三角学的起源及发展
《三角学》的追根溯源-4页word资料
《三角学》的追根溯源人教版普通高中课程标准实验教科书《数学》中设置的阅读材料，栏目有“阅读与思考”、“探究与发现”、“信息技术应用” 、“观察与猜想”等，融趣味性、科学性、知识性及教育性于一体，成为教学内容的有益补充。
笔者就人教版普通高中课程标准实验教科书《数学•必修4》第一章三角函数中的阅读材料“三角学与天文学”查阅了一些相关资料，阐述笔者的一些见解。
一、三角学的起源三角学之英语名称Trigonometry，德国数学家皮蒂斯楚斯在1595年出版一本著作《三角学:解三角学的简明处理》创造了这个新词。
它是由希腊文trigono（三角）和metrein（测量）两个词构成的，古希腊文里没有这个字，原因是当时三角学还没有形成一门独立的科学，而是依附于天文学。
可以说，三角学是紧密地同天文学相联系而迈出自己发展史的第一步的。
二、三角学的发展（一）“弦表”的出现公元前600年左右古希腊学者泰勒斯利用相似三角形的原理测出金字塔的高，成为西方三角测量的肇始。
公元前2世纪希腊天文学家希帕霍斯为了天文观测的需要，作了一个和现在三角函数表相仿的“弦表”，他成为西方三角学的最早奠基者，这个成就也使他?A得了“三角学之父”的称谓。
公元2世纪，希腊天文学家数学家托勒密继承希帕霍斯的成就，著成《天文学大成》13卷，包括从0°到90°每隔半度的弦表及若干等价于三角函数性质的关系式，被认为是西方第一本系统论述三角学理论的著作。
约同时代的梅内劳斯写了一本专门叙述球三角学的著作《球面学》，他的工作使希腊三角学达到全盛时期。
（二）“三角学术语”的由来对希腊三角学加以系统化的工作是由9世纪阿拉伯天文学家阿尔•巴塔尼（850-929）作出的，而且他也是中世纪对欧洲影响最大的天文学家。
他的《天文论著》（又名《星的科学》）颇具学术价值，后来的一大批天文学家诸如哥白尼、第谷、开普勒、伽利略等人，无不研习巴塔尼的著作并受益匪浅。
三角学的发展
3、公元3世纪齐徽所注的《海岛算经》中解决了不可 达高度和距离问题的测量
4、17世纪第一部中文的平面三角学《大测》和《测 量全义元499年，印度数学家阿耶波多表达了古代印 度的三角思想
5、公元10世纪，阿拉伯学者进一步解释了三角学
二、发展期
1、德国人波伊尔巴赫将《天文大成》译成拉丁文， 并编制了正弦表
2、雷格蒙塔努斯编著了《论各种三角形》，在《方 位表》中制定了正余弦表和正切表
3、维尔纳的《论球面三角》改进并发展了前者的思 想
一、萌芽期
1、古希腊自然科学家泰勒斯（公元前624年---公元 前546年）的相关理论成为三角学萌芽
2、古希腊天文学家希帕恰斯是三角学的创始者，著 有三角学12卷，并制成弦表（固定的圆内，不同圆 心角所对应的弦长，确定相应数值）
3、公元50年左右，希腊学者托勒密的《天文大成》 初步发展了三角学
4、雷提库斯改进三角函数关系并采用了六个函数 5、法国数学家韦达的《标准数学》和《斜截面》中
做了三角的系统化工作，给出了大量的三角公式
三、形成期
17世纪以后，牛顿、莱布尼茨、伯努利、欧拉以及傅 里叶等等许许多多学者研究了现代符号及三角学的 完整理论
四、三角学在我国的发展
1、春秋战国时期，齐国《考工记》记载了几种特殊 角的名称
三角函数的发展历史
三角学的起源与发展三角学之英文名称 Trigonometry ，约定名于公元1600年，实际导源于希腊文trigono (三角)和metrein (测量)，其原义为三角形测量（解法），以研究平面三角形和球面三角形的边和角的关系为基础，达到测量上的应用为目的的一门学科。
早期的三角学是天文学的一部份，后来研究范围逐渐扩大，变成以三角函数为主要对象的学科。
现在，三角学的研究范围已不仅限于三角形，且为数理分析之基础，研究实用科学所必需之工具。
西方的发展三角学﹝Trigonometry﹞创始于公元前约150年，早在公元前300年，古代埃及人已有了一定的三角学知识，主要用于测量。
