动态规划(理论部分)汇编
动态规划超级详细的讲义
动态规划入门1(2008-09-20 21:40:51)第一节动态规划基本概念一，动态规划三要素：阶段，状态，决策。
他们的概念到处都是，我就不多说了，我只说说我对他们的理解：如果把动态规划的求解过程看成一个工厂的生产线，阶段就是生产某个商品的不同的环节，状态就是工件当前的形态，决策就是对工件的操作。
显然不同阶段是对产品的一个前面各个状态的小结，有一个个的小结构成了最终的整个生产线。
每个状态间又有关联（下一个状态是由上一个状态做了某个决策后产生的）。
下面举个例子：要生产一批雪糕，在这个过程中要分好多环节：购买牛奶，对牛奶提纯处理，放入工厂加工，加工后的商品要包装，包装后就去销售……，这样没个环节就可以看做是一个阶段；产品在不同的时候有不同的状态，刚开始时只是白白的牛奶，进入生产后做成了各种造型，从冷冻库拿出来后就变成雪糕（由液态变成固态=_=||）。
每个形态就是一个状态，那从液态变成固态经过了冰冻这一操作，这个操作就是一个决策。
一个状态经过一个决策变成了另外一个状态，这个过程就是状态转移，用来描述状态转移的方程就是状态转移方程。
经过这个例子相信大家对动态规划有所了解了吧。
下面在说说我对动态规划的另外一个理解：用图论知识理解动态规划：把动态规划中的状态抽象成一个点，在有直接关联的状态间连一条有向边，状态转移的代价就是边上的权。
这样就形成了一个有向无环图AOE网（为什么无环呢？往下看）。
对这个图进行拓扑排序，删除一个边后同时出现入度为0的状态在同一阶段。
这样对图求最优路径就是动态规划问题的求解。
二，动态规划的适用范围动态规划用于解决多阶段决策最优化问题，但是不是所有的最优化问题都可以用动态规划解答呢？一般在题目中出现求最优解的问题就要考虑动态规划了，但是否可以用还要满足两个条件：最优子结构（最优化原理）无后效性最优化原理在下面的最短路径问题中有详细的解答；什么是无后效性呢？就是说在状态i求解时用到状态j而状态j就解有用到状态k…..状态N。
动态规划1(qh)
4 1 C3
B2
2
2
C2 3
5 B1 4
3 C1 3
D3 5
E2
3
2
D2
4
F
4
2 E1
D1
A
B
C
D
E
F
动态规划的函数方程（DP）
建立DP函数方程是指确定过 程的阶段及阶段数，规定状态变 量和决策变量的取法，给出各阶 段的状态集合，允许决策集合， 状态转移方程和指标函数等。
在上面的计算过程中，利用了第 k阶段与第k+1阶段的关系：
f3(C1)=MIN r(C1,D1)+ f4(D1) r(C1,D2)+ f4(D2)
=MIN（3+6，3+5）=8 最短路线： C1——D2——E2——F 最优解： d3*(C1)= D2
4 A3
4 1 C3
B2
2
2
C2 3
5 B1 4
3 C1 3
D3 5
E2
3
2
D2
4
F
4
2 E1
D1
A
B
C
D
4
F
4
2 E1
D1
A
B
C
D
E
F
d1
r (S 1,d 1 (S 1))+ f2(S 2) f 1(S 1) d 1 (S 1)
S1
B1
B2
A
15
14
14
B2
4 A3
4 1 C3
B2
2
2
C2 3
5 B1 4
3 C1 3
D3 5
E2
3
动态规划
(3)决策（Decision）
(4)策略（Policy）各阶段的决策组成的一个决策序列称为
一个策略，记为： p x1, x2 ,, xn
从阶段i开始的过程，称为i子过程，它包含阶段i，阶 段i+1，…，阶段n。i子过程的决策序列称为i子策略，记
为 pi xi , xi1,, xn i 1, 2 ,, n 1
,
3 资源分配问题
设有数量为a的资源，计划分配给n 个项目。设xi (i=1, 2, …, n)为分配给第i 个项目的资源量，gi(xi)为第i个项目得到 数量为xi的资源后可提供的收益，问如 何分配资源a，可使总收益为最高？
►静态规划模型
n
max f gi (xi )
i 1
n xi a
1.3 动态规划的基本方程
(1) 动态规划的基本方程(逆序递推公式)
si1
g(si , xi )
，f
* n 1
(
x
n 1
)
0
fi* (si )
opt
v(si , xi )
f
i
* 1
(si
1
)
xi
i n, n 1,,1
(2) 动态规划的基本方程(正序递推公式)
si1 g(si , xi ) ，f1*(s1) opt{v(s1, x1)}
