力线平移定理
l
C h d1
A d
Fy
F
D Fx
B FBx
FBy
FB何关系较复杂不
宜确定，用合力矩定理。
M A (F ) M A (F x ) M A (F y) F co h F n si ln F (co h s nil n )
2.求B点约束力对A点的力矩MA(FB)
F' M=Fd dA
F MM
A
B
B
F A
A F
B
B
A
M
M
F' F'
F
作用于刚体上的力，可以平移到刚体上的任一点，得到 一平移力和一附加力偶，其附加力偶矩等于原力对平移点的 力矩。此即为力线平移定理 。
任务实施
【例1】 图示刚架ABCD, 在D点作用F力,已知力F的方向角为。 求:1.F力对A点的力矩, 2.B点约束力对A点的力矩。
M A
l
B 解：1）取AB为研究对象,分析并画受力图
2）列平衡方程求解约束力
M
A
B
d
FB
FA
M 0: FBdM0 F BM d lc o M n 2 1 0 3 0 /2 5 7 .7N
FA57.7N
小结
力的平移定理
作用于刚体上的力，可以平移到刚体上的任一点，得到一平移力 和一附加力偶，其附加力偶矩等于原力对平移点的力矩。
情境二 构件受力计算 任务一：构件受平面汇交力系作用的受力计算
力的投影、力的合成计算 平面汇交力系平衡问题1 平面汇交力系平衡问题2 力矩 平面力偶及合成 力的平移定理
知识准备： 力的平移定理
一、力的平移定理
F' F
Bd A
若F' = F"=F
=
B
F"
M ( F F ) F M d B ( F )
同理，FB对A点力臂d的几何关系复杂不宜确定，用合力矩定理。
M A ( F B ) M A ( F B ) xM A ( F B )y
F B sin 0 F B co ln
FBlsin
任务实施
【例2】图示杆件AB上作用一力偶,其力偶矩Ｍ=100N·m,梁 长l=2m, =30不计梁的自重,求A、B两支座的约束力。
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平面任意力系
且其作用线互相平行的力系。
∑ ∑
Yi 0 or
Xi 0
∑
M o Fi 0
A、B两点
∑
M A Fi 0
∑
M B Fi 0
的连线不 能与各力 的作用线 平行
例1：图示吊车，起吊物 重W=30kN，横梁单位长 度重q =4.2N/cm，l=5m， x=l /4。求A、B约束力。
R R2 R2 42kN
O
Ox
Oy
arctg ROy 52.4
ROx
2）求力系的主矩 M A 1 25 2 20 sin60 - 3 18 sin30 32.6kN m
3）求合力作用线到A点的距离 d M A 32.6 0.777
RO 42
个固定矢量。与简化中心密切相关，简化中心不同 其主矩一般也不相同，简化中心就是其作用点。
力系的合力：为主矢和主矩的合力，是一个固定矢量。与
原力系互为等效力系，不仅仅取决于主矢和主矩的 大小、方向及转向，还必须指出其作用线。
例1：正三角形ABC边长为a，受力如图，且F1=F2=F3=F。
求力系的主矢、对A点的主矩及力系合力作用线的位置。
解：1）求力系的主矢
ROx F1 F2 cos 60 F3 cos 60 2F ROy F2 sin60 F3 sin60 0
F3
CC
RO
R2 Ox
R2 Oy
4F2 0 2F
2）求对A点的主矩
2F
A
BB
F1
MA C
M A aF2 sin60 0.87aF
第1节3讲平面汇交力系-力线平移
c
A
D
300
E
B
2m
1m
1m F
P
图2-16
【 解】（1）取AB梁为研究对象。 A （2）画受力图。 FAx 未知量三个： FAy FAy FT FAx
独立的平衡方程数也是三个。 （3）列平衡方程，选坐标如图所示。
FT
D
300
E
B
P
F
X Y
0
0
FAx FT cos 30 0 0 FAy FT sin 30 0 P F 0 M A (F ) 0 FT AB sin 30 0 P AD F AE 0
300
E
A B
(F ) 0 (F ) 0
x
0
FAx
B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱFAy
P
F
§2－5 平面平行力系的平衡条件
