概率与统计综合应用
S1：画出2×2列联表：(列联表已知时此步可省略) S2：算出观察值 K2与临界值k0比较大小： S3：写出概率P0=P( K2 = k0)
注1：该步具体操作时，分为3小步： 第一小步：计算观察值 k (K2) 第二小步：寻找临界值 k0 第三小步：比较观察值k与临界值k0的大小
注4：可以“认为”与不能“认为”的标准：
①当k0题中无指定时，一般地都用“认为” ②当k0题中指定时：
* 式中“≥”时;“可以认为”;反之,“不能认为”
§121 综合应用
综合应用很复杂 知识方法及内外
(1)(2013年山东)在区间[-3,3]上随机取一个数x 使得 x 1 x 2 ≥1 成立的概率为____
不相关
变量间的关系 相关关系
函数关系
注：相关关系的分类
①按相关的方向分为
正相关(暂理解成回归曲线为增函数) 负相关(暂理解成回归曲线为减函数)
②按回归曲线分为
线性相关(回归曲线为直线) 非线性相关(回归曲线为曲线)
单相关 ③按影响因素的数量可分为 复相关
偏相关
完全相关 ④按关联的密切程度可分为 不完全相关
k0题中有指定时：用指定值 S3：写出概率P0=P( K2 = k0)
P( K2 ≥ k0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
卡方检验的书写格式
一表二方比大小 三写概率四决策
S1：画出2×2列联表：(列联表已知时此步可省略) S2：算出观察值K2与临界值k0比较大小： S3：写出概率P0=P( K2 = k0) S4：决策：
注1：决策表述常见三 四个填空是关键 ① 在犯错的概率不超过XX％的前提下 可认为X与Y有(无)关 ② 有XX％的把握认为X与Y有(无)关 ③ 认为X与Y有(无)关的可信度为XX％
§121 综合应用
综合应用很复杂 知识方法及内外
概率与统计简述
样本
抽样
估计 推断
总体
回归分析 分布列及期望 相关分析
概率 计数
变量的分类
①
定量变量 分类(定性，属性)变量
定量变量: 如长度、重量、速度、温度……
定性变量: 如某种产品分为一等品、二等品、三等品 身份证的编号……
②
解释变量 预报(响应)变量
完全不相关（无关）
变量相关关系的判定
法1：经验法 法2：散点图法
①如果散点图中样本点,从整体上看大致分布 一曲线附近(该曲线称回归曲线)， 则称这两变量是相关关系
②如果回归曲线是增函数，则称为正相关 如果回归曲线是减函数，则称为负相关
法3：相关系数 r 法 (参《必修3》P：92～93) 法4：关系式法:
③若个别样本点的残差比较大 即有异常点存在 需确认是否数据的采集有错误
回归模型拟合效果的评判方法
1.散点图法： 2.残差法：
①残差图法： ②残差平方和法：
<1> n ( yi $yi )2 称为残差平方和 i 1
<2> 残差平方和越小，说明拟合效果越好
3.相关指数R2法：
相关指数(样本决定系数或判定系数)R2法：
S1：画出2×2列联表：(列联表已知时此步可省略)
解：由题意得
x1
x2 总计
y1 a
c a＋c
y2
总计
b
a＋b
d
c＋d
b＋d a＋b＋c＋d
卡方检验的书写格式 一表二方比大小 三写概率四决策
S1：画出2×2列联表：(列联表已知时此步可省略) S2：算出观察值 K2与临界值k0比较大小：
n ad bc2 k2 a bc d a cb d
注2：①中的XX％＝P0 ,而②③中的XX％＝1－P0
卡方检验的书写格式
S1：画出2×2列联表：(列联表已知时此步可省略) S2：算出观察值K2与临界值k0比较大小： S3：写出概率P0=P( K2 = k0) S4：决策：
注1：决策表述常见三 四个填空是关键
注2：①中的XX％＝P0 ,而②③中的XX％＝1－P0 注3：“有关”与“无关”的判定标准：
