空间几何体的表面积与体积练习题.及答案
高考数学专题《空间几何体的表面积和体积》习题含答案解析
专题8.2 空间几何体的表面积和体积1．（2021·湖南高一期末）已知圆柱1OO 及其展开图如图所示，则其体积为（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π【答案】D【解析】结合展开图求出圆柱的底面半径与高，进而结合体积公式即可求出结果.【详解】设底面半径为r ，高为h ，根据展开图得422h r ππ=⎧⎨=⎩，则41h r =⎧⎨=⎩，所以圆柱的体积为22144r h πππ=⨯⨯=，故选：D.2.（2021·宁夏大学附属中学高一月考）已知圆柱的上、下底面的中心分别为,O O '，过直线OO '的平面截该圆柱所得的面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（）A．B ．12πC．D ．10π【答案】B【解析】根据圆柱的轴截面面积求出圆柱的底面半径和母线长，利用圆柱的表面积公式，即可求解.【详解】设圆柱的轴截面的边长为x ，因为过直线OO '的平面截该圆柱所得的面是面积为8的正方形，所以28x =，解得x =即圆柱的底面半径为r =l =，所以圆柱的表面积为222222212S S S r rl πππππ=+=+=⨯+=侧底.故选：B.练基础3．（2021·浙江高二期末）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．13B．16C．12D．14【答案】D【解析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积．【详解】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为直角梯形，高为1的四棱锥体；如图所示：所以：1111(1113224V=⨯⨯+⨯⨯=．故选：D．4．（2021·辽宁高一期末）已知一平面截一球得到直径为，则该球的体积为（）3cmA．12πB．36πC．D．108π【答案】B【解析】由球的截面性质求得球半径后可得体积．【详解】由题意截面圆半径为r =，所以球半径为3R ==，体积为334433633V R πππ==⨯=．故选：B ．5．（2020·浙江省高考真题）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm 3）是（ ）A ．73B ．143C ．3D ．6【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是上半部分是三棱锥，下半部分是三棱柱，且三棱锥的一个侧面垂直于底面，且棱锥的高为1，棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2，所以几何体的体积为：11117211212232233⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A6.（2018·全国高考真题（文））已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据题意，可得截面是边长为的正方形，的圆，且高为所以其表面积为，故选B.7.（2020·江苏省高考真题）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半轻为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.【答案】2π【解析】正六棱柱体积为262⨯1O 2O 12O O 12π10π22212S πππ=+=圆柱体积为21()222ππ⋅=所求几何体体积为2π故答案为：2π-9.（2019·北京高考真题（文））某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．【答案】40.【解析】如图所示,在棱长为4的正方体中,三视图对应的几何体为正方体去掉棱柱之后余下的几何体,几何体的体积.10．（2019·全国高考真题（理））中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为1111MPD A NQC B-()3142424402V =-+⨯⨯=长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．【答案】共26个面..【解析】由图可知第一层与第三层各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有个面．如图，设该半正多面体的棱长为，则，延长与交于点，延长交正方体棱于，由半正多面体对称性可知，为等腰直角三角形，，．1.（2021·浙江高一期末）我国古代数学名著《九章算术》中记载“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，1-18826+=x AB BE x ==BC FE G BC H BGE ∆,21)1BG GE CH x GH x x x ∴===∴=+=+=1x ∴==1-练提升末广八尺，无深，袤七尺．问积几何?”这里的“羡除”，是指由三个等腰梯形和两个全等的三角形围成的五面体．在图1所示羡除中，////AB CD EF ，10AB =，8CD =，6EF =，等腰梯形ABCD 和等腰梯形ABFE 的高分别为7和3，且这两个等腰梯形所在的平面互相垂直．按如图2的分割方式进行体积计算，得该“羡除”的体积为（ ）A ．84B ．66C ．126D ．105【答案】A【解析】由图可知，中间部分为棱柱，两侧为两个全等的四棱锥，再由柱体和锥体的体积公式可求得结果.【详解】按照图2中的分割方式，中间为直三棱柱，直三棱柱的底面为直角三角形，两条直角边长分别为7、3，直三棱柱的高为6，所以，直三棱柱的体积为11736632V =⨯⨯⨯=.两侧为两个全等的四棱锥，四棱锥的底面为直角梯形，直角梯形的面积为()1272122S +⨯==，四棱锥的高为3h =，所以，两个四棱锥的体积之和为2121232132V =⨯⨯⨯=，因此，该“羡除”的体积为1284V V V =+=.故选：A.2.（2021·河北巨鹿中学高一月考）蹴鞠（如图所示），又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、塌、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗传名录.已知某蹴鞠（近似看作球体）的表面上有四个点S 、A 、B 、C ，满足S ABC -为正三棱锥，M 是SC 的中点，且AM SB ⊥，侧棱1SA =，则该蹴鞠的表面积为（ ）A ．3πB ．6πC ．12πD ．16π【答案】A【解析】若ASB θ∠=，N 为BC 中点易得AM MN ⊥，再应用余弦定理、勾股定理求得2πθ=，即S ABC -为直三棱锥，即可求外接球半径，进而求表面积.【详解】如下图，若N 为BC 中点，则//MN SB ，又AM SB ⊥，∴AM MN ⊥，又S ABC -为正三棱锥且侧棱1SA =，∴1,2MN AN AB ==，若ASB θ∠=，则25cos 4AM θ=-，222cos AB θ=-，在Rt AMN △中，222AM MN AN +=，即()33cos 22cos 24θθ-=-，可得cos 0θ=，0θπ<<，∴2πθ=，即S ABC -为直三棱锥，易得外接球半径R ∴该蹴鞠的表面积为243R ππ=.故选：A3．【多选题】（2021·江苏高一期末）已知圆台上、下底面的圆心分别为1O ，2O ，半径为2，4，圆台的母线与下地面所成角的正切值为3，P 为12O O 上一点，则（）A ．圆台的母线长为6B ．当圆锥的1PO 圆锥2PO 的体积相等时，124PO PO =C ．圆台的体积为56πD ．当圆台上、下底面的圆周都在同一球面上，该球的表面积为80π【答案】BCD【解析】转化求解圆台的母线长判断Q ；利用比例关系判断B ；求解体积判断C ；取得球的表面积判断D ．【详解】解：圆台上、下底面的圆心分别为1O ，2O ，半径为2，4，圆台的母线与下底面所成角的正切值为3，P 为12O O 上一点，3(42)6h =⨯-=，母线l =6矛盾，所以A 错误；1212r r =，124PO PO =，B正确；16(416)563V πππ=⨯⨯++=，C 正确；设球心到上底面的距离为x ，则22222(6)4x x +=-+，解得4x =，r =，80S π=，D 正确；故选：BCD ．4．（2020·全国高考真题（文））已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．【解析】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中2,3BC AB AC ===，且点M 为BC 边上的中点，设内切圆的圆心为O ，由于AM ==，故122S =⨯⨯=△A B C ，设内切圆半径为r，则：ABC AOB BOC AOC S S S S =++△△△△111222AB r BC r AC r =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯()13322r =⨯++⨯=解得：r，其体积：343V r π==..5．