精选-高考数学二轮复习专题三不等式第2讲基本不等式与线性规划学案

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[精品]2019高考数学二轮复习专题三不等式第2讲线性规划与基本不等式学案

第2讲线性规划与基本不等式[考情考向分析] 1.线性规划的要求是A 级，主要考查线性目标函数在给定区域上的最值.2.基本不等式是江苏考试说明中的C 级内容，高考会重点考查．主要考查运用基本不等式求最值及其在实际问题中的运用，试题难度中档以上．热点一简单的线性规划问题例1 (1)(2017·全国Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0，则z ＝3x －2y 的最小值为________．答案－5解析作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，由z ＝3x －2y 得y ＝32x －z 2，求z 的最小值，即求直线y ＝32x －z 2在y 轴上的截距的最大值，当直线y ＝32x －z2过图中点A 时，其在y 轴上的截距最大，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝－1，x ＋2y ＝1解得A 点坐标为(－1,1)，此时z ＝3×(－1)－2×1＝－5.(2)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x －1，x ≤3，x ＋y ≥2，则yx的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，23 解析不等式组对应的平面区域是以点(3，－1)，(3,2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12为顶点的三角形及其内部，设z ＝y x ，则z 表示平面区域内的点与原点连线所在直线的斜率，则当z ＝y x 经过(3，－1)时取得最小值－13，经过点(3,2)时取得最大值23，故y x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，23.思维升华线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想．需要注意的是：画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较；一般情况下，目标函数的最值会在可行域的端点或边界上取得．跟踪演练1 (1)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，若目标函数z ＝ax ＋y 的最小值为－2，则a ＝________. 答案－2解析约束条件对应的可行域是以点(1,1)，(1,3)和(2,2)为顶点的三角形及其内部．当a ≥－1时，当目标函数所在直线y ＝－ax ＋z 经过点(1,1)时，z 取得最小值，则z min ＝a ＋1＝－2，即a ＝－3(舍去)；当a <－1时，当目标函数所在直线y ＝－ax ＋z 经过点(2,2)时，z 取得最小值，则z min ＝2a ＋2＝－2，即a ＝－2，符合题意，故a ＝－2. (2)甲、乙两种食物的维生素含量如下表：分别取这两种食物若干并混合，且使混合物中维生素A ，B 的含量分别不低于100,120单位，则混合物重量的最小值为________ kg. 答案 30解析设甲食物重x kg ，乙食物重y kg ，∵维生素A ，B 的含量分别不低于100,120单位，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ≥100，5x ＋2y ≥120，x ＞0，y ＞0，由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝100，5x ＋2y ＝120，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝20，y ＝10，A (20,10)，混合物重z ＝x ＋y ，平移直线z ＝x ＋y ，由图知，当直线过A (20,10)时，z 取最小值为20＋10＝30. 热点二利用基本不等式求最值例2 (1)(2018·苏北六市模拟)已知a ，b ，c 均为正数，且abc ＝4(a ＋b )，则a ＋b ＋c 的最小值为________．答案 8解析 ∵abc ＝4(a ＋b )， ∴c ＝4()a ＋b ab，∴a ＋b ＋c ＝a ＋b ＋4()a ＋b ab ＝a ＋b ＋4b ＋4a≥2a ·4a＋2b ·4b＝4＋4＝8.(当且仅当a ＝b ＝2时，等号成立) (2)设△ABC 的BC 边上的高AD ＝BC ，a ，b ，c 分别表示角A ，B ，C 对应的三边，则b c＋c b的取值范围是____________________．答案 [2，5]解析因为BC 边上的高AD ＝BC ＝a ，所以S △ABC ＝12a 2＝12bc ·sin A ，所以sin A ＝a 2bc.又因为cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫b c ＋c b －a 2bc ，所以b c ＋cb ＝2cos A ＋sin A ≤5，同时b c ＋c b ≥2(当且仅当b ＝c 时，等号成立)，所以b c ＋c b∈[2，5]．思维升华用基本不等式求函数的最值，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值．在求条件最值时，一种方法是消元，转化为函数最值；另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一个定值，但无论哪种方法在用基本不等式解题时都必须验证等号成立的条件．跟踪演练2 (1)设a ，b ＞0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为________．答案 3 2解析 ∵a ，b ＞0，a ＋b ＝5，∴(a ＋1＋b ＋3)2＝a ＋b ＋4＋2a ＋1b ＋3≤a ＋b ＋4＋(a ＋1)2＋(b ＋3)2＝a ＋b ＋4＋a ＋b ＋4＝18，当且仅当a ＝72，b ＝32时，等号成立，则a ＋1＋b ＋3≤32，即a ＋1＋b ＋3最大值为3 2.(2)(2018·兴化三校联考)已知函数f (x )＝e x－e －x＋x 3＋3x ，若正数a ，b 满足f (2a －1)＋f (b －1)＝0，则2a 2a ＋1＋b 2＋1b的最小值为________．答案 94解析由题意得f (－x )＝－f (x )，且f (x )为单调增函数，最多有一个零点，所以f (2a －1)＋f (b －1)＝0，即f (2a －1)＝－f (b －1)，所以2a －1＝1－b ，即 2a ＋b ＝2，所以 2a 2a ＋1＋b 2＋1b ＝2()a ＋12－4()a ＋1＋2a ＋1＋b ＋1b＝2()a ＋1＋b ＋2a ＋1＋1b －4＝2a ＋1＋1b. 又2a ＋1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1＋1b []2()a ＋1＋b ×14＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1＋2b a ＋1＋2()a ＋1b ≥94，当且仅当a ＝13，b ＝43时取等号．所以2a 2a ＋1＋b 2＋1b 的最小值为94.热点三基本不等式的实际运用例3 (2018·苏州期末)如图，长方形材料ABCD 中，已知AB ＝23，AD ＝4.点P 为材料ABCD 内部一点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AD 于F ，且PE ＝1，PF ＝ 3.现要在长方形材料ABCD 中裁剪出四边形材料AMPN ，满足∠MPN ＝150°，点M ，N 分别在边AB ，AD 上．(1)设∠FPN ＝θ，试将四边形材料AMPN 的面积表示为θ的函数，并指明θ的取值范围； (2)试确定点N 在AD 上的位置，使得四边形材料AMPN 的面积S 最小，并求出其最小值．解 (1)在Rt△NFP 中，因为PF ＝3，∠FPN ＝θ，所以NF ＝3tan θ，所以S △NAP ＝12NA ·PF ＝12()1＋3tan θ×3，在Rt△MEP 中，因为PE ＝1，∠EPM ＝π3－θ，所以ME ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ，所以S △AMP ＝12AM ·PE ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ×1，所以S ＝S △NAP ＋S △AMP ＝32tan θ＋12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＋3，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.(2)因为S ＝32tan θ＋12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＋ 3令t ＝1＋3tan θ，由θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，得t ∈[]1，4，所以S ＝3＋3t 2－4t ＋423t＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋43t ＋33 ≥32×2×t ×43t ＋33＝2＋33，当且仅当t ＝43t ，即t ＝233时，即tan θ＝2－33时等号成立，此时，AN ＝233，S min ＝2＋33.答案当AN ＝233时，四边形材料AMPN 的面积S 最小，最小值为2＋33.思维升华利用基本不等式求解实际应用题的方法(1)解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型．(2)注意当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．跟踪演练3 一批救灾物资随26辆汽车从某市以v km/h 的速度匀速直达400 km 外的灾区，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202km ，则这批物资全部运送到灾区最少需____ h. 答案 10解析时间最短，则两车之间的间距最小，且要安全，则时间t ＝400＋25×⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202v ＝400v ＋25v400≥225＝10，当且仅当v ＝80时等号成立．1．(2017·江苏)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．答案 30解析一年的总运费为6×600x ＝3 600x(万元)，一年的总存储费用为4x 万元，总运费与总存储费用的和为⎝ ⎛⎭⎪⎫3 600x ＋4x 万元．因为3 600x＋4x ≥23 600x·4x ＝240，当且仅当3 600x＝4x ，即x ＝30时取得等号，所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．2．(2018·江苏)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________．答案 9解析方法一如图，∵S △ABC ＝S △ABD ＋S △BCD ，∴12ac ·sin 120°＝12c ×1×sin 60°＋ 12a ×1×sin 60°， ∴ac ＝a ＋c ，∴1a ＋1c＝1.∴4a ＋c ＝(4a ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c ＝c a＋4ac＋5≥2c a ·4ac＋5＝9. 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋1c ＝1，c a ＝4ac ，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝3，a ＝32时取等号．方法二如图，以B 为原点，BD 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则D (1,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，－32c ，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，32a .又A ，D ，C 三点共线， ∴c2－1－32c ＝a2－132a ，∴ac ＝a ＋c .以下同方法一．3．