3-1平面任意力系向作用面内一点简化教案
河南省中等职业学校
省级优质课参赛教案
学校名称：南阳建筑工程学校
课程名称：建筑力学（少学时）
授课题目：平面任意力系的简化
授课班级：11级4班
授课时间：2012年3月
授课教师：徐宠尧
2012年5月
南阳建筑工程学校《建筑力学（少学时）》课程授课教案
任课教师：徐宠尧 授课班级：11级4班 授课时数：1学时
教学课题：第三章 平面力系 第一节 平面任意力系的简化 教学目的、要求： 掌握平面任意力系向一点简化的方法 会应用解析法求主矢和主矩 熟知平面任意力系简化的结果 教学重、难点：
重点：1、平面任意力系向作用面内任一点的简化 2、力系的简化结果 难点：主矢和主矩的概念
教学过程及内容： 复旧导新：通过课堂提问及举例,对力的平移定理,加减力系平衡原理等静力学公理加以回顾,从而引入本节讲授内容的理论基础。
讲授新课：§3-1 平面任意力系向作用面内一点简化及其结果分析
一、概述：
各力的作用线分布在同一平面内的任意力系称为平面任意力系，简称平面力系。平面力系的研究不仅在理论上而且在工程实际应用上都具有重要意义。首先，
平面力系是工程中常见的一种力系。另外许多工程结构和构件受力作用时，虽然力的作用线不都在同一平面内，但其作用力系往往具有一对称平面，可将其简化为作用在对称平面内的力系。下面介绍的方法是力系向一点简化的方法。这种方法不但简便，易于分析简化结果，而且可以扩展到空间力系中去，力的平移定理是力系向一点简化的理论基础。 1、力的平移定理
' F ⇔
⇔
'
（3） (2) (1)
定理：可以把作用在刚体上点O ′的力平移到任一点O ，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的力偶矩等于原力对新作用点O 的力矩.
证明：设一个力F ' 作用于刚体上的O ′点，如图（1）所示在刚体上任取一点O ，此点到力F '
作用线的距离为d ，在O 点加上大小相等、方向相反而且与力F ' 平行的两力F F ''
,，并使F F F ''-='= ，根据加减平衡力系公理，显然力系),,()(F F F F '''≡
。但在力系
),,(F F F '''
中力F ' 与F '' 构成了力偶，于是原作用在O ′点的力F ' ，被一个作用在O 点的力F 和一个力偶),(F F '''
所代替。而且F 的大小和方向与原力F ' 相同，因此可以把作用于
O ′的力平移到O 点，但必须同时附加一个力偶。因此力F ' 对O 点的力矩d F F M o '='
)(。
所以附加力偶的力偶矩d F F M M o '='=
)(，又注意到O 点的任意性，于是定理得证。
2.平面力系向平面内一点简化
2
n
n
设在刚体上作用一平面力系),,(21n F F F
，各力的作用点如图所示。O 称简化中心()
i O i F M M
=
主矢∑=i F F
()()2
2
∑∑+=
iy
ix
F F F F
F ix
∑=αcos F
F iy
∑=
βcos
主矩()
i O O F M M
∑=
结论：平面力系向作用面内任一点简化，一般可得到一个力和一个力偶，该力通过简化中心，其大小和方向等于力系的主矢，主矢的大小和方向与简化中心无关；该力偶的力偶矩等于力系对简化中心的主矩，主矩的大小和转向与简化中心相关。 3．固定端约束（插入端约束）
概念；物体的一部分固嵌于另一物体中所构成的约束。 实例：阳台板,电线杆。
(b)
(c)
(d)
A
M
当主动力为一平面力系时，物体在固嵌部分所受的力系也是一个平面力系，一般比较复杂，
但可向点简化为一力和一力偶，力的大小和方向都是未知的，用如图d 所示表示。 4．平面力系简化的最后结果 1）简化结果
（1）0,0==O M F
平面力系平衡
（2）0,0≠=O M F
平面力系简化为一合力偶，力偶矩的大小和转向由主矩决定，与简化
中心无关。
（3）0,0=≠O M F
平面力系简化为一合力，此合力过简化中心，大小和方向由主矢确定。 （4）0,0≠≠O M F 平面力系简化为一合力，合力F ' 的作用线在点O 的哪一侧，应使得F '
对O 之矩与主矩O M 的转向相同。图中F
M d O =
' F
⇔
⇔
'
2）合力矩定理
()()
i O O O F M M Fd d F F M
∑=
=='='
即平面力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点矩的代数和，称为平面力系的合力矩定理。 3）合力作用线方程
y
M '
由平面内力对点之矩的解析表达式可知()
O x y O M y F x F F M =-='
其中是()y x ,合力作用
线上任一点。
二、例题:
例1． 已知：矩形板的四个顶点上分别作用四个力及一个力偶如图()a 所示。其中
KN F 21=,KN F 32=,KN F 43=,KN F 24=力偶矩m KM M ⋅=10，
转向如图所示，图中长度单位为m 。试分别求:1)力系向点B 简化结果2)力系向点C 简化结果3)力系简化
的最后结果
45
F y
F
解：1 计算力系的主矢F
：KN F F F F ix x 245cos 24-=-︒==∑
KN F F F F F iy y 145sin 431-=︒+-==∑
所以 KN F F F y x 52
2=+=
55252cos -=-==
F F x α 55
5
1cos -
=-==F F y β F 的解析式 j i F
12--=
2 向B 点简化的主矩
m KN F M F F M B ⋅=⨯-+⨯︒+⨯︒-=32245sin 145cos 344
即平面力系向点B 简化得到一力和一力偶，该力过点B ，其大小和方向与力系的主矢F
相
同。该力偶的力偶矩等于主矩B M ，如图()b 3、向C 点简化的主矩
利用两点之矩的关系计算 ()
F M M M C B C
+=KN F y 523=⋅+=
平面力系向点C 简化仍得到一力和一力偶，该力过点C ，其大小和方向仍与力系的主矢相同，该力偶的力偶矩等于主矩c M ，如图()c 4力系简化的最后结果
