第11讲相似三角形之类比探究培优班讲义

相似之类比探究（讲义）一、 知识点睛● 类比探究是一类共性条件与特殊条件相结合，由特殊情形到一般情形（或由简单情形到复杂情形）逐步深入，解决思想方法一脉相承的综合性题目，常以几何综合题为主． ● 解决类比探究问题的通常思路解决类比探究问题的核心思想是类比（照搬），类比上一问的思路方法（如照搬字母，照搬辅助线等）．探究变化过程中的不变特征（如常见结构），是类比的前提．● 类比探究中的常见结构平行结构：由比例找平行，构造A 字型或X 型； 直角结构：由斜置的直角通过作垂线构造相似三角形．二、 精讲精练1. 类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．原题：如图1，在□ABCD 中，点E 是BC 边的中点，点F 是线段AE 上一点，BF 的延长线交射线CD 于点G ，若3AFEF=，求CD CG 的值． （1）尝试探究：在图1中，过点E 作EH ∥AB 交BG 于点H ， 则AB 和EH 的数量关系是_____________，CG 和EH 的数量关系是_____________，CDCG的值是_________．（2）类比延伸：如图2，在原题的条件下，若AFm EF=（m >0）， 则CD CG的值是_________（用含m 的代数式表示），试写出 解答过程．图3BFE CDA图2ADE F G图1ABCDE F G（3）拓展迁移：如图3，在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，点E是BC 的延长线上一点，AE 和BD 相交于点F ．若ABa CD=，BCb BE=（a >0，b >0），则AF EF 的值是________（用含a ，b 的代数式表示）．2. 数学课上，魏老师出示图1和下面框中条件：（1）①当点C 与点F 重合时，如图2所示，可得AMDM的值为___________；②在平移过程中，AMDM的值为___________（用含x 的代数 式表示）．（2）将图2中的三角板ABC 绕点C 逆时针旋转，原题中的其他条件保持不变．当点A 落在线段DF 上时，如图3所示，请计算AMDM的值． （3）将图1中的三角板ABC 绕点C 逆时针旋转m 度，090m <≤，原题中的其他条件保持不变，如图4所示，请计算AMDM的值（用含x 的代数式表示）．如图1，两个等腰直角三角板ABC 和DEF 有一条边在同一条直线l 上，∠ABC =∠DEF =90°，AB =1，DE =2．将直线EB 绕点E 逆时针旋转45°，交直线AD 于点M ．将图1中的三角板ABC 沿直线l 向右平移，设C ，E 两点间的距离为x ．图2l图1图4图3图3FECDA3. 如图1，将三角板放在正方形ABCD 上，使三角板的直角顶点E 与正方形ABCD 的顶点A 重合，三角板的一边交CD 于点F ，另一边交CB 的延长线于点G ．（1）求证：EF =EG ．（2）如图2，移动三角板，使顶点E 始终在正方形ABCD 的对角线AC 上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成 立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD ”改为“矩形ABCD ”， 且使三角板的一边经过点B ，其他条件不变，若AB =a ，BC =b ，求EFEG的值．E (A )BCD FGG FD CBAEEACD FG (B )图1图2图34. 如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，点E 在AC 上，BE 交CD 于点G ，EF ⊥BE 交AB 于点F ，AC =mBC ，CE =nEA （m ，n 为实数）.试探究线段EF 与EG 的数量关系．（1）如图2，当m =1，n =1时，EF 与EG 的数量关系是 ____________．（2）如图3，当m =1，n 为任意实数时，EF 与EG 的数量关 系是______________，并证明你的结论．（3）如图1，当m ，n 均为任意实数时，EF 与EG 的数量关 系是______________．