高中数学-微积分基本定理
人教版高中数学第一章1.6微积分基本定理
的研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进
行叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元
法；因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
归纳升华 (1)利用微积分基本定理求定积分，关键是求使 F′(x) ＝f(x)的 F(x)，其求法是反方向运用求导公式． (2)当被积函数是积的形式时，应先化和差的形式， 再利用定积分的性质化简，最后再用微积分基本定理求定 积分的值．
(3)对于多项式函数的原函数，应注意 xn(n≠－1)的原 xn＋1
函数为 ，它的应用很广泛． n＋1
[变式训练] 下列积分值为 2 的是( )
A.∫50(2x－4)dx C.∫311xdx
B.∫0π cos xdx D.∫0π sin xdx
解析：∫50(2x－4)dx＝(x2－4x)|50＝5，∫0π cos xdx＝sin
x|π0 ＝0，∫311xdx＝ln x|31＝ln 3，∫π0 sin xdx＝－cos x|0π ＝2.
x 的原函数为
F(x)
π
＝12x－12sin x，所以 sin2 x2dx＝12x－12sin x|20＝π4－12＝
π－2 4. π－2 答案： 4
5．曲线 y＝2x2 与直线 x＝1，x＝2 及 y＝0 所围成的 平面图形的面积为________．
解析：依题意，所求面积为 S＝∫212x2dx＝23x3|21＝136－ 23＝134. 答案：134
＝sin 1－23. 答案：sin 1－23
类型 3 微积分基本定理的综合应用(互动探究)
高中 微积分
高中微积分摘要：一、微积分简介1.微积分的概念2.微积分的发展历程3.微积分在高中阶段的教学内容二、微积分的核心概念1.极限2.导数3.积分三、微积分的基本公式和定理1.导数的基本公式2.导数的应用定理3.积分的计算公式4.积分的应用定理四、微积分在高中数学中的应用1.函数问题2.几何问题3.物理问题五、微积分的学习方法和策略1.理解概念和原理2.掌握基本公式和定理3.培养解题技巧和思维能力正文：微积分是高中数学的重要内容，它以函数为基础，研究函数的极限、导数、积分等性质。
微积分的发展历程悠久，从古希腊时期的数学家开始，经历了一系列重要的发展阶段，如牛顿和莱布尼茨的创立等。
在我国，微积分自20 世纪初开始引入中学教育，现已成为高中数学的必修课程。
微积分涉及的核心概念包括极限、导数和积分。
极限是微积分的基石，它研究当自变量趋近某个值时，函数值的变化趋势。
导数则是描述函数在某一点处变化率的数学量，它反映了函数的局部性质。
积分则是一种求和的方法，用于计算曲线下的面积、长度等。
微积分中包含许多基本公式和定理，如导数的基本公式、拉格朗日中值定理、牛顿- 莱布尼茨公式等。
这些公式和定理为解决实际问题提供了有力的工具。
在高中阶段，微积分主要应用于函数问题、几何问题以及物理问题等，如求解极值、曲线拟合、速度与加速度等。
学习微积分需要掌握一定的方法和策略。
首先，要深入理解概念和原理，这是解决问题的关键。
其次，熟练掌握基本公式和定理，这样才能迅速地解决问题。
最后，培养解题技巧和思维能力，这有助于提高解题效率和准确度。
总之，微积分是高中数学的重要组成部分，它为我们解决实际问题提供了丰富的方法和策略。
学习微积分需要投入时间和精力，但回报也是丰厚的。
(完整)高中数学选修2-2微积分基本定理
[学习目标] 1.了解导数和微积分的关系.2.掌握微积分基本定理.3.会用微积分基本定理求一些函数的定积分.知识点一 导数与定积分的关系f (x )d x 等于函数f (x )的任意一个原函数F (x )(F ′(x )＝f (x ))在积分区间[a ，b ]上的改变量F (b )－F (a ).以路程和速度之间的关系为例解释如下：如果物体运动的速度函数为v ＝v (t )，那么在时间区间[a ，b ]内物体的位移s 可以用定积分表示为s ＝v (t )d t .另一方面，如果已知该变速直线运动的路程函数为s ＝s (t )，那么在时间区间[a ，b ]内物体的位移为s (b )－s (a )，所以有v (t )d t ＝s (b )－s (a ).由于s ′(t )＝v (t )，即s (t )为v (t )的原函数，这就是说，定积分v (t )d t 等于被积函数v (t )的原函数s (t )在区间[a ，b ]上的增量s (b )－s (a ).思考 函数f (x )与其一个原函数的关系： (1)若f (x )＝c (c 为常数)，则F (x )＝cx ； (2)若f (x )＝x n (n ≠－1)，则F (x )＝1n ＋1·x n ＋1；(3)若f (x )＝1x ，则F (x )＝ln x (x >0)；(4)若f (x )＝e x ，则F (x )＝e x ；(5)若f (x )＝a x，则F (x )＝a xln a(a >0且a ≠1)；(6)若f (x )＝sin x ，则F (x )＝－cos x ； (7)若f (x )＝cos x ，则F (x )＝sin x . 知识点二 微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么f (x )d x ＝F (b )－F (a ). 思考 (1)函数f (x )的原函数F (x )是否唯一？(2)用微积分基本定理计算简单定积分的步骤是什么？ 答案 (1)不唯一.(2)①把被积函数f (x )变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数等初等函数与常数的和或差；②用求导公式找到F (x )，使得F ′(x )＝f (x )； ③利用微积分基本定理求出定积分的值.题型一 求简单函数的定积分 例1 计算下列定积分. (1)3d x ；(2)(2x ＋3)d x ； (3) (4x －x 2)d x ；(4)(x －1)5d x . 解 (1)因为(3x )′＝3，所以3d x ＝(3x )⎪⎪⎪21＝3×2－3×1＝3. (2)因为(x 2＋3x )′＝2x ＋3， 所以(2x ＋3)d x ＝(x 2＋3x )⎪⎪⎪2＝22＋3×2－(02＋3×0)＝10. (3)因为⎝⎛⎭⎫2x 2－x33′＝4x －x 2， 所以(4x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x 2－x 33⎪⎪⎪3－1＝⎝⎛⎭⎫2×32－333－⎣⎡⎦⎤2×(－1)2－(－1)33＝203.(4)因为⎣⎡⎦⎤16(x －1)6′＝(x －1)5， 所以 (x －1)5d x ＝16(x －1)6⎪⎪⎪21＝16(2－1)6－16(1－1)6＝16. 反思与感悟 (1)用微积分基本定理求定积分的步骤： ①求f (x )的一个原函数F (x )； ②计算F (b )－F (a ). (2)注意事项：①有时需先化简，再求积分；②若F (x )是f (x )的原函数，则F (x )＋C (C 为常数)也是f (x )的原函数.随着常数C 的变化，f (x )有无穷多个原函数，这是因为F ′(x )＝f (x )，则[F (x )＋C ]′＝F ′(x )＝f (x )的缘故.因为⎠⎛ab f (x )d x＝[F (x )＋C ]|b a ＝[F (b )＋C ]－[F (a )＋C ]＝F (b )－F (a )＝F (x )|b a ，所以利用f (x )的原函数计算定积分时，一般只写一个最简单的原函数，不用再加任意常数C 了. 跟踪训练1 求下列函数的定积分： (1)⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ；(2)x (1＋x )d x . 解 (1)⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x 2＋2＋1x 2d x ＝⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛122d x ＋⎠⎛121x2d x ＝13x 3⎪⎪⎪ 21+2 x ⎪⎪⎪ 21 +⎝⎛⎭⎫-12⎪⎪⎪21＝13×(23－13)＋2×(2－1)－⎝⎛⎭⎫12－1 ＝296. (2)⎠⎛49x (1＋x )d x＝⎠⎛49(x ＋x )d x＝⎝⎛⎭⎫23x x ＋12x 2⎪⎪⎪94＝⎝⎛⎭⎫23×9×3＋12×92－⎝⎛⎭⎫23×4×2＋12×42 ＝2716. 题型二 求分段函数的定积分 例2 求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ∈[0，1)，x 2，x ∈[1，2)，2x ，x ∈[2，3]在区间[0,3]上的定积分.解 由定积分的性质知：⎠⎛03f (x )d x ＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ＋⎠⎛23f (x )d x ＝⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛232x d x＝x 44⎪⎪⎪10＋x 33⎪⎪⎪21＋2x ln 2⎪⎪⎪32＝14＋83－13＋8ln 2－4ln 2 ＝3112＋4ln 2. 反思与感悟 (1)分段函数在区间[a ，b ]上的定积分可分成几个定积分的和的形式.(2)分段的标准是确定每一段上的函数表达式，即按照原函数分段的情况分就可以. 跟踪训练2 求下列定积分： (1)⎠⎛02|x 2－1|d x ；(2) ⎠⎜⎛0π21－sin 2x d x .解 (1)∵y ＝|x 2－1|＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，0≤x ＜1，x 2－1，1≤x ≤2，∴⎠⎛02|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x＝⎝⎛⎭⎫x －x 33⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎫x 33－x ⎪⎪⎪21＝⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫83－2－⎝⎛⎭⎫13－1 ＝2.(2) ⎠⎜⎛0π21－sin 2x d x＝⎠⎜⎛0π2|sin x －cos x |d x＝⎠⎜⎛0π4 (cos x －sin x )d x ＋⎠⎜⎜⎛π4π2 (sin x －cos x )d x ＝(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪π4＋(－cos x －sin x )⎪⎪⎪⎪π2π4＝⎝⎛⎭⎫22＋22－1＋(－1)－⎝⎛⎭⎫－22－22 ＝22－2.题型三 定积分的简单应用例3 已知f (a )＝⎠⎛01 (2ax 2－a 2x )d x ，求f (a )的最大值.解 ∵⎝⎛⎭⎫23ax 3－12a 2x 2′＝2ax 2－a 2x ，∴⎠⎛01 (2ax 2－a 2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫23ax 3－12a 2x 2⎪⎪⎪10 ＝23a －12a 2， 即f (a )＝23a －12a 2＝－12⎝⎛⎭⎫a 2－43a ＋49＋29 ＝－12⎝⎛⎭⎫a －232＋29， ∴当a ＝23时，f (a )有最大值29.反思与感悟 定积分的应用体现了积分与函数的内在联系，可以通过积分构造新的函数，进而对这一函数进行性质、最值等方面的考查，解题过程中注意体会转化思想的应用. 