力的平移定理
关于力的平移定理
关于力的平移定理力的平移定理: 将力从物体上的一个作用点,移动到另外一点上,额外加上一个力偶矩,其大小等于这个力乘以2点距离,方向为移动后的力与移动前力的反向力形成的力偶的反方向刚体受力是不会发生形变的，而变形体就不一样了。
力的概念形成简史推拉物体时，可以直觉意识到“力”的模糊概念。
被推拉的物体发生运动以及物体滑行时，由于摩擦而逐渐变慢，最后停止下来，都反映了力的作用。
中国古代文献《墨经》就把这个概念总结为“力，形之所由奋也。
”就是说，力是使物体奋起运动的原因。
所以，力是那样自然地反映到人的意识中来的。
但是人们从直觉意识到“力”的概念到获得“力”的严格科学定义，却经历了长期的斗争。
力的概念在牛顿力学中占有最根本的位置。
牛顿在1664年就提出了力的定义是动量的时间变率(动量等于质量乘速度)。
牛顿第一定律(惯性定律)是力的定性的定义，它给出力在什么条件下存在和什么条件下不存在的定性条件。
牛顿第二定律给出了力的定量的定义，即力等于动量的时间变率，如果质量不变，力也等于质量乘加速度。
牛顿第三定律指出，对于每一个力而言，必有一大小相等方向相反的反作用力存在。
它指出所有的力都是成对的，只在两个物体相互作用时才能实现(见牛顿运动定律)。
牛顿的万有引力理论的惊人成就，使超距作用力的概念推广到物理学的其他分支中去。
但是，牛顿并不能从物理上说清超距作用的实质，所以长期受到各方的严厉批评，直到A，爱因斯坦于1905年提出狭义相对论，指出一切物理作用传播的最大速度是光速以后，人们才认识到牛顿有关超距作用力的概念有极大的局限性。
爱因斯坦1915年在他的广义相对论里明确指出，万有引力的传播速度不可能大于光速。
力线平移定理的名词解释
力线平移定理的名词解释力线平移定理是流体力学中的基本定理之一，它描述了在一个定常的不可压缩流体中，沿着密度相同的流线平移的两点之间的压力差等于流速在这两点之间的切向速度分量的梯度与流体密度的乘积。
1. 引言在流体力学领域中，力线是描述流体运动的一种常用方式。
力线是指一条假想的线，其切向方向与流体的速度向量方向相同，因此力线可以帮助我们更好地理解流体的运动特性。
2. 力线平移定理的内容力线平移定理是描述力线平移过程中与压力差相关的一组方程。
在一个定常的不可压缩流体中，对于沿着密度相同的流线平移的两点A和B，它们之间的压力差可以表示为以下公式：ΔP = ρ ∂v_t/∂s其中，ΔP表示两点之间的压力差，ρ表示流体的密度，v_t表示流速在流线平移方向的切向速度分量，∂v_t/∂s表示切向速度的梯度。
3. 定常流体的定义在力线平移定理中，定常流体是指流体在任意时刻的速度场和压力场都不随时间变化，但随空间位置变化的情况。
这就意味着流体在整个系统内的速度和压力分布是恒定的，不会发生剧烈的波动或变化。
4. 不可压缩流体的定义在力线平移定理中，不可压缩流体是指流体在运动过程中密度始终保持不变的情况。
不可压缩流体的特点是其体积恒定，压力在不同位置发生变化时能够迅速传递，并保持体积的不变。
5. 力线平移定理的应用力线平移定理在流体力学中的应用十分广泛。
它被广泛用于分析流体力学问题、设计流体流动设备和优化流体流动过程。
例如，在飞机翼的设计中，通过运用力线平移定理，可以最大程度地减小翼面上的压力差，提高飞行的效率和安全性。
6. 力线平移定理的重要性力线平移定理作为流体力学中的基本定理之一，具有重要的理论和实践意义。
它不仅为我们提供了研究流体运动的一种重要方法，还为我们深入理解力线和流体力学问题的关系提供了基础。
同时，力线平移定理也为工程实践提供了重要的参考依据。
7. 结论力线平移定理是流体力学中的核心概念之一，它描述了定常不可压缩流体中沿着密度相同的流线平移的两点之间的压力差与切向速度梯度的乘积之间的关系。
力的平移定理
第四章平面一般力系第一节力得平移定理上面两章已经研究了平面汇交力系与平面力偶系得合成与平衡。
为了将平面一般力系简化为这两种力系,首先必须解决力得作用线如何平行移动得问题。
设刚体得A点作用着一个力Ｆ(图4－３(a)）,在此刚体上任取一点O。