（2020届浙江省杭州市高三3月模拟）在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.现有一“阳马”P ABCD -，PA ⊥底面ABCD ，2PA AB ==，1AD =，则该“阳马”的最长棱长等于______；外接球表面积等于______.【答案】3 9π【解析】如图，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为长方形，且2PA AB ==，1AD =，所以PB PD ==3PC ===.最长棱为:3.该几何体可以通过补体得长方体,所以其外接球的半径为1322PC =.则其外接球的表面积为23492ππ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，故答案为：3；9π.6．（2020·山东省仿真联考3）在三棱锥中，平面，，，，是上的一动点，且直线与平面所成角的最大值为，则________，三棱锥的外接球的表面积为________．【答案】6 P ABC -PA ⊥ABC 23BAC π∠=3AP =AB =Q BC PQ ABC 3πBC =P ABC -57π【解析】设直线与平面所成的角为，三棱锥外接球的球心为，半径为，如图所示，则，所以，则的最小值为，，即点到，所以．因为，所以，所以所以，所以．取的外接圆的圆心为，则圆的半径连接，作于点，则点为的中点，所以，故三棱锥的外接球的表面积．故答案为：6；.7.（广东省汕尾市2020-2021学年高一下学期期末数学试题）已知某圆柱的轴截面是一个正方形，且该圆柱PQ ABC θPABC -O R 30sin PA PQ PQ θ<==≤PQ ≥PQAQ A BC 3BAQ π∠=23BAC π∠=3CAQ π∠=AB AC ==2222222cos23BC AB AC AB AC π=+-⋅⋅=+-⨯1362⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭6BC =ABC V O 'O '1622sin 3r π=⨯=OO 'OM PA ⊥M M PA 2222235724R OA OP ⎛⎫===+= ⎪⎝⎭P ABC -O 2457S R ππ==57π表面积（底面和侧面面积之和）为1S ，其外接球的表面积为2S ，则该圆柱的表面积与其外接球的表面积的比值12S S =________.【答案】34【解析】设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则2h r =，上下底面圆圆心连线的中点即为该圆柱外接球的球心，可得外接球的半径R ==，再由圆柱的表面积公式和球的表面积公式分别计算1S 、2S 即可得比值.【详解】设圆柱的底面半径为r ，高为h ，因为圆柱的轴截面是一个正方形，所以2h r =，所以圆柱表面积22212π2π2π2π26πS r r h r r r r =+⋅=+⋅=，其外接球的球心在上下底面圆圆心连线的中点位置，可知球心到上底面圆的距离为12h r =，由勾股定理可得：外接球的半径R ==，所以外接球的表面积)22224π4π8πS R r ===，所以该圆柱的表面积与其外接球的表面积的比值22126ππ348S r r S ==，故答案为：34.8．（2021·重庆市杨家坪中学高一月考）学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为在一正三棱柱中挖去一个圆柱后的剩余部分（圆柱的上下两底面圆与三棱柱的底面各边相切），圆柱底面直径为，高为4cm .打印所用原料密度为31g /cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为______g .1.73=，π 3.14=，精确到0.1）.【答案】24.6【解析】由正三棱柱的性质，结合已知求其底面面积，再由棱柱的体积公式求其体积V ，并求圆柱的体积为V '，则模型体积为V V '-，即可求制作该模型所需原料的质量.【详解】由题意，正三棱柱底面(等边三角形)如上图有AE OE AD DC =且2AC AE DC ==，AD AC =，OE ==6AC =，故底面面积1662S =⨯⨯=∴正三棱柱的体积462.3V Sh ===≈.而圆柱的体积为21237.7V r h ππ'==≈，∴制作该模型所需原料的质量为()124.6V V '-⨯=克.故答案为：24.69．（2021·上海高二期末）五月五是端午，门插艾，香满堂，吃粽子，蘸白糖，粽子古称“角黍”，是我国南北各地的节令食品，因各地风俗不同，粽子的形状和食材也会不同，有一种各面都是正三角形的正四面体形粽子，若该正四面体粽子的棱长为8cm ，则现有1立方米体积的食材，最多可以包成这种粽子_______个.【答案】16572【解析】根据题意，利用棱锥的体积公式求得正四面体粽子的体积，进而求得答案.【详解】如图所示，正四面体ABCD 的棱长为8cm ，设底面正三角形BCD 的中心为O ，连接AO ，则AO ⊥平面BCD ，连接BO，则23BO ==AO ==所以一个粽子的体积为：31188)32V cm =⨯⨯⨯=，由3311000000m cm =16572.8≈所以1立方米体积的食材，最多可以包成这种粽子16572个.故答案为：16572.10．（2021·浙江高二期末）在四面体ABCD 中，AB BC ⊥，CD BC ⊥，AB CD ⊥，2BC =，若四面体ABCDABCD 的体积的最大值为___________．【答案】83【解析】根据题意可以将此四面体放入一个长方体中，则易求四面体高与底面长的关系，再根据体积公式写出其体积表达式，最后利用基本不等式即可.【详解】如图所示，不妨将四面体ABCD 放入下图中的长方体中，则长方体的宽为2，设长方体的长为a ，高为h .因为四面体ABCD则r =2216a h +=，所以四面体ABCD 的体积22111833323BCD a h V S AB ah +=⋅=≤⋅=△，当且仅当a h ==时等号成立，所以四面体ABCD 的体积最大值为83.故答案为:831．（2021·全国高考真题）正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（）A．20+B．C ．563D【答案】D【解析】由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解.【详解】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，所以该棱台的高h ==下底面面积116S =，上底面面积24S =，练真题所以该棱台的体积((121116433V h S S =+=+故选：D.2.（2020·天津高考真题）若棱长为 ）A ．12πB ．24πC ．36πD ．144π【答案】C【解析】【分析】求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解.【详解】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即3R ==，所以，这个球的表面积为2244336S R πππ==⨯=.故选：C.3.（2021·全国高考真题（理））已如A ，B ，C 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且,1AC BC AC BC ⊥==，则三棱锥O ABC -的体积为（ ）A B C D 【答案】A【解析】由题可得ABC V 为等腰直角三角形，得出ABC V 外接圆的半径，则可求得O 到平面ABC 的距离，进而求得体积.【详解】,1AC BC AC BC ⊥==，ABC ∴V 为等腰直角三角形，AB ∴=，则ABC V ，又球的半径为1，设O 到平面ABC 的距离为d ，则d ==所以11111332O ABC ABC V S d -=⋅=⨯⨯⨯=V故选：A.4.（2020·全国高考真题（理））埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）A B C D 【答案】C【解析】如图，设,CD a PE b ==，则PO ==，由题意212PO ab =，即22142a b ab -=，化简得24()210b b a a -⋅-=，解得b a =.故选：C.5.（2018·全国高考真题（文））设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三A B C D ，，，ABC △角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】如图所示，点M 为三角形ABC 的中心，E 为AC 中点，当平面时，三棱锥体积最大此时，,点M 为三角形ABC 的中心中，有故选B.6.