北京市北京四中2020-2021学年第一学期高一数学适应性考试(PDF 无答案)
精品解析：北京市第四中学2020-2021学年高三上学期期中考试数学试题(原卷版)
2020-2021学年度第一学期期中高三年级数学学科数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1. 已知全集U =R ，集合{}21x A x =<，{}20B x x =-<，则()U A B =（ ） A. {|2}x x > B. {}02x x ≤< C. {|02}x x <≤D. {|2}x x ≤ 2. 下列命题中的假命题．．．是（ ）A. ,sin x R x ∃∈=B. ,ln x R x ∃∈=C. 2,0∈≥∀x R xD. ,20x x R ∀∈> 3. 已知向量(5,)a m =，(2,2)b =-，若a b -与b 共线，则实数m =（ ）A. 1-B. 1C. 2D. 5-4. 已知()f x 是R 上的奇函数，当0x >时,()12log f x x =,则()0f x >的解集是（ ）A. ()1,0-B. ()0,1C. ()(),10,1-∞-⋃D. ()()1,00,1- 5. 将函数()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则()g x =（ ） A. sin 26x B. 2sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭C. cos2xD. cos2x - 6. 若,a b ∈R ，且0ab >，则下列不等式中，恒成立是A. 222a b ab +>B. a b +≥C. 11a b +> D. 2b a a b+≥ 7. 已知三角形ABC ，那么“AB AC AB AC +>-”是“三角形ABC 为锐角三角形”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8. 声音的等级()f x （单位：dB ）与声音强度x （单位：2W /m ）满足12()10lg 110xf x -=⨯⨯. 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB；一般说话时，声音的等级约为60dm，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（）A.105倍 B. 108倍 C. 1010倍 D. 1012倍9. 函数ππ2sin,,22y x x x⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦的图象大致为A. B.C.D.10. 已知函数 给出下列三个结论：① 当2=-a 时，函数()f x 的单调递减区间为(,1)-∞；② 若函数()f x 无最小值，则a 的取值范围为(0,)+∞；③ 若1a <且0a ≠，则b R ∃∈，使得函数()y f x b =-恰有3个零点1x ,2x ,3x ，且1231x x x =-. 其中，所有正确结论的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 函数2y x =-_________. 12. 已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且3sin 5α=. 则cos α=_________，tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭=_________. 13. 已知非零向量a ，b 满足||||a a b =-，则12a b -与b 的夹角等于_________. 14. 圆2220+-+=x y ax 与直线l 相切于点(3,1)A ，则圆的半径为_________，直线l 的方程为_________. 15. 关于x 的方程()()g x t t R =∈的实根个数记为()f t .若()ln g x x =，则()f t =_________；若2,0,()2,0,x x g x x ax a x ≤⎧=⎨-++>⎩()a R ∈，存在t 使得(2)()f t f t +>成立，则a 的取值范围是_________. 三、解答题（本大题共6小题，共85分）16. 在△ABC 中，a =3，b −c =2，cos B =12-． （1）求b ，c 的值；（2）求sin （B –C ）的值．17. 已知函数()3f x x x =-，()23g x x =-. (1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)求函数()f x 在[]0,2上最大值；(3)求证：存在唯一的0x ，使得()()00f x g x =.18. 已知函数212()2cos sin f x x x ωω=+.(I)求f (0)值；(II)从①121,2ωω==；②121,1ωω==这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数f (x )在[,]26ππ-上的最小值，并直接写出函数f (x )的一个周期.19. 已知：函数()sin cos =-f x x x x .（1）求()f π'；（2）求证：当(0,)2x π∈时，31()3f x x <； （3）若()cos f x kx x x >-对(0,)2x π∈恒成立，求实数k 的最大值.20. 已知O 为平面直角坐标系的原点，过点M （﹣2，0）的直线l 与圆x 2+y 2＝1交于P ，Q 两点． （Ⅰ）若12OP OQ ⋅=-，求直线l 的方程； （Ⅱ）若△OMP 与△OPQ 的面积相等，求直线l 的斜率．21. 对于集合M ，定义函数()1,1,.x MM f x x M -∈⎧=∉⎨⎩对于两个集合M ，N ，定义集合()(){|1}.M N M N x f x f x =⋅=-已知{2,A =4，6，8，10}，{1,B =2，4，8，16}． (Ⅰ)写出()1A f 和()1B f 的值，并用列举法写出集合A B ；(Ⅱ)用()Card M 表示有限集合M 所含元素的个数，求()()Card X A Card X B +的最小值； (Ⅲ)有多少个集合对(),P Q ，满足P ，Q A B ⊆⋃，且()()P A Q B A B =？。
北京四中2019-2020学年度第一学期期中测验初三年级英语试卷(word版无答案)
北京四中2019-2020学年度第一学期期中测验初三年级英语试卷(考试时间为90分钟，试卷满分为60分)知识运用(共22分)一、单项填空(共6分，每小题0.5分)从下面各题所给的A、B、C、D 四个选项中，选择可以填入空白处的最佳选项。
1．I can′t find my pen．Could you help __________?A．me B．her C．him D．them2．Both my parents were born __________ 1970.A．at B．in C．on D．to3．__________ I was in the US，I made a lot of American friends.A．While B．Although C．Unless D．Until4．We __________ in the same school since three years ago.A．study B．were studying C．will study D．have studied5．– Mum，where is Dad?–He __________ flowers in the garden now.A．watered B．waters C．will water D．is watering6．Last week，Ms．Tang __________ a meeting to stress the importance of the mid-term exam.A．holds B．held C．will hold D．was holding7．– We __________ the National Forest Park next Sunday．Would you like to join us?–Sure!A．visit B．visits C．will visit D．visited8．—What were Bill and David doing when the teacher came in?—They __________ about school′s football match.A．are talking B．have talked C．were talking D．talk9．—Doctor，__________ do I have to take the medicine?—Three times a day.A．how often B．how many C．how long D．how far10．—Is everyone here today?—No．Sara is at home __________ she has got a fever.A．until B．if C．because D．unless11．__________ it snowed heavily yesterday，nobody in our class missed the lesson．A．Unless B．Because C．Though D．Since12．—Can you tell me __________?—Last week.A．when will he buy the new bike B．when he will buy the new bikeC．when did he buy the new bike D．when he bought the new bike二、完形填空(共16分，每小题1分)阅读下面的短文，掌握其大意，然后从短文后各题所给的A、B、C、D 四个选项中，选择最佳选项。
2020~2021学年北京市第四中学初一第一学期期中数学试卷(无答案)
数学试卷班级__________学号__________姓名__________成绩__________考⽣须知1．本试卷共8⻚，A 卷26道题，B 卷4道题，共30道题，满分120分.考试时间100分钟.2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号.3．答案⼀律填写在答题纸上，在试卷上作答⽆效.4．考试结束后，将试卷和答题纸⼀并交回.A 卷（满分100分）⼀、选择题（每⼩题3分，共30分）1.2020年北京故宫迎来了600岁⽣⽇，系列展览与活动让故宫充分展示其深沉魅⼒.据不完全统计，今年“⼗⼀”双节期间故宫累计接待观众约为240000⼈次.将240000⽤科学记数法可表示为()A. B. C. D.2．-5的倒数是() A.B.-5C.D.3．下列各式结果为负数的是()A ．B ．C ．D ．4.下⾯计算正确的是()A ．B ．C ．D ．5.下列各式去括号正确的是()A. B.C. D.6.有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，若a 与c 互为相反数，则三个数中绝对值最⼤的数是()A.aB.bC.cD.⽆法确定7.下列对使⽤四舍五⼊法得到的近似数描述正确的是()A ．近似数5.1万精确到⼗分位B ．2.709的近似数是3C ．0.154精确到⼗分位为0.1D ．近似数精确到千位8．如果=8，=5，且，那么的值是()A.3或13B.13或-13C.3或-3D.-3或-139.关于x的⽅程是⼀元⼀次⽅程，则m的值是()A．B．C．或D．10.规定：，.例如，.下列结论中：①若，则；②若，则；③能使成⽴的x的值不存在；④式⼦的最⼩值是7．其中正确的所有结论是()A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④⼆、填空题（每⼩题2分，共20分）11.如果⽔位升⾼3m时⽔位变化记作+3m，那么⽔位下降3m时⽔位变化记作______m.12．⽐较⼤⼩：（填“＞”、“＜”或“＝”）.13.如图所示，⼤陆上最⾼处是珠穆朗玛峰的峰顶，最低处位于亚洲⻄部名为死海的湖，两处⾼度相差是⽶.第13题图14.若，则的值为.15.下⾯的框图表示解⽅程的流程，其中第3步的依据是______________.16.