分支定界法
分支定界法
分支定界法分支定界法是指以系统的结构为根据，划分以增强系统的面向特性来提出设计方案和获取满足特性的分析。
它旨在深入讨论系统的面向，思考如何穿越技术障碍，为建设一个系统或程序制定高效的解决方案。
它是一种能够带动系统行为的基础方法论，作为技术贴贴合系统的基础，是软件交互的核心技术。
从理论上讲，分支定界法是一种基于面向对象思想的技术，旨在优化软件开发流程、架构和设计，使得程序的流程更加完善，功能更加完善，可以改善系统的性能和可用性。
通常，分支定界法将系统分成若干个模块，并根据实际需求考虑设计模块之间的联系和交互。
比如，用户按照特定需求进行功能结构划分时，就会把一个软件系统分解成多个模块，每个模块负责实现一些特定功能，不同模块间的联系由定义的接口完成。
分支定界法的实施要求：首先，确认客观事实和设计需求，把客观事实提炼成抽象的需求，对需求进行定义和分解，得到一组架构和结构要素；其次，把要素组合起来划分模块，厘清模块之间的联系，定义模块之间的交互关系；再次，分析模块之间的联系，作出架构和结构选择；最后，根据分析结果制定设计方案，提出满足特性的分析，以便用于实施和交付的项目。
从现代软件开发的角度看，分支定界法是软件开发中最基本的一种方法，也是最高效的方法之一，它有助于提高系统的可维护性，减少设计漏洞，解决软件可扩展性和可重复性方面的问题。
此外，分支定界法有利于改善系统的性能，给系统或软件制定更加合理有效的解决方案，增强系统的安全性、稳定性和可用性，减少单位成本，提高开发效率，从而节约成本，达到预期的服务水平。
因此，分支定界法在系统设计开发中发挥着重要作用，成为现代软件开发流程的核心技术，是企业获取竞争优势的重要手段之一。
但是，分支定界法的有效落实需要充分考虑系统的实际需求和市场行情，充分发挥技术优势，全面提升软件开发效率，才能有效实现长期可持续发展。
分支定界法
分支定界法分支定界法是一种应用于企业决策分析中的技术方法，也是现代管理决策学的重要内容之一。
它不仅对决策分析有重要的理论意义，而且在实践应用方面，它的实用性和有效性也得到了广泛的认可和应用。
它通过把复杂的问题分割成若干个相对独立的子问题，逐步解决问题的方法，使得复杂的问题分析更加容易。
分支定界法的基本思想是为了解决复杂的问题，从而可以将复杂的问题分解成一个个简单的子问题，逐一解决。
它把复杂的问题分解为一系列线性分支变量，具有相似的结构，依次得出最佳解决方案，从而形成技术分析过程和决策过程。
从技术过程来看，应用分支定界法可以充分利用多种信息，全面考虑分析问题，得出一个最优的解决方案。
它利用分支定界单元，把复杂的问题分解为一系列的线性子问题，逐步分析，最终整体得到解决。
它通过不断地分支和定界，从而尽量减少分析人员的心理负担，提高整体决策效率，从而实现最优解决方案的有效追求。
分支定界法也有自己特定的过程，主要包括5个步骤：首先是定义问题，提出可能的解决方案，然后进行计算，同时也会建立一些约束条件，也就是变量的限制条件；其次是开展调查，分析变量的关系，建立线性优化问题的数学模型；第三步是采用分支定界法，通过建立分支定界树来实现分析；第四步是进行结果分析，计算最佳解以及最优解；最后一步是完成评价，根据计算结果，给出最终的解决方案。
分支定界法广泛用于现代企业决策分析中，它能够有效解决企业出现的复杂管理问题，帮助企业制定出最优的管理决策，使企业在竞争市场中脱颖而出。
同时，分支定界法也可以应用在其他复杂的决策问题中，如产品营销、投资决策等，都能取得良好的结果。
总之，分支定界法是一种实用的和有效的技术，在现代管理决策中，它的实用性和有效性都得到了广泛的认可和应用。
以它为基础，需要得到仔细深入的研究，以期能够更好地发挥它的功能和作用，为企业提供更为全面有效的决策参考和支持。
分支定界法
分支定界法分支定界法，也称为分界定义法，是为了确定并将客观事物归类的一种逻辑基础规范。
它是一组文本规范，用于描述和分类客观事物，以及它们之间的关系。