回归模型拟合效果的评判
1.散点图法： 2.残差法：
①残差图法： ②残差平方和法： 3.相关指数R2法：
残差法评判拟合效果
①残差的义：
数据点和它在回归曲线上相应位置的差异(yi $yi )
即称 e$i =yi $yi 为残差 ②残差分析：
①°残差图法 ②°残差平方和法
误差 e (Error)：
2.步骤：
①画散点图或求出相关系数，判定是否相关
②求回归方程 yˆ bˆx aˆ
③用回归方程作预报
画图求数定相关 二求方程三预报 直线必过中心点 先算中心再斜率 代入求得纵截距 小题形法可估算
注：回归直线 yˆ bx a 一定经过样本中心点 (x, y)
线性回归的运算技巧
S1：旧数据 化大为小 新数据
(xi , yi ) 化大为小(xi x , yi y )
S2：将新数据得到的回归方程还原即可
y新 bx新 a
y旧 y b(x旧 x ) a
求线性回归方程的书写格式
S1：由题意得
x L ,y L ,
n
xi2 ,
i 1
n
xi yi
i 1
S2：故 bˆ L , aˆ y bx
总计 a＋b c＋d a＋b＋c＋d
因 K2 ＝…≈ … k0 而 P0 ＝ P( K2 = k0) ＝……
卡方检验的书写格式
一表二方比大小 三写概率四决策
S1：画出2×2列联表：(列联表已知时此步可省略) S2：算出观察值K2与临界值k0比较大小：
K2=……= k0 ……… * 注：k0题中无指定时：一般的，用左不用右
卡方检验的书写格式
S1：画出2×2列联表：(列联表已知时此步可省略) S2：算出观察值K2与临界值k0比较大小：
K2=……= k0 …………… * S3：写出概率P0=P( K2 = k0) S4：决策：
注1：决策表述常见三 四个填空是关键
注2：①中的XX％＝P0 ,而②③中的XX％＝1－P0 注3：“有关”与“无关”的判定标准：
k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 ①不作说明时，默认：
犯错的概率≤0.05时，认为X与Y有关 犯错的概率＞0.05时，认为X与Y无关 ②个别行业要求较高： 犯错的概率≤0.01时，认为X与Y有关 犯错的概率＞0.01时，认为X与Y无关
0
0.25
0.30 0.75
1
|r|
③ 正相关 负相关
r＞0 r＜0
增函数 减函数
回归分析的操作步骤
S1：确定研究对象，明确解释变量和预报变量 S2：判定它们是否存在相关关系 S3：确定回归方程类型 S4：利用公式，求出回归方程 S5：评价拟合效果，得出结论
线性相关(线性回归)简介
1.含义：
回归分析的特例，回归曲线是直线
其中n=a＋b＋c＋d
注1：K2是一个随机变量，随实测数据变化而变化 k是根据实测数据带入公式算出的一个观察值 暂时理解成 K2 = k
注2：考试时，虽然会给出 K2 计算公式
但试题中，只有具体的数字，没有a,b,c,d,n……
故一定要明确：a,b,c,d,n的含义,尤其是b,c的位置
卡方检验的书写格式
任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有作成
平的行平四行边四形边的形个的数 个为 数为m n, 则，其mn 中＝面y积不·超·过·4的
A. 4
B.1
15
3
5 4
C
F
C. 2
D. 2
3 2
B
E
5
3
析：如图，易得 n＝ C62 15
1
0
A
D
1234x
m＝？
(3)(2011年四川)在集合{1,2,3,4,5}中任取ur 一个偶数a , 和一个奇数b ,构成以原点为起点的向量 (a,b) .从 所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边
析：3δ原则： 若X～N(μ,δ2).则
