相似三角形与圆
高中数学 第一章 相似三角形定理与圆幂定理 1.3.1 圆
三个定理的综合应用 [例 3] 如图所示，已知 PA 与⊙O 相切，A 为切点，PBC 为割线，弦 CD∥AP，AD、BC 相交于 E 点，F 为 CE 上一点， 且 DE2＝EF·EC.
(1)求证：∠P＝∠EDF； (2)求证：CE·EB＝EF·EP； (3)若 CE∶BE＝3∶2，DE＝6，EF＝4，求 PA 的长．
[精解详析] 因为 MA 为圆 O 的切线， 所以 MA2＝MB·MC. 又 M 为 PA 的中点， 所以 MP2＝MB·MC. 因为∠BMP＝∠PMC， 所以△ BMP∽△PMC， 于是∠MPB＝∠MCP. 在△ MCP 中，由∠MPB＋∠MCP＋∠BPC＋∠BMP＝180°， 得∠MPB＝20°.
解析：因为 AF＝3，EF＝32，FB＝1，
所以 CF＝AFE·FFB＝3×3 1＝2， 2
因为 EC∥BD，所以△ACF∽△ADB，
所以AAFB＝BCDF＝AADC＝ADA－DCD＝34，
所以 BD＝CFA·FAB＝2×3 4＝83，且 AD＝4CD，
又因为 BD 是圆的切线，所以 BD2＝CD·AD＝4CD2，
[思路点拨] 本题考查切割线定理、相交弦定理．以及相 似三角形的判定与性质的综合应用．解答本题需要分清各个定 理的适用条件，并会合理利用．
[精解详析] (1)证明：∵DE2＝EF·EC， ∴DE∶CE＝EF∶ED. ∵∠DEF 是公共角，∴△DEF∽△CED. ∴∠EDF＝∠C. ∵CD∥AP，∴∠C＝∠P. ∴∠P＝∠EDF.
1．从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的 交点的两条线段长的积有什么关系？
提示：相等． 2．从圆外一点引圆的切线，则这一点、两个切点及圆心四 点是否共圆？若共圆，圆的直径是什么？ 提示：四点共圆．且圆心为圆外一点与原圆心连线的 中点，直径为圆外一点到原圆心的距离．
相似三角形的内切圆与外接圆
相似三角形的内切圆与外接圆在数学中，当两个三角形的对应角相等，并且对应边成比例时，我们称这两个三角形为相似三角形。
在相似三角形中，存在着一些特殊的圆，即内切圆和外接圆。
本文将讨论相似三角形与它们的内切圆和外接圆之间的关系。
一、相似三角形的内切圆内切圆是能够与三角形的三条边都相切的圆。
对于相似三角形而言，它们的内切圆有一个重要的性质：内切圆的半径与三角形的相似比例相等。
假设有两个相似三角形ABC和DEF，且它们的相似比例为k，则内切圆的半径R满足以下关系：R(ABC) / R(DEF) = k这个结论可以通过相似三角形的性质来证明。
因为相似三角形的对应角相等，所以它们的切点、顶点和圆心共线，从而可以得到三角形的内切圆。
二、相似三角形的外接圆外接圆是能够与三角形的三个顶点相切的圆。
对于相似三角形而言，它们的外接圆有一个重要的性质：外接圆的半径与三角形的相似比例的倒数相等。
仍假设有两个相似三角形ABC和DEF，且它们的相似比例为k，则外接圆的半径r满足以下关系：r(ABC) / r(DEF) = 1 / k这个结论可以通过相似三角形的性质来证明。
因为相似三角形的对应角相等，所以它们的顶点、圆心和切点共线，从而可以得到三角形的外接圆。
三、内切圆与外接圆的关系在相似三角形中，内切圆和外接圆之间存在着一定的关系。
如果两个三角形是相似的，它们的内切圆和外接圆的圆心可以看做是同一个点。
实际上，内切圆和外接圆的圆心都位于相似三角形的相似中心上。
相似中心是一个点，使得从它出发，分别向两个相似三角形的对应顶点连线的比等于相似比例。
通过这个性质，我们可以进一步得到内切圆和外接圆的半径之间的关系。
设R为内切圆的半径，r为外接圆的半径，则有：R / r = k其中，k为相似比例。
结论综上所述，相似三角形的内切圆与外接圆之间存在着一些关系。
内切圆的半径与相似比例相等，而外接圆的半径与相似比例的倒数相等。
此外，内切圆和外接圆的圆心可以看做是同一个点，即相似三角形的相似中心。
相似三角形的外接圆与外切圆
相似三角形的外接圆与外切圆相似三角形的外切圆与外接圆相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的三角形。
在几何学中，外接圆和外切圆是与三角形相关的两个重要概念。
本文将探讨相似三角形的外接圆和外切圆，并分析它们的性质和应用。
