第三章 练习题-理论分布与抽样分布
抽样分布习题及答案
抽样分布习题及答案抽样分布习题及答案抽样分布是统计学中一个重要的概念，它描述了从总体中抽取样本后，样本统计量的分布情况。
在实际应用中，我们经常需要利用抽样分布来进行统计推断，因此对于抽样分布的理解和掌握是十分必要的。
本文将介绍一些常见的抽样分布习题，并提供相应的答案。
1. 问题：某公司有1000名员工，其中400人是女性。
现从中随机抽取100人，求抽取样本中女性人数的抽样分布。
解答：在这个问题中，我们可以将女性的出现看作是一个二项分布的实验，成功的概率为0.4。
因此，抽取样本中女性人数的抽样分布是一个二项分布。
根据二项分布的性质，我们可以计算出不同女性人数的概率。
2. 问题：某电商平台有1000个用户，他们的购买金额服从均值为100元，标准差为20元的正态分布。
现从中随机抽取50个用户，求抽取样本的平均购买金额的抽样分布。
解答：在这个问题中，样本的平均购买金额的抽样分布是一个服从均值为100元，标准差为20/√50元的正态分布。
根据正态分布的性质，我们可以计算出不同平均购买金额的概率。
3. 问题：某城市的居民年收入服从均值为50000元，标准差为10000元的正态分布。
现从中随机抽取200个居民，求抽取样本的平均年收入的抽样分布。
解答：在这个问题中，样本的平均年收入的抽样分布是一个服从均值为50000元，标准差为10000/√200元的正态分布。
根据正态分布的性质，我们可以计算出不同平均年收入的概率。
4. 问题：某医院每天接诊的患者数服从均值为50人，标准差为10人的泊松分布。
现从中随机抽取30天，求抽取样本的平均每天接诊的患者数的抽样分布。
解答：在这个问题中，样本的平均每天接诊的患者数的抽样分布是一个服从均值为50人，标准差为10/√30人的正态分布。
根据正态分布的性质，我们可以计算出不同平均每天接诊的患者数的概率。
通过以上几个习题的解答，我们可以看到不同问题中抽样分布的情况是不同的，需要根据具体的问题来确定抽样分布的类型和参数。
抽样分布习题 答案
抽样分布习题答案抽样分布习题答案随着统计学的发展，抽样分布成为了统计推断的重要基础。
在统计学中，我们经常需要从总体中抽取一部分样本，然后通过对样本的分析来推断总体的特征。
而抽样分布则是描述样本统计量的分布情况的概率分布。
在这篇文章中，我们将回答一些关于抽样分布的习题，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
1. 假设某个总体的均值为μ，标准差为σ，从该总体中抽取样本容量为n的简单随机样本。
则样本均值的抽样分布的均值为多少？标准差为多少？答案：样本均值的抽样分布的均值为总体均值μ，标准差为总体标准差σ除以样本容量n的平方根，即σ/√n。
这意味着随着样本容量的增加，样本均值的抽样分布的标准差将减小，从而更加接近总体均值。
2. 假设某个总体服从正态分布，均值为μ，标准差为σ。
从该总体中抽取样本容量为n的简单随机样本，计算样本均值。
当n足够大时，样本均值的抽样分布将近似服从什么分布？答案：当样本容量n足够大时，样本均值的抽样分布将近似服从正态分布。
这是由于中心极限定理的适用，即当样本容量足够大时，样本均值的抽样分布将趋于正态分布，无论总体的分布形态如何。
3. 假设某个总体服从正态分布，均值为μ，标准差为σ。
从该总体中抽取样本容量为n的简单随机样本，计算样本标准差。
当n足够大时，样本标准差的抽样分布将近似服从什么分布？答案：当样本容量n足够大时，样本标准差的抽样分布将近似服从正态分布。
这是由于当样本容量足够大时，样本标准差的抽样分布可以通过中心极限定理近似为正态分布。
4. 假设某个总体的比例为p，从该总体中抽取样本容量为n的简单随机样本，计算样本比例。
样本比例的抽样分布的均值和标准差分别为多少？答案：样本比例的抽样分布的均值为总体比例p，标准差为√(p(1-p)/n)。
这意味着当样本容量足够大时，样本比例的抽样分布将近似服从正态分布，均值为总体比例p，标准差为√(p(1-p)/n)。
通过以上习题的解答，我们可以看到抽样分布在统计推断中的重要性。
袁卫《统计学》(第3版)课后习题-概率、概率分布与抽样分布(圣才出品)
