合S=a,b,c,d 具有性质“对任意x,y S ,必有xy S ”,则当22a=1b =1c =b时,b+c+d 等于 ( ) A 、1 B 、-1 C、0 D、i3.在实数集R 中定义一种运算“”，R b a,，a b 为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意R a ，0a a ；（2）对任意,R a b ，(0)(0)a b ab a b ．关于函数1()()xxf x e e的性质，有如下说法：①函数)(x f 的最小值为3；②函数)(x f 为偶函数；③函数)(x f 的单调递增区间为(,0]．其中正确说法的序号为（）A ．①B ．①②C ．①②③D ．②③4.设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1?A 且k ＋1?A ，那么称k 是集合A 的一个“好元素”．给定集合S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有（） A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个5.对于集合kk x x S ，12{N }和集合}{S b a b a x x T ，，，若满足S T，则集合T 中的运算“”可以是A ．加法 B．减法 C．乘法D．除法6.设函数)(x f 的定义域为R ，如果存在函数()(g x ax a 为常数），使得)()(x g x f 对于一切实数x 都成立，那么称)(x g 为函数)(x f 的一个承托函数. 已知对于任意(0,1)k ，()g x ax 是函数()e xk f x 的一个承托函数，记实数a 的取值范围为集合M ，则有（）A.1e,e M M B. 1e,eM M C.1e,e M MD. 1e ,eM M7.用C (A )表示非空集合A中的元素个数，定义)()(),()()()(),()(||B C A C A C B C B C A C B C A C B A .若}2,1{A ，2{|23|}Bx xx a ，且|A-B|=1，由a 的所有可能值构成的集合为S ，那么C (S )等于( )A ．1B ．2C ．3D ．48.对于集合M 、N ，定义M －N ＝{x|x ∈M 且xN}，M ⊕N ＝(M －N)∪(N －M)，设A＝{y|y ＝3x ， x ∈R}，B ＝{y|y ＝－122x x，x ∈R}，则A ⊕B 等于()A ．[0,2)B ．(0,2]C ．(－∞，0]∪(2，＋∞)D ．(－∞，0)∪[2，＋∞）9.在实数集R 中定义一种运算“”，R ba,，a b 为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意R a，0a a ；（2）对任意,R a b ，(0)(0)a b ab a b ．关于函数1()()xxf x e e 的性质，有如下说法：①函数)(x f 的最小值为3；②函数)(x f 为偶函数；③函数)(x f 的单调递增区间为(,0]．其中所有正确说法的个数为( )A ．B ．1C ．2D ．310.给出定义:若11(,]22xm m（其中m 为整数）,则m 叫做与实数x “亲密的整数”, 记作{}x m ,在此基础上给出下列关于函数(){}f x x x 的四个命题:①函数()yf x 在(0,1)x 上是增函数;②函数()yf x 的图象关于直线()2k xk Z 对称;③函数()yf x 是周期函数,最小正周期为1;④当(0,2]x时，函数()()ln g x f x x 有两个零点. 其中正确命题的序号是____________.A ．②③④B ．①③ C．①② D．②④11.定义运算a b ad bc cd，若函数123x f xxx 在(,)m 上单调递减，则实数m 的取值范围是A ．(2,)B ．[2,)C ．(,2)D ．(,2]12.对于函数f x ，若,,a b cR ，,,f a f b f c 为某一三角形的三边长，则称f x 为“可构造三角形函数”，已知函数1x xe tf xe是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是A ．0, B ．0,1 C ．1,2D ．1[,2]213.对于集合A ，如果定义了一种运算“”，使得集合A 中的元素间满足下列4个条件：（ⅰ）,a b A ，都有abA ；（ⅱ）e A ，使得对aA ，都有ea a e a ；（ⅲ）aA ，aA ，使得aaaae ；（ⅳ）,,a b cA ，都有ab c a bc ，则称集合A 对于运算“”构成“对称集”．