传递函数矩阵分析
传递函数阵
传递函数阵传递函数矩阵指的是在多输入、多输出线性时不变系统下，将系统各个输入与各个输出之间的关系统一表示为矩阵的形式。
该矩阵被称为传递函数矩阵。
系统的物理特性可以用数学模型来描述，通常采用微分方程的形式来表示。
而当系统具有多个输入和多个输出时，为了方便描述，我们可以采用矩阵的形式表示系统的状态，即将状态向量、输入向量和输出向量都表示为矩阵的形式：$$\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} , \quad\mathbf{u} = \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ \vdots \\ u_m \end{bmatrix} , \quad\mathbf{y} = \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_p \end{bmatrix}$$其中$\mathbf{x}$表示状态量矩阵，$\mathbf{u}$表示输入量矩阵，$\mathbf{y}$表示输出量矩阵。
$n, m, p$分别表示状态量、输入量和输出量的个数。
在线性时不变系统中，系统的状态方程可用矩阵形式表示：$$\begin{aligned}\dot{\mathbf{x}} &= \mathbf{Ax}+\mathbf{Bu} \\\mathbf{y} &= \mathbf{Cx}+\mathbf{Du}\end{aligned}$$我们可以根据线性时不变系统的传输特性，将输入矩阵$\mathbf{B}$和直流增益矩阵$\mathbf{D}$组成一个$m\times p$的矩阵，称为传递函数矩阵$\mathbf{G}(s)$:其中，$\mathbf{G}_{ij}(s)$表示第$i$个输入对第$j$个输出的传递函数。
传递函数矩阵$\mathbf{G}(s)$反映了系统各个输入与各个输出之间的传递特性。
现代控制理论第3章传递函数矩阵的结构特性
现代控制理论第3章传递函数矩阵的结构特性控制理论是现代科学技术的重要组成部分，它主要研究如何通过合理的方式对动力系统进行控制。
传递函数是控制理论中的一个重要概念，它是描述控制系统中输入和输出之间关系的数学模型。
在现代控制理论中，传递函数矩阵作为传递函数的扩展，是一种描述多输入多输出系统的数学模型，具有一些特殊的结构特性。
首先，传递函数矩阵的维度决定了系统的输入和输出的数量。
设系统的输入和输出分别为u和y，传递函数矩阵的维度为p×m，其中p是输出的数量，m是输入的数量。
这意味着系统的输出是由m个输入共同作用决定的，而系统的输出也会影响到m个输入。
传递函数矩阵的维度结构清晰明确，可以直观地反映系统的复杂性和耦合程度。
其次，传递函数矩阵可以通过分块矩阵的形式表示。
在传递函数矩阵中，每个元素都是一个标量传递函数，表示输入对应输出的单一影响。
将传递函数矩阵按照行和列的方式进行分块，可以更好地表示系统的结构和功能，方便进行系统分析和设计。
例如，可以将传递函数矩阵按照行进行分块，每个分块表示一个输出对所有输入的传递函数，即系统的局部传递函数。
这种分块的方式有助于分析系统的稳定性、可控性和可观性等性质。
第三，传递函数矩阵具有可乘性和可加性。
传递函数矩阵之间可以进行乘法和加法运算，得到的结果仍然是一个传递函数矩阵。
这使得系统的复杂行为可以通过简单的计算表达出来。
例如，两个传递函数矩阵相乘可以表示两个系统级联的结果，即一个系统的输出作为另一个系统的输入，从而形成一个新的系统。
传递函数矩阵的可乘性和可加性为系统分析和设计提供了便利。