一、外接圆（Circumcircle）外接圆是指与三角形的三个顶点都相切的圆。
在相似三角形中，如果两个三角形的对应顶角相等，那么它们的外接圆是相等的。
外接圆具有以下性质：1. 外接圆的半径等于三角形三边的中线之积除以四倍三角形的面积。
2. 外接圆的圆心位于三角形的外部，且与三角形的三个顶点连线的垂直平分线相交于同一点，这个点就是外接圆的圆心。
3. 外接圆的直径等于三角形的最长边。
外接圆有着广泛的应用。
在解决与三角形相关的问题时，外接圆可以帮助我们求解三角形的面积、证明三角形的性质等。
二、外切圆（Incircle）外切圆是指与三角形的三条边都相切的圆。
在相似三角形中，如果两个三角形的对应边成比例，那么它们的外切圆也是相等的。
外切圆具有以下性质：1. 外切圆的半径等于三角形的面积除以半周长（三边之和的一半）。
2. 外切圆的圆心位于三角形的内部，且与三角形的三边的垂直平分线相交于同一点，这个点就是外切圆的圆心。
外切圆在实际问题中也有重要的应用。
比如在工程测量、建筑设计等领域，外切圆可以帮助我们确定构建物体的最佳位置、确定装置的最佳适配度等。
三、相似三角形的外接圆和外切圆的关系在相似三角形中，外接圆和外切圆之间存在一定的关系。
1. 如果两个三角形相似，那么它们的外接圆和外切圆是相似的，并且比例相等。
2. 如果两个相似三角形的比例因子为k，那么它们的外接圆和外切圆的比例因子也为k。
综上所述，相似三角形的外接圆和外切圆在几何学中有着重要的地位和应用。
它们不仅有助于我们求解三角形的面积和证明三角形的性质，还在实际问题中有着广泛的应用。
因此，深入理解和掌握相似三角形的外接圆和外切圆的性质和关系，有助于我们更好地应用它们解决实际问题。
圆中的相似三角形
引言概述：相似三角形是高中数学中的一个重要概念，也是几何学中常见的基本概念之一。
在几何学中，相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的三角形。
本文将对圆中的相似三角形进行详细探讨和阐述。
圆中的相似三角形具有一些特殊性质和定理，研究这些特性不仅对于数学学科的发展和深化具有重要意义，还对于解决实际问题和各个领域的应用有着广泛而深远的影响。
正文内容：一、圆中相似三角形的概念和基本性质1.定义：圆中的相似三角形是指在同一个圆内部，根据某种比例关系，具有相同形状但大小不同的三角形。
2.判定条件：圆中的两个三角形相似的必要条件是它们的对应边成比例。
3.定理1：如果一个圆内的两个弦经过圆心，则对应的两个弦所对的弧相等，并且这两个弦和圆心所夹的角相等。
4.定理2：如果一个圆内的两弦对应的弧等长，则这两个弦和圆心所夹的角相等。
5.定理3：在一个圆内，如果一条弦平分了另一条弦，那么这两条弦所对的弧也是等长的。
这个定理也适用于相似三角形。
二、圆中相似三角形的关系和性质1.相似三角形的斜边与高的关系：斜边越长，相似三角形的高越长；斜边越短，相似三角形的高越短。
2.相似三角形的周长和面积的关系：周长比例：相似三角形的周长与它们的边长成比例；面积比例：相似三角形的面积与它们的边长平方成比例。
3.相似三角形的位似性：相似三角形的顶点在同一个圆上；相似三角形的高、中线和角平分线相交于同一个点。
4.圆内切相似三角形的性质：内切相似三角形与外接相似三角形共圆；内切相似三角形的内切圆半径与对应边的比例相等。
5.圆的切线与切点构成的三角形与圆内相似三角形的关系：切点到两个切线的距离相等，这个距离等于切点到对应切线的点的距离；切点到圆心的距离与半径成正比。
三、圆中相似三角形的应用1.圆的测量：通过相似三角形的性质，可以利用已知条件测量圆的半径和直径；利用相似三角形的相似比例可以测量难以直接测量的圆内部距离。
2.圆的建模与设计：相似三角形可以用于对圆形对象的建模和设计，如圆形池塘、圆形花坛等。
专题十三--相似三角形定理与圆幂定理
