高等数学(同济大学版)-课程讲解-第一章习题课1
高等数学(同济大学版)课程讲解第一章习题课1讲课教案
九、授课效果分析 ：
第一章 函数与极限习题课
一、 主要内容
1. 函数
函数的概念与特性，反函数，复合函数，基本初等函数，初等函数
.
2. 极限
极限定义、运算、性质，两个重要极限，无穷小比较，极限存在准则
.
3. 连续
函数连续的概念，间断点的类型，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质，分段 函数的连续性 .
3. 求 0 或 型未定式的极限 0
例4
(x lim
h)3
x3
h0
h
解
3
3
lim ( x h) x
( x h) lim
x (x h)2
(x h)x x2
h0
h
h0
h
lim ( x h) 2 ( x h) x x2 3x2 .
h0
例 5 lim 2x 3 3 x3 x 1 2
解
lim
2x 3 3
(2 x 3) 9 ( x 1 2) lim
lim
a,
bx0
x0 x
x0 x
当 lim f ( x) lim f (x) f (0) 2 ，即 b 1.5, a 2 时， f (x) 在 x 0 处连续 .
x0
x0
12. 闭区间上连续函数性质的应用
例 22 证明方程 ln(1 ex ) 2 x 0 至少有一个小于 1 的正根 .
证 令 f (x) ln(1 ex ) 2x ,则 f ( x) 在 ( , ) 上连续 ,因而在 [0,1] 上连续 , 且
(e x 2 1) ~
1)2
，
2
2
(ex2 1)2 ( x2 )2 x4
高等数学 同济大学第七版第1章第1节课件C1S1
那么称函数f (x)在X上有上界
y
K1 称为函数f (x)在X上的一个上界
类似可以定义函数f (x)在X上有下界
o
x
函数的几种特性
1．函数的有界性
设函数f (x) 的定义域为D，数集 X D
如果存在数 K1, 使得 f ( x) K1 对任一 x X 都成立
那么称函数f (x)在X上有上界
o
x
注 函数f (x)在X上有界
函数f (x)在X上既有上界，又有下界
例：f ( x) sin x 在(, )内有界，f ( x) 1 在(0, 1)内无界 x
函数的几种特性
2．函数的单调性
设函数f (x) 的定义域为D，区间 I D
y
如果对于区间I上的任意两点x1及x2，
积 f g ( f g)( x) f ( x) g( x), x D
商 f g
f ( x) f ( x) , x D \ x | g( x) 0
g g(x)
概念
概念
集映 合射
逆映射
区邻 间域
构造 复合映射
初等函数 函
反函数
数
复合函数 构造
四则运算
第一讲 映射与函数
映
特例
函
射
数
概念
映
函
射
数
映射的概念
定义 设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得 对X中每个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素 y与之对应，那么称f为从X到Y的映射，记作：y=f (x)
f Xx
原像
像
定义域
Y y
值域
注
（1） 映射的三要素：定义域、值域的范围、对应法则； （2） 映射的像唯一，但原像不一定唯一； （3） 映射又称为算子，在不同数学分支中有不同的名称
《高等数学》电子课件(同济第六版)01第一章第1节函数
复合函数在数学、物理、工程等领域有广 泛的应用。
反函数
反函数的定义
反函数是原函数关于y=x对称的函数。
反函数的性质
反函数具有原函数的性质，如连续性、可导性等。
反函数的求导法则
反函数的求导法则与原函数有关，可以通过交换x和y的导数来实现。
反函数的应用
反函数在数学、物理、工程等领域有广泛的应用，如解方程、优化问题等。
函数单调性的定义
如果对于函数的定义域内的任意两个数$x_1$和$x_2$，当$x_1 < x_2$时，都 有$f(x_1) leq f(x_2)$（或$f(x_1) geq f(x_2)$），则称函数在该区间内单调递 增（或单调递减）。
单调性的判定方法
通过比较函数在不同区间内的增减性，可以判断函数的单调性。此外，导数也 是判断函数单调性的重要工具，如果函数在某区间内的导数大于0，则函数在该 区间内单调递增；如果导数小于0，则函数单调递减。
04
函数的图像与性质
函数的图像
函数图像的概念
函数图像是表示函数值的点在平面上 的集合。通过函数图像，我们可以直 观地了解函数的形态和变化趋势。
函数图像的绘制方法
绘制函数图像通常需要确定函数的定 义域和值域，然后根据函数的解析式 ，在坐标系上标出对应的点，最后用 光滑的曲线将它们连接起来。
函数的单调性
答案与解析
$|x|$ 是偶函数。
$x^3$ 是奇函数。
判断下列函数是否为奇函 数或偶函数
01
03 02
答案与解析
$frac{1}{x}$ 是奇函数。
解析：奇函数的定义是对于定义域内的任意 $x$，都有 $f(-x) = -f(x)$；偶函数的定义是对 于定义域内的任意 $x$，都有 $f(-x) = f(x)$。 根据这些定义，可以判断出 $x^3$、$|x|$ 和 $frac{1}{x}$ 的奇偶性。
同济大学 高等数学 第一册 函数 课件
f ( x1 ) − f ( x 2 )
= x −x
2 1
2 2
= (x1 − x2 )( x1 + x2 )< 0
∴ f ( x1 ) < f ( x 2 )
∴ y = x 2在(0， ∞ )单调增加。 + 单调增加。
x 2 +1
2
y = 1 − x2
y = eu , u =
u
x2 + 1
2
y = e , u = v , v = x + 1.
