图灵机及可计算理论
理论计算机科学中的图灵机
理论计算机科学中的图灵机图灵机是理论计算机科学中的一个重要概念。
它被认为是能够计算任何可计算问题的最基本的计算机模型。
理解图灵机对于对计算机科学的学习和研究都至关重要。
一、图灵机的定义和原理图灵机是由英国数学家图灵提出的一种计算模型。
它包括一个有限控制器和一条无限长的纸带。
纸带被划分为一系列的单元格，每个单元格上可以写上一个字符。
控制器通过读取纸带上的字符和控制器内部的状态来进行计算。
它可以进行有限的计算，而且可以处理无限长的输入。
在图灵机模型中，所有的操作都是基于读取和写入单元格上的字符来进行。
图灵机具有非常简单的结构，但它却能够计算出任何可计算问题。
二、图灵机的应用图灵机能够计算出任何可计算问题，因此它在理论计算机科学中有着非常重要的应用。
它被用于证明计算机科学中的许多重要问题，例如停机问题和可计算性问题。
通过证明一个问题是不可计算的，我们可以得出它是无法用计算机解决的。
这对于计算机的设计和实现都有着重要的指导意义。
此外，图灵机还被广泛应用于计算机语言和自动机理论的研究中。
我们可以使用图灵机来描述计算机语言的语法和语义，并且使用它来定义自动机模型。
这在编程语言的编译、解释和分析中都有着广泛的应用。
三、图灵机的限制尽管图灵机是一种非常强大的计算模型，它仍然存在着一些限制。
其中最明显的一点是图灵机的速度。
尽管图灵机能够计算出任何可计算问题，但某些问题可能需要非常长的时间才能得到结果。
例如，计算出一个长文本的哈希值可能需要几分钟，而对于一个复合的问题，甚至需要几个世纪才能计算得出。
此外，图灵机还无法解决某些问题，例如非计算问题和不规则问题。
这些问题之所以无法用图灵机解决，是因为它们没有确定的方法来解决它们。
这些问题是无法用算法来解决的，并且需要人类直接进行解决。
四、结语图灵机是理论计算机科学中最重要的概念之一。
它被认为是能够计算出任何可计算问题的最基本计算机模型。
通过图灵机的研究，我们可以深入理解计算机科学的基本原理，理解计算机能力和限制。
图灵机的数学原理与应用
图灵机的数学原理与应用图灵机，是由艾伦·图灵于1936年提出的一种抽象的计算模型，它被认为是现代计算机的理论基础。
图灵机的数学原理虽然比较抽象，但是深入理解图灵机的数学原理对于我们设计和优化计算机算法、发展人工智能等方面具有重要的启示和指导作用。
在本文中，我们将简要介绍图灵机的数学原理与应用，并探讨图灵机的一些局限性以及可能的突破。
图灵机的数学原理图灵机由输入、输出、存储器、控制装置和执行单元组成。
其基本工作原理是：读取输入字符，根据存储的程序进行计算和操作，最后输出计算结果。
图灵机的存储器采用无限长的纸带，纸带上的每一个位置上都可以写入或读取字符。
控制装置可以根据程序的要求将读取或写入头向左或向右移动一格，这个过程可以看做是计算机中的指令集。
执行单元可以根据当前读取头指向的字符执行相应的操作，并将输出写入输出缓存区。
整个过程看起来十分繁琐，但是它背后的数学原理却极其简洁和优美。
在图灵机的设计中，最重要的是要解决如下问题：是否存在一种通用的计算机模型，能够解决所有可计算问题，并且具备任意计算机的功能。
