第六章分支定界法作业题

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整数规划及分支定界法

x2 8 7 6 5 4 3 p 2 1 0 1 2 3 4 5 6 x1
选 x1进行分枝： (P1) x1 3 x2 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 x1 (P2) x1
4
为空集
P p1
（P1）
Min Z= x1+4x2 x1+2x2 6 x1,x2 0 ，x1 3 整数
解：如果令xi=1表示登山队员携带物品i，xi=0表示登山队员不携带物品i，则问题表示成0-1规划:
Max Z= 20x1+15x2 +18x3 +14x4
+8x5 +4x6 +10x7
s.t. 5x1 + 5x2 +2x3 +6x4 +12x5 +2x6 +4x7 25 xi=1或xi=0 i=1,2,….7
s.t. 3x1+4x2 12
用单纯形法可解得相应的松驰问题的最优解（6/5，21/10），Z=111/10为各分枝的上界。
分枝：X1 1,x1 2
x2 4 3 2
P1
1 0
1
P2 2
3
4
x1
两个子问题：
（P1）Max
Z=4x1+3x2
4x1+2x2 9
s.t. 3x1+4x2 12 x1,x2 0 ， x1 1
例 3-1 ：一登山队员做登山准备，他需要携带的物品有：食品，氧气，冰镐，绳索，帐篷，照相机和通讯设备，每种物品的重要性系数和重量如下：假定登山队员可携带最大重量为25公斤。
序号
1
2
3
4

第6章分支限界法-2015

queue.push(-1); // 同层结点尾部标志
ew = queue.front(); // 取下一扩展结点
queue.pop(); i++; // 进入下一层 } }
void enQueue(int wt, int i) {
if (i == n) {//到叶子结点更新bestw if (wt > bestw) bestw=wt;
元素为最小元素的堆称为最小堆，根元素为最大元素的堆称为最大堆。（3）堆中任一子树也是堆。
堆排序是利用堆顶记录的关键值最小（或最大）的性质，从当前待排序列中依次选取关键字最小（或最大）的记录来进行选择排序的一种方法。
在堆排序过程中，需要做两方面的工作： (1) 怎样将给定的待排序记录构成一个初始堆；（2）输出关键字最小（大）的记录后，如何将剩余记录整理成一个新的堆。
p[j]=enode.i;
HeapNode* node = new HeapNode(j,dist[j]);
heap.put(&node); // 加入活结点优先队列
}
堆结点结构
} if (heap.isEmpty()) break;
结点编号 i 路径长度 length
else enode = (HeapNode) heap.removeMin();
如果从当前扩展结点i到顶点j有边可达，且从源出发，途经顶点i再到顶点j的所相应的路径的长度小于当前最优路径长度，则将该顶点作为活结点插入到活结点优先队列中。
这个结点的扩展过程一直继续到活结点优先队列为空时为止。
21
下图是用优先队列式分支限界法解有向图G的单源最短路径问题产生的解空间树。其中，每一个结点旁边的数字表示该结点所对应的当前路长。

第六章分支与界限

4
• 在整个搜索过程中，每遇到一个活结点，就对它的各个孩子结点进行目标函数可能取得值得估算，然后把以此来更新表结点：丢弃不再需要的结点，加入新的结点。再从表中选取“界”取极值的结点，并重复上述过程。 • 随着过程的不断深入，结点表中所估算的目标函数的极值，越来越接近问题的解。当搜索到一个叶子结点时，如果对该结点所估算的目标函数的值就是结点表中最大或最小值，那么沿叶子结点到根结点的路径确定的解就是问题的解。
∞ 5 20 10 23
25 ∞ 16 51 9
41 18 ∞ 25 7
32 31 7 ∞ 11
28 26 1 6 ∞
13
14
6.2.1 费用矩阵的行归约（列归约）
• 费用矩阵c的第i行（或第j列）中的每个元素减去一个正常数lhi（或chj），得到一个新的费用矩阵，使得新矩阵中第i 行（或第j列）中的最小值为0，称为费用矩阵的行归约（列归约），称lhi为行归约常数，称chj为列归约常数。 0 0 1 2 3 4 1 2 3 4 0
∞ 13 3 43 4 0
0 2
3 lh0=3 4
13 ∞ 19 0
0 2 ∞ 0
0 0 0 ∞
∞ 0 19 4 16
0 ∞ 15 45 2
16 13 ∞ 19 0
3 22 2 ∞ 0
3 21 0 0 ∞
的选择中，必然包含第i行的最小元素和第j列的最小元素（除cij之外的）。
ch1=2
25 26
0 ∞ 15 45 2
16 13 ∞ 19 0
3 22 2 ∞ 0
3 21 0 0 ∞
h lhi ch j
j 0
3 4
∞ 5 20 10 23