5．离散型随机变量和连续型随机变量的概率分布的描述有哪些不同？连续型随机变量
的概率密度与分布函数之间是什么关系？
答：（1）离散型随机变量 X 只取有限个可能的值 x1，x2，…， xn ，而且是以确定的概
率取这些值，即
P（X=xi）=pi（ i =1，2，…，n）。因此，可以列出 X 的所有可能取值 x1，x2，…， xn ，以 及取每个值的概率 p1，p2，…， pn ，将它们用表格的形式表现出来，就是离散型随机变量
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（3）主观概率
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古典概率和统计概率都属于客观概率，它们的确定完全取决于对客观条件的理论分析或
是大量重复试验的事实，不以个人的意志为转移。而有些事件，特别是未来的某一事件，既
不能通过等可能事件个数来计算，也不能根据大量重复试验的频率来估计，但决策者又必须
，
对于连续型随机变量，其均值和方差分别为：
= E(X ) = xf (x)dx， 2 = E(X 2) − E2(X ) = − x2 f (x)dx
−
−
7．二项分布与超几何分布的适用场合有什么不同？它们的均值和方差有什么区别？
答：（1）从理论上讲，二项分布只适合于重复抽样（即从总体中抽出一个个体观察完后
对其进行估计从而作出相应的决策，那就需要应用主观概率。
主观概率需要人们根据经验、专业知识、对事件发生的众多条件或影响因素进行分析，
以此确定主观概率。
3．概率密度函数和分布函数的联系与区别表现在哪些方面？ 答：（1）区别 概率密度函数只是给出了连续型随机变量某一特定值的函数值，这一函数值不是真正意 义上的取值概率，连续型随机变量在给定区间内取值的概率对应的是概率密度函数 f（x）曲 线（或直线）在该区间上围成的面积，这一特征恰恰意味着连续型随机变量在某一点的概率 值为 0，因为它对应的面积为 0。而分布函数 F 在 x 处的取值，就是随机变量 X 的取值落在 区间（-∞，x）的概率。 （2）联系
3-理论分布与抽样分布
68-95-99.7规则
➢ 正态分布有其特定的数据分布规则： ▪ 平均值为, 标准差为σ的正态分布 ▪ 68%的观察资料落在的1σ之内 ▪ 95%的观察资料落在的2σ之内 ▪ 99.7%的观察资料落在的3σ之内
19
20
三、68-95-99.7规则
68.26% 的资料 95.45% 的资料 99.73% 的资料 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3s -2s -s +s +2s +3s
体称为样本平均数的抽样总体。其平均数和标准差分
别记为 和 。x
s x
是样s x本平均数抽样总体的标准差，简称标准误 (standard error)，它表示平均数抽样误差的大小。统 计学上已证明x总体的两个参数与x 总体的两个参数有 如下关系：
u=(x-μ)／σ
x～N(0,1)
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3.3.3 正态分布的概率计算 1. 标准正态分布的概率计算
设u服从标准正态分布，则u在[u1，u2 ）内取 值的概率为：
＝Φ(u2)－Φ(u1)
(3-16)
Φ(u1)与Φ(u2)可由附表1查得。
上一张 下一张 主 页 退13出
例如，u=1.75时，由附表1可以查出 Φ(1.75)=0.95994
图3-6 μ相同而σ不同的3个正态分布比较大 8
（6）分布密度曲线与横轴所围成的区间面积为1， 即：
（7） 正态分布的次数多数集中在平均数μ的附 近，离均数越远，其相应次数越少，在3σ以外的 极少，这就是食品工业控制中的3σ 原理的基础。
上一张 下一张 主 页 退 9出
3.3.2 标准正态分布
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(1) P(u＜-1.64)=0.05050 (2) P (u≥2.58)=Φ(-2.58)=0.024940 (3) P (｜u｜≥2.56)
统计学 抽样分布和理论分布
抽样分布与理论分布一、抽样分布总体分布：总体中所有个体关于某个变量的取值所形成的分布。
