二次根式的平方差公式
二次根式知识点总结复习整理
二次根式知识点总结1. 二次根式的概念二次根式的定义： 形如)0(≥a a 的式子叫二次根式，其中a 叫被开方数，只有当a 是一个非负数时，a 才有意义．2. 二次根式的性质1. 非负性：)0(≥a a 是一个非负数．注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2.)0()(2≥=a a a注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：)0()(2≥=a a a3. ⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a 注意：（1）字母不一定是正数．（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．3. 最简二次根式和同类二次根式1、最简二次根式：（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式； ②被开方数中不含能开得尽方的数或因式；分母中不含根号．2、同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式4. 二次根式计算——分母有理化1．分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
2．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。
有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：利用a a a =⋅来确定，如：a 与a ，b a +与b a +，b a -与b a -等分别互为有理化因式。
②两项二次根式：利用平方差公式来确定。
如b a +与b a -，b a +与b a -，y b x a +与y b x a -分别互为有理化因式。
3．分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；5. 二次根式计算——二次根式的乘除1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
)0,0(≥≥⋅=b a b a ab2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
二次根式性质与运算(同步)
一、二次根式的概念及性质a 0a ≥二次根式的基本性质：（1）0a ≥（0a ≥）双重非负性；（2）2(a a =（0a ≥）；（3）2 (0) (0)a a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩．二、二次根式的乘除运算1a b ab （0a ≥，0b ≥）2aab b=（0a ≥，0b >）三、最简二次根式：1、最简二次根式：a 0a ≥）中的a 称为被开方数．满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式． （1）被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式） （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 （3）分母中不含二次根式注意：二次根式的计算结果要写成最简根式的形式． 2、分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化．互为有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，说这两个代数式互为有理化因式．与互为有理化因式，原理是平方差公式22()()a b a b a b +-=-；分式有理化时，一定要保证有理化因式不为0．四、同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式． 合并同类二次根式：()a x b x a b x =+．同类二次根式才可加减合并．一、对二次根式定义的考察【例1】 判下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：24331x(0)x x >042、1x y +x y +x ≥0，y ≥0）．a b a b 二次根式性质与运算新知学习基础演练【练一练】下列式子中，是二次根式的是（ ）．A ．7B 38C xD ．x【例2】 当x 31x -【例3】 当x 1231x x ++在实数范围内有意义？【练一练】2(6)x --x 有（ ）个 ．A ．0B ．1C ．2D ．无数【练一练】某工厂要制作一批体积为13m 的产品包装盒，其高为0．2m ，按设计需要， 底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？【例4】 解答下列题110a b +-=，求20112011a b +的值．【练一练】已知a 、b 522105a a b --=+，求a 、b 的值．【练一练】已知实数a 与非零实数x 满足等式：2221130x a x x x ⎫⎛-+-- ⎪⎝⎭2(2)a -二、对二次根式性质的考察【例5】 计算（1） 23()4 （2） 2(34) （3）2(5) （4） 23(【练一练】计算（1） 2(2)(0)x x +≥ （2）22()a （3）22(21)a a ++ （4）224129)x x -+【例6】 在实数范围内分解下列因式:（1）25x - （2）44x - （3） 223x -【例7】 先化简再求值：当a=9时，求212a a a -+的值，甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式=2(1)(1)1a a a a -=+-=；乙的解答为：原式=2(1)(1)2117a a a a a -=+-=-=．