例如建筑金字塔、整理尼罗河泛滥后的耕地、通商航海和观测天象等。
公元前600年左右古希腊学者泰勒斯(p13)利用相似三角形的原理测出金字塔的高，成为西方三角测量的肇始。
公元前2世纪后希腊天文学家希帕霍斯（Hipparchus of Nicaea）为了天文观测的需要，作了一个和现在三角函数表相仿的「弦表」，即在固定的圆内，不同圆心角所对弦长的表，他成为西方三角学的最早奠基者，这个成就使他赢得了「三角学之父」的称谓。
公元2世纪，希腊天文学家数学家托勒密(Ptolemy)(85-165)继承希帕霍斯的成就，加以整理发挥，着成《天文学大成》13卷，包括从0°到90°每隔半度的弦表及若干等价于三角函数性质的关系式，被认为是西方第一本系统论述三角学理论的著作。
约同时代的梅内劳斯（Menelaus）写了一本专门论述球三角学的著作《球面学》，内容包球面三角形的基本概念和许多平面三角形定理在球面上的推广，以及球面三角形许多独特性质。
他的工作使希腊三角学达到全盛时期。
(二)中国的发展我国古代没有出现角的函数概念，只用勾股定理解决了一些三角学范围内的实际问题。
据《周髀算经》记载，约与泰勒斯同时代的陈子已利用勾股定理测量太阳的高度，其方法后来称为「重差术」。
三角学的发展历史
三角学的发展历史 Last revision date: 13 December 2020.三角学的发展历史摘要：三角学是现代中学数学教育内容的重要部分，作为未来的中学教育工作者，了解三角学的发展史，是中学数学教教师应具备的素养。
本文从三角学的兴起，希腊学者由于天文学研究的需要确定三角形边与角的精确关系；三角学的发展与改进过程这一部分主要介绍了阿拉伯地区三角学的发展与改进；文艺复兴以后三角学更加完善并且深化。
这几部分所涉及的三角学内容与当今中学课程标相关，本文探讨中学的三角学的教育存在的问题并提出解决的方法。
关键词：三角学发展史教育1．三角学的兴起1.1古希腊天文学中的三角学古希腊天文学家们为了做出一份天体运行位置以及日月食的详细记录，需要对天体的距离和角度十分熟悉。
他们采用日晷仪指针。
一种通过垂直杆的影长显示时间的简单装置，实质上是一种类似计算余切函数的装置。
如图1，h表示杆的高度，s表示它影子的长度，当太阳与地平线成α角时，s=h cosα,然而发明该指针的古人对余切函数没有研究，只是将其作为时间计时器。
但是这种“投影计算”被古代学者得到良好的应用，这可称作三角学比例的先驱。
后来，这种简单的方法被成功的运用于测量地球的大小，以及行星之间的距离。
后来希腊人创立了一门知识来预报天体的运行路线和位置以帮助报时，计算日历、航海和研究地理。
三角学的兴起的标志性人物是古希腊天文学家、数学家希帕霍斯。
他在爱琴海的罗德岛建造了一座天文台，应用自己发明的仪器进行天文观测。
由于天文研究的需要，希帕霍斯对球面上的角度和距离进行计算，制作了一个和现今三角函数表相仿的“弦表”，即在固定的圆内，不同的圆心角所对应的弦长（相当于现在圆心角一半的正弦线的两倍的表）。
为了定出数值，他采用了巴比伦人的60进制。
对于一定度数的圆弧，可以得到相应弦的长度数。
在希帕霍斯的三角学中，一个基本元素为单位圆中已知弧（或中心角）所对的弦，这里α表示弧长，crd(α)表示对应的弧长，如图2因为角度和弧度的度量单位是“度”或“分”，为了统一单位希帕霍斯将圆半径的度量单位也转换成“度”或“分”。
三角函数的发展历史
壹、三角学的起源与发展三角学之英文名称Trigonometry ，约定名于公元1600年，实际导源于希腊文trigono (三角)和metrein (测量)，其原义为三角形测量（解法），以研究平面三角形和球面三角形的边和角的关系为基础，达到测量上的应用为目的的一门学科。
早期的三角学是天文学的一部份，后来研究范围逐渐扩大，变成以三角函数为主要对象的学科。
现在，三角学的研究范围已不仅限于三角形，且为数理分析之基础，研究实用科学所必需之工具。