已知正实数x ，y 满足向量a ＝(x ＋y,2)，b ＝(xy －2,1)共线，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，32，且a ·(a －c )≥0恒成立，则实数m的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，174 解析由a ＝(x ＋y,2)，b ＝(xy －2,1)共线得 x ＋y ＝2(xy －2)，则x ＋y ＋4＝2xy ≤(x ＋y )22，即(x ＋y )2－2(x ＋y )－8≥0，当且仅当x ＝y 时等号成立．又由x ，y 是正实数，得x ＋y ≥4. 不等式a ·(a －c )≥0，即a 2≥a ·c ，所以(x ＋y )2＋4≥m (x ＋y )＋3，即(x ＋y )2－m (x ＋y )＋1≥0，令x ＋y ＝t ，t ≥4，则t 2－mt ＋1≥0，t ∈[4，＋∞)(*)恒成立．对于方程t 2－mt ＋1＝0，当Δ＝m 2－4≤0，即－2≤m ≤2时，(*)恒成立；当m <－2时，相应二次函数y ＝t 2－mt ＋1的对称轴t ＝m2<－1，(*)恒成立；当m >2时，由相应二次函数y ＝t 2－mt ＋1的对称轴t ＝m 2<4，且16－4m ＋1≥0，得2<m ≤174.综上可得，当m ≤174时，(*)恒成立，则实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，174.4．某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，则仓库面积S 的最大允许值是________平方米．答案 100解析设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，则顶部面积为S ＝xy ，依题意得40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式得3 200≥240x ×90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ＝120S ＋20S .所以S ＋6S －160≤0，即(S －10)(S ＋16)≤0，故0<S ≤10，从而0<S ≤100，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧40x ＝90y ，xy ＝100，即x ＝15，y ＝203时等号成立．所以S 的最大允许值是100平方米．A 组专题通关1．(2018·江苏无锡一中期末)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥0，则z ＝9x ·3y的最大值是________．答案 27解析由题意得z ＝9x·3y＝32x·3y ＝32x ＋y.不等式组对应的可行域如图所示的△OAB 及其内部，设u ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋u ，当直线y ＝－2x ＋u 经过点A (1,1)时，直线在y 轴上的截距最大，u max ＝2×1＋1＝3，所以z max ＝33＝27.2．(2018·连云港期末)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，y ≤3，x －y ＋1≤0，则z ＝x 2＋y 2的最小值为________．答案 12解析先根据实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，y ≤3，x －y ＋1≤0，画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，z ＝x 2＋y 2表示可行域内点到原点的距离的平方，由图可知，z ＝x 2＋y 2的最小值就是直线x －y ＋1＝0与原点的距离的平方，所以最小值为⎝⎛⎭⎪⎫|0－0＋1|22＝12. 3．已知x >1，则函数y ＝2x ＋42x －1的最小值为________．答案 5解析 ∵x >1，∴2x －1>0， ∴y ＝2x －1＋42x －1＋1≥2(2x －1)·42x －1＋1＝5，当且仅当2x －1＝42x －1，即x ＝32时，等号成立．4．(2018·常州期末)各项均为正数的等比数列{}a n 中，若a 2a 3a 4＝a 2＋a 3＋a 4，则a 3的最小值为________．答案3解析因为{}a n 是各项均为正数的等比数列，且a 2a 3a 4＝a 2＋a 3＋a 4，所以a 33－a 3＝a 2＋a 4，则a 33－a 3＝a 2＋a 4≥2a 2a 4＝2a 3，(当且仅当a 2＝a 4，即数列{a n }为正数常数列时取等号)即()a 23－3a 3≥0，即a 23≥3，a 3≥3，即a 3的最小值为3.5．若点A (m ，n )在第一象限，且在直线x 3＋y4＝1上，则mn 的最大值是________．答案 3解析点A (m ，n )在第一象限，且在直线x 3＋y4＝1上，所以m ，n ＞0，且m 3＋n4＝1，所以m 3·n 4≤⎝⎛⎭⎪⎪⎫m 3＋n 422，⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当m 3＝n 4＝12，即m ＝32，n ＝2时，取“＝”，所以m 3·n 4≤⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，即mn ≤3，所以mn 的最大值为3.6．设P 是函数y ＝x (x ＋1)图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2 解析因为y ′＝12x (x ＋1)＋x ＝3x ＋12x＝32x ＋12x≥232x ·12x＝3，当且仅当32x ＝12x ，即x ＝13时“＝”成立．所以切线的斜率k ＝tan θ≥3，又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2.7．已知正数a ，b ，满足1a ＋9b＝ab －5，则ab 的最小值为________．答案 36解析 ∵正数a ，b 满足1a ＋9b＝ab －5，∴ab －5≥21a ×9b，化为(ab )2－5ab －6≥0，解得ab ≥6，当且仅当1a ＝9b ，1a ＋9b＝ab －5，即a ＝2，b ＝18时取等号，解得ab ≥36.8．(2018·扬州期末)已知正实数x ，y 满足x ＋y ＝xy ，则3x x －1＋2y y －1的最小值为________．答案 5＋2 6解析正实数x ，y 满足x ＋y ＝xy ，1x ＋1y＝1，3x x －1＋2y y －1＝31－1x ＋21－1y，故得到3x x －1＋2y y －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫31－1x＋21－1y ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝5＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1y 1－1x ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 1－1y≥5＋26，等号成立的条件为1－1x ＝1－1y，即x ＝y ＝2.9．若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________．答案6－24解析由sin A ＋2sin B ＝2sin C ，又由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－(a ＋2b )242ab ＝34a 2＋12b 2－2ab 22ab ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫34a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 2－2ab 22ab＝6－24，当且仅当34a 2＝b 22时等号成立，故6－24≤cos C <1，故cos C 的最小值为6－24. 10．某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建造宿舍的费用与宿舍到工厂的距离有关．若建造宿舍的所有费用p (万元)和宿舍与工厂的距离x (km)的关系式为p ＝k 3x ＋5(0≤x ≤8)，若距离为1 km 时，测算宿舍建造费用为100万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每千米的成本为6万元．设f (x )为建造宿舍与修路费用之和．(1)求f (x )的表达式； (2)宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f (x )最小，并求最小值．解 (1)根据题意得100＝k3×1＋5，所以k ＝800，故f (x )＝8003x ＋5＋5＋6x (0≤x ≤8)． (2)因为f (x )＝8003x ＋5＋2(3x ＋5)－5≥80－5＝75，当且仅当8003x ＋5＝2(3x ＋5)，即当x ＝5时f (x )min ＝75. 所以宿舍应建在离工厂5 km 处，可使总费用f (x )最小，最小为75万元．B 组能力提高11．已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则(a ＋b )2cd的最小值为________．答案 4解析由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝x ＋y ，cd ＝xy ，所以(a ＋b )2cd ＝(x ＋y )2xy ＝x 2＋y 2＋2xy xy＝x 2＋y 2xy＋2≥2＋2＝4，当且仅当x ＝y 时，等号成立．12．已知二次函数f (x )＝ax 2－x ＋c (x ∈R )的值域为[0，＋∞)，则c ＋2a ＋a ＋2c 的最小值为________．答案 10解析由f (x )的值域为[0，＋∞)可知该二次函数的图象开口向上，且函数的最小值为0，因此有4ac －14a ＝0，从而c ＝14a>0，所以c ＋2a ＋a ＋2c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋8a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2＋4a 2≥2×4＋2＝10，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝8a ，14a 2＝4a 2，即a ＝12时取等号．故所求的最小值为10.13．(2018·江苏如东高级中学等五校联考)已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，则(a 2＋b 2＋c 2)2＋52bc ＋ac的最小值为________．答案 4 解析 a 2＋b 2＋c 2＝⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋15c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋45c 2 ≥25ac ＋45bc ，即ac ＋2bc ≤52()a 2＋b 2＋c 2，当且仅当a ＝c 5，b ＝2c 5时等号成立，则()a 2＋b 2＋c 22＋5ac ＋2bc ≥()a 2＋b 2＋c 22＋552()a 2＋b 2＋c 2 ≥25()a 2＋b 2＋c 252()a 2＋b 2＋c 2＝4(经验证两次等号可同时取得)，所以 ()a 2＋b 2＋c 22＋52bc ＋ac 的最小值为4.14．已知函数f (x )＝|x －2|.(1)解不等式f (x )＋f (2x ＋1)≥6；(2)已知a ＋b ＝1(a ，b ＞0)，且对于∀x ∈R ，f (x －m )－f (－x )≤4a ＋1b恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)f (x )＋f (2x ＋1)＝|x －2|＋|2x －1|精品试卷＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3－3x ，x ＜12，x ＋1，12≤x ≤2，3x －3，x ＞2，当x <12时，由3－3x ≥6，解得x ≤－1；当12≤x ≤2时，x ＋1≥6不成立；当x ＞2时，由3x －3≥6，解得x ≥3. ∴不等式的解集为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．(2)∵a ＋b ＝1(a ，b ＞0)， ∴4a ＋1b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b ＝5＋4b a ＋a b ≥5＋24b a ·ab ＝9，当且仅当a ＝23，b ＝13时等号成立，∴对于∀x ∈R ，f (x －m )－f (－x )≤4a ＋1b 恒成立等价于对∀x ∈R ，|x －2－m |－|－x －2|≤9，即[|x －2－m |－|－x －2|]max ≤9，∵|x －2－m |－|－x －2|≤|(x －2－m )－(x ＋2)| ＝|－4－m |，∴－9≤m ＋4≤9，∴－13≤m ≤5.。

