正定二次型
正定二次型的判别方法
正定二次型的判别方法正定二次型是向量空间内的重要概念，它在许多数学领域中都有应用，如优化、概率论和统计学。
本文将介绍正定二次型的定义，性质和判别方法。
定义：设$f(x_1,x_2,...,x_n)$是$x_1,x_2,...,x_n$的二次多项式，即：$$f(x_1,x_2,...,x_n)=\sum_{1\leq i,j\leq n} a_{ij}x_ix_j$$其中$a_{ij}$为实数，且$a_{ij}=a_{ji}$。
则称$f(x_1,x_2,...,x_n)$为$n$元实二次型，它的矩阵表示为$$A=(a_{ij})_{n\times n}$$称为二次型的矩阵。
也就是说，二次型和它的矩阵$A$是一一对应的关系。
性质：1.对于任意的实数$k$，$kx^T Ax$都是一个二次型。
2.二次型可以表示为两部分之和，即$f(x)=g(x)+h$，其中$g(x)$是只与$x$有关的部分，$h$是只与$x$无关的常数项。
3.设$A=(a_{ij})$是一个$n$阶实对称矩阵，则$A$的主对角线元素必为实数，有$a_{ii}\in\mathbb{R}$。
且$\forall i,j\in[1,n]$，有$a_{ij}=a_{ji}$。
4.对于任意非零实向量$x=(x_1,x_2,...,x_n)^T$，有$x^T Ax>0$，则称$f(x)$是正定二次型；有$x^T Ax<0$，则称$f(x)$是负定二次型；有$x^T Ax=0$，则称$f(x)$是半定二次型。
判别方法：1.矩阵的特征值法：对于实对称矩阵$A$，先求出它的所有特征值$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$，然后判断它们的符号。
如果$\lambda_i>0(1\leq i\leq n)$，则$f(x)$为正定二次型；如果$\lambda_i<0(1\leq i\leq n)$，则$f(x)$为负定二次型；如果$\lambda_i=0(1\leqi\leq n)$的个数不超过$k$个，则$f(x)$为$k$阶半定二次型。
正定二次型的判别方法
正定二次型的判别方法正定二次型是数学中一个重要的概念，它在优化问题、矩阵理论、微分方程等领域都有着重要的应用。
在实际问题中，我们经常需要判断一个二次型是否是正定的，因为正定二次型在优化问题中有着良好的性质，可以帮助我们解决问题。
研究正定二次型的判别方法对于理解和应用二次型具有重要的意义。
本文将就正定二次型的判别方法进行介绍和讨论，首先我们将对正定二次型做一个简单的介绍，然后详细讨论正定二次型的判别方法，包括特征值、惯性定理以及Sylvester定理等。
一、正定二次型的定义在矩阵理论中，二次型是指一个具有形式为\[ Q(x_1,x_2, \cdots, x_n) = \sum_{i,j=1}^{n} a_{ij}x_ix_j \]的二次齐次多项式。
在这里，a_{ij}是实数或复数，x_i是变量，i,j=1,2, \cdots, n，称n元二次型。
我们知道，二次型可以表示成矩阵的形式，即\[ X^TAx \]X=(x_1,x_2, \cdots, x_n)^T是一个列向量，A是一个n \times n的实对称矩阵，其对称性确保了二次型中不同的x_ix_j和x_jx_i的系数是相同的。
而正定二次型是指对于任意非零向量x，都有\[ x^TAx > 0 \]即对应的二次型值大于0。
这里需要注意的是，在一些文献中，正定二次型的定义可能会有所不同，但在本文中，我们将采用这个定义进行讨论。