跟踪训练3 已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2，求a 、b 、c 的值.解 由f (－1)＝2，得a －b ＋c ＝2.① 又f ′(x )＝2ax ＋b ，∴f ′(0)＝b ＝0，② 而⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01 (ax 2＋bx ＋c )d x＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋12bx 2＋cx ⎪⎪⎪10 ＝13a ＋12b ＋c ， ∴13a ＋12b ＋c ＝－2，③ 由①②③式得a ＝6，b ＝0，c ＝－4.1.⎠⎜⎛0π4cos 2xcos x ＋sin x d x 等于( )A.2(2－1)B.2＋1C.2－1D.2－2答案 C解析 结合微积分基本定理，得⎠⎜⎛0π4cos 2x －sin 2xcos x ＋sin x d x ＝⎠⎜⎛0π4 (cos x －sin x )d x ＝(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪π40＝2－1. 2.下列定积分的值等于1的是( )A.⎠⎛01x d xB.⎠⎛01(x ＋1)d xC.⎠⎛011d xD.⎠⎛0112d x 答案 C解析 ⎠⎛01x d x ＝12x 2⎪⎪⎪ 10＝12，⎠⎛01(x ＋1)d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋x ⎪⎪⎪ 10＝12＋1＝32，⎠⎛011d x ＝x ⎪⎪⎪10＝1，⎠⎛0112d x＝12x ⎪⎪⎪10＝12.故选C.3.⎠⎛02⎝⎛⎭⎫x 2－23x d x ＝ . 答案 43解析 ⎠⎛02⎝⎛⎭⎫x 2－23x d x ＝⎠⎛02x 2d x －⎠⎛0223x d x ＝x 33⎪⎪⎪20－x 23⎪⎪⎪20＝83－43＝43. 4.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，0≤x ＜1，3－x ，1≤x ≤2，则⎠⎛02f (x )d x ＝ .答案176解析 ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋1)d x ＋⎠⎛12(3－x )d x＝⎝⎛⎭⎫x 33＋x ⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎫3x －x 22⎪⎪⎪21＝176.5.已知函数f (x )为偶函数，且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则⎠⎛－66 f (x )d x ＝ .答案 16解析 因为函数f (x )为偶函数， 且⎠⎛06f (x )d x ＝8，所以⎠⎛－66f (x )d x ＝2⎠⎛06f (x )d x ＝16.1.求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分.(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和. (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分.2.由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x 轴下方的图形面积要取定积分的相反数.一、选择题1.函数y ＝⎠⎛0x cos x d x 的导数是( )A.cos xB.－sin xC.cos x －1D.sin x 答案 A解析 (sin x )′＝cos x ，⎠⎛0x cos x d x ＝sin x ⎪⎪⎪x0＝sin x ，故选A. 2.若F ′(x )＝x 2，则F (x )的解析式不正确的是( ) A.F (x )＝13x 3B.F (x )＝x 3C.F (x )＝13x 3＋1D.F (x )＝13x 3＋c (c 为常数)答案 B解析 若F (x )＝x 3，则F ′(x )＝3x 2，这与F ′(x )＝x 2不一致，故选B. 3. ⎠⎛－40|x ＋2|d x 等于( )A. ⎠⎛－40 (x ＋2)d xB. ⎠⎛－40 (－x －2)d xC.⎠⎛－4－2(x ＋2)d x ＋⎠⎛－202(－x －2)d xD.⎠⎛－4－2(－x －2)d x ＋⎠⎛－20 (x ＋2)d x答案 D解析 ∵|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，－2≤x ≤0，－x －2，－4≤x <－2，∴⎠⎛－40|x ＋2|d x ＝⎠⎛－4－2(－x －2)d x ＋⎠⎛－20 (x ＋2)d x .故选D.4.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤0，1，0<x ≤1，则⎠⎛1－1f (x )d x 的值为( )A.32B.43C.23D.－23 答案 B解析 ⎠⎛－11f (x )d x ＝⎠⎛－1x 2d x ＋⎠⎛011d x ＝⎪⎪x 330－1＋x |10＝13＋1＝43，故选B. 5.⎠⎜⎛0π2sin 2x2d x 等于( )A.π4 B.π2－1 C.2 D.π－24答案 D解析 ⎠⎜⎛0π2sin 2x 2d x ＝⎠⎜⎛0π21－cos x 2d x ＝⎪⎪12(x －sin x )π20＝π－24，故选D. 6.若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A.S 1＜S 2＜S 3B.S 2＜S 1＜S 3C.S 2＜S 3＜S 1D. S 3＜S 2＜S 1答案 B 解析 S 1＝⎠⎛12x 2d x ＝13x 3⎪⎪21＝73，S 2＝⎪⎪⎪⎠⎛121x d x ＝ln x 21＝ln 2＜1，S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e x ⎪⎪⎪21＝e 2－e ＝e(e －1)＞73，所以S 2＜S 1＜S 3，选B.二、填空题7.⎠⎛－11 (1－x 2＋x )d x ＝ .答案 π2解析 ⎠⎛－11 (1－x 2＋x )d x ＝⎠⎛－111－x 2d x ＋⎠⎛－11x d x ，根据定积分的几何意义可知⎠⎛－111－x 2d x 等于半径为1的半圆的面积， 即⎠⎛－111－x 2d x ＝π2，⎠⎛－11x d x ＝12x 2|1－1＝0，∴⎠⎛－11 (1－x 2＋x )d x ＝π2.8.若⎠⎛0T x 2d x ＝9，则常数T 的值为 .答案 3解析 ⎠⎛0T x 2d x ＝ 13x 3⎪⎪⎪t 0＝13T 3＝9，即T 3＝27，解得T ＝3. 9.设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0＝ .答案33解析 由⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，得⎠⎛1(ax 2＋c )d x ＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋cx ⎪⎪⎪10＝13a ＋c ＝ax 20＋c ，∴a 3＝ax 20，∵a ≠0，∴x 20＝13，又0≤x 0≤1，∴x 0＝33.故填33. 10.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0.若f [f (1)]＝1，则a ＝ .答案 1解析 因为x ＝1>0，所以f (1)＝lg 1＝0.又x ≤0时，f (x )＝x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ＝x ＋t 3⎪⎪⎪a＝x ＋a 3，所以f (0)＝a 3.因为f [f (1)]＝1，所以a 3＝1，解得a ＝1. 三、解答题11.设f (x )是一次函数，且⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176，求f (x )的解析式. 解 ∵f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则 ⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝⎠⎛01ax d x ＋⎠⎛01b d x ＝12a ＋b ＝5， ⎠⎛01xf (x )d x ＝⎠⎛01x (ax ＋b )d x ＝⎠⎛01(ax 2)d x ＋⎠⎛01bx d x ＝13a ＋12b ＝176. 由⎩⎨⎧12a ＋b ＝5，13a ＋12b ＝176，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3.即f (x )＝4x ＋3. 12.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ∈[0，1]，x ，x ∈(1，2]，2x ，x ∈(2，3].求⎠⎛03f (x )d x 的值.解 由积分的性质，知：⎠⎛03f (x )d x ＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ＋⎠⎛23f (x )d x＝⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12x d x ＋⎠⎛232x d x＝x 44⎪⎪⎪⎪10＋23x 3221⎪⎪＋2x ln 232 ＝14＋432－23＋8ln 2－4ln 2 ＝－512＋432＋4ln 2.13.求定积分⎠⎛－43|x ＋a |d x .解 (1)当－a ≤－4即a ≥4时，原式＝⎠⎛－43(x ＋a )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 22＋ax 3－4＝7a －72. (2)当－4＜－a ＜3即－3＜a ＜4时， 原式＝⎠⎛－4－a [－(x ＋a )]d x ＋⎠⎛－a3 (x ＋a )d x＝⎝⎛⎭⎫－x 22－ax ⎪⎪－a－4＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 22＋ax 3－a ＝a 22－4a ＋8＋⎝⎛⎭⎫a 22＋3a ＋92 ＝a 2－a ＋252.(3)当－a ≥3即a ≤－3时，原式＝⎠⎛－43[－(x ＋a )]d x ＝⎝⎛⎭⎫－x 22－ax ⎪⎪⎪3-4＝－7a ＋72. 综上，得⎠⎛－43|x ＋a |d x ＝⎩⎪⎨⎪⎧7a －72(a ≥4)，a 2－a ＋252(－3＜a ＜4)，－7a ＋72(a ≤－3).。
高中数学同步教学 第4章 §2 微积分基本定理
通常称 F(x)是 f(x)的一个_原__函__数___．
(2)在计算定积分时，常常用符号 F(x)|ba来表示 F(b)－F(a)，牛顿—莱布尼茨
公式也可写作bf(x)dx＝F(x)|ba＝__F__(b_)_－__F_(_a_)__． a (3)微积分基本定理表明，计算定积分bf(x)dx 的关键是找出满足 F′(x)＝f(x) a
1.2(x－1)dx＝__0__. 0
[解析] 2(x－1)dx＝(x22－x)|02＝2－2＝0. 0
2．已知自由下落的物体的运动速度 v＝gt(g 为常数)，则当 t∈[1,2]时，物体
下落的距离为( C )
A．12g
B．g
C．32g
D．2g
[解析] 物体下落的距离 s＝1gtdt＝12gt2|21＝32g.故选 C. 0
4)dx＝(x2－4x)|05＝(52－4×5)－(02－4×0)＝5.