如图，若开始输⼊的x 的值为正数，最后输出的结果为51，则满⾜条件的x 的值为.（三个答案正确2分，对⼀个1分）17.甲⼄丙三个商店都在销售同⼀种排球，⽽且每个球的标价都是25元.但三个店的促销⽅式不⼀样：甲店的促销⽅式是每买⼗送⼆，⼄店的促销⽅式是优惠16%，丙店的优惠⽅式是买球每满100元可返现⾦15元.学校准备买60个这种排球.你认为到家商店买⽐较省钱，这时实际只需要付元.（每空1分）18.已知数在数轴上的对应点的位置如图所示，化简的结果为.19.我国古代《易经》⼀书中记载，远古时期，⼈们通过在绳⼦上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，⼀位⺟亲在从右到左依次排列的绳⼦上打结，满七进⼀，⽤来记录孩⼦⾃出⽣后的天数，由图可知，孩⼦⾃出⽣后的天数是天.20.如下数表是由从1开始的连续⾃然数组成，观察规律并完成各题的解答．123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536…………………………………(1)表中第9⾏第7个数是________________；1分cab输⼊x计算5x +1的值>30输出结果是否(2)2020是表中第_________⾏第_________个数.两空同时对1分北京四中2020—2021学年度第⼀学期期中测验初⼀年级（数学学科）第4⻚共8⻚三、解答题（共50分）21.计算（每⼩题4分，共16分）（1）去括号正确2分，结果正确2分（2）乘除运算正确2分，结果正确2分（3）除法正确1分，分配律正确2分，结果正确1分（4）中括号前2分，后1分，结果1分22.化简（每⼩题4分，共8分）（1）（2）同类项合结合对2分，合并对2分去括号2分，结果2分23.解⽅程（每⼩题5分，共10分）（1）（2）移项2分，合并2分，结果1分去分⺟1分，去括号1分，移项1分，合并1分，系数化为11分24.先化简，再求值（本题5分）求代数式的值，其中．化简对3分，求值2分（代⼊1分，结果1分）25.（本题5分）对于任意四个有理数可以组成两个有理数对与.我们规定：✦.例如：✦.根据上述规定解决下列问题：(1)有理数对✦；1分(2)若有理数对✦,则；2分(3)当满⾜等式✦的是整数时，求整数的值.2分（4个全对2分，有两个以上对1分，只要有错就扣1分）北京四中2020—2021学年度第⼀学期期中测验初⼀年级（数学学科）第5⻚共8⻚26.（本题6分）在数轴上，表示数a的点到原点的距离.如果数轴上两个点A、B分别对应数a、b，那么A、B两点间的距离为：，这是绝对值的⼏何意义.已知如图，点A在数轴上对应的数为-3，点B对应的数为2.（1）求线段AB的⻓；2分（2）若点C在数轴上对应的数为x，且是⽅程的解，在数轴上是否存在点M，使MA+MB=AB+BC?若存在，求出点M对应的数；若不存在，说明理由；2分（3）若点N是数轴上在点A左侧的⼀点，线段BN的中点为点Q，点P为线段AN的三等分点且靠近于点N，当点N在点A左侧的数轴上运动时，请直接判断的值是否变化，如果不变请直接写出其值，如果变化请说明理由．2分备⽤图B 卷（满分20分）1.（本题4分）（1）桌⼦上有5只杯⼝朝上的茶杯，每次翻转3只，经过m 次翻转可使这5只杯⼦的杯⼝全部朝下，则m 的最⼩值为_________．2分（2）桌⼦上有11只杯⼝朝上的茶杯，每次翻转3只，经过n 次翻转可使这11只杯⼦的杯⼝全部朝下，则n 的最⼩值为_________．2分2.（本题6分）如下表，从左向右依次在每个⼩格⼦中都填⼊⼀个有理数，使得其中任意四个相邻⼩格⼦中所填数之和都等于15.已知第3个数为7，第5个数为，第16个数为2，第78个数为，则m 的值为，第2021个数为_____．（每空3分）3.（本题4分）天坛中的数学⼀瞥（每空2分）天坛始建于明朝永乐⼗⼋年（1420年），明、清两代是帝王祭祀皇天、祈五⾕丰登之场所.中和韶乐在中国古代的发⽣、发展、沉寂、经历了历代传承.随着对中国传统⽂化重新认识，中和韶乐逐渐复苏.⾃从2004年9⽉天坛神乐署修复完成，中和韶乐⼜⼀次展现在世⼈⾯前.中和韶乐主要是宫、商、⻆、徴、⽻五声⾳阶的运⽤，在确定这五⾳的时候，中国古代最初由三分损益计算⽽来，从最初的⼀个⾳三分损⼀⽽得到第⼆个⾳，由第⼆个⾳三分益⼀得到第三个⾳，如此计算，得到宫商⻆徴⽻五声⾳阶。
2024-2025学年北京四中学九年级数学第一学期开学质量跟踪监视模拟试题【含答案】
学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号…………………………密…………封…………线…………内…………不…………要…………答…………题…………………………2024-2025学年北京四中学九年级数学第一学期开学质量跟踪监视模拟试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）实数a 、b 在数轴上对应的位置如图所示，则22(a 1)(1b)---等于()A ．2a b --B ．a b 2+-C ．a b -D ．b a -2、（4分）若分式23x +有意义，则x 的取值范围为（）A ．3x ≠-B ．3x ≠C ．0x ≠D ．3x ≠±3、（4分）已知点P （a ，m ），Q （b ，n ）是反比例函数y 2x =图象上两个不同的点，则下列说法不正确的是（）A ．am =2B ．若a +b =0，则m +n =0C ．若b =3a ，则n 13=m D ．若a ＜b ，则m ＞n 4、（4分）方程x 2+x ﹣1＝0的一个根是（）A ．1﹣B ．C ．﹣1+D ．5、（4分）用配方法解方程x 2﹣8x+7＝0，配方后可得()A ．(x ﹣4)2＝9B ．(x ﹣4)2＝23C ．(x ﹣4)2＝16D ．(x+4)2＝96、（4分）如图，M 是ABC ∆的边BC 的中点，AN 平分BAC ∠，BN AN ⊥于点N ，延长BN 交AC 于点B ，已知10AB =,15BC =，4MN =，则ABC ∆的周长是（）A ．43B ．42C ．41D ．407、（4分）如图，正方形ABCD ，点E 、F 分别在AD ，CD 上，BG ⊥EF ，点G 为垂足，AB =5，AE =1，CF =2，则BG 的长为（）A B ．5C ．235D ．2158、（4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，有一个等腰直角三角形AOB ，∠OAB ＝90°，直角边AO 在x 轴上，且AO ＝1．将Rt △AOB 绕原点O 顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A 1OB 1，且A 1O ＝2AO ，再将Rt △A 1OB 1绕原点O 顺时针旋转90°得到等腰三角形A 2OB 2，且A 2O ＝2A 1O ……依此规律，得到等腰直角三角形A 22OB 22．则点B 22的坐标（）A ．（222，－222）B ．（22016，－22016）C ．（222，222）D ．（22016，22016）二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）若分式1x x 值为0，则x 的值为__________．10、（4分）在矩形纸片ABCD 中，AB=5,AD=13.如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A¢处，折痕为PQ ，当点A¢在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动.若限定点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则点A¢在BC 边上可移动的最大距离为_________．11、（4分）在平面直角坐标系中有一点()5,12P -，则点P 到原点O 的距离是________．12、（4分）四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，若CD ＝3cm ，△BOC 的周长比△AOB 的周长大2cm ，则四边形ABCD 的周长＝______cm ．13、（4分）在反比例函数3k y x -=图象的毎一支曲线上，y 都随x 的增大而减小，则k 的取值范围是__________.三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）解方程：(1)9x 2＝(x ﹣1)2(2)34x 2﹣2x ﹣12＝015、（8分）某单位计划在暑假阴间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10~25人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元.经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的费用，其余游客七五折优惠.设该单位参加旅游的人数是x 人.选择甲旅行社时，所需费用为1y 元，选择乙旅行社时，所需费用为2y 元.（1）写出甲旅行社收费1y （元）与参加旅游的人数x （人）之间的关系式.（2）写出乙旅行社收费2y （元）与参加旅游的人数x （人）之间的关系式.（3）该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？16、（8分）我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．（1）如图1，四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．求证：中点四边形EFGH 是平行四边形；（2）如图2，点P 是四边形ABCD 内一点，且满足PA=PB ，PC=PD ，∠APB=∠CPD ，点E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，猜想中点四边形EFGH 的形状，并证明你的猜想；（3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH 的形状．（不必证明）17、（10分）按要求解不等式（组）（1）求不等式2132135+-≤+x x 的非负整数解．（2）解不等式组2(3)45121123x x x x -<⎧⎪-+⎨-≤⎪⎩，并把它的解集在数轴上表示出来．18、（10分）为了了解江城中学学生的身高情况，随机对该校男生、女生的身高进行抽样调查．已知抽取的样本中，男生、女生的人数相同，根据所得数据绘制成如图所示的统计图表．组别身高(cm )A x<150B 150≤x ＜155C 155≤x ＜160D 160≤x ＜165E x≥165根据图表中提供的信息，回答下列问题：(1)在样本中，男生身高的中位数落在________组(填组别序号)，女生身高在B 组的人数有________人；(2)在样本中，身高在150≤x ＜155之间的人数共有________人，身高人数最多的在________组(填组别序号)；(3)已知该校共有男生500人、女生480人，请估计身高在155≤x ＜165之间的学生有多少人B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）已知一元二次方程x 2－4x －3＝0的两根为m ，n ，则2m －mn ＋2n =．20、（4分）化简226xy x y =______.21、（4分）函数y ＝2x x 中，自变量x 的取值范围是_____．22、（4分）如图，ABC ∆的面积为362cm ,边12BC =cm ，矩形DEFG 的顶点D 、G 分别在AB 、AC 上，EF 在BC 上，若=2EF DE ，则DG =______cm.23、（4分）如图，将平行四边形ABCD 折叠，使顶点D 恰好落在AB 边上的点M 处，折痕为AN ，有以下四个结论①MN ∥BC ；②MN=AM ；③四边形MNCB 是矩形；④四边形MADN 是菱形，以上结论中，你认为正确的有_____________（填序号）．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）如图，四边形中，，，，是边的中点，连接并延长与的延长线相交于点.