第五章 偏微分方程的有限元法
有限元法
f
＝
j
jq
d
bj
2
jh
d
N
N
kij
e j i de kiej
i 1
i 1
N
N
f
＝
j
e
j qd e
f
e j
i 1
i 1
N
N
b
＝
j
e
j hd e
b
e j
i 1
i 1
kiej e j i de
f
e j
e
j qd e
有限元法首先要对场域单元化（剖分），并编号。求解变为求节点的位函数值 各单元内系数矩阵对整体系数矩阵的贡献形式相同（尝试函数在局部坐标下 形式相同，待定系数就是节点位函数值）（只与单元坐标有关）（便于计算 机重复计算） 最后封装整体系数矩阵，并消去参考节点的行、列，求解矩阵方程即可。
3. 二维有限元法
i
t
(1
t le
)
1 le
i1
t
t ( le
)
1 le
2. 一维有限元法
i
t
(1
t le
)
1 le
i1
t
t ( le
)
1 le
局部系数矩阵元素的计算
k e i,i
e i i de
le ( 1 )2 dt 1
0 le
le
k e i ,i 1
e i1 i de
＝
j
e
j hd e
b
e j
i 1
i 1
2. 一维有限元法
k
e ij
e j i de
f
有限元法 课件
样将一个大型的刚度矩阵[K]进行分块，
在具体问题处理中是非常复杂和繁琐的。
第五章 有限元法
刚度矩阵的列数和行数都保持不变的边界条 件处理办法。 设平面桁架结构对应的平衡方程为
第五章 有限元法
(1) 边界条件 u1 =0 的实现。在刚度矩阵[K] 中，保留与u1相对应的并在主对角线上的 系数 k11 ，将第一行和第一列的其余各元素 均改为零；在列载荷[F]中令 Fx1=0
第五章 有限元法
§1.1 有限元法的直接法——杆的分析
（一） 单元的刚度矩阵
节点位移和节点 力的符号与坐标 轴x, y取向一致为 正，反之为负
节点位移和节点力分别可表示为
第五章 有限元法
应变-位移关系 杆的长度l 可表示为
对其两边进行微分运算
第五章 有限元法
由于杆件受力变形
杆的应变为
单元内的轴向力（规定拉力为正）为
第五章 有限元法
(2) 边界条件v 2= c 的实现。
第五章 有限元法
第五章 有限元法
第五章 有限元法
（四） 求解方程组
① 求解经过边界条件处理后的结构平衡方程
（或称整体有限元方程），即可得到所有节
点上的位移。 ② 关于求解线性代数方程组，有很多方法，诸 如消元法、LU 分解法、迭代法等均可采用。 ③ 利用所得到的节点位移，我们不难得到杆件
类似有限元分析这样的分析手段。
第五章 有限元法
北京奥运场馆的鸟巢由纵横交错的钢铁枝蔓组成,枝蔓总重达 42000吨，其中，顶盖以及周边悬空部位重量为14000吨，在 施工时，采用了78根支柱进行支撑，也就是产生了78个受力 区域，在钢结构焊接完成后，需要将其缓慢而又平稳地卸去， 让鸟巢变成完全靠自身结构支撑
偏微分方程的解法
偏微分方程的解法偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDEs）是数学中的一个重要分支，它描述了多变量函数的偏导数之间的关系。
这些方程在自然科学、工程应用和社会科学等领域都发挥着重要作用。
解决偏微分方程是一个复杂而有挑战性的过程，需要运用多种数学方法和工具来求解。
在本文中，我将为您介绍几种常见的偏微分方程的解法，并提供一些示例以帮助您更好地理解。
以下是本文的主要内容：1. 一阶线性偏微分方程的解法1.1 分离变量法1.2 特征线方法2. 二阶线性偏微分方程的解法2.1 分离变量法2.2 特征值法2.3 Green函数法3. 非线性偏微分方程的解法3.1 平移法3.2 线性叠加法3.3 变换法4. 数值方法解偏微分方程4.1 有限差分法4.2 有限元法4.3 谱方法5. 偏微分方程的应用领域5.1 热传导方程5.2 波动方程5.3 扩散方程在解一阶线性偏微分方程时，我们可以使用分离变量法或特征线方法。
分离变量法的基本思路是将方程中的变量分离，然后通过积分的方式求解每个分离后的常微分方程，最后再将结果合并。
特征线方法则是将方程中的变量替换为新的变量，使得方程中的导数项消失，从而简化求解过程。
对于二阶线性偏微分方程，分离变量法、特征值法和Green函数法是常用的解法。
分离变量法的核心思想与一阶线性偏微分方程相似，将方程中的变量分离并得到常微分方程，然后进行求解。
特征值法则利用特征值和特征函数的性质来求解方程，适用于带有齐次边界条件的问题。
Green函数法则通过引入Green函数来求解方程，其特点是适用于非齐次边界条件的情况。
非线性偏微分方程的解法则更加复杂，常用的方法有平移法、线性叠加法和变换法。
这些方法需要根据具体问题的特点选择合适的变换和求解技巧，具有一定的灵活性和创造性。
除了上述解析解法，数值方法也是解偏微分方程的重要手段。
常用的数值方法包括有限差分法、有限元法和谱方法等。
有限元法(FEM)简介