注意：一个函数要作为复合函数， 注意：一个函数要作为复合函数，必须 仅仅依赖 选择合适的中间变量 中间变量u，使得y仅仅 选择合适的中间变量 ，使得 仅仅依赖 仅仅依赖于x. 于u，而u仅仅依赖于 ， 仅仅依赖于
用来描述某一点的附近。 用来描述某一点的附近。
数集 { x x − a < δ }称为点 a的 δ 邻域 ,
表示以点 a为中心 、以δ为半径的开区间 . δ δ
x a+δ 记作 U ( a , δ ) = { x a − δ < x < a + δ }. a
a−δ
点 a的去心的 δ 邻域 ,
记作 U (a , δ ) = { x 0 < x − a < δ }.
y
y = f ( x)
y
f ( x2 )
y = f ( x)
f ( x1 )
f ( x2 )
f ( x1 )
o
I
x
o
I
x
图形：单调增加函数的图形从左到右往上升. 图形：单调增加函数的图形从左到右往上升. 单调减少函数的图形从左到右往下降. 单调减少函数的图形从左到右往下降.
高等数学-第一章-函数与极限-函数的极限-同济大学
经过不等式的变形, 得到关系
f (x) A M x x0 ,
其中 M是一个与x无关的常量. 再取 , 则当
0 x x0 时, 有:
M
f (x) A M x x0 ,
此即说明 lim f (x) A. x x0
例1 证明下列极限
⑴ lim(2x 1) 5; x2
xn
是函数 f
x
xx0
定义域中的一个任意数列,
xn
x0 ,
且
lim
n
xn
x0,
则相应的数列 f xn 收敛, 且
lim
n
f
(xn )
lim
x x0o
f
(x).
o
证
设 lim f (x) A, xx0
则存在U (x0, ), 当x U (x0, ), 有
f (x) A ,
o
又因
lim
n
x
证令
xn
1,
1
2n
2
yn
1
2n
,
则
lim
n
xn
lim
n
yn
0,
且 xn
0, yn , 0,
但
lim
n
f
(xn )
1, lim n
f
( yn )
0,
所以 lim sin π 不存在.
x0
x
对于数列, 相应的归并性定理为
定理
设数列
lim
n
xn 存在,
则对于
xn
的任一子列(xnk )
有
lim
2x 2(x2 1)
1 x
同济版 高等数学(上册) 第一章课件
第一章 函数、连续与极限
正弦函数
y sin x
y sin x
19
1. 基本初等函数
第一章 函数、连续与极限
余弦函数
y cos x
y cos x
20
1. 基本初等函数
第一章 函数、连续与极限
y tan x
的定义域是
上是奇函数（见图1-24）； y cot x 上是奇函数（见图1-25）；
a A 表示 a 不是集 A 的元素（读作 a 不属
于 A ）. 集合按照元素的个数分为有限集和无限集 ，不含任何元素的 集合称为空集，记为 .
3
集合之间的关系及运算
定义 . 设有集合
第一章 函数、连续与极限
A, B ,
记作
若
x A 必有
x B , 则称 A A B.
是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 若
注： 在本书中所讨论的数集除特别说明外均为实数集.
5
1. 集合及其运算 集合的基本运算有四种：并、交、差、补. 设 A, B 是两个集合.
