运筹学3.4 分枝定界法
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运筹学第三节分支定界法
Z=4
整理课件
10
运筹学教程
不同的搜索策略会导致不同的搜索树，一般 情况下，同一层的两个子问题，先搜索目标 函数比较大的较有利（如果是极小问题，则 应先搜索目标函数值小的较为有利）。这样 可能得到数值比较大的下界，下界越大被剪 去的分支越多。
分支定界算法对于混合整数规划特别有效， 对没有整数要求的变量就不必分支，这将大 大减少分支的数量。
确定整数解目标函数值上下界并不断更新 ，“剪除”目 标函数值小于下界的分支的过程，称为定界（Bound）。
整理课件
4
运筹学教程
整数规划问题的求解方法 分支定界法图解整数规划
松弛问题 Max Z = X1 + X2 14X1 + 9X2 ≤ 51 - 6X1 + 3X2 ≤ 1 X1 ， X2 ≥ 0
B1 Max Z = X1 + X2
14X1 + 9X2 ≤ 51
- 6X1 + 3X2 ≤ 1
X1
≥2
X1 ， X2 ≥ 0
B2 Max Z = X1 + X2
14X1 + 9X2 ≤ 51
- 6X1 + 3X2 ≤ 1
X1
≤1
X1 ， X2 ≥ 0
6
运筹学教程
（3/2 ，10/3） Z1 = 29/6
0, B采用原加工方式 y1 1, B不采用原加工方 多余式 的约束
0, B采用新加工方式 y2 1, B不采用新加工方式
当y1=1,y2=0;采用
st.00..23xx11
0.5x2 0.4x2
150My1 120My2
新工艺,(2)式成立;
y1 y2 1 整理课件
15
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不同的搜索策略会导致不同的搜索树，一般 情况下，同一层的两个子问题，先搜索目标 函数比较大的较有利（如果是极小问题，则 应先搜索目标函数值小的较为有利）。这样 可能得到数值比较大的下界，下界越大被剪 去的分支越多。
分支定界算法对于混合整数规划特别有效， 对没有整数要求的变量就不必分支，这将大 大减少分支的数量。
确定整数解目标函数值上下界并不断更新 ，“剪除”目 标函数值小于下界的分支的过程，称为定界（Bound）。
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整数规划问题的求解方法 分支定界法图解整数规划
松弛问题 Max Z = X1 + X2 14X1 + 9X2 ≤ 51 - 6X1 + 3X2 ≤ 1 X1 ， X2 ≥ 0
B1 Max Z = X1 + X2
14X1 + 9X2 ≤ 51
- 6X1 + 3X2 ≤ 1
X1
≥2
X1 ， X2 ≥ 0
B2 Max Z = X1 + X2
14X1 + 9X2 ≤ 51
- 6X1 + 3X2 ≤ 1
X1
≤1
X1 ， X2 ≥ 0
6
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（3/2 ，10/3） Z1 = 29/6
0, B采用原加工方式 y1 1, B不采用原加工方 多余式 的约束
0, B采用新加工方式 y2 1, B不采用新加工方式
当y1=1,y2=0;采用
st.00..23xx11
0.5x2 0.4x2
150My1 120My2
新工艺,(2)式成立;
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分枝定界法
4
x1
x2 x1
16.5 4
x1 0, x2 0
结论1 ：（IP）的最优解一定在某个子问题中
2 ：子问题的可行域 父问题的可行域 子问题的最优解 ≤ 父问题的最优值
3 ：子问题中的整数解都是（IP）的可行解
二: 定界,以每个后继问题为一分枝标明求解结 果,在解的结果中,找出最优目标函数值最大者作 为新的上界.从已符合整数条件的各分支中,找出 目标函数值为最大者作为新的下界,若无,则下界 为0.
