二次根式的除法
二次根式的除法1
（4）
2y 2 4 xy
1 3 1 （1）－ 19 ÷ 95 （2） 9 ÷ （－ 2 ） 48 2 4 B 4、如图，在Rt△ABC中，∠C=900， ∠A=300，AC=2cm,求斜边AB的长
A
C
课堂小结：
1. 利用商的算术平方根的性质化简二次根式。 2. 二次根式的除法有两种常用方法： （1）利用公式： a
4 9 4 9
两个二次根式相除，等于把被开方数相除， 作为商的被开方数
4 2 1. , 9 3
16 4 2. , 49 7
4 2 9 3
16 4 49 7
16 16 49 49
a b
(1)在二次根式的运算中，最 后结果一般要求分母中不含 有二次根式.
8 8 2a 4 a 2 a 2a a 2a 2a 2a
(2)在二次根式的运算中,最后 结果中的二次根式要求写成 最简的二次根式的形式.
1.被开方数不含分母 2.被开方数不含开的尽 方的因数或因式
练习：把下列各式的分母有理化：
二次根式的乘法：
a b ab ( a 0, b 0)
算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根
ab a （ b a 0， b 0）
积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根. 思考：二次根式的除法有没有类似的法则呢？ 请试着自己举出一些例子．
a b
a b
a 0, b 0
a b
24 3
a 0, b 0
2
2 1 3 18
两个二次根式相除，等于把被开方数相除， 作为商的被开方数 例４：计算 解：
1
1
二次根式的加减乘除法则
二次根式的加减乘除法则
两个二次根式之和的形式是√a±√b。
如果两个二次根式的被开方数
相同，即a=b，则可以直接将它们的系数相加或相减，而保持根号下的数
不变。
具体来说，√a±√a=2√a，√b±√b=2√b。
例如，√2+√2=2√2，√3-√3=-2√3
如果两个二次根式的被开方数不同，即a≠b，则无法直接相加或相减。
在这种情况下，我们需要使用特殊的二次根式加法形式，即将二次根
式相加或相减后的结果进行化简。
具体步骤如下：
1.将二次根式分解成最简形式，即将每个二次根式的被开方数分解成
质因数的乘积。
2.将两个二次根式按照被开方数分别进行分组。
3.在每组中找出被开方数相同的二次根式，并将它们的系数相加或相减，而保持根号下的数不变。
4.将每组中的结果相加或相减，得到最终的结果。
两个二次根式的乘积可以按照分配律展开，然后进行合并同类项。
具
体步骤如下：
1.将每个二次根式的被开方数分解成质因数的乘积。
2.将两个二次根式的系数相乘。
3.将每个二次根式的根号下的数相乘，并合并同类项，即将被开方数
相乘后的结果进行化简。
4.将步骤2和步骤3的结果相乘。
除法可以转化为乘法，即将被除数乘以除数的倒数。
具体步骤如下：
1.将被除数和除数分别进行质因数分解。
2.将被除数和除数的系数相乘。
3.将被除数的根号下的数除以除数的根号下的数，并将结果进行化简。
以上就是二次根式的加减乘除法则的详细解释，希望能对您有所帮助。
二次根式加减乘除的运算法则
二次根式加减乘除的运算法则二次根式是数学中的一种特殊形式，它常常出现在代数表达式中。
在进行二次根式的加减乘除运算时，需要遵循一定的运算法则。
本文将从加法、减法、乘法和除法四个方面，详细介绍二次根式的运算法则。
一、加法运算法则对于两个二次根式的加法运算，要求根号下的数相同，即根号内数值和根号外系数相等。
例如√3+√3=2√3。
二、减法运算法则对于两个二次根式的减法运算，同样要求根号下的数相同。
例如√5-√2不能直接进行运算，需要进行化简。
化简的方法是将二次根式的根号内数值和根号外系数相同的项合并在一起，即(√5-√2)=(√5+√2)(√5-√2)=5-2=3。
三、乘法运算法则对于两个二次根式的乘法运算，可以运用分配律进行展开。
例如(√3+√2)(√3-√2)=3-2=1。
四、除法运算法则对于两个二次根式的除法运算，需要将被除数和除数进行有理化处理。