C 1
区间
取值概率
δ原则 2δ原则 3δ原则
X ,
X 2 , 2
X 3, 3
0.6826 0.9544 0.9974
解：由3δ原则得
(3)(2011年四川)在集合{1,2,3,4,5}中任取一个
u偶r 数a 和一个奇数b ,构成以原点为起点的向量 (a,b) , 从所有得到的以原点为起点的向量中
残差 =真实值－预报值 yi yˆi 点(个体)误差 偏差 =真实值－均值 yi y
回归差 =预报值－均值 yˆi y
随机(整体)误差
残差图法评判拟合效果 ①以残差为纵坐标
以其他指定的量为横坐标的散点图
②若残差点比较均匀地落在水平的 带状区域中、说明选用的模型计较合适 这样的带状区域的宽度越窄 说明模型拟合精度越高 回归方程的预报精度越高
卡方检验独立性的书写格式
书写格式四大步 一表二方比大小 三写概率四决策
1.操作步骤与书写格式、密不可分……
2.因操作的第一步统统是：假设两变量无关 故大题书写时，将该步略去
3.但后面的四步，均是围绕第一步展开的 类似于反证法 用Κ2的大小来判定假设的可信度……
卡方检验的书写格式
一表二方比大小 三写概率四决策
①不作说明时，默认： 犯错的概率≤0.05时，认为X与Y有关 犯错的概率＞0.05时，认为X与Y无关
概率论与数理统计在大数据分析中的应用3篇 概率论与数理统计
概率论与数理统计在大数据分析中的应用3篇概率论与数理统计精品文档，仅供参考概率论与数理统计在大数据分析中的应用3篇概率论与数理统计在大数据时代，利用概率论与数理统计方法来对繁杂数据进行分析与挖掘不失为是一种简单高效的方法。
下面是本站为大家带来的，希望能帮助到大家!概率论与数理统计在大数据分析中的应用1概率论与数理统计知识是数学知识体系中的重要分支，对日常生活有着广泛的理论指导。
基于此，本文首先介绍了概率论与数理统计的主要学科知识，其次对于概率论与数理统计知识在日常生活中的应用，从等概率问题、序列概率问题、几何概率模型问题、统计模型、常识性统计几个方面，进行具体的研究与分析，最后对概率与数理统计的应用做出展望。
概率论和数理统计是高等数学中的重要组成部分。
在自然界和人们的日常生活中，随机现象与随机事件非常普遍，概率论和数理统计是对某一事件可能结果的客观分析和理性判断。
只要我们细心研究就会发现，概率论和数理统计在日常生活中有着多方面的应用。
一、概率论与数理统计知识概率论(Probability Theory)是研究随机现象数量规律的数学分支，数理统计(Mathematics Statistics)是以概率论为基础，研究人类社会和自然界中的随机现象变化规律的一种数学模型[1]。
概率论与数理统计知识主要包含事件间关系的确定、概率的计算、概率计算模型、概率计算公式、相关性分析、参数估计、假设检验与回归分析、随机变量知识、中心极限定理等等[2]。
概率论与数理统计来源与生活，是对生活中的多种随机现象的逻辑分析与抽象总结。
在日常生活中，也能找到多种应用概率论与数理统计知识的具体体现。
二、概率论与数理统计在日常生活中的具体应用体现(一)概率论与数理统计在等概率事件中的应用等概率事件是指每一个随机事件发生的概率都是相同的，等概率问题是生活中常见的问题，小到我们玩狼人杀时的身份抽取、值日生分组中的抓阄分组，大到工厂的货物质检、食品安全部门的卫生抽检，都能应用到概率论与数理统计的相关知识。
高中数学概率与统计综合应用教案
高中数学概率与统计综合应用教案一、引言概率与统计是高中数学中的重要内容，也是数学知识在现实生活中的综合应用非常广泛的部分。
本教案旨在通过综合应用的方式帮助学生深入理解概率与统计的概念和方法，并将其应用于实际问题解决过程中。
通过此教案的学习，学生将能够培养数学思维、提升分析问题和解决问题的能力。