因为主矢0≠F ，所以力系简化的最后结果为一合力F '，其大小和方向与主矢F
相同，作
用线方程为：32=+-y x 合力F
'为轴x 的交点坐标为（-3，0）。
例 2（备选）. 求如图()a ，()b 所示的作用在AB 梁上的分布载荷的合力的大小和作
用线位置。
1）梁上作用一均布载荷，载荷集度为()m N
q
2）梁上作用一线形分布载荷，左端的载荷集度为零，右端的载荷集度为()m N
q 0
解：1）“均布载荷”的合力可当作均质杆的重力处理，所以合力的大小为ql F =，作用在AB 梁的中心，如图()a
3）当载荷不均匀分布时，可以通过积分来 计算合力的大小和作用线位置。在梁上离A 端
x 处取微元dx ，由于载荷线性分布，在x 处的集度l x q q 01=，于是在dx 上作用力的
大小为：l
dx x q dx q dF 01==
∴合力的大小为2
0000
l q dx l x q dF F l
l
===⎰
⎰ 利用合力矩定理计算合力作用线的位置。设合力F
的作用线离A 端的距离为c x ，有
⎰
-=-L
c xdF Fx 0
3
2
1
020==
⎰dx l x q F
x l
c
三、总结答疑：
关于主矢和主矩，需弄清楚以下几点：
1、主矢不是力，主矩不是力偶。主矢和主矩是描述平面任意力系对物体作用效果的量。
2、主矢是自由矢量，只有大小和方向，描述平面任意力系使物体平动的作用效果；
3、平面任意力系的主矩是代数量，只有大小和正负，描述平面任意力系使物体绕某点转动的作用效果。
4、主矢与简化中心的选择无关。从这个意义上讲，主矢是力系的一个不变量。而主矩与简化中心的选择有关。
四、复习思考题、作业题：
1、 思考题3-1 某平面力系向A 、B 两点简化的主矩皆为零，此力系简化的最终结果可能是
一个力吗？可能是一个力偶吗？可能平衡吗？ 2、 课本习题3-1，3-2，3-3。
五、下次课预习要点：平面任意力系的平衡条件和平衡方程
附：本节PPT 课件
理论力学教案
《理论力学教案》——（一） 课程名称理论 力学 课程 类型 技术基础课 班 级 11机 教学日期 章节名称本课程简介 绪论 授课 形式 讲授课时 1 教学目的通过对工程力学在工程中的应用，引起学生对力学课程的兴趣，使学生了解工程力学的研究目的，方法，过程，训练作为工程师的技术素质。从力学的基本概念入手为力系的简化与平衡打好基础。 介绍静力学篇的基本内容。从静力学的基本概念、基本公理入手为力系的简化与平衡打好基础 教学重点1、介绍本课程的基本要求、内容。 2、熟悉工程力学的研究对象、内容，方法等 教学难点1、引起学生对力学课程的兴趣，使学生了解理论力学的研究目的，方法，过程，训练作为工程师的技术素质。 教学手段多媒体和板书结合课外作业教材《理论力学》哈工大 课后体会 教学过程及设计思想教学内容教 学 方 法 教 学 时 间 首先相互认识、介绍该课程的学习要求等考试方式：闭卷考试，在试卷中基础知识点占55%，要求掌握的理论 计算占40%，还有5%的提高。最终考核成绩，还包括5%的小论文、计 算机作业，10%的平时作业，15%的期中考试。 答疑时间：周三下午 点 名 讲 述 5 基本要求介绍本课程的基本要求。总共15章的内容，分为三块---静力学、运动学、动力学。本课程的内容包括以下三个部分:静力学——主要研 究受力物体平衡时作用力所应满足的条件;同时也研究物体受力的分 析方法，以及力系简化的方法等。运动学——只从几何的角度来研究 物体的运动(如轨迹、速度和加速度等)，而不研究引起物体运动的物 理原因。动力学——研究受力物体的运动与作用力之间的关系。 介绍国家课指委关于理论力学教学基本要求 （A类：航空、航天、机械、土建类）1 0 通过工程力学在实际工程中的应用，引起学生对工程力学的兴趣学习理论力学的目的：1.工程专业一般都耍接触机械运动的问题。2. 理论力学是研究力学中最普遍、最基本的规律。所以理论力学是学习 一系列后续课程的重要基础。随着现代科学技术的发展，力学的研究 内容己渗人到其它科学领域这些新兴学科的建立郡必须以坚实的理 论力学知识为基础。 理论力学的研究方法，与其它学科的研究方法有不少相同之处，因此充分理解 理论力学的研究方法，不仅可以深人地掌握这门学科，而且有助于学习其它科 学技术理论，有助于培养辩证唯物主义世界观，培养正确的分析问题和解决问 举 例 3
3-1平面任意力系向作用面内一点简化教案
河南省中等职业学校 省级优质课参赛教案 学校名称：南阳建筑工程学校 课程名称：建筑力学（少学时） 授课题目：平面任意力系的简化 授课班级：11级4班 授课时间：2012年3月 授课教师：徐宠尧 2012年5月
南阳建筑工程学校《建筑力学（少学时）》课程授课教案 任课教师：徐宠尧 授课班级：11级4班 授课时数：1学时 教学课题：第三章 平面力系 第一节 平面任意力系的简化 教学目的、要求： 掌握平面任意力系向一点简化的方法 会应用解析法求主矢和主矩 熟知平面任意力系简化的结果 教学重、难点： 重点：1、平面任意力系向作用面内任一点的简化 2、力系的简化结果 难点：主矢和主矩的概念 教学过程及内容： 复旧导新：通过课堂提问及举例,对力的平移定理,加减力系平衡原理等静力学公理加以回顾,从而引入本节讲授内容的理论基础。 讲授新课：§3-1 平面任意力系向作用面内一点简化及其结果分析 一、概述： 各力的作用线分布在同一平面内的任意力系称为平面任意力系，简称平面力系。平面力系的研究不仅在理论上而且在工程实际应用上都具有重要意义。首先， 平面力系是工程中常见的一种力系。另外许多工程结构和构件受力作用时，虽然力的作用线不都在同一平面内，但其作用力系往往具有一对称平面，可将其简化为作用在对称平面内的力系。下面介绍的方法是力系向一点简化的方法。这种方法不但简便，易于分析简化结果，而且可以扩展到空间力系中去，力的平移定理是力系向一点简化的理论基础。 1、力的平移定理 ' F ⇔ ⇔ ' （3） (2) (1) 定理：可以把作用在刚体上点O ′的力平移到任一点O ，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的力偶矩等于原力对新作用点O 的力矩.