最后，传递函数矩阵具有一些特殊结构，如分数阶传递函数矩阵和时滞传递函数矩阵等。
分数阶传递函数矩阵是一类常见的非整数阶动力系统的数学模型，广泛应用于控制系统、信号处理和通信系统等领域。
时滞传递函数矩阵描述的是系统的输入和输出之间存在一定的延迟，这在实际控制系统中是常见的现象。
对于这些特殊结构的传递函数矩阵，需要采用不同的方法进行分析和设计，以满足系统要求。
传递函数矩阵的特征多项式
传递函数矩阵的特征多项式函数矩阵的特征多项式在线性代数中起到非常重要的作用。
它不仅可以帮助我们求解特征值和特征向量，还可以用于矩阵的对角化、矩阵的相似性等一系列相关问题的研究。
本文将详细介绍函数矩阵的特征多项式的概念、性质以及计算方法，并且通过一些例子来加深理解。
1.函数矩阵的定义函数矩阵是指矩阵的元素是函数的矩阵，它的定义类似于普通矩阵，只不过矩阵的元素是函数形式。
设A为一个函数矩阵，那么它的元素可以表示为A=[a(ij)],其中a(ij)是一个函数。
2.特征值和特征向量回顾在回顾特征多项式之前，我们需要先了解特征值和特征向量的概念。
对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x使得Ax=kx，其中k是一个常数，那么k称为A的特征值，x称为A对应于特征值k的特征向量。
特征向量描述了矩阵A的变换方向和幅度。
3.特征多项式的定义设A是一个n阶方阵，λ是一个实数，那么特征多项式是f(λ)=，A-λI，其中，…，表示行列式，λ是变量，I是n阶单位矩阵。
特征多项式的次数等于方阵的阶数，它是一个关于λ的多项式。
特征多项式描述了矩阵A的特征值情况。
4.特征多项式的性质特征多项式具有以下性质：（1）特征多项式的次数等于方阵的阶数；（2）特征多项式的根就是矩阵的特征值；（3）特征多项式的零点就是特征值。
5.特征多项式的计算对于一个给定的n阶方阵A=[a(ij)]，我们可以通过以下步骤计算特征多项式：（1）构造矩阵B=A-λI，其中λ是待求特征值，I是n阶单位矩阵；（2）计算矩阵B的行列式，B，作为特征值的函数；（3）将特征多项式写成f(λ)=，B，化简。
根据矩阵的特点，计算特征多项式可能涉及复杂的行列式运算，但是通过一些性质和计算技巧，能够简化计算过程。
6.例子下面通过例子来说明特征多项式的计算过程。
（1）构造矩阵B=A-λI，得到B=[2-λ3;41-λ]；（2）计算行列式，B，得到，B，=(2-λ)(1-λ)-12=λ^2-3λ-10；（3）特征多项式为f(λ)=λ^2-3λ-10。
第7章new传递函数矩阵的矩阵分式描述和结构特性更新中
2
s 3
s 1 s3 s3 s4
s
s
s
2
s 1
解 首先构造G(s) 的右MFD。为此，定出G(s)各列的最小公分母如下： dc1(s) = (s+2)(s+3)2 ， dc2(s) = (s+3)(s+4) ，dc3(s) = (s+1)(s+2)
由此可以导出G(s)的右MFD为
G(s) Nr (s)Dr1(s)
Nr(s) = Qr(s)Dr(s) + R(s)
(7-31)
且 R(s)Dr-1(s) 是严真性有理矩阵，或者说在Dr(s)为列既约条件下
δcj R(s) < δcj Dr(s),
j=1,2,…,m
(7-32)
定理7-4的对偶定理 设Nl(s)和Dl(s)是两个r×m和r×r阶多项式矩阵，且
Dl(s)非奇异，则存在唯一的 r×m 阶多项式矩阵Ql(s)和L(s)使得
1 右MFD和左MFD 考虑p维输入和q维输出的连续线性时不变系统，其输入输出关系的传递
函数矩阵G(s)为q×p有理分式矩阵，其表示形式为
n11 ( s) d11 ( s)
