第14讲4算符的矩阵表示例子
算符的矩阵表示_
2 2 ˆ L ψ = l ( l + 1 ) h ψ 32 m 解： 32 m = 2(2 + 1)h 2ψ 32 m 2 = 6h ψ 32 m ˆ ψ = mhψ L z 32 m 32 m
p47 (3.1-8)式
∫
=
{∫ u
* nm
* n
ˆ u ( x ) dx (x)F m
}
*
=F
厄密算符的矩阵 厄密算符的矩阵 是厄密矩阵
* ˆ Fnm = ∫ un F ( x ,− ih ∂ )um ( x ) dx ∂x
7 算符的矩阵表示
对角矩阵与单位矩阵: 对角矩阵与单位矩阵:
对角矩阵
An ( m = n ) Anm = Anδ nm = 0 ( m ≠ n ) 除对角元外其余为零
§4-2-2 厄密算符的矩阵
* * A A A13 * 11 12 A = 复共轭 A* A* A23 21 22
* A13 * A23
m列n行 n 列m 行 转置矩阵： 转置矩阵：把矩阵A * * A A A A 的行和列互相调换， 的行和列互相调换， 11 21 11 21 * ~ + * 所得新矩阵称为A的 A = A A 共轭矩阵 A = A12 A22 12 22 转置矩阵 A* A* A A
+
~ * * A → ( A ) mn = ( Amn ) = Anm + * 定义矩阵A 的共轭矩阵 Amn = Anm
量子力学的矩阵形式和表象变换
§4.5 量子力学的矩阵形式和表象变换态和力学量算符的不同表示形式称为表象。
态有时称为态矢量。
力学量算符对态的作用实际上是对矢量量进行变换，因此可与代数中线性变换进行类比。
1、量子态的不同表象 幺正变换（1）直角坐标系中的类比取平面直角坐标系21X OX 其基矢（我们过去称之为单位矢）可表示为21,e e,见图其标积可写成下面的形式)2,1,(),(==j i e e ijj i δ我们将其称之为基矢的正交归一关系。
平面上的任一矢量A可以写为2211e A e A A +=其中),(11A e A =，),(22A e A=称为投影分量。
而),(21A A A = 称为A在坐标系21XOX 中的表示。
现在将坐标系21X OX 沿垂直于自身面的轴顺时针转θ角度，则单位基矢变为','21e e，且同样有)2,1,()','(==j i e e ijj i δ而平面上的任一矢量A此时可以写为 ''''2211e A e A A +=其中投影分量是),'('11A e A=，),'('22A e A =。
而)','(21A A A = 称为A在坐标系'X 'OX21中的表示。
现在的问题是：这两个表示有何关系？显然，22112211''''e A e A e A e A A+=+=。
用'1e 、'2e分别与上式中的后一等式点积（即作标积），有),'(),'('2121111e e A e e A A+= ),'(),'('2221212e e A e e A A+=表成矩阵的形式为⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛212212211121),'(),'(),'(),'(''A A e e e e e e e e A A由于'1e、1e及'2e、2e的夹角为θ，显然有⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21212212211121cos sin sin cos ),'(),'(),'(),'(''A A A A e e e e e e e e A A θθθθ或记为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2121)(''A A R A A θ 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=θθθθθcos sin sin cos )(R 是把A在两坐标中的表示⎪⎪⎭⎫⎝⎛''21A A 和⎪⎪⎭⎫⎝⎛21A A 联系起来的变换矩阵。
力学量算符和量子力学公式的矩阵表示
或简写为
Fmnan am
n
(Fmn mn )an 0
n
方程有非零解的充分必要条件是系数行列式为零。
因为任意力学量在自身表象中的矩阵都是对角的，所以，通常 把求解本征方程的过程称为矩阵对角化的过程。
3．薛定格方程
i (x,t) Hˆ (x,t)
t
a1 (t) H11 H12 H1k a1 (t)
0
a1 a2
把波函数归一化
/2
a1 a1
/2 /2
a1*
a2*
a1 a1
2 a1
2
1
/ 2 11//
2 2
1 2
11
同理
/ 2
1 2
11
最后，把矩阵对角化。
n
代入到算符方程中，得 bn (t)n (x) an (t)Fˆn (x)
n
n
bn (t)n (x) an (t)Fˆn (x)
n
n
上式两端做运算 m* dx，得
bn (t) m*ndx an (t) m* Fˆndx
n
n
bn (t)mn an (t) m* Fˆndx
Fk1
Fk 2
F1k a1(t)
F2k
a2
(t
)
Fkk
ak
(t
)
对同一个物理问题可以在不同的表象下处理，尽管在不同的表
§量子力学的矩阵表示
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ﻩ
§４.2量子力学的矩阵表示
一、态的表示
二、算符的表示
三、量子力学公式的矩阵表示
用力学量完全集 的正交、归一和完备的本征态矢量的集合 作基底的表象,称为 表象。
4.算符在坐标和动量表象上的表示
（1）在坐标表象上的表示
例如Ｈａmiltoｎ量表示为
注意，式中的 函数代表“矩阵”是对角的,只在积分运算中起作用。
上述动量的表示可作如下理解
将上式中的被积函数 写成
则原式为
即
为什么被积函数不写成 的形式呢？这完全是为了符合基本假定 ．
为导出算符 在坐标表象上的表示,首先把 按 和 作展开。如果二元函数 在 附近可作展开
为书写简便,用 代表 ，用 代表 ，用 代表本征值谱 .把 表象简称为 表象。以分立谱为例
本征方程:
基底：
正交归一化：
封闭关系:
一、态的表示
态 在 表象上的表示为一个列矩阵
矩阵元 代表态 在基底 上的投影,或称为展开系数。它可在坐标表象上计算
态 和 的内积可以通过列矩阵相乘得到
其中
, .