现在来讨论怎样才能把力F平移到O点,而不改变其原来得作用效应？为此,可在O点加上两个大小相等、方向相反,与F平行得力F′与F〞,且F′=F〞=F(图4－3(b)）根据加减平衡力系公理,F、F′与F〞与图4－3(a)得F对刚体得作用效应相同。
显然F〞与Ｆ组成一个力偶,其力偶矩为这三个力可转换为作用在O点得一个力与一个力偶（图4-3（ｃ））。
由此可得力得平移定理:作用在刚体上得力F，可以平移到同一刚体上得任一点O，但必须附加一个力偶,其力偶矩等于力F对新作用点O之矩。
顺便指出，根据上述力得平移得逆过程,共面得一个力与一个力偶总可以合成为一个力,该力得大小与方向与原力相同,作用线间得垂直距离为:力得平移定理就是一般力系向一点简化得理论依据,也就是分析力对物体作用效应得一个重要方法。
例如,图4－4ａ所示得厂房柱子受到吊车梁传来得荷载F得作用,为分析F得作用效应,可将力F平移到柱得轴线上得O点上，根据力得平移定理得一个力Ｆ′，同时还必须附加一个力偶（图4-4(b）)．力F经平移后,它对柱子得变形效果就可以很明显得瞧出,力F′使柱子轴向受压，力偶使柱弯曲。
第二节平面一般力系向作用面内任一点简化一、简化方法与结果设在物体上作用有平面一般力系F1,F2，…,F n，如图４-5(ａ）所示。
为将这力系简化，首先在该力系得作用面内任选一点O作为简化中心,根据力得平移定理,将各力全部平移到Ｏ点（图４-5(b）),得到一个平面汇交力系Ｆ１′,Ｆ２′,…，F n′与一个附加得平面力偶系.其中平面汇交力系中各力得大小与方向分别与原力系中对应得各力相同,即Ｆ１′=Ｆ1，F2′＝F2，…，F n′=F n各附加得力偶矩分别等于原力系中各力对简化中心O点之矩,即由平面汇交力系合成得理论可知,Ｆ１′,Ｆ2′,…，F n′可合成为一个作用于O点得力Rˊ，并称为原力系得主矢（图４－5(ｃ)),即R′＝F1′+F2′+…＋F n′＝Ｆ１+F2+…+F n=∑Fｉ（4-1）求主矢R′得大小与方向,可应用解析法。
掌握力的平移定理
主矢、主矩共同作用等效于原力系
结论：平面一般力系向其作用平面内任一点简化，得 到一个力和一个力偶。这个力称为原力系的主矢，作用于 简化中心,等于原力系各力的矢量和；这个力偶的力偶矩称 为原力系对简化中心的主矩。等于原力系中各力对简化中 心之矩之和. 注意：主矢与简化中心位置无关，主矩则有关。因此说 到力系的主矩时，必须指出是力系对于哪一点的主矩。
2、对简化结果进行讨论 （1）平面任意力系简化结果是一个力偶的情形 R′=0， M0≠0 此时原力系只与一个力偶等效，这个力偶就是原力系的 合力偶 （2）平面住意力系简化结果是一个力的情形 R′≠0， M0=0 此时原力系只与一个力等效，这个力就是原力系的合力 R′≠0 ， M0≠0 由力的等效平移的逆过程可知，这个力和力偶可以合成 为一个合力
= O
Mo
R/
x
F3
F3/
M 1 M o F1 M 2 M o F2 M 3 M o F3
平面汇交力系 R′=∑F′=∑F 平面任意力系 平面力偶系 M0=∑M0=∑M0(F)
1、平面任意力系向O点简化的结果：
y
Mo O
R
合力 R ′ —
原力系的主矢，通过O点。
x
合力偶矩 M0 — 原力系对于O点的主矩
将F平移到B点，梁的变形 发生了改变。
力的平移定理的逆过程
—共面的一个力和一个力偶可以合成为一个力
d=
M F
/
至于力F在F′的哪一侧，可由力F对点0的 矩的转向与力偶矩Mo的转向一致的原则来判定。
二. 平面任意力系向作用面内一点简化
y F1 O F2 F1/ M1 = O y
M2 F2/ M3 x
二、平面任意力系的简化 1、简化过程及结果
力线平移定理
l
C h d1
A d
Fy
F
D Fx
B FBx
FBy
FB何关系较复杂不
宜确定，用合力矩定理。
M A (F ) M A (F x ) M A (F y) F co h F n si ln F (co h s nil n )
2.求B点约束力对A点的力矩MA(FB)
F' M=Fd dA
F MM
A
B
B
F A
A F
B
B
A
M
M
F' F'
F