EA ( − cosθ sin θ u1 − sin 2 θ v1 + cosθ sin θ u2 + sin 2 θ v2 ) + EA ( v2 − v3 ) l1 l2
节点3的x方向 节点3的y方向
Fx 3 = Rx23 = 0 EA 2 Fy 3 = Ry 3 = ( −v2 + v3 ) l2
u12=1，u11= v11= v12= 0
EA R = k13 = − cos 2 θ l1
1 x1
v12=1，u11= v11= u12= 0
R11 = k14 = − x R11 = k24 = − y
1 Rx 2 = k34 =
EA cos θ sin θ l1 EA 2 sin θ l1
EA R = k23 = − cos θ sin θ l1
写成矩阵形式
R11 cos 2 θ x 1 Ry1 EA cos θ sin θ 1 = Rx 2 l1 − cos 2 θ R1 2 − cos θ sin θ y cos θ sin θ sin 2 θ − cos θ sin θ − sin 2 θ − cos 2 θ − cos θ sin θ cos 2 θ cos θ sin θ
EA ( cosθ sin θ u1 + sin 2 θ v1 − cosθ sin θ u2 − sin 2 v2 ) l1
EA ( − cos2 θ u1 − cosθ sin θ v1 + cos2 θ u2 + cosθ sin θ v2 ) l1
节点2的y方向
2 Fy 2 = R1 2 + Ry 2 = y
数值模拟偏微分方程的三种方法：FDM、FEM及FVM
数值模拟偏微分方程的三种方法：FDM、FEM及FVM偏微分方程数值模拟常用的方法主要有三种：有限差分方法（FDM）、有限元方法（FEM）、有限体积方法（FVM），本文将对这三种方法进行简单的介绍和比较。
有限差分方法有限差分方法(Finite Difference Methods)是数值模拟偏微分方程最早采用的方法，至今仍被广泛运用。
该方法包括区域剖分和差商代替导数两个过程。
具体地，首先将求解区域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解区域。
其次，利用Taylor级数展开等方法将偏微分方程中的导数项在网格节点上用函数值的差商代替来进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知量的代数方程组。
该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。
差商代替导数后的格式称为有限差分格式，从格式的精度来考虑，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。
从差分的空间离散形式来考虑，有中心格式和迎风格式。
对于瞬态方程，考虑时间方向的离散，有显格式、隐格式、交替显隐格式等。
目前常见的差分格式，主要是以上几种格式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。
差分方法主要适用于结构网格，网格的步长一般根据问题模型和Courant稳定条件来决定。
请输入标题有限元方法(Finite Element Methods)的基础是变分原理和分片多项式插值。
该方法的构造过程包括以下三个步骤。
首先，利用变分原理得到偏微分方程的弱形式(利用泛函分析的知识将求解空间扩大)。
其次，将计算区域划分为有限个互不重叠的单元(三角形、四边形、四面体、六面体等)。
再次，在每个单元内选择合适的节点作为求解函数的插值点，将偏微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的分片插值基函数组成的线性表达式，得到微分方程的离散形式。
利用插值函数的局部支集性质及数值积分可以得到未知量的代数方程组。
有限元方法有较完善的理论基础，具有求解区域灵活(复杂区域)、单元类型灵活(适于结构网格和非结构网格)、程序代码通用(数值模拟软件多数基于有限元方法)等特点。
有限元分析如何求解偏微分方程
有限元分析如何求解偏微分方程有限元分析如何求解偏微分方程「篇一」1、有限元法是近似求解连续场问题的数值方法。
2、有限元法将连续的求解域（离散），得到有限个单元，单元与单元之间用（结点相连。
3、从选择未知量的角度看，有限元法可分为三类（位移法力法混合法）。
4、以（结点位移）为基本未知量的求解方法称为位移量。
5、以（结点力）为基本未知量的求解方法称为力法。
7、直梁在外力作用下，横截面上的内力有（剪力）和（弯矩）两个。
8、平面刚架结构在外力作用下，横截面上的内力有（剪力）、（弯矩）、（轴力）。
9、进行直梁有限元分析，结点位移有（转角）、（挠度）。
12、弹性力学问题的方程个数有（15）个，未知量个数有(15)个。
13、弹性力学平面问题方程个数有（8），未知数（8）个。
15、几何方程是研究（应变）和（位移）关系的方程。
