【精品】第07章02一阶微分方程
《一阶常微分方程》课件
06
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一阶常微分方程的总结与展望
总结与回顾
1 2 3
定义与性质
一阶常微分方程是描述一个函数随时间变化的数 学模型，具有丰富的理论体系和应用领域。
历史发展
一阶常微分方程的发展可以追溯到早期的微积分 学，随着科学技术的进步，其理论和应用得到了 不断深化和拓展。
解法研究
一阶常微分方程的解法研究是核心内容之一，包 括初值问题、边值问题、积分方程等，以及各种 数值解法。
举例
简单的一阶常微分方程如 dy/dx = y，描述了y随x的变化率与其自身成正比的情况；复杂的一阶常微分方程如 dy/dx = x^2 + y^3，描述了更复杂的函数关系。
02
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一阶常微分方程的解法
初值问题
定义
已知一阶常微分方程及其在某一点的初 始值，求解该方程在该点的邻域内的解 。
一阶常微分方程
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目 录
• 一阶常微分方程的定义 • 一阶常微分方程的解法 • 一阶常微分方程的应用 • 一阶常微分方程的扩展 • 一阶常微分方程的实例分析 • 一阶常微分方程的总结与展望
01
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一阶常微分阶常微分方程是包含一个未知函数 和其导数的等式，形式为 f(x, y', y) = 0。
在工程中的应用
控制工程
在控制工程中，系统的动态特性可以用一阶常 微分方程来描述。
航空航天工程
描述飞行器的运动轨迹和姿态变化，可以用一 阶常微分方程来建模。
机械工程
描述机械系统的动态特性，如振动、位移等，可以用一阶常微分方程来建模。
04
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一阶常微分方程的扩展
经济数学微积分一阶微分方程
y ( A)e Be kx
kx
由此可知，微分方程
dy kx dx
的解当 k>0 时总是指数增长的， 当 k<0 时，总是指数衰减的.
例 3 衰变问题 : 铀的衰变速度与未衰变原子含 量 M 成正比,已知 M
t 0
M 0 ,求衰变过程中铀含
量 M ( t )随时间 t 变化的规律. 解 衰变速度 dM , 由题设条件
g( y )dy f ( x )dx
分离变量法
设函数G ( y ) 和 F ( x ) 是依次为g( y ) 和 f ( x ) 的原函 数, G( y ) F ( x ) C 为微分方程的解.
dy 2 xy 的通解. 例1 求微分方程 dx 解 分离变量 dy 2 xdx , y dy 两端积分 y 2 xdx ,
3 2
微分方程的解为 ( y x ) 2 C 2 y( y 2 x ) 3 .
三、一阶线性微分方程
一阶线性微分方程的标准形式:
dy P ( x ) y Q( x ) dx
当Q( x ) 0, 上面方程称为齐次的.
当Q( x ) 0, 上面方程称为非齐次的.
dy y x2 , 例如 dx dx x sin t t 2 , 线性的; dt
微分方程的通解为
sin u ln x C ,
y sin ln x C . x
例5 求解微分方程
dx dy 2 . 2 2 x xy y 2 y xy
2
y y 2 2 dy 2 y xy x x 解 2 2 2, dx x xy y y y 1 x x y 令 u , 则 dy u x du , x dx dx
高等数学高数课件 7.2一阶微分方程
1
H Ce
kHt
逻辑斯谛方程
故所求通解为
h(
t
)
C2 1
He kHt C 2e kHt
1
H Ce
kHt
其中
C C
1 C2
e C1H
0
是正常数.
函数h(t )的图象称为Logistic曲线. 由于它的形状, 一
般也称为 S 曲线. 可以看到,它基本符合我们描述的
树的生长情形. 另外还可以算到
lim h(t) H.
逻辑斯谛方程 则显然不符合两头 尤其是后期的生长情形, 因为树不
逻辑斯谛方程
则显然不符合两头 尤其是后期的生长情形, 因为树不
可能越长越快;但如果假设树的生长速度 正比于最大
高度与目前高度的差,则又明显不符合 中间一段的生
长过程.折衷一下, 我们假定它的生长速度既与目前的
高度, 又与最大高度和目前高度之差成正比.
