06力线平移,力系转化

转动。 简 化
18
平面一般力系的简化结果 合力矩定理
简化结果可有四种情况：（1）FRˊ= 0，MO≠ 0； （2）FRˊ≠ 0， MO= 0；（3）FRˊ≠ 0， MO≠ 0；（4） FRˊ=0，MO=0。对以上进一步分析有以下三种情形。
（1）简化为一个力偶
当 FR= 0，MO≠ 0 则原力系合成为合力偶，其矩为
i1
即：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等 于力系中各力对于同一点之矩的代数和。
22
§4－3 分布荷载
集中力或集中荷载：力或 荷载的作用面积很小或与整个 构件的尺寸相比很小，可以认 为集中作用在一点上。例如， 道路给轮子的力等。
几种分布荷载
（1）体分布荷载：荷载（力）分布在整个构件内部各点上。 例如，构件的自重等。
载荷的最大集度为q， 梁长l。试求合力作用线的位置。
A l
解：
q
在梁上距A端为x的微段dx
B x 上，作用力的大小为q'dx，其
中q'为该处的载荷集度 ，由相
似三角形关系可知
F
q A
dx x
h l
q
q x q
l
B x 因此分布载荷的合力大小
F l qdx 1ql
0
2
33
F
q
座的约束反力。
M1
M1
A
B 。A
4 m M 2 60
FA
M2
d
B
FB
(a )
( b)
6
【解】作 AB 梁的受力图，如图（ b ）所示。AB梁上作用
有二个力偶组成的平面力偶系，在 A 、B 处的约束
反力也必须组成一个同平面的力偶
（ M FA
，
M
）
FB
与之平衡。
由平衡方程 M 0
得 M1 M2 FB l cos600 0
§4-1 力线平移定理
F`
F`
O.
F
.
A
O.
F``
F`=F``= F
力线平移定理：作用在刚体上的力，可平行地移动到任
意一点，得到的力大小和方向不变，但必须同时增加一
个附加力偶矩，其大小等于：M=M0(F)
10
证明：如下图所示：


M (F) Fd M M (F)
B
B
F
F Bd
F
B
d
n
M O M O (Fi ) i 1
此时主矩与简化中心选择无关，主矩变为原力系合力偶，即
n
M M O M O (Fi )
i 1
19
⑵ 简化为一个合力 当 FRˊ≠ 0， MO = 0
则原力系合成为合力，其作用线恰好通过选定的简化中心O，即
FR = FRˊ 当 FRˊ≠ 0，MO≠ 0
2
§3-2 关于力偶的概念 力偶：大小相等、反向、平行但不共线的两个力，这
样的两个力组成的力系，称为力偶。 (F, F')
力偶的特点：在任何坐标轴上投影等于零 它对物体不产生移动效应，只产生转动效应。
力偶不能与一个力等效，也不能用一个力来代替。
力偶矩：力与力偶臂的乘积称为力偶矩
3
力偶的性质 ①力偶无合力，力偶只能与力偶相平衡
FRy
FR
MO MO F
x
用线的位置为：
A
x
x

M A

q l2 0
3 2l
C F ql 2 3
y
0
l
图3-14
q0 Bx
29
例题4-2 在长方形平板的O，A，B，C点上分别作用着有四
个力：F1=1 kN，F2=2 kN，F3=F4=3 kN（如图），试求 以上四个力构成的力系对O点的简化结果，以及该力系 的最后合成结果。
②力偶对任一点的矩完全取决于力偶矩 m =±Fd 与 矩心位置无关。
mo (F ) mo (F ) F x F (d x) Fd
+－
O. x
③只要保持力偶矩不变，可以同时改变力偶 中力和力臂的大小，而不改变对物体的作用
d
效果。
④力偶可在其作用平面内任意移转，而不
改变它对物体的外效应。
24
分布荷载的计算方法
（1）均布荷载：集度为常数的分布荷载。
如图4-13所示的均布荷载，其合力为：
F q l 10.9116 174.6kN,
作用线则通过梁的中点。 F
q=10.91kN/m
16 m
F A
F B
图3-10
25
（2）非均布荷载：荷载集度不是常数的荷载。
如图所示坝体所受的水压力为非均布荷载，其计 算方法见例4-1。
则原力系合成为合力，合力矢等于主矢，即 FR = FRˊ
但合力作用线不通过简化中心O，而到点O的距离d为
d MO FR
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至于作用线在点O 哪一侧，需根据主矢方向和主矩转向确定。 如下图所示
由此很容易证得平面任意力系的合力矩定理：平面任意力 系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点 的矩的代数和。即