16、物理方程描述（应力）和（应变）关系的方程。
17、平衡方程反映（应力）和（位移）关系的方程。
18、把进过物体内任意一点各个（截面）上的应力状况叫做（该点）的应力状态。
19、形函数在单元结点上的值，具有本点为（1），他点为零的性质，并在三角形单元的后一结点上，三个形函数之和为（1）。
20、形函数是（三角形）单元内部坐标的（线性位移）函数，它反映了单元的（位移）状态。
21、结点编号时，同一单元相邻结点的（编号）尽量小。
25、单元刚度矩阵描述了（结点力）和（结点位移）之间的关系。
矩形单元边界上位移是（线性）变化的。
1、从选择未知量的角度来看，有限元法可分为三类，下面那种方法不属于其中（C）。
A、力法B、位移法C、应变法D、混合法2、下面对有限元法特点的叙述中，哪种说法是错误的（D）。
A、可以模拟各种几何形状负责的结构，得出其近似值。
B、解题步骤可以系统化，标准化。
C、容易处理非均匀连续介质，可以求解非线性问题。
D、需要适用于整个结构的插值函数。
3、几何方程研究的是（A）之间关系的方程式。
A、应变和位移B、应力和体力C、应力和位移D、应力和应变 4.物理方研究的是（D）之间关系的方程式。
有限元方法编程
有限元方法编程摘要：1.有限元方法概述2.有限元方法编程的基本步骤3.有限元方法编程的实例4.有限元方法编程的注意事项5.结论正文：1.有限元方法概述有限元方法是一种数值分析方法，主要用于求解偏微分方程问题。
它通过将连续的求解区域离散化为有限个小的子区域（有限元），并将这些子区域的边界上的函数值用有限个节点上的函数值来表示，从而将偏微分方程转化为求解有限元系统的线性或非线性代数方程组。
这种方法可以大大简化问题的求解过程，提高计算效率，并可以方便地用于计算机编程。
2.有限元方法编程的基本步骤有限元方法编程的基本步骤如下：（1）建立有限元模型：根据问题的实际需求，选择合适的有限元类型（如四面体、六面体等），并根据几何形状将求解区域划分为有限个小的子区域。
（2）编写有限元方程：根据有限元模型，编写有限元方程，将偏微分方程转化为求解有限元系统的线性或非线性代数方程组。
（3）选择合适的数值方法：根据问题的特点，选择合适的数值方法（如有限差分法、有限体积法等）对有限元方程进行求解。
（4）编写求解程序：根据所选数值方法，编写求解程序，实现有限元方程的求解。
（5）结果分析与后处理：对求解结果进行分析，并进行必要的后处理（如绘制等值线图、计算梯度等）。
3.有限元方法编程的实例以求解一个简单的二维热传导问题为例，我们可以按照以下步骤进行有限元方法编程：（1）建立有限元模型：将求解区域划分为多个矩形单元，并在每个单元的边界上设置节点。
（2）编写有限元方程：根据热传导方程，编写有限元方程。
（3）选择合适的数值方法：选择有限差分法对有限元方程进行求解。
（4）编写求解程序：根据有限差分法，编写求解程序，实现有限元方程的求解。
（5）结果分析与后处理：对求解结果进行分析，并绘制温度分布的等值线图。
4.有限元方法编程的注意事项在进行有限元方法编程时，应注意以下几点：（1）选择合适的有限元类型和网格划分：合适的有限元类型和网格划分可以降低求解的复杂度，提高计算效率。
偏微分方程的有限元法求解
16.901讲义笔记一维有限％首先，我们考虑•个比上一节稍微复杂点的问题; 豎二f(X),卫冲，V(O) = O.V(L)=O在这里，f(X)是)C的般函数，我们来看•个特别的情形：f(x)=x(L-x),此时，方程的梏确解如F：有限元方法利用加权残差的方法■其中:(1)设va)=£«Ma), v()()是我们对v(x)的近似，省为未知常数9 V|(x)是用户选择的歯数，即形状朗数：(2)定义N个加权残差LRj = p^(x)R(V)dx • j = l-> N to其中，RV)二器・f为绒差凹⑴足“用户”选择的加权函数，即权函数:(3)令加权残并为冬•町以确定⑷的值，即求耳使得对所fi 1=I->N, Rj=Oe令限元方法( )是加权残若法的一种，下血看看我们是如何用它来解决问题的。
一维有限元方法有限元方法（〉扌野个连续区域离散化-系列小单尤，这些单元与有限差分法（）或有限体积法（）产牛的网格完全相同，而佼之前两者主耍的优点在于：能够容易地把握单元的变化范囤。
对于我们讨论的一维问题,可以将区域（数轴〉离散化为如下图所示:这里，叫三单•元的个数。
我们还会用別下血i些定义：个三角划分；尽管令限元法对于一维，二维，三维甚至高细问题都是仃效的，们我们还是要谈及区域离散化的一种方浓，即三角划分。
4 T定义为第I个单元所在的区域。
对于_维问题,这表明，TS-个满足片心的X的集合。
接卜来耍确定的是毎个单兀该用什么样的函数，典型的函数形式就是用从一个单元到卜一个单兀保持解连续的多项式。
例如：一个线性有限元如卜團;i示:在毎个单元内的函数是线形的，在毎两个单元的交点处足连续的。