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．【练一练】若-3≤x ≤2时，试化简222(3)1025x x x x -+-+．【例8】 93xy x y x ，y 必须满足条件 ．【例9】 如果)3(3-=-⋅x x x x ，那么（ ）． A ．0x ≥ B ． 3x ≥C ．03x ≤≤D ． x 为任意实数【练一练】已知三角形一边长为cm 2，这条边上的高为cm 12，求该三角形的面积．【例10】 把4324根号外的因式移进根号内，结果等于（ ）． A ．11-B ．11C ．44-D ．44【练一练】把下列各式中根号外的因式移到根号里面：（1） ;1aa -（2）⋅---11)1(y y【例11】 已知a ，b 为实数，且01)1(1=---+b b a ，求20112011a b -的值．【练一练】探究过程：观察下列各式及其验证过程．（1）222233=+ 验证：3322222(22)22(21)22223332121-+-++--333388=+验证：3322233(33)33(31)33338883131-+-+==+-- 同理可得：44441515=+55552424=+…… 通过上述探究你能猜测出： 21aa -=_______（a >0），并验证你的结论．【练一练】880a b =，， 6.4【例12】 已9966x xx x --=--x 为偶数，求2254(1)1x x x x -++-33231()22nn n nmm m m m （m >0，n >0）三、最简二次根式的概念【例13】 下列各式中是最简二次根式的是（ ）．A ．a 8B ．32-bC ．2yx - D ．y x 23【练一练】把下列各式化成最简二次根式： （123 （2152（335a b （41123+【例14】 计算：（1182460 （2）2346a ab （314822【例15 23的有理化因式是 ；x y 的有理化因式是 ． 11x x -+- 的有理化因式是 ．【例16】 把下列各式分母有理化：（124a + （22x y+ （321- （435233523-+【练一练】a b+【例17 1ab b【例18】 观察规律：32321,23231,12121-=+-=+-=+，……，求值．（1）7221+＝______；（2）10111+＝______；（3）nn ++11＝______．【练一练】3132x x =-+--_______．【例19】 把32,27,125,445,28,18,12,152有 ；与3的被开方数相同的有 ；5的被开方数相同的有 ．【例20】 若35a -3a +是可以合并的二次根式，则____a =．【例21】 若22323m -21410n m --m 、n 的值．【练一练】若4a b b +3a b +a ，b 的值．【练一练】已知最简根式27b a a b -+与a ，b 的值（ ） A ．不存在 B ．有一组 C ．有二组 D ．多于二组【例22】 化简计算：（1322+ （2）5()()8()a b a b a b +--0a b >>)四、二次根式的加减【例23】 计算：（1）3343 （21275【练一练】485127-＝______．【例24】 计算：（1）1128183224（2112434827【练一练】计算：（1）630.1248 （233118182ab a b ab a b【例25】 如图，一架长为10m 的梯子AB 斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m ．如果梯子的顶端下滑1m ，那么它的底端是否也下滑1m ？CBA五、二次根式的乘除【例26】 计算：（113221355 （2212121335六、二次根式的混合运算【例27】 计算：（1）2(323) （2）(235)(235) （3）22(235)(235)-- （4）20112012(38)(38)【练一练】（1）(23326)(23326) （2）33(3)a b ab ab ab （0,0a b ≥≥）【例28】 解方程或不等式:（1))6171x x +>- （2222133x+=【练一练】已知1018222=++a aa a ，求a 的值．【例29】 已知254245222+-----=xx x x y ，则22y x += ．【例30】 化22111(1)n n +++，所得的结果为（ ） A ．1111n n +++ B ． 1111n n -++ C ．1111n n +-+ D ．1111n n --+【例31】 计算：（164332(63)(32)++++ （21014152110141521+--+++（3335335755749474749++++++（43151026332185231--+-+++七、非负数性质的综合应用【例32】 21(4)0x y ++-=，则y x 的值等于 ．【例33】 如果23322y x x =--，则2x y += ．【例34】 当2x 22212x x x -+【练一练】已知0a <22114()4()a a a a-++-的值．【例35】 已知实数x ，y ，z 满足2114412034x y y z z z -++-+=，求2()x z y +⋅的值．【练一练】已知实数a ，b ，c 满足2122102a b b c c c -+-+=，求()a b c +【例36】 21(2011)10x y z +-+-=，则()y xz 的值等于 ．