1
6
7
X
2
(
B2
,
C3
)
f
3
(C3
)
1 6
最短路线B2C3D。
C1
5
5
4
B1 5
3
A
C2
3
D
4
6
[理学]第七章动态规划精品合集
![[理学]第七章动态规划精品合集](https://img.taocdn.com/s3/m/c1acf0347275a417866fb84ae45c3b3567ecdde2.png)
[理学]第七章动态规划精品合集第七章动态规划规划问题的最终⽬的就是确定各决策变量的取值，以使⽬标函数达到极⼤或极⼩。
在线性规划和⾮线性规划中，决策变量都是以集合的形式被⼀次性处理的；然⽽，有时我们也会⾯对决策变量需分期、分批处理的多阶段决策问题。
所谓多阶段决策问题是指这样⼀类活动过程：它可以分解为若⼲个互相联系的阶段，在每⼀阶段分别对应着⼀组可供选取的决策集合；即构成过程的每个阶段都需要进⾏⼀次决策的决策问题。
将各个阶段的决策综合起来构成⼀个决策序列，称为⼀个策略。
显然，由于各个阶段选取的决策不同，对应整个过程可以有⼀系列不同的策略。
当过程采取某个具体策略时，相应可以得到⼀个确定的效果，采取不同的策略，就会得到不同的效果。
多阶段的决策问题，就是要在所有可能采取的策略中选取⼀个最优的策略，以便得到最佳的效果。
动态规划（dynamic programming）同前⾯介绍过的各种优化⽅法不同，它不是⼀种算法，⽽是考察问题的⼀种途径。
动态规划是⼀种求解多阶段决策问题的系统技术，可以说它横跨整个规划领域（线性规划和⾮线性规划）。
当然，由于动态规划不是⼀种特定的算法，因⽽它不象线性规划那样有⼀个标准的数学表达式和明确定义的⼀组规则，动态规划必须对具体问题进⾏具体的分析处理。
在多阶段决策问题中，有些问题对阶段的划分具有明显的时序性，动态规划的“动态”⼆字也由此⽽得名。
动态规划的主要创始⼈是美国数学家贝尔曼（Bellman）。
20世纪40年代末50年代初，当时在兰德公司（Rand Corporation）从事研究⼯作的贝尔曼⾸先提出了动态规划的概念。
1957年贝尔曼发表了数篇研究论⽂，并出版了他的第⼀部着作《动态规划》。
该着作成为了当时唯⼀的进⼀步研究和应⽤动态规划的理论源泉。
1961年贝尔曼出版了他的第⼆部着作，并于1962年同杜瑞佛思（Dreyfus）合作出版了第三部着作。
在贝尔曼及其助⼿们致⼒于发展和推⼴这⼀技术的同时，其他⼀些学者也对动态规划的发展做出了重⼤的贡献，其中最值得⼀提的是爱尔思（Aris）和梅特顿（Mitten）。
动态规划专题讲义课件
VS
状态转移方程是动态规划中的重要概念，它描述了状态之间的转移关系。在求解问题时，通过状态转移方程可以将一个状态转移到另一个状态，从而逐步求解出问题的最优解。
状态转移方程的建立需要通过对问题进行深入分析，找出状态之间的依赖关系，并建立数学模型。在应用状态转移方程时，需要注意状态的初始状态和终止状态，以及状态转移过程中的约束条件。
02
动态规划的基本概念
最优化原理是动态规划的核心思想，它认为一个问题的最优解可以通过子问题的最优解来构建。在解决复杂问题时，将问题分解为若干个子问题，分别求解子问题的最优解，再利用子问题的最优解来求解原问题的最优解。
最优化原理的应用范围很广，包括计算机科学、运筹学、经济学等领域。通过将问题分解为子问题，可以降低问题的复杂度，提高求解效率。
自顶向下策略
自底向上策略
分支定界法：通过将问题分解为多个分支来解决问题，同时使用界限来排除不可能的解。与动态规划结合，可以更有效地处理具有大量状态和决策的问题。
THANK YOU
感谢各位观看
排班问题
如求解最优的排班方案，使得员工的工作计划合理且满足各种约束条件。
03
递推关系
建立子问题的解之间的递推关系，通过这种关系逐步求解更大规模的问题，直到达到原问题的解。
01
将原问题分解为子问题
将原问题分解为若干个子问题，这些子问题是原问题的较小规模或部分问题的解。
02
存储子问题的解
将已解决的子问题的解存储起来，以便在求解更大规模的问题时重复使用，避免重复计算。
03
动态规划的算法实现
状态空间法是动态规划的基本方法，通过构建状态转移方程来求解最优化问题。
状态转移方程描述了从状态转移至其他状态的过程，通过迭代更新状态变量的值，最终得到最优解。
动态规划讲解大全(含例题及答案)
