力系简化为合力
理论力学 第2章力系的简化习题解答
第二章 力系的简化 习题解答2-1在立方体的顶点A 、H 、B 、D 上分别作用四个力，大小均为F ，其中1F 沿AC ，2F 沿IG ，3F 沿BE ，4F 沿DH 。
试将此力系简化成最简形式。
解：各力均在与坐标平面平行的面内，且与所在平面的棱边成45°角。
将力系向A 点简化，主矢'R F 在坐标轴上的投影为045cos 45cos '21=-=F F F Rx ，FF F F F F Ry 245cos 45cos 45cos 45cos '4321=+-+=，F F F F Rz 245cos 45cos '43=+= 。
用解析式表示为： ()k j F +=F R 2'设立方体的边长为a ，主矩A M 在坐标轴上的投影为 045cos 45cos 32=⋅+⋅-=a F a F M Ax ， Fa a F a F M Ay 245cos 45cos 42-=⋅-⋅-= ，Fa a F a F M Az 245cos 45cos 42=⋅+⋅= 。
用解析式表示为：()k j M +-=Fa A 2。
因为，0'=⋅A R M F ，所以，主矢和主矩可以进一步简化为一个力，即力系的合力。
合力的大小和方向与主矢相同，'R R F F =；合力作用点的矢径为()i MF r a F R R =⨯=2''，所以，合力大小为2F ，方向沿对角线DH 。
2-2三力321,F F ,F 分别在三个坐标平面内，并分别与三坐标轴平行，但指向可正可负。
距离c b a ,,为已知。
问：这三个力的大小满足什么关系时力系能简化为合力？又满足什么关系时能简化为力螺旋？解：这力系的主矢为k j i 321'F F F F R ++=； 对O 点的主矩为k j i a F c F b F M O 213++=。
当主矢与主矩垂直时，力系能简化为合力。
平面汇交力系的简化
图2-5
平面汇交力系的简化
设合力在两个坐标轴上的投影分别为Rx、Ry，根据合 力投影定理，它们与各分力在两个坐标轴上的投影满足下 面的等式
(2-3) 由合力的投影可以求出合力的大小和方向
（2-4） （2-5） 式中，α是合力R与坐标轴x所夹的锐角，∑Fix，∑Fiy分 别是原力系中各力在x轴和y轴上投影的代数和。
平面汇交力系的简化
1.2 解析法
根据上面的分析可知，几何法尽管避免了计算 的麻烦，但准确性较差，而且对分力较多或空间力 系来讲，其难度较大。因此，在解决实际问题时， 通常采用解析法。
解析法就是利用合力投影定理，由分力的投影 求出合力的投影，再求合力的大小和方向的方法。
平面汇交力系的简化
如图2-5所示，设一平 面汇交力系由F1、F2、…、F n组成，在力系的作用平面 内建立平面直角坐标系xOy， 依次求出各力在两坐标轴上 的投影：F1x、F2x、…、Fnx 与F1y、F2y、…、Fny。
图2-4
平面汇交力系的简化
由图2-4（b）可知，为求力系的合力R，中间求了R1、 R2、…，不难看出，如果不求R1、R2、…，直接将力系中 的各力首尾相连成一个多边形，也可以求出力系的合力， 该多边形的封闭边就是要求的力系的合力，如图2-4（c） 所示。这种求合力的方法叫力的多边形法则，画出的多边 形叫力的多边形。值得注意的是，利用这种方法求合力时， 对各分力的先后次序没有要求，只不过分力的次序不同时， 得到的力的多边形形状不同，但只要方法正确，求出的合 力的大小和方向是一样的。
工程力学
平面汇交力系的简化
力系的简化也叫力系的合成，是在 等效作用的前提下，用最简单的结果来 代替原力系的作用。若力系中各力作用 线汇交于同一点，且各力作用线在同一 平面内，则称为平面汇交力系。研究平 面汇交力系的基础是力的三角形法则。