（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若，求四边形的面积.25、（10分）如图，在ABC 中，AC BC =，90ACB ∠>，D 是AC 的中点，过点A 作直线//l BC ，过点D 的直线EF 交BC 的延长线于点E ，交直线l 于点F ，连接AE 、CF ．（1）求证：①ADF ≌CDE △；②AE FC =；（2）若260CDE B ∠=∠=，试判断四边形AFCE 是什么特殊四边形，并证明你的结论；（3）若EF AC ⊥，探索：是否存在这样的B Ð能使四边形AFCE 成为正方形？若能，求出满足条件时的B Ð的度数；若不能，请说明理由．26、（12分）如图，△ABC 中，点O 是边AC 上一个动点，过O 作直线MN ∥BC ．设MN 交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于点F ．（1）求证：OE ＝OF ；（2）当点O 在边AC 上运动到什么位置时，四边形AECF 是矩形？并说明理由．参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、A 【解析】直接利用数轴得出10a -<，10b -<，进而化简得出答案．【详解】解：由数轴可得：10a -<，10b -<，则原式()112a b a b =---=--．故选A ．此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出各项的符号是解题关键．2、A 【解析】直接利用分式有意义的条件即分母不为零，进而得出答案．【详解】解：∵分式23x +有意义，∴x+1≠0，解得：x≠-1．故选A ．此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．3、D 【解析】根据题意得：am=bn=2，将B ，C 选项代入可判断，根据反比例函数图象的性质可直接判断D 是错误的．【详解】∵点P(a ，m)，Q(b ，n)是反比例函数y 2x =图象上两个不同的点，∴am=bn=2，若a+b=0，则a=﹣b ，∴﹣bm=bn ，∴﹣m=n 即m+n=0，若b=3a ，∴am=3an ，∴n 13 m ，故A ，B ，C 正确，若a ＜0＜b ，则m ＜0，n ＞0，∴m ＜n ，故D 是错误的，故选D ．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关键是灵活运用反比例函数图象的性质解决问题．4、D 【解析】利用求根公式解方程，然后对各选项进行判断．【详解】∵a ＝1，b ＝﹣1，c ＝﹣1，∴△＝b 2﹣4ac ＝12﹣4×（﹣1）＝5，则x ＝，所以x 1＝，x 2＝．故选：D ．本题考查了解一元二次方程﹣公式法，解题关键在于掌握运算法则．5、A【解析】首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．【详解】解：x 2﹣8x+7＝0，x 2﹣8x ＝﹣7，x 2﹣8x+16＝﹣7+16，(x ﹣4)2＝9，故选：A ．本题考查了解一元二次方程--配方法．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．6、A 【解析】证明△ABN ≌△ADN ，得到AD=AB=10，BN=DN ，根据三角形中位线定理求出CD ，计算即可．【详解】解：在△ABN 和△ADN 中，12AN AN ANB AND ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝∴△ABN ≌△ADN ，∴AD=AB=10，BN=DN ，∵M 是△ABC 的边BC 的中点，BN=DN ，∴CD=2MN=8，∴△ABC 的周长=AB+BC+CA=43，故选A ．本题考查的是三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．7、C【解析】如图，连接BE 、BF ．首先利用勾股定理求出EF ，再根据S △BEF =12•EF•BG=S 正方形ABCD -S △ABE -S △BCF -S △DEF ，列出方程即可解决问题．【详解】如图，连接BE 、BF ．∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC=CD=AD=5，∵AE=1，CF=2，∴DE=4，DF=3，∴=5，∵S △BEF =12•EF•BG=S 正方形ABCD -S △ABE -S △BCF -S △DEF ，∴12•5•BG=25-12•5•1-12•5•2-12•3•4，∴BG=235，故选C ．本题考查正方形的性质、勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用分割法求三角形面积，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．8、A 【解析】∵将Rt △AOB 绕原点O 顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A 1OB 1，且A 1O=2AO ，A 1B 1=OA 1，再将Rt △A 1OB 1绕原点O 顺时针旋转90°得到等腰三角形A 2OB 2，且A 2O=2A 1O ，A 2B 2=A 2O …，依此规律，∴每4次循环一周，B 1（2，﹣2），B 2（﹣4，-4），B 3（-8，8），B 4（16，16），∵22÷4=504…1，∴点B 22与B 1同在第四象限，∵﹣4=﹣22，8=23，16=24，∴点B 22（222，-222），故选A.【点睛】本题考查了点的坐标变化规律，得出B 点坐标变化规律是解题关键．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、-1【解析】根据分式值为0的条件进行求解即可.【详解】由题意得，x+1=0，解得x=-1，故答案为：-1.本题考查了分式值为0的条件，熟练掌握分式值为0时，分子为0且分母不为0是解题的关键.10、1【解析】如图1，当点D 与点Q 重合时，根据翻折对称性可得A′D=AD=13，在Rt △A′CD 中，A′D 2=A′C 2+CD 2，即132=（13-A′B ）2+52，解得A′B=1，如图2，当点P 与点B 重合时，根据翻折对称性可得A′B=AB=5，∵5-1=1，∴点A′在BC 边上可移动的最大距离为1．11、13【解析】根据点的坐标利用勾股定理，即可求出点P 到原点的距离【详解】解：在平面直角坐标系中，点P 到原点O 13=，故答案为：13.本题主要考查学生对勾股定理和点的坐标的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题.12、16【解析】根据条件可得：四边形ABCD 是平行四边形，得OA OC =，根据△BOC 的周长比△AOB 的周长大2cm ，可得BC 的长，求解即可．【详解】∵四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=BC ∴四边形ABCD 是平行四边形∴OA=OC,AB=CD=3∵△BOC 的周长比△AOB 的周长大2cm ∴OB+OC+BC=OB+OA+AB+2∴BC=AB+2=5∴四边形ABCD 的周长:5+5+3+3=16(cm)故答案为：16本题考查了平行四边形边长的问题，掌握平行四边形的性质是解题的关键．13、3k >【解析】根据反比例函数中，当反比例函数的系数大于0时，在每一支曲线上，y 都随x 的增大而减小，可得k-3>0，解可得k 的取值范围．【详解】根据题意,在反比例函数3k y x -=图象的每一支曲线上，y 都随x 的增大而减小，即可得k−3>0，解得k>3.故答案为：k>3此题考查反比例函数的性质，解题关键在于当反比例函数的系数大于0时得到k-3>0三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（1）112x =-，214x =；（2）143x =，243x -=．【解析】（1）利用因式分解法即可解答（2）先将分数化为整数，再利用判别式进行计算即可【详解】（1）229(1)x x =-229(1)0x x --=，则(31)(31)0x x x x +--+=，故(41)(21)0x x -+=，解得：112x =-，214x =；（2）2312042x x --=则23820x x --=，△246424880b ab =-=+=>，则86x =，解得：1x =，2x =．此题考查解一元二次方程-因式分解法和判别式，掌握运算法则是解题关键15、（1）12000.7140y x x =⨯=；（2）22000.75(1)150(1)y x x =⨯-=-；（3）当人数为15人时，两家均可选择，当人数在1014x 之间时选择乙旅行社，当人数1625x 时，选择甲旅行社，见解析.【解析】（1）根据甲旅行社的优惠方式，可计算出y 1与x 之间的关系．（2）根据乙旅行社的优惠方式，可计算出y 2与x 之间的关系．（3）根据（1）（2）的表达式，利用不等式的知识可得出人数多少克选择旅行社．【详解】（1）12000.7140y x x =⨯=；（2）根据乙旅行社的优惠方式；22000.75(1)150(1)y x x =⨯-=-；（3）①甲社总费用=乙社总费用的情况，此时140150(1)x x =-，解得：15x =；即当15x =时，两家费用一样．②甲社总费用多于乙社总费用的情况：140150(1)x x >-，解不等式得：15x <，即当1014x 时，乙旅行社费用较低．③甲社总费用少于乙社总费用的情况，此时140150(1)x x <-解得：15x >即当1625x 时，甲旅行社费用较低．答：当人数为15人时，两家均可选择，当人数在1014x 之间时选择乙旅行社，当人数1625x 时，选择甲旅行社．此题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是得出甲乙旅行社收费与人数之间的关系式，利用不等式的知识解答，难度一般．16、（1）证明见解析；（2）四边形EFGH 是菱形，证明见解析；（3）四边形EFGH 是正方形.【解析】（1）如图1中，连接BD ，根据三角形中位线定理只要证明EH ∥FG ，EH=FG 即可．（2）四边形EFGH 是菱形．先证明△APC ≌△BPD ，得到AC=BD ，再证明EF=FG 即可．（3）四边形EFGH 是正方形，只要证明∠EHG=90°，利用△APC ≌△BPD ，得∠ACP=∠BDP ，即可证明∠COD=∠CPD=90°，再根据平行线的性质即可证明．【详解】（1）证明：如图1中，连接BD ．∵点E ，H 分别为边AB ，DA 的中点，∴EH ∥BD ，EH=12BD ，∵点F，G分别为边BC，CD的中点，∴FG∥BD，FG=12BD，∴EH∥FG，EH=GF，∴中点四边形EFGH是平行四边形．（2）四边形EFGH是菱形．证明：如图2中，连接AC，BD．∵∠APB=∠CPD，∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD，即∠APC=∠BPD，在△APC和△BPD中，∵AP=PB，∠APC=∠BPD，PC=PD，∴△APC≌△BPD，∴AC=BD．∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，∴EF=12AC，FG=12BD，∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是菱形．（3）四边形EFGH是正方形．证明：如图2中，设AC与BD交于点O．AC与PD交于点M，AC与EH交于点N．∵△APC≌△BPD，∴∠ACP=∠BDP，∵∠DMO=∠CMP，∴∠COD=∠CPD=90°，∵EH∥BD，AC∥HG，∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°，∵四边形EFGH是菱形，∴四边形EFGH是正方形．考点：平行四边形的判定与性质；中点四边形．17、（1）非负整数解为1、2、3、4；（2）-3＜x≤1，数轴上表示见解析【解析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【详解】（1）5（2x+1）≤3（3x-2）+15，10x+5≤9x-6+15，10x-9x≤-6+15-5，x≤4，则不等式的非负整数解为1、2、3、4；（2）解不等式2（x-3）＜4x ，得：x ＞-3，解不等式，得：x≤1，则不等式组的解集为-3＜x≤1，将不等式组的解集表示在数轴上如下：考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．