第二、三节 一阶微分方程
一、可分离变量的微分方程 二、齐次方程 三、一阶线性微分方程 四、伯努利方程
一、可分离变量的微分方程
设有一阶微分方程
dy dx
F
(
x,
y)
如果其右端函数 能分解成 F ( x, y) f ( x)g( y),即有
dy dx
f (x)g( y)
(1)
则称方程 (1)为可分离变量的微分方程, 其中 f ( x),
例 3 已知 f (sin2 x) cos 2x tan2 x, 当 0 x 1 时, 求 f ( x). 解 设 y sin2 x, 则 cos 2x 1 2sin2 x 1 2 y,
tan2
x
sin 2 cos2
一阶常微分方程公式大全
一阶常微分方程公式大全一、一阶线性常微分方程。
1. 标准形式。
- 一阶线性常微分方程的标准形式为y'+p(x)y = q(x)。
2. 通解公式。
- 其通解公式为y = e^-∫ p(x)dx(∫ q(x)e^∫ p(x)dxdx + C)。
- 推导过程：- 先求对应的齐次方程y'+p(x)y = 0的通解。
- 分离变量得(dy)/(y)=-p(x)dx。
- 两边积分∫(dy)/(y)=-∫ p(x)dx，得到ln y =-∫ p(x)dx + C_1，即y = Ce^-∫p(x)dx（C = e^C_1）。
- 然后用常数变易法，设原非齐次方程的解为y = C(x)e^-∫ p(x)dx。
- 对y求导得y'=C'(x)e^-∫ p(x)dx-C(x)p(x)e^-∫ p(x)dx。
- 将y和y'代入原方程y'+p(x)y = q(x)，可得C'(x)e^-∫ p(x)dx-C(x)p(x)e^-∫p(x)dx+p(x)C(x)e^-∫ p(x)dx=q(x)。
- 化简得C'(x)e^-∫ p(x)dx=q(x)，即C'(x)=q(x)e^∫ p(x)dx。
- 再积分C(x)=∫ q(x)e^∫ p(x)dxdx + C，所以原方程的通解为y = e^-∫ p(x)dx(∫ q(x)e^∫ p(x)dxdx + C)。
二、可分离变量的一阶常微分方程。
1. 标准形式。
- 可分离变量的一阶常微分方程的标准形式为g(y)dy = f(x)dx。
2. 通解求法。
- 对g(y)dy = f(x)dx两边分别积分，得到∫ g(y)dy=∫ f(x)dx + C，其中C为任意常数。
- 例如，对于方程(dy)/(dx)=(x)/(y)，可化为ydy = xdx。
- 两边积分∫ ydy=∫ xdx，即frac{y^2}{2}=frac{x^2}{2}+C，整理得y^2-x^2=C_1（C_1 = 2C）。
一阶线性微分方程.ppt
2
令 z y1(1) y2 ,
则 dz 2 y dy , dx dx
dz 2xz xex2 ,
z
e
2
xdx
[
xe
x2
e
2
xdx
dx
C
]
dx
所求通解为 y2 ex2 ( x2 C ). 2
2.
dy dx
1 x sin2 ( xy)
y; x
解 令 z xy, 则 dz y x dy ,
2.线性非齐次方程 令 y u( x)e P( x)dx ;
3.伯努利方程 令 y1n z;
思考题
求微分方程
y
cos
y
cos sin 2 y
y
x
sin
y
的通解.
思考题解答
dx cos y sin 2 y x sin y sin 2 y x tan y,
dy
cos y
dx tan y x sin 2 y,
一阶线性微分方程的解法
1.
线性齐次方程
dy dx
P( x) y
0.
(使用分离变量法)
dy P( x)dx, y
dy y
P
(
x)dx,
ln y P( x)dx lnC,
齐次方程的通解为 y Ce P( x)dx .
2.
线性非齐次方程
dy dx
P( x) y
Q( x).
讨论
dy y
Q( x) y
二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解:
1、dy dx
y cot x 5e cos x
,
y x
4；
2
2、 dy dx
一阶微分方程
Dept. Math. & Sys. Sci.
例4 某车间体积为12000立方米, 开始时空气中含有
应用数学教研室
0.1℅的 CO2, 为了降低车间内空气中CO2的含量, 用
一台风量为每秒 20立方米的鼓风机通入含0.03℅的 CO2的新鲜空气, 分比降低到多少? 解 设鼓风机开动后 t 时刻 CO2 的含量为 x(t) ℅, 在[t, t dt ] 内, CO2的含量的改变量为 dx(t) ℅, 同时以同样的风量将混合均匀的 空气排出, 问鼓风机开动10分钟后, 车间内CO2 的百
y 微分方程的解为 sin ln x C. x
高等数学分级教学A2班教学课件
Dept. Math. & Sys. Sci. 应用数学教研室
dx dy 2 . 例6 求解微分方程 2 2 x xy y 2 y xy
解
dy dx
y 令u , x
y y 2 2 2 y xy x x , 2 2 2 x xy y y y 1 x x dy du 则 ux , dx dx
u 1 u (u 2)
3 2
Cx.