平面任意力系知识小结
平面任意力系知识小结 01 力的平移定理 定理表明，在不改变力的大小和方向的前提下，力的作用线可平行移动到刚体内任一指定点，但必须附加一个力偶、该力偶的力偶矩等于原力对指定点的矩。 02 平面一般力系的简化 平面一般力系向任一点简化得到一个主矢和一个主矩。力系的主矢是原力系中各力的矢量和，力系对简化中心的主矩是原力系中各力对简化中心的矩的代数和。主矢与简化中心的位置无关，主矩—般与简化中心的位置有关。 根据力系的主矢和主矩可能出现的四种情况，得到平面一般力系简化的最后结果(即力系的合成结果)：或者是一个合力偶，或者是一个合力，或者力系平衡。 03
平面一般力系的平衡条件和平衡方程 平面一般力系平衡的必要和充分条件是力系的主矢和主矩都等于零。由这个条件得出的平衡方程有三种形式：一矩式、二矩式和三矩式。虽然形式不同，独立的平衡方程都只有三个，所以只能求解三个未知量。 04 平衡方程的应用 求解在平面一般力系作用下的单个物体的平衡问题，其基本方法和步骤，与平面汇交力系的平衡问题是一样的，这里只是多了一个力矩方程。在应用力矩方程时，应注意两点： •第一，矩心应尽可能选在两个未知力作用线的交点上，使方程中不出现这两个未知力，而只含有待求的另外的一个未知量，达到一个方程求解一个未知量的目的；但也应注意不要因此而使力矩的计算过于繁杂，所以在选择矩心时要全面考虑。 •第二，计算力矩要善于应用合力矩定理，尤其当力臂不容易求得时更应如此 分析物体系统的平衡问题的方法与分析单个物体的平衡问题的方法基本上一样，但也有差别。 •第一，物体系统的平衡问题，通常要将该物体系统在内部的约束处“拆开”，才能全部解决问题，所以应根据问题的条件和要求选择恰当的研究对象（或取物体系统、或取一部分物体、或取单个物体），
3-思考题
平面任意力系思考题答案 3.1平面任意力系向作用面内任一点（简化中心）简化，可得到一个力和一个力偶。这个力的力矢等于原力系各力的-------和，称为原力系的主矢。这个力偶的力偶矩等于原力系各力对简化中心的--------和，称为原力系对简化中心的主矩。 答：矢量，矩的代数和。 3.2平面任意力系的主矢与该力系的合力有何关系？主矢与简化中心的选择有何关系？主矩和简化中心的选择有何关系？ 答：平面任意力系的主矢和该力系的合力大小相等。主矢与简化中心的选择无关，主矩在大部分情况下，通常和简化中心的选择有关。 3.3平面汇交力系、平面力偶系向作用面内任意一点的简化结果分别是什么？ 答：平面汇交力系向作用面内任意一点简化的结果可能是一个合力，可能是一个力加一个力偶，可能平衡。平面力偶系向作用面内任意一点简化的结果可能是一个力偶，或者可能平衡。 3.4如何判定物体系统平衡的静定与超静定问题？ 答：当物体系统能建立的独立方程的数目，大于或等于物体系统未知量的数目，为静定问题。当物体系统能建立的独立方程的数目，小于物体系统未知量的数目，为超静定问题。 3.5平面力系向平面内某点简化得到一个合力，若另选适当的点为简化中心，则最终的简化结果可能是什么？ 答：最终的简化结果可能是一个合力，可能是一个力加一个力偶。 3.6某平面力系向点A 简化后主矢0='R F ，主矩0≠A M ，向点B 简化得到主矢'R F 和主矩B M ，试问这种情况下'R F 是否一定为零？另A M 和B M 是有可能相等还是 一定相等？ 答：这种情况下'R F 一定为零，A M 和B M 一定相等。 3.7某平面力系向平面内任意一点简化后的结果都相同，那么此力系简化的最终结果可能有哪些情况？ 答：如果平面力系向平面内任意一点简化后的结果都相同，那么此力系的最终简化结果可能是平衡力系，也可能是一个力偶。 3.8如图所示，三个力作用与A 、B 、C 三点，连接这三点所画三角形ABC ?是等腰直角三角形，另外，此三力大小有32122F F F ==。试问此力系向A 、C 点
工程力学重点总结
第一章静力学的基本概念和公理受力图 一、刚体 P2 刚体：在力的作用下不会发生形变的物体。 力的三要素：大小、方向、作用点 平衡：物体相对于惯性参考系处于静止或作匀速直线运动。 二、静力学公理 1力的平行四边形法则：作用在物体上同一点的两个力，可以合成为仍作用于改点的一个合力，合力的大小和方向由这两个力为边构成的平行四边形的对角线矢量确定。 2二力平衡条件：作用在同一刚体上的两个力使刚体保持平衡的必要和充分条件是：这两个力的大小相等、方向相反，并且作用在同一直线上。 3加减平衡力系原理：作用于刚体的任何一个力系中，加上或减去任意一个平衡力系，并不改变原来力系对刚体的作用。 （1）力的可传性原理：作用在刚体上某点的力可沿其作用线移动到该刚体内的任意一点，而不改变该力对刚体的作用。 （2）三力平衡汇交定理：作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中两个力的作用线汇于一点，则此三个力必在同一平面内，且第三个力的作用线通过汇交点。4作用与反作用定律：两个物体间相互作用的力，即作用力和反作用力，总是大小相等，方向相反，作用线重合，并分别作用在两个物体上。 5 刚化原理：变形体在某一力系作用下处于平衡状态时，如假想将其刚化为刚体，则其平衡状态保持不变。 