x1 x2 x3 x4 x5 解
检 0 0 -20/3 0 -50/3 Z-440/3
x2 0
x1 1 x4 0
1 1/3 0
00
0
0 -1/3 1
-2/3 17/6 13 -10/3 5/3
L1最优解：x1 3，x2 17 6 , x3 0
x4
5 3
,
x5
0,
最优值：z1
440 3
求解子问题L3 :
x1 x2 x3
检 0 0 -20/3
x2 0 1 1/3 x1 1 0 0 x4 0 0 -1/3
x6 0 1 0
x4 x5
x6
0 -50/3 0
00 1
解 Z-440/3 17/6 3 5/3
2
最优解：
xx14
35，/ 2x，2 x52, x03,
11 4，x2 0，x4
3, 52，
z3 130 得下界
x5 14 , x6 0
z4
285 2
z3
L5
:x1 x3
2，x2 0，x4
4.3.1 分枝定界法
四、分枝定界法求解实例
LP0 ： 1 7 5 x1 3 , x 2 2 , Z 3 2 9 9 9
上界： 32 下界： 0 5 9
x1≤3
L P1 ： 6 2 , Z 32 7 7
x1 ≥4
LP 2 ： x 1 4 , x 2 1, Z 2 9
上界： 32 下界： 29 2 7
z 0, z 35 .5
x2≥7 无可行解
z 0, z 35 .3
x1≥5 LP5:X=(5,5) Z5=35 分枝过程图示
z 35, z 35
OR:SM
x* (5,5), z* 35
例2：
MaxZ 6 x1 5 x 2 2 x1 x 2 9 5 x 7 x 35 1 2 s .t . x1 , x 2 0 x1 , x 2 取整数
运筹学--管理科学方法
李军
桂林电子科技大学商学院
第三节 （I）分枝定界法
1.分枝定界法的创立者 2.分枝定界法求解依据 3. 分枝定界法求解步骤 4.分枝定界法求解实例 5.分枝定界法求解小结 6. 算法应用注意事项
2
OR:SM
一、分枝定界法的创立者
理查德·卡普（Richard Karp）教授1935年1月3日生 于波士顿，从小时起就兴趣广泛，聪明过人。在哈 佛大学时他文理兼修， 1955 年先获得文学学士学位 ，第二年又获得理科硕士学位。之后他进入哈佛大 学的计算实验室攻读博士，于 1959 年取得应用数学 博士学位。现任美国加州大学伯克利分校计算机科 学讲座教授，美国科学院、美国工程院、美国艺术 与科学院、欧洲科学院院士。因其在计算机科学领 域的杰出贡献曾获图灵奖、冯诺依曼奖、美国国家 科学勋章、哈佛大学百年奖章等奖项. 卡普和他的同事海尔特（M．Held）20世纪60年代，经过反复研究，提出 了一种称为“分枝限界法”（branch—and—bound method）的新方法。该方 法的要点是：对解集合反复进行分枝，每次分枝时，都对所得的子集计算最 优解的界。如果对某个子集求得的界不优于已知的允许解，则抛弃此子集不 再进行分枝；否则继续分枝以探索更好的解，直到所得的子集仅含有一个解 时为止。分枝限界法就其实质而言是一种求解策略而非算法，具体算法要根 据实际问题的特点去实现。但由于这种方法在求解许多问题中都非常实用， 因此常常被直呼为“分枝限界算法”。
分枝定界 python
分枝定界 python分枝定界法简介分枝定界法是一种求解组合优化问题的算法，其核心思想是将问题分解成一系列子问题，并对每个子问题使用上界和下界进行限制。
这种分而治之的方法允许算法高效地搜索解决方案空间，并最终确定最优解。
算法步骤1. 初始化：从问题的初始状态开始，并计算该状态的成本下界。
2. 分支：将当前状态分解成多个子状态，每个子状态代表可行的解决方案。
3. 定界：对于每个子状态，计算其成本上界和下界。
4. 剪枝：如果一个子状态的成本上界低于当前最佳解的成本下界，则可以将其剪枝，因为它不可能产生更优解。
5. 递归：对于未被剪枝的子状态，递归地应用分枝定界法。
6. 回溯：如果所有子状态都被剪枝或探索完毕，则回溯到父状态并继续搜索。
优势分枝定界法具有以下优势：保证最优解：算法保证找到最优解，只要问题是整数规划问题。
高效：通过使用上界和下界进行剪枝，算法避免了对整个解决方案空间的穷举搜索。