（2019·全国高考真题（理））已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为（ ）A ．B ．C ．D【答案】D D ABC -DM ⊥ABC D ABC -OD OB R 4===2ABC S AB ==V AB 6∴= 2BM 3BE ∴==Rt OMB ∴V OM 2==DM OD OM 426∴=+=+=()max 163D ABC V -∴=⨯=【解析】解法一:为边长为2的等边三角形，为正三棱锥，，又，分别为、中点，，，又，平面，平面，，为正方体一部分，，即 ，故选D ．解法二:设，分别为中点，，且，为边长为2的等边三角形，又中余弦定理，作于，，,PA PB PC ABC ==∆ P ABC ∴-PB AC ∴⊥E F PA AB //EF PB ∴EF AC ∴⊥EF CE ⊥,CE AC C EF =∴⊥ PAC PB ⊥PAC APB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===P ABC ∴-2R ==34433R V R =∴=π==π2PA PB PC x ===,E F ,PA AB //EF PB ∴12EF PB x ==ABC ∆CF ∴=90CEF ∠=︒1,2CE AE PA x ∴===AEC ∆()2243cos 22x x EAC x +--∠=⨯⨯PD AC ⊥D PA PC =为中点，，，，，又，两两垂直，，，故选D.D Q AC 1cos 2AD EAC PA x∠==2243142x xx x+-+∴=2212122x x x ∴+=∴==PA PB PC ∴======2AB BC AC ,,PA PB PC ∴2R ∴==R ∴=34433V R ∴=π==。
高二数学空间几何体的表面积与体积试题答案及解析
高二数学空间几何体的表面积与体积试题答案及解析1.正四棱锥的五个顶点在同一个球面上,若其底面边长为4,侧棱长为,则此球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设球的半径为，正方形的ABCD的对角线的交点 M，则球心在直线PM上．，由勾股定理得,再由射影定理得即∴此球的表面积为.【考点】球的表面积.2.一个圆柱形的罐子半径是4米，高是9米，将其平放，并在其中注入深2米的水，截面如图所示，水的体积是（）平方米.A．B．C．D．【答案】D.【解析】所求几何体的体积为阴影部分的面积与高的乘积，在中，,则,,体积.【考点】组合体的体积.3.一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是_________．【答案】【解析】由正视图可知四棱锥的底面边长为2，高为2，可求出斜高为，因此四棱锥的侧面积，答案为.【考点】1.几何体的三视图；2.锥体的侧面积计算4.已知球的直径SC=4，A.,B是该球球面上的两点，AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S-ABC的体积为_________【答案】【解析】设ＡB的中点为D，球心为O，连结SD，CD，OD，由SC=4为球的直径知，∠SBC=∠SAC=90o,因为∠ASC=∠BSC=45°，所以SA=BC=SB=AC=，所以SD⊥AB，DC⊥AB，所以AB⊥面SDC，因为AB=2，所以SD=DC==，所以DO= =，所以= ===.考点:球的性质，线面垂直判定，三棱锥的体积公式，转化思想5.如图，一个盛满水的三棱锥容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞，且知，若仍用这个容器盛水，则最多可盛水的体积是原来的 .【答案】【解析】过作截面平行于平面,可得截面下体积为原体积的，若过点F，作截面平行于平面,可得截面上的体积为原体积的，若C为最低点，以平面为水平上面，则体积为原体积的，此时体积最大.【考点】体积相似计算.6.一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体封闭容器内可向各个方向自由运动，则该小球表面永远不可能接触到的容器内壁的面积是．【答案】【解析】如图甲，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为，作平面//平面，与小球相切于点，则小球球心为正四面体的中心，，垂足为的中心．因，故，从而．记此时小球与面的切点为，连接，则．考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为)相切时的情况，易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为，如图乙．记正四面体的棱长为，过作于．因，有，故小三角形的边长．小球与面不能接触到的部分的面积为（如答图2中阴影部分）．又，，所以．由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为．【考点】(1)三棱锥的体积公式；（2）分情况讨论及割补思想的应用。
高三高考数学复习练习82空间几何体的表面积与体积
821．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为( )A.163π B.323π C ．16π D ．24π【解析】 设球的半径为R ，因为表面积是16π，所以4πR 2＝16π，解得R ＝2，所以体积为43πR 3＝32π3. 【答案】 B2．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π【解析】 由三视图可知，该几何体为半径为r ＝1的半球体，表面积为底面圆面积加上半球面的面积，所以S ＝πr 2＋12×4πr 2＝π×12＋12×4π×12＝3π.故选C. 【答案】 C3．在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.2π3B.4π3C.5π3 D ．2π【解析】 过点C 作CE 垂直AD 所在直线于点E ，梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB 的长为底面圆半径，线段BC 为母线的圆柱挖去以线段CE 的长为底面圆半径，ED 为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为V ＝V圆柱－V 圆锥＝π·AB 2·BC －13·π·CE 2·DE ＝π×12×2－13π×12×1＝5π3，故选C. 【答案】 C4．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )A ．1＋ 3B ．2＋ 3C ．1＋2 2D ．2 2 【解析】 由空间几何体的三视图可得该空间几何体的直观图，如图所示，∴该四面体的表面积为S 表＝2×12×2×1＋2×34×(2)2＝2＋3，故选B. 【答案】 B5．(2018·太原一模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．6π＋1B.（24＋2）π4＋1C.（23＋2）π4＋12D.（23＋2）π4＋1 【解析】 由几何体的三视图知，该几何体为一个组合体，其中下部是底面直径为2，高为2的圆柱，上部是底面直径为2，高为1的圆锥的四分之一，所以该几何体的表面积为4π＋π＋3π4＋2π4＋1＝（23＋2）π4＋1，故选D. 【答案】 D6．甲几何体(上)与乙几何体(下)的组合体的三视图如图所示，甲、乙几何体的体积分别为V 1，V 2，则V 1∶V 2等于( )A ．1∶4B ．1∶3C ．2∶3D ．1∶π【解析】 由三视图知，甲几何体是半径为1的球，乙几何体是底面半径为2，高为3的圆锥，所以球的体积V 1＝43π，V 2＝13π×22×3＝4π，所以V 1∶V 2＝1∶3.故选B. 【答案】 B7．(2017·全国Ⅲ卷)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A ．πB.3π4C.π2D.π4【解析】 设圆柱的底面半径为r ，球的半径为R ，且R ＝1，由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r ，R 及圆柱的高的一半构成直角三角形．∴r ＝ 12－⎝⎛⎭⎫122＝32.∴圆柱的体积为V ＝πr 2h ＝34π×1＝3π4. 故选B.【答案】 B8．(2017·襄阳调研)如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为________．【解析】 由三视图可知，该几何体是一个正四棱柱挖掉一个半球所得的几何体，其中半球的底面就是正四棱柱上底面的内切圆，正四棱柱的底面边长为4，高为2，半球所在球的半径为2.所以该几何体的表面由正四棱柱的表面与半球的表面积之和减去半球的底面构成，故其表面积为(4×4×2＋2×4×4)＋12×(4π×22)－π×22＝64＋4π. 【答案】 64＋4π9．