高考数学文(二轮复习)课件《不等式与线性规划》

2．解不等式的四种策略 (1) 解一元二次不等式的策略：先化为一般形式 ax2 ＋ bx ＋ c>0(a>0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集． (2)解简单的分式不等式的策略：将不等式一边化为 0，再将不等式等价转化为整式不等式(组)求解． (3)解含指、对数不等式的策略：利用指、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解． (4)解含参数不等式的策略：根据题意确定参数分类的标准，依次讨论求解．
2．(2014· 全国新课标Ⅱ)设集合 M＝{0,1,2}，N＝{x|x2－3x＋ 2≤0}，则 M∩N＝( A．{1} C．{0,1} ) B．{2} D．{1,2}
答案：D
解析：N＝{x|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，又 M＝{0,1,2}，所以 M∩N＝{1,2}．故选 D.
基础记忆
试做真题
基础要记牢,真题须做熟
基础知识不“背死” ，就不能“用活” ！ 1．牢记四类不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法．先化为一般形式 ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与 x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． (2)简单分式不等式的解法．
a＋b 2 (4)ab≤ 2 (a，b∈R)．
(5)
a2＋b2 a＋b ≥ ≥ ab(a>0，b>0)． 2 2
3．快速判断二元一次不等式表示的平面区域
不等式 B>0 Ax＋By＋ C>0 Ax＋By＋ C<0
区域 B<0
直线 Ax＋By 直线 Ax＋By＋＋C＝0 上方 C＝0 下方
不等式与线性规划