（写出关系式，不必证明）三、 回顾与思考__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________D A B图1GC E图2G D FEC图3C GBA D F E【参考答案】1.（1）AB =3EH ；CG =2EH ；32（2）2m；提示：过点E 作EH ∥AB 交BG 于点H （3）ab ；提示：过点E 作EH ∥AB 交BD 的延长线于点H2.（1）①1；②2x（2）提示：过点B 作BE 的垂线交EM 的延长线于点G ，连接AG ，证AG ∥DE ，得△AMG ∽△DME ，所以212AM AG DM DE ===（3）提示：过点B 作BE 的垂线交EM 的延长线于点G ，连接AG ，证AG ∥DE ，得△AMG ∽△DME ，所以2AM AG xDM DE ==．3.（1）提示：证明Rt △FED ≌Rt △GEB (ASA)，所以EF =EG ； （2）成立．理由如下： 证明：如图，I HEAB CD FG过点E 分别作BC ，CD 的垂线，垂足分别为H ，I ， 证明Rt △FEI ≌Rt △GEH (ASA)，所以EF =EG ； （3）解：如图，MN G (B )FD CAE过点E 分别作BC ，CD 的垂线，垂足分别为M ，N ， 证明△GME ∽△FNE ，所以EF bEG a． 4. （1）EF =EG ．（2）EF =1nEG ；作EM ⊥AB 于点M ，EN ⊥CD 于点NN MEC FAG（3）EF =1mnEG ． I H C EF DA BG相似之类比探究（每日一题） 姓名_________1． 在△ABC 中，D 为BC 边的中点，E 为AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O ，某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：（1）当11211==+AE AC 时，有22321==+AO AD ； （2）当11312==+AE AC 时，有22422==+AO AD ； （3）当11413==+AE AC 时，有22523==+AO AD ； （4）当11=+AE AC n 时，参照上述研究结论，请你猜想用n 表示AOAD的一般结 论，并给出证明（其中n 是正整数）．OE D CBA2． 在图1至图3中，直线MN 与线段AB 相交于点O ，∠1=∠2=45°． （1）如图1，若AO =OB ，请写出AO 与BD 的数量关系和位置关系． （2）将图1中的MN 绕点O 顺时针旋转得到图2，其中AO =OB ． 求证：AC =BD ，AC ⊥BD ．（3）将图2中的OB 拉长为AO 的k 倍得到图3，求BDAC的值． ABD OM NC 1221NM O D BA21C NMO D BA图1图2图33． 已知：线段OA ⊥OB ，点C 为OB 中点，D 为线段OA 上一点．连接AC ，BD 交于点P ．（1）如图1，当D 为OA 中点时，求APPC 的值； （2）如图2，当AD :DO =1:m 时，求APPC的值；（3）如图3，把题目中“点C 为OB 中点”改为“BC :CO =1:n ”，当AD :DO =1:m 时，直接写出APPC的值． ABC DOPPODC BA PODC BA 图1图2图34． （1）如图1，已知正方形ABCD ，E 是AD 上一点，F 是BC 上一点，G 是AB 上一点，H 是CD 上一点，线段EF ，GH 交于点O ，∠EOH =∠C ．求证：EF =GH ．（2）如图2，若将“正方形ABCD ”改为“矩形ABCD ”，且AD =mAB ，其他 条件不变，探索线段EF 与线段GH 的数量关系并加以证明．（3）根据前面的探究，你能否将本题推广到一般的平行四边形情况？若能， 写出推广命题，画出图形，并证明；若不能，说明理由．A BCD EFG HOOHG F EDCBA图1图25． 在矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，点F 在BC 的延长线上，CM 平分∠DCF ，连接AE ，作EM ⊥AE 交CM 于点M ．（1）如图1，当AB =BC 时，请判断AE 与EM 的数量关系并证明； （2）如图2，当AB =nBC 时，请判断AE 与EM 的数量关系并证明； （3）如图3，把题目中“E 是BC 的中点”改为“BE =mEC ”，当AB =nBC 时， 请判断AE 与EM 的数量关系并证明．