三、约束和约束反力 P7 约束： 1柔索约束：柔索只能承受拉力，只能阻碍物体沿着柔索伸长的方向运动，故约束反力通过柔索与物体的连接点，方位沿柔索本身，指向背离物体； 2光滑面约束：约束反力通过接触点，沿接触面在接触点的公法线，并指向物体，即约束反力为压力； 3光滑圆柱铰链约束： ①圆柱、②固定铰链、③向心轴承：通过圆孔中心或轴心，方向不定的力，可正交分解为两个方向、大小不定的力；④辊轴支座：垂直于支撑面，通过圆孔中心，方向不定； 4链杆约束（二力杆）：工程中将仅在两端通过光滑铰链与其他物体连接，中间又不受力作用的直杆或曲杆称为连杆或二力杆，当连杆仅受两铰链的约束力作用而处于平衡时，这两个约束反力必定大小相等、方向相反、沿着两端铰链中心的连线作用，具体指向待定。 四、受力分析和受力图 选取研究对象，画出研究对象所受的全部主动力和约束反力，主动力一般是预先给定的，约束反力需根据约束的类型来判断。表示研究对象受力的简明图形，称为受力图。 第二章平面汇交力系 一、平面汇交力系合成和平衡的几何法 1、平面汇交力系合成的力多边形法制 由分力矢量折线和合力矢量构成的多边形称为力多边形。这种求合理矢量的几何作图法则称为力多边形法则。 平面汇交力系合成的结果是一个通过汇交点的合力，该合力矢量等于原力系中各分力的矢量和。 P16 平面汇交力系平衡的必要充分几何条件：力多边形自行封闭 二、力的分解与投影 力在某轴上的投影：等于力的大小乘以力与该轴正向之间夹角的余弦。 力的投影与力的分量是两个不同的概念。三、合力投影定理 P19 合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在该轴上投影的代数和。 四、平面汇交力系平衡的解析法 P20平面汇交力系平衡条件：∑F ix=0；∑F iy=0。2个独立平衡方程 第三章力矩平面力偶系 一、力对点之距 1、P24 力矩M0(F)=±Fh(逆时针为正)，点O为矩心，垂直距离h为力臂，力使物体逆时针转动为正。 2、P25 合力矩定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于所有各分力对同一点的矩的代数和。 二、力偶和力偶矩 1、P26力偶：大小相等、方向相反，作用线平行且不共线的两个力组成的力系称为力偶； 力偶矩M=±Fd(逆时针为正) 2、P27力偶的性质 力偶不能与一个力等效，力偶只能用力偶平衡； 力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，与矩心的位置无关。 在同一平面内的两个力偶，只要两力偶的力偶矩（包括大小和方向）相等，则此两力偶的效应相等。这就是平面力偶的等效条件。 推论1力偶可在其作用面内任意转移，而不会改变它对刚体的效应。 推论2 只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不会改变它对刚体的效应。 三、平面力偶系的合成与平衡 1平面力偶系：作用在刚体上同一平面内的多个力偶，称为平面力偶系。 平面力偶系可以合成为一个合力偶，合力偶矩等于各分力偶矩的代数和。 2、P28 平面力偶系平衡条件：力偶系中所有各力偶矩的代数和等于零。 第四章平面任意力系 一、P33 力的平移定理：作用于刚体上的力可以平行移动到刚体内的任意一点，但必须附加一个力偶，该附加力偶的力偶矩等于原力对指定点的矩。 二、平面任意力系向作用面内一点简化 1、P34 平面力向力系一点简化 平面任意力系中各力的矢量和F R`称为该力系的主矢量，简称主矢；力系各力对简化中心O的矩的代数和Mo称为该力系对简化中心O的主矩。 平面任意力系向作用面内任一点简化，可得一个力和一个力偶。这个力等于该力系的主矢，作用线经过简化中心O；这个力偶的矩等于该力系对简化中心O的主矩。 2、平面任意力系的简化结果分析 （1）主矢F R`=0，主矩M o≠0，简化为一个力偶； （2）主矢F R`≠0，无论主矩是否为0，简化为一个力； （3）主矢F R`=0，主矩M o=0，平衡力系。 三、平面任意力系及其平衡方程 1、平面任意力系平衡的必要和充分条件是：力系的主矢和对任意一点的主矩都等于零。 P36 平面任意力系平衡条件：∑F x=0；∑F y=0，∑M O(Fi)=0。3个独立方程 2、P38平面平行力系平衡条件：∑F y=0，∑M O(F)=0，或∑M A(F)=0，∑M B(F)=0，2个独立方程 P39 静定，超静定 四、考虑滑动摩擦时的平衡问题 P43 摩擦：当两物体具有相对运动的趋势或相对运动时，在其接触处的公
第二章 平面力系的简化与合成
第二章平面力系的简化与合成 引言 在工程实际中，作用于物体上的力系往往是较为复杂的。研究物体的平衡问题，就必须在保证作用效应完全相同的前提下，将复杂力系简化为简单力系，这就是力系的简化。而力系的合成则是将一个力系简化成一个力，用一个力代替一个力系。因此，力系的简化与合成是研究平衡问题的前提和基础。 本章将研究平面力系的简化与合成，为研究平衡问题打下基础。 基本要求 1、掌握投影及力矩的求法； 2、理解力偶的概念及性质； 3、掌握各种平面力系的简化方法； 4、理解力的平移定理，掌握固定端约束的约束反力画法。 第一节平面汇交力系的合成各力的作用线在同一平面内，且汇交于一点的力系称为平面汇交力系。 一、投影的概念及求法 力的作用效应取决于其大小、方向和作用点（对刚体而言是作用线），其大小、方向对作用效应的影响，可用力在坐标轴上的投影来描
