2018高考江苏版(理)数学一轮复习课件： 第2章 第11课 函数与方程
2021高考江苏版(文)数学一轮复习课件： 第2章 第11课 函数与方程
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高三一轮总复习
2．判断函数零点个数的常用方法 (1)通过解方程来判断． (2)根据零点存在性定理，结合函数性质来 判断． (3)将函数 y＝f(x)－g(x)的零点个数转化为 函数 y＝f(x)与 y＝g(x)图象公共点的个数来判 断． 3．利用函数零点求参数范围的常用方法： 直接法、分离参数法、数形结合法．
(2)零点存在性定理法：利用零点存在性定理并结合函数的性质进行判断．
(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数
的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．
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高三一轮总复习 [变式训练 2] (2015·湖北高考)函数 f(x)＝2sin xsinx＋π2－x2 的零点个数为
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4．函数 f(x)＝3x－x2 的零点所在区间是________．(填序号) ①(0,1)；②(1,2)；③(－2，－1)；④(－1,0)． ④ [∵f(－2)＝－395，f(－1)＝－23， f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5， ∴f(0)f(1)＞0，f(1)f(2)＞0， f(－2)f(－1)＞0，f(－1)f(0)＜0.]
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课时分层训练〔十一〕 点击图标进入…
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高三一轮总复习 [变式训练 1] 设 f(x)＝ln x＋x－2，在下列区间中，包含函数 f(x)的零点所 在的区间为________．(填序号) ①(0,1)；②(1,2)；③(2,3)；④(3,4)． ② [函数 f(x)的零点所在的区间可转化为函数 g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋2 图 象交点的横坐标所在的取值范围．作图如下：
2018版高考数学江苏专用理科大一轮复习配套作业 第二
第7讲函数的图象基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．(2017·扬州一检)把函数y＝(x－2)2＋2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数解析式是________．解析把函数y＝f(x)的图象向左平移1个单位，即把其中x换成x＋1，于是得y＝2＋2＝(x－1)2＋2，再向上平移1个单位，即得到y＝(x－1)2＋2＋1＝(x－1)2＋3.答案y＝(x－1)2＋32．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是________(填序号)．解析小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，排除①.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，排除④.后来为了赶时间加快速度行驶，排除②.故填③.答案③3．已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝log 2 f(x)的定义域是________．解析当f(x)>0时，函数g (x )＝log 2f (x )有意义，由函数f (x )的图象知满足f (x )>0的x ∈(2,8]．答案 (2,8]4．(2015·浙江卷改编)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为________(填序号)．解析 (1)因为f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋1x cos(－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x cos x ＝－f (x )，－π≤x ≤π且x ≠0，所以函数f (x )为奇函数，排除①，②.当x ＝π时，f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫π－1πcos π<0，排除③，故填④. 答案 ④5．(2017·桂林一调改编)函数y ＝(x 3－x )2|x |的图象大致是________(填序号)．解析 由于函数y ＝(x 3－x )2|x |为奇函数，故它的图象关于原点对称．当0<x <1时，y <0；当x >1时，y >0. 排除①③④，故填②. 答案 ②6．(2017·南师附中调研)使log 2(－x )＜x ＋1成立的x 的取值范围是________．解析 在同一坐标系内作出y ＝log 2(－x )，y ＝x ＋1的图象，知满足条件的x ∈(－1,0)．答案 (－1,0) 7．如图，定义在，．(3)由图象知当x ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－1， 当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝3. 10．已知f (x )＝|x 2－4x ＋3|.(1)作出函数f (x )的图象；(2)求函数f (x )的单调区间，并指出其单调性；(3)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}． 解(1)当x 2－4x ＋3≥0时，x ≤1或x ≥3，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤1或x ≥3，－x 2＋4x －3，1<x <3，∴f (x )的图象为：(2)由函数的图象可知f (x )的单调区间是(－∞，1]，(2,3)，(1,2]，，(2,3)是减区间；(1,2]，上的值不小于6，求实数a 的取值范围． 解 (1)设f (x )图象上任一点坐标为(x ，y )，∵点(x ，y )关于点A (0,1)的对称点(－x,2－y )在h (x )的图象上， ∴2－y ＝－x ＋1－x ＋2，∴y ＝x ＋1x ，即f (x )＝x ＋1x.(2)由题意g (x )＝x ＋a ＋1x， 且g (x )＝x ＋a ＋1x≥6，x ∈(0,2]． ∵x ∈(0,2]，∴a ＋1≥x (6－x )，即a ≥－x 2＋6x －1. 令q (x )＝－x 2＋6x －1，x ∈(0,2]，q (x )＝－x 2＋6x －1＝－(x －3)2＋8，∴当x ∈(0,2]时，q (x )是增函数，q (x )max ＝q (2)＝7. 故实数a 的取值范围是[7，＋∞).。
(新)江苏专用2018版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2_2函数的单调性与最值教师用书理苏
第二章函数概念与基本初等函数I 2.2 函数的单调性与最值教师用书理苏教版1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I⊆A.如果对于区间I内的任意两个值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是单调增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是单调减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间I 上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y ＝f (x )在区间I 上具有单调性，区间I 叫做y ＝f (x )的单调区间. 2.函数的最值前提 设函数y ＝f (x )的定义域为A ，如果存在x 0∈A ，使得条件 对于任意的x ∈A ，都有f (x )≤f (x 0) 对于任意的x ∈A ，都有f (x )≥f (x 0)结论 f (x 0)为最大值 f (x 0)为最小值【知识拓展】 函数单调性的常用结论 (1)对∀x 1，x 2∈D (x 1≠x 2)，f x 1－f x 2x 1－x 2>0⇔f (x )在D 上是增函数，f x 1－f x 2x 1－x 2<0⇔f (x )在D 上是减函数.(2)对勾函数y ＝x ＋ax(a >0)的增区间为(－∞，－a ]和[a ，＋∞)，减区间为[－a ，0)和(0，a ].(3)在区间D 上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数.(4)函数f (g (x ))的单调性与函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性的关系是“同增异减”. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若定义在R 上的函数f (x )，有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数.( × ) (2)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞).( × ) (3)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).( × )(4)所有的单调函数都有最值.( × )(5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数.( × )(6)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到.( √ )1.(教材改编)下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是________.(填序号) ①y ＝1x；②y ＝2x －1；③y ＝1－x ；④y ＝(2x －1)2.答案 ②解析 ①y ＝1x在(0，2)上为减函数；②y ＝2x －1在(0，2)上为增函数； ③y ＝1－x 在(0，2)上为减函数；④y ＝(2x －1)2在(－∞，12)上为减函数，在(12，＋∞)上为增函数.2.(教材改编)函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，x 2，x <0的单调增区间为__________；单调减区间为__________.答案 [0，＋∞) (－∞，0)解析 当x ≥0时，y ＝x 为增函数；当x <0时，y ＝x 2为减函数.3.(教材改编)已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1，2]上是增函数，则实数a 的取值范围为________________________________________________________________________. 答案 (－∞，1]解析 函数f (x )＝x 2－2ax －3的图象开口向上，对称轴为直线x ＝a ，画出草图如图所示.由图象可知函数f (x )的单调递增区间是[a ，＋∞)， 由[1，2]⊆[a ，＋∞)，可得a ≤1.4.(2016·盐城模拟)函数y ＝x 2＋2x －3(x >0)的单调增区间为________. 答案 (0，＋∞)解析 函数的对称轴为x ＝－1，又x >0， 所以函数f (x )的单调增区间为(0，＋∞). 5.(教材改编)已知函数f (x )＝2x －1，x ∈[2，6]，则f (x )的最大值为________，最小值为________. 答案 2 25解析 可判断函数f (x )＝2x －1在[2，6]上为减函数， 所以f (x )max ＝f (2)＝2，f (x )min ＝f (6)＝25.题型一 确定函数的单调性(区间) 命题点1 给出具体解析式的函数的单调性例1 (1)(2016·连云港模拟)函数f (x )＝12log (x 2－4)的单调递增区间是______________.(2)y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调增区间为____________. 答案 (1)(－∞，－2) (2)(－∞，－1]，[0，1]解析 (1)因为y ＝12log t ，t >0在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2). (2)由题意知，当x ≥0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4；当x <0时，y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，二次函数的图象如图.由图象可知，函数y ＝－x 2＋2|x |＋3在(－∞，－1]，[0，1]上是增函数. 命题点2 解析式含参数的函数的单调性 例2 已知函数f (x )＝axx 2－1(a >0)，用定义法判断函数f (x )在(－1，1)上的单调性.解 设－1<x 1<x 2<1， 则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1＝ax 1x 22－ax 1－ax 2x 21＋ax 2x 21－1x 22－1＝a x 2－x 1x 1x 2＋1x 21－1x 22－1∵－1<x 1<x 2<1，∴x 2－x 1>0，x 1x 2＋1>0，(x 21－1)(x 22－1)>0. 又∵a >0，∴f (x 1)－f (x 2)>0， ∴函数f (x )在(－1，1)上为减函数. 引申探究如何用导数法求解例2?解 f ′(x )＝a ·x 2－1－ax ·2x x 2－12＝－a x 2＋1x 2－12，∵a >0，∴f ′(x )<0在(－1，1)上恒成立， 故函数f (x )在(－1，1)上为减函数. 思维升华 确定函数单调性的方法(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法； (2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连接.(1)已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为__________. 