高三数学二轮复习专题一第三讲不等式、线性规划、计数原理与二项式定理教案理

第三讲不等式、线性规划、计数原理与二项式定理研热点（聚焦突破）类型一不等式的性质与解法1．不等式的同向可加性a b a c b d c d >⎫⇒+>+⎬>⎭2．不等式的同向可乘性00a b ac bd c d >>⎫⇒>⎬>>⎭3．不等式的解法一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(或<0)．若Δ>0，其解集可简记为：同号两根之外，异号两根之间．[例1] (1)(2012年高考湖南卷)设a >b >1，c <0，给出下列三个结论：① c a >cb；②a c <b c ；③log b (a －c )>log a (b －c )．其中所有的正确结论的序号是( ) A ．① B ．①② C ．②③ D ．①②③(2)(2012年高考江苏卷)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________． [解析] (1)根据不等式的性质构造函数求解．∵a >b >1，∴1a <1b. 又c <0，∴ ca > cb ，故①正确．构造函数y ＝x c .∵c <0，∴y ＝x c 在(0，＋∞)上是减函数．又a >b >1，∴a c <b c ，故②正确． ∵a >b >1，－c >0，∴a －c >b －c >1. ∵a >b >1，∴log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，即log b (a －c )>log a (b －c )，故③正确．(2)通过值域求a ，b 的关系是关键．由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝(x ＋a 2)2＋b －a 24.∵f (x )的值域为[0，＋∞)，∴b －a 24＝0，即b ＝a 24. ∴f (x )＝(x ＋a 2)2.又∵f (x )<c ，∴(x ＋a2)2<c ，即－a 2－c <x <－a2＋c .∴262ac m a c m ⎧--=⎪⎪⎨⎪-+=+⎪⎩ 解得 26c =， ∴9c = [答案] (1)D (2)9跟踪训练(2012年高考福建卷)已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：利用“三个二次”之间的关系． ∵x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立， ∴Δ＝a 2－4×2a <0， ∴0<a <8.答案：(0，8) 类型二线性规划求目标函数最值的一般步骤 (1)作出可行域；(2)借助图形确定函数最值的取值位置，并求最值．[例2] (2012年高考课标全国卷)已知正三角形ABC 的顶点A (1，1)，B (1，3)，顶点C 在第一象限，若点(x ，y )在△ABC 内部，则z ＝－x ＋y 的取值范围是( )A．(1－3，2)B．(0，2)C．(3－1，2) D．(0，1＋3)[解析]利用线性规划知识，求解目标函数的取值范围．如图，根据题意得C(1＋3，2)．作直线－x＋y＝0，并向左上或右下平移，过点B(1，3)和C(1＋3，2)时，z＝－x＋y取范围的边界值，即－(1＋3)＋2<z<－1＋3，∴1－3<z<2.∴z＝－x＋y的取值范围是(1－3，2)．[答案] A跟踪训练(2012年泰安高三模考)设变量x，y满足约束条件4312xyx y≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则z＝11yx++的取值范围是() A．[0，4] B．[14，5]C ．[54，6] D ．[2，10]解析：11y x ++表示过点(x ，y )与点(－1，－1)的直线的斜率．根据题意，作出可行域，如图所示，由图知11y x ++的最小值是101134--=--，最大值是14510--=--，故选B. 答案：B类型三均值不等式的应用 1. 222a b ab +≥（,a b ∈R ） 2.2a bab +≥（,a b ∈R +） 3. 22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（,a b ∈R ）4.22222a b a b abab a b++≥≥≥+（,a b ∈R +） [例3] (2012年高考浙江卷)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A. 245 B.285 C ．5 D ．6[解析] 将已知条件进行转化，利用基本不等式求解．∵x >0，y >0，由x ＋3y ＝5xy 得15(1y ＋3x )＝1. ∴3x ＋4y ＝15(3x ＋4y )(1y ＋3x )＝15(3x y ＋4＋9＋12yx ) ＝135＋15(3x y ＋12y x )≥135＋15×23x y ·12yx ＝5(当且仅当x ＝2y 时取等号)，∴3x ＋4y 的最小值为5. [答案] C跟踪训练已知x>0，y>0，若28y xx y+>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是()A．m≥4或m≤－2 B．m≥2或m≤－4 C．－2<m<4 D．－4<m<2解析：因为x>0，y>0，所以28y xx y+≥216＝8.要使原不等式恒成立，只需m2＋2m<8，解得－4<m<2.答案：D类型四排列与组合1．加法计数原理与乘法计数原理针对的分别是“分类”与“分步”问题．2．排列数A m n＝n！（n－m）！.组合数C m n＝n！m！（n－m）！.3．组合数性质(1)C m n＝C n－mn；(2)C m n＋C m－1n＝C m n＋1.[例4](2012年高考北京卷)从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为()A．24 B．18C．12 D．6[解析]根据所选偶数为0和2分类讨论求解．当选0时，先从1，3，5中选2个数字有C23种方法，然后从选中的2个数字中选1个排在末位有C12种方法，剩余1个数字排在首位，共有C23C12＝6(种)方法；当选2时，先从1，3，5中选2个数字有C 23种方法，然后从选中的2个数字中选1个排在末位有C 12种方法，其余2个数字全排列，共有C 23C 12A 22＝12(种)方法．依分类加法计数原理知共有6＋12＝18(个)奇数． [答案] B跟踪训练(2012年高考山东卷)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为( ) A ．232 B ．252 C ．472 D ．484解析：利用分类加法计数原理和组合的概念求解．分两类：第一类，含有1张红色卡片，共有不同的取法C 14C 212＝264(种)；第二类，不含有红色卡片，共有不同的取法C 312－3C 34＝220－12＝208(种)．由分类加法计数原理知不同的取法有264＋208＝472(种)．答案：C类型五二项式定理1．二项展开式的通项：T k ＋1＝C k n an －k b k(k ＝0，1，…，n )． 2．二项式系数为C 0n ，C 1n ，…，C r n ，…，C n n (r ＝0，1，…n )．3．用赋值法研究展开式中各项系数之和．[例5] (2012年高考安徽卷)(x 2＋2)( 21x－1)5的展开式的常数项是( )A ．－3B ．－2C ．2D ．3 [解析] 利用二项展开式的通项求解二项式(1x 2－1)5展开式的通项为：T r＋1＝C r5(1 x2)5－r·(－1)r＝C r5·x2r－10·(－1)r.当2r－10＝－2，即r＝4时，有x2·C45x－2·(－1)4＝C45×(－1)4＝5；当2r－10＝0，即r＝5时，有2·C55x0·(－1)5＝－2.∴展开式中的常数项为5－2＝3，故选D.[答案] D跟踪训练(2012年郑州模拟)在二项式(x2－1x)n的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为()A．32 B．－32C．0 D．1解析：依题意得所有二项式系数的和为2n＝32，解得n＝5.因此，该二项展开式中的各项系数的和等于(12－11)5＝0，选C.答案：C析典题（预测高考）高考真题【真题】(2012年高考江苏卷)已知正数a，b，c满足：5c－3a≤b≤4c－a，c ln b≥a＋c ln c，则ba的取值范围是________．【解析】由题意知435ln ln a ca b ca b cc b a c c b ce⎧+⎪+⎨⎪-⇒⎩≤≥≥≥作出可行域(如图所示)．由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝4c ，3a ＋b ＝5c ，得a ＝c 2，b ＝72c . 此时(ba )max ＝7.由⎩⎨⎧a ＋b ＝4c ，b ＝c e ac ，得a ＝4c e ＋1，b ＝4c e e ＋1. 此时(b a )min ＝4c e e ＋14c e ＋1＝e.所以ba ∈[e ，7]．【答案】 [e ，7]【名师点睛】本题主要考查了不等式的性质、线性规划的应用等知识，命题角度创新，难度较大，解决此题的关键是将问题转化为线性规划问题，通过数形结合思想来解决．考情展望高考对线性规划的考查比较灵活，多以选择、填空形式出现，主要考查利用线性规划求目标函数最值及应用．常涉及距离型、斜率型、截距型．有时与函数、圆、平面向量等知识相综合．名师押题【押题】如果点P 在不等式组1023504310x x y x y -⎧⎪+-⎨⎪+-⎩≤≤≥所确定的平面区域内，点Q 在曲线(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1上，那么|PQ |的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．6【解析】画出可行域，如图所示，点Q在圆(x＋2)2＋(y＋2)2＝1上，易知|PQ|的最小值为圆心(－2，－2)到直线4x＋3y－1＝0的距离减去圆的半径1，即|PQ|min ＝|861|5---－1＝2，故选B.【答案】 B。

高考数学二轮复习不等式

(2)(2022·新高考全国Ⅱ改编)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则下列结论正确的是__②__③____.(填序号) ①x＋y≤1；②x＋y≥－2；③x2＋y2≤2；④x2＋y2≥1.
由x2＋y2－xy＝1可变形为(x＋y)2－1＝3xy≤3x＋2 y2，解得－2≤x＋y≤2，当且仅当x＝y＝－1时，x＋y＝－2，当且仅当x＝y＝1时，x＋y＝2，所以①错误，②正确；由x2＋y2－xy＝1可变形为x2＋y2－1＝xy≤x2＋2 y2，解得x2＋y2≤2，当且仅当x＝y＝±1时取等号，所以③正确； x2＋y2－xy＝1 可变形为x－2y2＋34y2＝1，
考点二
线性规划
核心提炼
1.截距型：形如z＝ax＋by，求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转
化为y＝－abx＋bz
(b≠0)，通过求直线的截距
z b
的最值间接求出z的最值.
2.距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z
＝|PM|2. 3.斜率型：形如z＝yx－－ba (x≠a)，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z＝kPM.
作出不等式组2x－3y－6≤0， x＋2y＋2≥0
表示的平面区域如图
中阴影部分(包括边界)所示，
函数z＝(x＋1)2＋(y＋2)2表示可行域内
的点与点(－1，－2)的距离的平方. 由图知， z＝ x＋12＋y＋22的最小值为点(－1，－2)到直线 x＋2y
＋2＝0 的距离，
即|－1－4＋2|＝3 5
C.[－1，3]
D.[－3，1]
作出约束条件的可行域，如图阴影部分(含边界)所示，
其中 A(1，0)，B(0，1)，C(2，3)，z＝22yx＋－11＝yx＋－1212，表示定点 M12，－12与可行域内点(x，y)连线的斜率，

