最新高中数学历届数学高考试题精选 (36)
高三数学三十六套试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 函数f(x) = x^3 - 3x在区间[-2, 2]上的最大值和最小值分别是：A. 0和-2B. 0和2C. -2和0D. 2和-22. 若等差数列{an}的首项为2，公差为3，则第10项an等于：A. 29B. 30C. 31D. 323. 已知向量a = (1, 2)，向量b = (2, -1)，则向量a·b的值为：A. 5B. -5C. 3D. -34. 若圆的方程为x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0，则该圆的半径为：A. 2B. 3C. 4D. 55. 若函数f(x) = |x - 2| + |x + 1|在x = 0时的导数不存在，则x = 0是函数的：A. 极大值点B. 极小值点C. 转折点D. 无极值点二、填空题（每题5分，共50分）6. 函数y = 2x^3 - 3x^2 + 2x在x = 1时的导数为______。
7. 等差数列{an}的首项为3，公差为2，则第5项an等于______。
8. 向量a = (2, -3)，向量b = (4, 6)，则向量a与向量b的夹角余弦值为______。
9. 圆的标准方程为(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 4，则该圆的圆心坐标为______。
10. 函数f(x) = x^2 - 4x + 4在区间[0, 4]上的最大值和最小值分别是______和______。
三、解答题（每题15分，共60分）11. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1，求f(x)的极值点及极值。
12. 已知等差数列{an}的首项为3，公比为2，求该数列的前10项和。
13. 已知向量a = (3, 4)，向量b = (-2, 1)，求向量a与向量b的模长及夹角。
14. 已知圆的方程为x^2 + y^2 - 6x + 8y + 12 = 0，求该圆的半径、圆心坐标及与x轴、y轴的交点。
(完整版)高中数学试题及答案
(完整版)高中数学试题及答案一、选择题1. 下列哪个数是实数？A. 2B. 3C. 4D. 52. 下列哪个图形是圆形？A. 正方形B. 长方形C. 三角形D. 圆形3. 下列哪个式子是等式？A. 2 + 3 = 5B. 2 + 3 = 6C. 2 + 3 = 7D. 2 + 3 = 84. 下列哪个图形是三角形？A. 正方形B. 长方形C. 三角形D. 圆形5. 下列哪个数是整数？B. 3.5C. 4.5D. 5.5二、填空题6. 2 + 3 = ________7. 3 × 4 = ________8. 5 2 = ________9. 6 ÷ 2 = ________10. 7 + 8 = ________三、解答题11. 解方程：2x + 3 = 712. 解方程：3x 2 = 513. 解方程：4x + 5 = 914. 解方程：5x 6 = 815. 解方程：6x + 7 = 10答案：一、选择题1. A2. D3. A4. C5. D二、填空题7. 128. 39. 310. 15三、解答题11. x = 212. x = 313. x = 114. x = 215. x = 1(完整版)高中数学试题及答案一、选择题1. 下列哪个数是实数？A. 2B. 3C. 4D. 52. 下列哪个图形是圆形？A. 正方形B. 长方形C. 三角形D. 圆形3. 下列哪个式子是等式？A. 2 + 3 = 5B. 2 + 3 = 6C. 2 + 3 = 7D. 2 + 3 = 84. 下列哪个图形是三角形？A. 正方形B. 长方形C. 三角形D. 圆形5. 下列哪个数是整数？A. 2.5B. 3.5C. 4.5D. 5.5二、填空题6. 2 + 3 = ________7. 3 × 4 = ________8. 5 2 = ________9. 6 ÷ 2 = ________10. 7 + 8 = ________三、解答题11. 解方程：2x + 3 = 712. 解方程：3x 2 = 513. 解方程：4x + 5 = 914. 解方程：5x 6 = 815. 解方程：6x + 7 = 10答案：一、选择题1. A2. D3. A4. C5. D二、填空题6. 57. 128. 39. 310. 15三、解答题11. x = 212. x = 313. x = 114. x = 215. x = 1四、应用题16. 小明有5个苹果，小红有3个苹果，他们一共有多少个苹果？答案：小明和小红一共有8个苹果。
高考数学试卷三卷历年
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 1，则f(x)的图像与x轴的交点个数是：A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 在三角形ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=3，b=4，c=5，则角A的度数是：A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°3. 已知数列{an}满足an = 3an-1 + 2，且a1 = 1，则数列{an}的通项公式是：A. an = 3^n - 1B. an = 3^n + 1C. an = 3^nD. an = 3^n - 24. 设向量a = (2, -1)，向量b = (1, 3)，则向量a与向量b的夹角θ的余弦值是：A. 1/2B. 1/3C. 2/3D. 3/25. 