答案 [3，＋∞)解析 设t ＝x 2－2x －3，则t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3.所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞). 因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1， 所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减， 在[3，＋∞)上单调递增.所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞).(2)已知函数f (x )＝ln x ＋mx 2(m ∈R )，求函数f (x )的单调区间. 解 (导数法)依题意知f (x )的定义域为(0，＋∞). 对f (x )求导，得f ′(x )＝1x ＋2mx ＝1＋2mx2x.当m ≥0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增. 当m <0时，令f ′(x )＝0，得x ＝ －12m. 当x ∈(0，－12m)时，f ′(x )>0， 所以f (x )在(0， －12m)上单调递增； 当x ∈(－12m，＋∞)时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－12m，＋∞)上单调递减. 题型二 函数的最值例3 (1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________.答案 2解析 当x ≥1时，函数f (x )＝1x为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2. 故函数f (x )的最大值为2.(2)已知f (x )＝x 2＋2x ＋ax，x ∈[1，＋∞)，且a ≤1.①当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；②若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围. 解 ①当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x＋2，又x ∈[1，＋∞)，所以f ′(x )＝1－12x 2>0，即f (x )在[1，＋∞)上是增函数，所以f (x )min ＝f (1)＝1＋12×1＋2＝72.②f (x )＝x ＋ax＋2，x ∈[1，＋∞).(ⅰ)当a ≤0时，f (x )在[1，＋∞)内为增函数. 最小值为f (1)＝a ＋3.要使f (x )>0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，只需a ＋3>0， 所以－3<a ≤0.(ⅱ)当0<a ≤1时，f ′(x )＝1－a x2，因为x ∈[1，＋∞)，所以f ′(x )≥0，即f (x )在[1，＋∞)上为增函数， 所以f (x )min ＝f (1)＝a ＋3， 即a ＋3>0，a >－3，所以0<a ≤1.综上所述，f (x )在[1，＋∞)上恒大于零时，a 的取值范围是(－3，1].思维升华 求函数最值的五种常用方法及其思路(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值. (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值.(1)函数y ＝x ＋x －1的最小值为________.(2)函数f (x )＝x 2＋8x －1(x >1)的最小值为________.答案 (1)1 (2)8解析 (1)易知函数y ＝x ＋x －1在[1，＋∞)上为增函数，∴x ＝1时，y min ＝1.(本题也可用换元法求解)(2)方法一 (基本不等式法)f (x )＝x 2＋8x －1＝x －12＋2x －1＋9x －1＝(x －1)＋9x －1＋2≥2 x －1·9x －1＋2＝8，当且仅当x －1＝9x －1，即x ＝4时，f (x )min ＝8. 方法二 (导数法)f ′(x )＝x －4x ＋2x －12，令f ′(x )＝0，得x ＝4或x ＝－2(舍去). 当1<x <4时，f ′(x )<0，f (x )在(1，4)上是递减的；当x >4时，f ′(x )>0，f (x )在(4，＋∞)上是递增的，所以f (x )在x ＝4处取到极小值也是最小值， 即f (x )min ＝f (4)＝8. 题型三 函数单调性的应用 命题点1 比较大小例4 已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f (－12)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为____________. 答案 b >a >c解析 根据已知可得函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数，因为a ＝f (－12)＝f (52)，且2<52<3，所以b >a >c .命题点2 解函数不等式例5 (2017·苏州月考)定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增，且f (12)＝0，则满足19(log )f x >0的x 的集合为________________.答案 {x |0<x <13或1<x ＜3}解析 由题意知f (12)＝0，f (－12)＝0，由19(log )f x >0，得19log >12，或－12<19log x <0，解得0<x <13或1<x <3.命题点3 求参数范围例6 (1)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是____________.(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－a x ＋1，x <1，a x，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________.答案 (1)[－14，0] (2)[32，2)解析 (1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增， 所以a <0，且－1a ≥4，解得－14≤a <0.综上所述，得－14≤a ≤0.(2)由已知条件得f (x )为增函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a >1，2－a ×1＋1≤a ，解得32≤a <2，所以a 的取值范围是[32，2).思维升华 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小.比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.(2)解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域. (3)利用单调性求参数.①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； ③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.(1)(2016·徐州模拟)已知函数f (x )＝x (ex－1e x )，若f (x 1)<f (x 2)，则下面正确的式子为________. ①x 1>x 2; ②x 1＋x 2＝0； ③x 1<x 2;④x 21<x 22.(2)(2016·宿迁模拟)要使函数y ＝2x ＋kx －2与y ＝log 3(x －2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k 的取值范围是________. 答案 (1)④ (2)(－∞，－4)解析 (1)f (－x )＝－x (1e x －e x)＝f (x )，∴f (x )在R 上为偶函数，f ′(x )＝e x －1e x ＋x (e x ＋1ex )，∴当x >0时，f ′(x )>0，∴f (x )在[0，＋∞)上为增函数， 由f (x 1)<f (x 2)，得f (|x 1|)<f (|x 2|)，∴|x 1|<|x 2|， ∴x 21<x 22.(2)由于y ＝log 3(x －2)的定义域为(2，＋∞)，且为增函数，故函数y ＝log 3(x －2)在(3，＋∞)上是增函数. 又函数y ＝2x ＋k x －2＝2x －2＋4＋k x －2＝2＋4＋kx －2，因其在(3，＋∞)上是增函数，故4＋k <0，得k <－4.1.解抽象函数不等式典例(14分)函数f(x)对任意的m，n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x>0时，恒有f(x)>1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；(2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)<2.思维点拨(1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义.应该构造出f(x2)－f(x1)并与0比较大小.(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本题的切入点.要构造出f(M)<f(N)的形式.规范解答(1)证明设x1，x2∈R且x1<x2，则x2－x1>0，∵当x>0时，f(x)>1，∴f(x2－x1)>1. [3分]f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)－1，[5分]∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0⇒f(x1)<f(x2)，∴f(x)在R上为增函数. [7分] (2)解∵m，n∈R，不妨设m＝n＝1，∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1⇒f(2)＝2f(1)－1，[9分]f(3)＝4⇒f(2＋1)＝4⇒f(2)＋f(1)－1＝4⇒3f(1)－2＝4，∴f(1)＝2，∴f(a2＋a－5)<2＝f(1)，[11分]∵f(x)在R上为增函数，∴a2＋a－5<1⇒－3<a<2，即a∈(－3，2). [14分]解函数不等式问题的一般步骤第一步：(定性)确定函数f (x )在给定区间上的单调性； 第二步：(转化)将函数不等式转化为f (M )<f (N )的形式；第三步：(去f )运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f ”，转化成一般的不等式或不等式组；第四步：(求解)解不等式或不等式组确定解集；第五步：(反思)反思回顾.查看关键点，易错点及解题规范.1.(2016·南京模拟)下列函数中，在区间(1，＋∞)上是增函数的是________. ①y ＝－x ＋1; ②y ＝11－x ；③y ＝－(x －1)2;④y ＝31－x.答案 ②解析 ①中，函数在(1，＋∞)上为减函数，③中，函数在(1，＋∞)上为减函数，④中，函数在(1，＋∞)上为减函数.2.函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是__________. 答案 [1，2]解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2，当x ≥2时，f (x )为增函数，当x <2时，(－∞，1]是函数f (x )的增区间； [1，2]是函数f (x )的减区间.3.定义新运算：当a ≥b 时，a b ＝a ；当a <b 时，a b ＝b 2，则函数f (x )＝(1x )x －(2x )，x ∈[－2，2]的最大值等于________.答案 6解析 由已知得，当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2， 当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数， ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.4.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x >1，4－a2x ＋2，x ≤1是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是________. 答案 [4，8)解析 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a >1，4－a 2>0，a ≥4－a2＋2，解得4≤a ＜8.*5.函数f (x )的定义域为D ，若对于任意x 1，x 2∈D ，当x 1<x 2时，都有f (x 1)≤f (x 2)，则称函数f (x )在D 上为非减函数，设函数f (x )在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f (0)＝0；②f (x 3)＝12f (x )；③f (1－x )＝1－f (x ).则f (13)＋f (18)＝________.答案 34解析 由①③，令x ＝0，可得f (1)＝1.由②，令x ＝1，可得f (13)＝12f (1)＝12.令x ＝13，可得f (19)＝12f (13)＝14.由③结合f (13)＝12，可知f (23)＝12，令x ＝23，可得f (29)＝12f (23)＝14，因为19<18<29且函数f (x )在[0，1]上为非减函数，所以f (18)＝14， 所以f (13)＋f (18)＝34.6.已知函数y ＝log 2(ax －1)在(1，2)上单调递增，则实数a 的取值范围是____________. 答案 [1，＋∞)解析 要使y ＝log 2(ax －1)在(1，2)上单调递增，则a >0且a －1≥0，∴a ≥1.7.函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________.答案 3解析 由于y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上递增，所以f (x )在[－1，1]上单调递减，故f (x )在[－1，1]上的最大值为f (－1)＝3.8.(2017·江苏天一中学月考)对a ，b ∈R ，记max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a <b ，函数f (x )＝max{|x＋1|，|x －2|}(x ∈R )的最小值是________. 