高考数学二轮总复习线性规划与基本不等式学案(特长班)

高考数学二轮总复习线性规划与基本不等式学案（特长班）一、知识梳理（一）二元一次不等式表示的区域1、对于直线0=++C By Ax (A>0)，斜率K=__________,与x 轴的交点为________与y 轴的交点为___________2、当B>0时, 0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 上方区域; 0<++C By Ax 表示直线0=++c By Ax 的下方区域.当B<0时, 0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 下方区域; 0<++C By Ax 表示直线0=++c By Ax 的上方区域.3、问题1:画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x 表示的平面区域问题2：求z=x-3y 的最大值和最小值注、(1)不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.z=Ax+By 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，我们把它称为目标函数.由于z=Ax+By 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.满足线性约束条件的解（x,y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（11,y x ）和（22,y x ）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解. （2）、用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.2.设z=0，画出直线l0.3.观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解.4.最后求得目标函数的最大值及最小值.（3）、线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得（二）基本不等式1.基本形式:,a b R ∈,则222a b ab +≥;0,0a b >>,则a b +≥,当且仅当a b =时等号成立2.、已知x 为正数，求2x+x 1的最小值3、已知正数x 、y 满足x+2y=1，求x 1+y 1的最小值.（提示：1的替换）二、高考链接1、（08山东）16．设x y ，满足约束条件20510000x y x y x y ⎧-+⎪--⎪⎨⎪⎪⎩，，，，≥≤≥≥则2z x y =+的最大值为．2、(福建)已知实数x y ，满足2203x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≥，≤，≤≤，则2z x y =-的取值范围是________．3、（09山东）.某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B 两类产品,甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件,乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元, 设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A 类产品50件 ,B 类产品140件,所需租赁费最少为__________元.4、（07山东）已知,x y R +∈，且满足134x y+=，则xy 的最大值为___________5、函数y=ax-1 (a >0,a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx +ny -1=0上，其中mn >0,则nm 21+的最小值为 . 6、（2007山东）本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？三、抢分演练1、已知,a b 为非零实数，且a b <，则下列命题成立的是( ) A 、22a b < B 、22a b ab < C 、2211ab a b< D 、b aa b < 2、下面给出四个点中，位于1010x y x y +-<⎧⎨-+>⎩，表示的平面区域内的点是（）Ａ．(02)，Ｂ．(20)-，Ｃ．(02)-，Ｄ．(20)，3、.满足线性约束条件23,23,0,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩的目标函数z x y =+的最大值是（）（A ）1. （B ）32. （C ）2. （D ）3.4、若变量x,y 满足约束条件1325x y xx y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩则z=2x+y 的最大值为（A ）1 (B)2 (C)3 (D)45、设x,y 满足241,22x y x y z x y x y +≥⎧⎪-≥-=+⎨⎪-≤⎩则（A ）有最小值2，最大值3 （B ）有最小值2，无最大值（C ）有最大值3，无最小值（D ）既无最小值，也无最大值6、设变量x ，y 满足约束条件3,1,1,x y x y y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩则目标函数z=4x+2y 的最大值为（A ）12 （B ）10 （C ）8 （D ）27、若不等式组502x y y a x -+0⎧⎪⎨⎪⎩≥，≥，≤≤表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（）Ａ．5a <Ｂ．7a ≥Ｃ．57a <≤Ｄ．5a <或7a ≥8、不等式组所表示的平面区域的面积等于A. B. C. D.9.在平面直角坐标系中，若不等式组101010x y x ax y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩（α为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则a 的值为A. -5B. 1C. 2D. 310、若实数x 、y 满足10,0,2,x y x x -+≤⎧⎪⎨⎪≤⎩则yx 的取值范围是A.（0，2）B.（0，2）C.(2,+∞)D.[2，+∞)11、某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的32倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确提财投资后，在两个项目上共可获得的最大利润为A.36万元B.31.2万元C.30.4万元D.24万元12、2z x y =+中的x y ，满足约束条件250300x y x x y -+=⎧⎪-⎨⎪+⎩，≥，≥，则z 的最小值是____________ ．13、设变量x ，y 满足约束条件：3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩.则目标函数z=2x+3y 的最小值为______ 14、已知实数x y ，满足2203x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≥，≤，≤≤，则2z x y =-的取值范围是________．15、若0x >，则2x x +的最小值为______________16、（2007江苏）在平面直角坐标系xOy ，已知平面区域{(,)|1,A x y x y =+≤且0,0}x y ≥≥，则平面区域{(,)|(,)}B x y x y x y A =+-∈的面积为A ．2B ．1C ．12D ．14。

高三-教案-数学-第2讲不等式第二部分(不等式组与简单线性规划)

第三讲二元一次不等式(组)与简洁的线性规划问题【学问梳理】1．二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By ＋C＝0某一侧的全部点组成的平面区域(半平面)不含边界直线．不等式Ax＋By ＋C≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界直线．(2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的全部点(x，y)，使得Ax＋By＋C的值符号相同，也就是位于同一半平面内的点，其坐标适合同一个不等式Ax＋By＋C>0；而位于另一个半平面内的点，其坐标适合另一个不等式Ax＋By＋C<0.2．线性规划的有关概念【考点自测】推断下列命题的真假：1．对二元一次不等式(组)表示的平面区域的相识(1)若点（m，1）在不等式2x+3y-5>0所表示的平面区域内，则m的取值范围是m 1（）(2)点(x1，y1)，(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )＞0，异侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )＜0.( )2．对简洁的线性规划问题的理解(3)线性目标函数取得最值的点肯定在可行域的顶点或边界上．( )(4)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( ) 【例题讲解】考点一二元一次不等式(组)表示的平面区域【例1】 (1)不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≤-+203062y y x y x 表示的平面区域的面积为（） A ．4 B ．1 C ．5 D ．无穷大变式1：若不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥≤+≥-ay x y y x y x 0220表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（）A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ B ．(0,1] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，43 D ．(0,1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞规律方法二元一次不等式组所确定的平面区域是不等式组中各个不等式所表示的半平面区域的公共部分，画出平面区域的关键是把各个半平面区域确定精确，其基本方法是“直线定界、特别点定域”．考点二线性目标函数的最值【例2】设变量x ，y 满意约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x的最小值为目标函数z=2x-y 的最小值为 .变式2：（1）已知a ＞0，x ，y 满意约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a x －3.若z ＝2x ＋y的最小值为1，则a ＝( )．A.14B.12C ．1D ．2 (2)设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满意⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0.若z 的最大值为12，则实数k ＝________.（3）x,y 满意约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+02202202y x y x y x ，若z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为 .规律方法 (1)求目标函数最值的一般步骤为：一画、二移、三求．其关键是精确作出可行域，理解目标函数的意义．(2)在约束条件是线性的状况下，线性目标函数只有在可行域的顶点或者边界上取得最值．在解答选择题或者填空题时可以依据可行域的顶点干脆进行检考点三：利用线性规划思想求解非线性目标函数的最值【例3】已知实数x ，y 满意⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －y ＋1≥0，x ≤2.(1)若z ＝yx，求z 的最大值和最小值；(2)若z ＝x 2＋y 2，求z 的最大值和最小值．变式3：．变量x ，y 满意⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)设z ＝yx，求z 的最小值； (2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．规律方法：求非线性目标函数的最值关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于肯定的几何意义．通常与两点之间距离，点到直线距离，两点间连线斜率有关。