(2)由于 x3 的导函数是 3x2，根据微积分基本定理可得53x2dx＝x3|25＝53－23＝ 2
117. (3)由于－cosx 的导函数是 sinx，根据微积分基本定理可得πsinxdx＝(－cosx)|π0
0
＝(－cos π)－(－cos0)＝2. (4)由于 lnx 的导函数是1x，根据微积分基本定理可得31xdx＝lnx|31＝ln3－ln1＝
0
1
• [思路分析] 根据微积分基本定理,关键求相应被积函数的 一[解个析原] 函(1数)∵．(x2＋3x)′＝2x＋3，
∴1(2x＋3)dx＝(x2＋3x)|10＝1＋3＝4. 0
(2)∵(t－t44)′＝1－t3，
1
∴－2
(1－t3)dt＝(t－t44)|－1 2
高中数学 3.17微积分基本定理
微积分基本定理明目标、知重点1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义．2．会利用微积分基本定理求函数的积分．1．微积分基本定理如果f(x)是区间a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么ʃb a f(x)d x＝F(b)－F(a)．2．定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，x轴下方的面积为S下，则(1)当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图(1)，则ʃb a f(x)d x＝S上．(2)当曲边梯形的面积在x轴下方时，如图(2)，则ʃb a f(x)d x＝－S下．(3)当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时，如图(3)，则ʃb a f(x)d x＝S上－S下，若S 上＝S下，则ʃb a f(x)d x＝0.例1 计算下列定积分：(1)ʃ211xd x； (2)ʃ31(2x－1x2)d x； (3)ʃ0－π(cos x－e x)d x.反思与感悟求简单的定积分关键注意两点：(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．跟踪训练1 若S 1＝ʃ21x 2d x ，S 2＝ʃ211xd x ，S 3＝ʃ21e xd x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1探究点二 分段函数的定积分例2 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x ≤π2，1，π2≤x ≤2，x －1，2≤x ≤4.先画出函数图象，再求这个函数在0,4]上的定积分．反思与感悟 求分段函数的定积分，分段标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原分段函数的分段情况即可；对于含绝对值的函数，可转化为分段函数．跟踪训练2 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ≤0，cos x －1， x >0，求ʃ1－1f (x )d x .探究点三 定积分的应用例3 计算下列定积分：ʃπ0sin x d x ，ʃ2ππsin x d x ，ʃ2π0sin x d x .由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论．反思与感悟 可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0：定积分的值与曲边梯形面积之间的关系：(1)位于x 轴上方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分；(2)位于x 轴下方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分的相反数；(3)定积分的值就是位于x 轴上方曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积．跟踪训练3 求曲线y ＝sin x 与直线x ＝－π2，x ＝54π，y ＝0所围图形的面积(如图所示)．1．π2π2-⎰(1＋cos x )d x 等于( )A ．πB ．2C ．π－2D ．π＋2 2．若ʃa1(2x ＋1x)d x ＝3＋ln 2，则a 的值是( )A ．5B ．4C ．3D ．23．ʃ20(x 2－23x )d x ＝________.4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －2π，0≤x ≤π2，cos x ，π2<x ≤π，计算ʃπ0f (x )d x .呈重点、现规律1．求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分．(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．2．由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x 轴下方的图形面积要取定积分的相反数．一、基础过关1．已知物体做变速直线运动的位移函数s ＝s (t )，那么下列命题正确的是( ) ①它在时间段a ，b ]内的位移是s ＝s (t )|ba ； ②它在某一时刻t ＝t 0时，瞬时速度是v ＝s ′(t 0)； ③它在时间段a ，b ]内的位移是s ＝lim n →∞b －ans ′(ξi )； ④它在时间段a ，b ]内的位移是s ＝ʃba s ′(t )d t . A ．① B ．①② C ．①②④D ．①②③④2．若F ′(x )＝x 2，则F (x )的解析式不正确的是( )A ．F (x )＝13x 3B ．F (x )＝x 3C ．F (x )＝13x 3＋1D ．F (x )＝13x 3＋c (c 为常数)3．ʃ10(e x＋2x )d x 等于( )A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋14．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤0，1，0<x ≤1，则ʃ1－1f (x )d x 的值为( )A.32B.43C.23 D ．－23 5．π20⎰sin 2x2d x 等于( )A.π4B.π2－1 C ．2 D.π－246．若ʃ10(2x ＋k )d x ＝2，则k ＝________.二、能力提升7．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若ʃ10f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．8．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0x ＋a 03t 2d t ，x ≤0，若ff (1)]＝1，则a ＝________.9．设f (x )是一次函数，且ʃ10f (x )d x ＝5，ʃ10xf (x )d x ＝176，则f (x )的解析式为________．10．计算下列定积分：(1)ʃ21(e x ＋1x)d x ； (2)ʃ91x (1＋x )d x ；(3)ʃ200(－0.05e －0.05x ＋1)d x ； (4)ʃ211x (x ＋1)d x .11．若函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3，x ∈[0，1]，x ，x ∈(1，2]，2x，x ∈(2，3].求ʃ30f (x )d x 的值．12．已知f(a)＝ʃ10(2ax2－a2x)d x，求f(a)的最大值．三、探究与拓展13．求定积分ʃ3－4|x＋a|d x.微积分基本定理明目标、知重点1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义．2．会利用微积分基本定理求函数的积分．1．微积分基本定理如果f (x )是区间a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么ʃba f (x )d x ＝F (b )－F (a )． 2．定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，x 轴下方的面积为S 下，则(1)当曲边梯形的面积在x 轴上方时，如图(1)，则ʃba f (x )d x ＝S 上． (2)当曲边梯形的面积在x 轴下方时，如图(2)，则ʃb a f (x )d x ＝－S 下．(3)当曲边梯形的面积在x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图(3)，则ʃba f (x )d x ＝S 上－S 下，若S上＝S 下，则ʃba f (x )d x ＝0.例1 计算下列定积分：(1)ʃ211x d x ；(2)ʃ31(2x －1x2)d x ；(3)ʃ0－π(cos x －e x )d x .解 (1)因为(ln x )′＝1x ，所以ʃ211xd x ＝ln x |21＝ln 2－ln 1＝ln 2.(2)因为(x 2)′＝2x ，(1x )′＝－1x 2，所以ʃ31(2x －1x 2)d x ＝ʃ312x d x －ʃ311x 2d x ＝x 2|31＋1x|31＝(9－1)＋(13－1)＝223.(3)ʃ0－π(cos x －e x )d x ＝ʃ0－πcos x d x －ʃ0－πe xd x ＝sin x |0－π－e x |0－π＝1eπ－1.反思与感悟 求简单的定积分关键注意两点：(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．跟踪训练1 若S 1＝ʃ21x 2d x ，S 2＝ʃ211xd x ，S 3＝ʃ21e xd x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1答案 B解析 S 1＝ʃ21x 2d x ＝13x 3|21＝73，S 2＝ʃ211x d x ＝ln x |21＝ln 2<1，S 3＝ʃ21e x d x ＝e x |21＝e 2－e ＝e(e －1)>73.所以S 2<S 1<S 3，选B.探究点二 分段函数的定积分例2 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x ≤π2，1，π2≤x ≤2，x －1，2≤x ≤4.先画出函数图象，再求这个函数在0,4]上的定积分． 解 图象如图．ʃ40f (x )d x ＝π20⎰sin x d x ＋π20⎰1d x ＋42⎰(x －1)d x＝(－cos x )|＋x |＋(12x 2－x )|42＝1＋(2－π2)＋(4－0)＝7－π2.反思与感悟 求分段函数的定积分，分段标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原分段函数的分段情况即可；对于含绝对值的函数，可转化为分段函数．