第一章 函数、连续与极限
由同时包含于 A 与 B 的元素构成的集合（见图 1-2），称为 A 与 B 的交集（简称交），记作 A B ，即 A B {x | x A 且 x B} ； 由包含于
y
y x (α 是常数) Z y x 当 时， 的定义域是 R ； 当 Z 时，y x 的定义域是 R\{0}
(１) 幂函数: （见图1-17）；
1 1 当 时，y x 2 x 的定义域是 [0, ) ； 1 21 1 当 时，y x 2 的定义域是 (0, ) , 2 x
同济大学(高等数学)_第一章_函数极限
第一篇 函数、极限与连续第一章 函数、极限与连续高等数学的主要内容是微积分，微积分是以变量为研究对象，以极限方法为基本研究手段的数学学科.本章首先复习函数相关内容，继而介绍极限的概念、性质、运算等知识，最后通过函数的极限引入函数的连续性概念，这些内容是学习高等数学课程极其重要的基础知识.第1节 集合与函数1.1 集合1.1.1 集合讨论函数离不开集合的概念.一般地，我们把具有某种特定性质的事物或对象的总体称为集合，组成集合的事物或对象称为该集合的元素.通常用大写字母A 、B 、C 、 表示集合，用小写字母a 、b 、c 、 表示集合的元素.如果a 是集合A 的元素，则表示为A a ∈，读作“a 属于A ”；如果a 不是集合A 的元素，则表示为A a ∉，读作“a 不属于A ”.一个集合，如果它含有有限个元素，则称为有限集；如果它含有无限个元素，则称为无限集；如果它不含任何元素，则称为空集，记作Φ.集合的表示方法通常有两种：一种是列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合.例如，有1,2,3,4,5组成的集合A ，可表示成A ={1,2,3,4,5}；第二种是描述法，即设集合M 所有元素x 的共同特征为P ，则集合M 可表示为{}P x x M 具有性质|=.例如，集合A 是不等式022<--x x 的解集，就可以表示为{}02|2<--=x x x A .由实数组成的集合，称为数集，初等数学中常见的数集有：（1）全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N ，即 {} ,,,3,2,1,0n N =；（2）所有正整数组成的集合称为正整数集，记作+N ，即 {} ,,,3,2,1n N =+；（3）全体整数组成的集合称为整数集，记作Z ，即{} ,,,3,2,1,0,1,2,3,,,n n Z ----=；（4）全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q ，即⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈=+互质与且q p N q Z p q p Q ,,；（5）全体实数组成的集合称为实数集，记作R .1.1.2 区间与邻域在初等数学中，常见的在数集是区间.设R b a ∈,，且b a <，则（1）开区间 {}b x a x b a <<=|),(；（2）半开半闭区间 {}b x a x b a <≤=|),[，{}b x a x b a ≤<=|],(；（3）闭区间 {}b x a x b a ≤≤=|],[；（4）无穷区间 {}a x x a ≥=+∞|),[， {}a x x a >=+∞|),(，{}b x x b ≤=-∞|],(，{}b x x b <=-∞|),(，{}R x x ∈=+∞-∞|),(.以上四类统称为区间，其中（1）-（4）称为有限区间，（5）-（8）称为无限区间.在数轴上可以表示为（图1-1）：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）图 1-1 在微积分的概念中，有时需要考虑由某点0x 附近的所有点组成的集合，为此引入邻域的概念.定义1 设δ为某个正数，称开区间),(00δδ+-x x 为点0x 的δ邻域，简称为点0x 的邻域，记作),(0δx U ，即{}δδδ+<<-=0000|),(x x x x x U {}δ<-=|||0x x x .在此，点0x 称为邻域的中心，δ称为邻域的半径，图形表示为（图1-2）：图1-2另外，点0x 的邻域去掉中心0x 后，称为点0x 的去心邻域，记作),(0δx U o，即 {}δδ<-<=||0|),(00x x x x U o,图形表示为（图1-3）：图1-3 其中),(00x x δ-称为点0x 的左邻域，),(00δ+x x 称为点0x 的右邻域.1.2函数的概念1.2.1函数的定义定义2 设x 、y 是两个变量，D 是给定的数集，如果对于每个D x ∈，通过对应法则f ，有唯一确定的y 与之对应，则称y 为是x 的函数，记作)(x f y =.其中x 为自变量，y 为因变量，D 为定义域,函数值)(x f 的全体成为函数f 的值域，记作f R ，即{}D x x f y y R f ∈==),(|.函数的记号是可以任意选取的, 除了用f 外, 还可用“g ”、“F ”、“ϕ”等表示. 但在同一问题中, 不同的函数应选用不同的记号.函数的两要素：函数的定义域和对应关系为确定函数的两要素.例1 求函数211x x y --=的定义域. 解 x1的定义区间满足：0≠x ；21x -的定义区间满足：012≥-x ，解得11≤≤-x .这两个函数定义区间的公共部分是1001≤<<≤-x x 或.所以，所求函数定义域为]1,0()0,1[ -.例2 判断下列各组函数是否相同.