1. 特征值判别法特征值是矩阵理论中一个非常重要的概念，它可以帮助我们理解矩阵的性质和结构。
对于一个n \times n的实对称矩阵A，它一定可以对角化成\[ A = PDP^{-1} \]P是一个正交矩阵，D是一个对角矩阵，其对角线上的元素是A的特征值。
特征值判别法是通过矩阵A的特征值来判断二次型的正定性。
如果A的特征值都大于0，则二次型是正定的；如果A的特征值都小于0，则二次型是负定的；如果A的特征值中既有正值又有负值，则二次型是不定的。
正定二次型
再证必要性。
nf xLeabharlann ki yi2 > 0 i1
用反证法：假设有 ks 0，则当 y es (单位坐标向量)
时，f Ces ks 0 。显然Ces 0 ，这与f 正定相矛盾。这就证明 了ki > 0i 1, 2, , n 。
推论
对称阵A 为正定的充分必要条件是A 的特征值全为正。
例1 判定二次型 f 2x2 6 y2 4z2 2xy 2xz 的正定性。
解 f 的矩阵为
2 1 1
A
1 1
6 0
0 4
,
a11
2
<
0,
a11 a21
a12 2 a22 1
1 11> 0,
6
A 38 < 0
根据定理3知，f 负定。
线性代数
这个定理称为惯性定理。
二次型的标准形中正系数的个数称为二次型的正惯性指数，
负系数的个数称为负惯性指数，若二次型f 的正惯性指数为p，秩 为r，则f 的规范形便可确定为
f y12
y
2 p
y2 p1
yr2
定义1
设有二次型 f x xT Ax ，如果对任何x≠0，都有f(x)>0(显然
f(0)=0)，则称f 为正定二次型，并称对称阵A 是正定的;如果对任何 x≠0都有f(x)<0，则称f 为负定二次型，并称对称阵A 是负定的。
定理3 对称阵A 为正定的充分必要条件是A 的各阶主子式都为正，即
a11
>
0,
a11 a21
a12 > 0, a22
a11 ,
an1
a1n >0
ann
对称阵A 为负定的充分必要条件是奇数阶主子式为负，而偶数 阶主子式为正，即
正定二次型和正定矩阵
正定二次型和正定矩阵
根据正定矩阵的定义，若要判别一个对称矩阵A是否正定，按照前 面的讨论，可以利用一个非退化的线性替换X=PY，将二次型XTAX化成 标准型（与其具有同样正定性）
YTBY=YT(PTAP)Y=d1y21+d2y22+…+dny2n 从而，利用正定二次型的判别定c 理，判别XTAX的正定性，也就得 到了A的正定性.但是，更希望从矩阵的本身，直接判别其是否正定. 由于标准形式的二次型
正定二次型和正定矩阵
定理7-5
二次型 f(x1,x2,…,xn)=d1x21+d2x22+…+dnx2n 是正定的当且仅当di>0,i=1,2,…,n. 证明充分性： 显然，对于任意的非零实向量α=(a1,a2,…,an)T， 均有 αTAα=d1a21+d2a22+…+dna2n>0 因此，原二次型是正定的.
正定二次型和正定矩阵
（2）如果二次型f(x1,x2,…,xn)不是标准形式，那么可以经 过一次非退化的线性替换X=PY将其化成标准形式
d1y21+d2y22+…+dny2n
（7-22
这个二次型与原二次型f(x1,x2,…,xn)具有相同的正定性，从
而可以判别原二次型是否正定.
由于f(x1,x2,…,xn)的标准型式（7-16）中大于0的di的个数， 即为f(x1,x2,…,xn)的正惯性指数，因此，得到以下的定理.
|A|=|PT||P|=|P|2>0 证法二由定理的等价条件（5），A的特征值λ1,λ2,…,λn全大于0， 于是
|A|=λ1λ2…λn>0 为了给出一个更方便的判别矩阵正定的方法，引入如下定义.