有理化处理的方法是将被除数和除数同除以一个数的平方，使得根号内只剩下一个数。
例如(√7+√3)/(√7-√3)可以进行有理化处理，得到[(√7+√3)(√7+√3)]/[(√7-√3)(√7+√3)]=10。
运用以上的加减乘除运算法则，可以解决二次根式的各种运算问题。
接下来，我们通过一些例题来加深理解。
例题1：计算√5+√2+2√5-3√2的值。
解：根据加法运算法则，可以将√5和2√5合并，将√2和-3√2合并，得到(1+2)√5+(-1-3)√2=3√5-4√2。
例题2：计算(√7+√3)(√7-√3)的值。
解：根据乘法运算法则，展开括号得到(√7+√3)(√7-√3)=7-3=4。
例题3：计算(√5+√3)/(√5-√3)的值。
解：根据除法运算法则，进行有理化处理，得到[(√5+√3)(√5+√3)]/[(√5-√3)(√5+√3)]=8/2=4。
通过以上例题的解答，我们可以看到，只要掌握了二次根式的运算法则，就能够轻松解决各种二次根式的加减乘除运算问题。
二次根式的除法(1)
课堂展示
课堂展示
规则： 同学们先在草稿纸上完成题目，5分钟后，随机抽取三名同学进行展示。
第二轮
1、计算：
① 18 8
2 5 ② 1 3 6
③ 27 50 6
2、化简：
9 ① 49
a 2b ② 4c 2
2a 2 ③ 9
课堂小结：
1、利用商的算术平方根的性质化简二次根式。 2、二次根式的除法常用方法： 利用公式：
a b = a (a ≥0，b > 0) b
b ( a 0，b 0) a
b a
作业 ：
1、计算
54 ① 3
1 7 ② 4 5 15
（x＞2）
3 ③ （x - 2） x - 2
2、化简
4x 2 ① 81
8 ② 2 a
1 ③ 4 4
思考：二次根式的除法有没有类似的法则呢？ 请试着自己举出一些例子．
新知探究
1、填空
①
②
4 9 9 16 16 25
2 3 3 4
4 5
4 9 9 16 16 25
2 3
3 4
4 5
③
2、由此可以得到二次根式除法的运算法则：
a b
a b
（a≥0，b＞0）
a b
a b
（
X）
1 （3）选择：化简 过程正确的是 （ 4
C
）
A Байду номын сангаас
1 （B） 4
1 1 （C） 2 4
1 1 4 2
总结：商的算术平方根性质的运用一定要注意 被开方数的取值范围。
之规 后 ，则 第一轮 随： 机同 1、计算： 抽学 72 取们 （ ） 18 2 ； 2） 1 （ ； 6 三先 名在 b b （3） 2a 6a； 4） （ 同草 5 20a 2 学稿 2、把下列二次根式化成 最简二次根式： 进 纸 行上 3 展完 (1) 32 ( 2) 40 (3) 1.5 ( 4) 4 示成 。题 目 ，
二次根式的除法
二次根式除法
二次根式乘法法则:
a b a b
（a≥0,b≥0)
最简二次根式的要求: 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
探 究
计算下列各式，观察计算结果，你能发现什 么规律？
2 4 4 （1） =（ ）， =（ 3 9 9
2 ） 3 4 4 16 16 （2） =（ ）， =（ ） 25 5 5 猜想： 25
3( x 1) 2( x 1) 3
4、若等式 是_________
x x 5
x x 5 成立，则x的取值范围
5、已知， a 5 2 则a与b的关系是（ ） (A) a
6
(C)
1 b ， 52 6
b
(B) a
b
ab 1
(D)
ab
小 结
1、二次根式的除法：
3
4 3
4
1.5
最简二次根式的要求:
被开方数不含分母. 例 题
1、计算：
24 (1) 3
2、化简：
3 1 (2) 2 18
3 (3) 15 5
3 (1) 100
25 y (2) 2 9x
3
4 3
4
1.5
（1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽 方的因数或因式.
