中考相似三角形之常用辅助线
初中数学三角形中14种辅助线添加方法
初中数学三角形中14种辅助线添加方法在三角形中，常用的辅助线有中线、高线、中垂线、角平分线等。
下面是三角形中14种辅助线添加方法：1. 三角形中线的添加方法：在三角形的每个顶点上作一条连接对边中点的线段，则这些线段交于一点，且该点到三角形各顶点的距离相等，即为三角形的重心。
2. 三角形中垂线的添加方法：从三角形的顶点向所对边作垂线，垂足分别为A、B、C，则三个垂足所在直线相交于一点，为三角形的垂心。
3. 三角形高线的添加方法：从三角形的顶点向所对边作垂线，垂线所在直线与所对边的交点称为底部端点，连接三个底部端点，则构成一个矩形，其中两个对角线分别为三角形的两个高。
4. 角平分线的添加方法：从角的顶点向其对边作角平分线，将角平分为两个相等的角，且角平分线上的任意一点到两侧边的距离相等。
5. 外接圆的添加方法：三角形三边的中垂线交于一点，则以该点为圆心，三角形三个顶点分别为圆上的三个点的圆称为三角形的外接圆。
6. 内切圆的添加方法：三角形三条边所在直线的交点为内心，以内心为圆心，作内切圆，该圆与三角形的三边相切。
7. 垂直平分线的添加方法：从线段的中点向垂直于该线段的方向作一条线段，则该线段垂直于原线段且平分其长度。
8. 外角平分线的添加方法：从三角形的一顶点作一条射线，使其不在所在直线内，将相邻两个角的外部划分成两个大小相等的角，则这条射线为该顶点所对的角的外角平分线。
9. 旁切圆的添加方法：以三角形的某一边为半径，在其外侧作一条与该边平行的直线，使其与另外两边所在直线相交，其交点则为旁切圆心。
10. 中位线的添加方法：连接三角形任意两个顶点，则连接这两个顶点的中点的线段称为三角形的中位线，三角形三条中位线交于一点，即为三角形重心。
11. 等腰三角形的中线、高线和垂心重合。
12. 等边三角形的中线、高线、垂心和外心重合。
13. 直角三角形的垂心落在斜边上，且斜边上的高线与斜边垂直。
14. 任意三角形的外心到三个顶点的距离相等。
相似三角形辅助线
相似三角形常用辅助线
1. 如图，的AB 边和AC 边上各取一点D 和E ，且使AD ＝AE ，DE 延长线与BC 延长线相交于F ，
求证：
B
D
A C
F E
2. 如图，△ABC 中，AB<AC ，在AB 、AC 上分别截取BD=CE ，DE ，BC 的延长线相交于点F ，
证明：AB ·DF=AC ·EF 。
3. 如图从
ABCD 顶点C 向AB 和AD 的延长线引垂线CE 求证：2
AC AF AD AE AB =⋅+⋅。
5. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，若∠BCD 的平分线CH 求△HBC 的面积。
6. 如图，Rt ∆ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，E 为CD 的中点，AE 的延长线交BC 于F ，FG ⊥AB 于G ， 求证：FG 2=CF ∙BF
7 如图，ABC ∆中，AB ⊥AC ，AE ⊥BC 于E ，D 在AC 边上，若BD=DC=EC=1，求AC 。
9、ABC ∆中，︒=∠90ACB ，AC=BC ，P 是AB 上一点，Q 是PC 上一点（不是中点），MN 过Q 且MN ⊥CP ，交AC 、BC 于M 、N ，求证：CN CM PB PA ::=。
10、.