2 3 ( y x ) Cy ( y 2 x ) . 微分方程的解为
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Dept. Math. & Sys. Sci.
dy ax by c 形如 f( ) 的微分方程. dx a1 x b1 y c1
(2) 0, 上述方法不能用.
当 b1 0 时,
a1与 b 中必至少有一个为零 .
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若 b 0, 原方程可分离变量的微分方程.
第二节一阶微分方程-精选文档28页
由通解公式即可得到方程的通解为
y Cecosx.
例 7 求方程 (y - 2xy) dx + x2dy = 0 满足初始
条件 y|x=1 = e 的特解. 解 将所给方程化为如下形式：
ddxy1x22xy0,
这是一个线性齐次方程， 且P(x)1x22x,
y eC1 1 , x
令 C 2 eC 1,则 yC 21 x,C 20.
另外，y = 0 也是方程的解，所以yC2 x
中的 C2 可以为 0， 因此 C2 为任意常数．
这样，方程的通解是
y C . x
求解过程可简化为：
分离变量得 两边积分得 即通解为
dy dx , yx
ddxy1y22 y x1, 这是一个关于未知函数 x = x(y) 的一阶线性非齐次 方程， 其中 P(y)1y22 y, 它的自由项 Q(y) = 1.
代入一阶线性非齐次方程的通解公式，有
xe1y22ydyC
12ydy e y2 dy
1
1
1
y2ey(Cey)y2(1Cey),
1.一阶线性齐次方程的解法
一阶线性齐次方程
yP(x)y0
是可分离变量方程. 分离变量，得
两边积分，得
dy P(x)dx, y
ln yP (x)d xln C ,
所以，方程的通解公式为
yCeP(x)dx.
例 6 求方程 y + (sin x)y = 0 的通解. 解 所给方程是一阶线性齐次方程，且 P(x) = sin x， 则
解 分离变量得
dy kdx, y(ya)
即
一阶微分方程ppt课件
情形2 若λ 是特征方程的单根, 即 2 p q 0 ,
而 2 p 0 , 则令 Q( x) xQm ( x) , 即
y x Qm (x)ex
23
Q ( 2 p )Q ( 2 p q )Q Pm ( x ) ( * ) 情形3 若λ是特征方程的重根,
r1,2 i ,
方程(1)有两个特解 y1 e( i ) x , y2 e( i )x , 由欧拉公式 ei cos i sin 知，
y1 y2
e( i ) x e( i ) x
=e =e
x (cos x (cos
x x
i i
sin sin
x) x)
由叠加原理,
y1 y2
10
1、二阶常系数齐次线性微分方程的解法
y p y q y 0 (1)
方程特点：y, y, y 之间仅相差一个常数. 下面来寻找方程(1)的形如 y er x 的特解.
将 y er x 代入方程(1),得 (r 2 pr q)er x 0 ,
而er x 0 ,于是有
r 2 p r q 0 (2)
的通解.