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，若a1 + a2 + a3 = 9，a4 + a5 +a6 = 27，则数列{an}的通项公式是：A. an = 3n - 2B. an = 3nC. an = 3n + 2D. an = 3n - 16. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c在区间[-1, 2]上单调递增，且f(1) = 0，f(2) = 4，则a、b、c的值分别为：A. a=1, b=-2, c=1B. a=1, b=2, c=1C. a=-1, b=-2, c=1D. a=-1, b=2, c=17. 已知函数f(x) = (x - 1)^2 / (x + 1)，则f(x)的图像的对称轴是：A. x = 0B. x = 1C. x = -1D. y = 08. 在直角坐标系中，点P(2, 3)关于直线y = x的对称点为Q，则点Q的坐标是：A. (2, 3)B. (3, 2)C. (-2, -3)D. (-3, -2)9. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若an = 2n - 1，则S10的值是：A. 90B. 100C. 110D. 12010. 已知函数f(x) = |x - 1| + |x + 1|，则f(x)的值域是：A. [-2, +∞)B. [0, +∞)C. [-1, +∞)D. [-2, 0]11. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x，则f(x)的图像的拐点是：A. (0, 0)B. (1, 2)C. (2, 1)D. (3, 0)12. 已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，若a1 + a2 + a3 = 6，a4 + a5 + a6 = 54，则数列{an}的通项公式是：A. an = 2^nB. an = 3^nC. an = 4^nD. an = 5^n二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。
往年高考数学试卷带答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 函数f(x) = ax^2 + bx + c的图像开口向上，且顶点坐标为(1, -2)，则下列哪个选项正确？A. a > 0, b = -2, c = -2B. a < 0, b = -2, c = -2C. a > 0, b = 2, c = -2D. a < 0, b = 2, c = -2答案：A2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3 = 12，S6 = 36，则数列{an}的公差d为：A. 2B. 3C. 4D. 6答案：C3. 下列哪个不等式成立？A. x^2 - 2x + 1 > 0B. x^2 - 2x + 1 < 0C. x^2 - 2x + 1 ≥ 0D. x^2 - 2x + 1 ≤ 0答案：A4. 在平面直角坐标系中，点A(2, 3)，点B(-3, 4)，则线段AB的中点坐标为：A. (-0.5, 3.5)B. (-1, 3.5)C. (0.5, 3.5)D. (1, 3.5)答案：B5. 若复数z满足|z - 1| = 2，则复数z的实部a的取值范围是：A. a ≤ 3B. a ≥ 3C. a ≤ -1 或a ≥ 3D. a ≥ -1 或a ≤ 3答案：C6. 函数f(x) = |x - 1| + |x + 2|在区间[-2, 1]上的最大值是：A. 3B. 4C. 5D. 6答案：A7. 已知等比数列{an}的首项a1 = 2，公比q = 3，则数列{an}的前n项和S_n为：A. 3^n - 1B. 3^n + 1C. 3^n - 2D. 3^n + 2答案：A8. 下列哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x^5答案：B9. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4 = 20，S8 = 60，则数列{an}的首项a1为：A. 2B. 3C. 4D. 5答案：B10. 在平面直角坐标系中，直线y = kx + b经过点(1, 2)，则下列哪个选项正确？A. k = 2, b = 1B. k = 2, b = 3C. k = 1, b = 2D. k = 1, b = 3答案：A11. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则复数z在复平面上的轨迹是：A. 圆心在原点，半径为1的圆B. 圆心在(-1, 0)，半径为1的圆C. 圆心在(1, 0)，半径为1的圆D. 线段[-1, 1]的垂直平分线答案：D12. 函数f(x) = log_2(x + 1) + log_2(x - 1)的定义域是：A. (-1, 1)B. (-1, 0) ∪ (0, 1)C. (0, 1)D. (-1, +∞)答案：B二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。
新高考高三数学试卷合集