平面力系简化的四种结果
平面力系简化的四种结果
1. 平面力系简化为一个力
当一个平面力系的合力和力矩等于零时，可以简化为一个力。
这个力的大小和方向由合力的大小和方向决定，作用点则由力矩为零的条件决定。
简化为一个力后，可以用这个力来计算物体的平衡条件，减少计算的复杂性。
2. 平面力系简化为两个力
当平面力系中的合力不为零，但力矩等于零时，可以简化为两个力。
这两个力的大小和方向由合力的大小和方向决定，作用点则由力矩为零的条件决定。
简化为两个力后，可以将平面力系分解为两个简单的力，便于计算物体的平衡条件。
3. 平面力系简化为一个力和一个力矩
当平面力系中的合力和力矩均不为零时，可以简化为一个力和一个力矩。
这个力的大小和方向由合力的大小和方向决定，作用点则由力矩不为零的条件决定。
简化为一个力和一个力矩后，可以通过力的作用点和力矩的大小和方向来计算物体的平衡条件。
4. 平面力系无法简化
当平面力系中的合力和力矩均不为零，且无法简化为一个力和一个力矩时，需要保持平面力系的复杂性进行计算。
在这种情况下，需要考虑力的合成、力矩的叠加等复杂计算方法，以求得物体的平衡
条件。
总结起来，平面力系简化的四种结果为：简化为一个力、简化为两个力、简化为一个力和一个力矩，以及无法简化。
这些简化结果的应用可以大大简化平面力系的计算过程，提高计算的效率和准确性。
在实际应用中，根据平面力系的特点和计算需求，选择合适的简化方法可以更好地解决力学问题。
材料力学 第2章 力系简化
而合力的作用点即平行力系的中心：
n
xC
lim
n
Fi xi
i 1 n
l
q( x) xdx
0 l
lim
n
i 1
Fi
0 q(x)dx
分布力对点A之矩
分布力包围的面积
结论：分布力的合力的大小等于分布力载荷图的面积，合
力的作用线通过载荷图的形心。
2.2 物体的重心、质心和形心
例2-5 如图所示，已知q、l, 求分布力对A点之矩。
2.2 物体的重心、质心和形心
xC
ΣFi xi ΣFi
，yC
ΣFi yi ΣFi
，zC
ΣFi zi ΣFi
3、平行力系中心的性质
平行力系的中心位置只与各平行力的大小和作用点的 位置有关，与平行力的方向无关。
2.2 物体的重心、质心和形心
二、物体的重心、质心和形心
1、重心
n个小体积ΔVi
坐标xi、yi、zi
（2）实验测定方法 悬挂法
称重法
l
A
C
B
xC G
FNB
二力平衡 两次悬挂
2.2 物体的重心、质心和形心
三、分布力
工程上存在大量分布力的情况，通常需要确定这些分布力
的合力的大小及其合力作用线的位置。对于图示的线分布力，
可以视为由无穷个集中力所构成的平行力系，
其合力的大小：FR
l
q ( x)dx
0
FP1 450kN，FP2 200kN
F1 300kN ，F2 70kN
求：
（1）力系向点 O 简化的结果；
（2）力系简化的最终结果。
2.1 力系简化
解：（1）确定简化中心为O点
理论力学平面力系的简化和平衡
原力偶系的合力偶矩
n
M Mi i 1
只受平面力偶系作用的刚体平衡充要条件：
n
M Mi 0 i 1
对BC物块对B点取矩，以逆时针为正列方程应为：
M 2 M B (FC ) M FCY a FCx b M FC (b a) cos45 0
[例] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径 的孔,每个钻头的力偶矩为 m1m2 m3 m4 15Nm 求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力?