它分析客观事物的共性，从这些共性，弄清楚客观事物以及它们之间的关系，形成分支定义法。
分支定界法最初创造于18世纪的德国，由卡尔文贝因茨（Karl von Bennizs）提出，他的著作 Theorie der classifikation（分类理论）发表于1790年。
他的主要思想是：通过对客观事物的共性的分析，将客观事物归类，并形成一系列的分类方法。
分支定界法一般包括三个层次：主类，亚类，次类。
主要是将客观事物按照一定的共性划分到不同的类别中，然后在每个主类中进行更详细的分析，形成子类，从而将客观事物更细致地分类。
分支定界法有很多优点。
首先，它可以更好地适应新出现的客观事物，以及客观事物可能出现的新情况。
这是因为，分支定界法有着一系列的分类方法，不仅具有某种共性，而且有着不同的子类，这些子类可以更好地形成客观事物之间的关系，并且有利于新类别的形成。
此外，分支定界法还可以帮助人们进行判断。
分界定义法是一种可以把客观事物细致分类的方法，从而可以更好地去判断两个客观事物之间是否有关系，或者相似度如何，从而帮助我们做出判断。
然而，分支定界法也有一定的局限性。
有时，分支定界法所指定的客观事物重叠，或者具有相同的共性，这会降低分类的准确性。
此外，它也会忽略一些客观事物的细微差别，这可能会影响分类的结果。
总之，分支定界法是一种有效的客观事物归类方法。
它可以更好地划分客观事物的共性，也可以更直观地反映客观事物之间的关系，从而有效地把客观事物归类。
此外，它还可以帮助我们做出判断，但它也有一定的局限性，必须在不同的客观事物之间上尽量保持准确性和细微差别。
分支定界算法
分支定界 (branch and bound) 算法是一种在问题的解空间树上搜索问题的解的方法。
但与回溯算法不同，分支定界算法采用广度优先或最小耗费优先的方法搜索解空间树，并且，在分支定界算法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。
利用分支定界算法对问题的解空间树进行搜索，它的搜索策略是：1 ．产生当前扩展结点的所有孩子结点；2 ．在产生的孩子结点中，抛弃那些不可能产生可行解（或最优解）的结点；3 ．将其余的孩子结点加入活结点表；4 ．从活结点表中选择下一个活结点作为新的扩展结点。
如此循环，直到找到问题的可行解（最优解）或活结点表为空。
从活结点表中选择下一个活结点作为新的扩展结点，根据选择方式的不同，分支定界算法通常可以分为两种形式：1 ． FIFO(First In First Out) 分支定界算法：按照先进先出原则选择下一个活结点作为扩展结点，即从活结点表中取出结点的顺序与加入结点的顺序相同。
2 ．最小耗费或最大收益分支定界算法：在这种情况下，每个结点都有一个耗费或收益。
如果要查找一个具有最小耗费的解，那么要选择的下一个扩展结点就是活结点表中具有最小耗费的活结点；如果要查找一个具有最大收益的解，那么要选择的下一个扩展结点就是活结点表中具有最大收益的活结点。
又称分支定界搜索法。
过程系统综合的一类方法。
该法是将原始问题分解，产生一组子问题。
分支是将一组解分为几组子解，定界是建立这些子组解的目标函数的边界。
如果某一子组的解在这些边界之外，就将这一子组舍弃（剪枝）。
分支定界法原为运筹学中求解整数规划(或混合整数规划)问题的一种方法。
用该法寻求整数最优解的效率很高。
将该法原理用于过程系统综合可大大减少需要计算的方案数日。
分支定界法的思想是：首先确定目标值的上下界，边搜索边减掉搜索树的某些支，提高搜索效率。
在竞赛中，我们有时会碰到一些题目，它们既不能通过建立数学模型解决，又没有现成算法可以套用，或者非遍历所有状况才可以得出正确结果。
运筹学_分支定界法
⑵
5 x1 6 x 2 3 0
x2
A 3 B
⑴x
1
x2 2
⑶
x1 4
1
1
3
x1 5 x 2 Z
x1
求（LP2） ,如图所示。
m a x Z x1 5 x 2 x1 x 2 2 5 x 6 x2 30 1 ( IP 2 ) x 1 4 x 2 1 x1 , x 2 0 且 为 整 数