(
q 0 l
x x)
A
x


q 0 l
l
0
xdx


q 0
2
l
M A


M A (F )

lim ( x0
q 0 l
x x)
x


q 0 l
lx2dx 0


q l2 0 3
l
图3-13
q0 Bx
28
y
由此可见，分布荷 载合力的大小等于荷载
xc
F
集度图的面积。合力作
y
F2
A 60°
B
F3
2m
F1
O
3m
F4 C 30° x
30
解： 求向O点简化结果
y
F2
A 60°
F1
O
3m
1.求主矢 FR 。建立如图坐标系Oxy。
FRx Fx
B
F3
F2 cos 60 F3 F4 cos 30
0.598 kN
F4
FRy Fy
C 30° x F1 F2 sin 60 F4 sin 30
A
A
F
B
d AM=Fd
F”
(a)
(b)
(c)
图4-1力线平移定理的证明
11
可见，一个力可以分解为一个与其等值平行的力和一 个位于平移平面内的力偶。反之，一个力偶和一个位于该 力偶作用面内的力，也可以用一个位于力偶作用面内的力 来等效替换
如打乒乓球，若球拍对球作用的力其作用线通过球心 （球的质心），则球将平动而不旋转；但若力的作用线与 球相切——“削球”，则球将产生平动和转动。
4
结论:
n
M m1 m2 mn mi
i1
平面力偶系合成结果还是一个力偶,其合力偶矩的
大小等于各力偶矩的代数和。
平面力偶力系的平衡条件： 所有各力偶矩的代数和等于零。
n
即
mi 0
i1
5
例5 长为 4 m 的简支梁的两端 A、B 处作用有二个力 偶矩，各为M1 16 N m M 2 4N m 。求 A 、B 支
固定端约束（插入端） 在工程中常见的
雨搭
车刀
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插入端约束受力的简化
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固定端（插入端）约束
说明：
① 认为Fi这群力在同一平面内;
② 将Fi向A点简化得一力和一力偶;
③ RA方向不定，可用正交分力YA, XA表示;
④ YA, XA, MA为固定端约束反力; ⑤ YA, XA限制物体平动,MA为限制
A
q
y
y
B C
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例4-1 求图示梁上分布荷载的合力。
【解】取坐标系如图
所示。在 x 处取一 微段，其集度为
q

q0
x l
微段上的荷载为：
y
xc
F
x
A
x l
图3-12
F

q x

q0
x l
x
q0 Bx
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以A为简化中心，有
y
xc
F

F'

F x

0
x
F
y


F y

lim x0
MO O
FRF R
MO MO F
2F2 cos 60 2F3 3F4 sin 30 0.5 kN m
由于主矢和主矩都不为零，所以最后合
成结果是一个合力FR。如右图所示。
FR FR
合力FR到O点的距离
d MO 0.51 m FR
B x
C
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例题4-3 水平梁AB受三角形分布的载荷作用，如图所示。
大小： FR
FR
2 x

FR
2 y

(
Fx )2 (
Fy )2
主矢FR
方向： arctan FR y arctan Fy
FR x
Fx
（移动效应）
简化中心 (与简化中心位置无关)
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主矩MO
（转动效应）
大小：M O mO (Fi )
方向：方向规定 + — 简化中心：与简化中心有关
FRy Fy P1 P2 F2 sin 670.1 kN