(一)西方的发展三角学﹝Trigonometry﹞创始于公元前约150年，早在公元前300年，古代埃及人已有了一定的三角学知识，主要用于测量。
例如建筑金字塔、整理尼罗河泛滥后的耕地、通商航海和观测天象等。
公元前600年左右古希腊学者泰勒斯(p13)利用相似三角形的原理测出金字塔的高，成为西方三角测量的肇始。
公元前2世纪后希腊天文学家希帕霍斯（Hipparchus of Nicaea）为了天文观测的需要，作了一个和现在三角函数表相仿的「弦表」，即在固定的圆内，不同圆心角所对弦长的表，他成为西方三角学的最早奠基者，这个成就使他赢得了「三角学之父」的称谓。
公元2世纪，希腊天文学家数学家托勒密(Ptolemy)(85-165)继承希帕霍斯的成就，加以整理发挥，着成《天文学大成》13卷，包括从0°到90°每隔半度的弦表及若干等价于三角函数性质的关系式，被认为是西方第一本系统论述三角学理论的著作。
约同时代的梅内劳斯（Menelaus）写了一本专门论述球三角学的著作《球面学》，内容包球面三角形的基本概念和许多平面三角形定理在球面上的推广，以及球面三角形许多独特性质。
他的工作使希腊三角学达到全盛时期。
(二)中国的发展我国古代没有出现角的函数概念，只用勾股定理解决了一些三角学范围内的实际问题。
据《周髀算经》记载，约与泰勒斯同时代的陈子已利用勾股定理测量太阳的高度，其方法后来称为「重差术」。
三角学的起源及发展
三角学的起源及发展三角学是数学的一个分支，研究与三角形及其相关的几何形状和函数的关系。
它起源于古代文明，并在欧洲文艺复兴时期得到了重大发展。
本文将详细介绍三角学的起源和发展历程。
1. 古代文明中的三角学三角学最早可以追溯到古代文明，特别是古埃及和古希腊。
在古埃及，人们使用三角形来测量土地面积和建造物的高度。
古希腊的数学家毕达哥拉斯提出了著名的毕达哥拉斯定理，将三角形的边长和角度联系起来。
这些发现为后来的三角学奠定了基础。
2. 欧洲文艺复兴时期的发展在欧洲文艺复兴时期，三角学得到了重大发展。
数学家和天文学家开始使用三角函数来解决实际问题，例如测量地球的大小和距离。
尼科洛·塔尔西亚尼是这一时期最重要的三角学家之一，他发现了正弦、余弦和正切函数的性质，并提出了三角函数的基本公式。
3. 三角学的应用随着三角学的发展，它的应用范围也越来越广泛。
三角学在测量、建造、航海、天文学等领域都有重要的应用。
例如，在建造中，三角学可以匡助工程师计算建造物的高度和角度，确保结构的稳定性。
在航海中，三角学可以匡助船员确定船只的位置和航向。
在天文学中，三角学可以匡助天文学家测量星体的距离和角度。
4. 现代三角学的发展随着科学技术的进步，三角学在现代得到了更广泛的应用。
计算机科学、物理学、工程学等领域都离不开三角学的应用。
例如，在计算机图形学中，三角学可以匡助计算机生成三维模型和动画。
在物理学中，三角学可以匡助解决力学和波动等问题。
5. 三角学的未来发展随着科技的不断进步，三角学在未来将继续发展。
随着人工智能和大数据的兴起，三角学的应用将更加广泛和深入。
例如，在机器学习中，三角学可以匡助处理复杂的数据集和模式识别问题。
在无人驾驶技术中，三角学可以匡助车辆确定位置和行驶路径。
总结：三角学起源于古代文明，经过欧洲文艺复兴时期的发展，逐渐成为数学的一个重要分支。
它的应用范围广泛，涉及测量、建造、航海、天文学等领域。
随着科学技术的进步，三角学在现代得到了更广泛的应用，并将在未来继续发展。
三角学的发展起源以及与天文学的关系
在欧洲，最早将三角学从天文学中独立出来的数学家是德国人雷格蒙塔鲁斯。他在1464年完成的5卷本的著作《论各种三角形》，是欧洲第一部独立于天文学的三角学著作，这部著作首次对三角学做出了完整，独立的阐述。前2卷论述平面三角学，后3卷讨论球面三角学。前2卷中，他采用印度人的正弦，即弧的半弦，明确使用了正弦函数，讨论了一般三角形的正弦定理，提出了求三角形边长的代数解法；后3卷中，他给出了球面三角的正弦定理和关于边的余弦定理。他的工作为三角学在平面与球面几何的应用奠定了牢固基础，对16世纪的数学家产生了极大的影响，也对哥白尼等一批天文学家产生了很大影响。