两轴不平行即 条件：x 轴不 AB
可，矩心任意
连线
mA (Fi ) 0 mB (Fi ) 0 mC (Fi ) 0
③三矩式 条件：A,B,C不在
同一直线上
上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。
4. 平面一般力系的简化结果分析
简化结果： 主矢R ，主矩 MO ，下面分别讨论。 ① R =0， MO =0，则力系平衡,下节专门讨论。 ② R =0,MO≠0 即简化结果为一合力偶, MO=M 此时刚
解除约束，可把支反
力直接画在整体结构
的原图上）
解除约束
由
mA (Fi
)
0
P2a N B
3a0,
N B
2P 3
X 0 XA 0
Y 0 YB NB P0,
YA
P 3
2.5物体系统的平衡、静定与超静定问题
1、物体系统的平衡问题 物体系统（物系）：由若干个物体通过约束所组成的系统叫∼。 [例]
外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。 内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。
N2个物体受平面汇交力系（或平面平行力系）
X 0 Y 0
2*n2个独立平衡方程
N3个物体受平 X 0 面任意力系 Y 0
工程力学 第2章 力系的等效与简化
第2章 力系的等效与简化 作用在实际物体上的力系各式各样，但是，都可用归纳为两大类：一类是力系中的所有力的作用线都位于同一平面内，这类力系称为平面力系；另一类是力系中的所有力的作用线位于不同的平面内，称为空间力系。
这两类力系对物体所产生的运动效应是不同的。
同一类力系，虽然其中所包含的力不会相同，却可能对同一物体产生相同的作用效应。
在就是前一章中提到的力系等效的概念。
本章将在物理学的基础上，对力系的基本特征量加以扩展，引入力系主矢与主矩的概念；以此为基础，导出力系等效定理；进而应用力向一点平移定理以及力偶的概念对力系进行简化。
力系简化理论与方法将作为分析所有静力学和动力学问题的基础。
§2-1 力系等效定理 ２－１－１ 力系的主矢和主矩 ２－１－２ 力系等效定理 §2-2 力偶与力偶系 ２－２－１ 力偶与力偶系 ２－２－２ 力偶的性质 ２－２－３ 力偶系的合成 §2-3 力系的简化 ２－３－１ 力向一点平移定理 ２－３－２ 空间一般力系的简化 ２－３－３ 力系简化在固定端约束力分析中的应用 §2-4 结论和讨论 ２－４－１ 关于力矢、主矢、力矩矢、力偶矩矢以及 主矩矢的矢量性质 ２－４－２ 关于合力之矩定理及其应用 ２－４－３ 关于力系简化的最后结果 ２－４－４ 关于实际约束的简化模型 ２－４－５ 关于力偶性质推论的应用限制 习 题 本章正文 返回总目录第2章 力系的等效与简化 §２－１ 力系等效定理 物理学中，关于质点系运动特征量已有明确论述，这就是：质点系的线动量和对某一点的角动量。
物理学中还指明线动量对时间的变化率等于作用在质点系上的合外力；角动量对时间的变化率等于作用在质点系上外力对同一点的合力矩。
这里的合外力，实际上只有大小和方向，并未涉及作用点或作用线。
因而，需要将其中的合外力与外力的合力矩扩展为力系的主矢和主矩。
２－１－１ 力系的主矢和主矩 主矢：一般力系（F 1，F 2，…，F n ）中所有力的矢量和（图2—1），称为力系的主矢量，简称为主矢（principal vector ），即∑=ni i1R FF ＝(2－1)图2－1力系的主矢其中F R 为力系主矢；F i 为力系中的各个力。
第二章力系的简化
一、力的平移定理
M= MB(FA)=FA·a
FA
A B
FA
A
FB
a
B
FB´
M
A
FB
B
作用在刚体上的力，可以等效平移到刚体上任一指 定点，但必须在该力和指定点所确定的平面内附加一 力偶，附加力偶的力偶矩等于原力对指定点的矩。
注意：只有在研究力的运动效应时，力才能平行移动。
研究变形效应时一般是不能移动的。
FR MO O
FR FR
d
O
A
FR
d
O
A
主矢与主矩垂直，FR
FR M
可简化为一个合力
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
(a) FR ⊥MO
表明FR与MO在同一平面，即共面
共面的力与力偶合成一个力。 FR
合力为F‘R,等于原力的合力FR
O
MO
作用线过新的简化中心
练习1：确定图示力系的合力大小及作用线位置。
z
4kN
6kN
2m
12kN 3m
y
Ox
x y FR Fy 0
Miy 0
Mix 0
解：
该力系为空间平行力 系，各力指向一致，可知 该力系简化为一个铅垂向 下的力。
FR 22kN
x 12 3 1.636m 22
y 6 2 0.545m 22
空间汇交力系
平面汇交力系
二、力偶系
平面力系
空间力系
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