n1p (s)
d1
p
(s)
G(s)
nq1
(
s)
nqp
(s)
dq1(s)
dqp (s)
(7 1)
严格真有理矩阵：有理矩阵 G(s) 满足 G(∞) = 0。 真有理矩阵：有理矩阵 G(s) 满足 G(∞) = G0 (非零常数)。
(6-2)
右分母矩阵： p×p 阶方阵Dr(s)；右分子矩阵： q×p 阶矩阵Nr(s)； 左分母矩阵： q×q 阶方阵Dl(s)； 左分子矩阵： q×p 阶矩阵Nl(s)。
现代控制理论-传递矩阵
λi Pi = APi
称pi为特征向量。
4. 4 状态方程的线性变换
选取不同的状态变量有不同形式的状态方程， 两组状态变量之间存在着线性变换。
x& = Ax + bu y = cx
x = px
x& = Ax + bu y = cx
= G(s)U(s) 【传递函数矩阵】
对于多输入多输出系统，初始条件为零时，输出 的拉氏变换与输入的拉氏变换之比，称为传递函数矩 阵，简称传递矩阵。
这里： G(s) = C(sI − A)−1B + D
(sI − A)−1 = adj[sI − A] sI − A
对于r维输入m维输出系统：
⎡Y1(s)⎤ ⎡G11(s) G12(s) L G1r(s)⎤⎡U1(s)⎤
b) 若A阵为友矩阵，且有n个互不相同的实数特 征值λi
⎡0 1 0 L 0 ⎤
⎢ ⎢
0
01
⎥ ⎥
A=⎢ ⎢ ⎢
O
⎥
1
⎥ ⎥
⎢⎣−a0 −a1 L
−an−1 ⎥⎦
sI − A = 0
λi
3
2011-3-10
则下边的范德蒙特矩阵使A对角化
⎡1 1 L 1⎤
⎢ ⎢
λ1
λ2
L
λn
⎥ ⎥
P
=
⎢ ⎢ ⎢
λ12 M
P变换，
变换矩阵： p = [ p1 p2 L pn ]
x = px x& = px& = Ax + bu = Apx + bu
x& = p−1Apx + p−1bu = Ax + bu
对偶系统的传递函数矩阵
在线性系统理论中，偶系统是指只有偶次幂项的系统，常见的偶系统有传递函数表示和状态空间表示两种表示方法。
传递函数表示偶系统时，需要使用传递函数矩阵来表示偶系统的输入输出关系。
传递函数矩阵是一个多项式矩阵，其中的每个元素都是一个多项式，用来表示偶系统的输入输出关系。
例如，对于一个二阶偶系统，其传递函数矩阵可以表示为：
$$G(s) = \begin{bmatrix} G_{11}(s) & G_{12}(s) \ G_{21}(s) & G_{22}(s) \end{bmatrix}$$
其中，$G_{ij}(s)$ 表示系统的第 $i$ 个输入与第 $j$ 个输出之间的传递函数。
在使用传递函数矩阵表示偶系统时，还可以利用矩阵的性质来对偶系统进行分析和设计。
例如，可以使用矩阵的逆矩阵来求出偶系统的反馈传递函数矩阵，从而分析偶系统的稳定性和阻尼性等特性。
此外，还可以使用矩阵乘法的性质来求出偶系统的输入输出关系，从而设计出满足特定要求的偶系统。
在实际应用中，偶系统的传递函数矩阵可以用来分析和设计各种复杂的线性系统，例如控制系统、信号处理系统等。
传递函数矩阵
传递函数矩阵
函数矩阵的定义是指数学中的一种概念，其指的是在一个二元变量的函数中，所有不
同的可能情况的函数的集合。
它可以通过构建一个表格表示。
在线性代数的范畴中，函数
矩阵也可以被认为是线性代数的核心概念。
它是解决一个方程或系统的一种方法，其中每
一行和每一列代表一个元素，并且每一个元素都对应一个未知数或变量。
举个例子，假设有以下函数矩阵：
\[F(x,y)=[xy+3,x^2-xy]\]
这意味着x和y是两个随机变量，它们可以以不同的形式出现，每个元素分别代表不