图灵通过一种叫做“图灵完备性”的概念来解决这个问题。
如果一种计算机模型是图灵完备的，那么它就能够进行基本的计算、判断、条件分支、循环迭代等操作。
同样的，如果一种计算机语言是图灵完备的，那么它就能够表达出所有可计算问题的解法。
因此，图灵完备性是计算机科学中一个重要的概念，也是图灵机计算能力能够被普遍接受的重要原因之一。
图灵机的应用图灵机的应用不仅限于理论计算和编程语言设计，它还被广泛应用于计算机科学中的各个领域。
下面我们将介绍一些典型的图灵机应用。
1. 自动机理论自动机理论是计算机科学中一个重要的研究领域，它涉及到有限状态自动机、正则表达式、上下文无关文法等很多领域。
图灵机的数学原理为自动机理论的发展提供了基础，同时也为不同类型的自动机机器的应用提供了指导。
2. 算法设计和优化图灵机为算法设计和优化提供了基础性的支持。
图灵在计算机理论方面的贡献
图灵在计算机理论方面的贡献：1.提出计算机的概念1945年，图灵恢复在理论计算机科学方面的研究，并结合战时的工作，具体研制出新的计算机来。
同年，图灵开始从事“自动计算机”(ACE)的逻辑设计和具体研制工作。
1950年制出了ACE样机，1958年制成大型ACE机。
2.把可计算函数定义为图灵机可计算函数．1937年，图灵在他的“可计算性与λ可定义性”一文中证明了图灵机可计算函数与λ可定义函数是等价的，得出：算法(能行)可计算函数等同于一般递归函数或λ可定义函数或图灵机可计算函数．这就是“丘奇-图灵论点”，相当完善地解决了可计算函数的精确定义问题，对数理逻辑的发展起了巨大的推动作用。
3.开创了“自动机”这一学科分支，促进了电子计算机的研制工作．4.提出了通用图灵机的概念它相当于通用计算机的解释程序，这一点直接促进了后来通用计算机的设计和研制工作，在给出通用图灵机的同时，图灵就指出，通用图灵机在计算时，其“机械性的复杂性”是有临界限度的，超过这一限度，就要靠增加程序的长度和存贮量来解决．这种思想开启了后来计算机科学中计算复杂性理论的先河。
5.解决了著名的希尔伯特判定问题狭谓词演算公式的可满足性的判定问题。
他用一阶逻辑中的公式对图灵机进行编码，再由图灵机停机问题的不可判定性推出一阶逻辑的不可判定性。
他在此处创用的“编码法”成为后来人们证明一阶逻辑的公式类的不可判定性的主要方法之一。
6.图灵测试1946年，图灵发表论文阐述存储程序计算机的设计。
图灵的自动计算机与诺伊曼的离散变量自动电子计算机都采用了二进制，都以“内存储存程序以运行计算机”打破了那个时代的旧有概念。
7.人工智能人工智能致力研发运行Manchester Mark 1型号储存程序式计算机所需的软件。
1950年他发表论文《计算机器与智能》，为后来的人工智能科学提供了开创性的构思。
提出著名的“图灵测试”，指出如果第三者无法辨别人类与人工智能机器反应的差别，则可以论断该机器具备人工智能。
图灵机的工作原理
图灵机的工作原理图灵机的工作原理可以简单地描述为，读取当前纸带上的符号，根据当前状态和读取的符号，确定下一步的操作，包括写入新的符号、移动读写头的位置，以及改变当前状态。