专题十三相似三角形定理与圆幂定理本专题主要复习相似三角形的进一步认识、圆的进一步的认识．通过本专题的复习，了解平行线等分线段定理和平行截割定理；掌握相似三角形的判定定理及性质定理；理解直角三角形射影定理．理解圆周角定理及其推论；掌握圆的切线的判定定理及性质定理；理解弦切角定理及其推论．掌握相交弦定理、割线定理、切割线定理；理解圆内接四边形的性质定理与判定定理．【知识要点】1．相似三角形概念相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形是相似三角形．相似比：相似三角形对应边的比．2．相似三角形的判定如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似(简叙为：两角对应相等两三角形相似)．如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似)．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似)．3．直角三角形相似的判定定理直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．4．相似三角形的性质相似三角形对应角相等，对应边成比例．相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．相似三角形周长的比等于相似比．相似三角形的面积比等于相似比的平方．5．相关结论平行于三角形一边的直线截其他两边，截得的三角形与原三角形的对应边成比例．三角形的内角平分线分对边成两段的长度比等于夹角两边长度的比．经过梯形一腰中点而平行于底边的直线平分另一腰．梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．若一条直线截三角形的两边(或其延长线)所得对应线段成比例，则此直线与三角形的第三边平行．6．弦切角定理弦切角定义：切线与弦所夹的角．弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半．7．圆内接四边形的性质圆的内接四边形的对角互补，并且任意一个外角等于它的内对角．8．圆幂定理相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B、C、D则有PA·PB＝PC·PD．【复习要求】1．了解平行线等分线段定理和平行截割定理；掌握相似三角形的判定定理及性质定理；理解直角三角形射影定理．2．理解圆周角定理及其推论；掌握圆的切线的判定定理及性质定理；理解弦切角定理及其推论．3．掌握相交弦定理、割线定理、切割线定理；理解圆内接四边形的性质定理与判定定理．【例题分析】例1 如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，E 为AC 中点，AD ⊥BC 于D ，DE 交BA 的延长线于F ．求证：BF ∶DF ＝AB ∶AC ．【分析】欲证AFDF AC AB =，虽然四条线段可分配于△ABC 和△DFB 中，由于△ABC 和△FBD 一个是直角三角形，一个是钝角三角形，不可能由这一对三角形相似直接找到对应边而得结论，故需借助中间比牵线搭桥，易证Rt △BAC ∽Rt △BDA ，得出=AC AB AD BD ，于是只需证出ADBD AF DF =，进而须证△DFB ∽△AFD 即可． 证明：∵AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，∴Rt △ABD ∽Rt △CAD ，∠DAC ＝∠B ，∴ADBD AC AB =……① 又∵AD ⊥BC ，E 为AC 中点，∴DE ＝AE ，∠DAE ＝∠ADE ，∴∠B ＝∠ADE ，又∵∠F ＝∠F ，∴△FAD ∽△FDB ，∴DF BF AD BD =………②， 由①②得⋅=DFBF AC AB 【说明】由于△ABC 和△FBD 这两个三角形一个是直角三角形，一个是钝角三角形，明显不相似，不可能由这一对三角形相似直接找到对应边而得结论，且图中又没有相等的线段来代换，势必要找“过渡”的线段或线段比，这种寻找“中间”搭桥的线段或线段比是重要的解题技巧．此题用到直角三角形中斜边上的高这个“双垂直”的基本图形，这里有三对相似三角形，这个图形在证相似三角形中非常重要．例2 △ABC 中，∠A ＝60°，BD ，CE 是两条高，求证：BC DE 21= 【分析】欲证BC DE 21=，只须证21=BC DE ． 由已知易得21=AB AD ，于是只须证明,ABAD BC DE = 进而想到证明△ADE ∽△ABC ，这可以由21==AC AE AB AD 证得． 