x1 x 2 2 x1 x 2 2 5 x 6 x2 30 5 x 6 x2 30 1 1 x1 x1 4 4 ( IP 2 2 ) ( IP 2 1) 2 2 x1 x1 x x 4 3 2 2 x1 , x 2 0 且 为 整 数 x1 , x 2 0 且 为 整 数
第三节 分枝定界法
（一）、基本思路 考虑纯整数问题：
m ax Z
n
c
j 1
n
j
xj
a ij x j b i ( i 1 .2 m ) ( IP ) j 1 x 0 ,( j 1 .2 n ) 且 为 整 数 j
m ax Z
c
j 1
n
记为（IP）
解：首先去掉整数约束，变成一般线性规划问题
m a x Z x1 5 x 2 x1 x 2 2 5 x1 6 x 2 3 0 4 x1 x ,x 0 1 2
记为（LP）
用图解法求（LP）的最 优解，如图所示。
m a x Z x1 5 x 2 x1 x 2 2 5 x1 6 x 2 3 0 4 x1 x ,x 0 1 2
运筹学课件第三节分支定界法
约束条件组
n aij xj b i My i j1 st. p (i 1 ,2,...,p) yi pq i1
在约束条件中保证了在P个0-1 变量中有p-q个1,q个0;凡取值 =0的yi对应的约束条件为原约束 条件,凡取值=1的yi对应的约束 条件将自然满足,因而为多余.
,先加工某种产品 0 yj （ j 1 ,2 ,3 ,4 ） 1 ，先加工另外产品 机床1:x11+a11≤x21+My1 ; x21+a21≤x11+M(1-y1) 机床2:x22+a22≤x32+My2 ; x32+a32≤x22+M(1-y2) 机床3:x13+a13≤x33 +My3 ; x33+a33≤x13+M(1-y3) 机床4:x14+a14≤x24 +My4 ; x24+a24≤x14+M(1-y4) 当y1=0,表示机床1先加工产品1,后加工产品2;当y1=1,表示机床1先 加工产品2,后加工产品1.
不同的搜索策略会导致不同的搜索树，一般 情况下，同一层的两个子问题，先搜索目标 函数比较大的较有利（如果是极小问题，则 应先搜索目标函数值小的较为有利）。这样 可能得到数值比较大的下界，下界越大被剪 去的分支越多。 分支定界算法对于混合整数规划特别有效， 对没有整数要求的变量就不必分支，这将大 大减少分支的数量。
Max Z = X1 + X2 14X1 + 9X2 ≤ 51 - 6X1 + 3X2 ≤ 1 X1 ≥2 X2 ≤ 2 X1 ， X2 ≥ 0 Max Z = X1 + X2 14X1 + 9X2 ≤ 51 - 6X1 + 3X2 ≤ 1 X1 ≥3 X2 ≤ 2 X1 ， X2 ≥ 0 Max Z = X1 + X2 14X1 + 9X2 ≤ 51 - 6X1 + 3X2 ≤ 1 2≤ X1 ≤2 X2 ≤ 2 X1 ， X2 ≥ 0
运筹学课件第三节分支定界法
针对不同问题的特点，分支定界法在算法实现上 不断进行优化和改进，以提高求解效率。
3
理论分析
分支定界法的理论分析涉及算法的收敛性、复杂 度等方面，为算法的改进提供了理论支持。
分支定界法的发展趋势
混合整数规划问题求解
随着混合整数规划问题的广泛应用，分支定界法在求解这类问题 上的研究逐渐成为热点。
理论深化与完善
进一步深化分支定界法的理论分析，完善算法的理论体系。
应用拓展
拓展分支定界法的应用领域，解决更多实际问题。
THANKS
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运筹学课件第三节分支定界法
contents
目录
• 分支定界法的概述 • 分支定界法的算法原理 • 分支定界法的实现过程 • 分支定界法的案例分析 • 分支定界法的优缺点分析 • 分支定界法的前沿研究与展望
01
分支定界法的概述
分支定界法的定义
分支定界法是一种求解整数规划问题 的算法个子问题的解的 界，来逐步逼近最优解。
03