16世纪三角学从天文学中分离出来，成为数学的一个独立分支。后来，在微积分、物理学的研究和应用（如对振动、声音传播等的研）中，三角学，又找到了新的用武之地。
三角学的起源、发展与天文学密不可分，它是天文观察结果推算的一种方法，在1450年以前的三角学主要是球面三角，这不但是因为航海、历法推算以及天文观测等人类实践活动的需要，而且也因为宇宙的奥秘对人类的巨大吸引力，这种“量天”的学问确实太诱人了。后来，由于间接测量、测绘工作的需要而出现了平面三角。
法国数学家韦达所作的平面三角与球面三者系统化工作，使得三角学得到进一步发展。他总结了前人的三角学研究成果，将解平面直角三角形和斜三角形的公式汇集在一起，还补充了自己发现的新公式，如正切公式、和差化积公式等。他将解斜三角形的问题转化为解直角三角形的问题。对球面直角三角形，他给出了计算的方法和一套完整的公式及其记忆法则，并将这套公式表示成了代数形式，这是非常重要的工作。
【高中数学】三角学的历史
【高中数学】三角学的历史早期三角学不是一门独立的学科，而是依附于天文学，是天文观测结果推算的一种方法，因而最先发展起来的是球面三角学．希腊、印度、阿拉伯数学中都有三角学的内容，可大都是天文观测的副产品．例如，古希腊门纳劳斯（Ｍenelaus of Ａlexandria，公元100年左右）著《球面学》，提出了三角学的基础问题和基本概念，特别是提出了球面三角学的门纳劳斯定理；50年后，另一个古希腊学者托勒密（Ｐtolemy）著《天文学大成》，初步发展了三角学．而在公元499年，印度数学家阿耶波多（ryabhata Ｉ）也表述出古代印度的三角学思想；其后的瓦拉哈米希拉（Ｖarahamihira，约505～587）最早引入正弦概念，并给出最早的正弦表；公元10世纪的一些阿拉伯学者进一步探讨了三角学．当然，所有这些工作都是天文学研究的组成部分．直到纳西尔丁（Ｎasir ed-Ｄin al Ｔusi，1201～1274）的《横截线原理书》才开始使三角学脱离天文学，成为纯粹数学的一个独立分支．而在欧洲，最早将三角学从天文学独立出来的数学家是德国人雷格蒙塔努斯（Ｊ・Ｒegiomontanus，1436～1476）．雷格蒙塔努斯的主要著作是1464年完成的《论各种三角形》．这是欧洲第一部独立于天文学的三角学著作．全书共5卷，前2卷论述平面三角学，后3卷讨论球面三角学，是欧洲传播三角学的源泉．雷格蒙塔努斯还较早地制成了一些三角函数表．雷格蒙塔努斯的工作为三角学在平面和球面几何中的应用建立了牢固的基础．他去世以后，其著作手稿在学者中广为传阅，并最终出版，对16世纪的数学家产生了相当大的影响，也对哥白尼等一批天文学家产生了直接或间接的影响．三角学一词的英文是trigonometry，来自拉丁文tuigonometuia．最先使用该词的是文艺复兴时期的德国数学家皮蒂斯楚斯（Ｂ．Ｐitiscus，1561～1613），他在1595年出版的《三角学：解三角形的简明处理》中创造这个词．其构成法是由三角形（tuiangulum）和测量（metuicus）两字凑合而成．要测量计算离不开三角函数表和三角学公式，它们是作为三角学的主要内容而发展的．16世纪三角函数表的制作首推奥地利数学家雷蒂库斯（Ｇ．Ｊ．Ｒhetucus，1514～1574）．他1536年毕业于滕贝格（Ｗittenbery）大学，留校讲授算术和几何．1539年赴波兰跟随著名天文学家哥白尼学习天文学，1542年受聘为莱比锡大学数学教授．雷蒂库斯首次编制出全部6种三角函数的数表，包括第一张详尽的正切表和第一张印刷的正割表．17世纪初对数发明后大大简化了三角函数的计算，制作三角函数表已不再是很难的事，人们的注意力转向了三角学的理论研究．不过三角函数表的应用却一直占据重要地位，在科学研究与生产生活中发挥着不可替代的作用．