证明：∵∠A ＝60°，BD ，CE 是两条高，∴∠ABD ＝∠ACE ＝30° ∵AB AD 21=，AC AE 21=，∴21==AC AE AB AD ，又∠A ＝∠A ∴△ADE ∽△ABC ，∴BC DE AB AD BC DE 2121=∴==. 【说明】在判定相似三角形时，应特别注意应用“两边对应成比例且夹角相等，则两三角形相似”这条判定定理．例3 已知：如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，CE ⊥AB 于E ，AD 、EC 交于F ，求证BDFD AD CD =【分析】CD 、FD 在△FDC 中，AD 、BD 在△BDA 中，所以证△FDC 与△BDA 相似便可以得到结论．证明：∵AD ⊥BC 于D ，CE ⊥AB 于E ，∴∠ADC ＝∠ADB ＝90°，∵∠BAD ＋∠B ＝90°，∠BCE ＋∠B ＝90°，∴∠BAD ＝∠BCE ，∴△FDC ∽△BDA ， ∴⋅=BDFD AD CD 【说明】为什么找到△FDC 与△BDA 相似呢?从求证的比例式出发，“竖看”，线段CD 、AD 在△ADC 中，但线段FD 、BD 却不在一个三角形中；那么“横瞧”，CD 、FD 在△FDC ，AD 、BD 在△BDA 中，所以证△FDC 与△BDA 相似便可以得到结论．小结为“横瞧竖看分配相似三角形”．例4 如图，平行四边形ABCD ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 于F ，求证：AB ·DE ＝BC ·DF【分析】化求证的等积式为比例式：DE DF BC AB =，又因为CD ＝AB ，AD ＝BC ，即证明比例式DEDF AD CD = 证明：∵平行四边形ABCD ，∴∠C ＝∠A ，∵DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 于F ，∴∠AED ＝∠DFC ＝90°，∴△CFD ∽△AED ，∴DE DF AD CD = ∵CD ＝AB ，AD ＝BC ，∴DE DF BC AB =即AB ·DE ＝BC ·DF ． 【说明】DEDF BC AB =，“横瞧竖看”都不能分配在两个三角形中，但题中有相等的线段：CD ＝AB ，AD ＝BC 所以可横瞧竖看用相等线段代换过来的比例式：DEDF AD CD =，这个比例式中的四条线段可分配在两个相似三角形中．例5 AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠BAC ＝60°，P 是OB 上一点，过P 作AB 的垂线与AC 的延长线交于点Q ，连结OC ，过点C 作CD ⊥OC 交PQ 于点D ．(1)求证：△CDQ 是等腰三角形；(2)如果△CDQ ≌△COB ，求BP ∶PO 的值．【分析】证明△CDQ 是等腰三角形，只需证明∠DCQ ＝∠Q ，利用题目中已有的相似三角形和等腰三角形把这两个角的关系建立起来．并可以得到各边的比例关系，不妨把圆的半径设为1，简化计算．(1)证明：由已知得∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，∴∠Q ＝30°，∠BCO ＝∠ABC ＝30°．∵CD ⊥OC ，∴∠DCQ ＝∠BCO ＝30°，∴∠DCQ ＝∠Q ，∴△CDQ 是等腰三角形．(2)解：设⊙O 的半径为1，则AB ＝2，OC ＝1，.3,121===BC AB AC ∵等腰三角形CDQ 与等腰三角形COB 全等，∴CQ ＝BC ＝3．∵31+=+=CQ AC AQ ，,23121+==AQ AP ∴=-=AP AB BP 2332312-=+- 231+=-=AO AP PO 2131-=-， ∴3:=PO BP ．【说明】利用好相似三角形对应角相等的条件，进行角的转化是解题中常用的技巧． 例6 △ABC 内接于圆O ，∠BAC 的平分线交⊙O 于D 点，交⊙O 的切线BE 于F ，连结BD ，CD ．求证：(1)BD 平分∠CBE ；(2)AB ·BF ＝AF ·DC ．【分析】可根据同弧所对的圆周角及弦切角的关系推出．由条件及(1)的结论，可知BD ＝CD ，因此欲求AB ·BF ＝AF ·DC ，可求BFBD AF AB =，因此只须求△ABF ∽△BDF 即可． 证明：(1)∵∠CAD ＝∠BAD ＝∠FBD ，∠CAD ＝∠CBD ，∴∠CBD ＝∠FBD ，∴BD 平分∠CBE ．