（1）x x f lg 2)(=，2lg )(x x g =；（2）334)(x xx f -=，31)(-=x x x g ；（3）x x f =)(，2)(x x g =.解 （1）x x f lg 2)(=的定义域为0>x ，2lg )(x x g =的定义域为0≠x .两个函数定义域不同，所以)(x f 和)(x g 不相同.（2）)(x f 和)(x g 的定义域为一切实数.334)(x x x f -=)(13x g x x =-=,所以)(x f 和)(x g 是相同函数.（3）x x f =)(，x x x g ==2)(,故两者对应关系不一致，所以)(x f 和)(x g 不相同.函数的表示法有表格法、图形法、解析法(公式法)三种.常用的是图形法和公式法两种.在此不再多做说明.函数举例: 例3 函数⎪⎩⎪⎨⎧>=<-==0,10,00,1sgn x x x x y ，函数为符号函数，定义域为R ，值域{}1,0,1-. 如图1-4：图1-4例4 函数[]x y =，此函数为取整函数，定义域为R ， 设x 为任意实数, y 不超过x 的最大整数，值域Z . 如图1-5：图1-5特别指出的是，在高等数学中还出现另一类函数关系，一个自变量x 通过对于法则f 有确定的y 值与之对应，但这个y 值不总是唯一.这个对应法则并不符合函数的定义，习惯上我们称这样的对应法则确定了一个多值函数.1.2.2 函数的性质设函数)(x f y =，定义域为D ，D I ⊂.（1）函数的有界性定义3 若存在常数0>M ，使得对每一个I x ∈，有M x f ≤)(，则称函数)(x f 在I 上有界.若对任意0>M ，总存在I x ∈0，使M x f >)(0，则称函数)(x f 在I 上无界.如图1-6：图1-6例如 函数 x x f sin )(=在),(+∞-∞上是有界的:1sin ≤x .函数 xx f 1)(=在)1,0(内无上界，在)2,1(内有界.（2）函数的单调性 设函数)(x f y =在区间I 上有定义, 1x 及2x 为区间I 上任意两点, 且21x x <.如果恒有)()(21x f x f <, 则称)(x f 在I 上是单调增加的；如果恒有)()(21x f x f >, 则称)(x f 在I 上是单调递减的.单调增加和单调减少的函数统称为单调函数（图1-7）.图1-7（3）函数的奇偶性 设函数)(x f y =的定义域D 关于原点对称.如果在D 上有)()(x f x f =-, 则称)(x f 为偶函数；如果在D 上有)()(x f x f -=-, 则称)(x f 为奇函数.例如，函数2)(x x f =，由于)()()(22x f x x x f ==-=-，所以2)(x x f =是偶函数；又如函数3)(x x f =，由于)()()(33x f x x x f -=-=-=-，所以3)(x x f =是奇函数.如图1-8：图1-8从函数图形上看，偶函数的图形关于y 轴对称，奇函数的图形关于原点对称.(4)函数的周期性设函数)(x f y =的定义域为D . 如果存在一个不为零的数l ,使得对于任一D x ∈有()D l x ∈±, 且())(x f l x f =±, 则称)(x f 为周期函数, l 称为)(x f 的周期.如果在函数)(x f 的所有正周期中存在一个最小的正数，则我们称这个正数为)(x f 的最小正周期.我们通常说的周期是指最小正周期.例如，函数x y sin =和x y cos =是周期为π2的周期函数，函数x y tan =和x y cot =是周期为π的周期函数.在此，需要指出的是某些周期函数不一定存在最小正周期.例如，常量函数C x f =)(，对任意实数l ，都有)()(x f l x f =+，故任意实数都是其周期，但它没有最小正周期.又如，狄里克雷函数⎩⎨⎧∈∈=c Qx Q x x D ,0,1)(， 当c Q x ∈时，对任意有理数l ，cQ l x ∈+，必有)()(x D l x D =+，故任意有理数都是其周期，但它没有最小正周期. 1.3 反函数 在初等数学中的函数定义中，若函数)(:D f D f →为单射,若存在:1-f D D f →)(，称此对应法则1-f 为f 的反函数.习惯上,D x x f y ∈=),(的反函数记作)(),(1D f x x f y ∈=-.例如，指数函数),(,+∞-∞∈=x e y x 的反函数为),0(,ln +∞∈=x x y ，图像为（图1-9）图1-9反函数的性质：（1）函数)(x f y = 单调递增(减)，其反函数)(1x fy -=存在，且也单调递增（减）. （2）函数)(x f y =与其反函数)(1x f y -=的图形关于直线x y =对称.下面介绍几个常见的三角函数的反函数：正弦函数x y sin =的反函数x y arcsin =，正切函数x y tan =的反函数x y arctan =. 反正弦函数x y arcsin =的定义域是]1,1[-，值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ；反正切函数x y arctan =的定义域是),(+∞-∞，值域是⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ，如图1-10：9图1-101.4复合函数定义4 设函数f D u u f y ∈=),(，函数f g g D R D x x g u ⊂∈=值域,),(，则()()g D x x g f y x g f y ∈==),()( 或称为由)(),(x g u u f y ==复合而成的复合函数，其中u 为中间变量.