分支定界法

分支定界法function [x,y]=ILp(f,G,h,Geq,heq,lb,ub,x,id,options) %整数线性规划分支定界法，可求解纯整数规划和混合整数规划。

%y=minf’*x s.t. G*x<=hGeq*x=heq x为全整数或混合整数列向量%用法%[x,y]=ILp(f,G,h,Geq,heq,lb,ub,x,id,options)%参数说明%lb:解的下界列向量（Default:-int）%ub:解的上界列向量（Default:int）%x:迭代初值列向量%id：整数变量指标列向量，1-整数，0-实数（Default:1）global upper opt c x0 A b Aeq beq ID options;ifnargin<10,options=optimset({});options.Display='off';rgeScale='off';endif nargin<9,id=ones(size(f));endif nargin<8,x=[];endif nargin<7|isempty(ub),ub=inf*ones(size(f));endif nargin<6 |isempty(lb),lb=zeros(size(f));endif nargin<5,heq=[];endif nargin<4,Geq=[];endupper=inf;c=f;x0=x;A=G;b=h;Aeq=Geq;beq=heq;ID=id;ftemp=ILP(lb(:),ub(:));x=opt;y=upper;%下面是子函数function ftemp=ILP(vlb,vub)global upper opt c x0 A b Aeq beq ID options;[x,ftemp,how]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,x0,options);if how <=0return;end;if ftemp-upper>0.00005 %in order to avoid errorreturn;end;if max(abs(x.*ID-round(x.*ID)))<0.00005if upper-ftemp>0.00005 %in order toavoid erroropt=x';upper=ftemp;return;elseopt=[opt;x'];return;end;end;notintx=find(abs(x-round(x))>=0.00005); %in order to avoid errorintx=fix(x);tempvlb=vlb;tempvub=vub;if vub(notintx(1,1),1)>=intx(notintx(1,1),1)+1;tempvlb(notintx(1,1),1)=intx(notintx(1,1),1)+1;ftemp=IntLP(tempvlb,vub);end;if vlb(notintx(1,1),1)<=intx(notintx(1,1),1)tempvub(notintx(1,1),1)=intx(notintx(1,1),1);ftemp=IntLP(vlb,tempvub);end;%====================================然后：clc;clearf=[4 4]A=[2 5;2 -2]b=[15;5]Aeq=[];beq=[];LB=[0 0];UB=[];[xn,yn]=ILp(f,A,b,Aeq,beq,LB,UB,[1 1],1,[]) [x,fval,exitflag]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,LB,UB)结果：xn =0 0yn =Optimization terminated.x =1.0e-013 *0.2990040786747590.503948216933779fval =3.211809182434153e-013exitflag =1matlab的整数规划功能不行，还不如EXCEL的solver。