这些操作是根据事先定义好的转移规则来进行的，而转移规则的定义则取决于具体的计算问题。
通过不断地执行这些操作，图灵机就能够模拟出任何可计算的问题，包括数学运算、逻辑推理等等。
图灵机的工作原理基于一种非常简单的逻辑，但却能够模拟出非常复杂的计算过程。
这是因为图灵机的模型具有非常强大的表达能力，可以表示出各种各样的计算问题。
同时，图灵机的工作原理也为计算理论的发展提供了一个非常重要的范式，即“图灵等价”。
根据图灵等价的原理，如果一个计算模型能够模拟出图灵机的行为，那么它就能够解决与图灵机一样的所有计算问题。
图灵机的工作原理在计算理论中具有非常重要的地位，它不仅为我们理解计算的本质提供了一个非常好的模型，同时也为我们研究计算问题的可解性提供了一个非常好的工具。
图灵机的工作原理也为我们提供了一种非常重要的思维方式，即通过简单的操作规则来模拟复杂的计算过程。
这种思维方式不仅在计算理论中有着重要的应用，同时也在计算机科学和人工智能领域中有着非常重要的意义。
总的来说，图灵机的工作原理是基于一种简单的操作规则，通过不断地读取和写入符号来模拟计算过程。
图灵机的模型具有非常强大的表达能力，可以表示出各种各样的计算问题。
图灵机的工作原理在计算理论中具有非常重要的地位，它为我们理解计算的本质提供了一个非常好的模型，同时也为我们研究计算问题的可解性提供了一个非常好的工具。
通过学习图灵机的工作原理，我们可以更好地理解计算的本质，同时也可以更好地应用计算理论的方法来解决实际的计算问题。
计算机计算模型中的图灵机
计算机计算模型中的图灵机从计算机计算模型的角度来看，图灵机被认为是一种通用的计算模型，也是计算机科学研究的重要基础之一。
在本文中，我们将深入探讨图灵机的内部结构、运作原理，以及在计算机科学与人工智能研究中的应用。
一、图灵机的定义与内部结构图灵机是一种最简单、最有代表性的计算模型。
其定义由英国数学家阿兰·图灵提出，目的是为了探究哪些问题可以被自动机器解决，哪些问题不可以。
从宏观角度看，图灵机可以被视为一个运算器。
它包括一个无限长度的纸带，上面按照一定规律印有各种符号，一个读写头，可以在纸带上不停移动，并读取或写入符号，以及一个确定的有限自动机，遵循一定的规则对符号进行操作，并改变自动机的状态。
从微观角度看，图灵机可以被视为一个五元组(M, S, T, s0, F)。
其中，M表示状态集合，S表示符号集合，T表示转移函数，s0表示起始状态，F表示接受状态。
具体而言，自动机根据读取到的符号，通过转移函数来执行状态转移，并可以改写纸带上的符号。
当自动机的状态转换到F中的任意一个状态时，其判定为输入串被接受。
二、图灵机的运作原理图灵机的运作可以被大致分为两个阶段：读写头扫描纸带，自动机执行状态转移。
在程序开始运行时，自动机根据起始状态s0开始，读写头扫描到的符号会被送至转移函数T中计算状态转移，根据T中的定义，自动机可能完成以下四个操作之一：- 将读写头向左或右移动一格- 改写当前符号- 将自动机状态从M中的一种变为另一种- 停机在一个图灵机的运行中，自动机状态的变化不是唯一的。