对于专门诜择的满足线件变化的形状函数,右估计残差时有一个很明显的问题：回忆前曲的内容，RV)二器一f,它在一个单冗里等于什么呢?因为函数是线性的,所以器=0,则有:R(V)=f ,即R(V)与无关。
冋时，满足线性变化的形状函数似乎也是一个好的近似，我们举-个例子来说明。
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计 算 物 理 学
x1 d F F F J y dx ydx y x0 x0 dx y y y x0 x1
x1
x1
x0
F d F F y 0 ydx y y dx y x0
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5.1 泛函与变分原理
计 算 物 理 学
5.1.1 泛函的定义
泛函通常是指一种定义域为函数，而值域为实数的 “函数”。 设C是函数的集合，B是实数集合。如果对C中的任 一元素y(x)，在B中都有一个元素J与之对应，则称J为 y(x)的泛函，记为J[y(x)]。
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5.1 泛函与变分原理
计 算 物 理 学
5.1.3 泛函的变分
定义最简泛函
J [ y( x)] F ( x, y, y)dx
x0
x1
F(x,y,y’)称为泛函的“核函数” 最简泛函: 核函数只包含自变量 x、未知函数y(x)以及导数y’(x)
数学上，通常自变量与因变量间的关系称为函数， 而泛函则是函数集合的函数，也就是函数的函数，即 自变量为函数，而不是变量。
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5.1 泛函与变分原理
计 算 物 理 学 例5.1.1 质点在重力作用下，沿一条光滑的从A点到B 点的曲线运动，如图所示。求下落时间最短的曲线。
代入欧拉方程
F d F 1 y2 d y 3 2 y dx y 2 2 g y 2 dx 2 gy 1 y 1 y 2 2y
3 2
0
d dx
0 y 1 y 2 y
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5.1 泛函与变分原理
计 算 物 理 学
5.1.2 函数的变分
设y(x)是泛函J定义域内任一函数，如果y(x)变化为 新函数Y(x) ，且Y(x)属于泛函J的定义域，则Y(x)与y(x) 之差为函数y(x)的变分。
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5.1 泛函与变分原理
计 算 物 理 学
Fy y Fy y x1 J 1 dx 2 2 x0 Fyy y 2 Fyy y y Fyy y 2! J 2J F 2 F Fy Fyy 2 其中 y y x1 J Fy y Fy y dx x0 J J ( y y) J ( y) 1 x1 2 2 2 J Fyy y 2 Fyy y y Fyy y dx 2 x0
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1 y 2 F 2 gy
kyang@
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1 y 2 F 2 gy
计 算 物 理 学
5.1 泛函与变分原理
F y 2 y 2 gy 1 y
F 1 y2 3 y 2 2 g y 2
O x0 A x1 x
捷线问题
B y
曲线上任一小段线元长度为：
dy ds dx dy (1 )dx2 dx
2 2 2
2
ds (1 y2 ) dx
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5.1 泛函与变分原理
计 算 物 理 学 线元处的质点速度为
O x0 A x1 x
v 2gy
ds线元下落时间为
y
B
ds 1 y 2 dT dx v 2 gy
从A点到B点的下落时间为
T
x1
x0
1 y 2 dx J [ y ( x)] 2 gy
J [ y ( x)] min
把变分问题转化微分方程的定解问题（边值问题）来求解 。
5.1 泛函与变分原理
计 算 物 理 学 对于例5.1.1求下落时间最短的轨迹
T
x1
x0
1 y 2 dx J [ y ( x)] 2 gy
J [ y ( x)] min
利用最简泛函的欧拉方程。
F d F 0 y dx y
分别称为泛函的一阶变分和二阶变分。
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5.1 泛函与变分原理
计 算 物 理 学 泛函取极值的必要条件：一阶变分为零
J 0
性质：对于最简泛函，变分运算可以与积分、微 分运算交换次序
x1 x1 J F ( x, y, y)dx F ( x, y, y )dx x0 x0 dy y d dx dx