【例37】 已知22230a b a ac c a b c ++-++++-=3abc 的值．【练一练】若224250a b a b +--+=22a b a b+-的值．【例38】 已知正数a ，b ，且满足22111a b b a --=，求证：221a b +=．【题1】 下列各式中，一定是二次根式的是（ ）．A ．23-B ．2)3.0(-C ．2-D ．x【题2】 33x +x 应满足的条件是（ ）． A ． x ＞0B ． x ≤0C ． x ≥－3D ． x ＞－3【题3】 若m m 32-+有意义，则m ＝ ．【题4】 计算下列各式：（1） 2)23( （2）2)32(⨯ （3）2)53(⨯- （4）2)323(【题5】 计算下列各式，使得结果的分母中不含有二次根式：（13＝______；（224______；（3）322＝______；（46y ＝______．【题6】 当a ______时，23-a 有意义；当x______时，31-x 有意义． 当x ______时，x 1有意义；当x ______时，x1的值为1． 【题7】 若b ＜05ab -______． 【题8】 9112,,8,2733是同类二次根式的是 ． 课后作业【题9】 若32x y x y +-64y x y m +++m = ． 【题10】 若a ，b 两数满足b ＜0＜a 且｜b ｜＞｜a ｜，则下列各式有意义的是（ ）．A ．b a +B ．a b -C ．b a -D ．ab【题11】 等2224x x x -+- ）A ．2x ≥B ．2x ≥-C ．22x -≤≤D ．2x ≥或2x ≤- 【题12】 若3,4a b =-=-，则下列各式求值过程和结果都正确的是（ ）A ． 222.()3(34)21a a b a a b ++=---=B ． 2222222.3(3)(4)32515a a b a b +=+--+---C ． 22222223(3)(4)32515a a b a a b +=-+-+-==D ．22222223(3)(4)32515a a b a b +±+=±-+-=±±【题13】 计算（1） (32)(23) （2） 78(21)(21)（3） 533()32a aab a b b b⋅ （4） 48)832(3xx x x ÷-（5） (1)(1)(1)x x x x x x +++【题14】 若最简二次根式22a b a b a b +++与是同类根式，求2b a -的值【题15】 已知a 2a - ）A ．aB ． a -C ．1-D ．0【题16】 若 ab 0≠，则等式531a ab b b --成立的条件是 ．【题17】 当x 时，2243x x x -+-．【题18】 如果式子1(1)1a a ---根号外的因式移入根号内，化简的结果为（ ） A 1a - B 1a - C ．1a -- D ．1a --【题19】 如果0a >，0a b<22(4)(1)b a a b ---+【题20】 计算：21(240.52(6)38-【题21】 计算：12(820.25)(15072)83-【题22】11(27(1245)35-【题23】 计算： 127323+【题24】 计122320112012++++【题25】(3248)(1843)【题26】(236)(623)【题27】(4332)(5027)【题28】 （1）(23)()a b b - （2）335137(16)()248a a a a -【题29】(326)(623)【题30】(1)(1)(1)(1)x x x x x x ++++-【题31】 (2[4]a b ab a b +÷．【题32】1(486)274【题33】()()x xy y x y +÷【题3411883221+【题3520511235+【题36 222224242424n n n n n n n n ++-+--+--++-【题37】 已3327183a a a =，求a 的值．。
二次根式运算的技巧
二次根式运算的技巧二次根式的运算通常是根据其运算法则进行计算的，但在计算过程中若能巧妙地运用一些数学思想方法，可使问题化繁为简，易于计算。
下面举例说明二次根式的运算技巧：一、巧移因式法例1、计算)3418)(4823(分析：将3423、根号外的因式移到根号内，然后用平方差公式计算比较简便，或先把1848、化简，然后利用平方差公式计算解：原式=)3418)(4823(22=)4818)(4818(=18-48=-30二、巧提公因数法例2、计算)3225)(65(分析：∵2=2)2(∴3225中有公因数2，提出公因数2后，可用平方差公式计算解：原式=]3)2(25)[65(2 =)]65(2)[65( =)65)(65(2 =2（25-6） =192三、公式法例3、计算)632)(632(分析：整式的乘法公式对二次根式的乘法也适用，本题用平方差公式来计算很简便解：原式=]3)62][(3)62[( =22)3()62( =366222=345四、因式分解法例4、计算)()2(y x y xy x 分析：本题若直接按乘除法则计算，显然很麻烦，若适当分解因式约去公因式，则运算很简便解：原式=)(])(2)[(22y x y xy x =)()(2y x y x =yx 五、拆项法例5、化简)23)(36(23346分析：本题若直接计算显然很麻烦，若仔细观察将分子拆项，则计算会很简便解：原式=)23)(36()23(3)36( =363231 =3623 =26六、配方法例6、计算3819625223分析：此题是双二次根式的加减，必须把复合二次根式化为一般二次根式，可将根号里的式子化成完全平方式，使问题便于计算解：原式=222)34()23()21( =)34()23()12( =-5。
(完整版)二次根式混合运算经典
( 4 )( 5 + 3 2 )2 .