多阶段决策过程的最优化问题。 在现实生活中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程分成若干个互相联系的阶段，在 它的每一阶段都需要作出决策，从而使整个过程达到最好的活动效果。当然，各个阶段决策的选取不 是任意确定的，它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展，当各个阶段决策确定后，就组成一个 决策序列，因而也就确定了整个过程的一条活动路线，如图所示：（看词条图） 这种把一个问题看作是一个前后关联具有链状结构的多阶段过程就称为多阶段决策过程，这种问 题就称为多阶段决策问题。
在前面的例子中，第一个阶段就是点 A，而第二个阶段就是点 A 到点 B，第三个阶段是点 B 到点 C，而第四个阶段是点 C 到点 D。
状态：状态表示每个阶段开始面临的自然状况或客观条件，它不以人们的主观意志为转移，也称 为不可控因素。在上面的例子中状态就是某阶段的出发位置，它既是该阶段某路的起点，同时又是前 一阶段某支路的终点。
fout.close(); return 0; }
USACO 2.3 Longest Prefix
题目如下： 在生物学中，一些生物的结构是用包含其要素的大写字母序列来表示的。生物学家对于把长的序 列分解成较短的（称之为元素的）序列很感兴趣。 如果一个集合 P 中的元素可以通过串联（允许重复；串联，相当于 Pascal 中的 “+” 运算符） 组成一个序列 S ，那么我们认为序列 S 可以分解为 P 中的元素。并不是所有的元素都必须出现。 举个例子，序列 ABABACABAAB 可以分解为下面集合中的元素： {A, AB, BA, CA, BBC} 序列 S 的前面 K 个字符称作 S 中长度为 K 的前缀。设计一个程序，输入一个元素集合以及一 个大写字母序列，计算这个序列最长的前缀的长度。 PROGRAM NAME: prefix INPUT FORMAT 输入数据的开头包括 1..200 个元素（长度为 1..10 ）组成的集合，用连续的以空格分开的字 符串表示。字母全部是大写，数据可能不止一行。元素集合结束的标志是一个只包含一个 “.” 的行。 集合中的元素没有重复。接着是大写字母序列 S ，长度为 1..200,000 ，用一行或者多行的字符串 来表示，每行不超过 76 个字符。换行符并不是序列 S 的一部分。 SAMPLE INPUT (file prefix.in) A AB BA CA BBC . ABABACABAABC OUTPUT FORMAT 只有一行，输出一个整数，表示 S 能够分解成 P 中元素的最长前缀的长度。 SAMPLE OUTPUT (file prefix.out) 11 示例程序如下： #include <stdio.h>
动态规划理论(精华)
动态规划理论一．动态规划的逆向思维法动态规划是一种思维方法，没有统一的、具体的模式。
动态规划可以从多方面去考察，不同的方面对动态规划有不同的表述。
我们不打算强加一种统一的表述，而是从多个角度对动态规划的思维方法进行讨论，希望大家在思维具体问题时，也能够从多个角度展开，这样收获会更大。
逆向思维法是指从问题目标状态出发倒推回初始状态或边界状态的思维方法。
如果原问题可以分解成几个本质相同、规模较小的问题，很自然就会联想到从逆向思维的角度寻求问题的解决。
你也许会想，这种将大问题分解成小问题的思维不就是分治法吗?动态规划是不是分而治之呢?其实，虽然我们在运用动态规划的逆向思维法和分治法分析问题时，都使用了这种将问题实例归纳为更小的、相似的子问题，并通过求解子问题产生一个全局最优值的思路，但动态规划不是分治法：关键在于分解出来的各个子问题的性质不同。
分治法要求各个子问题是独立的(即不包含公共的子问题)，因此一旦递归地求出各个子问题的解后，便可自下而上地将子问题的解合并成原问题的解。
如果各子问题是不独立的，那么分治法就要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题。
动态规划与分治法的不同之处在于动态规划允许这些子问题不独立(即各子问题可包含公共的子问题)，它对每个子问题只解一次，并将结果保存起来，避免每次碰到时都要重复计算。
这就是动态规划高效的一个原因。
动态规划的逆向思维法的要点可归纳为以下三个步骤：(1)分析最优值的结构，刻画其结构特征；(2)递归地定义最优值；0(3)按自底向上或自顶向下记忆化的方式计算最优值。