5.2 分支定界法

min Z x1 5 x 2 x 1 x 2 2 5 x1 6 x 2 30 4 x1 x1 , x 2 0
LP
用图解法求松弛问题的最优解，如图所示。
x1＝18/11, x2 =40/11 Z=－218/11≈(－19.8) 即Z 也是IP最小值的下限。对于x1＝18/11≈1.64，
分枝定界法注意事项：
(1)、分枝变量选择原则： ① 按目标函数系数：选系数绝对值最大者变量先分。
对目标值升降影响最大。
② 选与整数值相差最大的非整数变量先分枝。
③ 按使用者经验，对各整数变量排定重要性
的优先顺序。
(2)、分枝节点选择：
① 深探法(后进先出法)：
最后打开的节点最先选，尽快找到整数解。整数解质量可能不高。 ② 广探法：选目标函数当前最大值节点，找到的整数解质量高。慢。
max Z 4 x1 3 x 2
10
B
LP2:X=(4,6.5), Z2=35.5
LP1 LP2 o 3 4 C ①
1.2 x1 0.8 x 2 10 2 x1 2.5 x 2 25 LP 2 : x1 4 x1 , x 2 0
②
x2
选择目标值最大的分 LP 枝 2进行分枝，增加约束 x 2 6及x 2 7，显然 x 2 7不可行，得到线性规划
例5.6 用分枝定界法求解整数规划问题
min Z x1 5 x 2 x 1 x 2 2 IP 5 x1 6 x 2 30 4 x1 x1 , x 2 0且全为整数
解：首先去掉整数约束，变成一般线性规划问题(原整数规划问题的松驰问题)

流水生产线设计题库

第06章流水生产线设计_题库
一、名词解释（20分，每小题5分）
1、流水生产
2、流水线平衡
3、分支定界法
4、流水线节拍
二、填空题（20分，每小题2分）
1、进行流水线作业方法改善的改善四要法(ECRS)包括：、、、。

2、流水线平衡的方法有：、。

3、流水线按生产对象的数目可以分为：、。

4、流水线按连续程度可以分为：、。

三、选择题（10分，每小题5分）
1、流水线生产适合下列哪种生产方式（）。

A.大量生产
B.成批生产
C.单件小批生产
D.定制生产
2、当设备负荷系数Ka>0.75时，该流水线是（）。

A.间断流水线
B.连续流水线
C.成组流水线
D.可变流水线
四、简述题（20分，每小题10分）
1、简述流水线平衡的方法。

2、对给定的流水线进行平衡,如何确定闲置时间比率?
五、计算题（30分，每小题15分）
1、欲使有17项作业的生产线平衡.作业时间最长的为1.2min,所有作业的时间之和为18min,该生产线每天工作540min.
1)可能的最小和最大的节拍分别是多少?
2)从理论上看,该生产线的产量范围是什么?
3)如果要求达到最大的产量,最少所需工作地数是多少?
2、12个作业进行流水线平衡，工作时间及先后顺序如表所示。

已知节拍为1.5min
1)画出产品装配网络图。

分支定界法——精选推荐

分⽀定界法分⽀定界法（branch and bound）是⼀种求解离散数据组合的最优化问题。

该算法执⾏的效率取决于你所找的问题解空间的上下界，如果找到⼀个很紧凑的上下界进⾏剪枝操作，该算法的执⾏效率会⾮常⾼，因此它是最有可能在多项式时间内求解NP问题的算法。

使⽤分⽀定界算法的⼀般步骤为：构造⼀棵搜索树，该搜索树指的是所有解空间，因此通过遍历该搜索树可以遍历到所有的解；构造问题解的上下界，上界⼀般为之前求出的最优解，下界为⽆约束条件下当前搜索路径的最优解，上下界的主要作⽤是对搜索树进⾏剪枝；通过回溯法遍历搜索树，并且不断更新上下界，如果当前解的下界已经超过上界，则进⾏剪枝；遍历结束时，所求的解为最优解。