答案 32解析 方法一f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x <12，x ＋1，x ≥12，f (x )在(－∞，12)和[12，＋∞)上分别为减函数和增函数，∴[f (x )]min ＝f (12)＝32.方法二 作函数f (x )的图象如图所示，由图知当x ＝12时，[f (x )]min ＝f (12)＝32.9.若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________. 答案 －6解析 f (x )＝|2x ＋a |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ≥－a2，－2x －a ，x <－a2.函数的单调递增区间为[－a2，＋∞)， ∴－a2＝3，∴a ＝－6.*10.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是________. 答案 (－∞，－2)解析 二次函数y 1＝x 2－4x ＋3的对称轴是x ＝2， ∴该函数在(－∞，0]上单调递减，∴x 2－4x ＋3≥3， 同样可知函数y 2＝－x 2－2x ＋3在(0，＋∞)上单调递减， ∴－x 2－2x ＋3<3，∴f (x )在R 上单调递减， ∴由f (x ＋a )>f (2a －x )得到x ＋a <2a －x ， 即2x <a ，∴2x <a 在[a ，a ＋1]上恒成立， ∴2(a ＋1)<a ，∴a <－2，∴实数a 的取值范围是(－∞，－2).11.(2016·江苏新海中学期中)已知函数f (x )＝－4x 2＋4ax －4a －a 2(a ＞0)在区间[0，1]内有一个最大值－5，则a 的值为________. 答案 54解析 f (x )＝－4(x －a2)2－4a ，对称轴为x ＝a 2，顶点为(a2，－4a ).①当a2≥1，即a ≥2时，f (x )在区间[0，1]上递增.∴y max ＝f (1)＝－4－a 2.令－4－a 2＝－5，∴a ＝±1＜2(舍去).②当0＜a 2＜1，即0＜a ＜2时，y max ＝f (a2)＝－4a ，令－4a ＝－5，∴a ＝54∈(0，2).12.(2016·江苏泰州中学月考)已知t 为常数，函数y ＝|x 2－2x －t |在区间[0，3]上的最大值为2，则t ＝________. 答案 1解析 二次函数y ＝x 2－2x －t 图象的对称轴为x ＝1，函数y ＝|x 2－2x －t |的图象是将二次函数y ＝x 2－2x －t 的图象在x 轴下方的部分翻到x 轴上方(x 轴上方部分不变)得到的.由区间[0，3]上的最大值为2，知y max ＝f (3)＝|3－t |＝2，解得t ＝1或5；检验t ＝5时，f (0)＝5>2不符，而t ＝1时满足题意.13.函数f (x )＝4x 2－4ax ＋a 2－2a ＋2在区间[0，2]上有最小值3，求a 的值. 解 f (x )＝4(x －a2)2－2a ＋2，①当a2≤0，即a ≤0时，函数f (x )在[0，2]上是增函数.∴f (x )min ＝f (0)＝a 2－2a ＋2. 由a 2－2a ＋2＝3，得a ＝1± 2. ∵a ≤0，∴a ＝1－ 2. ②当0<a2<2，即0<a <4时，f (x )min ＝f (a2)＝－2a ＋2.由－2a ＋2＝3，得a ＝－12∉(0，4)，舍去.③当a2≥2，即a ≥4时，函数f (x )在[0，2]上是减函数，f (x )min ＝f (2)＝a 2－10a ＋18.由a 2－10a ＋18＝3，得a ＝5±10. ∵a ≥4，∴a ＝5＋10.综上所述，a ＝1－2或a ＝5＋10.14.(2016·江苏南通中学质检)已知函数f (x )＝－(x ＋1)2＋2|x ＋1|＋3. (1)试求函数f (x )的单调区间，并指出相应的单调性；(2)若f (2a 2＋a ＋1)<f (3a 2－2a ＋1)恒成立，试求实数a 的取值范围. 解 (1)当x ≥－1时，f (x )＝－[(x ＋1)2－2(x ＋1)＋1]＋4＝－[(x ＋1)－1]2＋4＝－x 2＋4，当x <－1时，f (x )＝－[(x ＋1)2＋2(x ＋1)＋1]＋4 ＝－[(x ＋1)＋1]2＋4＝－(x ＋2)2＋4，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ≥－1，－x ＋22＋4x <－1，其大致图象如图所示.由图易知函数f (x )在区间(－∞，－2]，(－1，0]上单调递增，在区间(－2，－1]，(0，＋∞)上单调递减.(2)易知2a 2＋a ＋1>0且3a 2＋2a ＋1>0恒成立，由(1)知函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减， 故由f (2a 2＋a ＋1)<f (3a 2－2a ＋1)， 得2a 2＋a ＋1>3a 2－2a ＋1，即a2－3a<0，解得0<a<3，∴a的取值范围为{a|0<a<3}.。
2018版高考数学一轮复习第二章函数与基本初等函数I2.1函数及其表示理
第二章函数与基本初等函数I 函数及其表示理1．函数与映照函数映照两会合、A设A，B是两个非空数集设A，B是两个非空会合B假如依据某种确立的对应关系f，使对假如按某一个确立的对应关系f，使对对应关系于会合A中的随意一个元素x，在会合于会合A中的随意一个数x，在会合Bf：→BAf(x)和它对应B中都有独一确立的元素y与之对应中都有独一确立的数称：→为从会合A到会合B的一个称对应f：→B为从会合A到会合B名称fAB A 函数的一个映照记法y＝f(x)，x∈A 对应f：A→B是一个映照2.函数的相关观点(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的会合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．函数的三因素：定义域、对应关系和值域．函数的表示法表示函数的常用方法有分析法、图象法和列表法．3．分段函数若函数在其定义域的不一样子集上，因对应关系不一样而分别用几个不一样的式子来表示，这类函1数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分构成，但它表示的是一个函数．2【知识拓展】求函数定义域常有结论：分式的分母不为零；偶次根式的被开方数不小于零；对数函数的真数一定大于零；指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；π正切函数y＝tan x，x≠kπ＋2(k∈Z)；零次幂的底数不可以为零；实质问题中除要考虑函数分析式存心义外，还应试虑实质问题自己的要求．【思虑辨析】判断以下结论能否正确(请在括号中打“√”或“×”)对于函数f：A→B，其值域是会合B.(×)(2)若两个函数的定义域与值域同样，则这两个函数是相等函数．(×)映照是特别的函数．(×)(4)若＝R，＝{|x >0}，：→＝|x|，其对应是从A到B的映照．(×)AB x f x y (5)分段函数是由两个或几个函数构成的．(×)1．函数y＝2x－3＋1)的定义域为(x－33A．[2，＋∞)B．(－∞，3)∪(3，＋∞)3D．(3，＋∞)C．[，3)∪(3，＋∞)2答案C2x－3≥0，3分析由题意知x－3≠0，解得x≥2且x≠3.2．(教材改编)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是()3答案B分析A中函数的定义域不是[－2,2]，C中图象不表示函数，D中函数值域不是[0,2]，应选B.3．(2016·全国甲卷)以下函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lgx的定义域和值域同样的是()A．y＝x B．y＝lg x C．y＝2x D．y＝1x答案D分析函数y＝10lgx，所以与其定义域和值域分别同样的定义域为{x|x>0}，值域为{y|y>0}1的函数为y＝，应选D.x41＋log22－x，x＜1，4．设函数f(x)＝2x－1，x≥1，则f(－2)＋f(log212)等于() A．3B．6C．9D．12答案C分析因为－2＜1，log12＞log28＝3＞1，2所以f(－2)＝1＋log[2－(－2)]＝1＋log24＝3，2＝log212-1＝log212－1＝1＝，flog2122221226故f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9，应选C.x，x∈－∞，a，5．设f(x)＝2，∈[，＋∞.若f(2)＝4，则a的取值范围为________．x x a答案(－∞，2]分析因为f(2)＝4，所以2∈[a，＋∞)，所以a≤2，则a的取值范围为(－∞，2].题型一函数的观点例1有以下判断：|x|1x≥0①f(x)＝x与g(x)＝－1x<0表示同一函数；②函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个；22③f(x)＝x－2x＋1与g(t)＝t－2t＋1是同一函数；1④若f(x)＝|x－1|－|x|，则ff2＝0.此中正确判断的序号是________．答案②③5|x|1分析对于①，因为函数f(x)＝x的定义域为{x|x∈R且x≠0}，而函数g(x)＝2x≥0，的定义域是R，所以两者不是同一函数；对于②，若x＝1不是y＝f(x)定义1x<0域内的值，则直线x＝1与y＝f(x)的图象没有交点，假如x＝1是y＝f(x)定义域内的值，由函数定义可知，直线x＝1与y＝f(x)的图象只有一个交点，即y＝f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点；对于③，f (x)与(t)的定义域、值域和对应关系均同样，所以f(x)和(t)g g表示同一函数；对于④，因为f 1＝1－1－1＝0，所以f f1＝f(0)＝1. 2222综上可知，正确的判断是②③.思想升华函数的值域可由定义域和对应关系独一确立；当且仅当定义域和对应关系都同样的函数才是同一函数．值得注意的是，函数的对应关系是就结果而言的(判断两个函数的对应关系能否同样，只需看对于函数定义域中的随意一个同样的自变量的值，依据这两个对应关系算出的函数值能否同样)．(1)以下所给图象是函数图象的个数为()6A．1B．2C．3D．4(2)以下各组函数中，表示同一个函数的是()2x－1B．y＝x0和y＝1C．f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2x2xD．f(x)＝和g(x)＝x x2答案(1)B(2)D分析(1)①中当x>0时，每一个x的值对应两个不一样的y值，所以不是函数图象，②中当x ＝x0时，y的值有两个，所以不是函数图象，③④中每一个x的值对应独一的y值，所以是函数图象，应选 B.(2)A中两个函数的定义域不一样；B中y＝x0的x不可以取0；C中两函数的对应关系不一样．应选D.题型二函数的定义域问题命题点1求函数的定义域例2(1)函数f(x)＝x＋11－2的定义域为()x＋3A．(－3,0]B．(－3,1]C．(－∞，－3)∪(－3,0]D．(－∞，－3)∪(－3,1]f2x若函数y＝f(x)的定义域为[0,2]，则函数g(x)＝x－1的定义域是________．答案(1)A(2)[0,1)71－2x ≥0，分析 (1)由题意得解得－3＜x ≤0.x ＋3＞0，所以函数f (x )的定义域为(－3,0]．由0≤2x ≤2，得0≤x ≤1，又x －1≠0，即x ≠1，所以0≤x ＜1，即g (x )的定义域为[0,1)．引申研究本例(2)中，若将“函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]”改为“函数 y ＝f (x ＋1)的定义域为f2x[0,2]”，则函数g (x )＝x －1 的定义域为________________．答案 1 3[，1)∪(1，]22分析 由函数y ＝f (x ＋1)的定义域为[0,2] ，得函数y ＝f (x )的定义域为[1,3]，1≤2x ≤3，1 3 x ≠1，令得≤x ≤且x －1≠0，2 213g (x )的定义域为[2，1)∪(1，2]．命题点2已知函数的定义域求参数范围2例3 (1)若函数 f(x) 2x2axa 1的定义域为 R ，则a 的取值范围为________．ax ＋1若函数y ＝ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________．答案 (1)[ －1,0] (2)[0,3)分析 (1) 因为函数f (x )的定义域为R ，2所以2x ＋2ax －a －1≥0对x ∈R 恒建立，2即2x ＋2ax －a≥20，恒建立，所以有 ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0. ax ＋1因为函数y ＝ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ，所以ax 2＋2ax ＋3＝0无实数解，即函数y ＝ax 2＋2ax ＋3的图象与x 轴无交点．当a ＝0时，函数y ＝3的图象与x 轴无交点；当 a ≠0时，则＝(2 a )2－4·3<0，解得0<<3.a a综上所述，a 的取值范围是[0,3) ．8思想升华(1)求给定函数的定义域常常转变为解不等式(组)的问题，在解不等式(组)取交集时可借助于数轴，要特别注意端点值的弃取．求抽象函数的定义域：①若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式a<g(x)<b即可求出yf(g(x))的定义域；②若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)在(a，b)上的值域即得f(x)的定义域．已知函数定义域求参数范围，可将问题转变成含参数的不等式，而后求解．(1)已知函数f(x)的定义域为[3,6]，则函数y f(2x)的定义域为()log1(2x)233A．[，＋∞)B．[，2)2231C．(2，＋∞)D．[2，2)(2)若函数y＝2mx－1的定义域为R，则实数的取值范围是() mx＋4mx＋3m33A．(0，4]B．(0，4)33C．[0，4]D．[0，4)答案(1)B(2)D分析(1)要使函数yf(2x)存心义，log1(2x)29≤≤6,332x?2≤x ≤3，3需知足log 1(2＞?≤x <2.x)00<2－x <122(2)要使函数的定义域为2R ，则mx ＋4mx ＋3≠0恒建立．①当m ＝0时，获得不等式 3≠0，恒建立；②当m ≠0时，要使不等式恒建立，m >0，需4m 2－4×m ×3<0，＝m >0，m <0，m <0， 即m －3 <0或即m 4 <0，m 4m －3<0.33解得0<m <4.