正定二次型
它的各阶顺序主子式
D1 a11 1 0,
D2
a11 a21
a12 1 a22 1
1 0
2
1 1 0 1 1 0
D3 1 2 1 0 1 1 3 1 2 0 0 1 3 0 1 3
根据定理 5.5 可知所给二次型 f 是正定二次型。
1 1 0 解法 2 二次型 f 的矩阵为 A 1 2 1 ，矩阵 A 的特征多项式为
解法 3 将所给二次型配方，得
f x12 2x22 3x32 2x1x2 2x2 x3 (x12 2x1x2 x22 ) (x22 2x2 x3 x32 ) 2x32
(x1 - x2 ) 2 (x2 - x3 ) 2 2x32 0
而上式等号成立的充分必要条件是 x1 x2 x3 0
0 1 3
0 1 3
0 1 3
1 0 0
1 0 0
c3 c2 0
1
0
r3r2
0
1
0
0 1 2
0 0 2
于是已知的二次型经过合用变换后，所得标准形的正惯性指数分别为 1，1，2，
根据惯性定理可知，所给二次型 f 是正定二次型。
1 t 1 例 5.12 设矩阵 A t 1 2 是正定矩阵，求其中 t 的取值范围。
实用线性代数
正定二次型
正定二次型的概念 正定二次型的判定
1.1 正定二次型的概念
定定义义55..6 设 有 二 次 型 f (x1, x2 ,, xn ) xT Ax ， 若 对 任 何
0 x Rn , 都有 f xT Ax 0 ，则称 f 为正定二次型。
正定二次型所对应的矩阵称为正定矩阵。
f (x) f (Cy) k1 y12 k2 y22 kn yn2
正定二次型
正定二次型一、定义正定二次型是线性代数中一个重要的概念。
在矩阵理论中，正定二次型是正定矩阵基于向量内积的一种自然推广。
正定二次型在数学分析、优化问题以及统计学中有着广泛的应用。
设A是一个n阶方阵，A是一个n维列向量，则称二次型A(A)=AAAA为矩阵A的对应二次型。
如果对于任意的非零向量A，都有A(A)>0，则称二次型A(A)为正定二次型。
二、性质正定二次型具有以下性质：1. 正定二次型的矩阵A一定是对称矩阵。
这是因为对称矩阵的转置等于自身，所以对任意的A，都有AAAA=AA(AAA)=AAAA。
2. 正定二次型的特征值全为正数。
设A是正定二次型的矩阵，对于A 的任意一个特征向量A，我们有AA=AA。
由于正定二次型对于任意非零向量A的取值都大于零，所以对于特征向量A，有AAAA>0，这等价于AA(AA)>0，即A>0。
因此，正定二次型的特征值全为正数。
3. 正定二次型的标准型为A₁²+A₂²+⋯+AA²。
正定二次型可以通过配方法化简为标准型。
化简的过程就是通过正交变换将原二次型变为标准型。
正交变换保持向量的长度不变，所以正定二次型的标准型为A₁²+A₂²+⋯+AA²。
4. 正定二次型的零空间只包含零向量。
设二次型A(A)=AAAA是正定二次型，如果A(A)=0，那么由于A≠0，所以AAAA=0，根据正定二次型的定义，A=0。
三、应用正定二次型在数学的许多领域有着广泛的应用。
1. 凸优化凸优化是数学中的一个重要分支，而正定二次型在凸优化问题中扮演着重要的角色。
对于一个凸优化问题，如果目标函数是一个正定二次型，那么这个优化问题就是一个凸优化问题。
通过对正定二次型进行分析，我们可以得到其极小点，并进一步解决凸优化问题。
2. 统计学在统计学中，正定二次型常常出现在协方差矩阵、精确度矩阵等概念中。
协方差矩阵描述了多个变量之间的关系，而正定二次型可以通过协方差矩阵定义一个正态分布的概率密度函数。
线性代数 正定二次型
标准形 f x 1 , L , x n d 1 y 1 2 d 2 y 2 2 L d n y n 2
因P可逆，X0,YP1X0
n
fx 1 ,L ,x n d iy i2 0 d i 0(i 1 ,L ,n )
1
O
1 1 O
1 0 O
, 即PT AP 0
二、正定二次型
定义：设n元实二次型 fx 1 ,L ,x n X T A X ，若对任意的
X0 XR n，均有 fx 1 ,L ,x n X T A X 0 ,则称
A1 1 0
A A3 2 t1tt 2t 2 2t t1 2 00
1 t 0
A共有n个顺序主子阵，且均为实对称矩阵.