接下来通过⼀个实例来讲解分⽀定界算法：某公司于⼄城市的销售点急需⼀批成品，该公司成品⽣产基地在甲城市。

甲城市与⼄城市之间共有 n 座城市，互相以公路连通。

甲城市、⼄城市以及其它各城市之间的公路连通情况及每段公路的长度由矩阵M1 给出。

每段公路均由地⽅政府收取不同额度的养路费等费⽤，具体数额由矩阵 M2 给出。

请给出在需付养路费总额不超过 1500 的情况下，该公司货车运送其产品从甲城市到⼄城市的最短运送路线。

(题⽬来源：北航研究⽣算法课)⾸先构造⼀棵搜索树，该搜索树并不需要显⽰的构建，⽽是在搜索过程中所遵循的⼀种搜索规则。

对于上述问题，以甲城市为根节点构建⼆叉树，其它节点由剩余城市表⽰，树的左⼦树表⽰当前路径包含该⽗节点，树的右⼦树表⽰当前路径不包含该⽗节点。

如图所⽰该搜索路径所表⽰的实际路径为1-3-4，即路径中不包含城市2。

然后分析该问题解的上下界：搜索路径的上界为当前已经求出的满⾜条件的最短路径长度。

搜索路径的下界为当前路径长度与⽆约束条件下路径终点到城市⼄的最短路径长度之和。

若上界⼤于下界，则可以继续搜索；若上界⼩于下界，则表⽰⽆更优解，此时可进⾏剪枝操作。

其中⽆约束条件下的任意点到城市⼄的最短路径长度可以使⽤Dijkstra或Floyd算法预先求出。

《算法设计与分析》-第六章分支限界

例：n=3,w=[16,15,15],p=[45,25,25],c=30 队列式(FIFO)分支限界法
1 1 D 1 H 0 I 1 J B 0 E 0 K 1 L 1 F M 1 N A 0 C 0 G 0 O
6.2
0-1背包问题背包问题
优先队列式分支限界法算法的思想
首先，要对输入数据进行预处理，将各物品依其单位重量价值从大到小进行排列。在下面描述的优先队列分支限界法中，节点的优先级由已装袋的物品价值加上剩下的最大单位重量价值的物品装满剩余容量的价值和。算法首先检查当前扩展结点的左儿子结点的可行性。如果该左儿子结点是可行结点，则将它加入到子集树和活结点优先队列中。当前扩展结点的右儿子结点一定是可行结点，仅当右儿子结点满足上界约束时才将它加入子集树和活结点优先队列。当扩展到叶节点时为问题的最优值。
6.1 分支限界法的基本思想
3. 常见的两种分支限界法
(两种选择下一个E节点的方法：) （1）队列式(FIFO)分支限界法按照队列先进先出（FIFO）原则选取下一个节点为扩展节点。（2）优先队列式分支限界法按照优先队列中规定的优先级选取优先级最高的节点成为当前扩展节点。
6.2
Байду номын сангаас
0-1背包问题背包问题
6.3 回溯法与分支限界法对比
优先队列分支限界法能够有效地减少搜索的结点数目，从而减少计算时间。因此比较适合于求解目标则是找出满足约束条件的一个解或最优解；而回溯法则比较适合于找出解空间树中满足约束条件的所有解。回溯法比分支限界在占有内存方面具有优势。 – 回溯法占用的内存是O(解空间的最大路径长度)，而分支定界所占的内存为O(解空间的大小)。对于子集空间，回溯法需O(n)的内存空间，而分支定界需O(2n) 对于排列空间，回溯法需O(n)的内存空间，而分支定界需O(n!)