三角公式是三角形的边与角、边与边或角与角之间的关系式．三角函数的定义已体现了一定的关系，一些简单的关系式在古希腊人以及后来的阿拉伯人中已有研究．文艺复兴后期，法国数学家韦达（Ｆ．Ｖieta）成为三角公式的集大成者．他的《应用于三角形的数学定律》（1579）是较早系统论述平面和球面三角学的专著之一．其中第一部分列出6种三角函数表，有些以分和度为间隔．给出精确到5位和10位小数的三角函数值，还附有与三角值有关的乘法表、商表等．第二部分给出造表的方法，解释了三角形中诸三角线量值关系的运算公式．除汇总前人的成果外，还补充了自己发现的新公式．如正切定律、和差化积公式等等．他将这些公式列在一个总表中，使得任意给出某些已知量后，可以从表中得出未知量的值．该书以直角三角形为基础．对斜三角形，韦达仿效古人的方法化为直角三角形来解决．对球面直角三角形，给出计算的完整公式及其记忆法则，如余弦定理，1591年韦达又得到多倍角关系式，1593年又用三角方法推导出余弦定理．1722年英国数学家棣莫弗（Ａ．Ｄe Ｍeiver）得到以他的名字命名的三角学定理?（cosθ±isinθ）n＝cosnθ＋isinnθ，并证明了n是正有理数时公式成立；1748年欧拉（Ｌ．Ｅuler）证明了n是任意实数时公式也成立，他还给出另一个著名公式?eiθ＝cosθ＋isinθ，对三角学的发展起到了重要的推动作用．近代三角学是从欧拉的《无穷分析引论》开始的．他定义了单位圆，并以函数线与半径的比值定义三角函数，他还创用小写拉丁字母a、b、c表示三角形三条边，大写拉丁字母Ａ、Ｂ、Ｃ表示三角形三个角，从而简化了三角公式．使三角学从研究三角形解法进一步转化为研究三角函数及其应用，成为一个比较完整的数学分支学科．而由于上述诸人及19世纪许多数学家的努力，形成了现代的三角函数符号和三角学的完整的理论．参考文献1 梁宗巨，等．世界数学通史（下）．沈阳：辽宁教育出版社，2001感谢您的阅读，祝您生活愉快。
三角学的起源与发展
三角学的起源与发展三角学是数学的一个分支，研究三角形及其相关的角度、边长、面积等性质。
它在几何学、物理学、工程学等领域中具有广泛的应用。
本文将介绍三角学的起源、发展和重要里程碑。
一、三角学的起源三角学的起源可以追溯到古代文明，早在公元前2000年左右，古代埃及人就开始研究三角形的性质。
他们使用了简单的几何方法来测量土地面积和建筑物的高度。
此外，古代巴比伦人和古代印度人也对三角形进行了研究，并发现了一些基本的三角关系。
然而，真正将三角学发展为一个独立的学科的是古希腊数学家。
在公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派开始研究三角形的性质和关系。
毕达哥拉斯学派提出了著名的毕达哥拉斯定理，即直角三角形的斜边平方等于两直角边平方和。
这一定理成为了三角学的基础，并为后来的研究奠定了基础。
二、三角学的发展1. 古希腊时期在古希腊时期，欧几里得的《几何原本》对三角学的发展起到了重要的推动作用。
该书系统地整理了古希腊数学的各个方面，包括三角学。
欧几里得在书中提出了许多三角学的定理和证明，对后世的数学家产生了深远的影响。
2. 文艺复兴时期在文艺复兴时期，三角学得到了进一步的发展。
数学家雷纳尔德·斯特尔恩利在16世纪提出了著名的正弦定理和余弦定理，这些定理使得三角学能够应用于更广泛的领域，如天文学和导航。
3. 近代三角学在18世纪和19世纪，三角学的研究进入了一个新的阶段。
数学家们开始研究非欧几何学，这对三角学的发展产生了重要影响。
此外，三角函数的定义和性质也得到了进一步的完善和推广。
4. 现代三角学随着计算机科学和应用数学的发展，三角学在现代得到了广泛的应用。
三角函数在计算机图形学、信号处理、物理模拟等领域中发挥着重要作用。
此外，近年来，三角学在机器学习和人工智能领域也得到了广泛应用。
三、三角学的重要里程碑1. 毕达哥拉斯定理的发现毕达哥拉斯定理是三角学中最重要的定理之一，它的发现标志着三角学的起源和发展。