由①②得 0≤m ＜4，应选D.题型三 求函数分析式2例4(1)已知f (x ＋1)＝lg x ，则f (x )＝________.(2) 已知f (x )是一次函数，且知足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________.1(3) 已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f (x )· x －1，则f (x )＝________.2 2 1 答案(1)lg x －1(x >1)(2)2x ＋7(3)3 x ＋322分析(1)( 换元法)令t ＝x ＋1(t >1)，则x ＝t －1，∴f (t )＝lg2，即f (x )＝lg2(x >1)．t －1x －1(2)(待定系数法)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ，即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17，无论x 为什么值都建立，a ＝2， a ＝2， ∴ 解得b ＋5a ＝17， b ＝7，∴ ( x)＝2＋7.f x(3)( 消去法)11在f (x )＝2f (x )·x －1中，用x 取代x ，1 1得f (x )＝2f (x )·x －1，1012fx1将f(x)＝x－1代入f(x)＝2f(x)·x－1中，2 1可求得f(x)＝3x＋3.思想升华函数分析式的求法待定系数法：若已知函数的种类(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；换元法：已知复合函数f(g(x))的分析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成对于g(x)的表达式，而后以x替代g(x)，便得f(x)的分析式；1消去法：已知f(x)与f x或f(－x)之间的关系式，可依据已知条件再结构出此外一个等式构成方程组，经过解方程组求出f(x)．121(1)已知f(x－)＝x＋2，求f(x)；x x(2)已知一次函数f(x)知足f(f(x))＝4x－1，求f(x)；(3)已知f(x)＋3f(－x)＝2x＋1，求f(x)．12112解(1)设x－x＝t，则x＋x2＝(x－x)＋2，f(t)＝t2＋2，∴f(x)＝x2＋2.设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则f(f(x))＝k2x＋kb＋b，k2＝4，k＝2，k＝－2，∴∴1或kb＋b＝－1，b＝－3b＝1.1故f(x)＝2x－3或f(x)＝－2x＋1.(3)以－x取代x得f(－x)＋3f(x)＝－2x＋1，111∴f (－x )＝－3f (x )－2x ＋1，代入f (x )＋3f (－x )＝2x ＋1可得f (x )＝－x ＋4.2．分类议论思想在函数中的应用2＋ a， <1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的典例(1)已知实数a ≠0，函数f (x )＝－x －2a ，x ≥1，值为________________．(2)(2015·山东)设函数f (x )＝ 3x －1，x ＜1，则知足f (f (a ))＝2f(a)的a 的取值范围是2x ，x ≥1，()2A.3，1B ．[0,1]C.2D ．[1,3，＋∞＋∞)思想方法指导(1)求分段函数的函数值，第一要确立自变量的范围，经过分类议论求解；(2) 当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应依据每一段解析式分别求解，但要注意查验所求自变量的值或取值范围能否切合相应段的自变量的值或取值范围．分析 (1)当a >0时，1－a <1,1＋a >1，由f (1－a )＝f (1＋a )，可得2(1－a )＋a ＝－(1＋a )－2a ，3解得a ＝－2，不合题意．当a <0时，1－a >1,1＋a <1，由f (1－a )＝f (1＋a )，可得32 －(1－a )－2a ＝2(1＋a )＋a ，解得a ＝－4，切合题意．3(2)由f (f (a ))＝2f(a)，得f (a )≥1.42当a <1时，有3a －1≥1，∴a ≥3，∴3≤a <1.当a ≥1时，有2a ≥1，∴a ≥0，∴a ≥1.2综上，a ≥3，应选C.3答案 (1)－4(2)C121．以下各组函数中，表示同一函数的是()x2－9A．y＝x－3与y＝x＋3B．y＝x2－1与y＝x－1C．y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0)D．y＝2x＋1，x∈Z与y＝2x－1，x∈Z答案C分析A项中两函数的定义域不一样；B项，D项中两函数的对应关系不一样，应选C.10＋9x－x2)2．函数f(x)＝的定义域为(lg x－1A．[1,10]B．[1,2)∪(2,10]C．(1,10]D．(1,2)∪(2,10]答案D分析要使函数f(x)存心义，10＋9x－x2≥0，则x需知足x－1＞0，lg x－1≠0，x＋1x－10≤0，即x>1，x≠2，解得1<x<2或2<x≤10，所以函数f(x)的定义域为(1,2)∪(2,10]．3．若二次函数g(x)知足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)的分析式为()A．g(x)＝2x2－3x B．g(x)＝3x2－2xC．g(x)＝3x2＋2x D．g(x)＝－3x2－2x答案B分析(待定系数法)设g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∵g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，a＋b＋c＝1，a＝3，－＋＝5，解得b ＝－2，∴a bcc＝0，c＝0，13∴g(x)＝3x2－2x，应选B.sinπx2，－1<x<0，4．(2017·武汉调研)函数f(x)＝e x－1，x≥0知足f(1)＋f(a)＝2，则a所有可能的值为()22A．1或－2B．－22C．1D．1或2答案A分析∵f(1)＝e1－1＝1且f(1)＋f(a)＝2，f(a)＝1，当－1<a<0时，f(a)＝sin(πa2)＝1，∵0<a2<1，∴0<πa2<π，2π2∴πa＝2?a＝－2；当a ≥0时，fa－1＝1?a＝1.()＝ea5．(2016·安徽六校联考)已知函数f(x)＝x|x|，若f(x)＝4，则x的值为()00 A．－2B．2C．－2或2 D.2答案B分析当x≥0时，f(x)＝x2，f(x0)＝4，2＝4，解得x0＝2.即x0当x<0时，f(x)＝－x2，f(x0)＝4，2即－x0＝4，无解，所以x0＝2，应选B.*6.(2016·唐山期末)已知f(x)＝1－2ax＋3a，x<1，的值域为R，那么a的取值范ln x，x≥1围是()A．(－∞，－1]1 B．(－1，)211C．[－1，2)D．(0，2)答案C分析要使函数f(x)的值域为R，1－2a>0，需使ln1≤1－2a＋3a，141 1a <，∴2∴－1≤a ＜.2a ≥－1，1即a 的取值范围是[－1，2)．7．已知函数 y ＝f (x 2－1)的定义域为[－ 3， 3]，则函数 y ＝f (x )的定义域为________________．答案 [－1,2]分析 ∵y ＝f (x 2－1)的定义域为[－ 3， 3]， ∴x ∈[－3，3]，x 2－1∈[－1,2]，∴y ＝f (x )的定义域为[－1,2]．e x1,x ＜1，8．设函数f(x)1则使得f (x )≤2建立的x 的取值范围是________________．x 3 ,x ≥1，答案 (－∞，8]分析 当x <1时，由e x －1≤2得x ≤1＋ln2，x <1； 1当x ≥1时，由x 3≤2得x ≤8，∴1≤x ≤8. 综上，切合题意的 x 的取值范围是 x ≤8.29．(2015·浙江)已知函数f (x )＝x ＋x－3，x ≥1，lg x 2＋1 ，x ＜1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________．答案 022－3分析 ∵f (－3)＝lg[( －3)2＋1] ＝lg10＝1，∴f (f (－3))＝f (1)＝0，22时，取等号，此时f (x )＝2 2－3<0； 当x ≥1时，f(x)＝x ＋x －3≥22－3，当且仅当x ＝min当x ＜1时，f (x )＝lg( x 2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x ＝0时，取等号，此时f (x )min ＝0.∴f (x )的最小值为22－3.1*10.拥有性质：fx ＝－f (x )的函数，我们称为知足“倒负”变换的函数，以下函数：15x ，0<x <1，①f (x )＝x －11 0，x ＝1，x；②f (x )＝x ＋ x ；③f (x )＝1－x ，x >1.此中知足“倒负”变换的函数是 ________．答案 ①③11 1分析 对于①，f (x )＝x －x ，f x＝x －x ＝－f (x )，知足；11对于②，f x ＝x ＋x ＝f (x )，不知足；11x ，0<x <1，对于③，f 11x ＝0，x＝1， 1－x ，x >1，1x ，x >1，即f x ＝0，x ＝1， －x ，0<x <1，1故f x ＝－f (x )，知足．综上可知，知足“倒负”变换的函数是①③.11．已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求函数f (x )的分析式．解设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，又f (0)＝0，c ＝0，即f (x )＝ax 2＋bx . 又∵f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1. (2a ＋b )x ＋a ＋b ＝(b ＋1)x ＋1，12a ＋b ＝b ＋1，a ＝2，∴a ＋b ＝1，解得1b ＝2.∴ f( x )＝ 1 2＋ 1 .2x2x16x＋1，－2<x<0，12．已知f(x)＝2x＋1，0≤x＜2，2x－1，x≥2.3求f(－2)的值；若f(a)＝4且a>0，务实数a的值．331解(1)由题意，得f(－2)＝f(－2＋1)＝f(－2)111f(－2＋1)＝f(2)＝2×2＋1＝2.3当0<a<2时，由f(a)＝2a＋1＝4，得a＝2，当a≥2时，由f(a)＝a2－1＝4，得a＝5或a＝－5(舍去)，3综上所述，a＝或a＝ 5.217。
2018版高考数学文江苏专用大一轮复习讲义文档 第二章
1.函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使函数y＝f(x)的值为0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点. (2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y ＝f(x)在区间(a，b)上有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个__c__也就是方程f(x)＝0的根.2.二分法对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.3.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系【知识拓展】有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x 轴的交点.( × )(2)函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点(函数图象连续不断)，则f (a )·f (b )<0.( × ) (3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值.( × ) (4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在b 2－4ac <0时没有零点.( √ )(5)若函数f (x )在(a ，b )上单调且f (a )·f (b )<0，则函数f (x )在[a ，b ]上有且只有一个零点.( √ )1.(教材改编)函数f (x )＝12x －(12)x 的零点个数为____________.答案 1解析 f (x )是增函数，又f (0)＝－1，f (1)＝12，∴f (0)f (1)<0，∴f (x )有且只有一个零点.2.(教材改编)已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的零点为1,3，则函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴是________. 答案 x ＝2解析 ∵y ＝a (x －1)(x －3)＝a (x －2)2－a ， ∴对称轴为x ＝2.3.(2016·长春检测)函数f (x )＝12ln x ＋x －1x －2的零点所在的区间是________.①(1e ，1); ②(1,2)； ③(2，e); ④(e,3).答案 ③解析 因为f (1e )＝－12＋1e －e －2<0，f (1)＝－2<0，f (2)＝12ln 2－12<0，f (e)＝12＋e －1e －2>0，所以f (2)f (e)<0，所以函数f (x )＝12ln x ＋x －1x－2的零点所在区间是(2，e).4.函数f (x )＝ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是________. 答案 ⎝⎛⎭⎫13，1解析 ∵函数f (x )的图象为直线，由题意可得 f (－1)f (1)<0，∴(－3a ＋1)·(1－a )<0，解得13<a <1，∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，1.5.(教材改编)已知函数f (x )＝x 2＋x ＋a 在区间(0,1)上有零点，则实数a 的取值范围是__________.答案 (－2,0)解析 结合二次函数f (x )＝x 2＋x ＋a 的图象知⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)<0f (1)>0，故⎩⎪⎨⎪⎧a <01＋1＋a >0，所以－2<a <0.题型一 函数零点的确定 命题点1 确定函数零点所在区间例1 (1)(2016·盐城调研)已知函数f (x )＝ln x －⎝⎛⎭⎫12x －2的零点为x 0，则x 0所在的区间是________.(填序号) ①(0,1); ②(1,2); ③(2,3);④(3,4).