高斯克吕格投影与横轴墨卡托投影

课程名称：大地测量学成绩：学号： 102011236 姓名：郭锴高斯-克吕格投影与通用横轴墨卡托投影的比较研究摘要：本文主要通过研究高斯-克吕格投影与通用横轴墨卡托投影，从投影公式，变形，以及分带特点等方面对两者进行了相应的比较分析，并通过有关数据的计算，得出两种投影各自的投影特性，说明了高斯-克吕格投影与通用横轴墨卡托投影的异同。

关键词：高斯-克吕格投影通用横轴墨卡托投影分带投影投影变形1 引言高斯-克吕格（Gauss-Kruger）投影，是一种”等角横轴切圆柱投影”。

由德国数学家、物理学家、天文学家高斯（Carl Friedrich Ｇauss，1777一 1855）于十九世纪二十年代拟定，后经德国大地测量学家克吕格（Johannes Kruger，1857～1928）于 1912年对投影公式加以补充，故名。

墨卡托(Mercator)投影，是一种”等角正切圆柱投影”，荷兰地图学家墨卡托（Gerhardus Mercator 1512－1594）在1569年拟定。

”通用横轴墨卡托投影”，是一种”等角横轴割圆柱投影”，椭圆柱割地球于南纬80度、北纬84度两条等高圈，投影后两条相割的经线上没有变形，而中央经线上平均长度比0.9996。

UTM投影系统原先的计划是为世界范围所设计的，但由于统一分带等原因未被世界各国普遍采用。

1目前，大地测量中，高斯-克吕格投影和通用横轴墨卡托投影是世界上比较广泛采用的投影方法，两种投影方法均属于等角投影的范畴，较好的保持了地图中不同地点的方向关系，因此在航海，航空等领域应用广泛。

两种投影在方法和变形特点上具有一定的相似性，因此，在一些外国文献中，经常把高斯-克吕格投影成为横墨卡托投影（Transverse Merctor），即TM投影，而把中央经线长度变形比为0.9996的高斯-克吕格投影称为通用横轴墨卡托投影（Universal Transverse Merctor），即UTM投影。

由于高斯-克吕格投影采用分带投影的方式，有效的减小了由于纬度跨度大所造成的变形，我国于1952年起采用该投影，取代了之前大地测量所采用的兰勃特投影（正轴等角割圆锥投影）目前广泛的应用于大地测量等各领域，起到了非常出色投影的效果。

22 高斯-克吕格投影2.1 高斯-克吕格投影的确定条件及坐标公式高斯-克吕格投影，是一种”等角横轴切圆柱投影”。

按一定经差将地球椭球面划分成若干投影带，是高斯投影中限制长度变形的最有效方法。

分带时既要控制长度变形使其不大于测图误差，又要使带数不致过多以减少换带计算工作，据此原则将地球椭球面沿子午线划分成经差相等的瓜瓣形地带，以便分带投影。

通常按经差6度或3度分为六度带或三度带。

图1 高斯-克吕格分带投影高斯-克吕格投影由以下三个条件确定：（1） 中央经线和赤道投影为相互垂直的直线，而且为投影的对称轴； （2） 投影无角度变形； （3） 中央经线投影后保持不变。

按照投影的数学方法，即在原面与投影面之间建立点对点的函数关系：()()ϕλϕλ,,21f y f x ==式中1f 和2f 是单值而连续的函数。

根据以上确定高斯-克吕格投影的三个条件，结合投影的等角条件公式等进行推算，我们得到高斯-克吕格投影的坐标公式,这里我们为了说明问题，只是将地球作为椭球体进行推算，作为实际使用中应该视情况不同选择参考面是椭球面还是正球面。

