湖北省七市(州)2014届高三联合考试 数学文试题B卷 Word版含答案

第1题图NMy2014年湖北省七市（州）高三年级联合考试数学试题(文史类)全卷满分150分，考试时间120分钟．★ 祝考试顺利 ★第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M = {x | x 2－2x －3 < 0}和N = {x | x > 1}的关系如图所示，则阴影部分所表示的 集合为 A ．{x | x > 1} B ．{x | x < 3} C ．{x |－1 < x < 1}D ． {x | 1 < x < 3}2．已知命题p ：∃x ∈R ，cos x ＝54；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0.则下列结论正确的是A ．命题p q ∨是假命题B ．命题p q ∧是真命题C ．命题()()p q ⌝∨⌝是真命题D ．命题()()p q ⌝∧⌝是真命题3．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是 A ．“至少有一个黑球”与“都是黑球” B ．“至少有一个黑球”与“都是红球” C ．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” D ．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球” 4．为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系， 统计两科成绩得到如图所示的散点图（两坐标轴单位长度相 同），用回归直线y bx a =+近似的刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是A ．线性相关关系较强，b 的值为1.25B ．线性相关关系较强，b 的值为0.83C ．线性相关关系较强，b 的值为－0.87D ．线性相关关系太弱，无研究价值 5．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样的一道题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的1份为A ．116 B ． 56 C ．103D ． 536．将函数()3sin(2)6g x x π=+图像上所有点向左平移6π个单位，再将各点横坐标缩短为原来的12倍，得到函数f (x )，则A ．f (x ) 在(0)4π，单调递增B ．f (x ) 在3()44ππ，单调递增C ．f (x )在(0)4π，单调递减D ．f (x )在3()44ππ，单调递减7．角α顶点在坐标原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，tan 2α=-，点P 在α的终边 上，点(3,4)Q --，则OP 与OQ 夹角余弦值为AB ．C． D8．已知函数()f x 与()g x 的图像在R 上不间断，由下表知方程f (x )＝g (x )有实数解的区间是A．(－1,0)9．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的右焦点为F ,若过点F 且倾斜角为45°的直线与双曲线的左支没有公共点,则此双曲线离心率的取值范围是 A ．(B ．(C ．)+∞D ．)+∞10．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数1,()0,R x Qf x x Q∈⎧=⎨∈⎩ð被称为狄利克雷函数，其中R 为实数集，Q 为有理数集，则关于函数()f x 有如下四个命题：①()()0ff x =； ②函数()f x 是偶函数；③任取一个不为零的有理数T ,()()f x T f x +=对任意的x ∈R 恒成立；④存在三个点()()()112233,(),,(),,()A x f x B x f x C x f x ，使得ABC ∆为等边三角形. 其中真命题的个数是A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题：本大题共7小题，7每小题5分，共35分. 请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11. 设复数z 满足(1)2i z i -=,其中i 为虚数单位，则=z ．12．若x ，y 满足约束条件1020x y x y ≤⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩•，则z x y =+的最大值为 ．13. 某程序框图如图所示，判断框内为“k n ≥？”，n 为正整数，若输出的26S =，则判断框内的n =________；第13题图 第14题图14．某个几何体的三视图如图所示，（其中正视图中的圆弧是半径为2的半圆），则该几何体的表面积为 ． 15．圆心在曲线3(0)y x x=->上，且与直线3430x y -+=相切的面积最小的圆的方程是 ．16. 一环保部门对某处的环境状况进行了实地测量，据测定，该处的污染指数等于附近污染源的污染强度与该处到污染源的距离之比．已知相距30km 的A ，B 两家化工厂(污染源) 的污染强度分别为1和4，它们连线上任意一点处的污染指数等于两化工厂对该处的污 染指数之和．现拟在它们之间的连线上建一个公园，为使两化工厂对其污染指数最小， 则该公园应建在距A 化工厂 公里处． 17. 将长度为(4,)l l l N *≥∈的线段分成(3)n n ≥段，每段长度均为正整数，并要求这n 段 中的任意三段都不能构成三角形．例如，当4l =时，只可以分为长度分别为1,1,2的三 段，此时n 的最大值为3；当7l =时，可以分为长度分别为1,2,4的三段或长度分别为 1,1,2,3的四段，此时n 的最大值为4．则：（1） 当12l =时，n 的最大值为________； （2） 当100l =时，n 的最大值为________．三、解答题：本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分12分）已知向量2(cos,1),(3sin ,cos )222x x xm n =-=，设函数 ()1f x m n =⋅+．（Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ， 且满足226cos a b ab C +=，2sin 2sin sin C A B =，求()f C 的值． 19．(本小题满分12分)如图所示，PA ⊥平面ABCD ，ABCD 是矩形， AB = 1，AD F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动． (Ⅰ)若1PA =，求证：AF PC ⊥；(Ⅱ)若二面角P BC A --的大小为060，则CE 为何PABCDEF值时，三棱锥F ACE -的体积为16.20．(本小题满分13分) 小明家订了一份报 纸，寒假期间他收集了每天报纸送达时间的 数据，并绘制成频率分布直方图，如图所示．