(2)设函数y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，若x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N ，则x 0所在的区间是______. 答案 (1)③ (2)(1,2)解析 (1)∵f (x )＝ln x －⎝⎛⎭⎫12x －2在(0，＋∞)为增函数， 又f (1)＝ln 1－⎝⎛⎭⎫12－1＝ln 1－2<0， f (2)＝ln 2－⎝⎛⎭⎫120<0， f (3)＝ln 3－⎝⎛⎭⎫121>0， ∴x 0∈(2,3).(2)令f (x )＝x 3－(12)x －2，则f (x 0)＝0，易知f (x )为增函数，且f (1)<0，f (2)>0，∴x 0所在的区间是(1,2).命题点2 函数零点个数的判断例2 (1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是________.(2)若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点个数是________. 答案 (1)2 (2)4解析 (1)当x ≤0时，令x 2－2＝0，解得x ＝－2(正根舍去)，所以在(－∞，0]上有一个零点；当x >0时，f ′(x )＝2＋1x >0恒成立，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数.又因为f (2)＝－2＋ln 2<0，f (3)＝ln 3>0，所以f (x )在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f (x )的零点个数为2. (2)由题意知，f (x )是周期为2的偶函数.在同一坐标系内作出函数y ＝f (x )及y ＝log 3|x |的图象，如图，观察图象可以发现它们有4个交点， 即函数y ＝f (x )－log 3|x |有4个零点.思维升华 (1)确定函数零点所在区间，可利用零点存在性定理或数形结合法.(2)判断函数零点个数的方法：①解方程法；②零点存在性定理、结合函数的性质；③数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数.(1)已知函数f (x )＝6x－log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是________.(填序号) ①(0,1); ②(1,2)； ③(2,4);④(4，＋∞).(2)(教材改编)已知函数f (x )＝2x －3x ，则函数f (x )的零点个数为________. 答案 (1)③ (2)2解析 (1)因为f (1)＝6－log 21＝6>0，f (2)＝3－log 22＝2>0，f (4)＝32－log 24＝－12<0，所以函数f (x )的零点所在区间为(2,4).(2)令f (x )＝0，则2x ＝3x ，在同一平面直角坐标系中分别作出y ＝2x 和y ＝3x 的图象，如图所示，由图知函数y ＝2x 和y ＝3x 的图象有2个交点，所以函数f (x )的零点个数为2.题型二 函数零点的应用例3 (1)函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是__________.(2)已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R ，若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围是________________. 答案 (1)(0,3) (2)(0,1)∪(9，＋∞)解析 (1)因为函数f (x )＝2x －2x －a 在区间(1,2)上单调递增，又函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则有f (1)·f (2)<0，所以(－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0.所以0＜a ＜3. (2)设y 1＝f (x )＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|，在同一直角坐标系中作出y 1＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|的图象如图所示.由图可知f (x )－a |x －1|＝0有4个互异的实数根等价于y 1＝|x 2＋3x |与y 2＝a |x －1|的图象有4个不同的交点且4个交点的横坐标都小于1，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－3x ，y ＝a (1－x )有两组不同解，消去y 得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0有两个不等实根， 所以Δ＝(3－a )2－4a >0，即a 2－10a ＋9>0， 解得a <1或a >9.又由图象得a >0，∴0<a <1或a >9. 引申探究本例(2)中，若f (x )＝a 恰有四个互异的实数根，则a 的取值范围是________________. 答案 (0，94)解析 作出y 1＝|x 2＋3x |，y 2＝a 的图象如下：当x ＝－32时，y 1＝94；当x ＝0或x ＝－3时，y 1＝0，由图象易知，当y 1＝|x 2＋3x |和y 2＝a 的图象有四个交点时，0<a <94.思维升华 已知函数零点情况求参数的步骤及方法(1)步骤：①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式(组)；③解不等式(组)，即得参数的取值范围. (2)方法：常利用数形结合法.(1)已知函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a <0)在区间(0,1)上有零点，则a 的取值范围为________.(2)(2016·江苏前黄中学调研)若函数f (x )＝|x |x －1－kx 2有4个零点，则实数k 的取值范围是______________.答案 (1)(－2,0) (2)(－∞，－4) 解析 (1)∵－a ＝x 2＋x 在(0,1)上有解， 又y ＝x 2＋x ＝(x ＋12)2－14，∴函数y ＝x 2＋x ，x ∈(0,1)的值域为(0,2)， ∴0<－a <2，∴－2<a <0.(2)令f (x )＝0，则方程|x |x －1＝kx 2有4个不同的实数根，显然，x ＝0是方程的一个实数根.当x ≠0时，方程可化为1k ＝|x |(x －1)，设h (x )＝1k，g (x )＝|x |(x －1)，由题意知h (x )与g (x )图象(如图所示)有三个不同的交点，由g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －1)，x >0，－x (x －1)，x <0，结合图象知－14<1k<0，所以k <－4.题型三 二次函数的零点问题例4 已知f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a 的取值范围.解 方法一 设方程x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)＝0的两根分别为x 1，x 2(x 1<x 2)，则(x 1－1)(x 2－1)<0， ∴x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1<0，由根与系数的关系，得(a －2)＋(a 2－1)＋1<0， 即a 2＋a －2<0，∴－2<a <1.方法二 函数图象大致如图，则有f (1)<0，即1＋(a 2－1)＋a －2<0，∴－2<a <1. 故实数a 的取值范围是(－2,1).思维升华 解决与二次函数有关的零点问题 (1)利用一元二次方程的求根公式.(2)利用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系. (3)利用二次函数的图象列不等式组.(2016·江苏泰州中学质检)关于x 的一元二次方程x 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两个不同的实根，且一根大于3，一根小于1，则m 的取值范围是______. 答案 (－∞，－214)解析 设f (x )＝x 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14，由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧f (3)<0，f (1)<0，所以m <－214.4.利用转化思想求解函数零点问题典例 (1)若函数f (x )＝a x －x －a (a >0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________. (2)若关于x 的方程22x ＋2x a ＋a ＋1＝0有实根，则实数a 的取值范围为________.思想方法指导 (1)函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，利用数形结合求解参数范围.(2)“a ＝f (x )有解”型问题，可以通过求函数y ＝f (x )的值域解决.解析 (1)函数f (x )＝a x －x －a (a >0且a ≠1)有两个零点，即方程a x －x －a ＝0有两个根，即函数y ＝a x 与函数y ＝x ＋a 的图象有两个交点.当0<a <1时，图象如图(1)所示，此时只有一个交点. 当a >1时，图象如图(2)所示，此时有两个交点. ∴实数a 的取值范围为(1，＋∞).(2)由方程，解得a ＝－22x ＋12x ＋1，设t ＝2x (t >0)，则a ＝－t 2＋1t ＋1＝－(t ＋2t ＋1－1)＝2－[(t ＋1)＋2t ＋1]，其中t ＋1>1，由基本不等式，得(t ＋1)＋2t ＋1≥22，当且仅当t ＝2－1时取等号，故a ≤2－2 2.答案 (1)(1，＋∞) (2)(－∞，2－22]1.(2016·江苏东海中学期中)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －1，x ≥2或x ≤－1，1，－1<x <2，则函数g (x )＝f (x )－x 的零点为______________. 答案 1＋2或1解析 题目转化为求方程f (x )＝x 的根，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2或x ≤－1，x 2－x －1＝x 或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <2，1＝x ，解得x ＝1＋2或x ＝1，所以g (x )的零点为1＋2或1.2.若函数f (x )＝log 3x ＋x －3的零点所在的区间是(n ，n ＋1)(n ∈Z )，则n ＝________. 答案 2解析 由f (2)＝log 32－1<0，f (3)＝1>0，知f (x )＝0的根在区间(2,3)内，即n ＝2.3.已知三个函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝x －2，h (x )＝log 2x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为________. 答案 a <c <b解析 方法一 由于f (－1)＝12－1＝－12<0，f (0)＝1>0且f (x )为R 上的递增函数.故f (x )＝2x ＋x 的零点a ∈(－1,0). ∵g (2)＝0，∴g (x )的零点b ＝2；∵h ⎝⎛⎭⎫12＝－1＋12＝－12<0，h (1)＝1>0， 且h (x )为(0，＋∞)上的增函数， ∴h (x )的零点c ∈⎝⎛⎭⎫12，1，因此a <c <b . 方法二 由f (x )＝0得2x ＝－x ；由h (x )＝0得log 2x ＝－x ，作出函数y ＝2x ， y ＝log 2x 和y ＝－x 的图象(如图).由图象易知a <0,0<c <1，而b ＝2， 故a <c <b .4.方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是________. 答案 2解析 (数形结合法) ∵a >0，∴a 2＋1>1. 而y ＝|x 2－2x |的图象如图，∴y ＝|x 2－2x |的图象与y ＝a 2＋1的图象总有两个交点.5.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1(x ≤0)，x －2＋ln x (x >0)的零点个数为______.答案 2解析 当x ≤0时，令f (x )＝0，得x 2－1＝0，∴x ＝－1，此时f (x )有一个零点；当x >0时，令f (x )＝0，得x －2＋ln x ＝0，在同一个坐标系中画出y ＝2－x 和y ＝ln x 的图象(图略)，观察其图象可知函数y ＝2－x 和y ＝ln x 的图象在(0，＋∞)上的交点个数是1，所以此时函数f (x )有一个零点，所以f (x )的零点个数为2.6.已知x ∈R ，符号[x ]表示不超过x 的最大整数，若函数f (x )＝[x ]x －a (x ≠0)有且仅有3个零点，则实数a 的取值范围是________________. 答案 ⎝⎛⎦⎤34，45∪[43，32)解析 当0<x <1时，f (x )＝[x ]x －a ＝－a ；当1≤x <2时，f (x )＝[x ]x －a ＝1x －a ；当2≤x <3时，f (x )＝[x ]x －a ＝2x－a ；…f (x )＝[x ]x －a 的图象是把y ＝[x ]x 的图象进行纵向平移而得到的，画出y ＝[x ]x 的图象，如图所示，通过数形结合可知a ∈(34，45]∪[43，32).7.(2016·徐州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为________.答案 x ＝0解析 当x ≤1时，由f (x )＝2x －1＝0，解得x ＝0；当x >1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12，又因为x >1，所以此时方程无解. 综上，函数f (x )的零点只有0.8.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________. 答案 (0,1)解析 画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0的图象，如图.