高考数学二轮复习专题一第2讲不等式及线性规划课件

3.利用基本不等式求最值已知 x，y∈(0，＋∞)，则(1)若 x＋y＝S(和为定值)，则当 x＝y 时，积 xy 取得最大值S42xy≤x＋2 y2＝S42；(2)若 xy＝P(积为定值)，则当 x＝y 时，和 x＋y 取得最小值 2 P(x＋y≥2 xy＝2 P).
真题感悟 1.(2015·福建卷)若直线ax＋by＝1(a＞0，b＞0)过点(1，1)，则
a＋b 的最小值等于( C )
A.2

B.3
C.4
D.5
解析由题意1a＋1b＝1，∴a＋b＝(a＋b)1a＋1b＝2＋ba＋
ab≥4，当且仅当 a＝b＝2 时，取等号.故选 C.
2.(2015·陕西卷)设 f(x)＝ln x，0＜a＜b，若 p＝f( ab)，q＝f a＋2 b，
4.平面区域的确定方法是“直线定界、特殊点定域”，二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的半平面的交集. 线性目标函数 z＝ax＋by 中的 z 不是直线 ax＋by＝z 在 y 轴上的截距，把目标函数化为 y＝－abx＋bz，可知bz是直线 ax＋by＝z 在 y 轴上的截距，要根据 b 的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值.
＋ln b)＝12ln a＋12ln b＝ln(ab)12＝f( ab)＝p.故 p＝r＜q.选 C.
3.(2015·全国Ⅰ卷)若 x，y 满足约束条件xx＋－y2－y＋2≤ 1≤0， 0，则 z＝3x 2x－y＋2≥0，
＋y 的最大值为________.
解析作出不等式组所表示的可行域 ( 如图中阴影部分所示 ) ，作直线 l0 ： 3x ＋y＝0，平移直线l0，当直线3x＋y＝z 过点(1，1)时，zmax＝3＋1＝4. 答案 4

2023届二轮专练_专题三不等式_第1讲基本不等式与线性规划(含答案)

2023届二轮专练_专题三不等式_第1讲基本不等式与线性规划一、填空题（共17小题）1. 不等式组 {y ≤−x +2,y ≤x −1,y ≥0 所表示的平面区域的面积为． 2. 若 x ，y 满足约束条件 {2x +y ≥4,x −y ≥1,x −2y ≤2, 则 z =x +y 的最小值是． 3. 已知函数 f (x )=x +1x −2(x <0)，那么 f (x ) 的最大值为． 4. 若 x >0，y >0，且 log 3x +log 3y =1，则 1x +1y 的最小值为．5. 设 x,y ∈R ，a >1，b >1，若 a x =b y =2，a +√b =4，则 2x +1y 的最大值为．6. 设实数 x ，y 满足 x 2+2xy −1=0，则 x 2+y 2 的最小值是．7. 若实数 x ，y 满足约束条件 {x −y +1≥0,x −2y ≤0,x +2y −2≤0, 则 z =x +y 的最大值为． 8. 若变量 x ，y 满足约束条件 {x +y ≤2,2x −3y ≤9,x ≥0, 则 x 2+y 2 的最大值是．9. 若实数 x ，y 满足约束条件 {x +y −3≥0,x −y −3≤0,0≤y ≤1, 则 z =2x+y x+y 的最小值为． 10. 若 0<x <1，则当 f (x )=x (4−3x ) 取得最大值时 x 的值为． 11. 已知 a >0，b >0，a ，b 的等比中项是 1，且 m =b +1a ，n =a +1b，则 m +n 的最小值是．12. 若实数 x ，y 满足约束条件 {2x −y ≤0,x +y ≤3,x ≥0,则 2x +y 的最大值为．13. 在平面上，过点 P 作直线 l 的垂线所得的垂足称为点 P 在直线 l 上的投影，由区域{x −2≤0,x +y ≥0,x −3y +4≥0中的点在直线 x +y −2=0 上的投影构成的线段记为 AB ，则 AB = ． 14. 函数 y =2√x 2+4 的最小值为．15. 设 x ，y ，z 均为大于 1 的实数，且 z 为 x 和 y 的等比中项，则 lgz 4lgx +lgz lgy 的最小值为．16. 已知 a >b >1，且 2log a b +3log b a =7 ，则 a +1b 2−1 的最小值为．17. 若正实数 x ，y 满足 (2xy −1)2=(5y +2)(y −2)，则 x +12y 的最大值为．二、解答题（共1小题）18. 某市对城市路网进行改造，拟在原有a个标段（注：一个标段是指一定长度的机动车道）的基础上，新建x个标段和n个道路交叉口，其中n与x满足n=ax+5．已知新建一个标段的造价为m万元，新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的k倍．（1）试求新建道路交叉口的总造价y（单位：万元）与x的函数关系式；（2）设P是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比．若新建的标段数是原有标段数，并说明理由．的20%，且k≥3．问：P能否大于120答案1. 142. 23. −44. 2√335. 46. √5−127. 328. 109. 5310. 2311. 412. 413. 3√214. 52【解析】y=2√x2+4=√x2+4√x2+4，令t=√x2+4，则t≥2，因为y=t+1t在[2,+∞)上为增函数，所以当t=2时，y min=2+12=52，所以当且仅当x=0时，y min=52．15. 98【解析】因为z为x和y的等比中项，所以z2=xy．两边同时取以e为底的对数得，ln(z2)=ln(xy)，即2lnz=lnx+lny．因为x，y，z>1，所以lnx，lny，lnz>0，所以lgz 4lgx +lgzlgy=lnx+lny8lgx+lnx+lny2lgy=18+18×lnylnx+12+12×lnxlny≥58+2√18×lnylnx×12×lnxlny=98.当且仅当y=x2时" = "号成立．所以最小值为98．16. 3【解析】提示：因为a>b>1，所以t=log a b<1，又因为2log a b+3log b a=7，所以2t+3t=7，解得t=12，或t=3（舍去），所以t=log a b=12，所以b2=a，所以a+1b2−1=a−1+1a−1+1≥2√(a−1)1a−1+1=3，当且仅当a−1=1a−1，即a=2且b=√2时，取等号．17. 3√22−1【解析】方法一：令x+12y=t．则2xy=2ty−1，代入已知等式，得(2ty−2)2=(5y+2)(y−2)，整理得(4t2−5)y2+8(1−t)y+8=0．因为总存在正实数y使得等式成立，所以Δ=64(1−t)2−32(4t2−5)≥0，即2t2+4t−7≤0，解得−3√22−1≤t≤3√22−1．当t=3√22−1时，y=−8(1−t)2(4t2−5)=8+6√2为正值，所以x+12y 的最大值为3√22−1．方法二：由题意知(x−12y )2=(52+1y)(12−1y)，整理得(x−12y)2+(1y+1)2=94．令x−12y =32cosα，1y+1=32sinα，其中α∈R，且x,y>0，所以12y =34sinα−12，x=32cosα+34sinα−12，所以x+12y =32cosα+32sinα−1≤3√22−1．即所求的最大值为3√22−1．18. （1）由题意知y=mkn=mk(ax+5),x∈N∗．（2）方法一：由题意知x=0.2a，所以P=mxy=xk(ax+5)=0.2ak(0.2a2+5)=ak(a2+25)≤a3(a2+25)=13(a+25a)≤3×2√a×25a=130<120.答：P不可能大于120．方法二：由题意知x=0.2a，所以P=mxy =xk(ax+5)=0.2ak(0.2a2+5)=ak(a2+25)．假设P>120，得ka2−20a+25k<0．因为k≥3，所以Δ=100(4−k2)<0，不等式ka2−20a+25k<0无解．故P不可能大于120．答：P不可能大于120．。