18、（1）D ；12；（2）16；C ；（3）身高在155≤x ＜165之间的学生约有541人．【解析】从频数分布直方图可得到男生的总人数，则中位数是第20、21个人身高的平均数，女生与男生人数相同，由此可得到题（1）的答案；结合上步所得以及各组的人数可求出身高在150≤x ＜155的总人数和身高最多的组别，从而解决（2）；对于（3），可根据两幅统计图得到男女生身高在155≤x ＜165之间的学生的百分率，从而使问题得以解决.【详解】解：（1）因为在样本中，共有男生2+4+8+12+14=40（人），所以中位数是第20、21个人身高的平均数，而2+4+12=18人，所以男生身高的中位数位于D 组，女生身高在B 组的人数有40×(1-30%-20%-15%-5%)=12（人）.（2）在样本中，身高在150≤x ＜155之间的人数共有4+12=16（人），身高人数最多的在C 组；（3）500×121440 ++480×(30%+15%)=541（人），故估计身高在155≤x ＜165之间的学生约有541人.本题主要考查从统计图表中获取信息，中等难度,解题的关键是要读懂统计图.一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、1【解析】试题分析：由m 与n 为已知方程的解，利用根与系数的关系求出m+n=4，mn=﹣3，将所求式子利用完全平方公式变形后，即2m ﹣mn+2n =()2m n +﹣3mn=16+9=1．故答案为1．考点：根与系数的关系．20、13x .【解析】约去分子与分母的公因式即可.【详解】22216233xyxyx y xy x x ==.故答案为：13x .本题主要考查了分式的约分，主要是约去分式的分子与分母的公因式.21、x ≥1．【解析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式进行计算即可得解．【详解】解：根据题意得，x ﹣1≥0且x ≠0，解得x ≥1且x ≠0，所以，自变量x 的取值范围是x ≥1．故答案为x ≥1．本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．22、6【解析】作AH ⊥BC 于H 点，可得△ADG ∽△ABC ，△BDE ∽△BAH ，根据相似三角形对应边比例等于相似比可解题．【详解】解：作AH ⊥BC 于H 点，∵四边形DEFG 为矩形，∴△ADG ∽△ABC ，△BDE ∽△BAH ，,DE BD DG AD AH AB BC AB ∴==1BD AD AB AB +=1DE DG AH BC ∴+=∵ABC ∆的面积为362cm ,边12BC =cm ∴AH=61162DE DG ∴+=∵EF=2DE ，即DG=2DE 12621DE DE ∴+=解得：DE=3∴DG=6故答案为：6本题考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形对应边比例相等的性质．23、①②④【解析】根据四边形ABCD 是平行四边形，可得∠B=∠D ，再根据折叠可得∠D=∠NMA ，再利用等量代换可得∠B=∠NMA ，然后根据平行线的判定方法可得MN ∥BC ；证明四边形AMND 是平行四边形，再根据折叠可得AM=DA ，进而可证出四边形AMND 为菱形，再根据菱形的性质可得MN=AM ，不能得出∠B=90°；即可得出结论．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠B=∠D ，∵根据折叠可得∠D=∠NMA ，∴∠B=∠NMA ，∴MN ∥BC ；①正确；∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DN ∥AM ，AD ∥BC ，∵MN ∥BC ，∴AD ∥MN ，∴四边形AMND 是平行四边形，根据折叠可得AM=DA ，∴四边形AMND 为菱形，∴MN=AM ；②④正确；没有条件证出∠B=90°，④错误；本题主要考查了翻折变换的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、矩形的判定等知识，熟练掌握翻折变换的性质、平行四边形和菱形以及矩形的判定是解题的关键．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（1）见解析；（2）四边形的面积.【解析】（1）根据同旁内角互补两直线平行求出BC∥AD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠CBE=∠DFE，然后利用“角角边”证明△BEC和△FCD全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=EF，然后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可；（2）利用勾股定理列式求出AB，然后利用平行四边形的面积公式列式计算即可得．【详解】解：（1）证明：∵，∴，∴，又∵是边的中点，∴，在与中，，∴，∴∴四边形是平行四边形；（2）∵，∴，∴四边形的面积．本题考查了平行四边形的判定与性质，平行线的判定、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．25、（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）四边形AFCE 是矩形，证明见解析；（3）当EF ⊥AC ，∠B =22.5°时，四边形AFCE 是正方形，证明见解析．【解析】（1）①根据中点和平行即可找出条件证明全等．②由全等的性质可以证明出四边形AFCE 是平行四边形，即可得到AE =FC ．（2）根据260CDE B ∠=∠=和AC BC =可证明出△DCE 为等边三角形，进而得到AC=EF 即可证明出四边形AFCE 是矩形．（3）根据四边形AFCE 是平行四边形，且EF ⊥AC ，得到四边形AFCE 是菱形．由AC=BC ，证出△DCE 是等腰直角三角形即可得到AC=EF ，进而证明出菱形AFCE 是正方形．所以存在这样的B Ð．【详解】（1）①∵AF ∥BE ，∴∠FAD =∠ECD ，∠AFD =∠CED ．∵AD =CD ，∴△ADF ≌△CDE ．②由△ADF ≌△CDE ，∴AF =CE ．∵AF ∥BE ，∴四边形AFCE 是平行四边形，∴AE =FC ．（2）四边形AFCE 是矩形．∵四边形AFCE 是平行四边形，∴AD =DC ，ED =DF ．∵AC =BC ，∴∠BAC =∠B =30°，∴∠ACE =60°．∵∠CDE =2∠B =60°，∴△DCE 为等边三角形，∴CD =ED ，∴AC =EF ，∴四边形AFCE 是矩形．（3）当EF ⊥AC ，∠B =22.5°时，四边形AFCE 是正方形．∵四边形AFCE 是平行四边形，且EF ⊥AC ，∴四边形AFCE 是菱形．∵AC =BC ，∴∠BAC =∠B =22.5°，∴∠DCE =2∠B =45°，∴△DCE 是等腰直角三角形，即DC =DE ，∴AC =EF ，∴菱形AFCE 是正方形．即当EF ⊥AC ，∠B =22.5°时，四边形AFCE 是正方形．此题考查三角形全等，特殊平行四边形的判定及性质，难度中等．26、（1）证明见解析；（2）当点O 在边AC 上运动到AC 中点时，四边形AECF 是矩形，理由见解析．【解析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，进而得出答案；（2）根据平行四边形的判定先证明AECF 是平行四边形，再由90ECF ∠=︒证明是矩形即可．【详解】（1）证明：如图，∵MN 交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于点F ，∴∠2＝∠5，∠4＝∠6，∵MN ∥BC ，∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴EO ＝CO ，FO ＝CO ，∴OE ＝OF ；（2）解：当点O 在边AC 上运动到AC 中点时，四边形AECF 是矩形．理由是：当O 为AC 的中点时，AO ＝CO ，∵EO ＝FO ，∴四边形AECF 是平行四边形，由题意可知CE 平分∠ACB ，CF 平分∠ACB ，25,46,12456180902∴∠=∠∠=∠∴∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒即90ECF ∠=︒∴平行四边形AECF 是矩形．本题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定等知识，根据已知得出∠ECF＝90°是解题关键.。
2023-2024学年北京市第四中学高三上学期开学测试数学试卷含详解
北京四中2023-2024学年度第一学期开学测试高三数学考试时间：120分钟试卷满分：150分一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.集合{}{}12,1A x x B x x =-≤≤=<，则R ()A B = ð（）A.{}1x x >B.{}1x x ≥C.{}12x x <≤ D.{}12x x ≤≤2.在6(x 的展开式中，3x 的系数为（）A.-B.C.40- D.403.已知0.10.644,2,log 0.6a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A.c<a<bB.c b a <<C.a b c<< D.b a c<<4.有10名学生，其中4名男生，6名女生，从中任选2名学生，其中恰好有1名男生的概率是（）A.815B.625C.215D.4455.已知函数()f x 在R 上可导，其部分图象如图所示，设(2)(1)21f f a -=-，则下列不等式正确的是（）A.(1)(2)f f a ''<<B.(1)(2)f a f ''<<C.(2)(1)f f a ''<<D.(1)(2)a f f ''<<6.给出下面四个命题：①“直线a ，b 不相交”是“直线a ，b 为异面直线”的充分而不必要条件；②“l⊥平面α”是“直线l ⊥平面α内所有直线”的充要条件；③“a 平行于b 所在的平面”是“直线//a 直线b ”的充要条件；④“直线a 平行于α内的一条直线”是“直线//a 平面α”的必要而不充分条件.其中正确命题的序号是（）A.①③B.②③C.②④D.③④7.“苏州码子”发源于苏州，在明清至民国时期，作为一种民间的数字符号曾经流行一时，广泛应用于各种商业场合.110多年前，詹天佑主持修建京张铁路，首次将“苏州码子”刻于里程碑上.“苏州码子”计数方式如下：〡1.､〢2.､〣3.､〤4.､〥5.､〦6.､〧7.､〨8.､〩9.､〇0．为了防止混淆，有时要将“〡”“〢”“〣”横过来写.已知某铁路的里程碑所刻数字代表距离始发车站的里程，每隔2公里摆放一个里程碑，若在A 点处里程碑上刻着“〣〤”，在B 点处里程碑刻着“〩〢”，则从A 点到B 点里程碑的个数应为（）A.29B.30C.58D.598.ABC ∆中，22:tan :tan a b A B =，则ABC ∆一定是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形9.已知函数()22,,x ax x af x x a x a⎧-+≥⎪=⎨+<⎪⎩，若对于任意正数k ，关于x 的方程()f x k =都恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数a 的个数为（）A.0B.1C.2D.无数10.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y mx =（0m >）与曲线3y x =从左至右依次交于A ，B ，C 三点．若直线l ：30kx y -+=（R k ∈）上存在点P 满足2PA PC +=，则实数k 的取值范围是（）A.(2,2)- B.[-C.(,2)(2,)-∞-+∞ D.