定理（Sylvester定理）：实二次型 fx 1 ,L ,x n X T A X
正定的充要条件是A的所有顺序主子式都大于零.
三、应用举例
1 t
例：t
取何值？
A
t2Biblioteka 1 0提示：由Sylvester定理，
1
0
是正定的
1 t
一、惯性定理
任一二次型均可通过非退化的线性变换化为标准形，但 线性变换选择的不同会导致标准形的不同，即：二次型
的标准形不唯一。但由惯性定理可知，标准形中的正平 方项的个数与负平方项的个数却是唯一确定的。 定理（惯性定理） 实二次型 f(x 1 ,x 2 ,L ,x n ) X T A X 经过非退化的线性 变换化为标准形时，其标准形中正、负项的项数是唯一 确定的，二者的和等于矩阵A的秩. 定义：实二次型标准形中的正平方项的项数p称为二次型 的正惯性指数，负平方项的项数q称为二次型的负惯性指 数，二者的差(p-q)=p-(r-p)=2p-r称为二次型的符号差.
正定二次型
解: 用特征值判别法. 用特征值判别法. 二次型的矩阵为
2−λ 令 A − λE = 0 −2 0 4−λ 0
2 0 − 2 A = 0 4 0 , − 2 0 5
即知 A 是正定矩阵，故此二次型为正定二次型. 是正定矩阵，故此二次型为正定二次型.
−2 9 =0 5−λ ⇒ λ1 = 1, λ 2 = 4, λ 3 = 6.
可见A不是负定的，也不是正定的. 可见A不是负定的，也不是正定的.
正定矩阵的简单性质
定阵 为正定阵， 也为正定阵.
T −1 ∗
均为正定阵， 也为正定阵. 2. 若 A, B 均为正定阵，则 A + B 也为正定阵
思考题
设A, B分别为 m 阶, n阶正定矩阵 , 试判定分块 A 0 矩阵C = 是否为正定矩阵 . 0 B 解 C是正定的. T T T 因为, 设 z = ( x , y )为m + n维向量 , 其中x , y分 别是m 维和n维列向量 , 若z ≠ 0, 则x , y不同时为零向
例如
f ( x , y) = x 2 + 4 y2 f ( x , y, z ) = x + 4 y
2 2
正定二次型 为正定二次型 半正定二次型 为半正定二次型 负定二次型 为负定二次型
2 2
f ( x1 , x2 ) = − x − 3 x
2 1
2 1
2 2
f ( x1 , x2 , x3 ) = − x − 3 x
⇔
a12 M > 0. > 0 , L, A = M a22 an1 L ann
a11 L an1
判别二次型是否正定. 例1 判别二次型是否正定
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
设可逆变换x Py使
g
y
n
bi
y2 i
.
i 1
充分性
设 bi 0 i 1,, n. 则 g( y) 正定 任给 x 0, 则 y P -1x 0,
故由可逆线性变换不改变正定性可得。
定理 n元实二次型 f xT Ax 为正定的充分必要 条件为：它的标准形的n个平方项系数全大于零。
f
x2 1
3x22
为不定二次型
定理1 可逆线性变换保持实二次型的正定性。
证明 设实二次型 f (x) xT Ax 经过实数域上 可逆线性变换 x Py 化为 g( y) yT By
1.假设 f (x)
y ，则有
x
xT Ax
Py
正0定。，于对是任意f (非x)零 0实向量
0 0 1
定理 实二次型 f (x) xT Ax 正定的充分必要
条件是 A的所有顺序主子式的值全大于零。
, a11 0, a11 a12 0,
a11 a1n
0;
a21 a22
an1 ann
例 判别实二次型
f (x1, x2 , x3 ) x12 3x22 3x32 2x1x2 是否正定。
证明 设二次型
f1 xT Ax f2 xT Bx
f xT (A B)x
xT Ax xT PT Px (Px)T (Px) 0
则由定义A正定。
A正定，则A合同于E, 由合同的定义，存在可逆矩阵P, 使得PT EP PT P A
正定的判别法
（1）用定义，∀x ≠ 0 ,总有xTAx > 0
（2）用顺序主子式全大于零；
（3）用n个特征值全大于零； （4）用正惯性指数p = n；
（5）存在可逆矩阵C，使 A CT C
一般的，1. 对于抽象的，用定义； 2. 对于具体的，用定理.