【例题1】背包问题描述：有一个负重能力为m的背包和n种物品，第i种物品的价值为v，重量为w。
在不超过背包负重能力的前提下选择若干个物品装入背包，使这些的物品的价值之和最大。
每种物品可以不选，也可以选择多个。
假设每种物品都有足够的数量。
分析：从算法的角度看，解决背包问题一种最简单的方法是枚举所有可能的物品的组合方案并计算这个组合方案的价值之和，从中找出价值之和最大的方案。
大学运筹学经典课件第五章动态规划
生产计划问题的动态规划解法
根据生产阶段和生产量的不同组合，构建动 态规划模型进行求解。
经典案例
多阶段生产问题、批量生产计划问题等。
图像处理与计算机视觉中的应用
图像处理中的动态规划应用
通过动态规划算法对图像进行分割、边缘检测、特征提取等 操作。
计算机视觉中的动态规划应用
在目标跟踪、立体视觉、光流计算等领域，利用动态规划求 解最优路径或策略。
决策的无后效性
在动态规划中，每个阶段的决策只与 当前状态有关，而与过去的状态和决 策无关。
边界条件与状态转移方程
边界条件
动态规划问题的边界条件通常指的是问题的初始状态和终止 状态。
状态转移方程
描述问题状态之间转移关系的方程，通常根据问题的具体性 质建立。通过状态转移方程，可以逐步推导出问题的最优解 。
应用领域
03
适用于具有时序性和阶段性特点的问题，如资源分配、任务调
度、路径规划等。
动态规划与人工智能的融合应用
强化学习
结合动态规划和强化学习算法， 通过智能体与环境交互学习最 优决策策略，实现自适应的动
态规划求解。
深度学习
利用深度学习模型强大的特征 提取和表达能力，对动态规划 中的状态转移和决策规则进行
经典案例
图像分割中的最短路径算法、立体匹配中的动态规划算法等 。
06
动态规划的扩展与前沿研究
随机动态规划
随机动态规划模型
描述随机环境下多阶段决策 问题的数学模型，涉及期望 总收益最大化或期望总成本
最小化。
求解方法
通过引入状态转移概率和决 策规则，将随机动态规划问 题转化为确定性动态规划问 题求解，常用方法有值迭代
自顶向下的求解方法（记忆化搜索）
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((CC11,,
D1 D2
) )
f f
4 4
( (
D1 ) D2 )
min
3 9
5 2
min
8 11
8
最优 决 策C1 D1
2
A5
1
B1 12 14 10 6
B2 10
4 13
B3
12 11
f3(C1)=8
C1
3
9
f3(C2)=7
6
C2
5 8
C3
10
f4(D1)=5
D1
5 f5(E)=0
12 11
f3(C1)=8
C1
3
9
f3(C2)=7
6
C2
5
8
C3
10
f4(D1)=5
D1
5 f5(E)=0
E
D2 2
f4(D2)=2
f3(C3)=12
f2 (B1)
min
((BB11,,CC21
) )
f3 f3
(C1) (C2 )
min
12 8
14
7
min
20 21
20
(B1,C3) f3(C3)
例1： （最短路程问题）设从A地到E地要铺设一条管道，其中要 经过若干个中间点(如图)。图中两点之间连线上的数字表示两地间 的距离。现在要选择一条铺设管道的路线，使总长度最短。
2
A5
1
B1
12 14
10
6
B2 10
4 13
B3
12 11
C1
3
9
6
C2
5
8
C3 10
D1 5
E
D2 2
在这个问题中，从A到B 1 ，B2 ， B3中的哪一个点要作出一项 决策，从B 1 ，B2 ， B3某点到 C 1，C2，C3 中的哪一个点又要作出一 项决策等等。所以总共要作出四个决策。因此，我们可以把整个路 程分为A，B ( 包括B 1 ，B2 ， B3) ，C ( 包括C 1，C2 ， C3 ， ) ，D (包括D1和D2)，E 五个阶段。这就是一个多阶段的决策问题。
10 12
22
最优 决 策 :B1 C1
f2(B1)=21
D1
5 f5(E)=0
E
D2
2
f4(D2)=2
f3(C3)=12
f
3
(C3
)
min
((CC33,,
D1 D2
) )
f f
4 4
( (
D1 D2
) )
min
85 10 2
min
13 12
12
最优决策C3 D2
K=2时：
A
f2(B1)=20
B1 12 14
2
10
6
5
B2 10
4
1