分支限界法题目

All values in the input file are integers.
Output
Print to the output file the single integer ?the maximal sum of prosperity of gangsters in the restaurant. In case when no gangster can enter the restaurant the output should be 0.
The forth line of the input file contains the values of the stoutness of gangsters S1, S2, ..., SN, separated by spaces. ( 1 <= Si <= K for i = 1, 2, ..., N)
Sample Input
N K T
4 10 20
T1 T2 T3 T4
10 16 8 16
10 11 15 1
10 7 1 8
Sample Output
26
第一题：用分支限界法解决最优装载问题（主要学习思想）
二、问题描述
给定2×n个方格组成的一行方格。除了两个相邻的空方格外，其余每个方格中都放入
了一枚金币或一枚银币。共有n-1枚金币和n-1枚银币。任何两个非空方格中的钱币可以移动到两个相邻的空格中，但不能改变线币的排列顺序。金币变换问题要求用最少移动次数将所有金币移到所有银币的左边。
The third line of the input file contains the values of the prosperity of gangsters P1, P2, ..., PN, separated by spaces. ( 0 <= Pi <= 300 for i = 1, 2, ..., N)

第6章分支限界

T Ew = 0, //当前扩展节点的重量
bestw = 0; // 目前的最优值
r = 0;
// 当前扩展节点中余下的重量
for (int j = 2; j <= n; j++)
r + = w[i];
23
while (true) { // 检查扩展结点的左孩子
T wt = Ew + w[i]; // 左孩子的权值 if (wt <= c) { // 可行的左孩子
template< class Type>
class QNode
{QNode *parent; // 指向父结点的指针
bool LChild; // 左儿子标志
Type weight; // 结点所相应的载重量
};
26
0
16
true
0 fals e
0
16 fals e
15 0 true
0
1
6
0
3
1
n
wi c1 c2
i 1
装载问题要求确定是否有一个合理的装载方案可将这些集装箱装上这2艘轮船。如果有，找出一种装载方案。
容易证明：如果一个给定装载问题有解，则采用下面的策略可得到最优装载方案。
(1)首先将第一艘轮船尽可能装满；
(2)将剩余的集装箱装上第二艘轮船。
14
0
1
6
0
3
1
16
1

0
5
1
分支限界法的搜索策略
• 在扩展结点处，先生成其所有的儿子结点（分支），然后再从当前的活结点表中选择下一个扩展结点。
• 为了有效的选择下一扩展结点，以加速搜索的进程，在每一活结点处，计算一个函数值，并根据这些已计算出的函数值，从当前活结点表中选择一个最有利的结点作为扩展结点，使搜索朝着解空间树上有最优解的分支推进，以便尽快地找出一个最优解

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7.某产品装配作业及其顺序在表中给出。试将这些作业安排到各
工作地以形成一条流水线。这条流水线每天运行7.5h，要求每
天生产1000件产品。（p117）
表6-6 各作业的时间和顺序

作业时间/min 紧前作业作业时间/min 紧前作业
A 15 - G 11 C
B 24 A H 9 D
C 6 A I 14 E
D 12 B J 7 F,G
E 18 B K 15 H,I
F 6 C L 10 J,K

(1) 画出装配网络图。

ABCDEFHIJKL
G
(2) 针对预定1000件产品的产量用分支定界法进行流水线平衡。
生产节拍r=工作时间/计划产量=7.5*60*60/1000=27s/件
S=Tr=1524612186119147151027≈6个
111k
k

TTSr







全部作业

A,C,FBG,JA

D,HG,J
EG,J
G,JI
K,L

66666677777181818181827
15

24
21

14
25
因此可以得到流水线平衡的结果为：
工作地1：{ A,C,F }
工作地2：{ B }
工作地3：{ D,H }
工作地4：{ E }
工作地5：{ G,J }
工作地6：{ K,L }
(3) 根据（2）中的条件，计算装配线平衡后的效果
该流水生产线平衡方案的设备利用率=装配网络图上各项作业
的时间总和/（节拍*工作地数）=147/(27*6) ≈90.74%
(4)生产开始后，市场部意识到他们低估了市场需求，决定将产
量提高到1500件。应该采取什么措施？试定量地作出回答。
当产量提高到1500件的时候，生产节拍r=工作时间/计划产量
=7.5*60*60/1500=18s/件，由于生产节拍r变快了，

S=Tr=1524612186119147151018≈9个，所以应该
增加工作地数。