6
2、二阶非齐次线性微分方程解的结构
y P ( x ) y Q ( x ) y f ( x ) (2) 定理3（非齐次方程通解定理）设 y* 是方程(2)的特解,
Y 是对应齐次方程(1)的通解,那么方程(2)的通解为
y Y y
证 由条件，y * P ( x ) y * Q ( x ) y * f ( x ) , Y P ( x )Y Q ( x )Y 0 ,
x0
x0
解 特征方程为 r2 3r 10 0
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第2节一阶微分方程2。
1变量已经分离的方程(i ）辨认类型：()()p y dy q x dx =(ii ）解法：两边积分得通解()()p y dy q x dx C =+⎰⎰（解析：（1）这是隐函数的通解；（2）任意常数已经单独写出，做不定积分时不需写任意常数.）2.2可分离变量的方程(i ）辨认类型：(,,)0()()F x y y p y dy q x dx '=→=可变型为（ii ）解法：（a)变型为变量已经分离的方程(,,)0()()F x y y p y dy q x dx '=→=变型；(b ）两边积分得通解()()p y dy q x dx C=+⎰⎰以上解方程的方法称为分离变量法.方法虽然简单，但是，分离变量法是微分方程解法的总根。
不管什么方程最后都分离变量求通解。
【例2.1】解方程21d0x y x y.解、原方程0+=分离变量为=。
两边积分C'=-+⎰通解C=【例 2.2】 求方程22(1)d (1)d 0x y x y x y满足初始条件0x y的特解．解、原方程()()22110x y dx y x dy +++=分离变量为2211y xdy dx y x =-++。
两边积分()()22222221111ln 1ln 12211C y xdy dx C y x y x C e y x ''=-+++'+=-+++=+⎰⎰ 通解()()22211(0)C y x C C e'++==>把()0,0代入通解得1C =。
所求特解为()()22111y x ++=2.3可化为可分离变量型的方程 2。
3.1齐次方程（i ）辨认类型:y y x ϕ⎛⎫'= ⎪⎝⎭（ii ）解法：（a ）作变量代换yu x=即y xu =（u 为新的未知函数，u 出来了y 也就有了）。
y u xu ''=+方程变为()u xu u ϕ'+=（b ）分离变量()11du dx u u xϕ=-两边积分()1ln du x C u u ϕ=+-⎰代回u 得通解()1ln yu xdu x C u u ϕ=⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦⎰【例2。
3】 求解22d d y xy xx y ．解、(只有方程没有条件即要求通解。
）原方程22dy xy dx x y =+变型为21y dy x dx y x =⎛⎫+ ⎪⎝⎭。
作变量代换,y dy du u u x x dx dx ==+，方程变为 21du uu x dx u+=+ 分离变量3111du dx u u x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭两边积分21ln ln 2u x C u-+=-+ 代回u 得通解22ln 2x y Cy-=【例2。
4】 求22()d 2d 0x y x xy y 满足初始条件11x y的特解．解、原方程()2220x y dx xydy -+=变型为212y dy x y dx x⎛⎫- ⎪⎝⎭=。
作变量代换,y dy du u u x x dx dx==+，方程变为 212du u u x dx u-+=分离变量2211u du dx u x=-+ 两边积分()2ln 1ln u x C '+=-+代回u 得通解()22ln ln x y x C '+=+即22x y Cx +=（sgn 0C C e x '=≠。
）把()1,1代入上通解得2C =。
所要求的特解是222x y x+=【例2.5】 求解第1节例1。
2中方程22y xxy．解1、原方程y'=变型)2,yx y y y y x-'''===。
作变量代换,y dy duu u xxdx dx==+，方程变为 1du u x dx u+=分离变量1dx x=两边积分21ln 2x C=+22212112ln 12ln 1u wt tdtt t t ==--+=--=-⎰代回u 得通解ln 1ln x C--=+解2、原方程y '=变型dx xdy y =+y 作自变量，x 作函数）.作变量代换,x dx du u u y y dy dy ==+,方程变为duu yu dy +=+ 分离变量1dy y=两边积分(ln ln u y C '=+代回u 得通解ln ln y y C x ⎛ '+=+ ⎝y Cy x += (此例告诉我们，y 和x 用哪个作函数哪个作自变量是人为的，看怎么简单而定。
)2.4一阶线性微分方程（i)辨认类型：()()()0dyP x y Q x dxdyP x y dx+=+=非齐次的齐次的（ii ）解法：先解齐次方程()0dyP x y dx+=.分离变量1()dy P x dx y =-。
两边积分得()0dyP x y dx+=的通解()P x dxy Ce -⎰=。
再解非齐次方程()()dyP x y Q x dx+=. 把()0dyP x y dx+=的通解()P x dx y Ce -⎰=中的任意常数C 改为新的未知函数u ,设()()dyP x y Q x dx+=的解为()P x dx y ue -⎰=(这称为常数变异法）。