述。力在坐标轴上的投影不仅表征了力对物体的移动效应，而且还是平面汇交力系合成的基础。 在力的作用面内任选一坐标轴，由力的作用线的始端和末端分别向该轴做垂线，所得的两垂足间的线段冠以适当的正负号，就称为该力在该坐标轴上的投影。具体说明如下： 设力Ｆ作用于物体上的Ａ点，其作用线为ＡＢ，在力Ｆ的作用线所在的平面内建立直角坐标系Oxy 。 浏览器不支持嵌入式框架，或被配置为不显示嵌入式框架。 从力Ｆ的两个端点Ａ、Ｂ分别作x 轴的垂线，得垂足a 、b ，在线段ab 前冠以适当的正负号，就称为力Ｆ在x 轴上的投影，记作F x ；同样从Ａ、Ｂ分别作y 轴的垂线，得垂足'a 、'b ，在线段'a 'b 前冠以适当的正负号，就称为Ｆ在y 轴上的投影，记作F y 。 力在坐标轴上的投影是代数量，其正负规定如下：若从始端对应的垂足（a 或a ￠）到末端对应的垂足（b 或b ￠）的趋势（指向）与坐标轴的正向一致，则力在坐标轴上的投影为正，反之为负。如图2-1中，F x 取正值，F y 取负值。 若力Ｆ的大小为F ，它与x 和y 轴所夹的锐角分别为α、β，则Ｆ在x 、y 轴上的投影分别为： F F F F F F x y =±?=±?=±?=±????cos sin sin cos αβαβ 上式表明，力在坐标轴上投影的大小，等于力的大小与力与该轴所夹锐角的余弦的乘积。
第2章 力系的简化
16 第2章 力系的简化 2.1 主要内容 2.1.1 汇交力系 汇交力系合成为通过汇交点的合力，合力的大小、方向等于各分力的矢量和 F F R ∑= 或 汇交力系的合力在轴上的投影等于各分力在同一轴上的投影的代数和，称之为合力投影定理，即 R R R 1 1 1 ,,n n n x xi y yi z zi i i i F F F F F F ======∑∑∑ 2.1.2 力偶系 力偶系合成结果为一合力偶，其力偶矩M 等于各力偶矩的矢量和： ∑== n i i 1M M 合力偶矩矢在各直角坐标轴上的投影： ∑∑∑==== = = n i zi z n i yi y n i xi x M M M M M M 1 1 1 ,, 或 k j i M iz iy ix M M M ∑+∑+∑= 平面力偶系可合成为一合力偶，合力偶矩等于各分力偶矩的代数和： i M M ∑= 2.1.3 任意力系 力的平移定理 作用在刚体上的力，可平行移动到刚体上任一点，平移时需附加一力偶，附加力偶的矩等于原作用力对平移点之矩，称为力的平移定理。 该定理表明，一个力可以等效于一个力和一个力偶。其逆定理表明，可将平面内的一个力和一个力偶等效于一个力。 用一简单力系等效地替代一复杂力系称为力系的简化或合成，应用力的平移定理，将力系向一点简化的方法是力系简化的普遍方法。 k j i F z y x F F F ∑+∑+∑=R
17 力系向一点简化·主矢和主矩 力系向任一点O （称简化中心）简化，得到通过简化中心的一个力及一个力偶。 力系中各力的矢量和称为力系的主矢量。即 F F ∑='R 主矢与简化中心位置无关 力系中各力对简化中心之矩的代数和称为力系对简化中心的主矩。即 )(F O O M M ∑= 主矩与简化中心位置有关。 力系的简化结果归结为计算两个基本物理量——主矢和主矩。它们的解析表达式分别为 R 11 11()n n i i i i n n O i O i i i ====? ''==???? ==?? ∑∑∑∑F F F M M M F 力的大小、方向等于力系的主矢量，力偶矩矢等于力系对O 点的主矩。 如以简化中心为原点，建立直角坐标系Oxyz ，则主矢与主矩的解析式表达式分别 R x y z F F F '=∑+∑+∑F i j k R R R R R R Ox z y Oy x z Oz y x M yF zF M zF xF M yF yF ?=-? =-?? =-? 表2－1 力系的简化结果 2.1.4 物体的重心
平面任意力系的主矩与简化中心的位置
平面任意力系的主矩与简化中心的位置 1. 概述 在静力学中，平面任意力系的主矩与简化中心的位置是一个重要的研究课题。主矩是指力系对某一点产生的合力矩，简化中心是指力系对某一点的合力矩为零的特殊点。研究主矩与简化中心的位置可以帮助我们更好地理解力系的性质和相互作用。 2. 平面任意力系的主矩 平面任意力系是指作用在同一平面上的多个力所组成的力系。在这样的力系中，力的方向和大小都是任意的，主矩则是力系对某一点产生的合力矩。主矩可由力的大小、方向和作用点到参考点的距离等因素决定。在计算主矩时，通常可以使用矢量法或解析法，根据具体情况选择合适的方法进行计算。 3. 主矩的计算方法 计算主矩时，可以先将力系分解为多个力的矢量和，然后分别计算每个力对参考点产生的单个力矩，最终将所有力矩相加得到主矩。另一种方法是使用解析法，通过数学方程式求解主矩的数值。在实际问题中，可以根据具体情况选择适当的计算方法，以便高效地求解主矩。 4. 简化中心的定义 简化中心是指力系对某一点的合力矩为零的特殊点。在平面任意力系