(,)-∞-⋃+∞二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11.若复数z 满足2i1iz =+，则z 的虚部为______.12.已知向量,a b ,满足：()1,6,2a b a b a ==⋅-= ，则a 与b 的夹角为________．13.角α的终边与单位圆的交点A 位于第一象限，其横坐标为35，那么sin α=__________，点A 沿单位圆逆时针运动到点B ，所经过的弧长为4π，则点B 的横坐标为__________．14.抛物线x 2=2py （p ＞0）的焦点为F ，其准线与双曲线-=1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p=___________.15.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12,1AB AA AD ===，动点,E F 分别在线段AB 和1CC 上.给出下列四个结论：①113D DEF V -=；②1D EF V 不可能是等边三角形；③当1D E DF ⊥时，1D F EF =；④至少存在两组,E F ，使得三棱锥1D DEF -的四个面均为直角三角形.其中所有正确结论的序号是__________.三、解答题（共6小题，共85分）16.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，60ABC ∠=，对角面11AAC C 是矩形，且平面11AA C C ⊥平面ABCD .（1）证明：侧棱1AA ⊥平面ABCD ：（2）设AC BD O = ，若1AB AA =，求二面角11D OB C --的余弦值.17.已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，cos 3sin b a C c A =+.（1）求角A 的大小；（2）从以下三个条件中选择一个作为已知，使得三角形存在且唯一确定，求ABC 的面积.条作①：7a =，8b =条件②：1sin 7B =，7a =条什③：2a b =，8c =注：如果选择的条件不符合要求.第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.18.2022年第24届冬季奥林匹克运动会期间，为保障冬奥会顺利运行，组委会共招募约2.7万人参与赛会志愿服务.赛会共设对外联络服务、竞赛运行服务、文化展示服务等共12类志愿服务.（1）甲、乙两名志愿者被随机分配到不同类志愿服务中，每人只参加一类志愿服务.求甲被分配到对外联络服务且乙被分配到竞赛运行服务的概率；（2）已知来自某高校的每名志愿者被分配到文化展示服务的概率是110，设来自该高校的2名志愿者被分配到文化展示服务的人数为X ，求X 的分布列与数学期望()E X ；（3）已知在2.7万名志愿者中，18~35岁人群占比达到95%，为了解志愿者们对某一活动方案是否支持，通过分层随机抽样获得如下数据：18~35岁人群其他人群支持不支持支持不支持方案90人5人1人4人假设志愿者对活动方案是否支持相互独立.将志愿者支持方案的概率估计值记为0p ，去掉其他人群后志愿者支持方案的概率估计值记为1p ，试比较0p 与1p 的大小.（结论不要求证明）19.设函数()2ln 2x f x k x =-，0k >．（1）求()f x 的单调区间和极值；（2）证明：若()f x 存在零点，则()f x 在区间(上仅有一个零点．20.已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点.21.正实数构成的集合{}()12,,,2n A a a a n =⋅⋅⋅≥，定义{},,i j i j A A a a a a A i j ⊗=⋅∈≠且.当集合A A ⊗中恰有()12n n -个元素时，称集合A 具有性质Ω.（1）判断集合{}11,2,4A =，{}21,2,4,8A =是否具有性质Ω；（2）若集合A 具有性质Ω，且A 中所有元素能构成等比数列，A A ⊗中所有元素也能构成等比数列，求集合A 中的元素个数的最大值：（3）若集合A 具有性质Ω，且A A ⊗中的所有元素能构成等比数列.问：集合A 中的元素个数是否存在最大值?若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.北京四中2023-2024学年度第一学期开学测试高三数学考试时间：120分钟试卷满分：150分一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.集合{}{}12,1A x x B x x =-≤≤=<，则R ()A B = ð（）A.{}1x x >B.{}1x x ≥C.{}12x x <≤ D.{}12x x ≤≤【答案】D【分析】先求出集合B 的补集，再求出()A B R ð【详解】因为{}1B x x =<，所以{}R 1B x x =≥ð，因为{}12A x x =-≤≤，所以R ()A B = ð{}12x x ≤≤，故选：D2.在6(x 的展开式中，3x 的系数为（）A.-B.C.40- D.40【答案】A【分析】利用二项展开式的通项直接求得.【详解】6(x -的展开式的通项公式为(()666216612r rrrrr r r T C x C x ---+==-，要求3x 项，只需令r=3,所以3x 的系数为()636332612=C ----.故选：A【点睛】二项式定理类问题的处理思路：利用二项展开式的通项进行分析．3.已知0.10.644,2,log 0.6a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A.c<a<bB.c b a <<C.a b c <<D.b a c<<【答案】A【分析】化简a ，通过讨论函数()2xf x =和()4log g x x =的单调性和取值范围即可得出,,a b c 的大小关系.【详解】解：由题意，0.10.242a ==，在()2xf x =中，函数单调递增，且()0f x >，∴0.20.6022b a <<==，在()4log g x x =中，函数单调递增，且当01x <<时，()0g x <，∴4log 0.60c =<，∴c<a<b ，故选：A.4.有10名学生，其中4名男生，6名女生，从中任选2名学生，其中恰好有1名男生的概率是（）A.815B.625C.215D.445【答案】A【分析】利用古典概型结合组合数计算概率即可.【详解】由题意可得恰有一名男生的概率为：1146210C C 8C 15P ==.故选：A5.已知函数()f x 在R 上可导，其部分图象如图所示，设(2)(1)21f f a -=-，则下列不等式正确的是（）A.(1)(2)f f a ''<<B.(1)(2)f a f ''<<C.(2)(1)f f a ''<<D.(1)(2)a f f ''<<【答案】B【分析】利用直线的斜率公式和导数的几何意义结合图象即可判断.【详解】由图象可知，函数在[0,)+∞上的增长越来越快，故函数图象在点00(,())x f x （0(0,)x ∈+∞）的切线的斜率越来越大，因为(2)(1)21f f a -=-，所以(1)(2)f a f ''<<.故选：B.6.给出下面四个命题：①“直线a ，b 不相交”是“直线a ，b 为异面直线”的充分而不必要条件；②“l⊥平面α”是“直线l ⊥平面α内所有直线”的充要条件；③“a 平行于b 所在的平面”是“直线//a 直线b ”的充要条件；④“直线a 平行于α内的一条直线”是“直线//a 平面α”的必要而不充分条件.其中正确命题的序号是（）A.①③ B.②③C.②④D.③④【答案】C【分析】根据空间中直线的位置关系可判断①；根据线面垂直的判定及性质可判断②；根据线面平行的判定及性质可判断③④.【详解】①若直线a ，b 不相交，则//a b 或a ，b 为异面直线；若直线a ，b 为异面直线，则a ，b 不相交，所以“直线a ，b 不相交”是“直线a ，b 为异面直线”的必要而不充分条件，故①错误.②根据线面垂直的判定及性质可知，若l ⊥平面α，则直线l ⊥平面α内所有直线；反之，亦成立，所以“l⊥平面α”是“直线l ⊥平面α内所有直线”的充要条件，故②正确.③若a 平行于b 所在的平面，则//a b 或a ，b 为异面直线；若直线//a 直线b ，a 平行于b 所在的平面或a 在b 所在的平面内，所以“a 平行于b 所在的平面”是“直线//a 直线b ”的既不充分也不必要条件，故③错误.④若直线a 平行于α内的一条直线，则//a α或a α⊂；若直线//a 平面α，则能得到直线a 平行于α内的一条直线，所以“直线a 平行于α内的一条直线”是“直线//a 平面α”的必要而不充分条件，故④正确.故选：C.7.“苏州码子”发源于苏州，在明清至民国时期，作为一种民间的数字符号曾经流行一时，广泛应用于各种商业场合.110多年前，詹天佑主持修建京张铁路，首次将“苏州码子”刻于里程碑上.“苏州码子”计数方式如下：〡1.､〢2.､〣3.､〤4.､〥5.､〦6.､〧7.､〨8.､〩9.､〇0．为了防止混淆，有时要将“〡”“〢”“〣”横过来写.已知某铁路的里程碑所刻数字代表距离始发车站的里程，每隔2公里摆放一个里程碑，若在A 点处里程碑上刻着“〣〤”，在B 点处里程碑刻着“〩〢”，则从A 点到B 点里程碑的个数应为（）A.29B.30C.58D.59【答案】B【分析】里程碑上刻着数字依次成等差数列，求出,A B 两处刻的数字，按等差数列的公式求得项数即可．【详解】根据题意A 点处里程碑上刻着数字34，B 点处里程碑刻着数字92，里程碑刻着数字厉等差数列，公差为2，因此里程碑个数为92341302-+=．故选：B ．8.ABC ∆中，22:tan :tan a b A B =，则ABC ∆一定是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形【答案】D【分析】由已知22:tan :tan a b A B =，利用正弦定理及同角的三角函数的基本关系对式子进行化简，然后结合三角函数的性质再进行化简即可判断．【详解】∵22:tan :tan a b A B =，由正弦定理可得，22sin sin tan sin cos sin sin sin tan sin cos cos AA A A BB B B B B A B===，∵sin sin B 0A ≠，∴sin cos sin cos A BB A=，∴sin cos sin cos A A B B =即sin 2sin 2A B =，∵()(),0,,0,A B A B ππ∈+∈，∴22A B =或22A B π+=，∴A B =或2A B π+=，即三角形为等腰或直角三角形，故选D ．【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系及正弦定理的应用，利用正弦定理进行代数式变形是解题的关键和难点．9.已知函数()22,,x ax x af x x a x a ⎧-+≥⎪=⎨+<⎪⎩，若对于任意正数k ，关于x 的方程()f x k =都恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数a 的个数为（）A.0B.1C.2D.无数【答案】B【分析】分0a =、0a >、a<0三种情况讨论，作出函数()f x 的图象，根据已知条件可得出关于实数a 的等式与不等式，进而可求得实数a 的取值.【详解】当0a =时，()22,0,0x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩，作出函数()f x的图象如下图所示：由图可知，当02k <<时，关于x 的方程()f x k =有且只有一个实根，不合乎题意；当0a >时，()22,,,x ax x af x x a a x a x a x a ⎧-+≥⎪=+-<<⎨⎪--≤-⎩，如下图所示：函数()f x 在(),a -∞-上单调递减，在(),a a -上单调递增，在(),a +∞上单调递增，由题意可得22222a a a a -+==，解得1a =；若a<0，则()22,,x ax x af x x a x a ⎧-+≥=⎨--<⎩，如下图所示：函数()f x 在(),a -∞单调递减，在,2a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，由题意可得2222280a a aa ⎧-+=-⎨∆=-≥⎩，此时a 无解.