满足上述两个条件的二次根式， 叫做最简二次根式.
3、计算：
3 (1) 5
3 2 (2) 27
8 (3) 2a
4、计算：
3 1 (1)9 45 1 2 2
(2) 18 2 x y 3 2 xy
3 2
(3)(4 27 5 48) 2 3
二次根式除法法则公式
二次根式除法法则公式二次根式除法又叫平方根除法，是一种用数学方法求某个数的平方根的计算方法。
二次根式除法法则公式是用来求解平方根的有效数学方法，它可以被用来解决复杂而繁琐的平方根问题。
它亦可以用于解决在数学上涉及到平方根的问题和类似数学问题，比如求解二次方程、多项式的根和三角函数。
在微积分中，二次根式除法法则公式应用广泛。
它用来求双解的二次方程；用来求多项式的根和三角函数；用来求关于偏微分方程的解；以及对几何上的问题进行求解等等。
由于二次根式除法法则公式在微积分中的用途如此广泛，因此要求学生在这方面掌握全面。
二次根式除法法则公式求解平方根的过程比较复杂，但是能够有效地求解平方根。
该法则公式要求将平方根问题化简为一元二次方程，再根据一元二次方程的解的表达式求解。
比如，求方程：2x2-5x-3=0的根，首先将该方程化简后变为一元二次方程：x2-2.5x-3=0，然后根据一元二次方程的解的表达式：x1=2.5+3等于5.5,x2=2.5-3等于－0.5，即可求得该方程的两个实根5.5,－0.5。
二次根式除法法则公式的求解平方根的方法还有一种是通过因式分解的方法，也可以得到正确的结果。
比如：求m2-3m-18=0的根。
首先将该方程因式分解，即：m2-3m=18,(m-6)(m+3)=18,则m-6=18,m=24；m+3=18,m=15。
故m2-3m-18=0的根为24和15。
比较这两种方法，二次根式除法法则公式求解平方根的方法更为简便快捷。
因此，对于求解平方根而言，学习二次根式除法法则公式是不可缺少的，同时它在微积分中的用处也是相当广泛的。
它可以解决在数学上涉及到平方根的问题，也可以解决运筹学中复杂的根式方程等。
有时候，也可以用二次根式除法法则公式来帮助我们更好地理解其他更复杂的平方根问题。
总而言之，二次根式除法法则公式是一种解决涉及到平方根问题的有效数学方法，它在数学和微积分中被广泛使用，能够有效解决涉及到平方根的问题和类似的数学问题，是每一位学习数学的学生都应该掌握的理论。
二次根式的除法法则
含字母的二次根式的除法
法则描述
含字母的二次根式相除，同样遵 循同类二次根式的除法法则，但
需注意字母的取值范围。
示例
$frac{asqrt{b}}{csqrt{b}} = frac{a}{c} quad (b > 0)$
注意事项
确保字母的取值使二次根式有意 义，且除数不为0。同时，对于 含字母的表达式，还需考虑其定
义域。
04 二次根式除法的应用
在数学领域的应用
1 2 3
简化根式表达式
通过二次根式的除法，可以将复杂的根式表达式 简化为更简单的形式，便于进一步的计算和分析。
解方程和不等式
在解方程和不等式的过程中，经常需要用到二次 根式的除法，以消去根号或化简表达式，从而得 到解或证明不等式。
推导数学公式
二次根式的除法在数学公式的推导中起到重要作 用，例如在三角函数、数列、概率统计等领域的 公式推导中经常涉及。
在物理和工程领域的应用
计算物理量
在物理学中，很多物理量需要通过二次根式的除法来计算，例如速度、加速度、 力等。这些物理量的计算往往涉及到复杂的数学表达式和根式的处理。
工程设计
在工程设计中，经常需要用到二次根式的除法来求解各种问题，例如计算结构 的强度、稳定性等。通过合理的数学建模和计算，可以保证工程设计的准确性 和安全性。
通过与共轭式相乘，可以消去分母中的根号，从而将除法转 化为乘法运算。
避免分母出现根号
在进行二次根式除法时，应尽量避免分母中出现根号。如 果分母中出现根号，可以通过乘以适当的表达式来消去根 号。
例如，当分母为√a + √b时，可以乘以√a - √b来消去分母 中的根号。
06 二次根式除法的注意事项
16.2《二次根式的除法》教案
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次根式除法的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对二次根式除法的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