跟踪训练2 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ≤0，cos x －1， x >0，求ʃ1－1f (x )d x .解 ʃ1－1f (x )d x ＝ʃ0－1x 2d x ＋ʃ10(cos x －1)d x ＝13x 3|0－1＋(sin x －x )|10＝sin 1－23. 探究点三 定积分的应用 例3 计算下列定积分：ʃπ0sin x d x ，ʃ2ππsin x d x ，ʃ2π0sin x d x .由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论．解 因为(－cos x )′＝sin x ， 所以ʃπ0sin x d x ＝(－cos x )|π0 ＝(－cos π)－(－cos 0)＝2；ʃ2ππsin x d x ＝(－cos x )|2ππ＝(－cos 2π)－(－cos π)＝－2； ʃ2π0sin x d x ＝(－cos x )|2π0 ＝(－cos 2π)－(－cos 0)＝0.反思与感悟 可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0：定积分的值与曲边梯形面积之间的关系：(1)位于x 轴上方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分；(2)位于x 轴下方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分的相反数；(3)定积分的值就是位于x 轴上方曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积．跟踪训练3 求曲线y ＝sin x 与直线x ＝－π2，x ＝54π，y ＝0所围图形的面积(如图所示)．解 所求面积为S ＝5π4π2-⎰－π2|sin x |d x ＝－0π2-⎰sin x d x ＋ʃπ0sin x d x －5π4π⎰sin x d x＝1＋2＋(1－22)＝4－22.1．π2π2-⎰(1＋cos x )d x 等于( )A ．π B．2 C ．π－2 D ．π＋2 答案 D解析 ∵(x ＋sin x )′＝1＋cos x ， ∴π2π2-⎰(1＋cos x )d x ＝(x ＋sin x )|π2π2-＝π2＋sin π2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝π＋2. 2．若ʃa 1(2x ＋1x)d x ＝3＋ln 2，则a 的值是( )A ．5B ．4C ．3D ．2 答案 D解析 ʃa 1(2x ＋1x)d x ＝ʃa 12x d x ＋ʃa 11xd x＝x 2|a 1＋ln x |a1＝a 2－1＋ln a ＝3＋ln 2，解得a ＝2. 3．ʃ20(x 2－23x )d x ＝________.答案43解析 ʃ2(x 2－23x )d x ＝ʃ20x 2d x －ʃ2023x d x ＝x 33|20－x 23|20＝83－43＝43.4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －2π，0≤x ≤π2，cos x ，π2<x ≤π，计算ʃπ0f (x )d x .解 ʃπf (x )d x ＝π20⎰f (x )d x ＋ππ2⎰f (x )d x ＝π20⎰(4x －2π)d x ＋ππ2⎰cos x d x ，取F 1(x )＝2x 2－2πx ，则F 1′(x )＝4x －2π；取F 2(x )＝sin x ，则F 2′(x )＝cos x .π20⎰(4x －2π)d x ＋ππ2⎰cos x d x ＝(2x 2－2πx )|＋sin x |＝－12π2－1，即ʃπ0f (x )d x ＝－12π2－1. 呈重点、现规律]1．求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分．(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．2．由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x 轴下方的图形面积要取定积分的相反数．一、基础过关1．已知物体做变速直线运动的位移函数s ＝s (t )，那么下列命题正确的是( ) ①它在时间段a ，b ]内的位移是s ＝s (t )|ba ； ②它在某一时刻t ＝t 0时，瞬时速度是v ＝s ′(t 0)； ③它在时间段a ，b ]内的位移是s ＝lim n →∞b －ans ′(ξi )； ④它在时间段a ，b ]内的位移是s ＝ʃba s ′(t )d t . A ．① B ．①② C ．①②④ D ．①②③④答案 D2．若F ′(x )＝x 2，则F (x )的解析式不正确的是( B )A ．F (x )＝13x 3B ．F (x )＝x 3C ．F (x )＝13x 3＋1D ．F (x )＝13x 3＋c (c 为常数) 3．ʃ10(e x ＋2x )d x 等于( )A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋1 答案 C解析 ʃ10(e x ＋2x )d x ＝(e x ＋x 2)|10＝(e 1＋12)－(e 0＋02)＝e.4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤0，1，0<x ≤1，则ʃ1－1f (x )d x 的值为( ) A.32 B.43 C.23 D ．－23 答案 B 解析 ʃ1－1f (x )d x ＝ʃ0－1x 2d x ＋ʃ101d x ＝x 33|0－1＋1＝13＋1＝43，故选B. 5．π20⎰sin 2x2d x 等于( ) A.π4 B.π2－1 C ．2 D.π－24答案 D 解析 π20⎰sin 2x 2d x ＝π20⎰1－cos x 2d x ＝12(x －sin x )|＝π－24，故选D. 6．若ʃ10(2x ＋k )d x ＝2，则k ＝________. 答案 1解析 ∵ʃ10(2x ＋k )d x ＝(x 2＋kx )|10＝1＋k ＝2， ∴k ＝1.二、能力提升7．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若ʃ10f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．33 解析 ʃ10(ax 2＋c )d x ＝ax 20＋c ，∴a 3＝ax 20， ∵a ≠0，∴x 20＝13，又0≤x 0≤1，∴x 0＝33. 8．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ lg x ，x >0x ＋a 03t 2d t ，x ≤0，若ff (1)]＝1，则a ＝________.答案 1解析 因为x ＝1>0，所以f (1)＝lg 1＝0.又x ≤0时，f (x )＝x ＋ʃa 03t 2d t ＝x ＋t 3|a 0＝x ＋a 3，所以f (0)＝a 3.因为ff (1)]＝1，所以a 3＝1，解得a ＝1.9．设f (x )是一次函数，且ʃ10f (x )d x ＝5，ʃ10xf (x )d x ＝176，则f (x )的解析式为________． 答案 f (x )＝4x ＋3解析 ∵f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则ʃ10f (x )d x ＝ʃ10(ax ＋b )d x ＝ʃ10ax d x ＋ʃ10b d x ＝12a ＋b ＝5，ʃ10xf (x )d x ＝ʃ10x (ax ＋b )d x ＝ʃ10(ax 2)d x ＋ʃ10bx d x ＝13a ＋12b ＝176.由⎩⎪⎨⎪⎧ 12a ＋b ＝5，13a ＋12b ＝176，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝3.10．计算下列定积分：(1)ʃ21(e x ＋1x)d x ；(2)ʃ91x (1＋x )d x ； (3)ʃ200(－0.05e－0.05x ＋1)d x ； (4)ʃ211x (x ＋1)d x . 解 (1)∵(e x ＋ln x )′＝e x ＋1x， ∴ʃ21(e x ＋1x)d x ＝(e x ＋ln x )|21＝e 2＋ln 2－e. (2)∵x (1＋x )＝x ＋x ，(12x 2＋2332x )′＝x ＋x ， ∴ʃ91x (1＋x )d x ＝(12x 2＋2332x )|91＝1723. (3)∵(e－0.05x ＋1)′＝－0.05e －0.05x ＋1， ∴ʃ200(－0.05e－0.05x ＋1)d x ＝e －0.05x ＋1|200＝1－e. (4)∵1x (x ＋1)＝1x －1x ＋1， (ln x )′＝1x ，(ln(x ＋1))′＝1x ＋1， ∴ʃ211x (x ＋1)d x ＝ln x |21－ln(x ＋1)|21＝2ln 2－ln 3. 11．若函数f (x )＝⎩⎨⎧ x 3，x ∈[0，1]，x ，x ∈(1，2]，2x ，x ∈(2，3].求ʃ30f (x )d x 的值． 解 由定积分的性质，知：ʃ30f (x )d x ＝ʃ10f (x )d x ＋ʃ21f (x )d x ＋ʃ32f (x )d x＝ʃ10x 3d x ＋ʃ21x d x ＋ʃ322x d x＝x 44|10＋23x 32|21＋2x ln 2|32 ＝14＋432－23＋8ln 2－4ln 2＝－512＋432＋4ln 2. 12．已知f (a )＝ʃ10(2ax 2－a 2x )d x ，求f (a )的最大值． 解 ∵(23ax 3－12a 2x 2)′＝2ax 2－a 2x ， ∴ʃ10(2ax 2－a 2x )d x ＝(23ax 3－12a 2x 2)|10 ＝23a －12a 2， 即f (a )＝23a －12a 2＝－12(a 2－43a ＋49)＋29＝－12(a －23)2＋29， ∴当a ＝23时，f (a )有最大值29. 三、探究与拓展13．求定积分ʃ3－4|x ＋a |d x .解 (1)当－a ≤－4即a ≥4时，原式＝ʃ3－4(x ＋a )d x ＝(x 22＋ax )|3－4＝7a －72. (2)当－4<－a <3即－3<a <4时，原式＝ʃ－a －4－(x ＋a )]d x ＋ʃ3－a (x ＋a )d x＝(－x 22－ax )|－a－4＋(x 22＋ax )|3－a ＝a 22－4a ＋8＋(a 22＋3a ＋92)＝a 2－a ＋252. (3)当－a ≥3即a ≤－3时，原式＝ʃ3－4－(x ＋a )]d x ＝(－x 22－ax )|3－4＝－7a ＋72. 综上，得ʃ3－4|x ＋a |d x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 7a －72 (a ≥4)a 2－a ＋252(－3<a <4)－7a ＋72 (a ≤－3).。
定积分、微积分基本定理-高中数学知识点讲解