()()()P x dxP x dx dy du e P x ue dx dx--⎰⎰=- 代入()()dyP x y Q x dx+=变为 ()()()()()()P x dxP x dx P x dx du e P x ue P x ue Q x dx---⎰⎰⎰-+= ()()P x dx duQ x e dx⎰= ()()P x dxu Q x e dx C ⎰=+⎰所以()()dyP x y Q x dx+=的通解为 ()()()P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰ （任意常数已单独写出,做不定积分是不写任意常数.)为了避免复杂的推导，一般把上式默写下来作为()()dyP x y Q x dx+=通解公式来应用。
因此， 求非齐次方程()()dyP x y Q x dx+=通解的方法：(1）求不定积分()P x dx ⎰；（2）把()P x dx ⎰的结果代入求不定积分()()P x dxQ x e dx ⎰⎰；（3）把()P x dx ⎰和()()P x dxQ x e dx ⎰⎰的结果代入公式()()()P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰直接得到()()dy P x y Q x dx +=的通解。
【例2。
6】 解方程32(1)1y yxx.解、要解的方程是一阶线性方程()32(),()11P x Q x x x =-=++.()()()()()222211()ln ,,1111P x dx P x dx P x dx dx e e x x x x -⎰⎰=-===++++⎰⎰,()()32211()(1)21P x dx Q x e dx x dx x x x ⎰=+=++⎰⎰。
通解 ()22112y x x x C ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭【例2。
7】 求3d ()d 0(0)y x x y y y．解、如果把y 作未知函数，则方程为30dy ydx x y +=-。
它不是线性方程，我们也不认识它的类型。
如果把y 作自变量x 作未知函数,则方程为21dx x y dy y+=。
此是一阶线性方程.()()2111(),(),()ln ,,P y dy P y dy P y Q y y P y dy dy y e y e y y y-⎰⎰======⎰⎰，()24sgn ()4P y dyy Q y e dy y y dy y ⎰==⎰⎰.通解 41sgn 4y x y C y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即314C x y y =+(此例说明，y 和x 用哪个作函数哪个作自变量结果简繁是不一样的。
一般用简单的作函数,用复杂的作自变量。
）【例2.8】 在高空跳伞的过程中，设跳伞者（含降落伞）的质量为m ，在跳伞的下落过程中，跳伞者除受到重力的作用外,还受到空气阻力的作用，阻力大小与下降速度成正比。
设降落伞离开跳伞塔时（0t）的速度为0，求降落伞下落速度与时间的函数关系。
解、设下降速度为()v t ,这是未知函数。
先作受力分析.重力mg ，阻力kv -（大小与速度成正比，方向与速度相反）。
加速度dvdt。
根据力学原理建立微分方程dvmmg kv dt=-，即 dv kv g dt m += 这是一个线性方程.(),()kP t Q t g m==。
()()(),,()k k k t t t P t dt P t dt m m mk mg P t dt t e e Q t e dt g e dt e m k ⎰⎰====⎰⎰⎰。
通解 k kt t mm mg v e e C k -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,即k t m mgv Ce k -=+ 把(0)0v =代入得mgC k=-。
降落伞下降的规律1k t mmg v e k -⎛⎫=- ⎪⎝⎭2。
5伯努利方程 （i ）辨认类型：()()(0,1)dyP x y Q x y dxαα+=≠。
（0α=线性方程，1α=可分离变量.所以0,1α≠。
） (ii ）解法：整理1()()dyy P x y Q x dxαα--+=.与线性方程的差别主要在1y α-。
作变量代换1y u α-=，()1dy duy dx dxαα--=.代入之 ()()1()1()duP x u Q x dxαα+-=- 这是线性方程.通解为()()()1()1()1()P x dx P x dx u e Q x e dx C ααα---⎛⎫⎰⎰=-+ ⎪⎝⎭⎰ ()()dyP x y Q x y dxα+=的通解 ()()()1()1()11()P x dx P x dx y e Q x e dx C αααα----⎛⎫⎰⎰=-+ ⎪⎝⎭⎰【例2.9】 求方程23d ed x y xy y x的通解．解、整理232x dyy xy e dx----=-。
作变量代换2y u -=，32dy duy dx dx--=。
代入之 222x duxu e dx -+= 2()2()2,()2,(),()2P x dxx P x x Q x e P x dx x Q x e dx x -⎰====⎰⎰.()22x u e x C -=+原方程的通解()222x y e x C --=+习题讲解1．用分离变量法求下列方程的通解：（3）2d e d yxyx x（4)d e (1)1d y yx解、（3)分离变量2y x e dy xe dx --=.两边积分得221124y x x e xe e C ---'-=--+.通解21124y x e x e C --⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（4）分离变量1y ye dy dx e=-.两边积分得ln 1ye x C -'-=-+. 通解1ln1xy Ce -=+（本来0C C e '=±≠,但是，经验证0y =也是原方程的解，取消0C ≠的限制。