《平方差公式》第二课时参考教案

《平方差公式》第二课时参考教案第一篇：《平方差公式》第二课时参考教案1.7平方差公式(二)●教学目标(一)教学知识点1.了解平方差公式的几何背景.2.会用面积法推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算.3.体会符号运算对证明猜想的作用.(二)能力训练要求1.用符号运算证明猜想，提高解决问题的能力.2.培养学生观察、归纳、概括等能力.(三)情感与价值观要求1.在拼图游戏中对平方差公式有一个直观的几何解释，体验学习数学的乐趣.2.体验符号运算对猜想的作用，享受数学符号表示运算规律的简捷美.●教学重点平方差公式的几何解释和广泛的应用.●教学难点准确地运用平方差公式进行简单运算，培养基本的运算技能.●教学方法启发——探究相结合●教具准备一块大正方形纸板，剪刀.投影片四张第一张：想一想，记作(§1.7.2 A)第二张：例3，记作(§1.7.2 B)第三张：例4，记作(§1.7.2 C)第四张：补充练习，记作(§1.7.2 D)●教学过程Ⅰ.创设问题情景，引入新课［师］同学们，请把自己准备好的正方形纸板拿出来，设它的边长为a.1 / 8这个正方形的面积是多少？［生］a2.［师］请你用手中的剪刀从这个正方形纸板上，剪下一个边长为b的小正方形(如图1－23).现在我们就有了一个新的图形(如上图阴影部分)，你能表示出阴影部分的面积吗？图1－23 ［生］剪去一个边长为b的小正方形，余下图形的面积，即阴影部分的面积为(a2－b2).［师］你能用阴影部分的图形拼成一个长方形吗？同学们可在小组内交流讨论.(教师可巡视同学们拼图的情况，了解同学们拼图的想法)［生］老师，我们拼出来啦.［师］讲给大伙听一听.［生］我是把剩下的图形(即上图阴影部分)先剪成两个长方形(沿上图虚线剪开)，我们可以注意到，上面的大长方形宽是(a－b),长是a;下面的小长方形长是(a－b),宽是b.我们可以将两个长方形拼成一个更大长方形，是由于大长方形的宽和小长方形的长都是(a－b),我们可以将这两个边重合，这样就拼成了一个如图1－24所示的图形(阴影部分)，它的长和宽分别为(a+b),(a－b),面积为(a+b)(a－b).图1－24 / 8［师］比较上面两个图形中阴影部分的面积，你发现了什么？［生］这两部分面积应该是相等的，即(a+b)(a－b)=a2－b2.［生］这恰好是我们上节课学过的平方差公式.［生］我明白了.上一节课，我们用多项式与多项式相乘的法则验证了平方差公式.今天，我们又通过拼图游戏给出平方差公式的一个几何解释，太妙了.［生］用拼图来验证平方差公式很直观，一剪一拼，利用面积相等就可推证.［师］由此我们对平方差公式有了更多的认识.这节课我们来继续学习习近平方差公式，也许你会发现它更“神奇”的作用.Ⅱ.讲授新课［师］出示投影片(§1.7.2 A)想一想：(1)计算下列各组算式，并观察它们的特点⎧7⨯9=⎨⎩8⨯8=⎨⎧11⨯13=⎩12⨯12=⎨⎧79⨯81=⎩80⨯80=(2)从以上的过程中，你发现了什么规律？(3)请你用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？［生］(1)中算式算出来的结果如下⎧7⨯9=63⎨⎩8⨯8=64 ⎨⎧11⨯13=143⎩12⨯12=144 ⎨⎧79⨯81=6399⎩80⨯80=6400［生］从上面的算式可以发现，一个自然数的平方比它相邻两数的积大1.［师］是不是大于1的所有自然数都有这个特点呢？［生］我猜想是.我又找了几个例子如：⎧1⨯3=3⎨⎩2⨯2=4 ⎨⎧99⨯101=9999⎩100⨯100=10000 ⎨⎧24⨯26=624⎩25⨯25=625［师］你能用字母表示这一规律吗？［生］设这个自然数为a,与它相邻的两个自然数为a－1,a+1,则有(a+1)(a－1)=a2－1.［生］这个结论是正确的，用平方差公式即可说明.