答案： 3 答案：5 3 - 3 答案：1 答案：43+30 2
1、计算：
（1）、3 2 1 33
(2)、7 2 1 5
(3)、7 （ 7）2
(4)(7 2 2 6)(2 6 7 2)
(5)、( 7 7 3)2
(6)、( 2 3 6)2 ( 2 3 6)2
(3)已知 10 的整数部分为a，小数部分为b，求a2－b2的值．
6 解：(1) 2－
18－120＝3
2－3
2－1＝－1
(2)(－3)2－ 4＋12－1＝9－2＋2＝9
(3)∵3< 10<4 ∴ 10的整数部分 a＝3，小数部分 b＝ 10－3
∴a2－b2＝32－( 10－3)2＝9－(10－6 10＋9)＝－10＋6 10
例3 计算：
( 2 )( 2 + 3 2 )( 1 - 2 ).
从例3的第(2)小题看到，二次根式的和相乘， 与多项式的乘法相类似.
我们可以利用多项式的乘法公式，进行某些二 次根式的和相乘的运算.
例4 计算：
( 1 )( 2 + 1 )( 2 - 1 ) ； ( 2 )( 2 - 3 )2 .
动脑筋
解：(1)∵x＝2－ 3，y＝2＋ 3 ∴x＋y＝(2－ 3)＋(2＋ 3)＝4，xy＝(2－ 3)×(2＋ 3)＝1 ∴x2＋xy＋y2＝(x＋y)2－xy＝42－1＝15
(7)、(7 54 3 21） 3
(8)、18 ( 3 2)
注意：
1、运算顺序 。 2、运用运算律和乘法公式，简化运算。 3、结果为最简二次根式。
二、巧用“分母有理化”进行二次根式混合运算
二次根式的计算方法
添加标题
乘法运算的应用：二次根式的乘法运算在解决实际问题中具有广泛的应用，例如在计算面积、 体积、长度等物理量时，常常需要进行二次根式的乘法运算。
除法运算
公式：a√b/c√d = (a/c)√(b/d) 例题：(2√3)/(3√2) = (2/3)√(3/2) 注意事项：除法运算中，分母不能为0 应用：二次根式的除法运算在解决实际问题中具有广泛应用
二次根式的定义
概念：二次根式是形如√a（a≥0）的代数式，其中a称为被开方数，√a称为根号。
性质：二次根式具有非负性，即√a≥0（a≥0）。
运算：二次根式的运算包括加法、减法、乘法和除法，遵循一定的运算法则。
应用：二次根式在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用，如求解方程、计算面积、体积 等。
二次根式的性质
转化为同类二次根式
概念：非同类二次根式是指 根号下含有不同字母的二次 根式
加减运算：将转化后的同类 二次根式进行加减运算，得
到结果
加减法运算规则
二次根式与有理数相加减， 先化成最简二次根式，再相 加减
不同底二次根式相加减，先 化成同底二次根式，再相加 减
同底二次根式相加减，底数 不变，被开方数相加减
03
二次根式的乘除法
乘法运算
添加标题
乘法运算的定义：二次根式的乘法运算是将两个二次根式相乘，得到一个新的二次根式。
添加标题
乘法运算的法则：二次根式的乘法运算法则是：(a√b)(c√d)=(ac)√(bd)。
添加标题
乘法运算的步骤：首先，将两个二次根式相乘，得到新的二次根式；然后，将新的二次根式的 被开方数相乘，得到新的被开方数；最后，将新的二次根式的系数相乘，得到新的系数。
乘除法运算规则
化简二次根式的方法与技巧
化简二次根式的方法与技巧介绍化简二次根式的主要方法和技巧，以及相关的概念。
共轭二次根式如果x=a+√b，y=a-√b，那么我们称x与y是一对共轭二次根式。