一、选择题1. 若函数$f(x)=\sin x+\cos x$，则$f(\pi)=\frac{\sqrt{2}}{2}$的充要条件是（）A. $x=\frac{\pi}{4}$B. $x=\frac{3\pi}{4}$C. $x=\frac{5\pi}{4}$D. $x=\frac{7\pi}{4}$2. 若$a>0$，$b>0$，$a+b=1$，则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的最大值为（）A. 2B. 1C. $\frac{1}{2}$D. $\frac{1}{4}$3. 已知复数$z$满足$|z-1|=|z+1|$，则$z$在复平面上的轨迹方程为（）A. $y=x$B. $y=-x$C. $y=0$D. 无轨迹4. 设函数$f(x)=\frac{x^2}{2}+x+1$，则$f(x)$的单调递增区间为（）A. $(-\infty, -1)$B. $(-1, +\infty)$C. $(-\infty, 1)$D. $(1, +\infty)$5. 已知等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$，首项为$a_1$，若$a_1+a_5=2a_3$，则$a_1$的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题6. 若复数$z$满足$|z-1|=|z+1|$，则$z$的实部为______。
7. 已知函数$f(x)=\frac{x^2}{2}+x+1$，则$f(-1)=______$。
8. 若等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$，首项为$a_1$，则$a_1+a_5=______$。
9. 若复数$z$满足$|z-1|=|z+1|$，则$z$在复平面上的轨迹方程为______。
10. 已知函数$f(x)=\frac{x^2}{2}+x+1$，则$f(x)$的单调递增区间为______。
三、解答题11. 已知函数$f(x)=\sin x+\cos x$，求$f(x)$的值域。
高三数学真题试卷老高考
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 2ax + 1在区间[a, 2a]上单调递增，则实数a的取值范围是（）A. a > 1B. 0 < a < 1C. a ≤ 0D. a ≥ 12. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则复数z对应的点在复平面上的轨迹是（）A. 以原点为圆心，半径为1的圆B. 以原点为圆心，半径为2的圆C. 轴上的一段线段D. 轴上的一段线段，且不包括原点3. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3 = 6，S6 = 24，则公差d的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c在x = 1时取得最小值，则下列选项中正确的是（）A. a > 0，b = 0，c = 1B. a < 0，b = 0，c = 1C. a > 0，b ≠ 0，c ≠ 1D. a < 0，b ≠ 0，c ≠ 15. 若log2x + log2(x + 1) = 3，则x的值为（）A. 1B. 2C. 4D. 86. 已知函数f(x) = (x - 1)^2在x = 2时取得最大值，则下列选项中正确的是（）A. f(x)在x = 2处取得极小值B. f(x)在x = 2处取得极大值C. f(x)在x = 2处取得最小值D. f(x)在x = 2处取得最大值7. 若不等式x^2 - 4x + 3 > 0的解集为A，不等式x^2 - 4x + 3 < 0的解集为B，则集合A与B的交集是（）A. {x | x < 1 或 x > 3}B. {x | 1 < x < 3}C. {x | x < 1 或 x > 3}D. {x | 1 < x < 3}8. 已知函数f(x) = x^3 - 3x在区间[-2, 2]上的最大值为M，最小值为m，则M- m的值为（）A. 8B. 12C. 16D. 249. 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，且a1 + a2 + a3 = 6，a2 + a3 + a4 = 12，则数列{an}的通项公式为（）A. an = 2 3^(n - 1)B. an = 3 2^(n - 1)C. an = 2^(n - 1) 3D. an = 3^(n - 1) 210. 已知函数f(x) = x^2 - 2ax + 1在x = a时取得最小值，则下列选项中正确的是（）A. a > 0B. a < 0C. a = 0D. a ≠ 011. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则复数z对应的点在复平面上的轨迹是（）A. 以原点为圆心，半径为1的圆B. 以原点为圆心，半径为2的圆C. 轴上的一段线段D. 轴上的一段线段，且不包括原点12. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3 = 6，S6 = 24，则公差d的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）13. 若函数f(x) = (x - 1)^2在x = 2时取得最大值，则f(x)在x = 1时的函数值为______。
高考数学考试题及答案大全
高考数学考试题及答案大全考试题一：选择题1. 设a为实数，若方程x^2 + ax + 1 = 0有两个相等的实根，则a的取值范围是：A. (-∞, 1)B. (1, ∞)C. (-1, ∞)D. (-∞, -1)答案：C2. 已知集合A = {x | 2x - 1 ≤ 5}，集合B = {y | 3y + 4 > 1}，则A与B的交集为空集的条件是：A. x < -1B. x > 2C. x > -1D. x < 2答案：B3. 已知函数f(x) = 2^x + 1，g(x) = 2^(2x)，则f(x) > g(x)的解集是：A. (0, +∞)B. (1, +∞)C. (-∞, 0)D. (-∞, 1)答案：D考试题二：填空题1. 已知函数f(x) = a⋅x^2 + b⋅x + c的图像过点(-1, 2)和(2, -1)，则a + b + c = 。