(2)在△DBF 与△BAF 中，∵∠FBD ＝∠FAB ，∠F ＝∠F ，∴△ABF ∽△BDF ，BFBD AF AB =，∴AB ·BF ＝BD ·AF ． 又∵BD ＝CD ，∴AB ·BF ＝CD ·AF ．例7 ⊙O 以等腰三角形ABC 一腰AB 为直径，它交另一腰AC 于E ，交BC 于D．求证：BC＝2DE【分析】由等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，由圆内接四边形性质可得∠B＝∠DEC，所以∠C＝∠DEC，所以DE＝CD，连结AD，可得AD⊥BC，利用等腰三角形“三线合一”性质得BC＝2CD，即BC＝2DE．证明：连结AD∵AB是⊙O直径∴AD⊥BC∵AB＝AC∴BC＝2CD，∠B＝∠C∵⊙O内接四边形ABDE∴∠B＝∠DEC(四点共圆的一个内角等于对角的外角)∴∠C＝∠DEC∴DE＝DC∴BC＝2DE例8⊙O内两弦AB，CD的延长线相交于圆外一点E，由E引AD的平行线与直线BC交于F，作切线FG，G为切点，求证：EF＝FG．【分析】由于FG切圆O于G，则有FG2＝FB·FC，因此，只要证明FE2＝FB·FC成立即可．证明：∵在△BFE与△EFC中有∠BEF ＝∠A ＝∠C ，又 ∠BFE ＝∠EFC ，∴△BFE ∽△EFC ，FEFC FB FE ，∴FE 2＝FB ·FC ． 又∵FG 2＝FB ·FC ，∴FE 2＝FG 2，∴ FE ＝FG ．习题13一、选择题1．在△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，CD ⊥AB 于D ，AB ＝a ，则DB ＝（ ）A ．4aB ．3aC ．2aD ．43a 2．如图，AD 是△ABC 高线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，则(1)AD 2＝BD ·CD (2)AD 2＝AE ·AB (3)AD 2＝AF ·AC (4)AD 2＝AC 2－AC ·CF 中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是半圆的三等分点，则∠C ＋∠E ＋∠D ＝( )A ．135°B ．110°C ．145°D ．120°4．如图，以等腰三角形的腰为直径作圆，交底边于D ，连结AD ，那么( )A ．∠BAD ＋∠CAD ＝90°B ．∠BAD ＞∠CADC ．∠BAD ＝∠CADD ．∠BAD ＜∠CAD二、填空题 5．在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，AB ＝2，DB ＝1，则DC ＝______，AD＝______．6．在Rt △ABC 中，AD 为斜边上的高，S △ABC ＝4S △ABD ，则AB ∶BC ＝______．7．如图，AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆上，CD ⊥AB 于点D ，且AD ＝3DB ，设∠COD ＝，则tan 22______．8．如图，AB 是⊙O 的直径，CB 切⊙O 与B ，CD 切⊙O 与D ，交BA 的延长线于E ．若AB ＝3，ED ＝2，则BC 的长为______．三、解答题9．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，⊙O 为内切圆，E 为切点，(Ⅰ)求∠AOD的度数；(Ⅱ)若AO＝8 cm，DO＝6 cm，求OE的长．10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D．(1)求证：BC是⊙O切线；(2)若BD＝5，DC＝3，求AC的长．11．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连结AC、OC、BC．(1)求证：∠ACO ＝∠BCD ；(2)若BE ＝2，CD ＝8，求AB 和AC 的长．专题十三 相似三角形定理与圆幂定理参考答案习题13一、选择题：1．A 2．C 3．D 4．C二、填空题5．3,3 6．1∶2 7．31 8．3 三、解答题9．(Ⅰ)∵AB ∥CD ，∴∠BAD ＋∠ADC ＝180°.