高考数学(理)二轮专题复习：专题四第二讲线性规划、基本不等式与不等式的证明

2 1＝1， a·a
∴y＝logcx在(0，＋∞)为减函数，∴p＜m＜n.
◆高考二轮专题复习与测试•数学(理科)◆
解法二(特殊值法)：∵a＞b＞0且ab＝1， ∴取a＝2，b＝12.∴c＝a＋2 b＝45＜1， p＝log452＜0，m＝log451＝0，n＝log4512＞0， ∴p＜m＜n. 答案：(1)C (2)p＜m＜n
(C )
24 A. 5
28 B. 5
C．5
D．6
◆高考二轮专题复习与测试•数学(理科)◆
突破点1 不等式正、误的辨别与大小比较问题
确的是(
(1)设a，b∈R，若a－|b|＞0，则下列不等式中正 )
A．b－a＞0
B．a3＋b3＜0
C．b＋＝1，设c＝a＋2 b ，p＝logca，m＝ logc(ab)，n＝logcb，则m，n，p的大小关系是________．
◆高考二轮专题复习与测试•数学(理科)◆
3．(2012年山东卷)设变量x，y满足约束条件x2＋x＋2yy≥ ≤24，，
则目标函数z＝3x－y的取值范围是( A )
4x－y≥－1，
A.－32，6
C.[－1，6]
B.－32，－1 D.－6，32
4．若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是
解析：(1)解法一：由a－|b|＞0，得a＞|b|， ∴－a＜b＜a，∴a＋b＞0且a－b＞0， ∴b－a＜0，A错． a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2) ＝(a＋b)a－2b2＋34b2＞0，∴B错．而a2－b2＝(a－b)(a＋b)＞0，∴D错．
◆高考二轮专题复习与测试•数学(理科)◆
得y＝－x＋z，令z＝0，画出y＝－x的图象，当它的平行线经过 A(2,0)时，z取得最小值，最小值为z＝2，无最大值，故选B.