下面给出三个集合及相应的运算“”：①A 整数，运算“”为普通加法；②A 复数，运算“”为普通减法；③A正实数，运算“”为普通乘法．其中可以构成“对称集”的有( )A ①②B ①③C ②③D ①②③14.设()f x 与()g x 是定义在同一区间[a ，b]上的两个函数，若函数()()y f x g x 在[,]x a b 上有两个不同的零点，则称()f x 和()g x 在[,]a b 上是“关联函数”，区间[,]a b 称为“关联区间”．若2()34f x xx与()2g x xm 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围是( )A.9,24B ．[－1,0]C ．(－∞，－2] D.9,415.设函数()f x 的定义域为D ，如果对于任意的1x D ，存在唯一的2x D ，使得12()()2f x f x C成立（其中C 为常数），则称函数()y f x 在D 上的均值为C ，现在给出下列4个函数：①3y x②4sin yx③lg y x④2xy，则在其定义域上的均值为 2的所有函数是下面的（）A. ①②B. ③④C. ①③④D.①③16.对任意实数,a b 定义运算""如下a a b a bb ab，则函数x xx f 221log )23(log )(的值域为（）A.0,B.,0 C.0,32log 2 D.22log ,317.设B A,是非空集合，定义},|{B AxB Axx BA 且，已知}20|{x x A ，}0|{x x B ，则B A 等于（）.A ),2(.B ),2[]1,0[.C ),2()1,0[.D ),2(]1,0[18.设集合A ?R ，如果x 0∈R 满足：对任意a ＞0，都存在x ∈A ，使得0＜|x ﹣x 0|＜a ，那么称x 0为集合A 的一个聚点．则在下列集合中：（1）Z +∪Z ﹣；（2）R +∪R ﹣；（3）{x|x=，n ∈N *}；（4）{x|x=，n ∈N *}．其中以0为聚点的集合有（）A ． 1个B ．2个C ．3个D ．4个19.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，例如解析式为y ＝2x 2＋1，值域为{9}的“孪生函数”三个：（1）y ＝2x 2＋1，}2{x ；（2）y ＝2x 2＋1，}2{x；（3）y ＝2x 2＋1，}2,2{x 。
那么函数解析式为y ＝2x 2＋1，值域为{1，5}的“孪生函数”共有( )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个20.已知12345{,,,,}{1,2,3,4,5,6},a a a a a 若21234345,,,a a a a a a a a ，称排列12345,,,,a a a a a 为好排列，则好排列的个数为.20.72.96.120A B C D 21.若1,xA A x且，则称A 是“伙伴关系集合”，在集合11{1,0,,,1,2,3,4}32M的所有非空子集中任选一个集合，则该集合是“伙伴关系集合”的概率为A ．117B ．151C ．7255D ．425522.在数学拓展课上，老师定义了一种运算“”：对于n N ，满足以下运算性质：①221；②(22)2(22)3n n 。
则10202的数值为（）A.1532B.1533C.1528D.1536第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明评卷人得分二、解答题（本题共15道小题，每小题5分，共75分）23.在实数集R 中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”.类似的，我们在平面向量集=,,,D a ax y x R yR r r 上也可以定义一个称“序”的关系，记为“”.定义如下：对于任意两个向量111222a =(x ,y ),a =(x ,y )u u r u u r，“12a >>a u u r u u r”当且仅当“12x x ”或“1212x x y y 且”。
按上述定义的关系“”，给出如下四个命题：①若12e (1,0),(0,1),0(0,0)e u r u u r r ，则12e >>e >>0u r u u r r ；②若1223a >>a ,a >>a u u r u u r u u r u u r ，则13a >>a u u r u u r ；③若12a >>a u u r u u r ，则对于任意12a D,a +a >>a +a r u u r r u u r r ；④对于任意向量a >>0,0=(0,0)r r r，若12a >>a u u r u u r ，则12a a >a a r u u r r u u r 。