同类型的函数，即，首先是\[xy+3\]，其次是\[x^2-xy\]。
一旦在函数矩阵中建立了这些元素，接下来的步骤就是对其进行求解和处理，以获取
正确的解决方案。
这可以通过求解函数矩阵的特征值和特征向量而实现，特征值可以定义
为所求矩阵X的特征值，而特征向量则是所求矩阵X与其特征值之间的乘积。
另一方面，函数矩阵也可以被用于计算函数的梯度，梯度也可以被定义为函数的导数，可以用来有效确定函数的变化情况，而函数矩阵可以反应函数在不同情况下的变化趋势。
总的来说，函数矩阵是一种快速有效的方法来求解一个二元变量的函数，而这样的函
数也是构建各种数学模型所必须的基础。
因此，正确理解和使用函数矩阵对于用户来说是
非常重要的。
传递函数矩阵的nyquist判据 -回复
传递函数矩阵的nyquist判据-回复什么是传递函数矩阵的nyquist判据？在控制系统理论中，传递函数矩阵的nyquist判据是一种分析控制系统稳定性的方法。
它是基于nyquist稳定性判据的一个推广，适用于多输入多输出（MIMO）系统，可以用于评估系统的稳定性和性能。
传递函数矩阵通常用于描述MIMO系统的动态行为，其中每个输入和输出都对应一个传递函数。
考虑一个MIMO系统，描述为一个传递函数矩阵G(s)，其中s是复变量。
传递函数矩阵的维度为n×m，表示系统有m 个输入和n个输出。
对于一个单输入单输出（SISO）系统，我们可以使用nyquist稳定性判据来评估系统的稳定性。
该判据基于系统的频率响应曲线，将系统的开环传递函数绘制在一个复平面上，然后通过判断曲线是否经过坐标原点来判断系统的稳定性。
然而，对于MIMO系统，传递函数矩阵G(s)的频率响应容易变得复杂。
因此，nyquist稳定性判据无法简单地应用于多变量系统。
为了克服这个问题，我们引入传递函数矩阵的nyquist判据。
传递函数矩阵的nyquist判据使用了矩阵运算，结合了系统的频率响应和外环稳定性的概念，以更好地评估系统的稳定性。
它基于以下两个核心思想：1. 外环稳定性：对于一个MIMO系统，我们可以将系统分解为多个子系统，每个子系统包含一个输入和一个输出。
传递函数矩阵的nyquist判据要求每个子系统都是稳定的，以确保整个系统的稳定性。
2. 频率响应：传递函数矩阵的nyquist判据绘制了传递函数矩阵的频率响应的复平面图。
与nyquist稳定性判据类似，我们通过判断曲线是否围绕坐标原点来评估系统的稳定性。
具体来说，传递函数矩阵的nyquist判据可以通过以下步骤进行求解：步骤1：计算传递函数矩阵的频率响应曲线。
首先，将传递函数矩阵G(s)表示为一个分子矩阵N(s)和一个分母矩阵D(s)的比值。
然后，将复变量s 替换为jω，其中j是虚数单位，ω是频率。
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所以 Q(s)是单模阵。
定理 6-1：方阵 矩阵。
1 Q Q(s)为单模阵，当且仅当 (s) 也是一个多项式
1 证：” ”： Q(s)为单模矩阵 Q (s) 为多项式；
∵Q(s)为单模矩阵， ∴detQ(s)=c，故
1 Q (s) =adjQ(s)/detQ(s)= c
1
adjQ(s)
二、单模矩阵 一般地称，detQ(s)是 s 的函数。 定义 6-1：若 detQ(s)=常数（不恒为 0） ，或不是 s 的多 项式，称 Q(s)为单模矩阵。 例 Q(s)=
s 1 s 2 s 3 s 4
, detQ(s)=(s+1)(s+4)-(s+2)(s+3)=-2
0 1 ( s ) ( s ) ( s ) 0 U(s)Q(s)V(s)= = r 0 0 0