样本分布：样本中所有个体关于某个变量大的取值所形成的分布。
抽样分布：样品统计量的概率分布，由样本统计量的所有可能取值和相应的概率组成。
即从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本最多可抽取m 个样本，m 个样本统计值形成的频率分布，即为抽样分布。
样本平均数的抽样分布：设变量X 是一个研究总体，具有平均数μ和方差σ2。
那么可以从中抽取样本而得到样本平均数x ，样本平均数是一个随机变量，其概率分布叫做样本平均数的抽样分布。
由样本平均数x 所构成的总体称为样本平均数的抽样总体。
它具有参数μx 和σ2x ，其中μx 为样本平均数抽样总体的平均数，σ2x 为样本平均数抽样总体的方差，σx 为样本平均数的标准差，简称标准误。
统计学上可以证明x 总体的两个参数 μx 和σ2x 与X 总体的两个参数μ和σ2有如下关系：μx = μσ2x = σ2 /n 由中心极限定理可以证明，无论总体是什么分布，如果总体的平均值μ和σ2都存在，当样本足够大时（n>30），样本平均值x 分布总是趋近于N （μ，n2σ)分布。
但在实际工作中，总体标准差σ往往是未知的，此时可用样本标准差S 估计σ。
于是，以nS估计σx ，记为X S ，称为样本标准误或均数标准误。
样本平均数差数的抽样分布：二、正态分布2.1 正态分布的定义：若连续型随机变量X 的概率密度函数是⎪⎭⎫ ⎝⎛--=σμπσx e x f 22121)( （-∞＜x ＜+∞）则称随机变量X 服从平均数为μ、方差为σ2的正态分布，记作X~N （μ，σ2）。
相应的随机变量X 概率分布函数为 F （x ）=⎰∞-x dx x f )(它反映了随机变量X 取值落在区间（-∞，x ）的概率。
2.2 标准正态分布当正态分布的参数μ=0，σ2=1时，称随机变量X 服从标准正态分布，记作X~N （0,1）。
3 理论分布与抽样分布
【例3.7】 已知u～N(0，1)，试求： (1) P(u＜-1.64)＝?
(2) P (u≥2.58)=?
(3) P (｜u｜≥2.56)=? (4) P(0.34≤u＜1.53) =?
(1) P(u＜-1.64)=0.05050
(2) P (u≥2.58)=Φ(-2.58)=0.024940
加减不同倍数σ区间的概率)是经常用到的。
P(μ-σ≤x＜μ+σ)= 0.6826
P(μ-2σ≤x＜μ+2σ) = 0.9545 P (μ-3σ≤x＜μ+3σ) = 0.9973
P (μ-1.96σ≤x＜μ+1.96σ) = 0.95
P (μ-2.58σ≤x＜μ+2.58σ)= 0.99
在数理统计分析中，不仅注意随机变量x落在平均数加减不 同倍数标准差区间（μ-kσ , μ+kσ）之内的概率，更关心的是x落在 此区间之外的概率。
二项分布---二项分布的定义及其特点
二项分布的应用条件： （1）各观察单位 只具有相互对立 的一种结果，如合格或不 合格， 生存或死亡等等，非此即彼； （2）已知发生某一结果 (如死亡) 的概率为p，其对立结果 的概率则为1-P=q，实际中要求p 是从大量观察中获得的比较 稳定的数值； （3）n次观察结果互相独立，即每个观察单位的观察结果不
P (-2.58≤u＜2.58)=0.99
标准正态分布的三个常用概率如图示
u变量在上述区间以外取值的概率分别为： P(｜u｜≥1)=2Φ(-1)=1- P(-1≤u＜1) =1-0.6826=0.3174 P(｜u｜≥2)=2Φ(-2) =1- P（-2≤u＜2） =1-0.9545=0.0455 P(｜u｜≥3)=1-0.9973=0.0027 P(｜u｜≥1.96)=1-0.95=0.05 P(｜u｜≥2.58)=1-0.99=0.01
003理论分布与抽样分布28
生k次的概率恰好等于展开式中的第k+1项，所以也
把上式称作二项概率公式 。
2.2 二项分布的意义及性质
2.2.1 二项分布定义
设随机变量x所有可能取的值为零和正整数：
0,1,2,…，n，且有
Pn (k )
=
C
k n
p k q nk
k=0,1,2…，n
其中p＞0，q＞0，p+q=1，则称随机变量x服从
2.3 二项分布的概率计算