由于函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点， 结合图象得0<m <1，即m ∈(0,1).9.定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x >0时，f (x )＝2 015x ＋log 2 015x ，则在R 上，函数f (x )零点的个数为________. 答案 3解析 函数f (x )为R 上的奇函数，因此f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝2 015x ＋log 2 015x 在区间(0，12 015)内存在一个零点， 又f (x )为增函数，因此在(0，＋∞)内有且仅有一个零点.根据对称性可知函数在(－∞，0)内有且仅有一解，从而函数f (x )在R 上的零点的个数为3.10.若a >1，设函数f (x )＝a x ＋x －4的零点为m ，函数g (x )＝loga x ＋x －4的零点为n ，则1m ＋1n的最小值为________.答案 1解析 设F (x )＝a x ，G (x )＝log a x ，h (x )＝4－x ，则h (x )与F (x )，G (x )的交点A ，B 横坐标分别为m ，n (m >0，n >0).因为F (x )与G (x )关于直线y ＝x 对称，所以A ，B 两点关于直线y ＝x 对称.又因为y ＝x 和h (x )＝4－x 交点的横坐标为2，所以m ＋n ＝4.又m >0，n >0，所以1m ＋1n ＝(1m ＋1n )·m ＋n 4＝14(2＋n m ＋m n )≥14(2＋2 n m ×m n )＝1. 当且仅当n m ＝m n，即m ＝n ＝2时等号成立. 所以1m ＋1n的最小值为1. 11.(2016·江苏淮阴中学期中)已知关于x 的一元二次方程x 2－2ax ＋a ＋2＝0的两个实根是α，β，且有1<α<2<β<3，则实数a 的取值范围是________. 答案 (2，115) 解析 设f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2，结合二次函数的图象及一元二次方程根的分布情况可得 ⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)>0，f (2)<0，f (3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2a ＋a ＋2>0，4－4a ＋a ＋2<0，9－6a ＋a ＋2>0， 解得2<a <115，所以实数a 的取值范围为(2，115). 12.关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m 的取值范围.解 显然x ＝0不是方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0的解，0<x ≤2时，方程可变形为1－m ＝x ＋1x，又∵y ＝x ＋1x在(0,1]上单调递减，[1,2]上单调递增， ∴y ＝x ＋1x在(0,2]上的取值范围是[2，＋∞)， ∴1－m ≥2，∴m ≤－1，故m 的取值范围是(－∞，－1].13.已知y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x .(1)写出函数y ＝f (x )的解析式；(2)若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，求a 的取值范围.解 (1)设x <0，则－x >0，∴f (－x )＝x 2＋2x .又∵f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－x 2－2x .∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0. (2)方程f (x )＝a 恰有3个不同的解.即y ＝f (x )与y ＝a 的图象有3个不同的交点，作出y ＝f (x )与y ＝a 的图象如图所示，故若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解只需－1<a <1，故a 的取值范围为(－1,1).。
2018版高考数学理江苏专用一轮复习练习 第二章 函数概
第2讲 函数的单调性与最值基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a 的值为________．解析 由图象易知函数f (x )＝|2x ＋a |的单调增区间是[－a 2，＋∞)，令－a2＝3，∴a ＝－6. 答案 －62．(2016·北京卷改编)下列四个函数：①y ＝11－x；②y ＝cos x ；③y ＝ln(x ＋1)；④y ＝2－x . 其中在区间(－1,1)上为减函数的是________(填序号)． 解析 ∵y ＝11－x与y ＝ln(x ＋1)在(－1,1)上为增函数，且y ＝cos x 在(－1,1)上不具备单调性．∴①，②，③不满足题意．只有y ＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(－1,1)上是减函数． 答案 ④3．定义新运算“⊕”：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a 2；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，在区间[－2,2]上的最大值为________． 解析 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数． ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6. 答案 64．(2017·南京、盐城模拟)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．解析 由于y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1,1]上递增，所以f (x )在[－1,1]上单调递减，故f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3. 答案 35．函数f (x )＝log (x 2－4)的单调递增区间为________．解析 因为y ＝log t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为 (－∞，－2)． 答案 (－∞，－2)6．f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是________．解析 2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2，可得f [x (x －8)]≤f (9)，因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有⎩⎨⎧x >0，x －8>0，x (x －8)≤9，解得8<x ≤9.答案 (8,9]7．(2017·无锡期末)设函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．解析 作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4.答案 (－∞，1]∪[4，＋∞)8．(2017·郑州模拟)设函数f (x )＝⎩⎨⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．解析由题意知g (x )＝⎩⎨⎧x 2 (x >1)，0 (x ＝1)，－x 2(x <1)，函数的图象如图所示的实线部分，根据图象，g (x )的减区间是[0,1)． 答案 [0,1) 二、解答题9．已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)．(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值．(1)证明 设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0， ∵f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)解 ∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，又由(1)得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是单调增函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f (2)＝2，易知a ＝25. 10．已知函数f (x )＝2x －ax 的定义域为(0,1](a 为实数)．(1)当a ＝1时，求函数y ＝f (x )的值域；(2)求函数y ＝f (x )在区间(0,1]上的最大值及最小值，并求出当函数f (x )取得最值时x 的值．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝2x －1x ，任取1≥x 1＞x 2＞0，则f (x 1)－f (x 2)＝2(x 1－x 2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2 ＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1x 1x 2.∵1≥x 1＞x 2＞0，∴x 1－x 2＞0，x 1x 2＞0.∴f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )在(0,1]上单调递增，无最小值，当x ＝1时取得最大值1，所以f (x )的值域为(－∞，1]．(2)当a ≥0时，y ＝f (x )在(0,1]上单调递增，无最小值，当x ＝1时取得最大值2－a ；当a ＜0时，f (x )＝2x ＋－ax ， 当－a2≥1，即a ∈(－∞，－2]时，y ＝f (x )在(0,1]上单调递减，无最大值，当x ＝1时取得最小值2－a ； 当－a 2＜1，即a ∈(－2,0)时，y ＝f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，－a 2上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a 2，1上单调递增，无最大值，当x ＝－a2时取得最小值2－2a . 能力提升题组 (建议用时：20分钟)11．(2017·泰州一检)若函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________. 解析 当a >1，则y ＝a x为增函数，有a 2＝4，a －1＝m ，此时a ＝2，m ＝12，此时g (x )＝－x 在[0，＋∞)上为减函数，不合题意． 当0<a <1，则y ＝a x 为减函数， 有a －1＝4，a 2＝m ，此时a ＝14，m ＝116.此时g (x )＝34x 在[0，＋∞)上是增函数．故a ＝14. 答案 1412．(2017·南京一中模拟)已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若存在f (a )＝g (b )，则实数b 的取值范围为________．解析 由题可知f (x )＝e x －1>－1，g (x )＝－x 2＋4x －3＝－(x －2)2＋1≤1， 若f (a )＝g (b )，则g (b )∈(－1,1]， 即－b 2＋4b －3>－1，即b 2－4b ＋2<0， 解得2－2<b <2＋ 2.所以实数b 的取值范围为(2－2，2＋2)． 答案 (2－2，2＋2)13．对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎨⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________． 解析 依题意，h (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，0<x ≤2，－x ＋3，x >2.当0<x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数， 当x >2时，h (x )＝3－x 是减函数， ∴h (x )在x ＝2时，取得最大值h (2)＝1. 答案 114．已知函数f (x )＝lg(x ＋ax －2)，其中a 是大于0的常数．(1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值； (3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围． 解 (1)由x ＋ax －2＞0，得x 2－2x ＋a x＞0，当a ＞1时，x 2－2x ＋a ＞0恒成立，定义域为(0，＋∞)， 当a ＝1时，定义域为{x |x ＞0且x ≠1}，当0＜a ＜1时，定义域为{x |0＜x ＜1－1－a 或x ＞1＋1－a }． (2)设g (x )＝x ＋ax －2，当a ∈(1,4)，x ∈[2，＋∞)时，∴g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－ax 2>0.因此g (x )在[2，＋∞)上是增函数， ∴f (x )在[2，＋∞)上是增函数． 则f (x )min ＝f (2)＝ln a2.(3)对任意x ∈[2，＋∞)，恒有f (x )>0. 即x ＋ax －2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立．∴a >3x －x 2.令h (x )＝3x －x 2，x ∈[2，＋∞)．由于h (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋94在[2，＋∞)上是减函数，∴h (x )max ＝h (2)＝2. 故a >2时，恒有f (x )>0.因此实数a 的取值范围为(2，＋∞).。
江苏专版2018高考数学大一轮复习第二章函数与基本初等函数Ⅰ7函数的奇偶性课件文
因为
2x－1＋1 1 1 1 －2＋a＝x x ＋2 x x ＋a＝f(x)， 2 － 1 2 － 1
课堂导学
函数奇偶性的判定
例1
判断下列各函数的奇偶性：
x3－x2 (1) f(x)＝ ； x －1 (2) f(x)＝ x2－1＋ 1－x2； (3) f(x)＝|x＋2|－|x－2|； (4)
2 x ＋x，x<0， f(x)＝ 2 x －x，x>0.