2. 正弦定理和余弦定理的提出正弦定理和余弦定理是三角学中的两个重要定理，它们使得三角学能够应用于更广泛的领域，并为后来的研究奠定了基础。
三角学的发展历史
三角学的发展历史
三角学是一个古老的学科，起源可以追溯到古代的埃及、巴比伦和印度。
在古代，三角学主要用于测量和计算土地的大小和形状，是一种实用的学科。
随着时间的推移，三角学逐渐发展成为一门独立的数学学科。
在公元前6世纪，希腊数学家泰勒斯提出了用三角形面积比来计算高度和距离的方法，这被认为是三角学的开端。
公元前3世纪的欧多克索斯和希帕索斯是最早研究三角函数的数学家，他们提出了正弦、余弦和正切等概念。
后来，在印度的数学家阿耶巴塔和阿里·伊本·伊斯哈克等人的努力下，三角学的发展又取得了重大进展。
在中世纪，阿拉伯数学家穆罕默德·本·穆萨·阿尔·花腔提出了正割、余割等新的三角函数，其著作《裴利查和斯汀》对欧洲的数学家产生了很大的影响。
到了16世纪，德国数学家约翰内斯·开普勒的工作使得三角学的应用得到了广泛的发展。
在18世纪，欧拉等数学家通过对三角函数的研究，进一步完善了三角学的理论体系。
同时，三角学的应用领域也继续扩大，如在物理学、工程学和天文学中的应用迅速增多。
到了现代，随着计算机技术和数值方法的发展，三角学的应用范围更加广泛和深入，成为计算机图形学、计算机视觉以及三维建模和游戏开发等领域必不可少的基础知识。
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壹、三角學的起源與發展三角學之英文名稱Trigonometry ，約定名於西元1600年，實際導源於希臘文trigono (三角)和metrein (測量)，其原義為三角形測量（解法），以研究平面三角形和球面三角形的邊和角的關係為基礎，達到測量上的應用為目的的一門學科。
早期的三角學是天文學的一部份，後來研究範圍逐漸擴大，變成以三角函數為主要對象的學科。
現在，三角學的研究範圍已不僅限於三角形，且為數理分析之基礎，研究實用科學所必需之工具。
(一)西方的發展三角學﹝Trigonometry﹞創始於西元前約150年，早在公元前300年，古代埃及人已有了一定的三角學知識，主要用於測量。
例如建築金字塔、整理尼羅河泛濫後的耕地、通商航海和觀測天象等。
公元前600年左右古希臘學者泰勒斯(p13)利用相似三角形的原理測出金字塔的高，成為西方三角測量的肇始。
公元前2世紀後希臘天文學家希帕霍斯（Hipparchus of Nicaea）為了天文觀測的需要，作了一個和現在三角函數表相仿的「弦表」，即在固定的圓內，不同圓心角所對弦長的表，他成為西方三角學的最早奠基者，這個成就使他贏得了「三角學之父」的稱謂。
公元2世紀，希臘天文學家數學家托勒密(Ptolemy)(85-165)繼承希帕霍斯的成就，加以整理發揮，著成《天文學大成》13卷，包括從0°到90°每隔半度的弦表及若干等價於三角函數性質的關係式，被認為是西方第一本系統論述三角學理論的著作。
約同時代的梅內勞斯（Menelaus）寫了一本專門論述球三角學的著作《球面學》，內容包球面三角形的基本概念和許多平面三角形定理在球面上的推廣，以及球面三角形許多獨特性質。
他的工作使希臘三角學達到全盛時期。
(二)中國的發展我國古代沒有出現角的函數概念，只用勾股定理解決了一些三角學範圍內的實際問題。
據《周髀算經》記載，約與泰勒斯同時代的陳子已利用勾股定理測量太陽的高度，其方法後來稱為「重差術」。
1631西方三角學首次輸入，以德國傳教士鄧玉函、湯若望和我國學者徐光啟(p20)合編的《大測》為代表。
同年徐光啟等人還編寫了《測量全義》，其中有平面三角和球面三角的論述。
1653年薛風祚與波蘭傳教士穆尼閣合編《三角算法》，以「三角」取代「大測」，確立了「三角」名稱。
1877年華蘅煦等人對三角級數展開式等問題有過獨立的探討。
現代的三角學主要研究角的特殊函數及其在科學技術中的應用，如幾何計算等，多發展於20世紀中。