【例2.1】 纯种白猪与纯种黑猪杂交，根据孟德尔遗传理 论，子二代中白猪与黑猪的比率为3∶1。求窝产仔10 头，有7头白猪的概率。
解：根据题意，n=10，p=3／4=0.75，q=1／4=0.25。 设10头仔猪中白色的为x头，且x～B(10，0.75)
于是窝产10头仔猪中有7头是白色的概率为：
A1 A2 A 3 A4
A1
A2
A3
A4 p 2 q 42
2.1贝努力试验及其概率公式
又由于以上各种方式中，任何二种方式都是互 不相容的，按概率的加法法则，在4 次试验中， 事件A恰好发生2次的概率为
P4(2) = P(A1 A2 A3 A4) + P(A1 A2 A3 A4) + …+ P(A1 A2 A3 A4)
1.2离散型随机变量的概率分布
要了解离散型随机变量 x 的统计规律，就必须知道它 的一切可能值xi及取每种可能值的概率pi。
如果我们将离散型随机变量 x 的一切可能取值xi ( i=1, 2 , … )，及其对应的概率pi，记作 P(x=xi)=pi i=1,2,…
则称上式为离散型随机变量 x 的概率分布或分布。常 用分布列 (distribution series)来表示离散型随机变量：
袁卫《统计学》配套题库【章节练习】(概率、概率分布与抽样分布)【圣才出品】
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【解析】重复抽样下的抽样标准误差为 ，不重复抽样下的标准误差为
n
N n2 N 1 n
。
10．设X、Y、Z表示3个随机事件，则X∪Y∪Z表示（ ）。[浙江工商大学2017研] A．X、Y、Z全部发生 B．X、Y、Z中恰有一个发生 C．X、Y、Z中至少发生一个 D．X、Y、Z都不发生 【答案】C 【解析】事件 X∪Y∪Z 表示 X 发生或 Y 发生或 Z 发生，即 X、Y、Z 中至少有一个发 生。
有 0≤F（x）≤1，故 AC 两项错误。D 项，若 X 的分布函数存在，则有 F（＋∞）＝1。
8．设 X 服从参数为 λ 的泊松分布，已知 P（X＝1）＝1/2×P（X＝2），则 λ＝（ ）。 [山东大学 2017 研]
A．2 B．1 C．4 D．0.25 【答案】C 【解析】由泊松分布概率公式
P( X k) k e
因此S不是σ的无偏估计，A项错误；但是随着样本容量的扩大，样本与总体逐渐接近， 样本标准差也与总体标准差逐渐接近，所以S是σ的一致估计。由于随机变量分布函数形式 未知，所以无法知道S是否是σ的最大似然估计，B项错误。
5．对于任意二事件 A 和 B，则（ ）。[山东大学 2017 研] A．若 AB≠∅，则 A，B 一定独立 B．若 AB≠∅，则 A，B 有可能独立 C．若 AB＝∅，则 A，B 一定独立 D．若 AB＝∅，则 A，B 一定不独立 【答案】B 【解析】事件A与事件B独立等价于P（AB）＝P（A）P（B）。事件AB是否为空集与事 件A、事件B的独立条件无关，无法推出事件A与事件B的独立性，只有B项正确。
【解析】随机变量的概率密度函数应满足 f（x）≥0，且 f (x) dx 1 ；其分布
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ห้องสมุดไป่ตู้三章 测验
3. 有一批数目为200头的菜牛，取自 体重平均数为804磅，方差为10000 磅2的总体。如果说菜牛体重服从 正态分布，则 1) 体重在1000磅以上预计有多少头？ 2) 200头菜牛的体重平均数在822.24 磅以上的概率是多少？
第三章 测验
1. 已知高杆籼糯和矮杆非籼糯杂交后， 在F2代出现矮杆籼糯的概率 p=0.0625，出现非矮杆籼糯的概率 q=0.9375，试求： 1) 若F2种植20株，则获得2株或2株以 上矮杆籼糯的概率是多少？ 2) 若希望有0.99的概率获得1株或1株 以上矮杆籼糯，则F2种植多少株？
第三章 测验
第三章 测验
3) 200头菜牛中有5头及5头以上菜 牛的体重超过1000磅的概率是 多少？若100人分别随机抽样 200头菜牛则预计有几人能抽到 这种样本？
第三章 测验
4. 设有一总体，具有变量：2，3， 4，5，6；现分别以n1=2，n2=3 分别从中抽样，则x1-x2分布的 平均数和方差各为多少？