（Ⅰ）根据图中的数据信息，求出众数1x 和中位数2x （精确到整数分钟）；（Ⅱ）小明的父亲上班离家的时间y 在 上午7:007:30至之间，而送报人每天在1x 时刻前后半小时内把报纸送达（每个时间点送达的可能性相等），求小明的父亲在上班离家前能收到报纸（称为事件A ）的概率．21．(本小题满分14分) 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12， 以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -+=相切．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设(4,0)A -，过点(3,0)R 作直线l (不与x 轴重合)交椭圆于P 、Q 两点，连结AP 、AQ 分别交直线163x =于M 、N 两点，试探究直线MR 、NR 的斜率之积是否为定值，若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由． 22．（本小题满分14分）已知函数R a x x a x f ∈+-=,1ln )(．（Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若()0≤x f 在()+∞∈,0x 上恒成立，求所有实数a 的值； （Ⅲ）对任意的n m <<0，证明：()11)(11-<--<-mm n m f n f n第19题图2014年湖北省七市（州）高三年级联合考试数学试题(文史类)参考答案命题：陈子俊、郭仁俊、杨 田朱中文、李治国审题：向立政、方延伟、程世平何 亮、周继业A 卷：1~5：CDDBA 6~10：ACBACB 卷：1~5：DCDBD 6~10：CABAB11、1i -+ 12、4 13、4 14、9214π+ 15、()223292x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭16、10 17、（1）5n =；（2）9n =（注：第一问2分，第二问3分）18、解：（1）211()cos cos 1cos 222222x x x f x x x =-+=-+ 1sin 62x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 4分令222,22()26233k x k k x k k Z πππππππππ-≤-≤+-≤≤+∈ 6分 所以所求增区间为2[2,2]()33k k k Z ππππ-+∈ 7分 （2）由226cos a b ab C +=，2sin 2sin sin C A B =，22c ab = 8分2226c o s 2c o s3c o s 122a b c ab C ab C C ab ab+--===-，即1cos 2C = 10分 又∵0C π<<，3C π= 11分 ()()13f C f π∴== 12分19. (1)证明：1PA AB ==,F 为PB 中点，∴AF PB ⊥ 1分 又PA ⊥平面ABCD ，∴PA BC ⊥ 2分 又ABCD 是矩形,∴AB BC ⊥ 3分∴BC PAB ⊥平面，而AF PAB ⊂平面 4分 ∴AF BC ⊥，∴AF PBC ⊥平面 5分而PC PBC ⊂平面，∴AF PC ⊥ 6分(2) 由（1）知：PB BC ⊥且AB BC ⊥ 7分∴PAB∠为二面角P BC A --的一个平面角，则PAB ∠=60° 8分∴0tan60PA AB =⨯= 9分 ∴11111 3226F ACE V EC -=⨯⨯⨯⨯，解得EC =11分 即CE =F ACE -的体积为16 12分20. 解：（1）17:00x = 2分 由频率分布直方图可知26:507:10x <<即2410430x <<， 3分 ∴()2200.0033200.01174100.0233x ⨯+⨯+-⨯()2200.0100200.00174300.x =⨯+⨯+-⨯解得2419x =分即26:59x = 6分 1. 设报纸送达时间为x 7分 则小明父亲上班前能取到报纸等价于6.57.577.5x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤⎩， 10分如图可知，所求概率为1381142P =-= 13分21.解（1）b ==222221,164a b e a a -===，故22:11612x y C += 5分（2）设1122(,),(,)P x y Q x y ，若直线PQ 与纵轴垂直，则,M N 中有一点与A 重合，与题意不符， 故可设直线:3PQ x my =+. 6分将其与椭圆方程联立，消去x 得：22(34)18210m y my ++-= 7分1212221821,3434m y y y y m m --+==++ 8分 由,,A P M 三点共线可知，1116443M y yx =++，112834M y y x =⋅+， 9分同理可得222834N y y x =⋅+ 10分 1212916161649(4)(4)3333N M N M MR NR y y y y y y k k x x ⋅⋅=⋅==++-- 11分 而212121212(4)(4)(7)(7)7()49x x my my m y y m y y ++=++=+++ 12分所以2222211616(21)1234211844977493434MR NR m k k m m m m m -⨯⨯-+⋅===---⨯⋅+⋅+++故直线MR 、NR 的斜率为定值127-. 14分22. 解：（1）'()1(x 0)a a xf x x x-=-=>， 1分 当0a ≤时，'()0f x <，()f x 减区间为(0,)+∞ 2分 当0a >时，由()0f x '>得0x a <<，由()0f x '<得x a > 3分 ∴()f x 递增区间为()0,a ，递减区间为(),a +∞ 4分 （2）由（1）知：当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上为减区间，而(1)0f =∴()0f x ≤在区间(0,)x ∈+∞上不可能恒成立 5分 当0a >时，()f x 在()0,a 上递增，在(),a +∞上递减，max ()()ln 1f x f a a a a ==-+，令()ln 1g a a a a =-+， 6分依题意有()0g a ≤，而()ln g a a '=，且0a >∴()g a 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，∴min ()(1)0g a g ==，故1a = 9分（3）由（2）知：1a =时，()ln 1f x x x =-+且()0f x ≤恒成立即ln 1x x ≤-恒成立则()()lnln 1ln 1()()1nn n m m f n f m m n m n m n m-+--+-==---- 1111n m n m m-≤-≤-- 11分又由ln 1x x ≤-知ln 1x x -≥-在()0,+∞上恒成立，∴lnln 1()()11111n m mf n f m m n n n m n m n m n m n---=-=-≥-=----- 13分 综上所述：对任意的n m <<0，证明：()11)(11-<--<-mm n m f n f n 14分。