以下是椭球高斯-克吕格投影的坐标公式：上面公式中东纬偏移FE = 500000米 + 带号 * 1000000；高斯-克吕格投影比例因子k0 = 1参数说明：a : 椭球体长半轴b ：椭球体短半轴f ：扁率e ：第一偏心率e’ ：第二偏心率N ：卯酉圈曲率半径R ：子午圈曲率半径B ：纬度，L ：经度，单位弧度(RAD)X：为原面投影到平面上的纵坐标；NY：为原面投影到平面上的横坐标；3E2.2 高斯-克吕格投影的变形分析高斯-克吕格投影的变形特点可以通过投影长度变形公式μ和收敛角公式γ得到：()()BB L B L 244222tan 45cos 241cos 21-+++=ημ()22331cos sin 3sin ηλγ++=B B B L式中参数与坐标公式相同，B e e 2222cos 1-=η可知，当L=0时，投影的长度变形为1，即满足第一个确定条件，即中央经线投影无长度变形。

在同一纬线上，长度变形随着经差的增大而增大；同一经线上，长度变形随纬度的增大而减小，在赤道处变形最大；长度变形为正，除中央经线外其他任何线段都变大。

另外，收敛角随着经差和纬度的增大而增大，在同一经线（中央经线除外）上，纬度越高收敛角越大，在赤道上，收敛角为零；在同一纬线上，经差愈大收敛角越大，在中央经线上为零。

通过计算我们得到投影的长度变形值，这里用μ-1来进行衡量，如下表：表1 高斯-克吕格投影的长度变形值（μ-1）2.3 高斯-克吕格投影的分带为了能够限制由于经差带来的长度变形，高斯-克吕格投影采用分带投影的方式，分为6°带和3°带两种。

6°带自0度子午线起每隔经差6度自西向东分带，带号依次编为第 1、2 (60)带。

3°带是在六度带的基础上分成的，它的中央子午线与六度带的中央子午线和分带子午线重合，即自 1.5度子午线起每隔经差3度自西向东分带，带号依次编为三度带第 1、2…120带。

我国的经度范围西起 73°东至135°，可分成6°带十一个，或3°带二十二个。

我国大于等于50万的大中比例尺地形图多采用6°带高斯-克吕格投影，3°带高斯-克吕格投影多用于大比例尺测图，如城建坐标多采用3°带的高斯-克吕格投影。

3，通用横轴墨卡托投影（UTM）3.1墨卡托投影墨卡托投影是一种“等角正切圆柱投影”，假设地球被围在一中空的圆柱里，其标准纬线与圆柱相切接触，然后再假想地球中心有一盏灯，把球面上的图形投影到圆柱体上，再把圆柱体展开，这就是一幅选定标准纬线上的“墨卡托投影”绘制出的地图。

此投影没有角度变形，由每一点向各方向的长度比相等，它的经纬线都是平行直线，且相交成直角，经线间隔相等，纬线间隔从标准纬线向两极逐渐增大。

墨卡托投影的地图上长度和面积变形明显，但标准纬线无变形，从标准纬线向两极变形逐渐增大，但因为它具有各个方向均等扩大的特性，保持了方向和相互位置关系的正确。

墨卡托投影坐标系取零子午线或自定义原点经线(L0)与赤道交点的投影为原点，零子午线或自定义原点经线的投影为纵坐标X轴，赤道的投影为横坐标Y 轴，构成墨卡托平面直角坐标系。

3.2 通用横轴墨卡托投影（UTM ）及坐标公式UTM 投影正解公式：（B,L ）→(X,Y)，原点纬度 0，中央经度L0上面公式中东纬偏移 FE= 500000米 ；北纬偏移 FN 北半球= 0，FN 南半球= 10000000米；UTM 投影比例因子k0 = 0.9996，其它参数同高斯-克吕格投影坐标公式。