答案：-32. 设集合A = {x | x^2 - 5x + 6 ≤ 0}，则A = 。
答案：{2, 3}3. 有一块长为20m，宽为16m的矩形田地，现要在其内部修建一条宽为2m的小路，使得矩形田地的面积减少15%。
小路的长度为。
答案：(20 - 4)⋅(16 - 4)⋅0.85 = 264考试题三：解答题1. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn = n^2 - 3n，求公差d和首项a1。
解答：根据等差数列的前n项和公式，Sn = (2a1 + (n - 1)d)⋅n/2，代入已知条件，得到整理得到2n^2 - 6n = 2a1n + d⋅n^2 - d⋅n，化简得n^2 - (2a1 + d)n + 6n = 0。
对比二次方程ax^2 + bx + c = 0，可知a = 1，b = -(2a1 + d)，c = 6。
由题意可知该二次方程有两个不相等的正整数解n1和n2（n1 < n2），且n1 + n2 = 10。
高中数学试题卷及答案大全
高中数学试题卷及答案大全一、选择题（每题3分，共30分）1. 已知函数f(x) = 2x + 3，下列哪个选项是f(-1)的值？A. -1B. 1C. -5D. 52. 以下哪个是二次函数y = ax^2 + bx + c的对称轴？A. x = aB. x = bC. x = -b/2aD. x = c3. 一个圆的半径为5，那么这个圆的面积是多少？A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π4. 已知向量\(\vec{a} = (3, 4)\)，\(\vec{b} = (-4, 3)\)，下列哪个选项是\(\vec{a} \cdot \vec{b}\)的值？A. -7B. 25C. -25D. 75. 以下哪个不等式表示的是x > 2？A. x - 2 > 0B. x - 2 < 0C. 2 - x > 0D. 2 - x < 06. 一个等差数列的首项是3，公差是2，那么这个数列的第5项是多少？A. 13B. 11C. 9D. 77. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = |x|8. 一个三角形的三边长分别为3, 4, 5，那么这个三角形的面积是多少？A. 3B. 4C. 6D. √79. 以下哪个选项是方程x^2 - 5x + 6 = 0的解？A. 2, 3B. -2, -3C. 2, -3D. -2, 310. 以下哪个选项是函数y = sin(x)的周期？A. 2πB. πC. 1D. √2答案：1. C2. C3. B4. D5. A6. A7. B8. D9. A10. A二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，那么f(1)的值是_。
12. 一个等比数列的首项是2，公比是3，那么这个数列的第3项是_。
13. 一个三角形的内角和是_。
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历届高考中的“解三角形”试题精选（自我测试）
1．（2021 ） （A ）135° (B)90°(C)45° (D)30°
2.（2007重庆理）在ABC ∆中，,75,45,300===C A AB 则BC =（ ）
A.33-
B.2
C.2
D.33+
3.(2006山东文、理)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c,A=
3
π
,a=3,b=1，则c=( ) （A ）1 （B ）2 （C ）3—1 （D ）3
4．(2021模拟福建文)在中，角A,B,C 的对应边分别为a,b,c,若2
2
2
a c
b +-=，则角B 的值为（）
Ａ．6
π Ｂ．
3π Ｃ．6
π或56π
Ｄ．
3
π或23π
5．（2005春招上海）在△ABC 中，若
C
c
B b A a cos cos cos =
=，则△ABC 是（ ） （A ）直角三角形. （B ）等边三角形. （C ）钝角三角形. （D ）等腰直角三角形. 6.（2006全国Ⅰ卷文、理）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，
则cos B =（ ）
A ．
14B ．3
4
C D
7．（2005北京春招文、理）在ABC ∆中，已知C B A sin cos sin 2=，那么ABC ∆一定是（ ）
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．正三角形 8．（2004全国Ⅳ卷文、理）△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果a 、b 、c
成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为2
3
，那么b=（ ） A ．2
31+B ．31+ C ．2
3
2+
D ．32+
二.填空题:（每小题5分，计30分）
9.（2007重庆文）在△ABC 中，AB=1, BC=2, B=60°，则AC ＝。
10. (2021模拟湖北文)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知3,30,a b c ===︒
则A ＝ .
11.（2006北京理）在ABC ∆中，若sin :sin :sin 5:7:8A B C =，则B ∠的大小是_____.
12.（2007北京文、理)在ABC △中，若1
tan 3
A =
，150C =，1BC =，则AB =________．
13．(2021模拟湖北理)在△ABC 中，三个角A ，B ，C 的对边边长分别为a=3,b=4,c=6,则bc cosA+ca cosB+ab cosC 的值为.