理由？（用三种解法）。
相似三角形中的辅助线及动点问题(经典题型)
动点题型
1、如图正方形 ABCD 的边长为 2，AE=EB，线段 MN 的两端点分别在 CB、CD 上滑动，且 MN=1，当 CM 为何值时△AED 与以 M、N、C 为顶点的三角形相似？
一、作平行线
例 1. 如图， ABC 的 AB 边和 AC 边上各取一点 D 和 E，且使 AD＝AE，DE 延长线与 BC 延长线相交于 F， 求证：
BF BD CF CE
例 2. 如图，△ABC 中，AB<AC，在 AB、AC 上分别截取 BD=CE，DE，BC 的延长线相交于点 F， 证明：AB·DF=AC·EF。
1
三、作延长线 例 5. 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，若∠BCD 的平分线 CH⊥AB 于点 H，BH=3AH，且四边形 AHCD 的 面积为 21，求△HBC 的面积。
例 6. 如图，Rt ABC 中，CD 为斜边 AB 上的高，E 为 CD 的中点，AE 的延长线交 BC 于 F，FG AB 于 G，求证：FG =CF BF
A P H E D
B
C
1.如图，已知一个三角形纸片 ABC ， BC 边的长为 8， BC 边上的高为 6 ， B 和 C 都为锐角， M 为 AB 一 动点（点 M 与点 A、B 不重合） ，过点 M 作 MN ∥ BC ，交 AC 于点 N ，在 △ AMN 中，设 MN 的长为 x ， MN 上的高为 h ． （1）请你用含 x 的代数式表示 h ． 使 △ AMN 落在四边形 BCNM 所在平面， 设点 A 落在平面的点为 A1 ， △ A1 MN （2） 将 △ AMN 沿 MN 折叠， 与四边形 BCNM 重叠部分的面积为 y ，当 x 为何值时， y 最大，最大值 为多少？
全等三角形六种辅助线方法及例题
全等三角形六种辅助线方法及例题全等三角形是初中数学中一个非常重要的概念，掌握全等三角形的判定方法和辅助线方法对于解题至关重要。
本文将介绍全等三角形的六种辅助线方法，并结合例题进行详细讲解。
一、辅助线法1.等角分线法：将三角形内角的平分线相互交点构成的点与三角形的另外一个顶点相连，得到一条辅助线。
这条辅助线将三角形分成两个等角的小三角形，从而得到相似或全等三角形。
2.中线法：将三角形任意两边的中点相连，得到三角形的中线。
相等的中线将三角形分成两个面积相等的小三角形，从而得到相似或全等三角形。
3.高线法：将三角形内任意一条边的垂线向另外两边引出，得到三角形的高线。
相等的高线将三角形分成两个面积相等的小三角形，从而得到相似或全等三角形。
4.角平分线法：将三角形内角的平分线相互交点构成的点相连，得到三角形的角平分线。
相等的角平分线将三角形分成两个面积相等的小三角形，从而得到相似或全等三角形。
5.角平分线中垂线法：将三角形内角的平分线的中垂线相互交点构成的点相连，得到三角形的角平分线中垂线。
相等的角平分线中垂线将三角形分成两个面积相等的小三角形，从而得到相似或全等三角形。
6.外心连线法：将三角形外接圆心与三角形三个顶点分别相连，得到三条辅助线。
这三条辅助线相等，将三角形分成三个面积相等的小三角形，从而得到相似或全等三角形。
二、例题解析1.已知△ABC，点D,E分别为BC,AB边上的中点，连接AD，BE相交于点F，求证：△DEF≌△ABC。
解析：由题意可知，△ABC是由两个等腰三角形组成的，因此可使用中线法证明两个三角形的全等。
由于D，E分别是BC,AB边上的中点，因此DE是AC中线，即DE=1/2AC；同理，AE是BC中线，AF=1/2BC。
因此，△ADB和△AEC是等腰三角形，且AD=EC，AB=AB，∠BAC=∠BAC，因此△ADB≌△AEC。
又因为DE是AC中线，BF是AE中线，因此DE=1/2AC，BF=1/2AE。
第二十二节相似三角形作辅助线构造“A”“X”型
相似三角形——作辅助线构造“A ”“X ”型【知识要点】1、 了解的特征：与三角形一边平行的直线，在原三角形上截得的三角形与原三角形相似。
2、 解题方法：（1）当题目图中出现“A ”“X ”型时，可利用比例线段求解；（2）当图中出没有“A ”“X ”型时，可作平行线辅助线，构造“A ”“X ”型，得到比例线段。
【典型例题】作辅助线构造“A ”“X ”型例1、 如图，E 是□ABCD 的边AB 的中点，AC EF FD AF ,,31 相交于G ，求GCAG的值例2、如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F 。
求证：AF=EF 。