注：函数g 与函数f 构成复合函数g f 的条件是f g D R ⊂，否则不能构成复合函数.例如，函数]1,1[arcsin -∈=u u y ，，R x x u ∈+=,22.在形式上可以构成复合函数()2arcsin 2+=x y .但是22+=x u 的值域为]1,1[),2[-⊄+∞，故()2arcsin 2+=x y 没有意义. 在后面的微积分的学习中，也要掌握复合函数的分解，复合函数的分解原则： 从外向里，层层分解，直至最内层函数是基本初等函数或基本初等函数的四则运算.例5 对函数x a y sin =分解.解 x a y sin =由u a y =，x u sin =复合而成.例6 对函数)12(sin 2+=x y 分解.解 )12(sin 2+=x y 由2u y =，v u sin =，12+=x v 复合而成.1.5初等函数在初等数学中我们已经接触过下面各类函数：常数函数：C y =（C 为常数）；幂函数：)0(≠=ααx y ；指数函数：)10(≠>=a a a y x 且；对数函数：)10(log ≠>=a a x y a 且；三角函数：x y x y x y x y x y x y csc ,sec ,cot ,tan ,cos ,sin ======；反三角函数：x arc y x y x y x y cot ,arctan ,arccos ,arcsin ====.这六种函数统称为基本初等函数.定义5 由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成的并用一个式子表示的函数，称为初等函数.例如，x e y sin =，)12sin(+=x y ，2cot x y =等都是初等函数. 需要指出的是，在高等数学中遇到的函数一般都是初等函数，但是分段函数不是初等函数，因为分段函数一般都有几个解析式来表示.但是有的分段函数通过形式的转化，可以用一个式子表示，就是初等函数.例如，函数⎩⎨⎧≥<-=0,0,x x x x y ， 可表示为2x y =.习题 1-11.求下列函数的定义域.（1）21x y -=； （2）2411x xy -++=； （3）2ln 2x x y -=； （4）43arcsin -=x y ； （5）452+-=x y ； （6）2)3ln(--=x x y . 2.下列各题中，函数)(x f 和)(x g 是否相同，为什么？（1）2lg )(x x f =，x x g lg 2)(=； （2）x x f =)(，2)(x x g =； （3）x x f =)(，x e x g ln )(=； （4）x x f =)(，)sin(arcsin )(x x g =.3.已知)(x f 的定义域为]1,0[，求下列函数的定义域.（1）)(2x f ； （2）)(tan x f ； （3）)0)(()(>-++a a x f a x f .4.设()5312++=+x x x f ，求)(x f ，)1(-x f . 5.判断下列函数的奇偶性.（1）x x y tan sin ⋅=； （2）()1lg 2++=x x y ； （3）2xx e e y -+=； （4）)1(3+=x x y ； （5）⎩⎨⎧>+≤-=0,10,1x x x x y . 6.设下列考虑的函数都是定义在区间)0)(,(>-l l l 上的，证明：（1）两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；（2）两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数和奇函数的乘积是奇函数.7.下列函数中哪些是周期函数？如果是，确定其周期.（1）)1sin(+=x y ； （2）x y 2cos =；（3）x y πsin 1+=； （4）x y 2cos =.8.求下列函数的反函数.（1）31-=x y ； （2）)2lg(1++=x y ；（3）x x e e y +=1； （4）),(2sin 2ππ-∈=x x y ；（5）⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=4,241,1,2x x x x x y x .9.下列函数是有哪些函数复合而成的.（1）)13sin(+=x y ； （2）)21(cos 3x y +=；（3）))1ln(arcsin(+=x y ； （4）2sin x e y =.10.设2)(x x f =，x x ln )(=ϕ，求())(x f ϕ，())(x f f ，())(x f ϕ.第2节 极限极限在高等数学中占有重要地位，微积分思想的构架就是用极限定义的. 本节主要研究数列极限、函数极限的概念以及极限的有关性质等内容.2.1 数列的极限2.1.1 数列的概念定义1 若按照一定的法则，有第一个数1a ，第二个数a 2，…，依次排列下去，使得任何一个正整数n 对应着一个确定的数n a ，那么，我们称这列有次序的数a 1，a 2，…，a n ，…为数列.数列中的每一个数叫做数列的项。
同济大学《高等数学》(第四版)第一章习题课知识讲解
函数的分类
有 有理整函数(多项式函数) 理
代 数
函 数 有理分函数(分式函数)初 等来自函 数函无理函数
函数
数
超越函数
非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数)
2、函数的性质
(1) 单值性与多值性:
若 对 于 每 一 个 x D ,仅 有 一 个 值 yf(x )与 之 对 应 ,则 称 f(x )为 单 值 函 数 ,否 则 就 是 多 值 函 数 .