定积分、微积分基本定理1．定积分、微积分基本定理【定积分】定积分就是求函数在区间中图线下包围的面积．即由所围成图（f X）[a，b] y＝0，x＝a，x＝b，y＝（f X）形的面积．这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形，表示的是一个面积，是一个数．定积分的求法：求定积分首先要确定定义域的范围，其次确定积分函数，最后找出积分的原函数然后求解，这里以例题为例．【微积分基本定理】在高等数学中对函数的微分、积分的研究和对相关概念及用途的数学称作微积分．积分学、极限、微分学及其应用是微积分的主要内容．微积分也称为数学分析，用以研究事物运动时的变化和规律．在高等数学学科中，微积分是一个基础学科．其中，微积分的核心（基本）定理是푏푎F（x）＝（f x）（f x）푓(푥)푑푥= 퐹(푏)―퐹(푎)，其中，而必须在区间（a，b）内连续．2例 1：定积分|3 ―2푥|푑푥=1解：1 | 3﹣2x | dx2=321(3 ―2푥)푑푥+232(2푥―3)푑푥3＝（﹣2）1 +（x2﹣3x）|233x x |221/ 2=12通过这个习题我们发现，第一的，定积分的表示方法，后面一定要有；第二，每一段对应的被积分函数的表dx达式要与定义域相对应；第三，求出原函数代入求解．例 2：用定积分的几何意义，则39 ―푥2푑푥．―3解：根据定积分的几何意义，则39 ―푥2푑푥表示圆心在原点，半径为3的圆的上半圆的面积，―3故3―39 ―푥2푑푥=12 × 휋× 32 =9휋．2这里面用到的就是定积分表示的一个面积，通过对被积分函数的分析，我们发现它是个半圆，所以可以直接求他的面积．【考查】定积分相对来说比较容易，一般以选择、填空题的形式出现，这里要熟悉定积分的求法，知道定积分的含义，上面两个题代表了两种解题思路，也是一般思路，希望同学们掌握．2/ 2。
高中数学考点13 定积分与微积分基本定理
考点13 定积分与微积分基本定理高考对此部分的考查比较少，但定积分的基本计算以及几何意义也会单独考查，复习过程中也不能遗漏，具体要求为：(1)了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念. (2)了解微积分基本定理的含义.一、定积分 1．曲边梯形的面积(1)曲边梯形：由直线x =a 、x =b (a ≠b )、y =0和曲线()y f x 所围成的图形称为曲边梯形(如图①)． (2)求曲边梯形面积的方法与步骤：①分割：把区间[a ，b ]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②)；②近似代替：对每个小曲边梯形“以值代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②)；③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和；④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积．2．求变速直线运动的路程如果物体做变速直线运动，速度函数为v =v (t )，那么也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在a ≤t ≤b 内所作的位移s . 3．定积分的定义和相关概念(1)如果函数f (x )在区间[a ,b ]上连续，用分点a =x 0<x 1<…<x i −1<x i <…<x n =b 将区间[a ,b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i −1,x i ]上任取一点ξi (i =1,2, …,n )，作和式11()()nni i i i b af x f nξξ==-∆=∑∑；当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ,b ]上的定积分，记作()d baf x x ⎰，即()d baf x x ⎰=1lim ()ni n i b af nξ→∞=-∑. (2)在()d baf x x ⎰中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ,b ]叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． 4．定积分的性质 (1)()()d d bba akf x x k f x x =⎰⎰(k 为常数)；(2)[()()]d ()d ()d bb ba aaf xg x x f x x g x x ±=±⎰⎰⎰；(3)()d =()d +()d bc baacf x x f x x f x x ⎰⎰⎰(其中a <c <b )．【注】定积分的性质(3)称为定积分对积分区间的可加性，其几何意义是曲边梯形ABCD 的面积等于曲边梯形AEFD 与曲边梯形EBCF 的面积的和．5．定积分的几何意义(1)当函数f (x )在区间[a ,b ]上恒为正时，定积分ba ⎰ f (x )d x 的几何意义是由直线x =a ，x =b (a ≠b )，y =0和曲线y =f (x )所围成的曲边梯形的面积(图①中阴影部分)．(2)一般情况下，定积分ba ⎰ f (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线f (x )以及直线x =a ，x =b 之间的曲边梯形面积的代数和(图②中阴影部分所示)，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．6．定积分与曲边梯形的面积的关系(常用结论)定积分的概念是从曲边梯形面积引入的，但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积．这要结合具体图形来确定：设阴影部分面积为S ,则 (1)()d ba S f x x =⎰； (2)()d baS f x x =-⎰；(3)()()d d cbacS f x x f x x =-⎰⎰； (4)()()()()d d []d bbbaaaS f x x g x x f x g x x =-=-⎰⎰⎰.7．定积分的物理意义 (1)变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v =v (t )(v (t )≥0)在时间区间[a ，b ]上的定积分，即()d bas v t t =⎰.(2)变力做功一物体在恒力F (单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移动了s m ，则力F 所做的功为W =Fs .如果物体在变力F (x )的作用下沿着与F (x )相同的方向从x =a 移动到x =b ，则变力F (x )做的功()d baW F x x =⎰.二、微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ,b ]上的连续函数，且F ′(x )=f (x )，那么()d baf x x ⎰=F (b )−F (a )．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式，其中F (x )叫做f (x )的一个原函数．为了方便，我们常把F (b )−F (a )记作()|ba F x ，即()d baf x x ⎰=()|b a F x =F (b )−F (a )．【注】常见的原函数与被积函数的关系 (1)d |(bb a a C x Cx C =⎰为常数)； (2)11d |(1)1bn n ba ax x x n n +=≠-+⎰； (3)sin d cos |bb a a x x x =-⎰； (4)cos d sin |bb a a x x x =⎰； (5)1d ln |(0)bb a ax x b a x=>>⎰； (6)e d e |bx x b a a x =⎰；(7)d |(0,1)ln x bxba a a a x a a a=>≠⎰；(8)322|(0)3b a ax x b a =>≥⎰.考向一 定积分的计算1．求定积分的三种方法(1)利用定义求定积分(定义法)，可操作性不强； (2)利用微积分基本定理求定积分；(3)利用定积分的几何意义求定积分．当曲边梯形面积易求时，可通过求曲边梯形的面积求定积分．例如，定积分x ⎰的几何意义是求单位圆面积的14，所以0π=4x ⎰.2．用牛顿—莱布尼茨公式求定积分的步骤(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差； (2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分； (3)分别用求导公式找到一个相应的原函数； (4)利用牛顿—莱布尼茨公式求出各个定积分的值； (5)计算原始定积分的值. 3．分段函数的定积分分段函数求定积分，可先把每一段函数的定积分求出后再相加． 4．奇偶函数的定积分(1)若奇函数y =f (x )的图象在[−a ，a ]上连续，则()d 0aa f x x -=⎰； (2)若偶函数y =g (x )的图象在[−a ，a ]上连续，则0()d 2()d aaag x x g x x -=⎰⎰.典例1 A ．12B ．1C ．2D ．3【答案】A故选A ．【解题技巧】求定积分的关键是找到被积函数的原函数，为避免出错，在求出原函数后可利用求导与积分互为逆运算的关系进行验证.1．已知函数()e3211(1)2f x x dx x f x x'=⋅--⎰，则()()11f f '+=( ) A ．－1 B ．1 C ．－2D ．2考向二 利用定积分求平面图形的面积利用定积分求平面图形面积问题的常见类型及解题策略(1)利用定积分求平面图形面积的步骤①根据题意画出图形；②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；④计算定积分，写出答案．(2)知图形的面积求参数求解此类题的突破口：画图，一般是先画出它的草图；然后确定积分的上、下限，确定被积函数，由定积分求出其面积，再由已知条件可找到关于参数的方程，从而可求出参数的值．(3)与概率相交汇问题解决此类问题应先利用定积分求出相应平面图形的面积，再用相应概率公式进行计算.典例2 设抛物线C：y=x2与直线l：y=1围成的封闭图形为P，则图形P的面积S等于A．1 B．1 3C．23D．43【答案】D【解析】由21y xy⎧=⎨=⎩，得1x=±.如图，由对称性可知，123114 2(11d)2(11)33 S x x x=⨯-=⨯-=⎰.故选D.2．如图，已知10,4A ⎛⎫⎪⎝⎭，点()()000,0P x y x >在曲线2y x 上，若阴影部分面积与OAP △面积相等，则0x =________.考向三 定积分的物理意义利用定积分解决变速直线运动与变力做功问题利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即得所求.典例3 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度25()731v t t +t=-+(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是 A ．