综上所述，1a =.故选：B.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.10.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y mx =（0m >）与曲线3y x =从左至右依次交于A ，B ，C 三点．若直线l ：30kx y -+=（R k ∈）上存在点P 满足2PA PC +=，则实数k 的取值范围是（）A.(2,2)- B.[22,22]-C.(,2)(2,)-∞-+∞ D.(,2][22,)-∞-⋃+∞【答案】D【分析】根据直线y mx =与曲线3y x =都关于原点对称，得到A ，C 关于点B 对称，则2PA PC += ，即为1PB =，然后将问题转化为点B 到直线30kx y -+=的距离不大于1求解.【详解】因为直线y mx =与曲线3y x =都关于原点对称，且都过原点，所以B 为原点，A ，C 关于点B 对称，因为直线l ：30kx y -+=（R k ∈）上存在点P 满足2PA PC +=，所以1PB =，则点B 到直线30kx y -+=的距离不大于1，1≤，解得k ≤-或k ≥所以实数k 的取值范围是(,)-∞-⋃+∞.故选：D二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11.若复数z 满足2i1iz =+，则z 的虚部为______.【答案】1【分析】利用复数除法的法则，结合复数的虚部定义进行求解即可.【详解】因为()()()i 1i i i i i i 221111z -===+++-，所以z 的虚部为1，故答案为：112.已知向量,a b ,满足：()1,6,2a b a b a ==⋅-= ，则a 与b的夹角为________．【答案】π3【分析】先根据()2a b a ⋅-= 求出a b ⋅ ，利用夹角公式可得答案.【详解】因为()2a b a ⋅-= ，1a = ，所以3a b ⋅=；所以31cos ,62a b a b a b ⋅===，因为[],0,πa b ∈ ，所以π,3a b = .故答案为：π3.13.角α的终边与单位圆的交点A 位于第一象限，其横坐标为35，那么sin α=__________，点A 沿单位圆逆时针运动到点B ，所经过的弧长为4π，则点B 的横坐标为__________．【答案】①.45②.10-【分析】利用三角函数的定义求出cos α的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得sin α，由三角函数的定义可知点B 的横坐标为cos 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭，利用两角和的余弦公式可求得结果.【详解】由三角函数的定义可得3cos 5α=，由已知可知α为第一象限角，则4sin 5α=，将点A 沿单位圆逆时针运动到点B ，所经过的弧长为4π，则点B 的横坐标为2cos cos cos sin sin 44410πππααα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭.故答案为：45；10-.14.抛物线x 2=2py （p ＞0）的焦点为F ，其准线与双曲线-=1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p=___________.【答案】6【详解】因为抛物线x 2=2py 的准线2py =-和双曲线-=1相交交点横坐标为, 6.2x p p =∴=由等边三角形得解得考点：本题主要考查抛物线的概念、标准方程、几何性质，考查分析问题解决问题的能力.15.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12,1AB AA AD ===，动点,E F 分别在线段AB 和1CC 上.给出下列四个结论：①113D DEF V -=；②1D EF V 不可能是等边三角形；③当1D E DF ⊥时，1D F EF =；④至少存在两组,E F ，使得三棱锥1D DEF -的四个面均为直角三角形.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】①②④【分析】根据长方体的特征，利用等体积法确定①，根据特殊情况分析三角形边长可判断②，利用向量法可判断③，根据长方体中的特殊位置找出满足条件三棱锥判断④.【详解】由题意，在长方体中，E 到平面CC 1D 1D 的距离为1，F 到边1DD 的距离为2，所以11111112323D DEFE DDF V V --==⨯⨯⨯⨯=，故①正确；由图可知，1D F 的最小值为2，若12D E =，则DE ===,则AE ==，若此时2EF =，则EC ===，可得BE ==，则2AE BE AB +=>=，即1D F 取最小值为2时，1,D E EF 不能同时取得2，当1D F 变大时，1,D E EF 不可能同时大于2，故1D EF V 不可能是等边三角形，故②正确；建立空间直角坐标系，如图，则1(0,0,0),(0,0,1)D D ,设(1,,0)(02)E m m ≤≤，(0,2,)(01)F n n ≤≤，1(1,,1),(0,2,)D E m DF n =-= ，由1D E DF ⊥可得1(1,,1)(0,2,)20D E DF m n m n ⋅=-⋅=-=，即2n m =，1D F ===，EF ===，显然1D F 与EF 不恒相等，只有0m n ==时才成立，故③错误；当E 为AB 中点，F 与C 重合时，如图，此时，1D D DE ⊥，1D D DC ⊥，又2DE EC ==2DC =，故222DE EC DC +=，所以DE EC ⊥，因为113,2,5D E EC D C ===22211D E EC D C +=,所以1D E EC ⊥，即三棱锥1D DEF -的四个面均为直角三角形，当E 与B 重合，F 与C 重合时，如图，显然1D D DB ⊥，1D D DC ⊥，CB DC ⊥，1CB D C ⊥，故三棱锥1D DEF -的四个面均为直角三角形，综上可知，至少存在两组,E F ，使得三棱锥1D DEF -的四个面均为直角三角形，故④正确.故答案为：①②④【点睛】关键点点睛：本题四个选项比较独立，①的关键在于转化顶点，得出高及底面积为定值；②分析三边中1D F 的最小值为2，此时其余两边不能同时等于2;③利用向量得出两点的关系，在此关系下不一定能推出两边长相等；④考虑特殊位置寻求满足条件的位置是解题关键.三、解答题（共6小题，共85分）16.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，60ABC ∠=，对角面11AAC C 是矩形，且平面11AA C C ⊥平面ABCD .（1）证明：侧棱1AA ⊥平面ABCD ：（2）设AC BD O = ，若1AB AA =，求二面角11D OB C --的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）25719【分析】（1）利用面面垂直的性质来进行证明即可；（2）以O 为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果.【小问1详解】四边形11AA C C 是矩形，1AA AC ∴⊥，又平面11AA C C ⊥平面ABCD ，平面11AA C C 平面ABCD AC =，1AA ⊂平面11AA C C ，1AA ∴⊥平面ABCD .【小问2详解】四边形ABCD 为菱形，AC BD ∴⊥，以O 为坐标原点，,OB OC正方向为,x y 轴，平行于1AA 的直线为z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，设12AB AA ==，则()0,0,0O，)13,0,2B ，()10,1,2C ，)13,0,2OB ∴=，()10,1,2OC =，设平面11OB C 的法向量(),,n x y z =，则1132020OB n x z OC n y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令2x =，解得：23y =3z =，(2,3,3n ∴= ；平面1OB D y ⊥轴，∴平面1OB D 的一个法向量()0,1,0m =，257cos ,19m n m n m n⋅∴==⋅ ，二面角11D OB C --为锐二面角，∴二面角11D OB C --的余弦值为25719.17.已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，cos sin b a C A =+.（1）求角A 的大小；（2）从以下三个条件中选择一个作为已知，使得三角形存在且唯一确定，求ABC 的面积.条作①：7a =，8b =条件②：1sin 7B =，7a =条什③：a =，8c =注：如果选择的条件不符合要求.第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）π6A =（2）答案见解析【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换知识可求得tan A ，由此可得A ；（2）若选①，利用余弦定理构造方程求得c ，知三角形不唯一，不合题意；若选②，利用正弦定理可求得b ，再利用余弦定理求得c ，代入三角形面积公式即可；若选③，利用余弦定理可构造方程求得b ，代入三角形面积公式即可.【小问1详解】由正弦定理得：sin sin cos sin B A C C A =+，又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，cos sin sin A C C A ∴=，()0,πC ∈ ，sin 0C ∴>，cos A A =，即tan 3A =，()0,πA ∈ ，π6A ∴=.【小问2详解】若选条件①，由余弦定理得：22222cos 6449a b c bc A c =+-=+-=，即2150c -+=，解得：2c =或2c +=，∴三角形不唯一，不合题意；若选条件②，由正弦定理得：sin 121sin 2a Bb A===，由余弦定理得：22222cos 449a b c bc A c =+-=+-=，即2450c --=，解得：c =-（舍）或c =，∴满足题意的三角形唯一，满足题意；此时11153sin 22222ABC S bc A ==⨯⨯= ；若选条件③，由余弦定理得：222222cos 642a b c bc A b b =+-=+-=，即2640b +-=，解得：b =--b =-，∴满足题意的三角形唯一，满足题意；此时(111sin 8222ABC S bc A ==⨯-⨯⨯=- .18.2022年第24届冬季奥林匹克运动会期间，为保障冬奥会顺利运行，组委会共招募约2.7万人参与赛会志愿服务.赛会共设对外联络服务、竞赛运行服务、文化展示服务等共12类志愿服务.（1）甲、乙两名志愿者被随机分配到不同类志愿服务中，每人只参加一类志愿服务.求甲被分配到对外联络服务且乙被分配到竞赛运行服务的概率；（2）已知来自某高校的每名志愿者被分配到文化展示服务的概率是110，设来自该高校的2名志愿者被分配到文化展示服务的人数为X ，求X 的分布列与数学期望()E X ；（3）已知在2.7万名志愿者中，18~35岁人群占比达到95%，为了解志愿者们对某一活动方案是否支持，通过分层随机抽样获得如下数据：18~35岁人群其他人群支持不支持支持不支持方案90人5人1人4人假设志愿者对活动方案是否支持相互独立.将志愿者支持方案的概率估计值记为0p ，去掉其他人群后志愿者支持方案的概率估计值记为1p ，试比较0p 与1p 的大小.（结论不要求证明）【答案】（1）1132（2）分布列见解析，15（3）01p p <【分析】（1）利用古典概型计算即可；（2）根据离散型随机变量的分布列和期望公式计算即可；（3）由表格可计算得01,p p 判定大小即可.