43.3 UTM 投影的变形分析椭圆柱割地球于南纬80度、北纬84度两条等高圈，投影后两条相割的纬线上没有变形，而中央经线上长度比0.9996（这个值其实是个均值，因为UTM 投影是割圆柱投影，中央经线的长度变形比会随着纬度的变化而变化）。

与高斯-克吕格投影相似，该投影角度没有变形，中央经线为直线，且为投影的对称轴，通用UTM 投影的将每带中央经线的比例因子取0.9996，这一长度比的选择，可以使6°带的中央经线与边缘经线的长度变形的绝对值大致相等。

因此可以在中央经线与边缘经线之间取得两条无长度变形的线，其位置相当于距中央经线以东以西各为180000m ，相当于经差1°40′。

事实上，如果将高斯-克吕格投影的坐标公式的x ，y 式以及长度变形公式分别都乘以0.9996就可以将高斯-克吕格公式转为UTM 投影公式。

表2 UTM 投影的长度变形值（ -1）0° 1° 2° 3°90° -0.00040 -0.00040 -0.00040 -0.00040 80° -0.00040 -0.00040 -0.00038 -0.00036 70° -0.00040 -0.00038 -0.00033 -0.00024 60° -0.00040 -0.00036 -0.00025 -0.00006 50° -0.00040 -0.00034 -0.00015 +0.00017 40°-0.00040-0.00031-0.00004+0.00041经差 纬度3.4 通用墨卡托投影的分带通用横轴墨卡托投影的分带是从180°起自西向东每6°为以待，即与国际百万分之一地图行的划分一致，也就是高斯-克吕格投影的第一带（0°~6°E）为UTM投影的第三十一带；UTM投影的第一带（180°~174°W）是高斯-克吕格投影的第三十一带。

通用横轴墨卡托投影每带的投影范围，限制在北纬84°至南纬80°之间，两极地区采用通用极球面（UPS）系。

它是UTM的补充，也是独立的投影系统，两系的相接之处有一定的重叠。

4，结论以上我们讨论了高斯-克吕格投影和通用横轴墨卡托投影，通过二者坐标公式的推导，变形分析，和投影分带的研究，对两种投影的投影方式和投影效果进行了比较，得到以下几点不同：1，高斯-克吕格投影和通用横轴墨卡托投影均属于等角投影的范畴，且具有相似的变形特性，本文没有对二者的正球投影公式进行讨论，事实上，通过一些计算和查阅相关文献资料我们得知，其实在把地球当做正球体进行投影时，二者的的投影效果相同，即为同一种投影。

2，在椭球体投影的范畴中，高斯-克吕格投影和通用横轴墨卡托投影是两种不同的投影方式，并且变形结果存在一定程度上的差异。

因为前者是“横轴等角切椭圆柱投影”，其在保持中央经线长度变形不变（k0=1）的情况下保持了投影的等角特性，而UTM投影则是“横轴等角割椭圆柱投影”，中央经线的长度比是纬度B的函数，并且随采用的椭球面等角投影于球面的方法的不同而不同, 即不具有唯一性。

所以椭球面高斯一克吕格投影和椭球面横墨卡托投影不是同一种等角投影，不能将其混为一谈。

高斯_克吕格投影和横墨卡托投影3，根据比较分析，可以肯定，对于中纬度地区和低纬度地区来讲，通用横轴墨卡托投影的效果明显优于高斯-克吕格投影，因此在这些纬度的地区可以采用UTM投影以减小投影变形带来的误差。

5参考文献[1]孙达,蒲英霞. 地图投影[M]. 南京：南京大学出版社,2005.10.[2]方俊. 横轴墨卡托投影和高斯克吕格投影[J]. 地理学报, 1955, 21(1): 87—99.[3]张宏敏. 地图投影变换中的几种方法[J]. 科技信息, 2006, 2: 60.[4]孙东磊, 赵俊生, 郭忠磊. 对高斯投影与横轴墨卡托投影差异的研究[J]. 海洋测绘, 2011, 31(1): 9—11.[5]赵虎, 李霖, 龚健雅. 通用地图投影选择研究[J]. 武汉大学学报, 2010, 35(2): 244—247.。