正定矩阵具有以下一些简单性质
1. 设A为正定实对称阵,则AT , A1, A均为正 定矩阵;
2. 若A, B均为n阶正定矩阵,则A B也是正定 矩阵.
2.若A, B均为n阶正定矩阵,则A B也是正定矩阵.
x 4）如果对任何非零实向量 ，都有
f (x) 0则称Fra bibliotekf 为半负定二次型；
5）如果存在实向量 x1 及 x2 ，使 f (x1) 0, f (x2 ) 0
则称 f 为不定二次型。
例如 f x2 4 y2 16z2 为正定二次型
f x12 3x22 为负定二次型
3）实对称矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件是 A的所有顺序主子式全大于零。
4） n阶实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条 件是A的正惯性指数为n。
5）实对称矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件是
A ~ E
P192
例：证明实对称矩阵A正定 有可逆矩阵P, 使A PT P
设A PT P,则x 0, Px 0,
所以g( y) f (x) 0 即g(y)正定。
2.如果 g( y) 正定，因为 g(y) 可经过可逆线性
变换 y P1x 化为 f (x) 故 f (x)正定。
定理 n元实二次型 f xT Ax 为正定的充分必要条件 为：它的标准形的n个平方项系数全大于零。
证明
是正定二次型? 解 二次型 f 的矩阵 1 t 1 A t 4 0 1 0 2
为使二次型正定, A的各阶顺序主子式应满足
A1 1
1 A2 t
t 4t2 0 4
1t 1 A t 4 0 4 2t2 0
10 2
故当 2 t 2 时, 二次型正定.
定义 对于实对称矩阵 A，如果实二次型 f (x) xT Ax
正定（负定、半正定、半负定、不定），则称矩阵 A为正定（负定、半正定、半负定、不定）矩阵。
1）实对称矩阵 A为正定矩阵的充分必要条件是
A可以合同于一个主对角元素全为正数的对角矩阵。
2）实对称矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件是 A的特征值全大于零。
a11 a12 a1k
Ak
a21
a22
a2k
ak1 ak 2 akk
k 1,2,, n
称为 A的k阶顺序主子式。
a , 如： 11
a11 a12 ,
a a 21
22
a11 a21
a12 a22
a13
a23
分别是1，2，3阶 顺序主子式。
a a a 31
32
33
1 1 3 例：求A 0 4 2 的各阶顺序主子式。
证明 设可逆变换x Py使
g
y
n
bi
y2 i
.
i 1
必要性 反证法：假设有bi 0,
则当y ei (单位坐标向量) 时,
f (x) f Pei bi 0.
显然 Pei 0, 这与 f 为正定相矛盾.
定理 实二次型 f (x) xT Ax 正定的充分必要条 件是：A的特征值全都大于零．
解法3：二次型 的矩阵
1 1 0 A 1 3 0
0 0 3
它的顺序主子式分别为
A1 1
1 1
A2 1
2 3
所以 f 正定
A A3 6
例 问 t为何值时,二次型
f (x1, x2, x3) x12 4x22 2x32 2tx1x2 2x1x3
定理 n元实二次型 f (x) 正定的充分必要条件是
它的正惯性指数为n 例 判别实二次型
f (x1, x2 , x3 ) x12 3x22 3x32 2x1x2 是否正定
解 法1： 求f的 标 准 形(合 同 ， 配 方 法, 正 交 ） 。 解法2：求A的特征值。
定义 对于 n阶方阵 A (aij ) ，它的子式
正定二次型
定义 对于实二次型 f (x) xT Ax
1）如果对任何非零实向量 x ，都有 f (x) 0
则称 f 为正定二次型；
x 2）如果对任何非零实向量
，都有
f (x) 0
则称 f 为负定二次型；
x 3）如果对任何非零实向量
，都有
f
(
x)
0
则称 f 为半正定二次型；