第二章 力系的简化
4.2 平面任意力系的平衡 平面汇交力系平衡方程：
4.2.2 平面特殊力系平衡方程
平面汇交力系中，对汇交点建立力矩方程恒为零，所以， 平面汇交力系 平衡的充要条件
解析条件是：
Fx 0 F y 0
几何条件：
FR= 0 或 F =0
力系中所有各力在两个 坐标轴中每一轴上的投 影的代数和等于零。
力F3在各坐标轴上的投影： F3 y F3 cos30 cos 45 75 6 N
2.2 汇交力系的平衡
2.2.1 几何法
汇交力系平衡的几何条件：
汇交力系平衡的充分必要条件是：力系中各力矢构
成的力多边形自行封闭，或各力矢的矢量和等于零
FR Fi 0
i1 n
即
2.2 汇交力系的平衡
2.1.2 解析法
汇交力系的合力在某轴上的投
FR Fi
i1 n
影等于力系中各个分力在同一轴上投影的代数和。
由汇交力系合成的几何法知：
任取直角坐标系，则合力和分力的解析式为
FR FRxi FRy j FRz k
代入上式，得
Fi Fixi Fiy j Fizk
FRxi FRy j FRz k ( Fix )i ( Fiy ) j ( Fiz )k
4.2.1 平面任意力系平衡方程
M A F 0, M B F 0, Fx 0
条件： 连线AB不垂 直投影轴 x
4.2 平面任意力系的平衡 三矩式的平衡方程
4.2.1 平面任意力系平衡方程
M A F 0, M B F 0, M C F 0
P
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23
§4.3 平面任意力系的平衡条件
平面任意力系平衡方程的基其它形式
1. 二矩式
M
A
(
F
)
0
MB(F) 0
Fx 0
注意：A、B两点连线不垂直于x 轴。
2. 三矩式
M
A
(
F
)
0
MB
(F
)
0
MC(F) 0
注意：A、B、C 三点不在一条线上。目录
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5
§4.2 平面任意力系向一点简化
平面任意力系向一点简化
F1 F1 M1 MO (F1) F2 F2 M2 MO (F2 )
Fn Fn Mn MO (Fn )
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6
§4.2 平面任意力系向一点简化
FR Fi Fi
MO Mi MO (Fi )
24
§4.3 平面任意力系的平衡条件
平面平行力系平衡条件
各力的作用线在同一平面内且互相平行的力系。
图示一受平面平行力系作用的物体，如选x轴与
各力作用线垂直，显然有：
Fx 0
平面平行力系的平衡条件为：
Fy
0
MO(F) 0
25
§4.3 平面任意力系的平衡条件
即平面平行力系平衡的充要条件是：力系中各力的 代数和以及各力对任一点之矩的代数和都为零。
主矢大小 FR ( Fix )2 ( Fiy )2
方向 主矩
cos(F
'R
,i
)
ห้องสมุดไป่ตู้
Fix FR
cos(F
'R
,
j)
Fiy FR
MO MO (Fi )
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8
§4.2 平面任意力系向一点简化
平面任意力系向作用面内任一点简化，一般 可得一力和一力偶。这个力的作用线通过简 化中心，其力矢称为力系的主矢，它等于力 系诸力的矢量和；这个力偶作用于原平面， 其力偶矩称为力系对简化中心的主矩，它等 于力系诸力对简化中心之矩的代数和。
于原来的力F对新作用点B的矩. M B M B (F ) Fd
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3
§4.1 力的平移
如打乒乓球，若球拍对球作用的力其作用线 通过球心（球的质心），则球将移动而不旋转；但 若力的作用线与球相切——“削球”，则球将产生 移动和转动。
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4
§4.1 力的平移
? 思考题:
用力线平移定理将图(a)、(b)中各主动力分别平移到轮 心，由此说明两个图中的力对轮子的外效应有何不同？
主要内容
§4.1 力的平移 §4.2 平面任意力系向一点简化 §4.3 平面任意力系的平衡条件 §4.4 刚体系的平衡 §4.5 静定与静不定问题的概念
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1
§4.1 力的平移
平面任意力系实例
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2
§4.1 力的平移
力的平移定理
可以把作用在刚体上点A的力F平 行移到任一点B，但必须同时附加
一个力偶，这个附加力偶的矩等
主矢与简化中心无关，而主矩一般与简化中 心有关.