图3图2图1ABCDFEM ABCDFE MME FDCBA【参考答案】1．解：当11=+AE AC n 时，2=2AO AD n+ FOEDCBA证明如下：过点A 作BC 的平行线交BE 的延长线于点F ∵ 11=+AE AC n ∴1AE EC n =∵ AF ∥BC∴ △AEF ∽△CEB ，△AOF ∽△DOB ∴1AF AE BC EC n ==，AF AOBD OD =∵ D 为BC 的中点 ∴ BD =DC∴2212AF AF AFBD BC nBC===∴2=AOOD n，即：2=2AOAD n+2．解：（1）由题意知∠BOD=∠1=45°，此时△OBD是等腰直角三角形∴OB=BD，OB⊥BD∴AO=BD，AO⊥BD（2）如图2，EFC21NMODBA图2过点B作BE//AC交CD于点E，延长AC，DB交于点F．∴∠DEB=∠DCF=∠1=45°，∠ACO=∠BEO，∠OAC=∠OBE ∴△BED，△FCD是等腰直角三角形∴BD=BE，AC⊥BD∵AO=BO∴△AOC≌△BOE，∴AC=BE∴AC=BD，AC⊥BD（3）如图3，EF21CNMODBA图3过点B作BE//AC交CD于点E，延长AC，DB交于点F．∴∠DEB=∠DCF=∠1=45°，∠ACO=∠BEO，∠OAC=∠OBE ∴△BED、△FCD是等腰直角三角形，且△AOC∽△BOE∴BD=BE，BE OB AC OA=∵OB是OA的k倍∴BE AC=k∴BDk AC=3．解：（1）如图1，E图1BPODCA过点D作DE∥OB交AC于点E，∠ADE=∠O，∠AED=∠ACO∴△ADE∽△AOC∴12 AE AD DE DE AC AO OC BC====又∵DE∥OB∴∠EDP=∠B，∠DEP=∠BCP ∴△DEP∽△BCP∴12 EP DE PC BC==∴AP PC=2（2）如图2，E图2OADPB过点D作DE∥OB交AC于点E，∠ADE=∠O，∠AED=∠ACO ∴△ADE∽△AOC∴11AE AD DE DEAC AO OC BC m====+，1AE ADEC DO m==∵DE∥OB∴∠EDP=∠B，∠DEP=∠BCP ∴△DEP∽△BCP∴11 EP DEPC BC m==+∴12 EPEC m=+设AE =k ，则EC =mk ∴ EP =2mkm + ∴ AP =AE +EP =2222mk mk kk m m ++=++，PC =EC －EP =222mk m k mk mk m m +-=++ ∴AP PC =2m（3）1n m+ 4．证明：（1）如图1，Q N MR 图1OHG FED C BA过点F 作FM ⊥AD 于M ，过点G 作GN ⊥CD 于N则FM =GN =CD =BC ，且GN ⊥FM ，设它们的垂足为Q ，EF ，GN 交于点R ∵ ∠EOH =∠GOF =∠C =90°，∴ ∠OGR =90°-∠GRO =90°-∠QRF =∠OFM ． ∵ ∠GNH =∠FME =90°，FM =GN ， ∴ △GNH ≌△FME ． ∴ EF =GH（2）GH=mEF证明如下：如图2，MNRQ图2AB CDEFGHO过点F作FM⊥AD于M，过点G作GN⊥CD于N，设EF，GN交于点R，GN，MF交于点Q∵∠EOH=∠GOF=∠C=90°，∴∠OGR=90°-∠GRO=90°-∠QRF =∠OFM．∵∠GNH=∠FME=90°，∴△GNH∽△FME．∴GH ADEF AB=m，即：GH=mEF（3）A E M DHNCQORFGB如图，已知平行四边形ABCD，E是AD上一点，F是BC上一点，G是AB上一点，H是CD上一点，线段EF，GH交于点O，∠EOH=∠C，AD=mAB，则GH=mEF．证明：如图，过点F作FM⊥AD于M，过点G作GN⊥CD于N，设EF，GN交于点R、GN，MF交于点Q，在四边形MQND中，∠QMD=∠QND=90°∴∠ADC+∠MQN=180°．∴∠MQN=∠C=∠EOH=∠GOF．∵∠ORG=∠QRF，∴∠HGN=∠EFM．∵∠FME=∠GNH=90°，∴△GNH∽△FME．∴GH GN EF MF=∵AB⋅GN=AD⋅MF∴GN AD FM AB==m∴GHmEF=，即：GH=mEF5．