［生］可是，我有一个疑问，a必须是一个自然数，还必须大于2吗？(同学们惊讶，然后讨论)［生］a可以代表任意一个数.3 / 8 ［师］很好！同学们能大胆提出问题，又勇于解决问题，值得提倡.［生］老师，我还有个问题，这个结论反映了数字之间的一种关系.在平时有什么用途呢？(陷入沉思)［生］例如：计算29×31很麻烦，我们就可以转化为(30－1)(30+1)=302－1=900－1=899.［师］的确如此.我们在做一些数的运算时，如果能一直有这样“巧夺天工”的方法，太好了.我们不妨再做几个类似的练习.出示投影片(§1.7.2 B)［例3］用平方差公式计算：(1)103×97(2)118×122 ［师］我们可以发现，直接运算上面的算式很麻烦.但注意观察就会发现新的奥妙.［生］我发现了，103=100+3,97=100－3,因此103×97=(100+3)(100－3)=10000－9=9991.太简便了！［生］我观察也发现了第(2)题的“奥妙”.118=120－2,122=120+2 118×122=(120－2)(120+2)=1202－4=14400－4=14396.［生］遇到类似这样的题，我们就不用笔算，口算就能得出.［师］我们再来看一个例题(出示投影片§1.7.2 C).［例4］计算：(1)a2(a+b)(a－b)+a2b2;(2)(2x－5)(2x+5)－2x(2x－3).分析：上面两个小题，是整式的混合运算，平方差公式的应用，能使运算简便；还需注意的是运算顺序以及结果一定要化简.解：(1)a2(a+b)(a－b)+a2b2 =a(a－b)+ab =a－ab+ab/ 84222222222=a4(2)(2x－5)(2x+5)－2x(2x－3)=(2x)2－52－(4x2－6x)=4x－25－4x+6x =6x－25 注意：在(2)小题中，2x与2x－3的积算出来后，要放到括号里，因为它们是一个整体.［例5］公式的逆用(1)(x+y)2－(x－y)2(2)252－242 分析：逆用平方差公式可以使运算简便.解：(1)(x+y)2－(x－y)2=［(x+y)+(x－y)］［(x+y)－(x－y)］=2x·2y =4xy(2)252－242 =(25+24)(25－24)=49 Ⅲ.随堂练习 1.(课本P32)计算(1)704×696(2)(x+2y)(x－2y)+(x+1)(x－1)(3)x(x－1)－(x－1)(x+1)3322(可让学生先在练习本上完成，教师巡视作业中的错误，或同桌互查互纠)解：(1)704×696=(700+4)(700－4)=490000－16=489984(2)(x+2y)(x－2y)+(x+1)(x－1)=(x2－4y2)+(x2－1)=x2－4y2+x2－1 =2x2－4y2－1/ 8(3)x(x－1)－(x－1)(x+1)33=(x2－x)－［x2－(1)2］3=x2－x－x2+1=1－x 992.(补充练习)出示投影片(§1.7.2 D)解方程：(2x+1)(2x－1)+3(x+2)(x－2)=(7x+1)(x－1)(先由学生试着完成)解：(2x+1)(2x－1)+3(x+2)(x－2)=(7x+1)(x－1)(2x)2－1+3(x2－4)=7x2－6x－1 4x2－1+3x2－12=7x2－6x－1 6x=12 x=2 Ⅳ.课时小结［师］同学们这节课一定有不少体会和收获.［生］我能用拼图对平方差公式进行几何解释.也就是说对平方差公式的理解又多了一个层面.［生］平方差公式不仅在计算整式时，可以使运算简便，而且数的运算如果也能恰当地用了平方差公式，也非常神奇.［生］我觉得这节课我印象最深的是犯错误的地方.例如a(a+1)－(a+b)(a－b)一定要先算乘法，同时减号后面的积(a+b)(a－b),算出来一定先放在括号里，然后再去括号.就不容易犯错误了.…… Ⅴ.课后作业课本习题1.12.Ⅵ.活动与探究计算：19902－19892+19882－19872+…+22－1.