【小问1详解】甲、乙两名志愿者被随机分配到不同类志愿服务中，每人只参加一类志愿服务的基本事件空间Ω有212A 1211132=⨯=个基本事件，记事件A ：“甲被分配到对外联络服务且乙被分配到竞赛运行服务”，即包含1个基本事件，则1()132P A =；【小问2详解】由题知，0,1,2X =，1~(2,)10X B 22181(0)C 110100P X ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，12119(1)C 1101050P X ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭，22211(2)C 10100P X ⎛⎫===⎪⎝⎭，则X 的分布列：X012P811009501100X 的数学期望()81911012100501005E X =⨯+⨯+⨯=；【小问3详解】易知019019190189051410090519p p +==<==++++.19.设函数()2ln 2x f x k x =-，0k >．（1）求()f x 的单调区间和极值；（2）证明：若()f x 存在零点，则()f x 在区间(上仅有一个零点．【答案】（1）单调递减区间是(，单调递增区间是)+∞；极小值()1ln 2k k f-=；（2）证明详见解析.【详解】试卷分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、函数零点问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.（Ⅰ）先对()f x 求导，令()0f x '=解出x ，将函数的定义域断开，列表，分析函数的单调性，所以由表格知当x =时，函数取得极小值，同时也是最小值；（Ⅱ）利用第一问的表，知f 为函数的最小值，如果函数有零点，只需最小值(1ln )02k k -≤，从而解出k e ≥，下面再分情况分析函数有几个零点.试卷解析：（Ⅰ）由()2ln 2x f x k x =-，（0k >）得2()k x kf x x x x-=-='.由()0f x '=解得x =()f x 与()f x '在区间(0,)+∞上的情况如下：所以，()f x 的单调递减区间是，单调递增区间是)+∞；()f x 在x=(1ln )2k k f -=.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为(1ln )2k k f -=.因为()f x 存在零点，所以(1ln )02k k -≤，从而k e ≥.当k e =时，()f x 在区间上单调递减，且0f =，所以x =()f x 在区间上的唯一零点.当e k >时，()f x 在区间上单调递减，且1(1)02f =>，02e kf -=<，所以()f x 在区间上仅有一个零点.综上可知，若()f x 存在零点，则()f x 在区间上仅有一个零点.考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值、函数零点问题.20.已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点.【答案】（Ⅰ）2212x y +=；（Ⅱ）见解析.【分析】(Ⅰ)由题意确定a ,b 的值即可确定椭圆方程；(Ⅱ)设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程确定OM ,ON 的表达式，结合韦达定理确定t 的值即可证明直线恒过定点.【详解】（Ⅰ）因为椭圆的右焦点为(1,0)，所以1225；因为椭圆经过点(0,1)A ,所以1b =，所以2222a b c =+=，故椭圆的方程为2212xy +=.（Ⅱ）设1122(,),(,)P x y Q x y 联立2212(1)x y y kx t t ⎧+=⎪⎨⎪=+≠⎩得222(12)4220k x ktx t +++-=，21212224220,,1212kt t x x x x k k -∆>+=-=++，121222()212t y y k x x t k +=++=+，222212121222()12t k y y k x x kt x x t k -=+++=+.直线111:1y AP y x x --=，令0y =得111x x y -=-，即111x OM y -=-；同理可得221x ON y -=-.因为2OM ON =,所以1212121212211()1x x x x y y y y y y --==---++；221121t t t -=-+，解之得0=t ，所以直线方程为y kx =，所以直线l 恒过定点(0,0).【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21.正实数构成的集合{}()12,,,2n A a a a n =⋅⋅⋅≥，定义{},,i j i j A A a a a a A i j ⊗=⋅∈≠且.当集合A A ⊗中恰有()12n n -个元素时，称集合A 具有性质Ω.（1）判断集合{}11,2,4A =，{}21,2,4,8A =是否具有性质Ω；（2）若集合A 具有性质Ω，且A 中所有元素能构成等比数列，A A ⊗中所有元素也能构成等比数列，求集合A 中的元素个数的最大值：（3）若集合A 具有性质Ω，且A A ⊗中的所有元素能构成等比数列.问：集合A 中的元素个数是否存在最大值?若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）1A 具有性质Ω；2A 不具有性质Ω.（2）3（3）存在，4【分析】（1）将集合1A ，2A 进行计算，得出集合中的元素个数即可知1A 具有性质Ω；2A 不具有性质Ω.（2）利用等比数列性质和集合性质Ω的定义，即可得集合A 中的元素个数最大值为3；（3）根据集合具有的性质Ω的定义，对集合中的元素个数进行分类讨论，再由集合元素的互异性得出矛盾即可求出A 中的元素个数最大值是4.【小问1详解】1A 具有性质Ω；2A 不具有性质Ω.若{}11,2,4A =，则{}112,4,8A A ⊗=，恰有()33132-=个元素，所以1A 具有性质Ω；若{}21,2,4,8A =，{}222,4,8,16,32A A ⊗=，有5个元素，()44152-≠，2A 不具有性质Ω.【小问2详解】当A 中的元素个数4n ≥时，因为A 中所有元素能构成等比数列，不妨设元素依次为12,,,n a a a 构成等比数列，则121n n a a a a -=，其中121,,,n n a a a a -互不相同.于是这与A 具有性质Ω，A A ⊗中恰有()21C 2n n n -=个元素，即任取A 中两个不同元素组成组合的两个数其积的结果互不相同相矛盾.当A 中的元素个数恰有3个时，取{1,2,4}A =时满足条件，所以集合A 中的元素个数最大值为3.【小问3详解】因为0(1,2,,)i a i n >= ，不妨设1231n n a a a a a -<<<<< ，所以121321n n n n a a a a a a a a --<<<< .（1）当5n >时，121321,,,,n n n n a a a a a a a a -- 构成等比数列，所以131122n n n na a a a a a a a --== ，即2132n n a a a a --=，其中2132,,,n n a a a a --互不相同.这与A A ⊗中恰有()21C 2n n n -=个元素，即任取A 中两个不同元素组成组合的两个数其积的结果互不相同相矛盾.（2）当5n =时，12133545,,,,a a a a a a a a 构成等比数列，第3项是23a a 或14a a .①若第3项是23a a ，则132345121335a a a a a a a a a a a a === ，即324213a a a a a a === ，所以2314a a a a =，与题意矛盾.②若第3项是14a a ，则134514121335a a a a a a a a a a a a === ，即344233a a a a a a === ，所以234,,a a a 成等比数列，设公比为q ，则A A ⊗中等比数列的前三项为：121314,,a a a a a a ，其公比为q ，第四项为312a a q ，第十项为912a a q .(ⅰ)若第四项为23a a ，则12332a a a a q =，得221a a q =，又94512a a a a q =，得751a a q =，此时A 中依次为234711111,,,,a a q a q a q a q 显然1534a a a a =，不合题意.(ⅱ)若第四项为15a a ，则31512a a a a q =，得352a a q =，又94512a a a a q =，得421a a q =，此时A 中依次为456711111,,,,a a q a q a q a q ，显然2534a a a a =，不合题意.因此，4n ≤.取{1,2,4,16}A =满足条件.所以A 中的元素个数最大值是4.【点睛】方法点睛：对于“新定义”的题目关键在于充分理解定义的本质，把新定义与高中已学内容建立联系，灵活运用类比、归纳、分类讨论等数学思想才能将问题解决.。
北京市第四中学2020届高三上学期期中测试数学试题含答案
参考答案A C A BB C B D D B 11．2-；12．13；13．1；14．5，10；15．]2,1()1,21[ ；16．2，()2311]332n k a n ππ+=-+（k ∈N ）．17．解：（Ⅰ）bx x x a x f ++-⋅=23cos 3cos (sin )(2bx x a +++⨯-⨯=2322cos 132sin 21(=b x a +-⋅)32sin(π………4分)(,,0x f R x a ∈> 的递减区间是)](1211,125[Zk k k ∈++ππππ…………6分（Ⅱ）32,3[32],0[2]2,0[πππππ-∈-∴∈∴∈x x x ]1,23[)32sin(-∈-∴πx ∴函数)(x f 的最小值是223-=+-b a ，最大值3=+b a 解得23,2-==b a …………………13分18．解：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，由已知得3162q =，解得2q =，则112n n n a a q -==；…………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得38a =，532a =，则38b =，532b =，设{}n b 的公差为d ，则有1128432b d b d +=⎧⎨+=⎩，解得11612b d =-⎧⎨=⎩，从而1612(1)1228n b n n =-+-=-，则{}n b 的前n 项和2(161228)6222n n n S n n -+-==-．…………………13分19．解：（Ⅰ）的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用，即未安装电阳能供电设备时该企业每年消耗的电费，由,得，则；…………………6分（Ⅱ）因为18000.5(5) 2.5 2.557.55F x x =++-≥=+，当且仅当，即时取等号，即当为55平方米时,取得最小值为57.5万元．…………………13分20．解：（Ⅰ）因为2cos cos c b B a A -=，所以(2)cos cos c b A a B -⋅=⋅，由正弦定理，得(2sin sin )cos sin cos C B A A B -⋅=⋅．整理得2sin cos sin cos sin cos C A B A A B ⋅-⋅=⋅．所以2sin cos sin()sin C A A B C ⋅=+=．在△ABC 中，sin 0C ≠．所以1cos 2A =，3A π∠=；…………………7分（Ⅱ）由余弦定理2221cos 22b c a A bc +-==，a =所以2220220b c bc bc +-=≥-，所以20bc ≤，当且仅当b c =时取“=”．所以三角形的面积1sin 2S bc A =≤．所以三角形面积的最大值为．…………………13分21．