14．（2005上海理）在ABC ∆中，若120A ∠=，5AB =，7BC =，则ABC ∆的面积S=_______
三.解答题:（15、16小题每题12分，其余各题每题14分，计80分）
15．(2021模拟全国Ⅱ卷文) 在ABC △中，5cos 13A =-
，3cos 5
B =． （Ⅰ）求sin
C 的值；（Ⅱ）设5BC =，求ABC △的面积．
16.（2007山东文）在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为tan a b c C =，，，
（1）求cos C ； （2）若2
5
CA CB =•，且9a b +=，求c ．
17、(2021模拟海南、宁夏文)如图，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD 交
AC 于E ，AB=2。
（1）求cos ∠CBE 的值；（2）求AE 。
18.（2006全国Ⅱ
卷文）在45,ABC B AC C ∆∠=︒==中，求 （1）?BC =(2)若点D AB 是的中点，求中线CD 的长度。
19.（2007全国Ⅰ理）设锐角三角形ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c, a=2bsinA
(Ⅰ)求B 的大小; (Ⅱ)求C A sin cos +的取值范围.
20.（2003全国文、理，广东）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O
（如图）的东偏南
(cos θθ方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度
向西偏北︒45方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，并以10km/h 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
东
历届高考中的“解三角形”试题精选（自我测试）
参考答案
二.填空题:（每小题5分，计30分）
9.3； 10.30° ；.11. __ 60O_.12.
210；13．612
；1443 三.解答题:（15、16小题每题12分，其余各题每题14分，计80分）
15．解：（Ⅰ）由5cos 13A =-，得12sin 13A =，由3cos 5B =，得4
sin 5
B =． 所以16
sin sin()sin cos cos sin 65
C A B A B A B =+=+=．
（Ⅱ）由正弦定理得45sin 13512sin 313
BC B AC A ⨯
⨯==
=．
所以ABC △的面积1
sin 2S BC AC C =⨯⨯⨯1131652365=⨯⨯⨯
8
3
=．
16.解：（1）
sin tan cos C
C C
=∴
=
又
22sin cos 1C C +=
解得1cos 8
C =±
． tan 0C >，C ∴是锐角． 1
cos 8C ∴=．
（2）∵2
5
=•，即abcosC=25 ，又cosC=8120ab ∴=．
又9a b +=22281a ab b ∴++=． 22
41a b ∴+=． 2222cos 36c a b ab C ∴=+-=．6c ∴=．
17．解：（Ⅰ）因为9060150BCD =+=∠，
CD =，所以15CBE =∠．
所以6cos cos(4530)4
CBE =-=
∠． （Ⅱ）在ABE △中，2AB =，
由正弦定理2sin(4515)
sin(9015)
AE =
-+
． 故2sin 30
cos15AE
=
1
2⨯
=
=
18．解：（1
）由
cos sin C C =
sin sin(18045)sin )210
A C
C C =--
=+=
由正弦定理知sin
sin
AC BC A B =⋅==（2）sin 2sin 5AC AB C B =⋅==， 1
12
BD AB == 由余弦定理知132
2
2312181cos 222=⋅
⨯⨯-+=⋅-+=B BC BD BC BD CD
19.解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2
B =
， 由ABC △为锐角三角形得π
6B =
． （Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫
=++ ⎪⎝⎭
1cos cos 22A A A =+
+3A π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭．
由ABC △为锐角三角形知，2
A 0π
<
<，
ππ
π
<+
<6A 2．
解得2A 3ππ<< 所以653A 32πππ<
+<，
所以1sin 23A π⎛⎫+< ⎪⎝⎭
3A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭
所以，cos sin A C +
的取值范围为322⎛⎫
⎪ ⎪⎝
⎭，．
20.解：设在t 时刻台风中心位于点Q ，此时|OP|=300，|PQ|=20t ，
台风侵袭范围的圆形区域半径为r(t)=10t+60， 由102cos =
θ，可知10
27cos 1sin 2
=-=θθ， cos ∠OPQ=cos(θ-45o)=cosθcos45o+sinθsin45o
=5
422102722102=⨯+⨯ 在 △OPQ 中，由余弦定理，得
OPQ PQ OP PQ OP OQ ∠⋅-+=cos 22
22
=5
4
203002)20(3002
2⨯
⨯⨯-+t t =9000096004002
+-t t
若城市O 受到台风的侵袭，则有|OQ|≤r(t)，即
22)6010(900009600400+≤+-t t t ，
整理，得0288362
≤+-t t ，解得12≤t≤24, 答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.
东。