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y ( y)
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kyang@
F F d F F d F )dx J ( y 5.1 y泛函与变分原理 y y y x0 y y dx y dx y y
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第五章 偏微分方程的有限元法
计 有限元法--加权余数法 算 物 自从1969年以来，某些学者在流体力学中应用加权余 理 数法中的迦辽金法或最小二乘法等同样获得了有限元方程， 学 因而有限元法可应用于以任何微分方程所描述的各类物理 场中，而不再要求这类物理场和泛函的极值问题有所联系。 加权余数法的核心思想是：近似解与解析解相比会存 在误差R，但是可以通过一个准则使R尽量小，求解这个等 式，就可以得到待定常数的值，也就得到了近似解。
y Y ( x) y( x)
变分δy是x的函数，它不同于函数的 增量Δy。
y y x x y x
Y ( x) y( x) ( y)
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性质：函数求导与求变分可以交换次序
y Y ( x) y( x)
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第五章 偏微分方程的有限元法
计 算 物 理 学
有限元法---变分原理
基于变分原理的有限元法是逼近论、偏微分方程、变 分与泛函分析的巧妙结合。 基于变分原理的有限元法以变分原理为基础，把所 要求解的微分方程定解问题，首先转化为相应的变分问 题，即泛函求极值问题；它将求解域看成是由许多称为 有限元的小的互连子域组成，然后利用剖分插值，对每一 单元假定一个合适的(较简单的）近似解，把离散化的变分 问题转化为普通多元函数的极值问题，然后推导求解这 个域总的满足条件(边界条件），即最终归结为一组多元的 代数方程组，求解代数方程组，就得到待求边值问题的 数值解。
y x x 0
x x1
0
x1
对于驻定问题，两边界固定
F d F 0 y dx y
这就是最简泛函的欧拉方程，等价于泛函取极值的必要条件。
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计 算 物 理 学
第五章
偏微分方程的有限元法
5.1 泛函与变分原理 5.2 基于变分原理的有限元法 5.3 matlab有限元法工具箱
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kyang@
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第五章 偏微分方程的有限元法
有限元法（FEA，Finite Element Analysis，FEM） 计 有限元法的基本思想是用较简单的问题代替复杂问 算 物 题，然后再对简单问题进行求解的数值计算方法。
理 学 有限元法将求解域看成是由许多被称为有限元的小的互 连子域组成，对每一单元假定一个较简单的近似解，然后推 导求解这个域总的满足条件，从而得到问题的解。这个解不 是准确解，而是近似解。有限元不仅计算精度高，而且能适 应各种复杂形状，因而成为行之有效的数值计算方法。 有限元法于上世纪50年代首先在力学领域-----飞机结 构的静、动态特性分析中得到应用，随后很快广泛的应用 于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。 有限元法主要用于求解拉普拉斯方程和泊松方程所描述的 各类物理场中。
泛函的变分
J J ( y y) J ( y) F ( x, y y, y y) F ( x, y, y)dx
x1 x0
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5.1 泛函与变分原理
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kyang@
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第五章 偏微分方程的有限元法
有限元法特点 计 算 1. 有限元法的物理意义直观明确，理论完整可靠。 因为变 物 分原理描述了支配物理现象的物理学中的最小作用原理 理 （如力学中的最小势能原理）。 学 2. 优异的解题能力。有限元法对边界几何形状复杂以及媒 质物理性质变异等复杂物理问题求解上，有突出优点： ① 不受几何形状和媒质分布的复杂程度限制。 ②不必单独处理第二、三类边界条件。 ③ 离散点配置比较随意，通过控制有限单元剖分密度和 单元插值函数的选取，可以充分保证所需的数值计算精度。计 算 物 理学利用二元函数的泰勒展开