解：（Ⅰ）函数1()ln 1a f x x ax x-=-+-()a ∈R ，定义域：(0,)+∞，………………1分2222111(1)(1)()a ax x a x ax a f x a x x x x --++---+-'=--==………………2分（1）当0a =时，21()x f x x-'=，令()0f x '=，则1x =，则有，x(0,1)1(1,)+∞()f x '-0+()f x ]极小值Z 则此时()f x 的单增区间：(1,)+∞，单减区间：(0,1)，………………3分（2）当0a ≠时，21(1)()()a a x x a f x x ----'=，令()0f x '=，则1x =或1a x a -=，则有，①当0a <时，111(0,)a x a a-==-∉+∞，则有，x(0,1)1(1,)+∞()f x '-0+()f x ]极小值Z 则此时()f x 的单增区间：(1,)+∞，单减区间：(0,1)，………………5分②当102a <<时，1111a x a a -==->，则有，x(0,1)11(1,1)a -11a -1(1,)a -+∞()f x '-0+0-()f x ]极小值Z 极大值]则此时()f x 的单增区间：1(1,1)a -，单减区间：(0,1)，1(1,)a -+∞，……………7分③当12a =时，221(1)2()0x f x x --'=≤，当且仅当1x =时，等号成立，……………8分则此时()f x 的单减区间：(0,)+∞，综上所述：当0a ≤时，()f x 的单增区间：(1,)+∞，单减区间：(0,1)，当102a <<时，()f x 的单增区间：1(1,1)a -，单减区间：(0,1)，1(1,)a -+∞，当12a =时，()f x 的单减区间：(0,)+∞，……………9分（Ⅱ）当14a =时，由（Ⅰ）得x(0,1)1(1,2)()f x '-0+()f x ]极小值Z 则有min 1()(1)2f x f ==-，………………10分由题知：只需存在[]1,2x ∈，使21()242g x x bx =-+≤-即可，……………11分则有存在[]1,2x ∈，使922b x x ≥+，当[]1,2x ∈时，29922(10x x x'+=-<恒成立，∴917112[,]42x x +∈，则有1724b ≥，……………13分∴178b ≥．………………14分22．解：（Ⅰ）数对(1,2)是 的“友好数对”，按如下方式填表：第1行0369 (2)14710…第3行25811…数对(1,3)不是 的“友好数对”，理由如下：取n =0，则0，0+1=1，0+3=3不同行，不妨0在第一行，1在第二行，3在第三行.取n =1，则1，1+1=2，1+3=4不同行，所以2，4均不在第二行，且在不同行；取n =3，则3，3+1=4，3+3=4不同行，即4不在第三行，所以4在第一行，因为1,2,4不同行，所以2在第三行，即2与3同行.又取n =2，则2，2+1=3，2+3=5不同行，矛盾；（Ⅱ）存在满足条件的正整数 ，使得数对( , )是 的“友好数对”.取 =6，按如下方式填表：第1行01291011 (2)345121314…第3行678151617…（第1行填写被9除余0，1，2的数，第2行填写被9除3，4，5的数，第3行填写被9除6，7，8的数.）（Ⅲ） =2 .。
201北京四中4～2015学年度第一学期期中测试初三年级数学试卷
北京四中2014～2015学年度第一学期期中测试初三年级数学试卷(考试时间为120分钟，试卷满分为120分)期中试卷一、选择题(每小题4分，共32分．下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．)1．中国疾病预防控制中心食品安全专家推算出，一个7千克重的婴幼儿，如果每天吃150克奶粉，那么奶粉中的三聚氰胺含量不能超过0.00225克，将这个含量表示成科学记数法为()．A．克B．克C．克D．克2．已知∽，若对应边，则它们的面积比等于()．A．B．C．D．3．如图，CD是的直径，AB是弦，，则的度数为()．A．B．C．D．4．如果一个圆锥的侧面积为，母线长为5cm，那么这个圆锥的底面直径为( )．A．4cm B．5cm C．3cm D．6cm5．抛物线的顶点坐标是( )．A．(1，2) B．(-1，2)C．(1，-2)D．(-1，-2)6．已知抛物线上有三个点A(1，)、B(2，)、C(，)，则、、的大小关系为( )．A．B．C．D．7．函数与在同一坐标系的图象可能是()．8．已知⊙A的圆心为点A(-1，0)，且半径为1．现在⊙A沿x轴向右运动，当⊙A第一次与：有公共点时，点A移动的距离是()．A．B．2 C．D．二、填空题(每小题4分，本题共16分)9．已知正方形的半径为2cm，则它的边心距为___________cm．10．一个多边形有9条对角线，则这个多边形有___________条边．11．已知两圆相切，且圆心距是1cm．若其中一圆的半径是3cm，那么另一个圆的半径是________cm．12．如图所示，已知抛物线经过点(-1，2)，且与x轴交点的横坐标分别为、，其中，，则下列结论中：(1)，(2)，(3)，(4)；正确的有___________．三、解答题(每小题5分，本题共25分)13．计算：．14．用配方法解关于的方程：．15．已知：如图，中，，，，，求的长．16．已知：如图，的顶点坐标分别为(2，-2)、(3，1)、(1，2)．试以原点为位似中心，作出相似比为2的，并写出各对应点的坐标．17．已知：如图，在⊙O中，CD经过圆心O，且于点D，弦CF交AB于点E．求证：．四、解答题(第18题7分，第19题5分，本题共12分)18．已知二次函数．(1)用配方法将函数解析式化为的形式；(2)当为何值时，函数值；(3)列表描点，在所给坐标系中画出该函数的图象；(4)观察图象，指出使函数值时自变量的取值范围．19．如图，这是从正方形剪裁下一个最大圆形材料后剩下的一块废料，其中AO=BO，并且AO⊥OB，当AO＝1时，求在此图形中可裁剪出的最大的圆的面积．五、解答题(每小题6分，本题共12分)20．2008年奥运会结束后，某奥运场馆每天都吸引着大量的游客前来观光．事实表明，如果游客过多，不利于保护场馆设施，为了实施可持续发展，兼顾社会效益和经济效益，该场馆拟采用浮动门票价格的方法来控制参观人数．已知每张门票原价为40元，现设浮动门票为每张元，且，经市场调研发现，每天参观的人数与票价(元)之间存在着如图所示的一次函数关系．(1)根据图象，求与之间的函数关系式；(2)设该场馆一天的门票收入为元，试写出关于的函数关系式；(3)试问：当门票定为多少时，该场馆一天的门票收入最高？最高门票收入是多少元？21．已知关于的方程．(1)求证：无论取任何实数，方程总有实数根；(2)若等腰的一边长，另两边恰好是这个方程的两个根，求的周长．六、解答题(本题共5分)22．在四边形ABCD中，∠DAB=120°，对角线AC平分∠DAB．(1)如图1，当∠B=∠D=90°时，求证：AB+AD=AC；(2)如图2，当∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．七、解答题(本题满分6分)23．在中，，O为AB上一动点．以为圆心，为半径的圆交于点，过作于点，当O为的中点时，如图①，我们可以证得是的切线．(1)若点沿向点移动，如图②，那么与是否仍相切？请写出你的结论并证明；(2)若与相切于点，交于点(如图③)．设的半径长为3，，求的长．八、解答题(本题满分6分)24．如图，对称轴为直线的抛物线经过点(6，0)和(0，4)．(1)求抛物线的解析式；(2)设点()是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以为对角线的平行四边形．求的面积与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(3)当(2)中的的面积为24时，请判断是否为菱形？九、解答题(本题满分6分)25．抛物线交轴于两点，交轴于点，已知抛物线的对称轴为，．(1)求二次函数的解析式；(2)在抛物线对称轴上是否存在一点，使点到两点距离之差最大？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由；(3)平行于轴的一条直线交抛物线于两点，若以为直径的圆恰好与轴相切，求此圆的半径.数学试卷答案一、选择题1．C 2．D 3．A 4．D 5．D 6．D 7．B 8．C二、填空题9．10．6 11．4或2 12．(1)(3)三、解答题13．．14．当k≤1时，；当k﹥1时，x无实根．15．12．16．图略，A′(4，-4)，B′(6，2)，C′(2，4)．17．提示：利用垂径定理证出弧相等，在证∠CBA=∠F，从而证出△CBE和△CFB相似，再证明比例关系．四、解答题18．(1)(2)3或(3)略(4)0﹤x﹤2．19．由题意，过点A、B作AO、BO的垂线交于点C．则可证四边形CBOA是正方形且是大正方形的四分之一．所以点C是的圆心．连结CO，设点D是CO上一点，以点D为圆心作圆切AO、BO于E、F，切于N点．则⊙D是最大的圆．过D点作DM⊥CA于M,连结DE、DF，则可证四边形MDEA是矩形．设⊙D半径为x，则．解得，(不合题意，舍去)．答：最大圆的半径为．五、解答题20．(1)设函数解析式为，由图象知：直线经过，两点，则解得函数解析式为．(2)，即．(3)，当票价定为60元时，该景点门票收入最高，此时门票收入为180000元．21．(1)方法一：，所以无论k取任何实数，方程总有实数根．方法二：，，，，即无论k取任何实数，方程总有实数根．(2)分两种情况考虑：若，则，方程为，所以，．此时，，不能构成三角形，舍去．若，则，所以，方程为，．此时可以构成三角形．综上所述，的周长为．六、解答题22．(1)，AC平分，．又，，，．(2)作的延长线于M，作于N．又AC平分，，可证≌(AAS)．．七、解答题23．(1)与相切．证明：连结，，．又，，．，与相切．(2)解法一：连结，是的切线，．又，四边形为矩形．．设，则，．与相切，．即，解得．的长度为4．解法二：(上同解法一)设，则，，，即，解得．的长度为．解法三：(上同解法一)．在中，，．又与相切，，．，，即的长度为4．八、解答题24．(1)由抛物线的对称轴是，可设解析式为．把两点坐标代入上式，得解之，得．故抛物线解析式为，顶点为．(2)点在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合，，即，表示点到的距离．是的对角线，．因为抛物线与轴的两个交点是和，所以，自变量的取值范围是．(3)根据题意，当时，即．化简，得．解之，得．故所求的点有两个，分别为，．点满足，是菱形；点不满足，所以不是菱形．九、解答题25．(1)设抛物线的解析式为，∵点、在抛物线上，∴解得∴抛物线的解析式为．(2)，∴A(，0)，B(3，0)．∴．∴PA=PB，∴．如图1，在△PAC中，，当P在AC的延长线上时，．设直线AC的解析式为，∴解得∴直线AC的解析式为．当时，．∴当点P的坐标为(1，)时，的最大值为．(3)如图2，当以MN为直径的圆与轴相切时，．∵点N的横坐标为，∴．∴．解得，．。
北京四中2020-2021学年度第一学期初三数学上册期中试卷【含答案】
画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质： ______________________________________________． （4）若直线 y=k 与该函数只有两个公共点，根据图象判断 k 的取值范围为________．
图1
图2
由图 2，同理可得 AP=BP+PC. （2）①如下图 3、图 4； ②请判断 PA、PB、PC 的关系，并给出证明.
由图 3，由∠APB=∠ACB=45°，做等腰直角三角形△APE. 可得△CAK≌△CBP，可得 AP-BP= 2 PC.
图3
图4
由图 4，同理可得 AP +BP= 2 PC.
24. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y mx2 +2mx 3m 2 . （1） 求抛物线的对称轴； （2） 过点 P(0，2) 作与 x 轴平行的直线，交抛物线于点 M，N.求点 M，N 的坐标； （3） 横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如果抛物线和线段 MN 围成的封闭区域内(不包括
②将△POQ 绕原点 O 旋转一周，直线 = 晐 M 交 轴、y 轴于点 M、N，若线段 MN 上存在△POQ 关于边 PQ 的“Math 点”，求 M 的取值范围.
图1
图2
初三期中测试数学学科答案：
一、选择题
1、D 2、B 3、A 4、B 5、B 6、D 7、A
8、A
二、填空题
9、9
10、110 11、-6 12、2
2
y2，y3 的大小关系为（
）
A. y1＜y2＜y3
B. y1＜y3＜y2
C. y3＜y1＜y2