(2018·乌鲁木齐二诊)已知四面体ABCD 满足AB ＝CD ＝6，AC ＝AD ＝BC ＝BD ＝2，则四面体ABCD 的外接球的表面积是________．【解析】 (图略)在四面体ABCD 中，取线段CD 的中点为E ，连接AE ，BE .∵AC ＝AD ＝BC ＝BD ＝2，∴AE ⊥CD ，BE ⊥C D.在Rt △AED 中，CD ＝6，∴AE ＝102.同理BE ＝102.取AB 的中点为F ，连接EF .由AE ＝BE ，得EF ⊥A B.在Rt △EF A 中，∵AF ＝12AB ＝62，AE ＝102，∴EF ＝1.取EF 的中点为O ，连接OA ，则OF ＝12.在Rt △OF A 中，OA ＝72.∵OA ＝OB ＝OC ＝OD ，∴该四面体的外接球的半径是72，∴外接球的表面积是7π. 【答案】 7π10．(2018·贵州适应性考试)已知球O 的表面积是36π，A ，B 是球面上的两点，∠AOB ＝60°，C 是球面上的动点，则四面体OABC 体积V 的最大值为________．【解析】 设球的半径为R ，由4πR 2＝36π，得R ＝3.显然在四面体OABC 中，△OAB 的面积为定值，S △OAB ＝12×R ×32R ＝34R 2＝934.要使三棱锥的体积最大，只需球上的点到平面OAB 的距离最大，显然，到平面OAB 距离的最大值为球的半径，所以四面体OABC 的体积的最大值V ＝13×934×R ＝934. 【答案】 93411．(2016·全国丙卷)如图，四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)证明：MN ∥平面P AB ；(2)求四面体N -BCM 的体积．【解析】 (1)证明 由已知得AM ＝23AD ＝2. 如图，取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2. 又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，所以四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT .因为AT ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ，所以MN ∥平面P AB .(2)因为P A ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为12P A. 取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC ＝3得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5.由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5，故S △BCM ＝12×4×5＝2 5. 所以四面体N -BCM 的体积V N -BCM ＝13×S △BCM ×P A 2＝453. 12.如图所示，在空间几何体ADE -BCF 中，四边形ABCD 是梯形，四边形CDEF 是矩形，且平面ABCD ⊥平面CDEF ，AD ⊥DC ，AB ＝AD ＝DE ＝2，EF ＝4，M 是线段AE 上的动点．(1)试确定点M 的位置，使AC ∥平面MDF ，并说明理由；(2)在(1)的条件下，平面MDF 将几何体ADE -BCF 分成两部分，求空间几何体M -DEF 与空间几何体ADM -BCF 的体积之比．【解析】(1)当M 是线段AE 的中点时，AC ∥平面MDF .理由如下：连接CE 交DF 于点N ，连接MN .因为M ，N 分别是AE ，CE 的中点，所以MN ∥AC .又因为MN ⊂平面MDF ，AC ⊄平面MDF ，所以AC ∥平面MDF .(2)将几何体ADE -BCF 补成三棱柱ADE -B ′CF ，如图所示，三棱柱ADE -B ′CF 的体积为V ＝S △ADE ·CD ＝12×2×2×4＝8，则几何体ADE -BCF 的体积V ADE BCF ＝V ADE B ′CF －V F BB ′C＝8－13×⎝⎛⎭⎫12×2×2×2＝203. 因为三棱锥M -DEF 的体积V M DEF ＝13×⎝⎛⎭⎫12×2×4×1＝43， 所以V ADM BCF ＝203－43＝163， 所以两几何体的体积之比为43∶163＝1∶4.。
空间几何体的表面积与体积习题附答案
空间几何体的表面积与体积习题附答案1.圆柱的侧面积可以通过展开图计算，展开图是一个正方形，边长为2πr，所以侧面积为4πr^2，即4πS，因此选项为A。
2.根据三视图可以看出该几何体由两个同底的半圆锥组成，底面半径为1，高为3，因此体积为2×(1/3)πr^2h=π，因此选项为D。
3.根据三视图可以看出该几何体是一个组合体，由一个底面为等腰直角三角形的直三棱柱和一个底面为等腰直角三角形的三棱锥组成。
直三棱柱的高为2，三棱锥的高为2，因此梯形的高为2，底边为2和4，面积为(2+4)×2/2=6，共有2个梯形，因此梯形的面积之和为12，因此选项为B。
4.根据三视图可以看出该几何体为一个圆柱挖去一个同底的圆锥，圆锥的高为圆柱高的一半，因此圆锥的高为2，圆柱的底面积为π，侧面积为4π，圆锥的侧面积为2π×5/2=5π，因此表面积为π+4π+5π=9π+5π，因此选项为A。
5.根据三视图可以看出该几何体为一个直三棱柱削去一个同底的三棱锥，三棱柱的高为5，三棱锥的高为3，三棱锥与三棱柱的底面均为两直角边分别为3和4的直角三角形，因此三棱柱的体积为底面积×高=3×4×5=60，三棱锥的体积为1/3×底面积×高=1/3×3×4×3=4，因此该几何体的体积为60-4=56，因此选项为C。
C1F＝4，连接EF，交AD于点G，求三角形AEF和四边形ABCG的面积和长方体ABCD-A1B1C1D1的体积．解：首先可以求出AE＝BF＝6，EF＝8，再根据三角形相似可以求出AG＝12，GD＝4，因此AD＝16，AGD为等腰直角三角形，所以GD＝DG＝4，因此CG＝10，BG＝AB－AG ＝4，所以ABCG为梯形，其面积为(AB＋CG)×4＝56.三角形AEF的面积为1/2×AE×EF＝24.长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为16×10×8＝1280.题目1：一长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值。
高考数学复习空间几何体的表面积与体积专题训练(含答案)
高考数学复习空间几何体的表面积与体积专题训练（含答案）在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一局部，下面是空间几何体的外表积与体积专题训练，请考生及时练习。
一、选择题1.棱长为2的正四面体的外表积是().A. B.4 C.4 D.16解析每个面的面积为：22=.正四面体的外表积为：4.答案 C2.把球的外表积扩展到原来的2倍，那么体积扩展到原来的().A.2倍B.2倍C.倍D.倍解析由题意知球的半径扩展到原来的倍，那么体积V=R3，知体积扩展到原来的2倍.答案 B3.一个几何体的三视图如下图，那么此几何体的正面积(单位：cm2)为().A.48B.64C.80D.120解析据三视图知，该几何体是一个正四棱锥(底面边长为8)，直观图如图，PE为正面PAB的边AB上的高，且PE=5.此几何体的正面积是S=4SPAB=485=80(cm2).答案 C4.三棱锥S-ABC的一切顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，那么此棱锥的体积为().A. B. C. D.解析在直角三角形ASC中，AC=1，SAC=90，SC=2，SA==;同理SB=.过A点作SC的垂线交SC于D点，衔接DB，因SAC≌△SBC，故BDSC，故SC平面ABD，且平面ABD为等腰三角形，因ASC=30，故AD=SA=，那么ABD的面积为1=，那么三棱锥的体积为2=.答案 A.某品牌香水瓶的三视图如下(单位：cm)，那么该几何体的外表积为().A 2B 2C 2D 2解析该几何体的上下为长方体，中间为圆柱.S外表积=S下长方体+S上长方体+S圆柱侧-2S圆柱底=244+442+233+431+21-22=94+.答案 C.球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=，ASC=BSC=30，那么棱锥SABC的体积为().A.3B.2C.D.1解析由题可知AB一定在与直径SC垂直的小圆面上，作过AB的小圆交直径SC于D，设SD=x，那么DC=4-x，此时所求棱锥即联系成两个棱锥SABD和CABD，在SAD和SBD中，由条件可得AD=BD=x，又由于SC为直径，所以SBC=SAC=90，所以DCB=DCA=60，在BDC中，BD=(4-x)，所以x=(4-x)，所以x=3，AD=BD=，所以三角形ABD为正三角形，所以V=SABD4=.答案 C二、填空题.S、A、B、C是球O外表上的点，SA平面ABC，ABBC，SA=AB=1，BC=，那么球O的外表积等于________.