［过程］先做乘方运算，再做减法，则计算繁琐，观察算式特点，考虑逆用平方差公式.6 / 8［结果］原式=(19902－19892)+(19882－19872)+…+(22－1)=(1990+1989)(1990－1989)+(1988+1987)(1988－1987)+…+(2+1)(2－1)=1990+1989+1988+1987+…+2+1=1990⨯(1990+1)2=1981045 ●板书设计§1.7.2平方差公式(二)一、平方差公式的几何解释：二、想一想特例——归纳——建立猜想——用符号表示——给出证明即(a+1)(a－1)=a2－1三、例题讲解：例3 例4四、练习●备课资料参考练习1.选择题(1)在下列多项式的乘法中，不能用平方差公式计算的是()A.(－a－b)(a－b)B.(c2－d2)(d2+c2)C.(x3－y3)(x3+y3)D.(m－n)(－m+n)(2)用平方差公式计算(x－1)(x+1)(x2+1)结果正确的是()A.x4－1B.x4+1C.(x－1)4D.(x+1)4(3)下列各式中，结果是a2－36b2的是()A.(－6b+a)(－6b－a)B.(－6b+a)(6b－a)C.(a+4b)(a－4b)D.(－6b－a)(6b－a)2.填空题(4)(5x+3y)·()=25x2－9y2(5)(－0.2x－0.4y)()=0.16y2－0.04x2(6)(－3x－11y)()=－94x2+121y22/ 8(7)若(－7m+A)(4n+B)=16n2－49m2,则A=，B=.3.计算(8)(2x2+3y)(3y－2x2).(9)(p－5)(p－2)(p+2)(p+5).(10)(x2y+4)(x2y－4)－(x2y+2)·(x2y－3).4.求值(11)(上海市中考题)已知x2－2x=2,将下式先化简，再求值(x－1)2+(x+3)(x－3)+(x－3)(x－1)5.探索规律(12)(北京市中考)观察下列顺序排列的等式：9×0+1=1 9×1+2=11 9×2+3=21 9×3+4=31 9×4+5=41 ……猜想：第n个等式(n为正整数)应为.答案：1.(1)D(2)A(3)D2.(4)(5x－3y)(5)(0.2x－0.4y)(6)(3x－11y)(7)A=4n,B=7m 23.(8)9y2－4x4(9)p4－29p2+100(10)x2y－104.(11)原式=3(x2－2x)－5=3×2－5=15.(12)9×(n－1)+n=(n－1)×10+1(n为正整数).8 / 8第二篇：平方差公式教案《平方差公式》教学设计牟平实验中学隋玲一、教材分析《平方差公式》是在学习了有理数运算、列简单的代数式、一次方程、整式的加减及整式乘法等知识的基础上，在学生已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，是从一般到特殊的认知规律的典型范例.对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法，而且为以后的因式分解、分式的化简、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函数等内容奠定了基础，同时也为完全平方公式的学习提供了方法.因此，平方差公式在初中阶段的教学中也具有很重要地位，是初中阶段的第一个乘法公式.本节课的教学重点是：经历探索平方差公式的全过程，并能运用公式进行简单的运算.二、教学目标知识与技能目标：掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行简单的运算；过程与方法目标：经历平方差公式的探索过程，进一步发展学生的符号感和推理能力、归纳能力；情感态度与价值观：会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的思想方法.三、教学重点、难点：本节课的重点：平方差公式的特点以及会运用公式进行简单计算。