例3、已知：如图，在△ABC 中，AD 为中线，E 在AB 上，AE=AC ，CE 交AD 于F ，EF ∶FC=3∶5，EB=8cm, 求AB 、AC 的长.C例4、如图，直线交△ABC 的BC,AB 两边于D,E,与CA 延长线交于F,若BD DC ＝ FEED =2,求BE:EA 的比值.例5、如图，21==DE AE CD BD ，求BFAF。
（试用多种方法解）【课堂练习】1．如图，一直线与△ABC 的边AB ，AC 及BC 的延长线分别交于D ，E ，F 。
求证：若CFBFEC AE =，则D 是AB 的中点。
ACFEB D ABCDEF2．如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，BD=3CE ，DE 交BC 于F ，求DF ：FE 的值。
3．已知：如图，△ABC 中，AE=CE ，BC=CD ，求证：ED=3EF4．如图所示在△ABC 中，∠ACB=90°，D 为中点，DE ⊥AB 交AC 于E ，交BC 的延长线于F 。
求证：DF DE AD ⋅=2。
5.已知：AM ：MD=4：1，BD ：DC=2：3，求AE ：EC 。
BACDME【作业】 一、判断1．有一个角是30°的两个等腰三角形一定相似. ( ) 2．有一个角是30°的两个直角三角形一定相似. ( ) 3．相似三角形面积的比等于周长比的平方. ( )4．两个三角形相似，则各自由三条中位线构成的两个三角形也相似. ( ) 5．若两个三角形相似，且有一条边相等，则相似比k=1. ( )6．若两个三角形有两边对应成比例，且有一角对应相等，则这两个三角形相似. ( ) 7．已知：△ABC 中，DE ∥BC 交AB 于D ，AC 于E ，AB=12，AD-DB=4，BC=9，则DE=________． 8．已知：Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，AD=4，BD=2，则CD=_______，AC=________．9．一个三角形三边长分别为5cm ，8cm ，12cm ，另一个与它相似的三角形的最长边为4.8cm ，则另外两边分别为________.10．△ABC 中，AD ⊥BC 与D ，且2AB BC BD =⋅，则△___∽△___;可以判定△ABC 为_______三角形11．△ABC 中P 是AB 上一点，且∠ACP=∠B ，AC=4，AB=6，则PB=________． 二、1．下列命题中，正确的是 （ ）A ．有一个角相等的两个等腰三角形相似B ．有两边成比例的两个等腰三角形相似C ．腰与底对应成比例的两个等腰三角形相似D ．都有一个角等于80°的两个等腰三角形相似2．在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，则下列式子中错误的是 （ ）A ．AD 2=BD ·DCB ．CD 2=CF ·CAC ．DE 2=AE ·EBD ．AD 2=AF ·AC 3．边长为a 的等边三角形，被平行于一边的直线分成等积的两部分，则截得的梯形一底长为a ，另一底长为（ ）4．在两个三角形中，若一个三角形的两边分别是1.2cm 和1.6cm ，另一个三角形的两边分别是2.8cm 和2.1cm ，且它们的夹角相等，则这两个三角形的关系是 （ ）A ．全等三角形B ．相似三角形C ．面积相等的三角形D ．不相似的三角形6．已知：如图5—21，△ABC 中，D 、E 分别在AB 、AC 上，且AD=AE ，连结DE 并延长，交BC 延长线于F ，求证：CF ∶BF=CE ∶BD7．如图，D 为△ABC 的BC 边的中点，E 为AC 边上的点，且AC=3CE ，BE 与AD 交于O 点，求ODAO的值。
初中几何辅助线口诀和秘籍
初中几何辅助线口诀和秘籍初中几何是数学学科中的一块重要内容，而几何辅助线是解决几何问题时常用的一种方法。
下面我将为大家介绍一些初中几何辅助线的口诀和秘籍。
一、角平分线角平分线是指将一个角分为两个相等的角的线段。
在解决几何问题时，我们常常需要用到角平分线来帮助我们求解。
如何画角平分线呢？下面是一个简单的口诀：“角平分线，一刀两半，角分两相等，求解题简单。
”二、三角形的中线三角形的中线是连接三角形的一个顶点与对边中点的线段。
在解决三角形相关问题时，中线也是一个常用的辅助线。
我们可以通过以下口诀来记忆中线的特点：“三角形中线，一条有三，中点连顶点，两边相等。
”三、垂直平分线垂直平分线是指将一个线段垂直分割并且分成两个相等部分的线段。
垂直平分线在解决线段相关问题时非常有用。
下面是一个简洁的口诀来帮助我们记忆垂直平分线的画法：“垂直平分线，画在线上，两边相等，线段垂直。
”四、角的对称线角的对称线是指将一个角按照对称轴对折后，得到的两个相等角的辅助线。