事实上，任何一个有限自动机都可看作某个图灵机的子集，只是它转换后的操作相对简单罢了。
三、图灵机在计算机科学中的应用图灵机在计算机科学中的应用主要有以下两个方面：1.图灵完备性一个计算模型被称为图灵完备，当且仅当它可以在所有计算上都与图灵机等价。
因为图灵机是最简单、最有代表性的计算模型之一，许多计算机科学研究中的问题可以被转换成图灵机问题。
计算理论第一章绪论
1.1 计算与计算模型
上世纪初，德国大数学家希尔伯特(Hilbert)提出： 是否存在着一个通用过程，这个过程能用来判
定任意数学命题是否成立，即，输入一个数学命题， 在有限时间内，得到一个证明，如果这个命题成立； 或是一个反例，如果这个命题不成立。
图灵证明了对于平面几何来说，存在这样的过程。 但是，对于一般的数学命题，不存在这样的过程。
图灵机和可计算函数
英国 数学家
1936年，图灵24岁时发表一篇 论文《论数字计算在判决难题 中的应用》，提出著名的“图 灵机”的设想。这一思想奠定 了现代计算机的基础。
美国计算机协会在图灵去世12 年后以他的名字命名了计算机 领域的最高奖“图灵奖”。
艾伦·图灵（1912－1954）
1.1 计算与计算模型
判定。
1.3图灵机
NP完全问题：
NP类中某些问题的复杂性与整个类的复杂 性相关联，这些问题称为NP完全问题。
可计算性与计算复杂性
可计算性computability 是否可解
复杂性 complexity 解的难易程度
1.4 语言与文法
乔姆斯基最初从产生语言的角度研究语言， L*。
问题：考察一个字符串是否是某个语言的句 子。
计算的图灵机定义：
1936年由Turing给出，定义计算为： 输入—执行过程（有限步内结束）—输出
1946年，冯·诺依曼与宾夕法尼亚大学的工程师 采用电子器件物理实现了图灵的计算模型，建成 了世界的第一台计算机。
现在称计算机的体系结构为冯·诺依曼体系结构。
1.1 计算与计算模型
图灵给出了过程的科学定义，区分了可计算 的问题和不可计算的问题。
1.6 计算逻辑与描述逻辑
图灵机与可计算性
• 可能性二：HS(p)=0，这意味着P(p)不停 机。但是根据P的定义，若HS(p)=0，P(p) 输出1并停机。这也产生矛盾： P(p)不停机P(p)停机
• 矛盾的根本原因是：假定H是可计算的 HS是可计算的P是可构造的矛盾
2000 Andrew Chi-Chih Yao --- PhD, UIUC; Prof, Princeton (now at 清华) 因对计算理论做出了诸多根本性的重大贡献.
2004 Robert E. Kahn和Vinton G Cerf 发明了基本的通信协议TCP/IP技术.
Turing Machine
– 用数字表示信息的方法称为编码。
– 编码学就是一门研究高效编码方法的学科。
–简单检错码一奇偶性检错码
用6位二进制码来表ห้องสมุดไป่ตู้26个英文字母
A：000011 B：000101 C:000110
D：001001 ……
Z:110101
• 图灵奖：计算机界的诺贝尔奖
– 1946年，第一台电子计算机ENIAC诞生 – 1947年美国计算机协会ACM成立 – 1966年，ACM设立“图灵奖”
讨论思考题
1.3 为什么说能行可计算这一计算科学的根 本问题决定了计算科学处理的对象应当 是离散的？你怎样解释为什么数字计算 机的发展和应用远远了超过模拟计算机？
1.4 请编写一个完成为二进制数增加奇偶校 验位的图灵机程序。
1.5 请编写一个完成将一个二进制数加一的 计算的图灵机程序。
1.4 可计算性
– 蒸汽驱动 –程序控制计算的思想 – 采用有限差分技术自动完成一系列的加法运算 – 这些加法运算可以产生一个多项式的数值表
图灵机——计算机的理论模型
设a 为十进制数11
机器状态=S0
当前位置
图灵机磁带
图灵机计算思想
• 图灵机的功能根据输入编码的不同而变化 • 程序和数据同等看待 • 图灵机可以将程序先保存到存储带上，按照程序一步一步
运行直到给出结果，结果也保存到存储带上。
图灵机不是一种具体的机器，而是一种理论模型，可 用来指导制造一种十分简单但运算能力极强的计算装置，使 得这种机器能够对任何“可计算”的函数进行有效的计算， 在有限步内求出函数的计算结果。
图灵与图灵机模型
图灵是现代计算机理论模型 的提出者。
图灵的贡献主要有两个： • 建立了图灵机模型 • 提出了图灵测试、阐述了机器
智能的概念。
英国科学家阿兰.图灵 （1912-1954）
图灵证明，只有图灵机能解决的 计算问题，实际计算机才能解决。
“图灵奖”是美国计算机协会于1966年设立的。
什么是图灵机？ 图灵机由一条无限长的纸带、读/写头及控制
①Si 表示机器当前的状态； ②X 表示机器从方格中读入的内容，也即当前内容； ③Y 表示机器用来代替X 写入方格中的内容；
④L、R、N 分别表示左移一格、右移一格和不移动；
⑤Sj 表示机器下一步的状态。
图灵机——计算机的理论模型
图灵机的计算开始于初始状态，设为S0，终止于停止（HALT）状态，设为SH。 例: 设计能够实现“a+1”运算的图灵机，计算完成后要求读写头回到原位。
图灵机模型理论是计算学科最核心的理论之一，图灵机 模型是算法分析和程序语言设计的基础，为计算机设计指明 了方向。
器构成。
图灵机模型
控制器内包括控制规则表，它能够通过读/写头对纸带上 的符号进行读或写，读写头可以在纸带上左右移动。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2
一、图灵机及形式定义
1、图灵机 2、图灵机的形式定义 3、图灵机接受的语言
3
图灵机
FA和PDA的局限 FA有有限的存储，只能处理RL PDA用栈提供无限的存储，但栈只能后进先出，PDA 只能处理CFL
