相似三角形辅导讲义(三)
相似三角形的性质与判定讲义)
相似三角形的性质与判定讲义)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1相似三角形的性质与判定讲义【知识点拨】一、相似三角形性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (3)相似三角形周长的比等于相似比．(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．(5)相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等二、 相似三角形的等价关系(1)反身性：对于任一ABC ∆有ABC ∆∽ABC ∆．(2)对称性：若ABC ∆∽'''C B A ∆，则'''C B A ∆∽ABC ∆．(3)传递性：若ABC ∆∽C B A '∆''，且C B A '∆''∽C B A ''''''∆，则ABC ∆∽C B A ''''''∆． 三、三角形相似的判定方法1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．6、判定直角三角形相似的方法： (1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
相似三角形判定复习(三)
⇒△ABC∽△A'B'C'
直角三角形相似的判定: 直角边和斜边的比相等，两直角 三角形相似。
C' ∠C=∠C' =90 ⇒ Rt△ABC∽Rt△A'B'C' AB AC = A A'C' A' B '
o
A'
B'
C
B
二、探索题
1、条件探索型 、
维 要 严 密
如图， ABCD中 BC延长 7.如图，在□ABCD中，G是BC延长 线上一点，AG与BD交于点E,与 交于点E, 线上一点，AG与BD交于点E,与DC 交于点F 交于点 F ， 则图中相似三角形共 有（ ）
A． B． C． D． 3对 4对 5对 6对
A
D
E B
F C G
8.【04宁波】如图，已知点P是边长为 宁波】如图，已知点P 宁波 4的正方形 的正方形ABCD内一点，且PB=3 内一点， 的正方形 内一点 BF⊥BP垂足是 请在射线 上找一点 垂足是B请在射线 ⊥ 垂足是 请在射线BF上找一点 M，使以点 、M、C为顶点的三角形 ，使以点B、 、 ．为顶点的三角形 与△ABP相似 相似 D A 则BM= P
M F
2 C
2.如图， 2.如图，D是△ABC的AB边上的一点，已知 如图 ABC的AB边上的一点， 边上的一点 2 AB=12 AC=15， =12， AB， AC上取一点 上取一点E AB=12，AC=15，AD= 3 AB，在AC上取一点E， ADE与 ABC相似 相似， AE的长 的长。 使△ADE与△ABC相似，求AE的长。
相似三角形的性质和应用___辅导讲义
课题相似三角形的性质和应用教学目标1、经历相似三角形性质“相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比”“相似三角形的周长之比等于相似比”和“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”的探究过程.2、掌握“相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比”“相似三角形的周长之比等于相似比”和“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”的两个性质.3、会运用上述两个性质解决简单的几何问题.重点、难点1、本节教学的重点是关于相似三角形的周长和面积的两个性质及对应线段的性质.2、相似三角形的性质的证明，要用到相似三角形的判定及性质，过程比较复杂，是本节教学的难点.知识框架相似三角形相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。
相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”。
相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数），相似三角形的基本定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似用数学语言表述如下：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC相似三角形的等价关系：（1）反身性：对于任一△ABC，都有△ABC∽△ABC（2）对称性：若△ABC∽△ABC，则△ABC∽△ABC（3）传递性：若△ABC∽△ABC并且△ABC∽△ABC则△ABC∽△ABC3、三角形相似的判定（1）三角形相似的判定方法①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似②平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似③判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。
④判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