其中真命题的序号为__________24.给定数集A ,对于任意A b a,，有A b a 且A b a ，则称集合A 为闭集合．①集合}4,2,0,2,4{A 为闭集合；②集合},3{Z k k n n A 为闭集合；③若集合1A ,2A 为闭集合，则1A 2A 为闭集合；④若集合1A ,2A 为闭集合，且1A R ，2A R ，则存在R c,使得c 1(A )2A ．其中，全部正确结论的序号是________．25.定义：如果函数)(x f y 在定义域内给定区间][b a ，上存在)(00b x ax ，满足aba fb f x f )()()(0，则称函数)(x f y是][b a ，上的“平均值函数”，0x 是它的一个均值点．例如y=| x |是]22[，上的“平均值函数”，0就是它的均值点．给出以下命题：①函数1cos )(x x f 是]22[，上的“平均值函数”．②若)(x f y是][b a ，上的“平均值函数”，则它的均值点x 0≥2ba ．③若函数1)(2mx xx f 是]11[，上的“平均值函数”，则实数m 的取值范围是)20(，m．④若x x f ln )(是区间[a ，b] (b>a ≥1)上的“平均值函数”，0x 是它的一个均值点，则abx 1ln 0．其中的真命题有．（写出所有真命题的序号）26.下图展示了一个由区间1,0到实数集R 的映射过程：区间1,0中的实数m 对应数轴上的点m ，如图①：将线段AB 围成一个圆，使两端点B A,恰好重合，如图②：再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y 轴上，点A 的坐标为1,0，如图③，图③中直线AM 与x 轴交于点0,n N ，则m 的象就是n ，记作n m f ．下列说法中正确命题的序号是（填出所有正确命题的序号）①141f②x f 是奇函数③x f 在定义域上单调递增④x f 是图像关于点0,21对称．27.在平面直角坐标系中，定义d(P,Q)=1212x x y y 为两点1122,,,P x y Q x y之间的“折线距离”，则坐标原点O 与直线2230xy 上任意一点的“折线距离”的最小值是_________. 28.设T S,是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数)(x f y 满足；(i)}|)({S x x f T ；(ii)对任意S x x 21,，当21x x 时,恒有)()(21x f x f ．那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下4对集合：①,{1,1}S R T ；②*,S N TN ；③{|13},{|810}Sx x Tx x；④{|01},S x x TR 其中，“保序同构”的集合对的对应的序号是_________(写出所有“保序同构”的集合对的对应的序号)．29.若直角坐标平面内两点,P Q 满足条件：①,P Q 都在函数)(x f y 的图象上；②,P Q 关于原点对称，则称(,)P Q 是函数)(x f y的一个“伙伴点组”（点组(,)P Q 与(,)Q P 看作同一个“伙伴点组”）．已知函数2(1),0()1,0k x x f x xx有两个“伙伴点组”，则实数k 的取值范围是__ ▲ _．30.已知有限集123,,,,2,n Aa a a a n n N.如果A 中元素1,2,3,,i a i n满足1212nn a a a a a a ，就称A 为“复活集”，给出下列结论：①集合1515,22是“复活集”；②1212,,,a a R a a 若且是“复活集”，则124a a ；③*1212,,,a a N a a 若则不可能是“复活集”；④若*i a N ，则“复活集”A 有且只有一个，且3n .其中正确的结论是___________________．（填上你认为所有正确的结论序号）31.对于定义在D 上的函数()f x ，若存在距离为d 的两条直线1y kx m 和2ykx m ，使得对任意x D 都有12()kx m f x kx m 恒成立，则称函数()()f x x D 有一个宽度为d 的通道.给出下列函数：①1()f x x；②()sin f x x ；③2()1f x x；④ln ()x f x x其中在区间[1,)上通道宽度可以为1的函数有 (写出所有正确的序号).32.设S 为复数集C 的非空子集.若对任意x,yS ，都有xy,x y,xyS ，则称S为封闭集。