平面平行力系：各力的作用线在同一平面内且互 相平行的力系。 图示一受平面平行力系作用的物体，如选轴与各 力作用线垂直，显然有： F1 Fn y x F2
F
0
o
x
这样，平面平行力系的平衡 条件可写为：
FR‘
FR’ FR
O’
(b) 图2-6 合力矩定理证明图示
例2-1
图示一塔示起重机。机架m1=50t，重心在o点。 已知起重机的最大起吊质量m2=25t，欲使起重 机在空载与满载时都不会翻到，平衡锤的质量 m3 应如何？
c
b
o
W1
图中 a=3m,b=1.5m, c=6m, l=10m, W=m2g, P =m3g W1=m1g。
（1）
（2）
（3）
由（3）解得
力线平移定理的名词解释
力线平移定理的名词解释力线平移定理是流体力学中的基本定理之一，它描述了在一个定常的不可压缩流体中，沿着密度相同的流线平移的两点之间的压力差等于流速在这两点之间的切向速度分量的梯度与流体密度的乘积。
1. 引言在流体力学领域中，力线是描述流体运动的一种常用方式。
力线是指一条假想的线，其切向方向与流体的速度向量方向相同，因此力线可以帮助我们更好地理解流体的运动特性。
2. 力线平移定理的内容力线平移定理是描述力线平移过程中与压力差相关的一组方程。
在一个定常的不可压缩流体中，对于沿着密度相同的流线平移的两点A和B，它们之间的压力差可以表示为以下公式：ΔP = ρ ∂v_t/∂s其中，ΔP表示两点之间的压力差，ρ表示流体的密度，v_t表示流速在流线平移方向的切向速度分量，∂v_t/∂s表示切向速度的梯度。
3. 定常流体的定义在力线平移定理中，定常流体是指流体在任意时刻的速度场和压力场都不随时间变化，但随空间位置变化的情况。
这就意味着流体在整个系统内的速度和压力分布是恒定的，不会发生剧烈的波动或变化。
4. 不可压缩流体的定义在力线平移定理中，不可压缩流体是指流体在运动过程中密度始终保持不变的情况。
不可压缩流体的特点是其体积恒定，压力在不同位置发生变化时能够迅速传递，并保持体积的不变。
5. 力线平移定理的应用力线平移定理在流体力学中的应用十分广泛。
它被广泛用于分析流体力学问题、设计流体流动设备和优化流体流动过程。
例如，在飞机翼的设计中，通过运用力线平移定理，可以最大程度地减小翼面上的压力差，提高飞行的效率和安全性。
6. 力线平移定理的重要性力线平移定理作为流体力学中的基本定理之一，具有重要的理论和实践意义。
它不仅为我们提供了研究流体运动的一种重要方法，还为我们深入理解力线和流体力学问题的关系提供了基础。
同时，力线平移定理也为工程实践提供了重要的参考依据。
7. 结论力线平移定理是流体力学中的核心概念之一，它描述了定常不可压缩流体中沿着密度相同的流线平移的两点之间的压力差与切向速度梯度的乘积之间的关系。
力的平移定理
力F平移至球心，得力F'与附加力偶M，力F'使球移动，而附加力偶 M则使球旋转。
目录
理论力学
Байду номын сангаас
力的平移定理不仅是力系向一点 简化的理论依据，也是分析力对物体 作用效应的一个重要方法。例如图示 厂房柱子受偏心荷载F的作用，为分 析力F的作用效应，可将力F平移至
柱的轴线上成为力F´和附加力偶M， 轴向力F´使柱压缩，而附加力偶M将
使柱弯曲 目录
平面力系\力的平移定理 再以削乒乓球为例（如图），为分析力F对球的作用效应，将
力F 和F 组成一个力偶M，其力偶矩等于原力F对O点之矩。
即
M M O(F ) Fd
目录
平面力系\力的平移定理
由此得到力的平移定理：作用于刚体上的力，可平行移动到刚 体内任一指定点，但必须同时在该力与指定点所决定的平面内附加 一力偶，此附加力偶的矩等于原力对指定点之矩。
根据力的平移定理，也可以将同一平面内的一个力和一个力偶 合成为一个力，合成的过程就是上述的逆过程
理论力学
平面力系\力的平移定理
力的平移定理
为了得到平面一般力系的平衡条件和平衡方程，需要 研究平面一般力系向一点的简化。力系向一点简化的理论 基础是力的平移定理。
目录
平面力系\力的平移定理
设在刚体上A点作用一个力F，现要将其平行移动到刚体内任 一点O（图a），但不能改变力对刚体的作用效应。
根据加减平衡力系公理，可在O点加上一对平衡力F、F，力F 和F的作用线与原力F的作用线平行，且F ＝F ＝F（图b）。
目录
理论力学
Байду номын сангаас
力的平移定理不仅是力系向一点 简化的理论依据，也是分析力对物体 作用效应的一个重要方法。例如图示 厂房柱子受偏心荷载F的作用，为分 析力F的作用效应，可将力F平移至