分支定界法的实现过程
问题建模与参数设定
确定决策变量
根据问题的具体情况，确定决策 变量，并为其设定合适的取值范
围。
定义目标函数
明确问题的目标，将其表示为一个 数学表达式，以便进行优化。
约束条件
根据问题的限制条件，建立相应的 约束条件。
建立搜索树与初始化
建立搜索树
根据问题建模的结果，建立一个 搜索树，用于表示问题的解空间 。
的获取概率。
优化分支策略
02
通过改进分支策略，减少算法产生的分支数量，降低算法的复
杂度和计算量。
引入智能搜索策略
03
将智能搜索策略（如遗传算法、模拟退火等）与分支定界法结
分支定界法
分支定界法《分支定界法》是一种把同类的事物按照一定的原则划分成不同分支定类的方法。
该方法的主要原理是，按照一定的规则将同类的事物按照不同的层次划分分类，从而来解决问题。
其实，分支定界法本质上是一种层次化的分类方法，这个分类方法可以帮助我们更好地按照一定的规则划分分类，从而更加清晰地观察每个分支的结构，从而建立有效的分支定界。
一般来说，把事物细分并划分分类的过程大致可分为三个步骤：第一步是根据一定的规则，把事物划分为不同的分类；第二步是确定每个分类分之间的界线，以及每个分类的概念；第三步是形成一个有意义的分支定界树，这样被分类的事物就会更加清晰明确。
分支定界法可以应用到不同领域，广泛作为研究分析的工具，有效地实现分支划分的目的。
例如，在政治学中，可以用分支定界法来划分政治体系的不同结构；在经济学中，可以用分支定界法来划分社会经济状况；在社会学中，可以用分支定界法来划分社会阶层；在教育学中，可以用分支定界法来划分不同层次的学生；在法律学中，可以用分支定界法来划分不同类别的案件；在医学中，可以用分支定界法来划分不同病症类型；在信息技术领域，可以用分支定界法来划分不同的存储结构；在商业管理中，可以用分支定界法来划分不同市场需求类别；在艺术设计中，可以用分支定界法来划分不同风格的作品；在心理学中，可以用分支定界法来划分不同类型的心理测试。
总之，分支定界法能够极大地提升研究和分析的效率，彻底改变现有的解决问题方法，在社会发展中发挥着重要作用。
分支定界法也有自身的缺点，最主要的是它主观性较大，受到专家个人把握的局限，可能产生一些错误的分类，从而影响正确的分类结果。
另外，分支定界法的实现需要花费大量的时间和精力，难以实现快速面临问题的解决效果。
尽管分支定界法的应用还存在一定的局限性，但仍有其重要的研究作用和应用价值，是现代化社会发展和繁荣的重要载体。
它为解决问题，更好地分析事物，并建立良好的结构，提供了可靠的工具。
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⑵相应松弛LP问题是不可行的 .
定界过程
假 设 在 某 一 时 刻 ，到 当 时 为 止 所 得 到 的 最 好 的 满 足 整 数 要 求 解 的 目 标 函 数 值 是 z m ，而 且 我 们 正 打 算 由 某 一 点 x 分 枝 ，该 点 子 域 对 应 的 I L P 的 下 界 为 zk c x ， 若 zk zm ， 这 意 味 着 点x
(P )
z3 3.25, x ( 2.25,1)
3
( P3 ) ( P6 )
( P4 )
x1 3
无解
x2
x1 2
x2 2
( P5 )
( P4 )
问题
x1
问题 ( P3 )
0 精品课程《运筹学》
3 5 T x ( , ) , z0 4 2 2
精品课程《运筹学》
3 5 T x ( , ) , z0 4 2 2
0
x1 1
(P )
x1 2
( P1 )
( P2 )
x2
min
( x1 x 2 )
0
x1
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3 5 T x ( , ) , z0 4 2 2
I L P 问 题 无 解 ，否 则 ，当 前 最 好 的 整 数 解 就 是 原 I L P 问 题 的 最 优 解 ，U 就 是 最 优 值 .计 算 停 止 .