⑤判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似（2）直角三角形相似的判定方法AB CDE①以上各种判定方法均适用 ②定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直 角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似③垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。
专题 相似三角形的判定(三)-讲义
相似三角形的判定(三)主讲教师：黄老师新知新讲如图所示，在∆ABC与∆'''A B C中，若∠A=∠A'，∠B=∠B'，试猜想：∆ABC与∆A'B'C'是否相似？并证明你猜的结论．判定定理：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两三角形相似．题一：判定下列三角形中哪些是相似的？相似的用线段把它们连起来．题二：求证：如果一个直角三角形的斜边和一直角边与另一个直角三角形的斜边和一直角边的对应比相等，那么这两个三角形相似．金题精讲题一：如图，Rt△ABC中，CD是斜边上的高，△ACD和△CBD都和△ABC相似吗？证明你的结论．题二：底角相等的两个等腰三角形是否相似？顶角相等的两个等腰三角形呢？证明你的结论．相似三角形的判定(三)讲义参考答案新知新讲题一：A 与B 相似；D 与E 相似．题二：已知：如图，在Rt △ABC 和Rt △A′B′C′中，∠B =∠B′=90°，AC AB K A C A B ==''''． 求证：△ABC ∽△A′B′C′．证明：C B A ABC C B K B A K C A K BC B A K AB C A K AC K B A ABC A ACB BC B A ABC '''''=''+''=''=''==''=''︒=∠=∠∽△△中和△在△222290````金题精讲题一：△ACD 和△CBD 都和△ABC 相似．理由如下：CBDACD ABC DBCDCA CBA CDB ADC ACB BCDCAD BAC CBD ACD ABC ∽△∽△得到△中和△和△在△∠=∠=∠∠=∠=∠∠=∠=∠题二：相似；相似．（1）已知：如图，△ABC 和△DEF 都是等腰三角形，且它们的底角相等． 求证：△ABC ∽△DEF ．证明：DEFABC FC E B DEF ABC F E C B DEF ABC DEF ABC ∆∆∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∠=∠∴∆∆∽的底角相等和三角形为等腰三角形和的底角相等和如图，等腰三角形,,,（2）已知：如图，△ABC 和△DEF 都是等腰三角形，且它们的顶角相等． 求证：△ABC ∽△DEF ．证明：DEFABC FC E B DA DEF ABC D F E A CB DEF ABC DEF ABC ∆∆∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴∠-︒=∠=∠∠-︒=∠=∠∴∆∆∽的顶角相等和三角形为等腰三角形和的顶角相等和如图，等腰三角形,180,180。
相似三角形详细讲义
知识梳理相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于”．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注意：①对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边．②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．③两个三角形形状一样，但大小不一定一样．④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．相似三角形的基本定理定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．定理的基本图形：用数学语言表述是：BC DE // ，ADE ∽ABC ． 相似三角形的等价关系(1)反身性：对于任一ABC 有ABC ∽ABC ．(2)对称性：若ABC ∽'''C B A ，则'''C B A ∽ABC ．(3)传递性：若ABC ∽C B A ''，且C B A ''∽C B A ，则ABC ∽C B A ． 三角形相似的判定方法1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角 形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹 角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．（在遇到两个三角形的三边都知道的情况优先考虑，把边长分别从小到大排列，然后分别计算他们的比值是否相等来判断是否相似）6、判定直角三角形相似的方法： (1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
第4课时 相似三角形的判定(3) 公开课一等奖课件
知识与技能 使学生了解三角形相似的判定方法4及直角三角形相似定 理的证明方法并会运用． 过程与方法 1．类比证明三角形全等的方法(AAS，ASA，HL)，继续渗 透和培养学生对类比思想的认识和理解． 2．通过了解定理的证明方法培养和提高学生利用已学知 识证明新命题的能力． 情感、态度与价值观 通过学习培养学生类比的意识，了解由特殊到一般的唯物 辩证法的观点．
