江苏省常州市2014-2015学年第二学期高二文科数学期末卷和答案

常州市教育学会学生学业水平监测高二数学试题(文)2015.7一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1．已知集合{}}4,1,1{,2,1-==B A ，则B A = ▲ . 2．命题“01,2>++∈∀x x R x ”的否定是 ▲ . （注：在“真命题、假命题”中选填一个）3．已知复数ai Z +=3，若5=Z ，则实数a = ▲ . 4．已知关于变量x 的函数()()m x m x x x f --+-=2ln ，其定义域为A ，若A ∈2，则实数m 的取值范围是 ▲ . 5．将函数)3sin(2π-=x y 图象上所有的点沿x 轴向左平移3π个单位，则平移后的图象对应的函数是 ▲ .6．已知集合{}022≤--=x x x A ，{}1≤-=a x x B ，若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 ▲ .7．已知0>a ，0>b 且1=+b a ，则22)2()2(+++b a 的最小值是 ▲ . 8．若函数()b a x x f ++=21（R x ∈）有两个零点分别为4,021==x x ，则b a +的值为 ▲ .9．已知函数x x x f cos sin )(+=λ图象的一条对称轴方程为6π=x ，则此函数的最大值为 ▲ .10．在ABC ∆中,锐角B 所对的边长3=b ,ABC ∆的面积为6,外接圆半径25=R ，则ABC ∆的周长为 ▲ .11．若函数x x x f sin 2)(+-=，则满足不等式()ππ2122-≥-+-m m f 的m 的取值范围为 ▲ . 12．在ABC ∆中，14AM AB m AC =+⋅，且向量AM 的终点M 在ABC ∆的内部（不含边界），则实数m 的取值范围是 ▲ .13．已知函数()y f x =为R 上可导函数，且对x R ∀∈都有x f x x f 8)1()(3-'-=成立，则函数()y f x =，[]1,1-∈x 的值域为 ▲ .14．若方程03123=-+-a ax x x 恰有唯一解，则实数a 的取值范围为 ▲ .二、解答题（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分14分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且C B A si n ,si n ,si n 成等差数列， ⑴ 若a c 2=，证明△ABC 为钝角三角形；⑵ 若c A b B a =-cos cos ，且△ABC 的外接圆半径为5，求△ABC 的面积．16．（本题满分14分） 已知命题p ：函数()2222m mx x x f +++=在区间[)+∞,2上是增函数， 命题q ：函数324)(21+-+-=+m m x g x x 的最小值大于4，命题r ：函数()()12222++--=mx x m m x h 的函数值恒大于0， ⑴ 若“非r ”为假命题，求实数m 的取值范围；⑵ 若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数m 的取值范围．已知()1,sin -=x m ω，()x n ωcos 3,1-=（其中0,>∈ωR x ），()n m x f ⋅=，且函数()x f 图象的某个最高点到其相邻的最低点之间的距离为5，⑴ 求函数()x f 的单调递增区间； ⑵ 若563=⎪⎭⎫ ⎝⎛πθf （其中⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈6,65ππθ），则求⎪⎭⎫⎝⎛+16πθf 的取值．18．（本题满分16分）在△AOB 中，2==OB OA ，⑴ 如图①：若OB AO ⊥，点P 为△AOB 所在平面上的一个动点，且满足3=PO ，求OA PB ⋅的取值范围； ⑵≤+，求与所成夹角的取值范围．AOBP图①AB O图②如图：在边长为6米的等边△ABC 钢板内，作一个△DEF ，使得△DEF 的三边到△ABC所对应的三边之间的距离均x （3320≤<x ）米，过点D 分别向AC AB ,边作垂线，垂足依次为H G ,；过点E 分别向BC AB ,边作垂线，垂足依次为N M ,；过点F 分别向AC BC ,边作垂线，垂足依次为S R ,．接着在△ABC 的三个内角处，分别沿DH DG ,、EN EM ,、FS FR ,进行切割，割去的三个全等的小四边形分别为AGDH 、BMEN 、CRFS ．然后把矩形GDEM 、NEFR 、SFDH 分别沿DE 、EF 、FD 向上垂直翻折，并对翻折后的钢板进行无缝焊接（注：切割和无缝焊接过程中的损耗和费用忽略不计），从而构成一个无盖的正三棱柱蓄水池.⑴ 若此无盖的正三棱柱蓄水池的侧面和底面造价均为a （0>a ）万元/2米，求此无盖的正三棱柱蓄水池总造价的最小值；⑵ 若此无盖的正三棱柱蓄水池的体积为V 3米，求体积V 的最大值．20．