柱的轴线上成为力F´和附加力偶M， 轴向力F´使柱压缩，而附加力偶M将
使柱弯曲 目录
平面力系\力的平移定理 再以削乒乓球为例（如图），为分析力F对球的作用效应，将
力F 和F 组成一个力偶M，其力偶矩等于原力F对O点之矩。
即
M M O(F ) Fd
目录
平面力系\力的平移定理
由此得到力的平移定理：作用于刚体上的力，可平行移动到刚 体内任一指定点，但必须同时在该力与指定点所决定的平面内附加 一力偶，此附加力偶的矩等于原力对指定点之矩。
根据力的平移定理，也可以将同一平面内的一个力和一个力偶 合成为一个力，合成的过程就是上述的逆过程
理论力学
平面力系\力的平移定理
力的平移定理
为了得到平面一般力系的平衡条件和平衡方程，需要 研究平面一般力系向一点的简化。力系向一点简化的理论 基础是力的平移定理。
目录
平面力系\力的平移定理
设在刚体上A点作用一个力F，现要将其平行移动到刚体内任 一点O（图a），但不能改变力对刚体的作用效应。
根据加减平衡力系公理，可在O点加上一对平衡力F、F，力F 和F的作用线与原力F的作用线平行，且F ＝F ＝F（图b）。
第二章 力系的简化理论详解
2355 709.4
3.320m
d
x
M O FR
FR
三、力系简化结果分析
应用1 固定端受力
Fx
Fy
M
W
Fy
P
P
My
Fz
Mz
Fx
Mx
三、力系简化结果分析
应用2 合力矩定理
FR 0 M O 0
MO
FR M O 0
O
FR
O
d O
FR
MO(FR ) MO MO(Fi ) (i 1,2,,n)
此时主矩与简化中心无关，简化结果与简化中心无关。
4、FR 0 MO 0 FR M O 0 简化结果为合力。 FR FR
合力 作用线到简化中心O的距离
MO
d
MO FR
O
FR
FR
O
d
FR FR FR FR
O d O
FR
三、力系简化结果分析
5、FR 0
MO
0
FR // M O
0
简化结果为力螺旋
FRx Fix 50 44.7 76.8 82.1N
FRy Fiy 102.4N
FRz
Fiz
89.4 153.6
64.2N
M x M x (Fi ) 489.4 6102.4 256.8N m
M y M y (Fi ) 389.4 6 76.8 192.6N m
Fi yi ， FR
zC
Fi zi FR
四、平行力系的中心、重心
重心坐标
xC
Pi xi Pi
yC
Pi yi Pi
zC
Pi zi Pi
均质物体
工程力学6 力的平移定理
M F d
F
F′
d F′
A
F
O d
A
三、力的平移定理的应用
假设在一块钢板上O点钉一个钉子， 用四根绳子用力拉，钢板将会如何 运动呢？钉子将如何受力？
F1
F2 O
F4 F3
Y
F1
Y
F2
X
O
F3 图① F4 Y R′ Mo
O 图③
根据力的平移定理 F2
M1 F1
M2 X
O
M2 M3
F4
F3 图②
根据平面汇交力系和
d
OM
F′
d
FA
A
M F，F F d M O F
因此：作用于刚体上的力，可平移到刚体上的任意一点， 但必须附加一力偶，其附加力偶矩等于原力对平移点的 力矩。图中O称为简化中心。
1.力的平移定理
F1
F2
F3
O
F4
例题1：如图所示，假设每个方格是边长为1m的 正方形，F1=10KN、F2=10KN、F3=30KN、 F4=30KN，试求：将四个力平移至O点的结果。
B Od
b
A
F=
M B
F
O d M MO F F d
A B
O b
A
逆时针为正
M M O F F b
M 顺时针为负 F
2.力的平移定理性质
（2）力的平移定理只适用于刚体，对变形体不适用， 并且力的作用线只能在同一刚体内平移，不能平移到另 一刚体。
（3）力的平移定理的逆定理也成立。
OM
X
平面力偶系的合成
R′=F1+F2+F3+F4（矢量和） MO=M1+M2+M3+M4 （代数和）
第1节3讲平面汇交力系-力线平移分解
FR' 0, Mo 0
是平面一般力系平衡的充分和必要条件。
合力矩定理
平面一般力系如果有合力，则合力对该力系作用 面内任一点之矩等于力系中各分力对该点之矩的 代数和 FR‘ 证明 如右图所示。
显然有
o Mo (a ) o d
O’
M 0 ( FR ) FR d M o , M o M o ( F ), M o ( FR ) M o ( F )