解析将三棱锥S-ABC补构成以SA、AB、BC为棱的长方体，其对角线SC为球O的直径，所以2R=SC=2，R=1，外表积为4.答案 4.如下图，一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，那么该多面体的体积是________.解析由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为，衔接顶点和底面中心即为高，可求得高为，所以体积V=11=.答案9.某几何体的直观图及三视图如下图，三视图的轮廓均为正方形，那么该几何体的外表积为________.解析借助罕见的正方体模型处置.由三视图知，该几何体由正方体沿面AB1D1与面CB1D1截去两个角所得，其外表由两个等边三角形、四个直角三角形和一个正方形组成.计算得其外表积为12+4.答案 12+4.如下图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为6，那么以正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为顶点，以平面AB1D1截正方体外接球所得的圆为底面的圆锥的片面积为________.解析设O为正方体外接球的球心，那么O也是正方体的中心，O到平面AB1D1的距离是体对角线长的，即为.又球的半径是正方体对角线长的一半，即为3，由勾股定理可知，截面圆的半径为=2，圆锥底面面积为S1=(2)2=24，圆锥的母线即为球的半径3，圆锥的正面积为S2=23=18.因此圆锥的片面积为S=S2+S1=18=(18+24).答案 (18+24)三、解答题.一个几何体的三视图如下图.主视图是底边长为1的平行四边形，左视图是一个长为，宽为1的矩形，仰望图为两个边长为1的正方形拼成的矩形.(1)求该几何体的体积V;(2)求该几何体的外表积S.解 (1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为，所以V=11=.(2)由三视图可知，该平行六面体中，A1D平面ABCD，CD平面BCC1B1，所以AA1=2，正面ABB1A1，CDD1C1均为矩形，S=2(11+1+12)=6+2..在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面为直角三角形，ACB=90，AC=6，BC=CC1=，P是BC1上一动点，如下图，求CP+PA1的最小值.解 PA1在平面A1BC1内，PC在平面BCC1内，将其铺平后转化为平面上的效果处置.铺平平面A1BC1、平面BCC1，如下图.计算A1B=AB1=，BC1=2，又A1C1=6，故A1BC1是A1C1B=90的直角三角形.CP+PA1A1C.在AC1C中，由余弦定理，得A1C===5，故(CP+PA1)min=5..某高速公路收费站入口处的平安标识墩如图1所示，墩的上半局部是正四棱锥PEFGH，下半局部是长方体ABCDEFGH.图2、图3区分是该标识墩的主视图和仰望图.(1)请画出该平安标识墩的左视图;(2)求该平安标识墩的体积.(1)左视图同主视图，如下图：(2)该平安标识墩的体积为V=VPEFGH+VABCDEFGH=40260+40220=64 000(cm3)..如图(a)，在直角梯形ABCD中，ADC=90，CDAB，AB=4，AD=CD=2，将ADC沿AC折起，使平面ADC平面ABC，失掉几何体D-ABC，如图(b)所示.(1)求证：BC平面ACD;(2)求几何体D-ABC的体积.(1)证明在图中，可得AC=BC=2，从而AC2+BC2=AB2，故ACBC，又平面ADC平面ABC，平面ADC平面ABC=AC，BC平面ABC，BC平面ACD.(2)解由(1)可知，BC为三棱锥B-ACD的高，BC=2，SACD=2，VB-ACD=SACDBC=22=，由等体积性可知，几何体D-ABC的体积为.空间几何体的外表积与体积专题训练及答案的全部内容就是这些，查字典数学网预祝考生可以取得优秀的效果。
最新空间几何体的表面积与体积练习题.及答案
空间几何体的表面积与体积专题一、选择题1 •棱长为2的正四面体的表面积是（C ）.A. 3 B . 4 C . 4 3 D . 16解析 每个面的面积为：2X 2X 2X — •••正四面体的表面积为：4,3. 2. 把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的（B ）. A. 2 倍B . 2 2倍C. 2倍D.32咅解析 由题意知球的半径扩大到原来的 2倍，则体积V =彳冗戌，知体积扩大到原来的2 2倍.3.如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图，则该多面体的体积为 142284 BP解析 根据三视图的知识及特点，可画出多面体 的形状，如图所示.这个多面体是由长方体截去 一个正三棱锥而得到的，所以所求多面体的体积 V = V 长方体一V 正三"4X 4X 6—卜!X 2X2 X 2842=亍4 .某几何体的三视图如下，则它的体积是A)A. 8 — 2n B . 8—n n C . 8 — 2n解析由三视图可知该几何体是一个边长为3 1径为1，咼为2的圆锥，所以v = 2 — 3X 2nX 2= 8 —三. 5.已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆的半径为1,则该几何^3 /Tn体的体积为(A)A . 24 — 2冗 B . 24—§ C . 24— n D . 24—据三视图可得几何体为一长方体内挖去一个半圆柱，其中长方体的棱长分1别为：2,3,4，半圆柱的底面半径为1,母线长为3,故其体积V = 2X 3X 4—2XnX1 X 3= 24—6 .某品牌香水瓶的三视图如图（单位：cm ）,则该几何体的表面积为（ C ） B ).3C.280140 D.-T2n D 2的正方体内部挖去一个底面半正三角形，所以 V = ^S A ABD X 4=〔 3.二、填空题8. 三棱锥PABC 中, PAL 底面ABC PA = 3,底面ABC 是边长为2的正三角形，则三棱锥PABC 的体 积等于_^3 _______ •解析 依题意有，三棱锥PABC 的体积V = J S A ABC -| PA| = 3X^43X 22X 3=/3.9. 一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球 的体积之比为_ 3 : 2 _______ .解析 设圆柱的底面半径是r ,则该圆柱的母线长是2r ,圆柱的侧面积是2n r -2r = 4n r 2,设球的 半径是R,则球的表面积是4n 氏，根据已知4n 4n r 2，所以R = r.所以圆柱的体积是n r 2・2r =2n r 3,球的体积是3n r 3,所以圆柱的体积和球的体积的比是= 3 : 2. 3433n r10. 如图所示，已知一个多面体的平面展开图( 2J n \严-才Cm B. 7二 n \ 2J n 、 94 + — I cmD.7解析这个空间几何体上面是一个四棱柱、中间部分是一个圆柱、,.,. n下面是一个四棱柱.上面四棱柱的表面积为2X 3X 3+ 12X 1 ——n 1=30 ——;中间部分的表面积为 2 n X 2 X 1= n ，下面部分的表面积为2X 4X 4+ 16X 2— n = 64—手.故其表面积是94 +弓.4 4 27. 已知球的直径SC = 4, A , B 是该球球面上的两点，A 吐 3, / AS(=Z BS(= 30°,则棱锥S-ABC 的体积为( C).A. 3 3 B . 2 3 C.3 D . 1解析 由题可知AB —定在与直径SC 垂直的小圆面上，作过 AB 的小圆交直径SC 于D,设SD = x , 则DC = 4 — x ，此时所求棱锥即分割成两个棱锥 S-ABD 和 C-ABD 在厶SAD ffiA SBD 中，由已知条件 可得AD = BC=¥X ，又因为SC 为直径，所以/ SB(=Z SA(= 90°，所以/ DC =Z DCA= 60°，在3 △ BDC 中 , BD= \.?3(4 — x)，所以 3 x = _ 3(4 — x)，所以 x = 3, AD = BD = 3，所以三角形ABD 为A. C. 2 cm 2 cm圧视閉 値视图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是解析 由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为 1,侧棱长为1,斜高为~^,连 接顶点和底面中心即为高，可求得高为才所以体积1x 仆子# 11.如图，半径为R 的球O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时， 球的表面积与该圆柱的侧面积之差是 ___ 2 n R ____ .解析 由球的半径为R,可知球的表面积为4n 氏.设内接圆柱底面半径为r ，高为 2h ,则h + r 2= R.