适用于各种问题：分枝定界法可以用于求解各种组合优化问题，包括旅行商问题、背包问题和装箱问题。
劣势分枝定界法也存在一些劣势：计算量大：对于大规模问题，算法可能需要大量的计算时间。
存储需求：算法需要存储大量信息，包括子问题、上界和下界。
不易并行化：分枝定界法通常不容易并行化，这限制了其在大规模问题上的可扩展性。
改进为了提高分枝定界法的效率，已经提出了多种改进技术：有效的启发式：使用启发式方法来生成良好的初始解，可以减少搜索空间。
松弛：使用线性规划或其他松弛技术来计算更紧的下界。
基于约束的传播：传播约束之间的逻辑关系，以减少剪枝所需的计算。
可变邻域搜索：在当前解周围搜索，以逃离局部最优解。
总体而言，分枝定界法是一种功能强大的算法，可用于求解各种组合优化问题。
通过利用上界和下界进行剪枝，该算法可以高效地搜索解决方案空间，并保证找到最优解。
然而，对于大规模问题，计算量和存储需求可能成为限制因素。
改进技术有助于克服这些限制，并提高算法的效率。
运筹学_分支定界法
⑵
5 x1 6 x 2 3 0
x2
A 3 B
⑴x
1
x2 2
⑶
x1 4
1
1
3
x1 5 x 2 Z
x1
求（LP2） ,如图所示。
m a x Z x1 5 x 2 x1 x 2 2 5 x 6 x2 30 1 ( IP 2 ) x 1 4 x 2 1 x1 , x 2 0 且 为 整 数
x1 x 2 2 x1 x 2 2 5 x 6 x2 30 5 x 6 x2 30 1 1 x1 x1 4 4 ( IP 2 2 ) ( IP 2 1) 2 2 x1 x1 x x 4 3 2 2 x1 , x 2 0 且 为 整 数 x1 , x 2 0 且 为 整 数
第三节 分枝定界法
（一）、基本思路 考虑纯整数问题：
m ax Z
n
c
j 1
n
j
xj
a ij x j b i ( i 1 .2 m ) ( IP ) j 1 x 0 ,( j 1 .2 n ) 且 为 整 数 j
m ax Z
c
j 1
n
记为（IP）
解：首先去掉整数约束，变成一般线性规划问题
m a x Z x1 5 x 2 x1 x 2 2 5 x1 6 x 2 3 0 4 x1 x ,x 0 1 2
记为（LP）
用图解法求（LP）的最 优解，如图所示。
m a x Z x1 5 x 2 x1 x 2 2 5 x1 6 x 2 3 0 4 x1 x ,x 0 1 2
分枝定界法
第8页/共34页
束——缩小可行域;将原整数规划问题分枝——分为两个子 规划,再解子规划的伴随规划……通过求解一系列子规划的 伴随规划及不断地定界 .最后得到原整数规划问题的整数最 优解 . 下面结合一个极大化例题来介绍分枝定界法的主要思路 .
例2 某公司计划建筑两种类型的宿舍.甲种每幢占地0.25 ×103m2, 乙种每幢地0.4×103m2.该公司拥有土地3×103m2. 计划甲种宿舍不超过 8 幢,乙种宿舍不超过4幢.甲种宿舍每 幢利润为10万元，乙种宿舍利润为每幢20万元.问该公司应
x2 3 x1, x2 0
问题 B4
max f 20 x1 10 x2
5x1 8x2 60
x1 8
s.t
x2 4 x1 6
x2 4 x1, x2 0
它们的可行域分别为 K3, K4 ( ). 见图3。
第21页/共34页
x2
因为 K4 ，问题 B4
4
无可行解，此问题已
3
作出问题 A1, 的A2伴随规划 B则1, 问B2题, 的可B1行, B2, 域为 K1, K见2图, 2(b). 以下我们将由同一问题分解出的两
个分枝问题称为"一对分枝".
第15页/共34页
x2
4
x2
3
2 1
O
246
8 x1
O
12 4
6
8
x1
(a)
(b)
图2 ( a )
4. 分别求解一对分枝
在一般情况下,对某个分枝问题(伴随规划)求解时,可能出现 以下几种可能:
x1, x2 0, 整数
（1）
第3页/共34页
若暂且不考虑 x1, x取2 整数这一条件.则(1)就变为下列 线性规划 :
束——缩小可行域;将原整数规划问题分枝——分为两个子 规划,再解子规划的伴随规划……通过求解一系列子规划的 伴随规划及不断地定界 .最后得到原整数规划问题的整数最 优解 . 下面结合一个极大化例题来介绍分枝定界法的主要思路 .