作用于刚体上的力，可以平移到刚体上的任一点，得到 一平移力和一附加力偶，其附加力偶矩等于原力对平移点的 力矩。此即为力线平移定理 。
任务实施
【例1】 图示刚架ABCD, 在D点作用F力,已知力F的方向角为。 求:1.F力对A点的力矩, 2.B点约束力对A点的力矩。
M A
l
B 解：1）取AB为研究对象,分析并画受力图
2）列平衡方程求解约束力
M
A
B
d
FB
FA
M 0: FBdM0 F BM d lc o M n 2 1 0 3 0 /2 5 7 .7N
FA57.7N
小结
力的平移定理
作用于刚体上的力，可以平移到刚体上的任一点，得到一平移力 和一附加力偶，其附加力偶矩等于原力对平移点的力矩。
情境二 构件受力计算 任务一：构件受平面汇交力系作用的受力计算
力的投影、力的合成计算 平面汇交力系平衡问题1 平面汇交力系平衡问题2 力矩 平面力偶及合成 力的平移定理
知识准备： 力的平移定理
一、力的平移定理
F' F
Bd A
工程力学6 力的平移定理
M F d
F
F′
d F′
A
F
O d
A
三、力的平移定理的应用
假设在一块钢板上O点钉一个钉子， 用四根绳子用力拉，钢板将会如何 运动呢？钉子将如何受力？
F1
F2 O
F4 F3
Y
F1
Y
F2
X
O
F3 图① F4 Y R′ Mo
O 图③
根据力的平移定理 F2
M1 F1
M2 X
O
M2 M3
F4
F3 图②
根据平面汇交力系和
d
OM
F′
d
FA
A
M F，F F d M O F
因此：作用于刚体上的力，可平移到刚体上的任意一点， 但必须附加一力偶，其附加力偶矩等于原力对平移点的 力矩。图中O称为简化中心。
1.力的平移定理
F1
F2
F3
O
F4
例题1：如图所示，假设每个方格是边长为1m的 正方形，F1=10KN、F2=10KN、F3=30KN、 F4=30KN，试求：将四个力平移至O点的结果。
B Od
b
A
F=
M B
F
O d M MO F F d
A B
O b
A
逆时针为正
M M O F F b
M 顺时针为负 F
2.力的平移定理性质
（2）力的平移定理只适用于刚体，对变形体不适用， 并且力的作用线只能在同一刚体内平移，不能平移到另 一刚体。
（3）力的平移定理的逆定理也成立。
OM
X
平面力偶系的合成
R′=F1+F2+F3+F4（矢量和） MO=M1+M2+M3+M4 （代数和）
力线平移
L 4L L FE sin60 F2 sin60 0 2 5 2
联立求解，可得横杆DE的拉力及铰C处的反力为
FCx 0.218kN，FCy 0.093kN，FE 0.182kN
17
【例3-4】物体重量为Q=1200N，由三杆AB、BC和CE所组成的构架以 及滑轮E支持，如图所示。已知AD = DB = 2m，CD = DE =1.5m，不计 各杆及滑轮重量。求支座A和B处的约束反力以及杆BC所受的力。
4．当 FR′=0 ，MO = 0 主矢和主矩都等于零。此时，原力系是平衡力系，物体在该力系的作用下 处于平衡状态。
8
3.2.3
合力矩定理
平面任意力系的合力对作用平面内任一点之矩等于原力系各分力 对同一点之矩的代数和。
3.3 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
Fx 0 Fy 0 M O ( Fi ) 0
F1
C y
L/2
F1
C
C
ห้องสมุดไป่ตู้
FCx
FCy
2L / 3
D E
F2
B D E B
F2
F2
60
A
60
FE
x
E
B
L
FAx FAy
A
FBy
FBy
解：先取整体为研究对象 ，其受力分析如图所示，列出平衡方程
F 0 F F 0 F 0 F F F 0
x
Ax
2
y
Ay
By
1
L 2L F M A (F ) 0 FBy L F2 sin60 cos60 0 1 2 3
FR' F1' F2' Fn' Fi'
力的等效平移定理
力的等效平移定理力的等效平移定理，又称牛顿第二定律的平移形式定理，是牛顿力学中非常重要的定理之一。
它揭示了力的运动规律与参考系的关系，具有深刻的物理意义和重大的应用价值。