则有x+y=2a，xy=a²-b，根据它可以将一些无理式问题转化为有理式问题来处理。
例如我们通常用它进行分母有理化。
分母有理化如果分母原来是无理数，而将该分母化为有理数的过程，叫做分母有理化。
也就是将分母中的根号化去。
(1)分母是一个单项式时，只需把分子分母同时乘以分母即可。
例如分母是√2，可以把分子分母同时乘以√2：(2)分母是一个多项式时，一般利用平方差公式(a+√b)(a-√b)=a²-b进行分母有理化。
分子分母同时乘以相同的数，使分母变成有理数，例如分母是3+√2，可以分子分母同时乘以3-√2：被开方式是分数根据最简二次根式的定义，根号里不能含有分母。
化简方法有两种：(1)可以把分子分母同时乘以分母，即把分母变成完全平方，直接移出根号。
(2)变成分母中含有根号的形式，再进行分母有理化。
可以参照下面的两个公式(a≥0，b>0)：被开方式是小数根据最简二次根式的定义，根号里的数字必须是整数，所以需要先把小数化成分数，再利用上面根号里是分数的化简方法进行化简。
例如√0.5=√(1/2)=√2/2。
只要根号里是能够化成分数的小数(包括循环小数)，都可以化成最简二次根式，但是如果根号里是无限不循环小数，例如√π则无法化简。
复合二次根式的化简如果二次根式的被开方数(式)中含有二次根式，属于复合二次根式，例如：化简这种复合二次根式一般有下面两种方法。
(1)配方法把被开方式a+√b配成完全平方，然后再脱去外层根号，例如：(2)待定系数法设被开方式a+√b=(√x+√y)²，然后比较对应项的系数求出x与y的值，例如：得到x+y=3，xy=2，即x(3-x)=2，解得x=1或x=2。
可得x=1，y=2或x=2，y=1(x与y对称)，所以结果是3+2√2=(1+√2)²。
14.2 .1平方差公式说课稿 2022-2023学年人教版八年级数学上册
14.2.1 平方差公式说课稿一、教材分析本节课是《2022-2023学年人教版八年级数学上册》中的第14章《二次根式》的第2节，主要内容是平方差公式的学习与应用。
通过本节课的学习，学生将掌握如何使用平方差公式来计算含有根号的算式，提高他们解题和计算的能力。
二、教学目标1.知识与技能：–掌握平方差公式的表达方式和含义；–能够运用平方差公式求解相关问题；–进一步理解根号的概念和运算规则。
2.过程与方法：–通过引导学生观察和发现，培养他们的逻辑思维能力；–采用示例演算、归纳总结、参与讨论等方式，激发学生的学习兴趣；–引导学生独立思考和解决问题的能力。
3.情感态度和价值观：–培养学生良好的数学学习态度，激发他们对数学的兴趣和热爱；–提高学生的解决实际问题的能力，培养他们的创新意识和动手实践能力；–培养学生合作学习的意识，加强他们的学习交流和团队合作能力。
三、教学重点和难点1.教学重点：–平方差公式的记忆和理解；–运用平方差公式求解相关问题。
2.教学难点：–引导学生理解平方差公式的含义和推导过程；–培养学生独立运用平方差公式解决问题的能力。
四、教学过程1.导入新课：–引入平方差公式的概念，例如：我们经常会遇到一些带有根号的算式，如√3 - √2，如何计算这样的算式呢？–引导学生观察这种算式的特点，并尝试用已学的知识解答。
2.梳理思路：–引导学生通过观察√3 - √2 这个算式，提出一些问题：这个算式的结果是不是一个有理数？我们能不能化简这个算式呢？–引导学生思考如何将这个算式化简，并帮助他们找到起始点。
3.引入平方差公式：–根据学生的思考，引入平方差公式的表达方式：(a - b)(a + b) = a^2 - b^2。