其中{ i ( s) }是 i 1,2,r 1 的非零首一多项式 且满足整 除性 i ( s) | i1 (s) ， 。则称 ( s ) 为多项式矩阵 Q(s)的史密斯 形。 （例子见书中 418 页）
特点： （1） i ( s) 为不恒等于零的首一多项式； （2）deg i ( s) deg i 1 (s) ; （3）V(s),U(s)不唯一，但 i ( s) 唯一的经过一系列初等变 换得到，即对给定 Q(s)，Smith 形唯一； （4）Q(s)与 Qs (s) 的秩相同；
多项式阵的一般性质 1． 线性相关与无关 称 p 个多项式 q1 (s), q2 (s) q p (s) 线性相关，当且仅当存 在一组不全为 0 的多项式 1 (s) p (s) 使
1 (s)q1 (s) 2 (s)q2 (s) p (s)q p (s) 0 成立。
1 Q (s) 也为多项式 ∵adjQ(s)为多项式，∴
1 “ ”： Q (s) 为多项式 Q(s)为单模矩阵；
1 1 Q 令 detQ(s)=a(s),det (s) =b(s)，而 Q(s) Q (s) =I
det Q(s) Q 1 (s) =detQ(s)det Q (s) =a(s)b(s)=1 ∵ a(s),b(s)均独立于非零的常数才成立，
T1,T2,T3 均为初等矩阵。 结论：任何一个 p 维单模阵 M(s)必可表示为有限个 p 维初等 矩阵的乘积。
四、标准型（规范型） 任何多项式阵 Q(s)经初等变换可化为标准型。 1． Hermite 型（上三角型） 设： q×p 的多项式 Q(s)的秩为 r， r min(q,p)， 则 Hermite 阵：
第6章 频域模型理论 基础
§ 1 多项式阵 一、多项式
D(s) d n s n d n1s n1 d1s d 0
多项式加减乘仍为多项式， 多项式除可能不是多项式， 多项式的集合不能构成一个域。 多项式的阶次 degD(s)=n, 即为最高项的次数， d n =1 称为首一多项式。
1 1 T2= 1 1
3．对任何一行（列）乘以 ( s ) 加到另一行（列）上，相当 于左（右）乘下述阵：
1 1 (s) 1 T3= 1
1
∴detQ(s)=常数 Q(s)为单模矩阵。
其它性质： （1）Q(s)为单模阵 Q(s)非奇异； （2）同维单模阵相乘必为单模阵；
1 Q (s) 位单模阵变换 对一个多项式 N(s) 1． 矩阵中任意两行互换， i,j 两行互换， 相当于对 N(s) 左乘下述阵：
算法（化 Q(s)为 QH (s) 的方法为初等变换） ： 见书 394 页 H 矩阵的特点： （1）前 r 行为非零行，后（q-r）行为零行； （2）每行最左边元素为首一多项式； （3）矩阵为梯形结构； （4） i ,ki (s) (i 1,2r ) 在所处列次数最高；
2． Smith 标准形（对角型） 任意 Q(s)经初等变换可化为 Smith 标准形。 设：q×p 的多项式 Q(s)的秩为 r，r min(q,p)，如果可 找 到 相 应 维 数 的 单 模 阵 {V(s),U(s)}, 使 得
1 1 0 1 1 0 1 1
T1=
Nr(s)=T1N(s) 若 i,j 两列互换，相当于对 N(s)右乘 T1。
2． 对任一行（列）乘以不为 0 的数，相当于左乘（行 变换）或右乘（列变换）下阵：
若仅当 1 (s) p (s) 0 上式成立，则称
q1 (s), q2 (s) q p (s) 线性无关。
2． 秩 对 Q(s)为 q p 阵，rankQ(s)=r, 即 Q(s)有 r 个列（行）向 量线性无关，或说至少存在一个 r r 阵的子式不恒等于 0。 3． 奇异性 detQ(s)不恒等于 0，则非奇异，否则奇异。