力的等效平移定理表明，在相同的力的作用下，质点的运动规律与参考系的选择无关，而只与物体的质量和所受的力的大小和方向有关。
这个定理非常重要，因为它为我们研究物体的运动提供了一个方便而简单的理论框架。
首先，我们需要了解什么是平移。
平移是指在空间中移动一个物体或系统，使其整体位置的改变与其他物体或系统相对位置的不变而产生的移动。
以小汽车沿一条直线驶入一个隧道为例，汽车和驾驶员相对地面保持不动，但是汽车整体沿着一条直线移动了。
现在，我们来证明力的等效平移定理。
假设一个物体上有一个恒定的力F作用，根据牛顿第二定律，该物体的加速度a=F/m。
假设我们在物体相对参考系上观察运动，该物体的速度为v0，加速度为a0，则此时，物体所受到的“净力”是F0=F-ma0。
在惯性参考系中观察该物体，该物体所受到的力是F，因此，根据牛顿第二定律，此时该物体的加速度为a=F/m。
因此，在两个不同的参考系中，物体的加速度不同，但物体所受的净力相等。
这就是力的等效平移定理。
该定理具有广泛的应用，例如舰船导航、炮弹轨迹计算、火箭发射等等。
在这些应用中，我们总是需要相对参考系和绝对参考系相互转换。
通过力的等效平移定理，我们可以很容易地将问题转化为惯性参考系的问题，从而简化了计算和分析的难度。
在实际应用中，我们经常需要对物体所受的复合力进行运动分析。
例如，一架飞机在受到多个力的作用下飞行，需要对各个力的大小和方向进行处理。
通过力的等效平移定理，我们可以将各个力转化为沿惯性参考系的力，从而方便地进行运动分析和设计。
总之，力的等效平移定理是牛顿力学中一项非常重要的基本定理。
它揭示了力的运动规律与参考系之间的关系，为我们研究物体的运动提供了一个便捷的理论框架。
在实际应用中，它也给我们提供了一个简单而有效的工具，用于进行复杂的运动分析和设计。
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第四章 平面一般力系第一节 力的平移定理上面两章已经研究了平面汇交力系与平面力偶系的合成与平衡。
为了将平面一般力系简化为这两种力系，首先必须解决力的作用线如何平行移动的问题。
设刚体的A 点作用着一个力F （图4－3（a ）），在此刚体上任取一点O 。
现在来讨论怎样才能把力F 平移到O 点，而不改变其原来的作用效应？为此，可在O 点加上两个大小相等、方向相反，与F 平行的力F ′和F 〞，且F ′=F 〞=F （图4－3（b ）） 根据加减平衡力系公理，F 、F ′和F 〞与图4－3（a ）的F 对刚体的作用效应相同。
显然F 〞和F 组成一个力偶，其力偶矩为)(O F M Fd m ==这三个力可转换为作用在O 点的一个力和一个力偶（图4－3（c ））。
由此可得力的平移定理：作用在刚体上的力F ，可以平移到同一刚体上的任一点O ，但必须附加一个力偶，其力偶矩等于力F 对新作用点O 之矩。
顺便指出，根据上述力的平移的逆过程，共面的一个力和一个力偶总可以合成为一个力，该力的大小和方向与原力相同，作用线间的垂直距离为： F md '=力的平移定理是一般力系向一点简化的理论依据，也是分析力对物体作用效应的一个重要方法。
例如，图4－4a 所示的厂房柱子受到吊车梁传来的荷载F 的作用，为分析F 的作用效应，可将力F 平移到柱的轴线上的O 点上，根据力的平移定理得一个力F ′，同时还必须附加一个力偶（图4－４（b ））。
力F 经平移后，它对柱子的变形效果就可以很明显的看出，力F ′使柱子轴向受压，力偶使柱弯曲。
第二节 平面一般力系向作用面内任一点简化一、简化方法和结果设在物体上作用有平面一般力系F 1，F 2，…，F n ，如图4－5（a ）所示。
为将这力系简化，首先在该力系的作用面内任选一点O 作为简化中心，根据力的平移定理，将各力全部平移到O 点（图4－5（b ）），得到一个平面汇交力系F 1′，F 2′，…，F n ′和一个附加的平面力偶系n 21,,,m m m Λ。