∵⊙O 内切于梯形ABCD ， ∴AO 平分∠BAD ，有∠DAO ＝21∠BAD ， 又DO 平分∠ADC ，有∠ADO ＝21∠ADC ． ∴∠DAO ＋∠ADO ＝21(∠BAD ＋∠ADC )＝90°，∴∠AOD ＝180°－(∠DAO ＋∠ADO )＝90°．(Ⅱ)∵在Rt △AOD 中，AO ＝8cm ，DO ＝6cm ， ∴由勾股定理，得.cm 1022=+DO AO∵E 为切点，∴OE ⊥AD ．有∠AEO ＝90°，∴∠AEO ＝∠AOD ．又∠CAD 为公共角，∴△AEO ∽△AOD ． ∴cm 8.4,==∴=⋅ADOD AO OE AD AO OD OE . 10．(1)连接OD ．∵OA ＝OD ，AD 平分∠BAC ，∴∠ODA ＝∠OAD ，∠OAD ＝∠CAD ．∴∠ODA ＝∠CAD ．∴OD ∥AC ．∴∠ODB ＝∠C ＝90°．∴BC 是⊙O 的切线．(2)过D 作DE ⊥AB 于E ．∴∠AED ＝∠C ＝90°．又∵AD ＝AD ，∠EAD ＝∠CAD ，∴△AED ≌△ACD ．∴AE ＝AC ，DE ＝DC ＝3．在Rt △BED 中，∠BED ＝90°，由勾股定理，得422=-=DE BD BE ，设AC ＝x (x ＞0)，则AE ＝x ．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝BD ＋DC ＝8，AB ＝x ＋4，由勾股定理，得 x 2＋82＝(x ＋4)2．解得x ＝6．即AC ＝6．11．(1)连结BD ，∵AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，∴＝．∴∠1＝∠2．又∵OA ＝OC ，∴∠1＝∠A ．∴∠1＝∠2．即：∠ACO ＝∠BCD ．(2)由(1)问可知，∠A ＝∠2，∠AEC ＝∠CEB ．∴△ACE ∽△CBE ．∴CEAE BE CE =．∴CE 2＝BE ·AE ． 又CD ＝8，∴CE ＝DE ＝4．∴AE ＝8．∴AB ＝10．∴AC ＝.548022==+CE AE。
圆与相似三角形相关的证明题
圆与相似三角形相关的证明题1. 在图中，已知PC=PD，PD切圆O于D，PB交圆O于A，连结AC和BC。
要证明AC·PB=PC·BC。
证明：由于PD是圆O的切线，所以∠PDC=∠ACB。
又因为PC=PD，所以∠PCD=∠PDC。
因此，∠ACB=∠PCD。
又因为∠BCP=∠PBD，所以三角形PBD和PBC相似。
因此，PB·PC=PD2。
由于三角形ACD和BDC相似，所以AC·BD=CD2。
将BD替换为PD+PC，得到AC·(PD+PC)=CD2，即AC·PB=PC·BC。
因此，原命题成立。
2. 在图中，已知AB∥CD，DC延长线交EB延长线于F，EB与圆O相交于F，DF交圆O于G。
要证明AD·ED=BE·DF。
证明：由于AB∥CD，所以∠___∠EAD。
又因为EB是圆O的切线，所以∠___∠EDF。
因此，∠___∠EAD。
又因为AB是圆O的直径，所以∠EAB=90°。
因此，三角形EAB和EDF相似。
因此，AD·ED=BE·DF。
因此，原命题成立。
3. 在图中，___于P，PE⊥AB于E，AC⊥CD，BD⊥CD。
要证明①PE：AC=PB：PA，②PE2=AC·BD。
证明：①由于PE⊥AB，所以∠APE=90°。
又因为AC⊥CD，所以∠ACP=90°。
因此，∠APE=∠ACP。
又因为∠APB=90°，所以三角形APE和APB相似。
因此，PE：AC=PB：PA。
②由于PE⊥AB，所以∠APE=90°。
又因为BD⊥CD，所以∠___°。
因此，四边形AEPD和BEPC是直角四边形。
因此，PE2=AE2-AP2=AC·BD。
因此，原命题成立。
4. 在图中，ABC是内接于圆O的三角形，BD是圆O的直径，AF⊥BD于F，AF延长线与BC交于G。
相似三角形与圆的关系
相似三角形与圆的关系相似三角形与圆的关系是几何学中十分重要的一个概念。
在这篇文章里，我们将探讨相似三角形与圆之间的关联以及应用。
一、相似三角形的基本概念相似三角形指的是具有相同形状但尺寸不同的三角形。
其特点是对应角相等，对应边成比例。
我们用符号"∼"表示相似关系。
例如，三角形ABC与三角形DEF在形状上相似可以表示为：△ABC∼△DEF。
二、相似三角形与圆的内切关系当一个圆完全内切于一个三角形时，这个三角形与圆的关系是非常特殊的。