2. 力系简化为合力 （1）
F’
R
FR' 0, Mo 0
FR' 0, Mo 0
就是原力系的合力，合力的作用线通过简化中心。
（2）
力系仍可简化为一个合力，但合力的作用点不通过简化 中心。
FR’ o Mo (a )
O
FR’ o d FR‘’ (b)
O
FR o
FR
d
(c)
O
图2-5 力系简化为合力 3. 力系平衡
FR‘
FR’ FR
O’
(b) 图2-6 合力矩定理证明图示
例2-1
图示一塔示起重机。机架m1=50t，重心在o点。 已知起重机的最大起吊质量m2=25t，欲使起重 机在空载与满载时都不会翻到，平衡锤的质量 m3 应如何？
c
b
o
W1
图中 a=3m,b=1.5m, c=6m, l=10m, W=m2g, P =m3g W1=m1g。
向一点简化
平面一般力系
平面汇交力系
平面力偶系
合成
合成
F’（合力）
Mo（合力偶）
F2
Fn F2 ' M 2 Mn
o
F1
（a)
F2
力线平移
L 4L L FE sin60 F2 sin60 0 2 5 2
联立求解，可得横杆DE的拉力及铰C处的反力为
FCx 0.218kN，FCy 0.093kN，FE 0.182kN
17
【例3-4】物体重量为Q=1200N，由三杆AB、BC和CE所组成的构架以 及滑轮E支持，如图所示。已知AD = DB = 2m，CD = DE =1.5m，不计 各杆及滑轮重量。求支座A和B处的约束反力以及杆BC所受的力。
4．当 FR′=0 ，MO = 0 主矢和主矩都等于零。此时，原力系是平衡力系，物体在该力系的作用下 处于平衡状态。
8
3.2.3
合力矩定理
平面任意力系的合力对作用平面内任一点之矩等于原力系各分力 对同一点之矩的代数和。
3.3 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
Fx 0 Fy 0 M O ( Fi ) 0
F1
C y
L/2
F1
C
C
ห้องสมุดไป่ตู้
FCx
FCy
2L / 3
D E
F2
B D E B
F2
F2
60
A
60
FE
x
E
B
L
FAx FAy
A
FBy
FBy
解：先取整体为研究对象 ，其受力分析如图所示，列出平衡方程
F 0 F F 0 F 0 F F F 0
x
Ax
2
y
Ay
By
1
L 2L F M A (F ) 0 FBy L F2 sin60 cos60 0 1 2 3
FR' F1' F2' Fn' Fi'
工程力学第3章 平面任意力系
y
l
l
F
60
l
l D
M
B
D
F
60
M
B
3l
G
A
F1
l
G MA
FAy
x A
q
FAx
2. 按图示坐标，列写平衡方程。
F F
x
0, 0,
l
60
y l D
FAx F1 F sin 60 0
y
FAy P F cos 60 0
F
M
M F 0,
A
B
M A M F1 l F cos 60 l F sin 60 3l 0
G3 A
1.8 m
G2
G
G1
2.0 m
B
2.5 m 3.0 m
FA
FB
解：
1.取汽车及起重机为研究 对象，受力分析如图。 2.列平衡方程。
G3 G2 G
3.0 m
A1.8 mຫໍສະໝຸດ G12.0 mB
2.5 m
F 0,
M F 0,
B
FA
FB
FA FB G G1 G2 G3 0
C
B
F
cos 45 FAx FC cos 45 2 F 20 kN FAy F FC sin 45 F 10 kN
FC 2 F
28.28 kN
若将力FAx和FAy合成，得
2 2 FRA FAx FAy 22.36 kN
例 题 3
(条件：A、B、C 不在同一直线上)
上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。
l
l
F
60
l
l D
M
B
D
F
60
M
B
3l
G
A
F1
l
G MA
FAy
x A
q
FAx
2. 按图示坐标，列写平衡方程。
F F
x
0, 0,
l
60
y l D
FAx F1 F sin 60 0
y
FAy P F cos 60 0
F
M
M F 0,
A
B
M A M F1 l F cos 60 l F sin 60 3l 0
G3 A
1.8 m
G2
G
G1
2.0 m
B