其中平面汇交力系中各力的大小和方向分别与原力系中对应的各力相同，即F 1′=F 1，F 2′=F 2，…，F n ′=F n各附加的力偶矩分别等于原力系中各力对简化中心O 点之矩，即,)( ,)( ,)(n 0n 202101F F F M m M m M m ===由平面汇交力系合成的理论可知，F 1′，F 2′，…，F n ′可合成为一个作用于O 点的力R ˊ，并称为原力系的主矢（图4－5（c ）），即R ′= F 1′+F 2′+…+F n ′= F 1+F 2+…+F n =∑F i （4－１）求主矢R ′的大小和方向，可应用解析法。
过O 点取直角坐标系oxy ，如图4－5所示。
主矢R ′在x 轴和y 轴上的投影为R x ′= x 1′+x 2′+…+x n ′=x 1+x 2+…+x n =∑XR y ′= y 1′+y 2′+…+y n ′=y 1+y 2+…+y n =∑Y式中：x i ′、y i ′和x i 、y i 分别是力F i ′和F i 在坐标轴x 和y 轴上的投影。
由于F i ′和F i 大小相等、方向相同，所以它们在同一轴上的投影相等。
主矢R ′的大小和方向为)()(2222Y X R R R y x ∑+∑='+'=' （4－2）XY R R x y∑∑=''=αtan （4－3） α为R ′与x 轴所夹的锐角，R ′的指向由∑X 和∑Y 的正负号确定。
由力偶系合成的理论知，m 1，m 2，…，m n 可合成为一个力偶（如图4－5（c ）），并称为原力系对简化中心O 的主矩，即)()()(i O n O 1O n 1OF F M M M m m M ∑=++=++='ΛΛF （4－4） 综上所述，得到如下结论：平面一般力系向作用面内任一点简化的结果，是一个力和一个力偶。
这个力作用在简化中心，它的矢量称为原力系的主矢，并等于原力系中各力的矢量和；这个力偶的力偶矩称为原力系对简化中心的主矩，并等于原力系各力对简化中心的力矩的代数和。
应当注意，作用于简化中心的力R ′一般并不是原力系的合力，力偶矩为M O ′也不是原力系的合力偶，只有R ′与M O ′两者相结合才与原力系等效。
由于主矢等于原力系各力的矢量和，因此主矢R 的大小和方向与简化中心的位置无关。
而主矩等于原力系各力对简化中心的力矩的代数和，取不同的点作为简化中心，各力的力臂都要发生变化，则各力对简化中心的力矩也会改变，因而，主矩一般随着简化中心的位置不同而改变。
二、平面一般力系简化结果的讨论平面力系向一点简化，一般可得到一力和一个力偶，但这并不是最后简化结果。
根据主矢与主矩是否存在，可能出现下列几种情况：（1）若R ′=0，M O ′≠0，说明原力系与一个力偶等效，而这个力偶的力偶矩就是主矩。
由于力偶对平面内任意一点之矩都相同，因此当力系简化为一力偶时，主矩和简化中心的位置无关，无论向哪一点简化，所得的主矩相同。
（2）若R ′≠0，M O ′=0，则作用于简化中心的力R ′就是原力系的合力，作用线通过简化中心。
（3）若R ′≠0，M O ′≠0，这时根据力的平移定理的逆过程，可以进一步合成为合力R ，如图4－6所示。
将力偶矩为M O ′的力偶用两个反向平行力R 、R 〞表示，并使R ′和R 〞等值、共线，使它们构成一平衡力图4－6（b ），为保持M O ′不变，只要取力臂d 为 R M R M d OO'=''=将R 〞和R ′这一平衡力系去掉，这样就只剩下R 力与原力系等效（图4－6（c ））。
合力R 在O 点的哪一侧，由R 对O 点的矩的转向应与主矩M O ′的转向相一致来确定。
（4）R ′=0，M O ′=0，此时力系处于平衡状态。
三、平面一般力系的合力矩定理由上面分析可知，当R ′≠0，M O ′≠0时，还可进一步简化为一合力R ，见图4－6，合力对O 点的矩是d R M ⋅=)(O R而)( O O OF M M M d R ∑=''=⋅ 所以)()(O O F M R M ∑=由于简化中心O 是任意选取的，故上式有普遍的意义。
于是可得到平面力系的合力矩定理。
平面一般力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系中各力对同一点之矩的代数和。
例4－1 如图4－7（a ）所示，梁AB 的A 端是固定端支座，试用力系向某点简化的方法说明固定端支座的反力情况。