【思维引导】先求定义域，看定义域是否关于原点对称，
第 7课
函数的奇偶性
课前热身
激活思维
1. x4－1 ( 必修 1P43 练习 6 改编 ) 函数 f(x) ＝ 2 是 xx －1
奇 ________ 函数．(填“奇”“偶”或“非奇非偶”) 【解析】由题知定义域{x|x∈R，且x≠0，x≠±1}关于原点
对称，且f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
在定义域对称的情况下，解析式带绝对值符号的，要利用绝对 值的意义判断f(－x)与f(x)的关系，分段函数应分情况判断． 【解答】(1) 定义域是{x|x≠1}，不关于原点对称，所以f(x) 是非奇非偶函数．
(2) 定义域是{－1,1}，f(x)＝0，
所以f(x)既是奇函数又是偶函数． (3) 定义域是R，f(－x)＝|－x＋2|－|－x－2|＝－(|x＋2|－|x－ 2|)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
变式1
判断下列各函数的奇偶性：
1＋x . 1－xΒιβλιοθήκη (1) f(x) ＝(x－1)
1＋x 【解答】由 ≥0，得定义域为[－1,1)，关于原点不对 1－x 称，所以 f(x)是非奇非偶函数．
(2)
2 x ＋x，x<0， f(x)＝ 2 －x ＋x，x>0.
江苏专用2018版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2.2函数的单调性与最值课件文
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I⊆A.
图象描述
下降的 上升的 自左向右看图象是_______ 自左向右看图象是_______ (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上是 单调增函数 或 单调减函数 ，那么就说函数 y＝f(x)在区间I上具有单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间.
2.函数的最值 前提 条件 结论 设函数y＝f(x)的定义域为A，如果存在x0∈A，使得 对于任意的x∈A，都有 f(x)≤f(x0) __________ f(x0)为最大值 对于任意的x∈A，都有 f(x)≥f(x0) __________ f(x0)为最小值
知识拓展
函数单调性的常用结论
fx1－fx2 fx1－fx2 (1)对∀x1，x2∈D(x1≠x2)， >0⇔f(x)在 D 上是增函数， x1－x2 x1－x2 <0⇔f(x)在 D 上是减函数. a (2)对勾函数 y＝x＋ (a>0)的增区间为(－∞，－ a]和[ a，＋∞)，减区间 x 为[－ a，0)和(0， a].
2 ax1x2 － ax － ax x ax2－x1x1x2＋1 2 1 2 1＋ax2 ∵－1<x1<x2<1， ＝ ＝ 2 2 2 2 x1－1x 2－1 x1－1x2－1
2 ∴x2－x1>0，x1x2＋1>0，(x2 － 1)( x 1 2－1)>0.
又∵a>0，∴f(x1)－f(x2)>0，
2
1 ①当 a＝ 时，求函数 f(x)的最小值； 2
解答
几何画板展示
1 1 又x∈[1，＋∞)， 当 a＝ 时，f(x)＝x＋ ＋2， 2 2x
1 所以 f′(x)＝1－ 2>0，即 f(x)在[1，＋∞)上是增函数， 2x
2018届高三数学理一轮总复习江苏专用课件：第二章第八节 函数与方程 精品
考点二 判断函数零点个数重点保分型考点——师生共研
[典例引领] 1．(2016·南京学情调研)已知函数 f(x)＝－－2x，2＋xb>x0＋，c，x≤0，
若 f(0)＝－2，f(－1)＝1，则函数 g(x)＝f(x)＋x 的零点个数为 ______．
解析：依题意得c－＝1－－2b，＋c＝1， 由此解得 b＝－4，c＝－2. 由 g(x)＝0 得 f(x)＋x＝0， 该方程等价于x－>20＋，x＝0， ① 或x－≤x20－，4x－2＋x＝0. ② 解①得 x＝2，解②得 x＝－1 或 x＝－2. 因此，函数 g(x)＝f(x)＋x 的零点个数为 3. 答案：3
2．(2015·天津高考改编)已知函数 f(x)＝2x－－|x2|，2，x≤x>22，， 函数 g(x)＝3－f(2－x)，则函数 y＝f(x)－g(x)的零点个 数为________．
解析：由已知条件可得 g(x)＝3－f(2－x)＝
|x－2|＋1，x≥0， 3－x2，x<0.
函数 y＝f(x)－g(x)的零点个数即为函
考点三 函数零点的应用重点保分型考点——师生共研 [典例引领]
已知函数 f(x)＝l－ogx22－x＋2x1，，xx≤>00，， 若函数 g(x)＝f(x)－m 有 3 个零点，则实数 m 的取值范围是______．
解析：函数 g(x)＝f(x)－m 有 3 个零点， 转化为 f(x)－m＝0 的根有 3 个，进而转 化为 y＝f(x)，y＝m 的交点有 3 个．画出函数 y＝f(x)的图 象，则直线 y＝m 与其有 3 个公共点．又抛物线顶点为(－ 1,1)，由图可知实数 m 的取值范围是(0,1)． 答案：(0,1)
数 y＝f(x)与 y＝g(x)图象的交点个数，在平面直角坐标系内
2018版高考数学理江苏专用大一轮复习讲义教师版文档第
1.对数的概念一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b ＝N ，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，N 叫做真数. 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R ). (2)对数的性质 ①log a Na＝ N ；②log a a N ＝ N (a >0且a ≠1).(3)对数的换底公式log a N ＝log c Nlog c a (其中a >0，a ≠1；N >0，c >0，c ≠1).3.对数函数的图象与性质4.指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线 y ＝x对称. 【知识拓展】1.换底公式的两个重要结论 (1)log a b ＝1log b a ；(2)log m na b ＝n mlog a b .其中a >0且a ≠1，b >0且b ≠1，m ，n ∈R . 2.对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.故0<c <d <1<a <b .由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( × ) (2)log a x ·log a y ＝log a (x ＋y ).( × )(3)函数y ＝log 2x 及y ＝13log 3x 都是对数函数.( × )(4)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数.( × ) (5)函数y ＝ln 1＋x 1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同.( √ )(6)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1，0)且过点(a ，1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限.( √ )1.(教材改编)log 2716log 34的值为 .答案 23解析 原式＝lg 16lg 27lg 4lg 3＝lg 16·lg 3lg 27·lg 4＝2lg 4·lg 33lg 3·lg 4＝23.2.(2016·常州期末)函数f (x )＝log 2(－x 2＋22)的值域为 . 答案 (－∞，32]解析 由题意可得－x 2＋22>0，即－x 2＋22∈(0，22]，故所求函数的值域为(－∞，32].3.(2016·课标全国Ⅰ改编)若a >b >0，0<c <1，则log c a 与log c b 的大小关系为 . 答案 log c a <log c b解析 ∵0<c <1，∴y ＝log c x 在(0，＋∞)上单调递减，又a >b >0，∴log c a <log c b . 4.(2017·徐州月考)函数y ＝log 0.5(4x －3)的定义域为 . 答案 (34，1]解析 由log 0.5(4x －3)≥0且4x －3>0，得34<x ≤1.5.(教材改编)若log a 34<1(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是 .答案 ⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞) 解析 当0<a <1时，log a 34<log a a ＝1，∴0<a <34；当a >1时，log a 34<log a a ＝1，∴a >1.∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞).题型一 对数的运算 例1 计算下列各式：(1)12lg 25＋lg 2＋lg 10＋lg(0.01)－1； (2)2log 32－log 3329＋log 38－3log 55.解 (1)原式＝lg 112122[25210(10)]--⨯⨯⨯ ＝lg(5×2×1210×102)＝lg 7210＝72.(2)原式＝log 322＋log 3(32×2－5)＋log 323－3＝log 3(22×32×2－5×23)－3＝log 332－3 ＝2－3＝－1.思维升华 对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并.(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.(1)若a ＝log 43，则2a ＋2－a ＝ .(2)2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋(lg 2)2－lg 2＋1＝ . 答案 (1)433(2)1解析 (1)∵a ＝log 43＝22log 3＝12log 23＝log 23，∴2a ＋2－a ＝log log 22-+＝3＋log 2＝3＋33＝433. (2)原式＝2×(12lg 2)2＋12lg 2×lg 5＋(lg 2－1)2＝12lg 2(lg 2＋lg 5)＋1－12lg 2 ＝12lg 2＋1－12lg 2＝1. 题型二 对数函数的图象及应用例2 (1)已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是 .①a >1，c >1;②a >1，0<c <1； ③0<a <1，c >1;④0<a <1，0<c <1.(2)(2016·宿迁模拟)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是 .答案 (1)④ (2)(22，1) 解析 (1)由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，∴0<a <1，∵图象与x 轴的交点在区间(0，1)之间，∴该函数的图象是由函数y ＝log a x 的图象向左平移不到1个单位后得到的，∴0<c <1.(2)构造函数f (x )＝4x 和g (x )＝log a x ，当a >1时不满足条件，当0<a <1时，画出两个函数在(0，12]上的图象，可知f (12)<g (12)，即2<log a 12，则a >22，所以a 的取值范围为(22，1).思维升华 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.(1)若函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是 .(2)已知f (x )＝|lg x |，若1c >a >b >1，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系是 .答案 (1)② (2)f (c )>f (a )>f (b )解析 (1)由题意y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过(3，1)点，可解得a ＝3.①中，y ＝3－x ＝(13)x ，显然图象错误；②中，y ＝x 3，由幂函数图象性质可知正确；③中，y ＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图象不符；④中，y ＝log 3(－x )的图象与y ＝log 3x 的图象关于y 轴对称，显然不符.(2)先作出函数y ＝lg x 的图象，再将图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到上方，这样，我们便得到了y ＝|lg x |的图象，如图.由图可知，f (x )＝|lg x |在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，于是f (1c )＞f (a )＞f (b )，而f (1c )＝|lg 1c |＝|－lg c |＝|lg c |＝f (c ).所以f (c )＞f (a )＞f (b ).题型三 对数函数的性质及应用 命题点1 比较对数值的大小例3 (2015·天津改编)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x－m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为 . 答案 c ＜a ＜b 解析 由f (x )＝2|x－m |－1是偶函数可知m ＝0，所以f (x )＝2|x |－1. 所以a ＝f (log 0.53)＝0.52log 3log 321=2-－1＝2，b ＝f (log 25)＝2log 52－1＝2log 52－1＝4，c ＝f (0)＝2|0|－1＝0，所以c <a <b . 命题点2 解对数不等式例4 (1)若log a 23<1，则a 的取值范围是 .(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x (x >0)，12log (－x )(x <0)，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是 .