2019届高考数学二轮复习专题三不等式第2讲基本不等式与线性规划学案

第2讲基本不等式与线性规划1. 高考对线性规划的考查，除了传统的已知可行域求目标函数最值之外，还会结合围成可行域的图形特点，或是在条件中设置参数，与其他知识相结合，产生一些非常规的问题．在处理这些问题时，第一，依然要借助可行域及其图形；第二，要确定参数的作用，让含参数的图形运动起来寻找规律；第三，要能将图形中的特点与关系翻译成代数的语言，并进行精确计算．2. 高考中对基本不等式的考查，主要是利用基本不等式求最值，且常与函数、数列、解析几何等知识进行综合考查，同时运用基本不等式的性质求参数范围、证明不等式等也是热点．1. (2018·南京学情调研)已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧2≤x ≤4，y ≥3，x ＋y≤8，则z ＝3x －2y 的最大值为________．答案：6解析：如图，作出线性区域，阴影部分即为可行域．目标函数的斜率为32，根据图象找出最优解为(4，3)，从而目标函数的最大值为6.2. (2018·苏锡常镇调研一)已知a>0, b>0，且2a ＋3b ＝ab ，则ab 的最小值是________．答案：2 6解析：因为ab ＝2a ＋3b ≥22a ·3b，所以ab≥26，当且仅当2a ＝3b＝6时，取等号．3. (2018·启东调研测试)设x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x>0，y ≤x ，|x|＋|y|≤1，则z ＝12x ＋y 的最大值为________．答案：34解析：线性规划的最优解为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，故z ＝12x ＋y ＝12×12＋12＝34. 4. (2018·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)已知a ，b ，c 均为正数，且abc ＝4(a ＋b)，则a ＋b ＋c 的最小值为________．答案：8解析：由a ，b ，c 均为正数，abc ＝4(a ＋b)，得c ＝4a ＋4b ，代入得a ＋b ＋c ＝a ＋b ＋4a＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋4a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋4b ≥2a ·4a ＋2b ·4b＝8，当且仅当a ＝b ＝2时，等号成立，所以a ＋b ＋c 的最小值为8., 一) 简单的线性规划问题, 1) 若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥1，x －y≥－1，2x －y≤2.(1) 求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2) 若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1，0)处取得最小值，求a 的取值范围．解：(1) 作出可行域如图，可求得A(3，4)，B(0，1)，C(1，0)．平移初始直线12x －y ＋12＝0，过A(3，4)取最小值－2，过C(1，0)取最大值1，所以z 的最大值为1，最小值为－2.(2) 直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1，0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a<2.故所求a 的取值范围是(－4，2)．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为________．答案：8解析：作出可行域如图中阴影部分所示，由z ＝2x －y 得y ＝2x －z ，作出直线y ＝2x ，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点B(5，2)时，对应的z 值最大．故z max ＝2×5－2＝8., 二) 非线性目标函数的最值问题, 2) (2018·泰州中学学情调研)已知点P(x ，y)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤4，y ≥x ，x ≥1，则z ＝y x的最大值为________．答案：3解析：画出满足条件的可行域，如图所示，由z ＝yx表示过平面区域的点(x ，y)与(0，0)的直线的斜率，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y ＝4，得A(1，3)，显然直线过A(1，3)时，斜率最大，即z 取得最大值，z max ＝y x＝3.(2018·姜堰、泗洪调研测试)设0<b <a ＋1，若关于x 的不等式(x －b )2>(ax )2的解集中整数解恰有3个，则实数a 的取值范围是________．答案：(1，3)解析：不等式(x －b )2>(ax )2的解集中整数解恰有3个，所以a >1，不等式的解集为b1－a<x <b a ＋1.因为0<b <a ＋1，所以不等式的整数解为－2，－1，0，所以－3≤b1－a<－2，2(a －1)<b ≤3(a －1)，作出0<b <a ＋1，2(a －1)<b ≤3(a －1)，对应的可行域△ABC 区域(包括边界AB ，不包括边界AC ，BC )，A (1，0)，B (2，3)，C (3，4)，得区域上的点的横坐标的范围是(1，3)．, 三) 利用基本不等式求二元函数的最值, 3) 已知f(x)＝x 2－x ＋k ，k ∈Z .若方程f (x )＝2在(－1，32)上有两个不相等的实数根．(1) 求k 的值；(2) 求f 2（x ）＋4f （x ）的最小值及对应的x 值．解：(1) 设g (x )＝f (x )－2＝x 2－x ＋k －2，由题设有⎩⎪⎨⎪⎧g （－1）＝k ＞0，g （32）＝k －54＞0，Δ＝9－4k ＞0，－－12∈（－1，32），解得54＜k＜94. 又k ∈Z ，所以k ＝2. (2) 因为k ＝2，所以f (x )＝x 2－x ＋2＝(x －12)2＋74＞0，所以f 2（x ）＋4f （x ）＝f (x )＋4f （x ）≥2f （x ）·4f （x ）＝4，当且仅当f (x )＝4f （x ），即f 2(x )＝4时取等号．因为f (x )＞0，所以f (x )＝2时取等号，即x 2－x ＋2＝2，解得x ＝0或1.故当x ＝0或1时，f 2（x ）＋4f （x ）取得最小值4.(2018·徐州期中)已知实数F (0，0，1)满足x 2＋y 2＝3，|x |≠|y |，则1（2x ＋y ）2＋4（x －2y ）2的最小值为________．答案：35解析：因为(2x ＋y )2＋(x －2y )2＝5(x 2＋y 2)＝15，所以令(2x ＋y )2＝t ，(x －2y )2＝μ，所以t ＋μ＝15，1（2x ＋y ）2＋4（x －2y ）2＝1t ＋4μ＝115(t ＋μ)⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋4μ＝115⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4t μ＋μt ≥115(5＋4)＝35，当且仅当t ＝5，μ＝10时取等号．所以1（2x ＋y ）2＋4（x －2y ）2的最小值为35., 四) 多元函数的最值问题, 4) (2018·淮安期中)在锐角三角形ABC 中，9tan A tan B ＋tan B tan C＋tan C tan A 的最小值为________．答案：25解析：不妨设A ＝B ，则C ＝π－2A ，因为△ABC 是锐角三角形，所以π4＜A ＜π2，所以tan A ＞1，所以9tan A tan B ＋tan B tan C ＋tan C tan A ＝9tan 2A ＋2tan A tan C ＝9tan 2A＋2tan A tan(π－2A )＝9tan 2A －2tan A tan 2A ＝9tan 2A －4tan 2A 1－tan 2A ＝9tan 2A ＋4－41－tan 2A＝9(tan 2A －1)＋4tan 2A －1＋13≥25(当且仅当tan 2A ＝53时等号成立)，所以9tan A tan B ＋tanB tanC ＋tan C tan A 的最小值为25.方法归纳：多变量函数的最值问题，常常将条件和结论统一起来，进行合理的消元和换元，将问题转化为函数或不等式问题．(2018·苏州一调)已知正实数a ，b ，c 满足1a ＋1b ＝1，1a ＋b ＋1c＝1，则c 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤1，43解析：由1a ＋1b ＝1，可得a ＝b b －1，由1a ＋b ＋1c ＝1，得1c ＝1－1a ＋b ＝1－11b －1＋b －1＋2.因为b －1＋1b －1≥2或b －1＋1b －1<－2，所以0<11b －1＋b －1＋2≤14，34≤1c <1，1<c ≤43.1. (2018·浙江卷)若x ，y 满足约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧x －y≥0，2x ＋y≤6x ＋y≥2，，则z ＝x ＋3y 的最小值是________，最大值是________．答案：－2 8解析：不等式组所表示的平面区域如图所示，当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2时，z ＝x ＋3y 取最小值，最小值为－2；当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2时，z ＝x ＋3y 取最大值，最大值为8.2. (2018·天津卷)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a＋18b 的最小值为________．答案：14解析：由a －3b ＋6＝0可知a －3b ＝－6，且2a ＋18b ＝2a ＋2－3b .因为对于任意x ，2x＞0恒成立，所以结合基本不等式的结论可得2a ＋2－3b ≥2×2a ×2－3b ＝2×2－6＝14.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2－3b ，a －3b ＝－6，即 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝1时等号成立．综上，2a ＋18b 的最小值为14.3. (2018·北京卷)若x ，y 满足x ＋1≤y≤2x，则2y －x 的最小值是________．答案：3解析：作可行域，如图，则直线z ＝2y －x 过点A(1，2)时，取最小值3.4. (2018·江苏卷) 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________．答案：9解析：由题意可知，S △ABC ＝S △ABD ＋S △BCD ，由角平分线性质和三角形面积公式得12ac sin120°＝12a ×1×sin 60°＋12c ×1×sin 60°，化简得ac ＝a ＋c ，∴ 1a ＋1c＝1，因此4a ＋c＝(4a ＋c ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c ＝5＋c a ＋4a c ≥5＋2c a ·4a c＝9，当且仅当c ＝2a ＝3时取等号，则4a ＋c的最小值是9.5. (2017·天津卷)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．(1) 用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2) 问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？解：(1) 由题意得，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧70x ＋60y≤600，5x ＋5y≥30，x ≤2y ，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y≤60，x ＋y≥6，x －2y≤0，x ≥0，y ≥0，该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分．(2) 设总收视人次为z 万，则目标函数为z ＝60x ＋25y.将它变形为y ＝－125x ＋z 25，这是斜率为－125，随z 变化的一簇平行直线．z 25为直线在y 轴上的截距，当z25取得最大值时，z 的值最大．因为x ，y 满足约束条件，所以由图可知，当直线z ＝60x ＋25y 经过可行域上的点M 时，截距z25最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ＝60，x －2y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，即点M 的坐标为(6，3)．所以电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．(本题模拟高考评分标准，满分14分)(2018·南京学情调研)某工厂有100名工人接受了生产1 000台某产品的总任务，每台产品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成，每个工人每小时能加工完成1个甲型装置或3个乙型装置．现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置．设加工甲型装置的工人有x 人，他们加工完甲型装置所需时间为t 1小时，其余工人加工完乙型装置所需时间为t 2小时．设f(x)＝t 1＋t 2.(1) 求f(x)的解析式，并写出其定义域； (2) 当x 等于多少时，f(x)取得最小值？解：(1) 因为t 1＝9 000x，t 2＝ 3 0003（100－x ）＝1 000100－x,所以f(x)＝t 1＋t 2＝9 000x ＋1 000100－x，定义域为{x|1≤x≤99，x ∈N *}. (4分)(2) f (x )＝1 000(9x ＋1100－x )＝10[x ＋(100－x )]( 9x ＋1100－x)＝10⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋9（100－x ）x ＋ x 100－x . (8分)因为1≤x ≤99，x ∈N *，所以9（100－x ）x ＞0，x 100－x＞0，所以9（100－x ）x ＋ x 100－x ≥2·9（100－x ）x ·x100－x ＝2×3＝6， (10分)当且仅当9（100－x ）x ＝x100－x，即当x ＝75时取等号．(12分)故当x ＝75时，f (x )取得最小值．(14分)1. 已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0.x≥1，若z ＝x 2＋y 2，则z 的取值范围是________．答案：[2，29]解析：由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.作出(x ，y)的可行域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，得C(1，1)；由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，得B(5，2)． z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，d min ＝OC ＝2，d max ＝OB ＝29，故z 的取值范围是[2，29]．2. 已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0. (1) 求xy 的最小值；(2) 求x ＋y 的最小值．解：(1) 由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1.又x ＞0，y ＞0，则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy，得xy≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时等号成立，所以xy 的最小值为64.(2) 由(1)知8x ＋2y ＝1，则x ＋y ＝(8x ＋2y )(x ＋y)＝10＋2x y ＋8yx≥10＋22x y ·8yx＝18. 当且仅当x ＝12，y ＝6时等号成立，所以x ＋y 的最小值为18.3. 制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.若投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？解：设投资人分别用x 万元，y 万元投资甲、乙两个项目，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，0.3x ＋0.1y ≤1.8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝x ＋0.5y .上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即为可行域．将z ＝x ＋0.5y 变形为y ＝－2x ＋2z ，则其为斜率为－2，随z 变化的一簇平行线，当直线y ＝－2x ＋2z 经过可行域内的点M 时，直线y ＝－2x ＋2z 在y 轴上的截距2z 最大，z 也最大．这里M 点是直线x ＋y ＝10和0.3x ＋0.1y ＝1.8的交点．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝10，0.3x ＋0.1y ＝1.8，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝6，此时z ＝4＋0.5×6＝7(万元)，所以当x ＝4，y ＝6时，z 取得最大值，所以投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，才能确保在亏损不超过1.8万元的前提下，才能使可能的盈利最大．。

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