班主任： 我觉得何旋今天取得这样的成绩， 我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京 二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生 的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么 好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基 础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的， 何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一 个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑 的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她 很阳光，而且充满自信，这是她突出的这样一 个特点。所以我觉得，这是她今天取得好成绩 当中，心理素质非常好，是非常重要的。
青 春 风 采
高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分 数学145分 英语141分 文综255分
毕业学校：北京二中 报考高校： 北京大学光华管理学 院 北京市文科状元 阳光女孩--何旋
来自北京二中，高考成绩672分，还有20 分加分。“何旋给人最深的印象就是她 的笑声，远远的就能听见她的笑声。” 班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。 “她是学校的摄影记者，非常外向，如 果加上20分的加分，她的成绩应该是 692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘 诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。 考试结束后，她还问我怎么给边远地区 的学校捐书”。
三、练习新知 1．如图，锐角△ABC 的边 AB，AC 上的高 CE，BF 相交于点 D，请写 出图中的两对相似三角形．
九年级数学《相似三角形(3)》教案
“三部五环”教学模式设计《27.2相似三角形（3）》教学设计活动六 回顾总结，反思提高通过归纳、作业，巩固自己所学知识，形成技能技巧。
教 学 程 序问题与情境师生互动设计意图 活动1：创设情境 导入新课问题：（1）我们已学习过哪些判定三角形相似的方法？ （2）如图，△ABC 中，点D 在AB 上，如果AC 2=AD •AB ， 那么△ACD 与△ABC 相似吗？说说你的理由．(3)观察两副三角尺，同样角度的两个三角尺的三个内角有什么关系？这两个三角形相似吗？如果两个三角形有两组对应角相等，它们相似吗？——引出课题．教师通过提出问题，引导学生复习学过的知识，在此基础上激发学生学习新知的欲望。
学生思考回答，同时教师将学生的回答整理板书到黑板上。
本次活动教师应重点关注：学生能否熟练回答三角形相似的判定定理，相似三角形的判定方法和性质是否熟练。
用已学的知识能否顺利完成练习。
复习旧知，承前启后；通过本环节的复习和情景创设，让学生达到复习旧知，为新课做好铺垫的目的。
明确本节课的任务，激发学生探究的欲望和学习积极性。
活动2 尝试实践 探究新知 1、投影显示问题：在△ABC 与△A`B`C`中，如果满足∠A =∠A ’, ∠B =∠B ’,那么能否判定这两个三角形相似？ 2、 画图探究。
请同学们在练习本上作 △ABC 和△A ’B ’C ’，使得∠A =∠A ’, ∠B =∠B ’,请回答下列问题：（1） 这两个三角形的第三个角∠C 与∠C ’相等吗? （2） 分别度量这两个三角形的边长，并计算''B A AB 、''C B BC 、''C A AC，你有什么发现？（3） 将你的发现用文字叙述出来。
学生探究。
通过猜想——验证（测量）——得出结论（相似）。
得出结论两个角对应相等的两个三角形相似。
（1）教师先将课前准备好的纸发给学生，并出示投影指导学生完成作图：“任意画△ABC ，再画△A`B`C`，使得∠A =∠A ’, ∠B =∠B ’”。
人教版九年级下册数学《相似三角形的判定》相似PPT(第3课时)
工具准备
刻度尺、剪刀、小刀、双面胶、硬纸板、马铃薯、红薯 （或萝卜）等
活动实践
活动1 以硬纸板为主要材料，分别做出下面两组视 图所表示的立体模型。
活动2 按照下面给出的两组三视图，用马铃薯 （或萝卜）做出相应的实物模型。
活动3 下面的每一组平面图形都由四个等边三角形 组成。
解：∵ED⊥AB，∴∠EDA=90°. 又∵∠C=90°, ∠A=∠A, ∴△AED∽△ABC.
∴ AE AD ， AB AC
∴ AD AC AE 8 5 4. AB 10
追问1：目前我们见到过哪些常见的相似基本图形？
DE ∥ BC
AB ∥ CD
追问2:下列图形相似吗？满足什么条件才相似？
13 12
5
课题拓广
课外活动 设计并制作笔筒 设计你喜欢的笔筒，画出三视图和展开 图，制作笔筒模型，体会设计制作过程中 三视图、展开图、实物（立体模型）之间 的关系。
欣赏一下手工笔筒吧！
课堂小结
这节课你有哪些收获？你觉得依据三视 图制作立体模型时有哪些需注意的问题，与 同伴交流。
课后作业
了解有关生产实际，结合具体例子，写 一篇短文介绍三视图、展开图的应用。
所有判定一般三角形相似的方法，都可以用来判定直角三角形相似. 由于直角三角形是特殊的三角形，所以有其特有的更简洁的判定相似 的方法.
问题2：如果是一条直角边和斜边对应成比例，那么两个直角三角形 相似吗？
它们相似.