一、主要内容
（一）函数的定义 （二）极限的概念 （三）连续的概念
1、函数的定义
定义设 x和y是两个变D量是，一个给定的 集．如果对于x每 D 个，数变量 y按照一定法 则总有确定的数对值应和，它则y是 称x的函数， 记作y f(x)．
数集 D叫做这个函数 ， x的 叫定 做义 自域 变量 y叫做因变量．
9、双曲函数与反双曲函数
双曲 si正 n xh ex 弦 ex 2
双曲 co 余 xse h x 弦 ex 2
双曲 tax n 正 sh ix n 切 e x h e x co xs e xh e x
双曲函数常用公式
sx i y n ) sh x i c n y ( o c h x s o sh y i ; s n h cx o y ) s cx h o cy o ( s sh x s i sn h y i ;n h co 2x s s hi2 n x h 1 ;si2 n x 2 h six n co h x ;s co 2 x s ch 2 o x s si 2 h x n . h 反双曲 ya正 rsi弦 nx;h
高等数学(同济第六版)课件第一章.绪论、第1节
莱 布 尼 茨
莱布尼茨是一个博才多学的学者,1684 年，他发表了现在世界上认为是最早的微 积分文献，这篇文章有一个很长而且很古 怪的名字《一种求极大极小和切线的新方 法，它也适用于分式和无理量，以及这种 新方法的奇妙类型的计算》。就是这样一 片说理也颇含糊的文章，却有划时代的意 义。他以含有现代的微分符号和基本微分 法则。1686年，莱布尼茨发表了第一篇积 分学的文献。他是历史上最伟大的符号学 者之一，他所创设的微积分符号，远远优 于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大 的影响。现在我们使用的微积分通用符号 就是当时莱布尼茨精心选用的.
微分与积分是分析中的两种基本的极限过程。 这两种过程的一些特殊的情况，甚至在古代就已经
有人考虑过（在阿基米德工作中达到高峰），而在
十六世纪和十七世纪 ，更是越来越受到人们的重
视。然而，微积分的系统发展是在十七世纪才开始
的，通常认为是牛顿和莱布尼茨两位伟大的科学先 驱的创造。这一系统发展的关键在于认识到：过去 一直分别研究的微分和积分这两个过程，实际上是 彼此互逆的联系着。
第三类问题
求函数的最大最小值问题。 十七世纪初期，伽利略断定，在真空中以 45 角
发射炮弹时，射程最大。
研究行星运动也涉及最大最小值问题。
第三类问题
困难在于：原有的初等计算方法已不适于解决研 究中出现的问题。但新的方法尚无眉目。
第四类问题
求曲线的长度、曲线所围成的面积、曲面所围成 的体积、物体的重心。
高等数学 以微积分为主要内容的学科
微积分的发展历程
微积分的创立 ——变量的数学
初等数学时代（17世纪前） —— 常量的数学
• 算术
• 初等几何 • 初等代数
初等数学时代 —— 算术
同济高等数学第三版上册答案详解
同济高等数学第三版上册答案详解同济大学高等数学第三版上册是比较有名的一本数学教材，最新出版的三版包含了更多的知识和技能。
下面是同济高等数学第三版上册答案详解：第一章：实数和函数1.练习题：1、设x与y为实数，请计算：（1）（2x-3)/(x+2y) = 2x/ (x+2y) - 3/ (x+2y)（2）x+|y|-2y = x-y+2（|y|-|y|）=x-y2、如果a>0,b>0，那么：（1）1/a +1/b = 1/a + 1/b =(ab)/ab=1（2）(a-b)/ab = a/ab - b/ab = (a/b) -13、D=(a +b )2 /4，那么，D/(ab)= (a+b)2/4(ab) =(a+b)/2 2.定理：1、对任何实数x，均有：x-x=02、若a＞b，则a-b＞03、若a＞0，b＞0，则a/b＞1第二章：多项式、函数和系数1.练习题：1、如果a+b=3,且a*b=2，那么：（1）a2 +b2 = 9+4=13（2）a3 + b3 = 8+1=92、若多项式P(x)=2x3+7x2-3x+20，则：（1）P（1）= 2*1^3+7*1^2-3*1+20=26（2）P（-2）=2*(-2)^3+7*(-2)^2-3*(-2)+20=-182.定理：1、若系数a+b=3，则a*b=3-a2、若多项式P(x)=ax3 +bx2 +cx +d，则P(x+h)=a(x+h)3 +b(x+h)2 +c(x+h) +d第三章：极坐标与向量1.练习题：1、如果向量m=(-2,4)，则（1）|m|=根号(-2)^2+4^2=根号20=4.47213（2）m方向的极坐标r=4.47213，O=45°2、若向量m=(3,-3)，则（1）向量m的极坐标r=根号3^2 +(-3)^2 =根号18 =4.24264，\theta=135°（2）向量m在极坐标中的表示法为(4.24264,135°)2.定理：1、若向量a=(a1,a2)和向量b=(b1,b2)，则向量a+b=(a1+b1,a2+b2)2、若向量a=(a1,a2)，则|a|=根号a1^2 +a2^2。