这是因为
若 ，则称态 和 正交。而 则是指态 是归一化的。
矩阵 是算符 在 表象上的表示
矩阵元为
可以在坐标表象上计算。下面会看到,在坐标表象上矩阵元 的计算公式为
式中 .
【例】用包括Hamiｌton量在内的力学量完全集的共同本征态的集合作基底的表象,称为能量表象。在一维谐振子的能量表象上，计算坐标 ，动量 和 本身的表示矩阵。
线性代数四阶知识点总结
线性代数四阶知识点总结1. 向量和矩阵•向量：向量是一种有序集合，可以表示为n x 1 的矩阵。
向量的加法、减法和数量乘法满足特定的运算规则。
•矩阵：矩阵是二维数组，具有行和列的结构。
可以表示为 m x n 的形式，其中 m 是矩阵的行数，n 是列数。
2. 线性方程组•线性方程组：线性方程组是一组线性方程的集合。
每个方程都可以写成如下形式：a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b其中a1, a2, …, an 是已知常数，x1, x2, …, xn 是未知变量，b 是常数。
•线性方程组的解：一个线性方程组可能有无穷多个解、唯一解或者无解。
通过高斯消元法、矩阵求逆或克拉默法则等方法可以求解线性方程组。
3. 矩阵运算•矩阵加法：两个矩阵的加法是将对应位置的元素相加得到新的矩阵。
•矩阵减法：两个矩阵的减法是将对应位置的元素相减得到新的矩阵。
•矩阵数量乘法：将矩阵的每个元素都乘以一个常数得到新的矩阵。
•矩阵乘法：矩阵乘法是将一个矩阵的行与另一个矩阵的列进行内积运算得到新的矩阵。
4. 线性变换•线性变换：线性变换是指从一个向量空间到另一个向量空间的映射，保持向量加法和数量乘法的性质。
•线性变换的矩阵表示：对于一个线性变换，可以找到一个矩阵使得将原向量空间中的向量乘以该矩阵得到新的向量空间中的向量。
•线性变换的特性：线性变换保持向量的线性组合和零向量不变。
5. 特征值和特征向量•特征值和特征向量：对于一个方阵 A，如果存在一个非零向量 v 和一个实数λ，使得Av = λv，则λ 是 A 的特征值，v 是对应于特征值λ 的特征向量。
•特征值和特征向量的计算：通过求解线性方程组 (A - λI)v = 0 可以得到特征值和特征向量。
6. 行列式•行列式：行列式是一个标量值，用于判断一个矩阵的线性相关性和可逆性。
•行列式的计算：对于一个 n x n 的矩阵，行列式的计算涉及到对矩阵的元素进行排列组合并进行运算。
高量14-哈密顿算符对称性群.ppt
5重简并的能级分裂为两个能级，分别为2重和3重简并。
( 3 ) D T T T 2 4 5
7重简并的能级分裂为3个能级，分别为1，3，3重简并。
( 5 ) D T T T T 1 3 4 5
9重简并的能级分裂为4个能级，分别为1，2，3，3重简并。
23
§20-4 动力学对称性 一、守恒量LRL矢量
h D ( Q ) D ( Q ) ij n Q j
( i ) (j )
取和对一切群元进行， h为群的阶（群元的数目），
n j 为 D ( j ) 的维数。
7
4．特征标：
群 Q 的一个表示 D(Q) 的特征标 (Q) ① 定义：
( Q ) tr ( D ( Q )) D ( Q ) 是表示矩阵的迹： aa
a
群中属于同一类的各元，其特征标相同; ② 特征标的性质： a. 互相等价的两个表示的两组特征标完全相同。 b. 一个可约表示的特征标等于约化后各不可约 表示的特征标之和。
因此可以由特征标判断一个表示是否可约。
8
③特征标的正交性定理： a. 群 Q 的两个不可约幺正表示 D( j) (Q) 和 D(i) (Q)的特征标
对谐振子，SO(3)→SU(3)
几何学对称性：空间转动等空间变换的对称性。
16
§20-3 微扰对能级简并的影响 一、微扰对对称性的影响
若所加微扰不影响系统的对称性，即微扰的对称性群大于 或等于的对称性群，则新哈密顿的对称性与原来的一样，尽管 能级的数值会发生变化，但各能级的简并情况并不会改变。 若微扰的对称性小于原来系统的对称性，即微扰的对称性群 是原来系统的对称性群的一个子群，那么，新哈密顿量的对称 性就要降低为微扰的对称性，各能级的量值和简并情况要发生 变化，根据对称性可以确切地知道简并度改变的情况。
高等代数第四章 矩阵
30 10 15