例2 某公司计划建筑两种类型的宿舍.甲种每幢占地0.25 ×103m2, 乙种每幢地0.4×103m2.该公司拥有土地3×103m2. 计划甲种宿舍不超过 8 幢,乙种宿舍不超过4幢.甲种宿舍每 幢利润为10万元，乙种宿舍利润为每幢20万元.问该公司应
x2 3 x1, x2 0
问题 B4
max f 20 x1 10 x2
5x1 8x2 60
x1 8
s.t
x2 4 x1 6
x2 4 x1, x2 0
它们的可行域分别为 K3, K4 ( ). 见图3。
第21页/共34页
x2
因为 K4 ，问题 B4
4
无可行解，此问题已
3
作出问题 A1, 的A2伴随规划 B则1, 问B2题, 的可B1行, B2, 域为 K1, K见2图, 2(b). 以下我们将由同一问题分解出的两
个分枝问题称为"一对分枝".
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x2
4
x2
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2 1
O
246
8 x1
O
12 4
6
8
x1
(a)
(b)
图2 ( a )
4. 分别求解一对分枝
在一般情况下,对某个分枝问题(伴随规划)求解时,可能出现 以下几种可能:
x1, x2 0, 整数
（1）
第3页/共34页
若暂且不考虑 x1, x取2 整数这一条件.则(1)就变为下列 线性规划 :
运筹学课件第三节分支定界法
算法改进
针对不同问题的特点，分支定界法在算法实现上 不断进行优化和改进，以提高求解效率。
3
理论分析
分支定界法的理论分析涉及算法的收敛性、复杂 度等方面，为算法的改进提供了理论支持。
分支定界法的发展趋势
混合整数规划问题求解
随着混合整数规划问题的广泛应用，分支定界法在求解这类问题 上的研究逐渐成为热点。
理论深化与完善
进一步深化分支定界法的理论分析，完善算法的理论体系。
应用拓展
拓展分支定界法的应用领域，解决更多实际问题。
THANKS
感谢观看
运筹学课件第三节分支定界法
contents
目录
• 分支定界法的概述 • 分支定界法的算法原理 • 分支定界法的实现过程 • 分支定界法的案例分析 • 分支定界法的优缺点分析 • 分支定界法的前沿研究与展望
01
分支定界法的概述
分支定界法的定义
分支定界法是一种求解整数规划问题 的算法个子问题的解的 界，来逐步逼近最优解。
03
分支定界法的实现过程
问题建模与参数设定
确定决策变量
根据问题的具体情况，确定决策 变量，并为其设定合适的取值范
围。
定义目标函数
明确问题的目标，将其表示为一个 数学表达式，以便进行优化。
约束条件
根据问题的限制条件，建立相应的 约束条件。
建立搜索树与初始化
建立搜索树
根据问题建模的结果，建立一个 搜索树，用于表示问题的解空间 。
的获取概率。
优化分支策略
02
通过改进分支策略，减少算法产生的分支数量，降低算法的复
杂度和计算量。
引入智能搜索策略
03
将智能搜索策略（如遗传算法、模拟退火等）与分支定界法结
针对不同问题的特点，分支定界法在算法实现上 不断进行优化和改进，以提高求解效率。
3
理论分析
分支定界法的理论分析涉及算法的收敛性、复杂 度等方面，为算法的改进提供了理论支持。
分支定界法的发展趋势
混合整数规划问题求解
随着混合整数规划问题的广泛应用，分支定界法在求解这类问题 上的研究逐渐成为热点。
理论深化与完善
进一步深化分支定界法的理论分析，完善算法的理论体系。
应用拓展
拓展分支定界法的应用领域，解决更多实际问题。
THANKS
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目录
• 分支定界法的概述 • 分支定界法的算法原理 • 分支定界法的实现过程 • 分支定界法的案例分析 • 分支定界法的优缺点分析 • 分支定界法的前沿研究与展望
01
分支定界法的概述