而圆柱的侧面积为2 n r ・2h = 4n rh <4 n 2 — = 2n R(当且仅当r = h 时等号成立)，即内接圆柱的侧面积最大值为2n R 2,此时球的表面积与内 接圆柱的侧面积之差为2n 巨12.如图，已知正三棱柱 ABCBC 的底面边长为2 cm,高为5 cm,则一质点自点 A 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点 A 1的最短路线的长为 13 cm.解析 根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展 开为如图所示的实线部分，贝冋知所求最短路线的长为 52 + 122二13(cm).三、解答题13.某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 1所示，墩的上 半部分是正四棱锥PEFGH 下半部分是长方体 ABCDEFG 图2、图 3分别是该标识墩的正视图和俯视图.(2)求该安全标识墩的体积. 解析⑴侧视图同正视图，如图所示:1 2 2 3V = V P EFG 卄 V KBCDEFG ^ 3 x 40 x 60+ 40 x 20= 64 000(cm ).314 . 一个几何体的三视图如图所示.已知正视图是底边长为 侧视(1)请画出该安全标识墩的侧视图; (2)该安全标识墩的体积为1的正方形拼成 S.俯觇图cnii1的平行四边形,图是一个长为.3,宽为1的矩形，俯视图为两个边长为的矩形.(1)求该几何体的体积V;⑵求该几何体的表面积解析（1）由三视图可知，该几何体是一个平行六面体（如图），其底面是边长为1的正方形，高为，3,所以V= 1 x 1 x 3= 3.⑵由三视图可知，该平行六面体中，A1DL平面ABCD CDL平面BCC1B,1所以AA1= 2,侧面ABB1A1 CDD1C均为矩形，S= 2X （1 x 1+ 1X 3+ 1X 2）= 6+ 2 3.15. 已知某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为&高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.（1）求该几何体的体积V；（2）求该几何体的侧面积S.解析由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8，高为h1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6,高为h2的等腰三角形，如右图所示.1 1（1）几何体的体积为：V= 3 • S矩形• h=-X 6X 8X 4= 64.3 3（2）正侧面及相对侧面底边上的高为：h1= ,42+ 32= 5.左、右侧面的底边上的高为：h2= . 42+ 42=1 、4 2.故几何体的侧面面积为：S= 2X ^X 8X5 + 2X 6X 4 2 = 40 + 24,2.1. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）..2解：设展开图的正方形边长为a，圆柱的底面半径为r，则2n=a, ，底面圆的面积是—，2兀4兀2a +g2于是全面积与侧面积的比是三，a222. 在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去与8个顶点相关的8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是（）•2 .解：正方体的体积为1，过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体截得的三棱锥的体积是1 （丄--）」1，于是8个三棱锥的体积是1，剩余部分的体积是-，3 2 2 2 2 48 6 63 .—个直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）的底面是菱形，对角线长分别是6cm和8cm，高是5cm，则这个直棱柱的全面积是 _____________ 。
必修二-1.3-空间几何体的表面积和体积同步练习和详细答案
必修二 -1.3- 空间几何体的表面积和体积同步练习和详尽答案1.3空间几何体的表面积和体积【知识总结】1．多面体的面积和体积公式名称侧面积 (S全面积侧)(S 全)棱柱直截面周长×l棱S 侧+2S 底柱 直棱ch柱棱锥各侧面积之和棱S 侧+S 底锥 正棱1ch ′锥2体 积(V)S 底 ·h=S 直截面· hS 底 ·h1S 底 ·h3棱台各侧面面积之和S 侧+S 上底1h(S+S棱3 上底下1台 正棱+S 下底底+ S 下底 S 下底)2台(c+c ′)h ′表中 S 表示面积， c ′、 c 分别表示上、下底面周长， h 表斜高， h ′表示斜高， l 表示侧棱长。
2．旋转体的面积和体积公式名圆柱称S侧2πrl2πS全r(l+r)πV r 2h( 即πr 2l)圆锥圆台球πrlπ(r1+r2)lππ(r1+r 2)l+π2 r(l+r)(r 21+r22)4πR1π1πr 2h3 4 πR3223h(r1+r 1r 23+r 2)表中 l、h 分别表示母线、高， r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台上、下底面半径， R 表示半径。
【知能训练】A：多面体的表面积和体积一．选择题1．如图，在直三棱柱 ABC-A 1B 1C1中，A1A=AB=2 ，BC=1 ，∠ABC=90°，若规定主（正）视方向垂直平面ACC 1A1，则此三棱柱的左视图的面积为（）A．B．2C．4D．22．某几何体的俯视图是如下图的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为 4 的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为 6、高为 4 的等腰三角形，则该几何体的表面积为（）A．80B．24+88C．24+40 D． 1183．一个棱锥被平行于底面的平面所截，假如截面面积与底面面积之比为 1：2，则截面把棱锥的一条侧棱分红的两段之比是（）A．1：4C． 1：D． 1：B．1：2+1）（ -1）（4．正六棱台的两底边长分别为1cm ，2cm ，高是 1cm ，它的侧面积为（）A．2．2 C．cm22 cm B 9cm D． 3 cm5．要制作一个容积为 4m 3，高为 1m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20 元，侧面造价是每平方米10 元，则该容器的最低总造价是（）A．80 元B．120元C．160元D．240 元6．（文）四棱锥 S-ABCD 的底面是矩形，锥极点在底面的射影是矩形对角线的交点，四棱锥及其三视图如图（ AB 平行于主视图投影平面）则四棱锥 S-ABCD 的体积=（）A ．24B．18C．D．87．某空间组合体的三视图如下图，则该组合体的体积为（）A ． 48B ． 56C ． 64D ． 728．各棱长均为 a 的三棱锥的表面积为（）A ．4a2．a2．a2B 3C 2D ．a29．已知一个四棱锥的高为 3，其底面用斜二测画法所画出的水平搁置的直观图是一个边长为 1的正方形，则此四棱锥的体积为（）A ．B ．6C ．D ．210．如图，在三棱柱 A 1B 1C 1-ABC 中， D ，E ， F 分别是 AB ，AC ，AA 1 的中点，设三棱锥 F-ADE的体积为 V1，三棱柱 A 1B1C1-ABC 的体积为 V2，则 V1：V2=．11．将边长为 2 的正方形沿对角线 AC 折起，以A，B ，C，D 为极点的三棱锥的体积最大值等于．12．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA 1=8．若 AA 1B1B 水平搁置时，液面恰巧过AC ，BC ，A1C1，B1C1的中点，则当底面 ABC水平搁置时，液面的高为．13．四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为正方形，且 PD 垂直于底面 ABCD ，N 为 PB 中点，则三棱锥 P-ANC 与四棱锥 P-ABCD 的体积比为．14．已知某四棱锥，底面是边长为 2 的正方形，且俯视图如下图．若该四棱锥的侧视图为直角三角形，则它的体积为．15．如下图，在三棱柱 ABC-A 1B 1C1中，AB=AC=AA 1=2 ，BC=2 ，且∠ A1AB= ∠A1AC=60°，则该三棱柱的体积是．B：旋转体的表面积和体积1．假如圆锥的底面半径为，高为2，那么它的侧面积是（）A．4πB．2πC．2πD．4π2．一圆锥的侧面睁开图是半径为 2 的半圆，则该圆锥的全面积是（）A． 5πB．4πC．3πD．2π3．假如圆锥的轴截面是正三角形（此圆锥也称等边圆锥），则此圆锥的侧面积与全面积的比是（）A．1：2B．2：3C．1：D． 2：4．圆锥侧面积为全面积的，则圆锥的侧面睁开图圆心角等于（）A．πB．πD．以上都C． 2π不对5．圆台的上、下底面半径和高的比为1：4：4，母线长为 10，则圆台的侧面积为（）A． 81πB． 