FA和PDA不能用作通用的计算模型
4
图灵机
图灵机是通用的计算模型，是计算机的数学模型 图灵在论述“有些数学问题是不可解的”时，提出了图灵 机 图灵论题：凡是可计算的函数，都可以用图灵机计算 丘奇论题：任何计算，如果存在一个有效过程，它就能被 图灵机实现
Part 4 图灵机及可计算理论
主讲教师 贺利坚
Part 4 主要内容提示
内容 一、图灵机及形式定义 二、图灵机的构造 三、图灵机的变形 四、通用图灵机 五、可计算性理论
教材出处
9.1 基本概念(9.1.1)
9.1 基本概念(9.1.1-3) 9.2 图灵机的变形 9.3 通用图灵机 9.4 可计算性理论的几个相关概 念
现代计算机设计思想的创始人，人工智能领域的开拓者 计算机领域的最高奖以图灵命名
6
Alan Turing(1912-1954)
1912 (23 June): Birth, Paddington, London 1926-31: Sherborne School 1930: Death of friend Christopher Morcom 1931-34: Undergraduate at King's College, Cambridge University 1932-35: Quantum mechanics, probability, logic 1935: Elected fellow of King's College, Cambridge 1936: The Turing machine, computability, universal machine 1936-38: Princeton University. Ph.D. Logic, algebra, number theory 1938-39: Return to Cambridge. Introduced to German Enigma cipher machine 1939-40: The Bombe, machine for Enigma decryption 1939-42: Breaking of U-boat Enigma, saving battle of the Atlantic 1943-45: Chief Anglo-American crypto consultant. Electronic work. 1945: National Physical Laboratory, London 1946: Computer and software design leading the world. 1947-48: Programming, neural nets, and artificial intelligence 1948: Manchester University 1949: First serious mathematical use of a computer 1950: The Turing Test for machine intelligence 1951: Elected FRS. Non-linear theory of biological growth 1952: Arrested as a homosexual, loss of security clearance 1953-54: Unfinished work in biology and physics 1954 (7 June): Death (suicide) by cyanide poisoning, Wilmslow, Cheshire.
q0∈Q：M的开始状态，M从状态q0启动，读头正注视着输入 带最左端的符号；
B：空白符(blank symbol)，含空白符的带方格是空的；
FQ：M的终止状态集，q∈F为M的一个终止状态。 TM M 一旦进入终止状态，它就停止运行。
9
图灵机的形式定义
TM M=(Q, ∑, Γ, , q0, B, F) 称为移动函数
7
图灵机
图灵机的物理模型 基本模型包括 一个有穷控制器。 一条含有无穷多个带方格的输入带。 一个读头。 一个移动将完成以下三个动作： 改变有穷控制器的状态； 在当前所读符号所在的带方格中印刷一个符号； 将读头向右或者向左移一格。
8
图灵机的形式定义
定义9-1 图灵机(Turing machine)/基本的图灵机
TM M=(Q, ∑, Γ, , q0, B, F)
Q：状态的有穷集合，q∈Q为M的一个状态；
∑：输入字母表，a∑为M的一个输入符号。除空白符号B
外，只有∑中的符号才能在M启动时出现在输入带上；
Γ：带符号表(tape symbol)，X为M的一个带符号，表示
在M的运行过程中，X可以在某一时刻出现在输入带上；
提出TM的目的在于: 对有效的计算过程(即算法)进行形式化的 描述, 忽略模型的存储容量在内的一些枝节问题, 只考虑算法的 基本特征.
图灵提出TM具有以下两个性质 具有有穷描述。 过程必须是由离散的、可以机械执行的步骤组成。
5
图灵机
图灵生平 1912年出生，演算能力突出 1931年，进剑桥大学学数学 1936年，提出图灵机模型 1938年，获普灵斯顿大学博士学位 1950年，发表论文“计算机和智能”，提出图灵测 试 1951年，成为英皇家学会院士 1954年，不幸去世
：Q×Γ Q×Γ ×{R, L}，为M的移动函数(transaction
function)。
(q, X)=(p, Y, R)表示M在状态q读入符号X，将状态改为p，
并在这个X所在的带方格中印刷符号Y，然后将读头向右 移一格；
(q, X)=(p, Y, L)表示M在状态q读入符号X，将状态改为p，