我们把这个圆称为三角形的内切圆。
内切圆与三角形的三边都相切，且各切点处的切线互相垂直。
三、相似三角形与圆的外切关系与内切圆相反，当一个三角形完全外切于一个圆时，这个圆称为三角形的外切圆。
外切圆与三角形的三边都有公切线，且切线相交于圆的圆心。
四、相似三角形与圆的面积关系利用相似三角形的性质，我们可以推导出相似三角形与圆的面积关系。
假设有两个相似的三角形，它们的对应边长比为k，那么它们的面积比就是k的平方。
同样地，如果一个小三角形与一个大三角形相似，那么它们的面积比就是两个三角形对应边长的比的平方。
五、相似三角形与圆的应用相似三角形与圆的关系在实际生活中有许多应用。
例如，通过利用相似三角形的特性，我们可以测量无法直接获取的高度，如高楼或者山脉。
通过测量一个影子与其高度的比例，利用相似三角形原理可以得到物体的实际高度。
此外，在工程设计中，相似三角形与圆的关系也有实际应用。
例如，在建筑设计中，我们可以利用相似三角形的性质来计算建筑物的比例。
圆的外切或内切关系也可以用于定位和绘图。
总结：相似三角形与圆的关系是几何学中重要的一个主题。
通过了解相似三角形的基本概念、内切关系和外切关系，我们可以更好地理解相似三角形与圆的联系。
此外，相似三角形与圆的面积关系以及实际应用也是我们需要探索和学习的内容。
相似三角形的研究对于几何学的发展具有重要的意义，并在实际中有广泛的应用。
圆和相似三角形的几何模型
圆和相似三角形的几何模型1.引言1.1 概述概述部分的内容可以如下所示：引言圆和相似三角形是几何学中重要的概念，它们在数学和实际应用中都有广泛的应用。
本文将探讨圆和相似三角形的几何模型，旨在深入研究它们的定义、性质以及构建方法。
本文的结构本文分为三个主要部分：引言、正文和结论。
引言部分将首先介绍圆和相似三角形的几何模型的重要性和应用领域。
接着，我们将详细说明本文将讨论的内容和结构，以帮助读者更好地理解本文的内容。
正文部分将分为两个章节，分别探讨圆的几何模型和相似三角形的几何模型。
在这些章节中，我们将介绍圆和相似三角形的基本定义和性质，以及它们在实际应用中的重要性和常见的构建方法。
这些内容将有助于读者更好地理解和应用圆和相似三角形的几何模型。
结论部分将总结圆和相似三角形的几何模型的重要性和应用价值。
我们将展望未来进一步研究的方向和可能的发展，以期推动几何学领域的进一步发展和应用。
本文的目的本文的目的是探讨圆和相似三角形的几何模型，并介绍它们在数学和实际应用中的重要性。
通过深入研究它们的定义、性质和构建方法，我们将能够更好地理解和应用这些几何模型，从而为解决实际问题和推动学科发展提供更多的思路和方法。
我们相信，通过阅读本文，读者将对圆和相似三角形的几何模型有更全面的认识，并能够在实际应用中灵活运用它们。
在未来的研究中，我们也希望能够进一步探索这些几何模型的更多应用领域，为几何学的发展做出更大的贡献。
1.2文章结构1.2 文章结构本文共分为三个章节，分别介绍了圆的几何模型和相似三角形的几何模型。
接下来将详细说明每个章节的目的和要点。
2.1 圆的几何模型在这一章节中，我们将详细介绍圆的基本定义和性质。
首先解释了什么是圆，并探讨了圆的几何特征和相关概念，比如圆心、半径和直径。
接着，我们将讨论圆的应用领域，例如在建筑设计中的使用，以及如何构建圆的几何模型。
2.2 相似三角形的几何模型在这一章节中，我们将详细介绍相似三角形的基本定义和性质。
第20讲圆与相似三角形的结合复习课件(共38张PPT)
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圆与类似三角形的综合运用 (1)证明圆的切线的常用辅助线是作过切点的半径，证明 直线与这条半径垂直； (2)运用切线的性质时，常连结切点和圆心．
CD＝235.
又∵CF＝FD，∴CF＝12CD＝12×235＝265，
∴EF＝CF－CE＝265－3＝76，
7
∴在 Rt△AFE 中，sin∠EAF＝EAFE＝63＝178.
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2．如图6－20－4，在△ABC中，BA＝ BC，以AB为直径作半圆O，交AC于点D.连 结DB，过点D作DE⊥BC，垂足为点E.
∴AD＝3，BD＝
3.∴B2E＝
33，∴BE＝23
3 .