–解释平方差公式的含义和推导过程。
4.归纳总结：–让学生归纳总结平方差公式的记忆方式和应用场景，如何判断平方差公式能够适用于某个算式。
5.练习与拓展：–给学生提供一些练习题，让他们运用平方差公式解决相关问题，并在解答过程中加强对根号运算的理解。
【课标分析】平方差公式 _数学_中学
课标分析
《平方差公式》是在学习了有理数运算、列简单的代数式、一次方程及不等式、整式的加减及整式乘法等知识的基础上，在学生已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，是从一般到特殊的认知规律的典型范例.对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法，而且为以后的因式分解、分式的化简、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函数等内容奠定了基础，同时也为完全平方公式的学习提供了方法..因此，平方差公式在初中阶段的教学中也具有很重要地位，是初中阶段的第一个公式.。
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二次根式的平方差公式
摘要：
1.二次根式的定义与性质
2.平方差公式的概念
3.二次根式的平方差公式推导过程
4.二次根式的平方差公式的应用
5.总结
正文：
1.二次根式的定义与性质
二次根式是指形如√ax+bx+c（其中a≠0）的代数式，其中a、b、c 为常数，x 为未知数。
二次根式具有以下性质：
- 非负性：二次根式的值非负，即√ax+bx+c≥0。
- 求和与差：若x1 和x2 是方程ax+bx+c=0 的两根，则有
√ax1+bx1+c + √ax2+bx2+c = 0。
2.平方差公式的概念
平方差公式是指(a+b)(a-b)=a-b的公式，即两个数的和与这两个数的差相乘等于这两个数的平方差。
3.二次根式的平方差公式推导过程
我们可以通过平方差公式将二次根式转化为完全平方的形式，从而推导出二次根式的平方差公式。
考虑二次根式√ax+bx+c，根据平方差公式，我们有：
√ax+bx+c = √(a(x+(b/2a)x+(c/a)))
= √(a(x+(b/2a))+(c/a)-(b/4a))
这里，我们通过将x+(b/2a)x+(c/a) 表示为完全平方的形式，即
(x+(b/2a))+(c/a)-(b/4a)，从而得到了二次根式的平方差公式。
4.二次根式的平方差公式的应用
二次根式的平方差公式在解决一些与二次根式相关的数学问题时非常有用，例如求解二次方程的根、计算二次根式的和与差等。
例如，考虑二次方程ax+bx+c=0 的两根为x1 和x2，根据二次根式的平方差公式，我们有：
√ax1+bx1+c + √ax2+bx2+c = √(a(x1+(b/2a))+(c/a)-(b/4a)) +
√(a(x2+(b/2a))+(c/a)-(b/4a))
= √(a(x1+(b/2a))+(c/a)) - √(b/4a) +
√(a(x2+(b/2a))+(c/a)) - √(b/4a)
= (x1+(b/2a)) - (-b/2a) + (x2+(b/2a)) - (-b/2a)
= x1 + x2
因此，我们可以通过二次根式的平方差公式求解二次方程的根。
5.总结
二次根式的平方差公式是数学中的一个重要公式，它将二次根式转化为完全平方的形式，从而为解决一些与二次根式相关的数学问题提供了便利。