（本题满分16分）已知函数()x x f ln =，()()x e x x g 1-=，其中e 是自然对数的底数． ⑴ 若函数()x f 在点()()m f m P ,处的切线在y 轴上的截距为2，求实数m 的取值； ⑵ 求函数()()()x g x g x h '+=的极值；⑶ 求函数()()()a x f e x g x r -+= (a 为常数)的单调区间．GHDMEF NB CSRA高二（文科）数学期末质量调研参考答案一. 填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1、{}1，2、假命题， 3、4±，4、(]2,2-，5、x y sin 2=， 6、[]1,0，7、225，8、3-， 9、332，10、12， 11、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21，12、)43,0(，13、[]6,6-，14、()+∞,0， 二、解答题：（本大题共6小题，共90分。

请在答题卡指定区．．．．．．域．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15、（本小题满分14分）解：（1）∵C B A sin ,sin ,sin 成等差数列，∴C A B sin sin sin 2+=，即c a b +=2 ………………………………2分又a c 2=，则由⎩⎨⎧=+=a c c a b 22解得：,223⎪⎩⎪⎨⎧==ac ab ………………………………4分即△ABC 中的最大边为c ，最大角为∠C又∵cos ∠C ()0412322232222222<-=⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+=a a a a a abc b a ，……………6分 且∠C ()π,0∈，∴∠C 为钝角，即△ABC 为钝角三角形 …………………7分 （2）∵c A b B a =-cos cos ，∴C B A B A sin sin cos cos sin =-，即()B A B A B A +=-sin sin cos cos sin ， …………………………………9分 也即B A B A B A B A sin cos cos sin sin cos cos sin +=-， 则0sin cos 2=B A ，又在△ABC 中，0sin ≠B所以0cos =A ，又()π,0∈A ，则2π=A ， …………………………………11分在RT △ABC 中，∵△ABC 的外接圆半径为5，∴斜边10=a 又⎩⎨⎧=++=22210102c b c b ，解之得⎩⎨⎧==68c b ， 即2421==bc S ABC 直角三角形……………………………………………………14分16、（本小题满分14分）解：（1）∵“非r ”为假命题，∴命题r 为真命题，即函数()()12222++--=mx x m m x h 的函数值恒大于0， ………………1分① 当022=--m m 时，即1-=m 或2=m1-=m 时，()12+-=x x h 不满足函数值恒大于0， 2=m 时，()14+=x x h 也不满足函数值恒大于0，即1-=m 或2=m 不合题意，………………………………………………2分 ② 当022≠--m m 时，则()()⎪⎩⎪⎨⎧<--->--024202222m m m m m ， …………………………………………4分 解之得：2-<m综上所述可知所求实数m 的取值范围为()2,-∞- ……………………6分（2）()()222222++=+++=m x m mx x x f若命题p 是真命题，则2≤-m ，即2-≥m若命题p 是假命题，则2>-m ，即2-<m ……………………………8分又()()212324)(2221+-+-=+-+-=+m m m m x g x x x ，即当0=x 时，()[]22min +-=m m x g ，若命题q 是真命题，则422>+-m m ，即2>m 或1-<m ，若命题q 是假命题，则422≤+-m m ，即21≤≤-m ， ………………10分 ∵命题“p 或q ”为真；命题“p 且q ”为假， ∴命题p 和命题q 必为一真一假 即⎩⎨⎧是假命题是真命题q p 或⎩⎨⎧是真命题是假命题q p …………………………………12分即⎩⎨⎧≤≤--≥212m m 或⎩⎨⎧-<>-<122m m m 或，解之得：221-<≤≤-m m 或则所求实数m 的取值范围是[]()2,2,1-∞-- ………………………14分17、（本小题满分14分）解：（1）∵()1,sin -=x m ω，()x n ωcos 3,1-=（其中0,>∈ωR x ），()n m x f ⋅=， ∴()⎪⎭⎫⎝⎛+=+=3sin 2cos 3sin πωωωx x x x f ， ………………………………2分又∵函数()x f 图象的某个最高点到其相邻的最低点之间的距离为5，∴52422=⎪⎭⎫ ⎝⎛+T ，解之得： 6=T ，………………………………………4分又ωπ2=T ，则32ππω==T ，即()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=33sin 2ππx x f ， …………………6分 则223322ππππππ+≤+≤-k x k ，即()Z k k x k ∈+≤≤-216256， 即所求函数()x f 的单调递增区间为()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-216,256 …………………8分 （2）由（1）可知()⎪⎭⎫⎝⎛+=33sin 2ππx x f ，则563sin 2333sin 23=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛πθππθππθf ， 即533sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πθ………………………………………………………………10分∵⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈6,65ππθ，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈+2,23πππθ，则03cos >⎪⎭⎫ ⎝⎛+πθ 即543sin 13cos 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫⎝⎛+πθπθ， …………………………………12分 也即⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+32sin 23163sin 216πθππθππθf ，25483cos 3sin 4=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πθπθ …………………………14分18、（本小题满分16分） 解：（1）∵OB PO PB +=，∴()⋅+⋅=⋅+=⋅ ……………………2分 又∵在△AOB 中，2==OB OA ，3=PO ，OB AO ⊥∴0=⋅2==3=，………4分 即><⨯⨯=⋅+⋅=⋅OA PO OA OB OA PO OA PB ,cos 23，当点P 在△AOB 所在平面上运动时，则[]π,0,>∈<，………6分 即[]6,6,cos 6->∈<ON PO ， 也即所求PM ON ⋅的取值范围为[]6,6- ……………………………8分（2）过点O 作直线AB 的垂线，垂足为C ，则垂足C 必为线段AB 的中点，==+，……………………………10分 又在RT △OCB==，≤+，∴⨯≤33，1≤， ………………………………………………12分AO BP图①ABO图②在RT △OCB 中，∵cos ∠21≤=OA OC BOC ，∴∠⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈2,3ππBOC ， …14分 又∠2=AOB ∠BOC ，则∠⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈ππ,32AOB ， 即与所成夹角的取值范围为⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ,32 ……………………………16分19、（本小题满分16分）解：(1)连接BE ，由题意可知，在RT △BEN 中， ∵),(米x EN =∠030=EBN∴BNEN=30tan ，即)(3米x BN =， ………2分 即正△DEF 的边长为)(326米x -，…………3分 若设此无盖长方体蓄水池的总造价为y （万元），则a x x x y ⋅⋅-+-=])326(3)326(43[2（3320≤<x ）……………5分 =[39332+-x ]a ⋅当)(332m x =时，a y 35min =（万元） 即此无盖长方体蓄水池总造价的最小值为a 35（万元）………………………8分(2)由题意可知，此无盖长方体蓄水池的体积为：()()x x x x x V 9363332643232+-=⋅-=（3320≤<x ）， ………10分 则='V ()()()1333339312932--=+-x x x x ，令0='V ，并解之得⎥⎦⎤ ⎝⎛∉==332,03,33x x ， ………………………12分 当⎥⎦⎤ ⎝⎛∈33,0x 时，0>'V ，即函数()x V 在⎥⎦⎤ ⎝⎛∈33,0x 为单调递增函数， 当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈332,33x 时，0<'V ，即函数()x V 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈332,33x 为单调递减函数，则当()米33=x 时，()3max 4米=V ， ……………………………………15分 即此无盖长方体蓄水池的体积V 的最大值为()34m 。