10 70 35
45 20 25
100
,B
150 320000
20 45 16200
15500 ,C 28000
19750
5650 10350, 6775
第四章 矩阵
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高等代数
东北大学秦皇岛分校
定义2
（1）结合律 ABC ABC;
（2）分配律 AB C AB AC,
B C A BA CA;
第四章 矩阵
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高等代数
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4）矩阵乘法不满足交换律，即一般来说 AB BA
例如 设 A 1 1 B 1 1 1 1 1 1
A1 A
Ak
1
Ak
A
由乘法结合律有 Ak Al Akl
Ak
l Akl
注 1）方幂只能对行数和列数相等的矩阵来定义。
2）一般来说 ABk Ak Bk
第四章 矩阵
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高等代数
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a11x1 a12 x2 a1n xn b1
第四章 矩阵
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高等代数
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化学反应中方程式的配平是一个棘手的问题，但 是有一类方程式的配平利用矩阵来处理十分简洁方便。 定义 化学反应中每一个化合物含有它们所有的每一种 原子的个数，排列成的数字表称为化学反应矩阵。
第四章 矩阵
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高等代数
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矩阵的定义
定义1 由 m n个数aij i 1,2, ,m; j 1,2,
§4.2量子力学的矩阵表示
§4.2量子力学的矩阵表示一、态的表示 二、算符的表示三、量子力学公式的矩阵表示用力学量完全集 },ˆ,ˆ{ B A的正交、归一和完备的本征态矢量的集合},,{ b a 作基底的表象，称为},ˆ,ˆ{ B A表象。
为书写简便，用Fˆ代表},ˆ,ˆ{ B A ，用n 代表 ,,b a ，用n 代表本征值谱},,{ b a . 把},ˆ,ˆ{ B A表象简称为Fˆ表象。
以分立谱为例 本征方程： n n Fn ˆ基底： },3,2,1;{ n n 正交归一化： n m n m , 封闭关系： I n n n一、态的表示态 在Fˆ表象上的表示为一个列矩阵21Ψ21C C矩阵元 n C n 代表态 在基底n 上的投影，或称为展开系数。
它可在坐标表象上计算x x x x x x n n C n nd d )()(*态 和 的内积可以通过列矩阵相乘得到ΨΦ其中21Φ，21Ψ.这是因为n n nn n nn n n*21,2,1**ΨΦ若 0ΨΦ，则称态Ψ和Φ正交。
而1ΨΨ则是指态Ψ是归一化的。
基底m 在自身表象上的表示为010Φ m 第m 行基底的正交归一化写成 mn n mΦΦ. 态向基底的展开写成1001ΦΨ21n C C C nn展开系数ΨΦnn C .对于连续谱情况本征方程： Fˆ 基底： }{正交归格化： )( 封闭关系： Id态 在Fˆ表象上的表示矩阵成为本征值 的函数)(态 和 的内积为d )()(*因为d d d )()(][*归一化条件为1)()(*d .而基底 在自身表象上表示为)( .二、算符的表示 1．算符用矩阵表示算符是通过对态的作用定义的。
因为态用列矩阵表示，所以算符应该用矩阵表示。
Lˆ m n n Lm n ˆ m n n Lm n ˆ212122211211L L L LΦL Ψ矩阵L 是算符Lˆ在F ˆ表象上的表示22211211L L L L L 矩阵元为n Lm L mn ˆ 可以在坐标表象上计算。