中，简化中心的位置可以通过数学方法求解。对于简化中心，有以下 几个重要特点： （1）简化中心的存在性：对于任意平面力系，都存在一个简化中心；（2）力系对简化中心的主矩为零：力系对简化中心的主矩等于零；（3）简化中心的独立性：简化中心的位置与力系的具体情况无关，只与力系的几何形状和作用点位置有关。 5. 简化中心的计算方法 计算简化中心的位置可以采用矢量法或解析法，具体计算方法取决于 力系的具体情况。在应用矢量法时，可以将力系分解为多个力的矢量和，通过平衡条件求解简化中心的位置。在应用解析法时，可以通过 坐标系和数学方程式求解简化中心的位置。选择合适的计算方法进行 求解简化中心是十分重要的。 6. 主矩与简化中心的关系 主矩与简化中心是密切相关的，它们相互依存、相辅相成。在力系的 平衡分析中，主矩和简化中心的计算是必不可少的环节。通过计算主 矩和简化中心的位置，可以更清晰地理解力系的平衡特性和作用规律。研究主矩与简化中心的关系对于力学领域具有重要意义。 7. 结论 平面任意力系的主矩与简化中心的位置是力学领域中重要的研究内容。研究主矩与简化中心的位置可以帮助我们更好地理解力系的性质和相
平面任意力系的简化实例文本
平面任意力系简化实例分析 (1)固定端支座约束力分析。图1(a)所示一物体的一端完全固定在另一物体上，这种约束称固定端支座。应用平面任意力系的简化理论，对平面固定端支座约束力系进行简化分析。固定端支座对物体的作用，是在接触面上作用了一群约束力，在平面问题中，这些力为一个平面任意力系，如图1(b)所示。将这群力向作用平面内A 点简化，得到一个力和一个力偶，如图1(c)所示。一般情况下，这个力的大小和方向均为未知，可用两个正交分力来代替。因此，在平面力系情况下，固定端支座的约束力可简化为两个正交约束力F Ax 、F Ay 和一个约束力偶M A ，如图1(d)所示。固定端支座的工程结构简图为图1（e ）所示。 图1 (2)线分布荷载的简化。若力分布于物体的表面上或体积内的每一点，则称此力系为分布力。例如屋面上的风压力，水坝受到的静水压力以及梁的自重等。在进行计算时，将杆件用其轴线表示，如梁所受的重力则简化为沿梁轴线分布的分布力，称此荷载称为线分布荷载。每单位长度上所受的力，称为荷载集度，并以q 表示，其单位为N/m 。图2(a)所示三角形分布荷载，对此线分布荷载进行简化。 首先计算力系的主矢。选取坐标系如图示，微段长度dx 上的荷载大小为()dx x q dF =；因为()x l q x q A =，则有xdx l q dF A =。主矢在两轴上的投影分别为： 0=′Rx F
l q xdx l q dF F A l A l Ry 2100-=-=-='⎰⎰ 主矢的大小为： l q F F F A Ry Rx R 2 122='+'=' 主矢的方向铅直向下。 再计算力系对O 点的主矩。选取O 为简化中心，因为xdx l q x xdF dM A -=-=， 所以有 320000l q xdx l q x dM M A l A M -=-==⎰⎰ 图2 最后讨论力系的等效结果。因为F /R ≠0，M O ≠0，所以力系可简化为一个合力F R ，合力的大小为 l q F F A R R 2 1='= ① 合力作用线距简化中心距离为 l F M d R O 3 2='= ② 简化结果如图2(b)所示。 应注意到，式①中的合力大小恰为三角形分布荷载图的面积；式②中d 恰为该荷载图的形心横坐标。同理，可得一般线分布荷载的简化结果如下：一个线分布荷载，可简化为一个合力，合力的大小等于该荷载图的面积，合力作用线必通过荷载图的形心，合力指向与分布荷载指向一致。
理论力学-平面任意力系
知识目标：力的平移定理，平面任意力系向作用面内一点简化·主矢和主矩，平面任意力系的平衡条件·平衡方程，物体系统的平衡，静定与超静定问题 能力目标：掌握静立学的核心内容 素质目标：沟通、协作能力；观察、信息收集能力；分析总结能力。良好的职业道德和严谨的工作作风 理论力学-平面任意力系 〖理论学习〗 3.1平面任意力系向作用面内一点简化 3.1.1力的平移定理 定理：作用在刚体上点A的力F可以平行移到刚体上任一点B，但必须同时附加一个力 偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点B的矩。 逆定理：作用在刚体上同平面内的一个力和一个力偶，可与一个力等效，此力为原来力 系的合力。 图3-1 3.1.2平面任意力系向作用面内一点简化·主矢和主矩 设刚体受平面任意力系作用，此力系由F1,F2,…,Fn共n个力组成，如图3-3(a)所示。 在力系作用平面内任选一点O，将力系向O点简化，并称点O为简化中心。按力的平移定理， 将力系中各力矢量向O点平移，如图3-3(b)所示。 图3-3 平面任意力系等效为两个简单力系：平面汇交力系和平面力偶系。 力F′R称为原平面任意力系的主矢，即力矢F′R等于原力系各力的矢量和。 主矩MO等于原力系中各力对简化中心O之矩代数和。 平面任意力系向作用面内任一点简化，得到一个力和一个力偶，如图3-3(c)所示。这个 力称为该力系的主矢，作用线过简化中心，主矢与简化中心的位置无关；这个力偶的矩称为 该力系对简化中心的主矩，主矩一般与简化中心的位置有关。 车刀和工件分别夹持在刀架与卡盘上固定不动，这种约束为固定端或插入端约束。 教师证明力的平 移定理。 举例说明什么是 固定约束。