1＋25ln 5 B ．8＋25ln113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2【答案】C【解析】令v (t )=0得，3t 2−4t −32=0，解得t =4(83t =-舍去). 汽车的刹车距离是42400253(73)d [725ln(1)]|425ln 5.12t +t t t t t -=-++=++⎰故选C.3．一个物体做变速直线运动，在时刻t 的速度为()32v t t =-+(t 的单位：h ，v 的单位：km/h )，那么它在01t ≤≤这段时间内行驶的路程s (单位：km )的值为( ) A ．23B ．74C ．53D ．21．121(3sin )x x dx --⎰等于( )A ．0B ．2sin1C ．2cos1D ．22．11xe dx -⎰的值为( )A ．2B ．2eC ．22e -D ．22e +3．4片叶子由曲线2||y x =与曲线2||y x =围成，则每片叶子的面积为( )A ．16 B 3C ．13D ．234．已知622a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的中间项系数为20，则由曲线13y x =和a y x =围成的封闭图形的面积为( )A ．512B ．53 C ．1D ．13125．已知()()ln xxf x e e -=+，201sin 2a xdx π=⎰， 1.112b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，23log c =则下列选项中正确的是( ) A ．()()()f a f b f c >> B ．()()()f a f c f b >> C ．()()()f c f f a b >>D ．()()()f c f b f a >>6．一物体在力F (x )＝4x ﹣1(单位：N )的作用下，沿着与力F 相同的方向，从x ＝1m 处运动到x ＝3m 处，则力F (x )所作的功为( ) A ．16J B ．14J C ．12JD ．10J7．函数()()04xf x t t dt =-⎰在[]1,5-上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0，最小值323-C ．最小值323-，无最大值 D ．既无最大值，也无最小值8．某人用随机模拟的方法估计无理数e 的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点1,0A 作x 轴的垂线与曲线xy e =相交于点B ，过B 作y 轴的垂线与y 轴相交于点C (如图)，然后向矩形OABC 内投入M 粒豆子，并统计出这些豆子在曲线xy e =上方的有N 粒()N M <，则无理数e 的估计值是( )A ．NM N -B ．MM N -C ．M N N-D ．M N9．为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示.劳伦茨曲线为直线OL 时，表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线OKL 时，表示收入完全不平等.记区域A 为不平等区域，a 表示其面积，S 为OKL △的面积，将Gini aS=称为基尼系数.对于下列说法：①Gini 越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为()y f x =，则对(0,1)x ∀∈，均有()1f x x >； ③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为2([0,1])y x x =∈，则1Gini 4=； ④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为3([0,1])y x x =∈，则1Gini 2=. 其中正确的是：( ) A ．①④ B ．②③ C ．①③④ D ．①②④10．()102xex dx +⎰= ______ ．11．抛物线22x y =和直线4y x =+所围成的封闭图形的面积是________. 12．已知数列{}n a 是公比120=⎰q x dx 的等比数列，且312a a a =⋅，则10a =________.13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,0O ，()2,0A ，()2,1B ，()0,1C ，现在矩形OABC 中随机选取一点(),P x y ，则事件：点(),P x y 的坐标满足22y x x ≤-+的概率为____________.1．(2015年高考湖南卷理科)2(1)d x x -=⎰．2．(2015年高考天津卷理科)曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为 ． 3．(2015年高考山东卷理科)执行如图所示的程序框图,输出的T 的值为 ．4．(2015年高考福建卷理科)如图,点A 的坐标为(1,0),点C 的坐标为(2,4),函数f (x )=x 2.若在矩形ABCD 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于 ．5．(2015年高考陕西卷理科)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线表示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为．1．【答案】A【解析】【分析】先由微积分基本定理求出函数式中的积分值，然后求导，令1x=可求得(1)f'，再计算(1)f可得结论．【详解】因为e111ln|1edx xx==⎰，所以()()3212f x x x f x'=--，所以()()232'12f x x xf'=--，令1x=，得()()13212f f''=--，解得1(1)3f'=，所以321()23f x x x x=--，14(1)1233f=--=-，()()1411133f f⎛⎫'+=+-=-⎪⎝⎭，故选：A．【点睛】本题考查微积分基本定理，考查导数的运算，解题时计算出积分值，由求导公式求导，令1x=，赋值后就可化未知为已知．2．【解析】【分析】利用定积分求出阴影部分的面积，再建立面积等量关系，即可得答案；【详解】因为点()()000,0P x y x>在曲线2y x上，所以200y x=，则OAP△的面积00011112248S OA x x x==⨯=‖，阴影部分的面积为00233001133x xx dx x x==⎰∣，因为阴影部分面积与OAP△的面积相等，所以31138x x=,即238x=.所以x=【点睛】本题考查定积分求面积，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 3．【答案】B 【解析】 【分析】由速度在给定的时间范围内的定积分可得到答案. 【详解】这辆汽车在01t ≤≤这段时间内汽车行驶的路程()113401172d 22444s t t t t ⎛⎫=-+=-+=-+= ⎪⎝⎭⎰，所以这辆汽车在01t ≤≤这段时间内汽车行驶的路程s 为74. 故选：B. 【点睛】本题考查了定积分在物理中的应用，速度在时间范围内的积分是路程，属于基础题.1．【答案】D 【解析】()()()()()21cos 11cos 1|cos sin 3111132=-+--+=+=-⎰--x x dx x x，故答案为D. 2．【答案】C 【解析】 【分析】根据微积分基本定理结合积分的性质计算． 【详解】1111222(1)xx x e dx e dx e e -===-⎰⎰．故选：C ． 【点睛】本题考查微积分基本定理，属于基础题． 3．【答案】C 【解析】 【分析】先计算图像交点，再利用定积分计算面积. 【详解】 如图所示：由2y y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩0,0,x y =⎧⎨=⎩11x y =⎧⎨=⎩，根据图形的对称性，可得每片叶子的面积为)13023210211d 333x x x x ⎛⎫⎰=-= ⎪⎝⎭.故答案选C 【点睛】本题考查定积分的应用，考查运算求解能力 4．【答案】A 【解析】 【分析】先利用二项展开式的通项公式求出a ，再利用牛顿-莱布尼兹公式可求图形的面积. 【详解】622a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的中间项为第4项且第4项为()3332462a T C x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 因为系数为20，所以336C 202a ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，解得2a =，由213x x =的0x =或1x =，所以封闭图形的面积为1412333010314135|2x x dx x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎛⎫-=- ⎪⎝⎭⎰，故选：A . 【分析】本题考查二项展开式的指定项以及平面封闭图形的面积的计算，后者注意积分区间的确定，本题属于中档题. 5．【答案】C 【解析】 【分析】先判断()f x 为R 上的偶函数，再利用导数判断出()f x 在[)0,x ∈+∞上单调递增，在(],0x ∈-∞上单调递减，化简,,a b c ，利用函数的单调性比较大小即可. 【详解】()()ln x x f x e e -=+，x ∈R ，则()()()ln x x f x e e f x --=+=，所以()f x 为R 上的偶函数，并且()x xx xe ef x e e ---'=+，则[)0,x ∈+∞时，()0f x '≥，当且仅当0x =时，“=”成立， 所以()f x 在[)0,x ∈+∞上单调递增，在(],0x ∈-∞上单调递减，()22111sin cos 222a xdx x ππ==-=⎰，1.111110222b ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，221log log 32c ==-， 又()22111log 3log 3222f c f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()()()f c f a f b >>.故选：C 【点睛】本题主要考查了函数导数的应用，函数的奇偶性，函数单调性的应用，考查了学生的逻辑推理与运算求解能力.6．【答案】B 【解析】 【分析】由定积分的物理意义，变力F (x )所作的功等于力在位移上的定积分，进而计算可得答案． 【详解】根据定积分的物理意义，力F (x )所作的功为()3141x dx -=⎰(2x 2-x )31|=14. 故选B 【点睛】本题主要考查了定积分在物理中的应用，同时考查了定积分的计算，属于基础题 7．