100πC． 14πD．169π6．已知球的直径 SC=8 ，A，B 是该球球面上的两点， AB=2，∠ SCA=∠SCB=60° ，则三棱锥 S-ABC 的体积为（）A． 2B． 4C． 6D． 87．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为S1、S2，则 S1：S2=（）A．1：1B．2：1C．3：2D．4：1 8．若两个球的表面积之比为1：4，则这两个球的体积之比为（）A．1：2B．1：4C． 1：8D．1： 169．体积相等的正方体、球、等边圆柱（即底面直径与母线相等的圆柱）的全面积分别为 S1，S2，S3，那么它们的大小关系为（）A． S1＜ S2＜ S3＜S3＜S1DB ． S1＜ S3＜ S2． S2＜ S1＜ S3C． S2二．填空题（共 5 小题）10．圆锥和圆柱的底面半径和高都是R，则圆锥的全面积与圆柱的全面积之比为．11．已知一个圆柱的侧面睁开图是一个长和宽分别为 3π和π的矩形，则该圆柱的体积是．12．在如下图的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为 40cm ，母线长最短 50cm ，最长 80cm ，则斜截圆柱的侧面面积 S=cm 2．13．球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于．14．已知一圆柱内接于球 O，且圆柱的底面直径与母线长均为 2，则球为 O 的表面积为．15．已知 A，B，C 是球面上三点，且AB=AC=4cm 到平面 ABC 表面积为，∠BAC=90°，若球心 O 的距离为 2，则该球的3cm ．11．正三角形 ABC 的边长为 2，将它沿高 AD 翻折，使点 B 与点 C 间的距离为 1，此时四周体 ABCD 外接球表面积为．三．解答题（共 3 小题）16．如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒构成．已知球的直径是6cm ，圆柱筒长 2cm ．3（1）这类“浮球”的体积是多少 cm（结果精准到 0.1）？（2）要在这样 2500 个“浮球”表面涂一层胶质，假如每平方米需要涂胶 100克，共需胶多少？17．（文）如图，球O 的半径长为10．（1）求球 O 的表面积；（2）求球 O 的体积；（3）若球 O 的小圆直径 AB=30 ，求 A、B 两点的球面距离．18．设底面直径和高都是 4 厘米的圆柱的内切球为 O．（1）求球 O 的体积和表面积；（2）与底面距离为 1 的平面和球的截面圆为 M，AB 是圆 M 内的一条弦，其长为 2 ，求 AB 两点间的球面距离．参照答案：A：1、A2、B3、C4、A5、C6、D7、C8、D9、D10、11、12、解：不如令此三棱柱为直三棱柱，如图当侧面 AA1B1B水平搁置时，水的形状为四棱柱形，底面是梯形．设△ABC的面积为 S，则 S梯形ABFE= S，V水= S?AA1=6S．当底面 ABC 水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为 h ，则有 V 水 =Sh ，∴6S=Sh ，∴ h=6 ．故当底面 ABC水平搁置时，液面高为 6．故答案为：613、1:414、15 、 2B：1、C2、C3、B4、B5、B6、D7、C8、C9、C10、(1+)： 411、12、解：将同样的两个几何体，接柱，柱的面睁开，面展开的面 S=[ （ 50+80 ）×20 π × 2]/2=2600 π cm2．故答案：2600π13、 314 、8π15 、64π16、解：（ 1 ）∵ “浮球”的柱筒直径 d=6cm ，∴半球的直径也是 6cm，可得半径 R=3cm ，∴两个半球的体之和V 球＝πR3＝π ?27＝36πcm3⋯（2分）而 V 圆柱＝πR 2 ?h ＝π× 9×2＝18πcm3⋯（2分）∴“ 浮球” 的体是：V=V球+V圆柱=36π +18π =54π ≈ 169.6cm3⋯ （4分）（2）依据意，上下两个半球的表面是S 球表＝ 4πR 2＝ 4×π×9＝ 36πcm2⋯（6分）而“浮球”的柱筒面：S圆柱侧=2π Rh=2× π × 3× 2=12π cm2⋯ （8分）∴1 个“浮球”的表面S＝＝m2所以，2500 个“浮球”的表面的和2500 S ＝ 2500×m2⋯（10分）＝ 12π∵每平方米需要涂胶 100 克，∴共需要胶的量： 100 × 12 π =1200 π（克）⋯（ 12分）答：种浮球的体169.6cm 3；供需胶 1200 π克．⋯（ 13 分）17 、解：（1）球的表面4 π r 2 =1200 π；⋯（4 分）（2）球的体V ＝πr ＝ 4000π⋯（8分）3；（3）球心O，在△AOB中，球 O的小直径 AB=30，球 O的半径10 ．解得∠AOB＝，所以 A、B两点的球面距离π．⋯（15 分）18、解：（1）∵底面直径和高都是 4厘米的圆柱的内切球为 O，∴球 O 的半径为 2cm ，3，表面积 4π ?22=16π ；∴球 O 的体积为π?2=（2）∵AB是圆 M内的一条弦，其长为 2，∴∠AOB= ，∴AB两点间的球面距离为．。
表面积与体积练习题(含答案)
空间几何体的表面积和体积练习(录自新教材完全解读)1、一个证四棱台的两底面边长分别为)(,n m n m >,侧面积等于两个底面积之和，则这个棱台的高位（ ) A.n m mn + B. n m mn - Ｃ. mn n m + D. mnnm - 2、一个圆柱的侧面展开图示一个正方形,这个圆柱的表面积与侧面积的比是（ ） A.ππ221+ B. ππ441+ C. ππ21+ D. ππ241+ 3、在斜三棱柱A ＢC －A 1B 1Ｃ1中,∠ＢＡＣ=090,0110111190,60,=∠=∠=∠==C BB C AA B AA a AC AB ,侧棱长为b ,求其侧面积。
ab )23(+４、一个三棱锥的底面是正三角形，侧面都是等腰直角三角形,底面边长为a ,求它的表面积。
2)33(41a + 5、已知圆台的上、下底面半径和高的比为1：4：4，母线长为１0,求圆台的侧面积。
100π6、若正方体的棱长为2,则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为（ )A.62B ． 32C ． 33 D. 32７、已知圆台两底面半径分别为)(,n m n m >，求圆台和截得它的圆锥的体积比。
333m n m - 8、直三棱柱（侧棱垂直底面的三棱柱)的高6,底面三角形的边长分别为3、4、5，将棱柱削成圆柱，求削去部分体积的最小值。
)6(6π-９、如图，三棱锥S-ABC 的三条侧棱两两垂直，且6,3,1===SC SA SB ,求该三棱锥的体积。
22 １0、若两球表面积之比为4:9，则其体积之比为( )SCBAA.８:27B.16:81 Ｃ.64:7２９ D.2：3１1、如果三个球的半径之比是1:２：3，那么最大球的体积是其余两个球的体积之和的（ ) A ．1倍 Ｂ.２倍 C.３倍 D.4倍 12、如图所示,半径为R 的半圆内的阴影部分以直径A Ｂ所在直线为轴,旋转一周得到一几何体,求该几何体的表面积。
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空间几何体的表面积与体积专题一、选择题1．棱长为2的正四面体的表面积是( C )．A. B ．4 C ．4 D ．1633解析 每个面的面积为：×2×2×＝.∴正四面体的表面积为：4.1232332．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的 ( B )．A ．2倍B ．2倍 C.倍 D.倍2232解析 由题意知球的半径扩大到原来的倍，则体积V ＝πR 3，知体积扩大到原来的2倍．24323．如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图，则该多面体的体积为( B )．A.B.C.142328432803 D.1403解析 根据三视图的知识及特点，可画出多面体的形状，如图所示．这个多面体是由长方体截去一个正三棱锥而得到的，所以所求多面体的体积V ＝V 长方体－V 正三棱锥＝4×4×6－××2＝13(12×2×2).28434．某几何体的三视图如下，则它的体积是( A)A ．8－B ．8－C ．8－2πD.2π3π32π3解析 由三视图可知该几何体是一个边长为2的正方体内部挖去一个底面半径为1，高为2的圆锥，所以V ＝23－×π×2＝8－.132π35．已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为( A)A ．24－π B ．24－ C ．24－π D ．24－32π3π2据三视图可得几何体为一长方体内挖去一个半圆柱，其中长方体的棱长分别为：2,3,4，半圆柱的底面半径为1，母线长为3，故其体积V ＝2×3×4－×π×12×3＝24－.123π26．某品牌香水瓶的三视图如图 (单位：cm)，则该几何体的表面积为( C )od A. cm 2 B. cm 2(95－π2)(94－π2)C.cm 2 D. cm 2(94＋π2)(95＋π2)解析 下面是一个四棱柱．