答案 (1)(0，23)∪(1，＋∞) (2)(－1，0)∪(1，＋∞)解析 (1)当a >1时，函数y ＝log a x 在定义域内为增函数，所以log a 23<log a a 总成立.当0<a <1时，函数y ＝log a x 在定义域内是减函数， 由log a 23<log a a ，得a <23，故0<a <23.综上，a 的取值范围为(0，23)∪(1，＋∞).(2)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，log 2a >－log 2a或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，12log (－a )>log 2(－a ).解得a >1或－1<a <0.命题点3 和对数函数有关的复合函数 例5 已知函数f (x )＝log a (3－ax ).(1)当x ∈[0，2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由. 解 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ， 则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0，2]时，t (x )的最小值为3－2a ， 当x ∈[0，2]时，f (x )恒有意义， 即x ∈[0，2]时，3－ax >0恒成立. ∴3－2a >0，∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a 的取值范围为(0，1)∪⎝⎛⎭⎫1，32. (2)t (x )＝3－ax ，∵a >0，∴函数t (x )为减函数.∵f (x )在区间[1，2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1，2]时，t (x )的最小值为3－2a ，f (x )的最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a (3－a )＝1，即⎩⎨⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1. 思维升华 (1)对数值大小比较的主要方法 ①化同底数后利用函数的单调性； ②化同真数后利用图象比较； ③借用中间量(0或1等)进行估值比较.(2)解决与对数函数有关的复合函数问题，首先要确定函数的定义域，根据“同增异减”原则判断函数的单调性，利用函数的最值解决恒成立问题.(1)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是 .(2)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为 .答案 (1)[0，＋∞) (2)[1，2)解析 (1)当x ≤1时，21－x ≤2，解得x ≥0，所以0≤x ≤1；当x >1时，1－log 2x ≤2，解得x ≥12，所以x >1.综上可知x ≥0.(2)令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1，2).3.比较指数式、对数式的大小考点分析 比较大小问题是每年高考的必考内容之一：(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法.(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.典例 (1)(2016·全国乙卷改编)若a >b >0，0<c <1，则下列不等式正确的是 . ①log a c <log b c; ②log c a <log c b ； ③a c <b c;④c a >c b .(2)(2016·南京模拟)若a ＝20.3，b ＝log π3，c ＝log 4cos 100，则a ，b ，c 的大小关系为 .(3)若实数a ，b ，c 满足log a 2<log b 2<log c 2，则下列关系中不可能成立的是 . ①a <b <c ；②b <a <c ；③c <b <a ；④a <c <b . 解析 (1)对①：log a c ＝lg c lg a ，log b c ＝lg clg b ，因为0<c <1，所以lg c <0， 而a >b >0，所以lg a >lg b ， 但不能确定lg a 、lg b 的正负， 所以它们的大小不能确定，所以①错； 对②：log c a ＝lg a lg c ，log c b ＝lg blg c，而lg a >lg b ，两边同乘以一个负数1lg c改变不等号方向，所以②正确；对③：由y ＝x c 在第一象限内是增函数， 即可得到a c >b c ，所以③错； 对④：由y ＝c x 在R 上为减函数， 得c a <c b ，所以④错.(2)因为20.3>20＝1，0＝log π1<log π3<log ππ＝1， log 4cos 100<log 41＝0，所以a >b >c .(3)由log a 2<log b 2<log c 2的大小关系，可知a ，b ，c 有如下四种可能：①1<c <b <a ；②0<a <1<c <b ；③0<b <a <1<c ；④0<c <b <a <1.对照所给不等式可知①中关系不可能成立. 答案 (1)② (2)a >b >c (3)①1.(教材改编)给出下列4个等式：①log 253＝3log 25；②log 253＝5log 23；③log 84＝23；④4＝4.其中正确的等式是 .(写出所有正确的序号) 答案 ①③④解析 ②中52log 3＝15log 23，故②不正确，①③④都正确.2.设a ＝log 37，b ＝21.1，c ＝0.83.1，则a ，b ，c 的大小关系为 . 答案 c <a <b解析 ∵a ＝log 37，∴1<a <2. ∵b ＝21.1，∴b >2. ∵c ＝0.83.1，∴0<c <1. 即c <a <b .3.函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图象大致是 .答案 ①解析 函数f (x )＝ln(x 2＋1)是偶函数，排除③；当x ＝0时，f (x )＝0，排除②、④.4.(2016·苏州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(5－x )，x ≤1，f (x －1)＋1，x >1，则f (2 018)＝ .答案 2 019解析 由已知f (2 018)＝f (2 017)＋1 ＝f (2 016)＋2＝f (2 015)＋3＝…＝f (1)＋2 017＝log 2(5－1)＋2 017＝2 019.5.定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1，0)时，f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)＝ . 答案 －1解析 由f (x －2)＝f (x ＋2)，得f (x )＝f (x ＋4)，因为4＜log 220＜5，所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝－f (4－log 220)＝－f (log 245)＝24log 51(2)5-+＝－1.6.若函数f (x )＝log a (x 2＋32x )(a >0，a ≠1)在区间(12， ＋∞)内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为 . 答案 (0，＋∞)解析 令M ＝x 2＋32x ，当x ∈(12，＋∞)时，M ∈(1，＋∞)，f (x )>0，所以a >1，所以函数y ＝log a M为增函数，又M ＝(x ＋34)2－916，因此M 的单调递增区间为(－34，＋∞).又x 2＋32x >0，所以x >0或x <－32，所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞). 7.(2015·安徽)lg 52＋2lg 2－⎝⎛⎭⎫12－1＝ . 答案 －1解析 lg 52＋2lg 2－⎝⎛⎭⎫12－1＝lg 52＋lg 22－2 ＝lg ⎝⎛⎭⎫52×4－2＝1－2＝－1.8.(2016·浙江)已知a >b >1.若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＝ ，b ＝ .答案 4 2解析 令log a b ＝t ，∵a >b >1，∴0<t <1，由log a b ＋log b a ＝52，得t ＋1t ＝52，解得t ＝12或t ＝2(舍去)，即log a b ＝12，∴b ＝a ，又a b ＝b a ，∴(a )a ，即2aa ，亦即a ＝a 2，解得a ＝4，∴b ＝2. 9.已知函数f (x )＝log a (2x －a )在区间[12，23]上恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是 . 答案 (13，1) 解析 当0<a <1时，函数f (x )在区间[12，23]上是减函数， 所以log a (43－a )>0，即0<43－a <1， 解得13<a <43，故13<a <1； 当a >1时，函数f (x )在区间[12，23]上是增函数， 所以log a (1－a )>0，即1－a >1，解得a <0，此时无解.综上所述，实数a 的取值范围是(13，1). *10.(2016·南通模拟)关于函数f (x )＝lg x 2＋1|x |(x ≠0，x ∈R )有下列命题： ①函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称；②在区间(－∞，0)上，函数y ＝f (x )是减函数；③函数f (x )的最小值为lg 2；④在区间(1，＋∞)上，函数f (x )是增函数.其中是真命题的序号为 .答案 ①③④解析 ∵函数f (x )＝lg x 2＋1|x |(x ≠0，x ∈R )，显然f (－x )＝f (x )， 即函数f (x )为偶函数，图象关于y 轴对称，故①正确；当x >0时，f (x )＝lg x 2＋1|x |＝lg x 2＋1x ＝lg(x ＋1x)， 令t (x )＝x ＋1x ，x >0，则t ′(x )＝1－1x 2，可知当x ∈(0，1)时，t ′(x )<0，t (x )单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，t ′(x )>0，t (x )单调递增，即在x ＝1处取得最小值为2.由偶函数的图象关于y 轴对称及复合函数的单调性可知②错误，③正确，④正确，故答案为①③④.11.(2016·镇江期末)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－log 2x ，则不等式f (x )<0的解集是 .答案 (－2，0)∪(2，＋∞)解析 当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝log 2(－x )－1， f (x )<0，即log 2(－x )－1<0，解得－2<x <0；当x >0时，f (x )＝1－log 2x ，f (x )<0，即1－log 2x <0，解得x >2，综上，不等式f (x )<0的解集是(－2，0)∪(2，＋∞).12.(2016·江苏运河中学一诊)已知f (x )＝log 2(x －2)，若实数m ，n 满足f (m )＋f (2n )＝3，则m ＋n 的最小值是 .答案 7解析 由f (m )＋f (2n )＝3，得log 2[(m －2)(2n －2)]＝3⇒(m －2)(2n －2)＝23，即(m －2)(n －1)＝4，由已知得m >2，n >1，由基本不等式得(m －2＋n －12)2≥4(当且仅当m －2＝n －1＝2，即m ＝4，n ＝3时等号成立)，从而m ＋n ≥7.故m ＋n 的最小值是7.*13.已知函数f (x )＝3－2log 2x ，g (x )＝log 2x .(1)当x ∈[1，4]时，求函数h (x )＝[f (x )＋1]·g (x )的值域；(2)如果对任意的x ∈[1，4]，不等式f (x 2)·f (x )>k ·g (x )恒成立，求实数k 的取值范围. 解 (1)h (x )＝(4－2log 2x )·log 2x ＝－2(log 2x －1)2＋2，因为x ∈[1，4]，所以log 2x ∈[0，2]，故函数h (x )的值域为[0，2].(2)由f (x 2)·f (x )>k ·g (x )，得(3－4log 2x )(3－log 2x )>k ·log 2x ，令t ＝log 2x ，因为x ∈[1，4]，所以t ＝log 2x ∈[0，2]，所以(3－4t )(3－t )>k ·t 对一切t ∈[0，2]恒成立，①当t ＝0时，k ∈R ；②当t ∈(0，2]时，k <(3－4t )(3－t )t 恒成立，即k <4t ＋9t－15， 因为4t ＋9t ≥12，当且仅当4t ＝9t ，即t ＝32时取等号， 所以4t ＋9t－15的最小值为－3. 综上，实数k 的取值范围为(－∞，－3).*14.(2016·盐城模拟)已知函数f (x )＝ln x ＋1x －1. (1)求函数f (x )的定义域，并判断函数f (x )的奇偶性；(2)对于x ∈[2，6]，f (x )＝ln x ＋1x －1>ln m (x －1)(7－x )恒成立，求实数m 的取值范围.解 (1)由x ＋1x －1>0，解得x <－1或x >1， ∴函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)， 当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f (－x )＝ln －x ＋1－x －1＝ln x －1x ＋1＝ln(x ＋1x －1)－1 ＝－ln x ＋1x －1＝－f (x )， ∴f (x )＝ln x ＋1x －1是奇函数. (2)由于x ∈[2，6]时，f (x )＝lnx ＋1x －1>ln m (x －1)(7－x )恒成立， ∴x ＋1x －1>m (x －1)(7－x )>0， ∵x ∈[2，6]，∴0<m <(x ＋1)(7－x )在x ∈[2，6]上恒成立. 令g (x )＝(x ＋1)(7－x )＝－(x －3)2＋16，x ∈[2，6]，由二次函数的性质可知，x ∈[2，3]时函数g (x )单调递增， x ∈[3，6]时函数g (x )单调递减，即x ∈[2，6]时，g (x )min ＝g (6)＝7，∴0<m <7.。