貳、三角函數的演進正弦函數、餘弦函數、正切函數、餘切函數、正割函數、餘割函數統稱為三角函數（Trigonometric function）。
儘管三角知識起源於遠古，但是用線段的比來定義三角函數，是歐拉(p16)（1707-1783）在《無窮小分析引論》一書中首次給出的。
在歐拉之前，研究三角函數大都在一個確定半徑的圓內進行的。
如古希臘的托勒密定半徑為60；印度人阿耶波多（約476-550）定半徑為3438；德國數學家里基奧蒙特納斯（1436-1476）為了精密地計算三角函數值曾定半徑600,000；後來為製訂更精密的正弦表又定半徑為107。
因此，當時的三角函數實際上是定圓內的一些線段的長。
意大利數學家利提克斯（1514-1574）改變了前人的做法，即過去一般稱AB為的正弦，把正弦與圓牢牢地連結在一起（如下頁圖），而利提克斯卻把它稱為∠AOB的正弦，從而使正弦值直接與角掛勾，而使圓O成為從屬地位了。
到歐拉(Euler)時，才令圓的半徑為1，即置角於單位圓之中，從而使三角函數定義為相應的線段與圓半徑之比。
1.正弦、餘弦在△ABC中，a、b、c為角A、B、C的對邊，R為△ABC的外接圓半徑，則有稱此定理為正弦定理。
正弦定理是由伊朗著名的天文學家阿布爾.威發(940-998)首先發現與証明的。
中亞細亞人阿爾比魯尼﹝973-1048﹞(p15)給三角形的正弦定理作出了一個証明。
也有說正弦定理的証明是13世紀的那希爾丁在《論完全四邊形》中第一次把三角學作為獨立的學科進行論述，首次清楚地論証了正弦定理。
他還指出，由球面三角形的三個角，可以求得它的三個邊，或由三邊去求三個角。
這是區別球面三角與平面三角的重要標誌。
至此三角學開始脫離天文學，走上獨立發展的道路。
托勒密（Claudius Ptolemy ）的《天文學大成》第一卷除了一些初級的天文學資料之外，還包括了上面講的弦表：它給出一個圓從 （21）° 到180°每隔半度的所有圓心角所對的弦的長度。
圓的半徑被分為60等分，弦長以每一等分為單位，以六十進位制表達。
這樣，以符號 crd a 表示圓心角ａ所對的弦長， 例如 crd 36°= 37p 4'55"，意思是：36° 圓心角的弦等於半徑的6037（或37個小部分），加上一個小部分的604，再加上一個小部分的360055，從下圖看出， 弦表等價於正弦函數表，因為1202O sin ααcrd AB OA AB ===的直徑圓公元6世紀初，印度數學家阿耶波多製作了一個第一象限內間隔比倫人和希臘人的習慣，將圓周分為360度，每度為份，然後據 2πr=216000，得出r=3438﹝近似值﹞，然後用勾股定理先算出30°、45°、90°的正弦之後，再用半角公式算出較小角的正弦值，從而獲得每隔3°45'的正弦長表；其中用同一單位度量半徑和圓周，孕育著最早的弧度制概念。
他在計算正弦值的時候，取圓心角所對弧的半弦長，比起希臘人取全弦長更近於現代正弦概念。
印度人還用到正矢和餘弦，並給出一些三角函數的近似分數式。
2.正切、餘切著名的敘利亞天文學、數學家阿爾一巴坦尼﹝850-929﹞於920年左右，製成了自0°到90°相隔1°的餘切[cotangent]表。
公元727年，僧一行受唐玄宗之命撰成《大行曆》。
為了求得全國任何一地方一年中各節氣的日影長度，一行編出了太陽天頂距和八尺之竿的日影長度對應表，而太陽天頂距和日影長度的關係即為正切﹝tangent﹞函數。
而巴坦尼編製的是餘切函數表，而太陽高度﹝角﹞和太陽天頂距﹝角﹞互為餘角，這樣兩人的發現實際上是一回事，但巴坦尼比一行要晚近200年。
14世紀中葉，中亞細亞的阿魯伯﹝1393-1449﹞，原是成吉思汗的後裔，他組織了大規模的天文觀測和數學用表的計算。
他的正弦表精確到小數9位。
他還製造了30°到45°之間相隔為1'，45°到90°的相隔為5'的正切表。
在歐洲，英國數學家、坎特伯雷大主教布拉瓦丁﹝1290？-1349﹞首先把正切、餘切引入他的三角計算之中。