分支定界法的定义
分支定界法是一种求解整数规划问题 的算法个子问题的解的 界，来逐步逼近最优解。
03
分支定界法的实现过程
问题建模与参数设定
确定决策变量
根据问题的具体情况，确定决策 变量，并为其设定合适的取值范
围。
定义目标函数
明确问题的目标，将其表示为一个 数学表达式，以便进行优化。
约束条件
根据问题的限制条件，建立相应的 约束条件。
建立搜索树与初始化
建立搜索树
根据问题建模的结果，建立一个 搜索树，用于表示问题的解空间 。
的获取概率。
优化分支策略
02
通过改进分支策略，减少算法产生的分支数量，降低算法的复
杂度和计算量。
引入智能搜索策略
03
将智能搜索策略（如遗传算法、模拟退火等）与分支定界法结
分支定界法
第三节 分枝定界法
• 分枝定界法基本思想 • 分枝定界法计算步骤
1. 分枝定界法基本思想
最优值比界坏
舍弃
最优解为整数 最优值比界好
最优解为非整 数最优值比界好
分 枝 边界
分枝
1. 分枝定界法基本思想续
0
N
I
B1N
cB B1b B 1b
xr br Z
br xr br 1
1. 分支定界法基本思想续
• 分枝的方法 min c x
Ax b s.t.x 0, x为整数
min c x
Ax b
s.t.xr
br
x 0, x为整数
1. 分枝定界法基本思想续
• 分枝方法示意图
1. 分枝定界法基本思想续
• 定界 1. 当前得到的最好整数解的目标函数值
2. 分枝后计算松弛的线性规划的最优解
整数解且目标值小于原有最好解的值则替代原有 最好解
整数解且目标值大于原有最好解的值则 删除该分 支其中无最优解
非整数解且目标值小于原有最好解的值则继续分 支
非整数解且目标值大于等于原有最好解的值则删 除该分支其中无最优解
2. 分枝定界法计算步骤
z z 3x52xz(2,1()1,332.2)5xx例((xPP2))(x231.25.,(1323) ,(52.Px))1z(P1解) (4xP答(x)P1)3 x 无解(2,x32) 2无z 解(P )72 5 1 5 13 T T 1 3 115 0 T 2T 0 3 12 1 6 2 2 T 2 4
2. 分枝定界法计算步骤-例题
• 例3.3.1
minZ (x1 x2 )
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Th.2 : 若下列三个条件中的任何一个得以满足, 则分枝定 界树可以在对应于S i的结点处被剪枝 :
(ⅰ) 不可行性 : S i ;
i (ⅱ) 最优性 : 已找到 ( IP )的一个最优解 ;
i ( ⅲ ) 最优值比较 : z IP zIP .
XJTU
第三章 整数线性规划
OR
实际中, 遇到满足条件(ⅰ)与(ⅱ)的机会并不多, 常常通过 求解( IPi )的某个松弛问题或它的弱对偶问题来应用条件( ⅲ ) .
S S0
S1
的子结点, 而 S 1 称为 S 11 , S 12 , S 13 的 根结点, 没有子结点的结点为 11 S S 12 叶结点. 从一个结点到任一 子结点之连线称之为一个 121 S 分枝, 称由根结点到某个叶 结点所对应的一组分枝为一条路经 .
S2
S 13 S 122
S 21
i i ( RP ),设该松弛问 ( IP ) 其从L中删除. 求解 的某个松弛问题
i 题的最优值为 zR , 并设 xR 为其一个最优解(若存在的话) .
i
S 4 (剪枝) i zIP , 则转S 2 ; a ) 若 zR
i S i, 则转S 5 ; b ) 若 xR
i i i i c ) 若 xR S 且 cxR zIP , 则令 zIP cxR , 并从L中删去所有使
2. ( IPi )的最优值不会大于( RPi )的最优值 .
i 3. 若( RPi )的一个最优解为 ( IPi )的可行解, 则它也是( IP )的
一个最优解 .
由这些结论和定理2, 可得用于判别可否剪枝的实用条件 .