【答案】B 【解析】 【分析】由定积分的运算，求得()32123f x x x =-，再利用导数求得函数()f x 的单调性与极值，结合端点的函数值，得到函数的最值，得到答案. 【详解】由题意，函数()()323200114(2)|233xxf x t t dt t t x x =-=-=-⎰， 则()24(4)f x x x x x '=-=-，当[1,0)x ∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当(0,4)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当(4,5]x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；又由()713f -=-，()00f =，()3243f =-，()2553f =-， 所以函数()f x 的最大值为0，最小值为323-. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了定积分的运算，以及利用导数研究函数的最值问题，其中解答中熟记函数的导数与原函数的关系是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 8．【答案】D【解析】 【分析】利用定积分计算出矩形OABC 中位于曲线xy e =上方区域的面积，进而利用几何概型的概率公式得出关于e 的等式，解出e 的表达式即可. 【详解】在函数xy e =的解析式中，令1x =，可得y e =，则点()1,B e ，直线BC 的方程为y e =，矩形OABC 中位于曲线xy e =上方区域的面积为()()111xxS e e dx ex e =-=-=⎰，矩形OABC 的面积为1e e ⨯=， 由几何概型的概率公式得1N M e =，所以，Me N=. 故选：D. 【点睛】本题考查利用随机模拟的思想估算e 的值，考查了几何概型概率公式的应用，同时也考查了利用定积分计算平面区域的面积，考查计算能力，属于中等题. 9．【答案】A 【解析】 【分析】Gini 越小，不平等区域越小，可知①正确，结合劳伦茨曲线的特点，可知(0,1)x ∀∈，均有()f x x <，可知②错误，结合定积分公式，可求出a 的值，即可判断出③④是否正确，从而可选出答案. 【详解】对于①，根据基尼系数公式Gini a S=，可得基尼系数越小，不平等区域的面积a 越小，国民分配越公平，所以①正确；对于②，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，可知(0,1)x ∀∈，均有()f x x <，可得()1f x x<，所以②错误；对于③，因为1223100111()d ()|236a x x x x x =-=-=⎰，所以116Gini 132a S ===，所以③错误；对于④，因为1324100111()d ()|244a x x x x x =-=-=⎰，所以114Gini 122a S ===，所以④正确.故选：A. 【点睛】本题考查不等式恒成立，考查定积分的应用，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题. 10．【答案】e【解析】 【分析】 利用积分运算得()121002()|xx ex dx e x +=+⎰，计算可得答案.【详解】 因为()12102()|xx ex dx e x +=+⎰(1)1e e =+-=. 故答案为：e . 【点睛】本题考查积分的运算，考查基本运算求解能力，属于基础题. 11．【答案】18【解析】 【分析】根据定积分的几何意义可求得结果. 【详解】联立224x yy x ⎧=⎨=+⎩，消去y 得2280x x --=，解得2x =-或4x =，所以所求面积是242(4)2x x dx -+-⎰2342(4)26x x x -=+-2344484482626⎛⎫⎛⎫=+⨯---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭18=.故答案为：18. 【点睛】本题考查了定积分的几何意义，属于基础题. 12．【答案】1013【解析】 【分析】先由微积分基本定理求出13q =，再由312a a a =⋅求出首项，进而可求出结果. 【详解】因为等比数列{}n a 的公比123101133q x dx x ===⎰，且2231211a a a a q a q ===， ∴113a =，∴101013a =. 故答案为1013【点睛】本题主要考查等比数列的基本量运算，熟记微积分基本定理，以及等比数列的通项公式即可，属于基础题型. 13．【答案】23【解析】 【分析】求出矩形OABC 的面积S ，及22y x x =-+与x 轴围城的封闭图形的面积()22102d S x x x =-+⎰，结合几何概型的概率公式，可求出答案. 【详解】如图，由题意，矩形OABC 的面积212S =⨯=，22y x x =-+与x 轴围城的封闭图形面积为()223210212d 03S x x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭⎰321422033=-⨯+-=，则123S P S ==. 所以在矩形OABC 中随机选取一点(),P x y ，事件：点(),P x y 的坐标满足22y x x ≤-+的概率为23. 故答案为：23.【点睛】本题考查几何概型概率的计算，弄清随机事件对应的平面区域是关键，本题属于中档题.1．【答案】0【解析】2220011(1)d ()|42022x x x x -=-=⨯-=⎰. 2．【答案】16【解析】由题意可得封闭图形的面积为122310011111()d ()|23236x x x x x -=-=-=⎰. 3．【答案】116116【解析】开始n =1,T =1,因为1<3,所以11212001131d 1|11222T x x x =+=+=+⨯=⎰,n =1+1=2; 因为2<3,所以13130023313111d |1223236T x x x =+=+=+⨯=⎰,n =2+1=3. 因为3<3不成立,所以输出T ,即输出的T 的值为116.4．【答案】512【解析】依题意知点D 的坐标为(1,4),所以矩形ABCD 的面积S =1×4=4, 阴影部分的面积S 阴影=3222111754d 44333| x x x =-=--=⎰,根据几何概型的概率计算公式得,所求的概率P =534S S ==阴影S =534=512.5．【答案】1.2【解析】建立空间直角坐标系，如图所示：原始的最大流量是()11010222162⨯+-⨯⨯=，设抛物线的方程为22x py =(0p >)，因为该抛物线过点()5,2，所以2225p ⨯=，解得254p =，所以2252x y =，即2225y x =，所以当前最大流量是()()53235355222240(2)d (2)(255)[255]257575753x x x x ---=-=⨯-⨯-⨯--⨯-=⎰，故原始的最大流量与当前最大流量的比值是161.2403=，所以答案为1.2． 1．列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1）审题：弄清题意．（2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系．（3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，•然后利用已找出的等量关系列出方程．（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值．（5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，•是否符合实际，检验后写出答案．2.和差倍分问题： 增长量＝原有量×增长率现在量＝原有量＋增长量3.等积变形问题： 常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变．①圆柱体的体积公式 V=底面积×高＝S·h＝ r2h②长方体的体积 V＝长×宽×高＝abc4．数字问题一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c．十位数可表示为10b+a，百位数可表示为100c+10b+a．然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程．5．市场经济问题（1）商品利润＝商品售价－商品成本价（2）商品利润率＝商品利润×100%商品成本价（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量（4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量（5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售．6．行程问题：路程＝速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间（1）相遇问题：快行距＋慢行距＝原距（2）追及问题：快行距－慢行距＝原距（3）航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．7．工程问题：工作量＝工作效率×工作时间完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝18．储蓄问题利润＝每个期数内的利息×100% 利息＝本金×利率×期数本金实际问题与二元一次方程组题型归纳（练习题答案）类型一：列二元一次方程组解决——行程问题【变式1】甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？解：设甲，乙速度分别为x，y千米/时，依题意得：(2.5+2)x+2.5y=363x+(3+2)y=36解得：x=6，y=3.6答：甲的速度是6千米/每小时，乙的速度是3.6千米/每小时。
人教B版高中数学选修2-2第三章6《微积分基本定理》ppt课件
4) (cos x )' sin x
b sin xdx
a
-
cos x |ba
5) (ln x )' 1
x
b 1 dx ax
ln|x ||ba
6) (e x )' e x
b e x dx
a
e x |ba
7) (ax )'
ax lna
b ax dx
这个结论叫微积分基本定理（fundamental theorem of calculus)，又叫牛顿－莱布尼茨公式（Newton-Leibniz Formula).
牛顿－莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便的 基本方法，即求定积分的值，只要求出被积函数
f(x)的一个原函数F(x)，然后计算原函数在区间 [a,b]上的增量F(b)–F(a)即可.该公式把计算定
n
n
n
n
S Si hi v(ti1)t s '(ti1)t.
取极限i1 ，由定i1积分的i1 定义得 i1
b
b
S a v(t)dt a s '(t)dt s(b) s(a)
进而得出微积分基本定理.