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课时授课计划课次序号：08一、课题：第一章函数与极限习题课二、课型：习题课三、目的要求：1.加深对函数、极限、连续等基本概念的理解；2.熟练掌握极限的运算方法.四、教学重点：极限运算、两个重要极限、无穷小比较、函数的连续性．教学难点：极限存在准则．五、教学方法及手段：讲练结合，传统教学与多媒体教学相结合．六、参考资料：1.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编，高等教育出版社；2.《高等数学习题课讲义》，同济大学数学教研组主编，高等教育出版社；3.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业大学出版社．七、作业：总复习题一3（2）（3），8（2）（4）（6），10，11，12八、授课记录：九、授课效果分析：第一章函数与极限习题课一、主要内容1. 函数函数的概念与特性，反函数，复合函数，基本初等函数，初等函数.2. 极限极限定义、运算、性质，两个重要极限，无穷小比较，极限存在准则.3. 连续函数连续的概念，间断点的类型，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质，分段函数的连续性.二、典型例题1. 求复合函数例1 设()f x=[()]f f x.解[()]f f x===2. 利用函数概念求函数表达式例2 设(e )1sin xf x x =++，求()f x .解 令e xt =，则ln x t =，()1ln sin(ln )f t t t =++，()1ln sin(ln )f x x x ∴=++.例3 设2()sin ,[()]1f x x f x x ϕ==-,求()x ϕ.解 2[()]sin ()1f x x x ϕϕ==-,2()arcsin(1),[x x x ϕ∴=-∈.3. 求00或∞∞型未定式的极限例4 330()lim h x h x h→+-解 []223300()()()()lim lim h h x h x x h x h x x x h x h h→→⎡⎤+-+++++-⎣⎦= 222lim ()()3h x h x h x x x →⎡⎤=++++=⎣⎦. 例53x →解3(23)92)x x x →→+-=343x x →→===.例6 limx解limlim1x x ==.4. 求0⋅∞或∞-∞型未定式的极限例7 1lim x -→解1111lim limlim lim(1)2x x x x x ----→→→→===+=. 例8 1lim x →313()11x x--- 解 233211113132lim()lim lim 11111x x x x x x x x x x x→→→++----===----++. 5. 求幂指函数（001,0,∞∞型未定式）的极限例9 32lim 22xx x x →∞-⎛⎫⎪-⎝⎭解 22223211lim lim 1lim 1222222x xxxxx x x x x x x --→∞→∞→∞⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+⎢⎥⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2211lim 1e, lim 22222x x x x x x -→∞→∞⎛⎫+==- ⎪--⎝⎭，1232lim e 22xx x x -→∞-⎛⎫∴= ⎪-⎝⎭； 例10 21ln(1)lim(cos )x x x +→解 1222cos 1cos 111ln(1)ln(1)ln(1)lim(cos )lim(1cos 1)lim (1cos 1)x x x x x x x x x x x --+++→→→⎡⎤=+-=+-⎢⎥⎣⎦， 1cos 122200cos 112lim(1cos 1)e,lim lim ln(1)2x x x x x x x x x -→→→--+-===-+，211ln(1)20lim(cos )e x x x -+→∴=. 6. 极限的反问题例11 55)(2-++=x bx ax x f （b a ,为常数），问b a ,分别取何值时，有（1）1)(lim =∞→x f x （2）0)(lim =∞→x f x （3）1)(lim 5=→x f x解 （1）1,0==b a （2）0,0==b a（3）由已知得 0)5(lim 25=++→bx ax x ，所以 015=++b a ，代入原式115)1(lim 555lim 525=-=-=-+--→→a ax x x ax ax x x ，所以3,52-==b a . 7. 利用夹逼准则求极限例12 nnnnn 321lim ++∞→解 nnnn333213⋅≤++≤ , 333213⋅≤++≤∴n n n n ,而333lim =⋅∞→n n ,33lim =∞→n , ∴3321lim =++∞→n n n n n8. 利用单调有界准则求极限例13 若x 1,x 2x n +1n =1,2,…），求lim n n x →∞.解 因为12x x =有21x x >,今设1k k x x ->，则1k k x x +，由数学归纳法知，对于任意正整数n 有1n n x x +>，即数列{}n x 单调递增.又因为12x =<，今设2k x <，则12k x +==，由数学归纳法知，对于任意的正整数 n 有2n x <，即数列{}n x 有上界，由极限收敛准则知lim n n x →∞存在.设lim n n x b →∞=，对等式1n x +=两边取极限得b =22b b =+，解得2b =，1b =-（由极限的保号性，舍去），所以lim 2n n x →∞=. 9. 求n 项和（或积）数列的极限例14 21111lim 3153541n n →∞⎛⎫++++⎪-⎝⎭解 211111111lim lim 3153541133557(21)(21)n n n n n →∞→∞⎛⎫⎛⎫++++=++++⎪ ⎪-⋅⋅⋅-+⎝⎭⎝⎭11111111lim 12335572121n n n →∞⎛⎫=-+-+-++- ⎪-+⎝⎭111lim 12212n n →∞⎛⎫=-= ⎪+⎝⎭. 例15 设2coscos cos222nn x x x x =，求lim n n x →∞.解 2sin sincos cos cossin222222nnnn n xx x x x xx ==,sin (0)2sin 2nnnx x x x ∴=≠, sin sin sin lim limlim(0)2sin 222nnn n n n n n x x xx x x x x →∞→∞→∞∴===≠.