13
B3
而各阶段之间又有密切的联系，某一个阶段的不同决策，将会 对其它阶段的决策产生重大的影响，某个阶段局部的较优方案，未 必是整个问题的最好方案，某个阶段局部的不好方案，也未必是整 个问题的不好方案。
我们要寻找的是整个问题，也就是所有阶段总体的一个最优方 案，这就是动态规划所要讨论的问题。
一、多阶段决策问题
E
D2
2
f4(D2)=2
f4 (D2 ) d (D2, E) f5 (E) 2 0 2
K=3时：
2
A5
1
B1 12 14 10 6
B2 10
4 13
B3
12 11
f3(C1)=8
C1
3
9
6
C2
5 8
C3
10
f4(D1)=5
D1
5 f5(E)=0
E
D2
2
f4(D2)=2
f3 (C1)
min
B2 10
4 13
B3
12
11
C1
3
9
6
C2
5 8
C3
10
f4(D1)=5
D1
5 f5(E)=0
E
D2
2
f4 (D1) d (D1, E) f5 (E) 5 0 5
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
A5
1
B1 12 14 10 6
B2 10
4 13
12
B3 11
C1
3
9
6
C2
5 8
C3
10
f4(D1)=5
D1
5 f5(E)=0
例如，在最短路线问题中，如果找到了A到E的最短路：
A B1 C2 D1 E
则 C2 D1 E 应该是由C2 出发到E点的所有可能不同线路 中的最短路线
最短路线这一特性，启发我们找最短路线的方法：那就是从最 后一段开始，用由后向前逐步递推的方法，求出各点到E点的最短 路线，最后求得由A点到E点的最短路线。所以，动态规划的常用 的方法是从终点逐段向始点方向寻找“最短路线” 。如图所示：
行进方向
起点
终点
动态规划寻优途径
下面按上述思想，将例1从最后一段开始计算，由后向前逐步 推移至A点。
设想有k ＝5 时， f5(E)＝ 0 。
2
A5
1
B1
12 14
10
6
B2 10
4 13
B3
12 11
C1
3
9
6
C2
5 8
C3
10
D1
5 f5(E)=0
E
D2
2
K=4时：
2
A5
1
B1 12 14 10 6
E
D2
2
f4(D2)=2
f3
(C2
)
min
((CC22,,DD21
) )
f f
4 4
( (
D1 D2
) )
min
6 5
5 2
min
11
7
7
最优决策C2 D2
f3(C1)=8
2
A5
1
B1
12 14
10
6
B2 10
4 13
B3
12 11
C1
3
9
f3(C2)=7
6
C2
5 8
C3
10
f4(D1)=5
所谓多阶段决策问题是有这样一类决策过程，它可以划分为若 干个相互联系的阶段，在任一阶段都有若干种方案可供选择，选择 哪一种方案需要作出决策，这样就形成一个决策序列，通常称为一 种策略。不同的策略就产生不同的效果，在所有可能的策略当中， 选择一个效果最好的最优策略，就是解决多阶段决策问题的主要目 的。下面举几个例子来说明。
以上面的例1来说明动态规划解决问题的思想。设：
Sk----第k阶段的起点（状态变量） dk(x, y) -----第k阶段的顶点 x 到顶点 y 的“距离”； fk(Sk) ------第k阶段从顶点Sk到终点的最短“路”长。
最短路线的重要特性就是：如果最短路线在第K站通过点Pk。 则由点Pk 出发到达终点的这条路线，对于从点Pk 出发到达终 点的所有可能选择的不同路经来说，必定也是最短路线。
动态规划
第四章
动态规划
动态规划是解决多阶段决策过程最优化问题的一种方法。在二 十世纪五十年代由美国数学家理查德.贝尔曼(Richard．Ba11man) 首先提出的。它可以把一个 n 维最优化问题转化为 n 个一维最优化 问题来求解。
一个决策问题，往往可以分解成若干个相互联系，又相对独立 的阶段，对于每一个阶段，存在着很多方案可供选择，我们要对每 个阶段作出一个决策。
二、动态规划的基本思想
用动态规划求解多阶段决策问题，是把整个问题划分为若干阶 段后，依次地为每一个阶段作出最优决策，而每个阶段的最优决策 应该是包含本阶段和所有以前各阶段在内的最优决策，也就是到本 阶段为止，包含以前各阶段在内的最优总决策。因此，在确定了最 后一个阶段的决策之后，整个问题的最优决策序列也就随之产生。 这就是用动态规划解多阶段决策问题的基本思想。