超级全的机械力学知识：收藏起来慢慢看
超级全的机械力学知识：收藏起来慢慢看 机械工程力学基础包括三部分：静力学、材料力学和运动力学。 1、静力学：是研究物体平衡时作用力之间关系的科学，主要研究两个问题： （1）力系的简化研究如何将作用在物体上比较复杂的力系用作用效果完全相同而便于分析的简单力系代替。 （2）力系的平衡条件研究受力物体平衡时作用在物体上各力之间应该满足的条件。 2、材料力学是研究零件在外力作用下产生破坏，变形和失稳的规律，为既安全又经济地设计零件提供有关强度，刚度和稳定性计算的基本理论和方法。 3、运动力学是研究质点的运动和刚体的基本运动，以及在这些运动中，受力物体的运动与作用力之间的关系。 静力学的基本概念及公理 1、力的概念 力是物体间的机械作用，这种作用使物体的运动状态或形状发生变化。物体运动状态的改变是力的外效应，物体形状的改变是力的内效应。 （1）力的三要素 力的大小、力的方向和力的作用点。 （2）力的单位 采用国际单位制，牛顿（N）或千牛顿（kN）。 （3）标量和矢量 标量：只考虑大小的物理量。如：时间、长度。 矢量：既考虑大小又考虑方向的物理量。如：力、速度。 （4）矢量的表示方法 矢量用按一定的比例尺绘制的有向线段来表示，线段的长度表示矢量的大小，箭头表示矢量的方向，中的AB 线段表示的矢量。为了简化，矢量可以只用一个黑体字母表示，如AB矢量可用F表示,书写时
要在字母上方加箭头。 2、力系的概念 力系是同时作用在物体上的一群力。 如果一个力系对物体的作用能用另一个力系来代替而不改变作用的外效应，这两个力系互为等效力系。 若一个力和一个力系等效，则称这个力是该力系的合力。而力系中的各个力都是其合力的分力。把各分力代换成合力的过程，称为力系的合成。把合力换成几个分力的过程，称为力的分解。 3、平衡的概念 平衡是指物体相对地面保持静止或作匀速直线运动状态。 物体在力系作用下处于平衡状态时，称该力系为平衡力系。作 用于物体上的力系，若使物体处于平衡状态，必须满足一定的条件，这些条件称为力系的平衡条件。 4、刚体和变形固体的概念 （1）刚体：是指在力的作用下，大小和形状都不发生改变 的物体。 （2）变形固体：是指在力的作用下，形状或大小发生变化的固 体。 在静力学中，通常把物体看成是刚体。 二、静力学公理 所谓公理，就是符合客观现实的真理。静力学的全部理论，都是以静力学公理为依据导出的。 公理一（二力平衡公理） 作用在同一刚体上的两个力，若使刚体处于平衡状态，则这两个力必须大小相等，方向相反，且作用在同一直线上。 公理二（加减平衡力系公理） 在已知力系上加上或减去任意平衡力系，都不会改变原力系对刚的效应。 推论一（力的可传性原理） 作用在刚体上某点的力，沿其作用线移到刚体内任意一点，不会
工程力学(一)重点考点及试题解析
《工程力学（一）》串讲讲义】 课程介绍 一、课程的设置、性质及特点 《工程力学（一）》课程，是全国高等教育自学考试机械等专业必考的一门专业课，要求掌握各种基本概念、基本理论、基本方法，包括主要的各种公式。在考试中出现的考题不难，但基本概念涉及比较广泛，学员在学习的过程中要熟练掌握各章的基本概念、公式、例题。 本课程的性质及特点： 1．一门专业基础课，且部分专科、本科专业都共同学习本课程； 2．工程力学（一）课程依据《理论力学》、《材料力学》基本内容而编写，全面介绍静力学、运动学、动力学以及材料力学。按重要性以及出题分值分布，这几部分的重要性排序依次是：材料力学、静力学、运动学、动力学。 二、教材的选用 工程力学（一）课程所选用教材是全国高等教育自学考试指定教材（机械类专业），该书由蔡怀崇、张克猛主编，机械工业出版社出版（2008年版）。 三、章节体系 依据《理论力学》、《材料力学》基本体系进行，依次是 第1篇理论力学 第1章静力学的基本概念和公理受力图 第2章平面汇交力系 第3章力矩平面力偶系 第4章平面任意力系 第5章空间力系重心 第6章点的运动 第7章刚体基本运动 第8章质点动力学基础 第9章刚体动力学基础 第10章动能定理 第2篇材料力学 第11章材料力学的基本概念 第12章轴向拉伸与压缩 第13章剪切 第14章扭转 第15章弯曲内力 第16章弯曲应力 第17章弯曲变形 第18章组合变形