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9
§4.2 平面任意力系向一点简化
平面固定端约束
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10
§4.2 平面任意力系向一点简化
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11
§4.2 平面任意力系向一点简化
=
=
≠
=
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12
§4.2 平面任意力系向一点简化
平面任意力系简化的最后结果
1.
若
FR
0, MO
0
答：不能，因力偶不能与另一个力等效。
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19
§4.2 平面任意力系向一点简化
例4-1 重力坝受水的压力如图所示。设水深为 h，水的密度为ρ，试求水压力简化的结果。
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20
§4.2 平面任意力系向一点简化
例 求图中分布力系的合力。
解： FR1=2q1=1 kN; FR2=3q2/2=6 kN;
合力的大小： FR=FR2-FR1=5 kN
FR 0 MO 0
因为
FR ( Fx )2 ( Fy )2
M O M O (Fi )
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22
§4.3 平面任意力系的平衡条件
平面任意力系的平衡方程
Fx Fy
0 0
MO (F ) 0
一般式
平面任意力系平衡的解析条件是：所有各力在两 个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以 及各力对于任意一点的矩的代数和也等于零.
方向同FR2 ，如图。
FR1
q1=0.F5 KR N/m
A
x
q2=4 KN/m
2m
3m
FR2
合力作用位置(合力矩定理):
FRx=3×FR2-1×FR1 ; x=(18-1)/5=3.4m
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21
§4.3 平面任意力系的平衡条件
平面任意力系平衡方程的基本形式
平面任意力系平衡的充要条件是： 力系的主矢和对任意点的主矩都等于零
力系简化为合力偶
若为 O1 点，如何? 此时主矩与简化中心的位置无关。
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§4.2 平面任意力系向一点简化
2. 力系简化为合力：
（1） FR 0 M O 0
合力作用线过简化中心
FR就是原力系的合力，合力的作用线通过简化中
心。
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14
§4.2 平面任意力系向一点简化
（2）
FR 0 M O 0
合力，作用线距简化中心
MO FR
d MO FR
M O FRd
FR FR F
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§4.2 平面任意力系向一点简化
3. 力系平衡：
FR 0 MO 0
平衡 与简化中心的位置无关
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16
§4.2 平面任意力系向一点简化
? 思考题:
一平面力系向A、B两点简化的结果相同，且
主矢 FR Fi 主矩 MO MO (Fi )
向一点简化 平面一般力系
合成 平面汇交力系
合成 平面力偶系
FR （合力）
MO（合力偶）
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7
§4.2 平面任意力系向一点简化
FRx ' Fix ' Fix Fx
FRy ' Fiy ' Fiy Fy
平面平行力系平衡方程的二矩式
M
A
(F
)
0
MB(F) 0
注意：A、B 两点的连线不
能与各力的作用线平行。
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§4.3 平面任意力系的平衡条件
例题 4-2
图示一悬臂式起重
主矢和主矩都不为零，问是否可能？
答：合力与两点连线平行时可能。
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17
§4.2 平面任意力系向一点简化
? 思考题:
在什么情况下，一平面力系向任一点A简化所 得的主矩为零？
答：合力过A点或合力为零。
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18
§4.2 平面任意力系向一点简化
? 思考题:
有一平面一般力系向某一点简化得到一合力， 问能否另选适当的简化中心而使该力系简化为一力 偶？为什么？