iii.分母有理化；
iv.应用二次根式除法解决实际问题。
二、核心素养目标
《二次根式的除法》核心素养目标：
1.培养学生的数学抽象能力，通过二次根式的除法运算，让学生理解和掌握数学表达式的抽象化过程；
2.提升学生的逻辑推理能力，引导学生通过分母有理化等方法，合理运用运算规律，进行逻辑推理和化简；
3.增强学生的数学建模意识，将二次根式除法应用于解决实际问题，培养学生建立数学模型解决现实情境中的问题；
另外，我发现学生们在解决复杂的二次根式除法问题时，仍然会犯一些基本的运算错误。这提示我，在后续的教学中，需要加强对基本运算技能的训练，让学生们通过大量的练习来提高他们的运算速度和准确度。
在总结回顾环节，我试图让学生们自己总结今天的学习内容，这样做有助于他们更好地内化知识。但我也意识到，可能需要更多的时间让学生们提问和解答疑问，确保他们真正掌握了课程的核心内容。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调分母有理化和二次根式除法的运算规则这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和逐步解析来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二次根式除法相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，比如用实际物品来模拟二次根式除法的过程，演示其基本原理。
在新课讲授后的实践活动中，学生分组讨论和实验操作的部分非常活跃，他们能够将所学的知识应用到解决实际问题中。这让我感到欣慰，因为这说明学生们开始学会将理论知识转化为实际操作能力。
初中数学 如何使用二次根式的除法公式进行除法运算
初中数学如何使用二次根式的除法公式进行除法运算使用二次根式的除法公式进行除法运算可以通过以下步骤进行。
假设我们要计算√a 除以√b，其中a和b是非负实数。
1. 第一步，我们需要对分子和分母进行有理化，即将根号下的数转化为有理数。
有理化的方法有两种情况：a. 如果a和b都是完全平方数，那么我们可以直接将根号下的数化简为它们的平方根。
例如，√4除以√9可以有理化为2除以3。
b. 如果a和b不都是完全平方数，那么我们需要将根号下的数分解为它们的因式，然后利用乘法的分配律进行有理化。
例如，√15除以√6可以有理化为√(3×5)除以√(2×3)，然后利用乘法的分配律得到(√3×√5)除以(√2×√3)，再进一步化简为√5除以√2。
2. 第二步，我们需要将有理化后的分子和分母进行除法运算。
在这种情况下，我们可以将除法转化为乘法，即将分子乘以分母的倒数。
例如，在第一步的例子中，√5除以√2可以转化为(√5×(1/√2))。
3. 第三步，我们需要化简结果。
如果有理化后的分子和分母可以进一步化简，我们可以按照化简的方法进行。
例如，在第一步的例子中，我们可以将(√5×(1/√2)) 化简为(√5/√2)。
需要注意的是，当我们将两个二次根式相除时，我们需要确保分母不等于零，因为根号下的数不能为零。
下面通过一个具体的例子来演示如何使用二次根式的除法公式进行除法运算：例题：计算√18 除以√3。
解答：1. 首先，我们对分子和分母进行有理化。
√18可以化简为√(9×2)，√3保持不变。
√18 除以√3 = (√(9×2)) 除以√32. 然后，我们进行除法运算，即将分子乘以分母的倒数。
(√(9×2)) 除以√3 = (√(9×2)) × (1/√3)3. 最后，我们化简结果。
分子和分母都不能再被进一步化简，所以我们得到最简形式的结果。
二次根式除法
课题： 21.2二次根式的除法学习目标：1．会利用二次根式的除法法则进行二次根式的除法运算，运用商的算数平方根的性质化简二次根式。
2．经历探索二次根式的除法以及商的算术平方根的过程，掌握其应用方法。
一、正心驱动：填空：， =94 ；， =2516 ； 由计算的结果可得：=ba （a ≥0，b>0） 即：两个算术平方根的商，等于被开方数商的算术平方根。
二、正心共生：计算：（1）672（2）2113-÷2116 (3) 513÷531 .三、正心互享;由上边的式子反过来可得：a b =b a （a ≥0，b ＞0），可以用来化简二次根式。