从定积分角度来看：如果物体运动的速度函数为v=v(t)， 那么在时间区间[a,b]内物体的位移s可以用定积分表示 为
x3
'
3x2 ,
1
'
x
1 x2
原式
3
3x2dx
31 dx
3
3x2dx
3 1 dx
1
x 1
2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高中数学-微积分基本定理A 级 基础巩固一、选择题1．(2018·四平模拟)定积分⎠⎛01x 2－xd x 的值为( A )A ．π4B ．π2C ．πD ．2π[解析] ∵y ＝x2－x，∴(x －1)2＋y 2＝1表示以(1,0)为圆心，以1为半径的圆， ∴定积分⎠⎛01x2－x d x 所围成的面积就是该圆的面积的四分之一， ∴定积分⎠⎛01x 2－x d x ＝π4，故选A ．2．(2018·铁东区校级二模)由曲线xy ＝1与直线y ＝x ，y ＝3所围成的封闭图形面积为( D )A ．2－ln3B ．ln3C ．2D ．4－ln3[解析] 方法一：由xy ＝1，y ＝3可得交点坐标为(13，3)，由xy ＝1，y ＝x 可得交点坐标为(1,1)，由y ＝x ，y ＝3可得交点坐标为(3,3)，∴由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成的平面图形的面积为⎠⎜⎛131(3－1x )d x ＋⎠⎛13(3－x )d x ＝(3x －ln x )|113＋(3x －12x 2)|31，＝(3－1－ln3)＋(9－92－3＋12)＝4－ln3故选D ．方法二：由xy ＝1，y ＝3可得交点坐标为(13，3)，由xy ＝1，y ＝x 可得交点坐标为(1,1)， 由y ＝x ，y ＝3可得交点坐标为(3,3)，对y 积分，则S ＝⎠⎛03(y －1y )dy ＝(12y 2－lny )|31＝92－ln3－(12－0)＝4－ln3，故选D ．3．(2018·安庆高二检测)已知函数f (x )＝x n＋mx 的导函数f ′(x )＝2x ＋2，则⎠⎛13f (－x )d x ＝( D )A ．0B ．3C ．－23D ．23[解析] ∵f (x )＝x n＋mx 的导函数f ′(x )＝2x ＋2， ∴nxn －1＋m ＝2x ＋2，解得n ＝2，m ＝2， ∴f (x )＝x 2＋2x ， ∴f (－x )＝x 2－2x ，∴⎠⎛13f (－x )d x ＝⎠⎛13(x 2－2x )d x ＝(13x 3－x 2)|31＝9－9－13＋1＝23，故选D ．4．函数F (x )＝⎠⎛0x cos t d t 的导数是( A )A ．f ′(x )＝cos xB ．f ′(x )＝sin xC ．f ′(x )＝－cos xD ．f ′(x )＝－sin x[解析] F (x )＝⎠⎛0x cos t d t ＝sin t | x0＝sin x －sin0＝sin x ．所以f ′(x )＝cos x ，故应选A ．5．(2018·昆明高二检测)若直线l 1：x ＋ay －1＝0与l 2：4x －2y ＋3＝0垂直，则积分⎠⎛－aa(x 3＋sin x －5)d x 的值为( D )A ．6＋2sin 2B ．－6－2cos 2C ．20D ．－20[解析] 由l 1⊥l 2得4－2a ＝0即a ＝2，∴原式＝⎠⎛－22 (x 3＋sin x －5)d x ＝⎠⎛－22 (x 3＋sin x )d x ＋⎠⎛－22(－5)d x ＝0－20＝－20． 6．⎠⎜⎛0π3⎝⎛⎭⎪⎫1－2sin 2θ2d θ的值为( D ) A ．－32 B ．－12C ．12D ．32[解析] ∵1－2sin2θ2＝cos θ，∴⎠⎜⎛0 π3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2sin 2θ2d θ＝⎠⎜⎛0π3cos θd θ ＝sin θ⎪⎪⎪⎪π3＝32，故应选D ． 二、填空题7．从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为13．[解析] 长方形的面积为S 1＝3，S 阴＝⎠⎛013x 2d x ＝x 3| 10＝1，则P ＝S 阴S 1＝13． 8．已知f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛－11f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝－1或13．[解析] 由已知F (x )＝x 3＋x 2＋x ，F (1)＝3，F (－1)＝－1， ∴⎠⎛－11f (x )d x ＝F (1)－F (－1)＝4，∴2f (a )＝4，∴f (a )＝2．即3a 2＋2a ＋1＝2．解得a ＝－1或13．三、解答题9．计算下列定积分：(1)⎠⎛02(4－2x )(4－x 2)d x; (2)⎠⎛12x 2＋2x －3x d x ．[解析] (1)⎠⎛02(4－2x )(4－x 2)d x ＝⎠⎛02(16－8x －4x 2＋2x 3)d x＝⎝⎛⎭⎪⎫16x －4x 2－43x 3＋12x 4| 20＝32－16－323＋8＝403．(2)⎠⎛12x 2＋2x －3x d x ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2－3x d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋2x －3ln x | 21＝72－3ln2．10．(2017·泉州模拟)已知f (x )＝(kx ＋b )e x且曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝e(x －1)．(1)求k 与b 的值； (2)求⎠⎛01x ·e xd x ．[解析] (1)∵f (x )＝(kx ＋b )e x， ∴f ′(x )＝(kx ＋k ＋b )e x， ∴f ′(1)＝e ，f (1)＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b e ＝ek ＋b e ＝0解得k ＝1，b ＝－1． (2)由(1)知f (x )＝(x －1)e x，f ′(x )＝x e x ，∴⎠⎛01(x e x)d x ＝(x －1)e x |10＝0＋1＝1．B 级 素养提升一、选择题1．(2016·岳阳高二检测)若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121xd x ，S 3＝⎠⎛12e xd x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( B )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1[解析] S 1＝⎠⎛12x 2d x ＝x 33|21＝73．S 2＝⎠⎛121xd x ＝ln x |21＝ln2－ln1＝ln2．S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e x |21＝e 2－e ＝e(e －1)．∵e>2．7，∴S 3>3>S 1>S 2．故选B ．2．定义在R 上的可导函数y ＝f (x )，如果存在x 0∈[a ，b ]，使得f (x 0)＝⎠⎛abf x d x b －a成立，则称x 0为函数f (x )在区间[a ，b ]上的“平均值点”，那么函数f (x )＝x 3－3x 在区间[－2,2]上“平均值点”的个数为( C )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 由已知得：f (x 0)＝⎠⎛－22x 3－3x d x 4＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 4－32x 22－24＝0，即x 30－3x 0＝0，解得：x 0＝0或x 0＝±3，∴f (x )的平均值点有3个，故选C ．二、填空题3．⎠⎜⎜⎛–π2π2(x ＋cos x )d x ＝2． [解析] ⎠⎜⎜⎛–π2π2(x ＋cos x )d x ＝(12x 2＋sin x ) ⎪⎪⎪⎪π2-π2＝2．4．函数y ＝x 2与y ＝kx (k >0)的图象所围成的阴影部分的面积为92，则k ＝3．[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ，y ＝k 2.由题意得，⎠⎛0k (kx －x 2)d x ＝(12kx 2－13x 3)|k 0＝12k 3－13k 3＝16k 3＝92，∴k ＝3．三、解答题5．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2，求a 、b 、c 的值．[解析] ∵f (－1)＝2，∴a －b ＋c ＝2．① 又∵f ′(x )＝2ax ＋b ，∴f ′(0)＝b ＝0② 而⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx ＋c )d x ，取F (x )＝13ax 3＋12bx 2＋cx ，则f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c ，∴⎠⎛01f (x )d x ＝F (1)－F (0)＝13a ＋12b ＋c ＝－2③解①②③得a ＝6，b ＝0，c ＝－4．6．如图，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围成图形为面积相等的两部分，求k 的值．[解析] 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝(x 22－x 33)|10＝12－13＝16．抛物线y ＝x －x 2与直线y ＝kx 两交点的横坐标为x ′1＝0，x ′2＝1－k ，所以S2＝⎠⎛01－k (x－x 2－kx )d x ＝(1－k 2x 2－x 33)|1－k 0＝16(1－k )3，又知S ＝16，所以(1－k )3＝12．于是k ＝1－312＝1－342．C 级 能力拔高设f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x ＋2． (1)求y ＝f (x )的表达式．(2)若直线x ＝－t (0<t <1)把y ＝f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值．[解析] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b ，又已知f ′(x )＝2x ＋2，所以a ＝1，b ＝2， 所以f (x )＝x 2＋2x ＋c ．又方程f (x )＝0有两个相等实根． 所以判别式Δ＝4－4c ＝0，即c ＝1．故f (x )＝x 2＋2x ＋1． (2)依题意有⎠⎛－1－t (x 2＋2x ＋1)d x＝⎠⎛－t0(x 2＋2x ＋1)d x ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2＋x |－t －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2＋x |0－t即－13t 3＋t 2－t ＋13＝13t 3－t 2＋t ．所以2t 3－6t 2＋6t －1＝0， 所以2(t －1)3＝－1， 所以t ＝1－132．。