当0x =时，1n x =，lim 1n n x →∞=10. 无穷小的比较与无穷小阶的确定例16 若0→x 时，21cos(e 1)x --和n m x 2等价无穷小，则,m n 各为多少？解 因为当0→x 时，2~cos 12x x -，e 1~xx -，所以222(e 1)1cos(e 1)~2x x ---，从而22224(e 1)()~222x x x -= ,所以 1,4-==m n .例17 0limx→解)200011x x x x →→→==x →==例18 0limx →ln cos 2ln cos3xx解 [][]000ln 1(cos 21)ln cos 2cos 21limlim limln cos3ln cos311(cos31)x x x x x x x x x →→→+--==-+- 22200021(2)1cos 2442lim lim lim .11cos399(3)2x x x x x x x x x →→→-====- 例19 301lim 2sin x x x→+解230001122lim lim lim 2sin 2sin 24x x x x x xx x x x →→→+===+. 11. 讨论函数的连续性与间断点例20 求下列函数的间断点，并说明类型（1）⎪⎩⎪⎨⎧>≤<-+=-001)1ln()(11x ex x x f x （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-+<π-=01)1(0sin )4()(22x x x x x x x x x f解（1）)(x f 的间断点可能为0、1.0=x 时，(0)0,f =lim ()lim ln(1)0(0)x x f x x f --→→=+==, 11100lim ()lim (0)x x x f x e e f +--→+→==≠0=∴x 为第一类跳跃间断点.又1=x 时，)(x f 在1=x 处无定义，且111lim x x e +-→=+∞，1=∴x 为)(x f 的无穷间断点.（2） ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅--±=k x ,3,2,1,0都可能为间断点. 当0=x 时，2(1)()0,lim ()lim 0(0)1x x x x f x f x f x ++→→+====-，而 22000(4)4lim ()lim lim (4)(0)sin x x x x x x f x x f x x πππ---→→→--==-=≠, 0=∴x 为第一类跳跃间断点.当2-=x 时，)(x f 无定义，但π=+π-=-→-→8)2()4(lim)(lim 222x x x x f x x , 2-=∴x 时为可去间断点.当...............5,4,3,1k x ----±=时)(x f 都无定义，且极限为无穷大，因此全为无穷间断点.例21 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>=0)31ln(020sin )(x bx x x x x axx f 问常数b a ,为何值时，)(x f 在0=x 处连续.解 000ln(13)33lim ()lim lim x x x x x f x bx bx b ---→→→--===-,000sin lim ()lim lim x x x ax ax f x a x x +++→→→===, 当0lim ()lim ()(0)2x x f x f x f -+→→===，即2,5.1=-=a b 时，)(x f 在0=x 处连续.12. 闭区间上连续函数性质的应用例22 证明方程ln(1)20xe x +-=至少有一个小于1的正根.证 令()ln(1)2e xf x x =+-,则()f x 在(,)-∞+∞上连续,因而在[0,1]上连续, 且0(0)ln(1)20ln 20e f =+-⨯=>, (1)ln(1)20e f =+-<,由零点定理知,至少存在一点(0,1)ξ∈使得()0f ξ=.即方程ln(1)20xe x +-=至少有一个小于1的正根.三、课后练习1．求下列极限：(1) xx x x tan 2sinlim20→ (2) )sin 1cos (sin lim 0x x x x x -→ (3) n n n n 2)31(lim +-∞→ (4) )1ln()cos 1(1cossin 3lim20x x x x x x +++→ (5) x x x x )1232(lim ++∞→ (6) x x xx x 5sin 3sin lim0+-→ (7) 11sinlim-+∞→x x x x x （8）x x x x sin 1sin 1lim 0--+→2.(1) 已知⎪⎩⎪⎨⎧<->-+=1)1(13)(22x x x A x x f 且)(lim 1x f x → 存在，求常数A .(2) 已知02])2([5lim22=-+--+→x B x A x x ，试求常数A 、B.3. 求下列函数的间断点，并指明其类型.（1）)32()1()(11xxe e xf ++= （2）)4)(1(2)(---=x x xx f（3）231)(22+--=x x x x f （4）)4(2)(22--=x x xx x f4.设⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=00cos 22)(x ae x xx x f x ,问a 为何值时，)(x f 在0=x 处连续?5. 设函数)(x f 在],[b a 上连续，b d c a <<<，q p ,为正数.证明：在],[b a 内至少有一点ξ，使()()()()pf c qf d p q f ξ+=+.。