自学课本例4，仿照例题完成下面的题目：化简：（1（2）21 （3）271 （4）x x 1(x>0)最简二次根式：化简后，被开方数中不含分母，并且被开方数中所有因数（或因式）的幂的指数都小于2，像这样的二次根式叫最简二次根式。
二次根式的运算结果必须是最简二次根式。
下列二次根式中是最简二次根式的有 。
（1）31 （2）23 （3）a 8 （4）3x （5） 22b a + 五、正心提升：1、等式2a a 1+-=2a a -1+成立的的条件是 。
2、计算：161411÷）（ （2）-22531311÷ （33、化简：（1）482 （2） x x 823 （34、直击中招：==== 数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”。
利用上述方法化简：(1)（2）181 （3）121 (４。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4___________;_____;9
1616___________;
_____;2525 3636___________;
_____.49
你发现了什么规律？你能用字母表示你所发现的规律吗？_____0,0a a b b
.
：（1）算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根（2）当二次根式根号外的因数(式除以单项式法则，
探究点2：商的算术平方根的性质
要点归纳：把二次根式的除法法则反过来，就得到二次根式的商的算术平方根的性质:
(_____,._00)a b =≥> 语言表述：商的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的商.
例2 (教材P8例5变式题)计算：
)0;x >
1.x 的取值范围是（ ）
A..x ≠2
B..x ≥0
C..x ＞2
D..x ≥2 2.化简：
探究点3：最简二次根式
思考
这样的式子分母的根号吗？ 要点归纳：（1）把分母中的根号化去,使分母变成有理数的这个过程就叫做分母有理化.（2）我们把满足以下两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
例3 在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简．
探究点4：二次根式除法的应用
例4 (教材P9例7变式题)高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”．据报道：一个30g 的鸡蛋从18楼抛下来就可以砸破行人的头骨，从25楼抛下可以使人当场死亡．据研究从高空抛物时间t 和高度h 近似的满
足公式t =从100米高空抛物到落地所需时间t 2是从50米高空抛物到落地所需时间t 1的多少倍？
二、课堂小结 二次根式的除法 内容
二次根式的除法法则
算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.即
0,0a a
a b b
b . 商的算术平方根的性质 商的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的商.即
0,0a a
a b b b
.
最简二次根式
最简二次根式满足两个条件：①被开方数不含分母； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
教学备注 配套PPT 讲授 4.探究点3新知讲授
（见幻灯片15-19）
5.探究点4新知讲授
（见幻灯片20-21）
6.课堂小结（见幻灯片27）
A．9 B．3 C．D．
2.下列根式中，最简二次根式是（）
A B C D
3.k取值范围是（）
A.k≥1
B.k≥2
C. 1＜k≤2
D. 1≤k≤2
4.化下列各式的计算中，结果为5
2的是（）
A.2
10÷ B.5
2⨯ C.
40
1
2
1
÷ D.5
8⨯
5. 化简：
6.在物理学中有公式W=I2Rt，其中W表示电功(单位：焦耳)，I表示电流(单位：安培)，R表示电阻(单位：欧姆)，t表示时间(单位：秒)，如果已知W、R、t，求I，则有I=
若W=2400焦耳，R=100欧姆，t=15秒．试求电流I．
刘敏说：哎呀，真抄错了，好在不影响结果，反正a和a-3都在根号内．试问：刘敏说得对吗？。