在解决角相关问题时，角的对称线可以帮助我们找到一些相等角。
以下是一个简单的口诀来帮助我们记忆角的对称线：“角的对称线，轴线中间，两边相等，角对称分。
”五、相似三角形的辅助线在解决相似三角形问题时，有一些特殊的辅助线可以帮助我们找到相似三角形之间的对应关系。
例如，高线可以帮助我们找到相似三角形的对应边的比例关系。
以下是一个简单的口诀来帮助我们记忆相似三角形的辅助线：“相似三角形辅助线，高线找比例，边线对应比例，找答案简单。
”通过以上口诀和秘籍，我们可以更加方便地使用几何辅助线来解决初中几何问题。
当然，在实际解题的过程中，我们还需要根据具体问题的要求灵活运用这些辅助线，以达到解题的目的。
总结起来，初中几何辅助线是解决几何问题时的重要工具。
通过记忆和掌握一些几何辅助线的特点和画法，我们能够更加高效地解决几何问题，提高我们的数学水平。
希望以上口诀和秘籍能够帮助到大家，让我们在初中几何学习中取得更好的成绩！。
初中数学证明题常见辅助线作法及几何规律,三角形、圆、四边形全都有,102条规律做题不愁!
初中数学证明题常见辅助线作法及几何规律，三角形、圆、四边形全都有，102条规律做题不愁！颜老师说：人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，当问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用的策略。
初中几何常见辅助线作法歌诀人说几何很困难，难点就在辅助线。
辅助线，如何添？把握定理和概念。
还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。
三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
四边形平行四边形出现，对称中心等分点。
梯形里面作高线，平移一腰试试看。
平行移动对角线，补成三角形常见。
证相似，比线段，添线平行成习惯。
等积式子比例换，寻找线段很关键。
直接证明有困难，等量代换少麻烦。
斜边上面作高线，比例中项一大片。
3月24日初中数学圆半径与弦长计算，弦心距来中间站。
圆上若有一切线，切点圆心半径连。
切线长度的计算，勾股定理最方便。
要想证明是切线，半径垂线仔细辨。
是直径，成半圆，想成直角径连弦。
弧有中点圆心连，垂径定理要记全。
圆周角边两条弦，直径和弦端点连。
弦切角边切线弦，同弧对角等找完。
要想作个外接圆，各边作出中垂线。
还要作个内接圆，内角平分线梦圆。
如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。
内外相切的两圆，经过切点公切线。
若是添上连心线，切点肯定在上面。
要作等角添个圆，证明题目少困难。
辅助线，是虚线，画图注意勿改变。
假如图形较分散，对称旋转去实验。
基本作图很关键，平时掌握要熟练。
解题还要多心眼，经常总结方法显。
切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。
分析综合方法选，困难再多也会减。
虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。
除了上边方便记忆的顺口溜之外，颜老师还为大家整理了不同几何图形的做法及规律，有相交线、平行线、三角形、四边形及圆几部分，共102条规律，可以说做题时遇到的都包括在这里哦~线、角、相交线、平行线规律1.如果平面上有n（吃2）个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么每两点画一条直线，一共可以画出k n(n-1）条。
初中数学常用辅助线大全
初中数学常用辅助线大全初中数学中，辅助线是解决几何问题的重要工具。
通过添加适当的辅助线，可以转化问题，使其更容易解决。
以下是初中数学中常用的辅助线做法：1. 中点连接线：如果一条线段被另一条线段平分，则可以作出中点连接线。
中点连接线将原图形分为面积相等、形状相同的两部分。
2. 平行线：通过作平行线，可以将复杂的几何图形转化为简单的、易于处理的图形。
平行线有助于证明角度相等、线段相等和全等三角形。
3. 延长线：在需要证明某一直线或线段等于另一条直线或线段时，可以通过延长线的方式将问题简化。
4. 垂线：在证明角相等、三角形全等或线段长度等问题时，经常需要作垂线。
垂足将线段分为两段相等的部分，有助于证明和计算。
5. 角平分线：角平分线将角分为两个相等的部分，有助于证明角度相等和线段长度相等。
6. 构造法：在某些情况下，需要通过构造新的图形来解决问题。
例如，构造一个与原图形相似的三角形或平行四边形。