XJTU
第三章 整数线性规划
OR
Th.3 : 如果下列三个条件中的任何一个得以满足, 则分 枝定界树可以在对应于 S i 的结点处被剪枝 :
算法, 故也被称为隐含枚举法 .
i ( IP ) 在下面给出的算法描述中, L表示一系列整数规划 i i i z max cx : x S ( IP ) ,其中 , Si S 的集合, 每个 具有形式 IP
i i z z 与L 中每个问题相关联地有一个上界 .. IP
一般分枝定界算法步骤 :
Def. 称 S i : i 1,
且对 i, j 1,
zIP max cx : x S
, k 为 S 的一个划分, 如果
分枝可通过划分描述 :
k i=1
Si S ,
, k , i j, 有 S
i
S .
j
XJTU
i ( IP ) Th.1 : 令
第三章 整数线性规划
S 22
XJTU
第三章 整数线性规划
OR
以上划分过程的极限情形就是对可行解集合S中所有元素 的枚举. 因此也将分枝定界树称为枚举树. 假定 S 已被划分为子集合 S1,
, S k. 如果可以论证对于
某个 S i (1 i k )没有必要做进一步的划分, 则说分枝定界树 可以在对应于 S i 的结点处被剪枝, 或简称为 S i 可以被剪枝 .
OR
z i IP max cx : x S i
这里 S
i k i=1
i z max z 为 S 的一个划分, 则 IP IP . 1i k
划分常常是递归进行的, 如右图所示的分枝定界树.
Def. 称结点 S11, S12 , S13 为结点 S1
父结点.没有父结点的结点称为
i 设( RP )为( IP )的任一个松弛问题, 即 ( RP )的可行解集合 SR
i i
i
i i i i ( x) . 和目标函数 zR ( x)满足: S i SR , 且对任意的 x S ,有 cx zR
因此, 有下列明显结论 : 1. 若( RPi )不可行, 则 ( IPi )也不可行.
i ⅰ) ( RP )不可行 ;
i i i i i S i 且 zR ( xR ) cxR ⅱ) ( RPi ) 的一个最优解 xR 满足 xR ;
ⅲ ) 对( IP )的某个可行解所对应的目标函数值 zIP ,
i i 有 zR ( xR ) zIP .
分枝定界法中的定界就泛是指使用任一策略来寻找、并 不断改进下界 zIP(有时还包括某个上界)的过程 .
i i cx z 得 z zIP 的问题 ( IP ). 如果 R R ,则转S 2 , 否则转S 5 .
i
i
S 5 (划分)
设 S
k
( IP )
ij
ij i z z 加到 L 中去 , 并令 j=1 R , j 1,
ij k R j=1
为 S i 的一个划分, 将由此产生的新问题
John Wiley & Sons, 1988
XJTU第三章 整Fra bibliotek线性规划OR
思想 : 间接地列举或检验整数规划问题的所有可行解.
有效判别或检验准则的制定、适当限制条件的构造等 对于该方法的效率影响很大 .
一. 一般分枝定界法
分枝实质上是对问题可行解集的划分或分解 . 考虑线性整数规划问题
( IP )
§ 3.4
分枝定界法
XJTU
第三章 整数线性规划
OR
参考文献
马仲蕃 线性整数规划的数学基础 陈志平，徐宗本 计算机数学 Nemhauser G.L. & Wolsey L.A. Integer and Combinatorial Optimization 科学出版社，2001 科学出版社，1998
i 一般地, 假设刚刚求解了( IP )的一个松弛问题, 则在分枝
运算对应的修正、加细步, 首先划分 S , 取 S
i
i
k j=1
S i j ,然后构造
集合S 的松弛 S
ij
ij R,
k
使得
j=1
S S
ij R
i R
.
XJTU
第三章 整数线性规划
OR
基于上述过程的分枝定界法是一个带有枚举特点的松弛
S 1 (初始化) S 2 (终止检验)
L (IP) , S 0 S , z 0 , zIP .
0 0 如果 L , 则使得 zIP cx 的解 x 即为
原问题的最优解, 终止 .
XJTU
S 3 (问题选取与松弛)
第三章 整数线性规划
OR
i ( IP ), 并随之将 从L中选取一个问题
, k . 转S 2 .