解：梁的A 端嵌入墙内成为固定端，固定端约束的特点是使梁的端部既不能移动也不能转动。
在主动力作用下，梁插入部分与墙接触的各点都受到大小和方向都不同的约束反力作用（图4－7（b ）），这些约束反力就构成一个平面一般力系，将该力系向梁上A 点简化就得到一个力R A 和一个力偶矩为M A 的力偶（图4－7（c ）），为了便于计算，一般可将约束反力R A ，用它的水平分力X A 和垂直分力Y A 来代替。
因此，在平面力系情况下，固定端支座的约束反力包括三个；即阻止梁端向任何方向移动的水平反力X A 和竖向反力Y A ，以及阻止物体转动的反力偶M A 。
它们的指向都是假定的（图4－7（d ））。
例4－2 已知素混凝土水坝自重kN 6001=G ，kN 3002=G ，水压力在最低点的荷载集度kN/m 80=q ，各力的方向及作用线位置如图4－8（a ）所示。
试将这三个力向底面Ａ点简化，并求简化的最后结果。
解：以底面Ａ为简化中心，取坐标系如图4－8（a ）所示，由式（4－2）和式（4－3）可求得主矢R ′的大小和方向。
由于kN 900300600kN 3208802182121=+=+=∑=⨯⨯=⨯⨯=∑G G Y q X 所以︒===∑∑===+=∑+∑='70.43813.2 320900 tan kN2.955)900(2)320(2)(2)(2ααX YY X R因为∑X 为正值，∑Y 为正值，故R ′指向第一象限与x 轴夹角为α，再由式（4－4）可求得主矩为mkN 3.295343005.16008318802145.1831821)(21A A⋅-=⨯-⨯-⨯⨯⨯⨯-=⨯-⨯-⨯⨯⨯⨯-=∑='G G q M M F计算结果为负值表示M A ′是顺时针转向。
因为主矢R ′≠0，主矩M A ′≠0，如图4－8（b ）所示，所以还可进一步合成为一个合力R 。
R 的大小、方向与R ′相同，它的作用线与A 点的距离为m 10.32.9553.2953O ==''=R M d 因M A ′为负，故M A （R ）也应为负，即合力R 应在A 点右侧，如图4－8（c ）所示。
第三节 平面一般力系平衡条件及其应用一、平面一般力系的平衡条件平面一般力系向任一点简化时，当主矢、主矩同时等于零，则该力系为平衡力系。
因此，平面一般力系处在平衡状态的必要与充分条件是力系的主矢与力系对于任一点的主矩都等于零，即：R ′=0 M O ′=0根据式（4－2）及式（4－4），可得到平面一般力系的平衡条件为⎪⎭⎪⎬⎫=∑=∑=∑000O M Y X （4－5）式（4－5）说明，力系中所有各力在两个坐标轴上的投影的代数和均等于零，所有各力对任一点之矩的代数和等于零。
式（4－5）中包含两个投影方程和一个力矩方程，是平面一般力系平衡方程的基本形式。
这三个方程是彼此独立的（即其中的一个不能由另外两个得出），因此可求解三个未知量。
例4－3 梁AB 一端为固定端支座，另一端无约束，这样的梁称为悬臂梁。
它承受均布荷载q 和一集中力P 的作用，如图4－9（a ）所示。
已知P =10kN ， q =2kN/m ，l =4m ，︒=45α，梁的自重不计，求支座A 的反力。
解：取梁AB 为研究对象，其受力图如图4－9（b ）所示。
支座反力的指向是假定的，梁上所受的荷载和支座反力组成平面一般力系。
在计算中可将线荷载q 用作用其中心的集中力2ql Q =来代替。
选取坐标系，列平衡方程。
)(kN 07.7707.010cos 0cos - 0A A →=⨯====∑ααP X P X X )(kN 07.11707.010242sin 2 0sin 2 0A A ↑=⨯+⨯=+==--=∑ααP ql Y P ql Y Y) ( m kN 28.404707.0108423sin 83 0sin 422ql 022A A ⋅=⨯⨯+⨯⨯=⋅+==⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=∑l P ql m l P l l m M A αα力系既然平衡，则力系中各力在任一轴上的投影代数和必然等于零，力系中各力对任一点之矩的代数和也必然为零。