2.5 m 3.0 m
FA
FB
解：
1.取汽车及起重机为研究 对象，受力分析如图。 2.列平衡方程。
G3 G2 G
3.0 m
A1.8 mຫໍສະໝຸດ G12.0 mB
2.5 m
F 0,
M F 0,
B
FA
FB
FA FB G G1 G2 G3 0
C
B
F
cos 45 FAx FC cos 45 2 F 20 kN FAy F FC sin 45 F 10 kN
FC 2 F
28.28 kN
若将力FAx和FAy合成，得
2 2 FRA FAx FAy 22.36 kN
例 题 3
(条件：A、B、C 不在同一直线上)
上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。
03静力学-一般力系
1
目 3.1 力线平移定理
录
3.2 平面一般力系向一点简化 3.3 一般力系的平衡方程
2
引
言
平面任意力系：各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一 平面任意力系 点又不相互平行的力系，叫平面任意力系 平面任意力系。 平面任意力系 [例] 例
力系向一点简化：把未知力系（平面任意力系）变成已知 力系向一点简化 力系（平面汇交力系和平面力偶系）
α =tg−1
Ry Y −1 ∑ =tg Rx ∑X
简化中心 (与简化中心位置无关) [因主矢等于各力的矢量和]
7
大小： M O = ∑mO ( Fi ) 大小 主矩M 主矩 O 方向： 方向 方向规定 + （转动效应 转动效应） 简化中心 (与简化中心有关) 转动效应 简化中心： （因主矩等于各力对简化中心取矩的代数和） 固定端（插入端） 固定端（插入端）约束
由∑ X = 0, X A = 0
∑mA(F )=0 ;
a RB ⋅a+q⋅a⋅ +m−P⋅2a=0 2 ∑ Y = 0 ∴Y A + RB − qa − P = 0
解得：
qa m 20×0.8 16 RB =− − +2P=− − +2×20=12(kN) 2 a 2 0.8 YA =P+qa−RB =20+20×0.8−12=24(kN) 22
− P ⋅ 2 a + N B ⋅3a = 0 , ∴ N B =
∑X =0
XA =0
YB + N B − P = 0, P ∴Y A = 3
2P 3
∑Y = 0
15
[例2] 悬臂吊车如图 a) 所示。A、B、C处均为铰接。AB梁自 例 重W1＝4 kN，载荷重W＝l0 kN，BC杆自重不计，有关尺寸如 图 a) 所示。求BC杆所受的力和铰A处的约束反力。
目 3.1 力线平移定理
录
3.2 平面一般力系向一点简化 3.3 一般力系的平衡方程
2
引
言
平面任意力系：各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一 平面任意力系 点又不相互平行的力系，叫平面任意力系 平面任意力系。 平面任意力系 [例] 例
力系向一点简化：把未知力系（平面任意力系）变成已知 力系向一点简化 力系（平面汇交力系和平面力偶系）
α =tg−1
Ry Y −1 ∑ =tg Rx ∑X
简化中心 (与简化中心位置无关) [因主矢等于各力的矢量和]
7
大小： M O = ∑mO ( Fi ) 大小 主矩M 主矩 O 方向： 方向 方向规定 + （转动效应 转动效应） 简化中心 (与简化中心有关) 转动效应 简化中心： （因主矩等于各力对简化中心取矩的代数和） 固定端（插入端） 固定端（插入端）约束
由∑ X = 0, X A = 0
∑mA(F )=0 ;
a RB ⋅a+q⋅a⋅ +m−P⋅2a=0 2 ∑ Y = 0 ∴Y A + RB − qa − P = 0
解得：
qa m 20×0.8 16 RB =− − +2P=− − +2×20=12(kN) 2 a 2 0.8 YA =P+qa−RB =20+20×0.8−12=24(kN) 22
− P ⋅ 2 a + N B ⋅3a = 0 , ∴ N B =
∑X =0
XA =0
YB + N B − P = 0, P ∴Y A = 3
2P 3
∑Y = 0
15
[例2] 悬臂吊车如图 a) 所示。A、B、C处均为铰接。AB梁自 例 重W1＝4 kN，载荷重W＝l0 kN，BC杆自重不计，有关尺寸如 图 a) 所示。求BC杆所受的力和铰A处的约束反力。