第19章压杆的稳定性 第20章动载荷 第21章交变应力 ●静力学公理和物体受力分析 静力学公理： 二力平衡公理：作用在刚体上的二力使刚体平衡的充要条件是：大小相等、方向相反、作用在一条直线上。应用此公理，可进行简单的受力分析。 加减平衡力系公理：在作用于刚体的已知力系中加上或减去任何平衡力系，并不改变原力系对刚体的效应。 力的平行四边形法则：作用于物体上某一点的两力，可以合成为一个合力，合力亦作用于该点上，合力的大小和方向可由这两个力为邻边所构成的平行四边形的对角线确定。 力的可传性原理：作用于刚体上的力可沿其作用线移至同一刚体内任意一点，并不改变其对于刚体的效应。 三力平衡正交定理：当刚体受三力作用而平衡时，若其中两力作用线相交于一点，则第三力作用线必通过两力作用线的交点，且三力的作用线在同一平面内。 刚化原理： 例1-1 加减平衡力系公理适用于（ A ） A.刚体 B.变形体 C.任意物体 D.由刚体和变形体组成的系统 例1-2 在下列原理、法则、定理中，只适用于刚体的是（ C ）。 A.二力平衡原理 B.力的平行四边形法则 C.力的可传性原理 D.作用与反作用定理 作用力与反作用力定律：两物体间的相互作用力总是大小相等、方向相反，沿同一直线，分别作用在两个物体上。 约束的基本类型和性质。 自由体：可以在空间不受限制地任意运动的物体。例子！ 非自由体：运动受到了预先给定条件的限制的物体。例子！ 约束：事先对物体的运动所加的限制条件。 ①柔性约束；②光滑接触面约束；③光滑铰链约束；④辊轴支座。 约束力：约束对被约束物体的作用力，它是一种被动力。 （主动力：使物体运动或有运动趋势的力。） 约束力三要素：作用点：在相互接触处 方向：与约束所能阻止的物体的运动方向相反。 大小：不能事先知道，由主动力确定。 例1-3 图示光滑固定凸轮B对圆轮A的约束反力，其方向沿接触面的公法线，且指向圆轮A，作用在接触点处。 例1-4 光滑面对物体的约束力，作用在接触点处，方向沿接触面的公法线，且（ B ） A．指向受力物体，恒为拉力B．指向受力物体，恒为压力 C．背离受力物体，恒为拉力D．背离受力物体，恒为压力 例1-5 柔索对物体的约束反力，作用在连接点，方向沿柔索（ B ） A.指向该被约束体，恒为拉力 B.背离该被约束体，恒为拉力 C.指向该被约束体，恒为压力 D.背离该被约束体，恒为压力 二力杆（考点）：构件AB在A、B各受一力而平衡，则此二力的作用线必定在AB的连线上，像这种受两力而平衡的构件，称为二力构件（二力杆）。 不考虑物体外形和尺寸，只要有2个力作用而平衡，即称为二力杆或二力构件。若有二力构件，一定要根据二力平衡公理，确定其约束的方向或作用线的方位。 物体的受力分析和受力图[掌握]，分离体。 （1）解除约束原理：当受约束的物体在某些主动力的作用下处于平衡，若将其部分或全部的约束除去，代
平面任意力系
第三章平面任意力系 各力作用线都位于同一平面内，既不全部汇交于一点，又不全部平行的力系称为平面任意力系。在工程实际中，大部分力学问题都可归属于这类力系进行分析。有些问题虽不是平面任意力系，但对某些结构对称、受力对称、约束对称的力系，经适当简化，仍可归结为平面任意力系来处理。因此，研究平面任意力系问题具有非常重要的工程实际意义。 § 3.1力的平移定理 由力的可传性定理可知：在刚体内，力沿其作用线任意滑移，不改变力对刚体的作用效果。但是，如果将力的作用线平行地移动到偏离其作用线的另一位置，其作用效果是否会改变呢？由经验可知，力线平移后将改变其对刚体的作用效果。如图3.1a所示，当力F 作用于A点，其作用线通过轴心0时，轮子不会转动；而将力的作用线平移，使其作用于 点B，如图3.1b所示，轮子则会转动。显然，力作用线平移后，其效应发生了改变。 图图3.2 设有一力F作用于刚体上的A点，如图3.2a所示。为将该力平移到刚体内任意一点B，在B点加上一对平衡力F i和F i，使F i// F,且F i=F'i=F。在新力系中，F和F i构成一个力偶，其力偶臂为d，其矩恰好等于原力F对点B之矩, 即 M(F,F')=M B(F)=F d F i即为平移到了B点的力F。现作用于刚体上有一个力F i和一个力偶，如图3.2b、c 所示，它们对刚体的效应与力F在原位置时对刚体的效应完全相同， 这个力偶称之为附加力偶 综上所述，可得如下结论：可以把作用在刚体上A点的力F平移到刚体内任意一点B，
要使原力对刚体的作用效果不变，必须同时附加一个力偶，附加力偶之矩等于原力F对新 的作用点B之矩。 反之，根据力的平移定理，同平面内的一个力和一个力偶，也可用作用在该平面内另一个力等效替换。 力的平移定理不仅是力系简化的基础，而且可用来解释一些实际问题。例如, 用丝锥攻丝时， 必须要用双手握紧丝锥，且用力要等值、反向，不允许用一只手加力或加力不均。如图3.3 所示，若在丝锥的一端单手加力F,根据力的平移定理，将其向丝锥中心C平移，可得F•和 M，附加力偶M是攻丝所需的力偶，而力F却往往使攻丝不正，甚至使丝锥折断。 的4) 图 § 3.2平面任意力系的简化 1平面任意力系向作用面内任意一点的简化•主矢和主矩 设刚体上作用一平面任意力系F i、F2、…、F n，如图3.4a所示。在力系所在平面内任 选一点0作为简化中心，并根据力的平移定理，将力系中各力平移到0点，同时附加相应 的力偶。于是，原力系等效地简化为两个基本力系：作用于0点的平面汇交力系F'仆 F‘2、……、F'n和力偶矩分别为M i、M2、…、 M n的附加力偶系，如图3.4b所示。其中F'i= F l、F‘2= F2、…F'n= F n；M i = M o (F l)、M2= M o ( F2)、…、M n= M 0 ( F n) o