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0
x1 1
z1Байду номын сангаас , x (1, ) 2 2
1
5
3
T
x1 2 3 T 7 2 ( P 2 ) x ( 2, 2 ) , z2 2 ( P1 ) x2 1 x2 2
(P )
( P3 )
x2
( P4 )
x
x 2
x1
1
精品课程《运筹学》 0
下 面 的 正 整 数 “ k ” 代 表 子 问 题 ( Pk ) ） 上 界 U ： ， ，
当前最好的整数解： ；
第2步
若活点集合 ，则转向第 7 步，否则，选择
一 个 分 枝 点 k 活 点 集 合 ， 从 活 点 集 合 中 去 掉 点 k ；
第3步
解 点 k 对 应 的 松 弛 LP 问 题 ， 若 此 问 题 无 解 ，
T k k k
的所有后
代得到的各个解x 的目标函数值均有
c x zk zm
T
因此无须由 x 继续分枝.
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k
被剪枝
死点
§3.2 分枝定界法计算步骤
例3.3.1 用分枝定界法求解整数线性规划
min ( x 1 x 2 ) s .t . 4 x 1 2 x 2 1 4 x1 2 x 2 11 2 x2 1 x 1 , x 2 0，整数
x1 2
x2
( P6 ) ( P5 ) 5 T z5 3, x ( 2,1)
无解
问题 ( P
x1
x1 3
最优解
6
)
问题 ( P5 )
精品课程《运筹学》 0
解整数线性规划问题的分枝定界法步骤： 第1步
令 活 点 集 合 ： O （ 注 ： O ” 代 表 原 问 题 ， “
0
x1 1
z1 , x (1, ) 2 2
1
5
3
T
x1 2 3 T 7 2 ( P 2 ) x ( 2, 2 ) , z2 2 ( P1 ) x2 1 x2 2
T
(P )
z3 3.25, x ( 2.25,1)
3
( P3 )
( P4 )
x1 3
无解
最好的整数解： x ，转回第 2 步；
k
第6步
若 点 k 对 应 的 松 弛 L P 问 题 的 最 优 解x
k
k
不满足
整数要求，按x 某个非整数分量生成点 k 的两个后 代点， 这两个后代点为活点， 加入到活点集合中， 令 并
转回第2步； 精品课程《运筹学》
第7步
若 当 前 最 好 的 整 数 解 ： ， U ， 则 原
问题 ( P1 )
问题 ( P2 )
3 5 T x ( , ) , z0 4 2 2
0
x1 1
z1 , x (1, ) 2 2
1
5
3
T
x1 2 3 T 7 2 ( P 2 ) x ( 2, 2 ) , z2 2 ( P1 ) x2 1 x2 2
T
0
( P1 )
( P2 )
xk [ xk ]
2
xk [ xk ] 1
2
( P3 )
xl [ x ]
3 l
( P4 )
xl [ x ] 1
3 l
分 枝 过 程
( P5 )
( P6 )
分枝过程在某个点上由下述两个原因之一而停止： ⑴相应的松弛LP问题的解是满足整数要求的；
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0
min s .t .
c x Ax b x 0 , x 为整数向量 xi [ xi ]
0
T
min s .t .
c x Ax b x 0 , x 为整数向量 xi [ xi ] 1
0
T
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(P )
分 枝 树
xi [ xi ]
0
xi [ xi ] 1
第三节 分枝定界法
§3.1 分枝定界法的基本思想
§3.2 分枝定界法计算步骤
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§3.1 分枝定界法的基本思想
考虑纯整数线性规划问题
min
(P )
c x
0
T
P0的最优解
x
0
s .t .
Ax b x 0 x 为整数向量
x i 不满足整数要求 xi [ xi ]
0
xi [ xi ] 1
转回第 2 步；
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第4步
若 点 k 对 应 的 松 弛 LP 问 题 的 最 优 值 zk U ，
则点k被剪枝，转回第 2 步；
第5步
若 点 k 对 应 的 松 弛 L P 问 题 的 最 优 解x
k
满足整
数 要 求 （ 此 时 一 定 有 zk U ） 则 上 界U ： zk ， 当 前 ，