解：（1）AE=EM，理由如下：如图1，G图1ME FDCBA取AB的中点G，连接GE．∵∠AEM=90°∴∠MEC+∠AEB=90°∵∠B=90°∴∠EAG+∠AEB=90°∴∠EAG=∠MEC∵点E，G分别为正方形ABCD的边BC和AB的中点∴AG=EC∵△BGE是等腰直角三角形∴∠AGE=135°∵CM平分∠DCF∴∠ECM=135°∴△AEG≌△EMC∴AE=EM（2）当AB=nBC时，AE=(2n-1)EM，理由如下：如图2，G图2AB CDFEM在AB上截取BG=BE，连接GE，则△BGE为等腰直角三角形∴∠BGE=45°∴∠AGE=∠ECM=135°∵∠AEM=90°∴∠MEC+∠AEB=90°∵∠B=90°∴∠EAG+∠AEB=90°∴∠EAG=∠MEC∴△AEG∽△EMC∴AE AG EM EC=∵AB=nBC，BC=2BE=2EC，BG=BE ∴AG+BG=2nEC∴AG=(2n-1)EC∴AE AGEM EC==(2n-1)∴AE=(2n-1)EM（3）当AB=nBC，BE=mEC时，AE=(mn+n-m)EM，理由如下：如图3，ME FDCBA图3G在AB上截取BG=BE，连接GE，则△BGE为等腰直角三角形∴∠BGE=45°∴∠AGE=∠ECM=135°∵∠AEM=90°∴∠MEC+∠AEB=90°∵∠B=90°∴∠EAG+∠AEB=90°∴∠EAG=∠MEC∴△AEG∽△EMC∴AE AG EM EC=∵BE=mEC∴BC=BE+EC=(m+1)EC ∵AB=nBC，BG=BE∴AG+BG=n(m+1)EC∴AG+mEC=n(m+1)EC ∴AG=(mn+n-m)EC∴AE AGEM EC==(mn+n-m)∴AE=(mn+n-m)EM相似之类比探究（随堂测试）1． 已知：在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，∠A =30°，点P 在AC 上，且∠MPN =90°．当点P 为线段AC 的中点，点M ，N 分别在线段AB ，BC 上时（如图1），过点P 作PE ⊥AB 于点E ，PF ⊥BC 于点F ，可证Rt △PME ∽Rt △PNF ，得出PN（不需证明）．当PCP A ，点M ，N 分别在线段AB ，BC 或其延长线上，如图2、图3这两种情况时，请写出线段PN ，PM 之间的数量关系，并任选一种情况给予证明．图3B NAPMC【参考答案】如图2，如图3中都有结论：PNPM ．理由略HG AMBPCI QC MPANB图1AEFMCPB 图2CPBMA相似之类比探究（作业）2. 原题：如图1，D 是△ABC 的边BC 上一点，过点D 的一条直线交AC 于点F ，交BA 的延长线于点E ．若BD =CD ，CF =2AF ，则EAEB的值是_____________．（1）如图2，在原题的条件下，若BD =CD ，CF =mAF ，则EAEB的值是__________（用含m 的代数式表示），试写出解答过程．（2）如图3，若将原题改为“过点D 的一条直线交AC 的延长线于点F ，交AB 于点E ”，且BD =aCD ，CF =bAF ，则EAEB的值是__________（用含a ，b的代数式表示）．图1BD FEA图2FAE B 图3BCD E A3. 如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于点D ，点O 是AC 边上一点，连接BO ，交AD 于点F ，OE ⊥OB 交BC 于点E ． （1）求证：△ABF ∽△COE ； （2）如图2，当O 为边AC 中点，2AC AB =时，求OFOE的值； （3）如图3，当O 为边AC 中点，ACn AB=时，请直接写出OFOE的值．DEFBA图2A CED F B图3图1BF D O ECA4. 如图，在△ABC 中，∠A =60°，BD ，CE 分别是AC ，AB 上的高．求证：（1）△ABD ∽△ACE ；（2）△ADE ∽△ABC ； （3）BC =2ED ．DCAEB【参考答案】1. 原题：12； （1）1m ； （2）1ab；2. 解：（1）略（2）2OF OE=．提示：如图，过点O 作OG ∥AB 交BC 于点G ，证明△AOF ∽△GOEGDEOCFBA（3）OFn OE = 3.（1）略；（2）略；（3）略。