上面四棱柱的表面积为2×3×3＋12×1－＝30－；中间部分的表面积为π4π42π××1＝π，下面部分的表面积为122×4×4＋16×2－＝64－.故其表面积是94＋.π4π4π27．已知球的直径SC ＝4，A ，B 是该球球面上的两点，AB ＝，∠ASC ＝∠BSC ＝30°，则棱锥S-3ABC 的体积为( C)．A ．3B ．2 C. D ．1333解析 由题可知AB 一定在与直径SC 垂直的小圆面上，作过AB 的小圆交直径SC 于D ，设SD ＝x ，则DC ＝4－x ，此时所求棱锥即分割成两个棱锥S-ABD 和C-ABD ，在△SAD 和△SBD 中，由已知条件可得AD ＝BD ＝x ，又因为SC 为直径，所以∠SBC ＝∠SAC ＝90°，所以∠DCB ＝∠DCA ＝60°，在33△BDC 中 ，BD ＝(4－x )，所以x ＝(4－x )，所以x ＝3，AD ＝BD ＝，所以三角形ABD 为正33333三角形，所以V ＝S △ABD ×4＝.133二、填空题8．三棱锥PABC 中，PA ⊥底面ABC ，PA ＝3，底面ABC 是边长为2的正三角形，则三棱锥PABC 的体积等于________．解析 依题意有，三棱锥PABC 的体积V ＝S △ABC ·|PA |＝××22×3＝3131334.39．一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为_ 3∶2_______．解析 设圆柱的底面半径是r ，则该圆柱的母线长是2r ，圆柱的侧面积是2πr ·2r ＝4πr 2，设球的半径是R ，则球的表面积是4πR 2，根据已知4πR 2＝4πr 2，所以R ＝r .所以圆柱的体积是πr 2·2r ＝2πr 3，球的体积是πr 3，所以圆柱的体积和球的体积的比是＝3∶2.432πr 343πr 310．如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________．26解析 由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为，连32接顶点和底面中心即为高，可求得高为，所以体积V ＝×1×1×＝.2213222611．如图，半径为R 的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是____2πR2____．解析 由球的半径为R ，可知球的表面积为4πR 2.设内接圆柱底面半径为r ，高为2h ，则h 2＋r 2＝R 2.而圆柱的侧面积为2πr ·2h ＝4πrh ≤4π＝2πR 2(当且仅当r ＝h 时等号成立)，即内接圆柱r 2＋h 22的侧面积最大值为2πR 2，此时球的表面积与内接圆柱的侧面积之差为2πR 2.12．如图，已知正三棱柱ABCA 1B 1C 1的底面边长为2 cm ，高为5 cm ，则一质点自点A 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A 1的最短路线的长为___13_____cm.解析 根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为＝13 (cm)．52＋122三、解答题13．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示，墩的上半部分是正四棱锥PEFGH ，下半部分是长方体ABCDEFGH .图2、图3分别是该标识墩的正视图和俯视图．(1)请画出该安全标识墩的侧视图；(2)求该安全标识墩的体积．解析 (1)侧视图同正视图，如图所示：(2)该安全标识墩的体积为V ＝V PEFGH ＋V ABCDEFGH ＝×402×60＋402×20＝64 000(cm 3)．1314 .一个几何体的三视图如图所示．已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼3成的矩形．(1)求该几何体的体积V ；(2)求该几何体的表面积S.解析 (1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为，所以V ＝1×1×＝.333(2)由三视图可知，该平行六面体中，A1D⊥平面ABCD ，CD⊥平面BCC1B1，所以AA1＝2，侧面ABB1A1，CDD1C1均为矩形，S ＝2×(1×1＋1×＋1×2)＝6＋2.3315．已知某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V ；(2)求该几何体的侧面积S .解析 由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8，高为h 1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6，高为h 2的等腰三角形，如右图所示．(1)几何体的体积为：V ＝·S 矩形·h ＝×6×8×4＝64.1313(2)正侧面及相对侧面底边上的高为：h 1＝＝5.左、右侧面的底边上的高为：42＋32h 2＝＝4.故几何体的侧面面积为：S ＝2×＝40＋24.42＋422(12×8×5＋12×6×42)21.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）. .解：设展开图的正方形边长为a ，圆柱的底面半径为r ，则2πr =a ，，底面圆的面积是，2ar π=24a π于是全面积与侧面积的比是，2221222a a a πππ++=2．在棱长为 1 的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去与8个顶点相关的8个三棱锥后 ，剩下的几何体的体积是（ ）.2．解：正方体的体积为1，过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体截得的三棱锥的体积是，于是8个三棱锥的体积是，剩余部分的体积是， 111111()3222248⨯⨯⨯⨯=61653．一个直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）的底面是菱形，对角线长分别是6cm 和8cm ，高是5cm ，则这个直棱柱的全面积是 。
3．答案：148 cm 2解：底面菱形中，对角线长分别是6cm 和8cm ，所以底面边长是5cm ，侧面面积是4×5×5=100cm 2，两个底面面积是48cm 2，所以棱柱的全面积是148cm 2.4．已知两个母线长相等的圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为1：2，则它们的高之比为 。
4．答案：2：25解：设圆柱的母线长为l ，因为两个圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为1：2，所以它们的展开图即扇形的圆心角分别是和，2π4πh i nb 由圆锥侧面展开图扇形的圆心角的计算公式，得，，2r l πθ=13l r =223lr ==5．已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为1cm ，2cm ，3cm ，则此棱锥的体积_________5．答案：1cm 3解：转换一个角度来认识这个三棱锥，即把它的两条侧棱(如长度为1cm ，2cm 的两条)确定的侧面看作底面，另一条侧棱作为高，则此三棱锥的底面面积是1，高为3，则它的体积是×1×3=1cm 3.316．矩形两邻边的长为a 、b ，当它分别绕边a 、b 旋转一周时, 所形成的几何体的体积之比为6．答案：ba解：矩形绕a 边旋转，所得几何体的体积是V 1=πb 2a ，矩形绕b 边旋转，所得几何体的体积是V 2=πa 2b ，所以两个几何体的体积的比是2122Vb a b V a b aππ==16．四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a .(1)求该四面体的体积的最大值；(2)当四面体的体积最大时，求其表面积．解析 (1)如图，在四面体ABCD 中，设AB ＝BC ＝CD ＝AC ＝BD ＝a ，AD ＝x ，取AD 的中点为P ，BC 的中点为E ，连接BP 、EP 、CP .得到AD ⊥平面BPC ，∴V A-BCD ＝V A-BPC ＋V D-BPC＝·S △BPC ·AP ＋S △BPC ·PD ＝·S △BPC ·AD ＝··a·x ＝1313131312a 2－x 24－a 24a 12 3a 2－x 2 x 2≤·＝a 3(当且仅当x ＝a 时取等号)．∴该四面体的体积的最大值为a 3.a123a 22186218(2)由(1)知，△ABC 和△BCD 都是边长为a 的正三角形，△ABD 和△ACD 是全等的等腰三角形，其腰长为a ，底边长为a ，∴S 表＝2×a 2＋2××a ×62341262a 2－(64a )2＝a 2＋a ×＝a 2＋＝a 2.326210a43215a 2423＋154。