3.正割、餘割正割﹝secant﹞及餘割﹝cosecant﹞這兩個概念由阿布爾─威發首先引入。
sec這個略號是1626年荷蘭數基拉德﹝1595-1630﹞在他的《三角學》中首先使用，後經歐拉採用才得以通行。
正割、餘割函數的現代定義亦是由歐拉給出的。
歐洲的「文藝復興時期」，﹝14世紀-16世紀﹞偉大的天文學家哥白尼﹝1473-1543﹞提倡地動學說，他的學生利提克斯見到當時天文觀測日益精密，認為推算更精確的三角函數值表刻不容緩。
於是他定圓的半徑為1015，以製作每隔10"的正弦、正切及正割值表。
當時還沒有對數，更沒有計算機。
全靠筆算，任務十分繁重。
利提克斯和他的助手們以堅毅不拔的意志，勤奮工作達12年之久，遺憾的是，他生前沒能完成這項工作，直到1596年，才由他的學生鄂圖﹝1550-1605﹞完成並公佈於世，1613年海得堡的彼提克斯﹝1561-1613﹞又修訂了利提克斯的三角函數表，重新再版。
後來英國數學家納皮爾發現了對數，這就大大地簡化了三角計算，為進一步造出更精確的三角函數表創造了條件。
4.三角函數符號毛羅利科早於1558年已採用三角函數符號，但當時並無函數概念，於是只稱作三角線（trigonometric lines）。
他以sinus 1m arcus 表示正弦，以sinus 2m arcus表示餘弦。
而首個真正使用簡化符號表示三角線的人是T.芬克。
他於1583年創立以“tangent”（正切）及“secant”（正割）表示相應之概念，其後他分別以符號“sin.”,“tan. ”, “sec. ”,“sin. com”,“tan. com”,“sec. com”表示正弦，正切，正割，餘弦，餘切，餘割，首三個符號與現代之符號相同。
後來的符號多有變化，下列的表便顯示了它們之發展變化。
使用者年代正弦餘弦正切餘切正割餘割備註羅格蒙格斯1622 S.R. T. (Tang) T. c pl Sec pl 吉拉爾1626 tan sec.杰克1696 s. cos. t. cot. sec. cosec.歐拉1753 sin. cos. tag(tg). cot. sec. cosec謝格內1767 sin. cos. tan. cot. Ⅰ巴洛1814 sin cos. tan. cot. sec cosec Ⅰ1729年，丹尼爾．伯努利是先以符號表示反三角函數，如以AS 表示反正弦。
1736年歐拉以At 表示反正切，一年後又以Asin c b表示 於單位圓上正弦值相等於bc 的弧。
1772年，C ．申費爾以arc. tang. 表示反正切；同年，拉格朗日採以α+11sin .arc 表示反正弦函數。
1776年，蘭伯特則以arc. sin 表示同樣意思。
1794年，鮑利以Arc.sin 表示反正弦函數。
其後這些記法逐漸得到普及，去掉符號中之小點，便成現今通用之符號，如arc sin x ，arc cos x 等。
於三角函數前加arc 表示反三角函數，而有時則改以於三角函數前加大寫字母開頭Arc ，以表示反三角函數之主值。
另一較常用之反三角函數符號如sin -1x ，tan -1x 等，是赫謝爾於1813年開始採用的，把反三角函數符號與反函數符號統一起來，至今亦有應用。
參、三角函數的和差化積公式下列公式稱為三角函數的和差化積公式。
法國著名數學家韋達﹝1540-1603﹞(p18)在他的著名的三角學著作《標準數學》中收集並整理了有關三角公式並給予補充，其中就有他給出的恒等式:【後記】三角函數名稱的由來和補充想知道為何三角函數要叫做sin，cos 這些名字嗎？經過了多方的查取資料，找到了下圖：上面這個圖稱為三角圓（半徑＝1），是用圖形的方式表達各函數。
其中我們可以看到，sin θ為PM線段，也就是圓中一條弦（對2θ圓周角）的一半，所以稱為「正弦」。
而cosθ是OM 線段，但OM＝NP，故我們也可以將cosθ視為 NOP（90°-θ）的正弦值，也就是θ的餘角的正弦值，故稱之為「餘弦」。