7. 截长补短法：当需要证明某一直线或线段等于两条其他直线或线段的和时，可以通过截长或补短的方式来证明。
8. 辅助圆：在证明与圆相关的问题时，有时需要作辅助圆。
通过辅助圆，可以将问题转化为与圆相关的定理和性质。
除了以上常用方法外，还有一些特殊图形的辅助线做法。
例如，在等腰三角形中，可以通过作底边上的高或中线来证明性质；在直角三角形中，可以通过作斜边上的中线来证明性质。
为了更好地掌握辅助线的做法，学生需要多做练习题，积累经验并熟悉各种题型。
同时，要注意总结和归纳，发现不同问题之间的联系和规律，以便能够更快地找到解决问题的方法。
另外，值得注意的是，辅助线并不是随意添加的，需要遵循一定的逻辑和推理。
添加的辅助线必须与原图形有清晰的关系，不能凭空创造。
同时，要注意证明过程中每一步的逻辑严密性，确保证明过程是正确的。
综上所述，初中数学中的辅助线做法是解决几何问题的关键。
通过熟练掌握各种辅助线的做法，学生可以更好地解决复杂的几何问题，提高数学成绩。
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相似三角形之常用辅助线
在与相似有关的几何证明、计算的过程中，常常需要通过相似三角形，研究两条线段之间的比例关系，或者转移线段或角。
而有些时候，这样的相似三角形在问题中，并不是十分明显。
因此，我们需要通过添加辅助线，构造相似三角形，进而证明所需的结论。
专题一、添加平行线构造“A ”“X ”型
定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．
定理的基本图形：
例1、平行四边形ABCD 中，E 为AB 中点，AF ：FD ＝1：2，求AG ：GC
变式练习： 已知在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线．求证：． （本题有多种解法，多想想）
G F E
D C
B
A
G
F E
D
C
B
A
CD
BD AC AB
例2、如图，直线交△ABC 的BC,AB 两边于D,E,与CA 延长线交于F,若
DC
BD ＝FA FC
=2,求BE:EA 的比值.
变式练习：如图，直线交△ABC 的BC,AB 两边于D,E,与CA 延长线交于F,若BD DC ＝ FE
ED =2,求BE:EA 的比
值.
例3、BE ＝AD ，求证：EF ·BC ＝AC ·DF
变式1、如图，△ABC 中，AB<AC ，在AB 、AC 上分别截取BD=CE ，DE ，BC 的延长线相交于点F ，证明：AB·DF=AC·EF 。
A
C
F
E
B D A
C
F
E
B
D E
D
C
B
A
例4、已知：如图，在△ABC 中，AD 为中线，E 在AB 上，AE=AC ，CE 交AD 于F ，EF ∶FC=3∶5，EB=8cm, 求AB 、AC 的长.
变式：如图，21==DE AE CD BD ，求
BF
AF。
（试用多种方法解）
说明：此题充分展示了添加辅助线，构造相似形的方法和技巧．在解题中方法要灵活，思路要开阔． 总结：
（1）遇燕尾，作平行，构造
字一般行。
（2）引平行线应注意以下几点：
1）选点：一般选已知（或求证）中线段的比的前项或后项，在同一直线的线段的端点作为引平行线的点。
2）引平行线时尽量使较多已知线段、求证线段成比例。
专题二、作垂线构造相似直角三角形一、基本图形
例1、理由？（用多种解法）
v
变式练习：平行四边形ABCD中，CE⊥AE，CF⊥AF，求证：AB·AE＋AD·AF＝AC2
例2、如图，Rt∆ABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于F，FG⊥AB 于G，求证：FG2=CF∙BF
A B
C
D
E
F
【练习】
1．如图，一直线与△ABC 的边AB ，AC 及BC 的延长线分别交于D ，E ，F 。
求证：若
CF
BF
EC AE
，则D 是AB 的中点。
2．如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，BD=3CE ，DE 交BC 于F ，求DF ：FE 的值。
3.已知：AM ：MD=4：1，BD ：DC=2：3，求AE ：EC 。
4、 如图，的AB 边和AC 边上各取一点D 和E ，且使AD ＝AE ，DE 延长线与BC
延长线相交于F ，求证：
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A B C D E
F
A
B C D
M E
B
D
A C
F
E
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