问题3：你能归纳出判定两个直角三角形相似的条件吗？
一个锐角相等，或者两边对应成比例.
例1 判断下列说法是否正确，并说明理由.
相似三角形的判定 第3课时
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15、正方形 边长为4， 、 分别是 、 上的两个动点，当 点在 上运动时，保持 和 垂直，
（1）证明： ；
（2）当 点运动到什么位置时 ，求此时 的值．
16、如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，BC∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=60°，点P为x轴上的—个动点，点P不与点O、点A重合．连结CP，过点P作PD交AB于点D．（1）求点B的坐标；
13.如图，在△ABC中，高BD、CE相交于点O.
（1）试说明： ；（2）试说明：△AED∽△ACB；（3）试说明：△DOE与△COB相似。
14、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.在边AB上取点D，在边AC取点E，AD=AE=1，连结DE并延长，与线段BC的延长线交于点P.
（1）当∠B＝30°时，连结AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长；
（1）问：始终与△AGC相似的三角形有及；
（2）设CG=x，BH=y，求y关于x的函数关系式（只要求根据图(2)的情形说明理由）；
（3）问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形。
（2）当点P运动什么位置时，△OCP为等腰三角形，求这时点P的坐标；
（3）当点P运动什么位置时，使得∠CPD=∠OAB，且 = ，求这时点P的坐标.
17、如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P、Q移动的时间为t秒．(1)求直线AB的解析式；⑵当t为何值时，△APQ与△AOB相似；⑶当t为何值时，△APQ的面积为4.8个平方单位？
7、如图,在平行四边形ABCD中,O1、O2、O3分别是对角线BD上的三点，且BO1=O1O2=O2O3=O3D，连接AO1并延长交BC于点E，连接EO3并延长交AD于点F，则AD：DF等于（）
A.19:2 B.9:1 C.8:1 D.7:1
8、如图,在△ABC中，P为AB上一点，则下列条件中(1)∠ACP=∠B；(2)∠APC=∠ACB；(3)AC2=AP•AB；(4)AB•CP=AP•CB，其中使△APC和△ACB相似的条件有（）
相似三角形辅导讲义（三）
1、直线AB与平行四边形MNPQ的四边所在直线分别交于A、B、C、D，则图中的相似三角形有（ ）
A.4对B.5对C.6对D.7对
2、.如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为 ,则 的值为( )
A．16 B.17 C. 18 D.19
3、一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm、30cm、36cm，要估做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为27cm、45cm的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边．截法有（ ）
18、如图，E是矩形ABCE的边BC上一点，EF⊥AE，EF分别交AC、CD于点M、F，BG⊥AC，垂足为G找出与△ABH相似的三角形，并证明；
（3）若E是BC中点，BC=2AB，AB=2，求EM的长。
19、如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=AC=EF=3，∠BAC=∠DEF=90º，固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE，DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线)于G，H点，如图(2)
A、0种B、1种C、2种D、3种
4、如图，在直角三角形ABC中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形，则x的值为（ ）
A、5B、6C、7D、12
5．如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，则△ABC的边长为
6、将三角形纸片△ABC按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF。已知AB＝AC＝8，BC＝10，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是______________.
11、已知格点△ABC．
（1）画出与△ABC相似的格点△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC的相似比为2；
（2）画出与△ABC相似的格点△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC的相似比为；
（3）格点△A1B1C1和格点△A2B2C2的相似比为.
12、如图，在△ABC中，AB=AC，AD是中线，P是AD上的点过C作CF//AB，延长BP交AC于E，交CF于F，求证：BP =PE·PF.
A、1个B、2个C、3个D、4个
9、如图为直角梯形纸片ABCD，E点在BC上，AD∥BC,∠C=90°，AD＝2，BC＝8，CD＝8.以AE为折线，将C折至BE上，使CD与AB交于F点，则BF=.
10、如图，Rt△AOB中，O为坐标原点，∠AOB＝90°，∠B＝30°，如果点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上运动，那么点B在函数的图象上运动（填函数解析式）