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(3)如答图②，当 E 与 A 重合时，∵AB 是直径，AD⊥CD， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴C，D，B 共线．
∵AC⊥AB，∴在 Rt△ABC 中，AB＝2 3，AC＝2， ∴tan∠ABC＝AACB＝ 33，∴∠ABC＝30°， ∴α＝∠DAB＝90°－∠ABC＝60°， 当E′在BA的延长线上时，可得∠D′AB>∠DAB＝60°， ∵0°<α<90°，∴α的取值范围是60°<α<90°.
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判定圆中的类似三角形 例1 如图6－20－1，AC是⊙O的直径， 弦BD交AC于点E. (1)求证：△ADE∽△BCE； (2)如果AD2＝AE•AC，求证：CD＝CB.
相似三角形四点共圆条件
相似三角形四点共圆条件哎呀，今天咱们聊聊一个有趣的话题，叫做“相似三角形四点共圆条件”。
听起来是不是有点复杂？别担心，咱们就把它简单化，轻松聊聊。
想象一下，你和朋友在公园里玩三角形拼图，突然你发现这三角形不仅好看，而且有个神奇的特性，那就是如果这三个三角形是相似的，那么它们的四个顶点竟然可以在同一个圆上，这可是个了不起的事情呢！先说说什么叫相似三角形。
其实就是那些形状一样但大小不同的三角形，比如你把一块比萨饼切得小一点，再切得小一点，这不就是相似三角形吗？无论你怎么缩放，这些小三角形和原来的大三角形都是“心有灵犀”的，形状上绝对不打架。
你知道吗？数学界可是很喜欢这种“心有灵犀”的关系，没事就爱研究。
然后啊，咱们再说说四点共圆条件。
这听起来就像是个数学的魔法。
想象一下，在一个圆圈里，有四个小朋友，他们拉着手，围成一个大圈，哈哈，是不是感觉特别温馨？四点共圆的意思就是，四个点能够同时在一个圆上，形成一种神奇的联系。
这个时候，你可能会想，这些点是怎么凑到一起的呢？关键就在于这些点之间的角度关系。
咱们进入核心。
你想啊，如果四个点都可以在一个圆上，那么它们之间的角度就得有个特殊的关系，才能让它们手拉手不散架。
这就需要满足一种条件：那就是如果一个三角形的内角和另一个三角形的内角相等，那么这四个点就可以共圆了。
简单说，就是这几个三角形之间的比例关系得好，才能齐心协力，找到同一个圆圈。
就像好朋友一起去旅游，得有个统一的计划，才能玩的开心！数学里还有个有趣的现象，就是这些相似三角形如果在一起聚会，它们的边长比也是一致的。
就像一群身高不一的朋友，只要他们之间的比例相同，不管个子高矮，都能一起玩得不亦乐乎！这种感觉太赞了，几何也变得生动有趣起来。
咱们可以用这个条件来推导出各种各样的结果，就像解谜一样，越解越上瘾。
你可能会好奇，这有什么实际应用呢？很多设计、建筑都离不开这个原理。
就像设计师在画图的时候，常常用相似三角形来确保结构的稳固。
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因点动产生特殊三角形
例如：直角三角形 等腰三角形
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm, 点P由点A出发，沿AC向C匀速运动，速度为1 cm/s，同时 点Q由点B出发，沿AB向A匀速运动，速度为2cm/s， 连接PQ，求经过多少秒时，△AQP与△ABC相似？
A Q Q B P C
A
P
B
C
等 腰 三 角 形
如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6， D、E分别是边AB、AC上的两个动点（D不 与A、B重合），且保持DE//BC，以DE为边, 在点A的异侧作正方形DEFG。 （1）请用含有x的代数式表示DE （2）设AD=x，当△BDG是等腰三角形时， 请求出AD的长。
等 腰 三 角 形
动点问题综合题解题思路小结：
• 动点产生等腰三角形一般要进行分类， 在分类讨论的过程中要找到分类的标 准，要做到不重不漏 • 在解决等腰三角形问题时注意与等腰 三角形的性质相联系，特别是“三线 合一” • 相似三角形的判定、勾股定理可以帮 助我们
因点动产生 相切 关系源自• 如图，在坐标系xOy中，已知矩形OACD，其中C（5，4）， B（3，0），有一个动点P从O点出发， 沿x轴以每秒1个单位长度的速度向 左运动，运动时间为t秒． 若以点P为圆心，PO的长为半径的 ⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与 △BCD的边（或边所在的直线） 相切时，求t的值．