二、概率与统计的基本概念1. 概率的基本概念1.1 概率的定义概率是指事物发生的可能性大小的度量。
它可以用一个0到1之间的数来表示，其中0表示不可能发生，1表示必然发生。
1.2 概率的性质概率具有非负性、规范性、可列可加性和互斥性等基本性质。
2. 统计的基本概念2.1 统计的定义统计是根据获取到的数据对未知现象的特点与规律进行推论和预测的一种方法。
2.2 统计的基本步骤统计具有收集数据、整理数据、描述数据和分析数据等基本步骤。
三、综合应用教学设计1. 学习目标通过本节课的学习，学生应能够：1.1 掌握概率与统计的基本概念和性质。
1.2 理解概率与统计在现实生活中的综合应用。
1.3 能够利用概率与统计的方法解决实际问题。
2. 教学方法本节课采用案例分析与问题解决相结合的教学方法，通过实际问题的解决过程引入概率与统计的概念和方法，培养学生的数学思维和问题解决能力。
3. 教学过程3.1 引入问题老师向学生提出一个问题：“在一个班级中，有20个男生和30个女生，如果随机抽取一个学生，那么这个学生是男生的概率是多少？”3.2 讨论与分析学生们分析问题，得出结论：随机抽取一个学生，他是男生的概率为20/50=0.4。
3.3 引入概率的定义通过上述问题，老师引入概率的定义，并解释概率的基本性质。
四、综合应用实例解析1. 实例一：罐子中的球体某罐子中有红、绿、蓝三种颜色的球体，分别有30个、40个和30个。
现从中取球，问取出的球体颜色为红色的概率是多少？解析：先根据总体计算出总共球体的个数，即30+40+30=100个。
然后计算红色球体的个数，即30个。
(完整版)概率统计在生活中应用
概率统计在生活中应用随着科学的发展，数学在生活中的应用越来越广，生活的数学无处不在。
而概率作为数学的一个重要部分，同样也在发挥着越来越广泛的用处。
抽样调查，评估，彩票，保险等经常会遇到要计算概率的时候，举个例子在保险公司里有2500个同一年龄的人参加了人寿保险，在一年里死亡的概率为0.002，每个人一年付12元保险费，而在死亡的时候家属可以领取由保险公司支付的2000元，问保险公司盈利的概率是多少，公司获利不少于10000的概率是多少？这样的问题咋一看很难知道保险公司是否盈利，但经过概率统计的知识一计算就可以得知公司是几乎必定盈利的A＝{2500×12-2000X<0}＝{X>15}由此得知P=0.999931,而盈利10000以上的概率也有0.98305，以上的结果说明了为什么保险公司那样乐于开展保险业务的原因.除了保险，概率统计学对彩票也有有两个方面的应用。
据钱江晚报报道，彩票市场越来越火爆，据了解，南京某一期电脑福利彩票有一懂概率统计的彩民一个人中1个一等奖、3个二等奖、33个三等奖，有一期彩票有9注号码中一等奖，从而引发了无数彩民自己预测号码的愿望，概率统计方面的书籍也一下子走俏。
许多平时见到符号就头疼的彩民也捧起概率书兴趣盎然地啃起来。
东南大学经管院陈建波博士指出，概率书上讲的都是理论知识，一大堆数学计算公式，如何把概率书的理论运用到彩票选号中来，才是许多彩民关心的问题。
实际上，概率统计学主要有两个方面的应用：一个方面是利用概率公式计算各种数字号码出现的概率值，然后选择最大概率值数字进行选号。
举一个简单的例子，类似“1234567”七个数一直连续的彩票号码与非一直连续的号码出现的概率比例为：29：6724491（1：230000）左右，由于出现的概率值极低，因此一般不选这种连续号码。
另一方面的应用是统计，即把以前所有中奖号码进行统计，根据统计得到的概率值来预测新的中奖号码，例如五区间选号法，就是根据统计进行选号的。
概率及其与统计的综合应用
概率及其与统计的综合应用作者：罗冠中来源：《赢未来》2018年第22期摘要：世间万物的运行都有其自身的规律，学习概论与统计知识，有助于我们使用数学的思维和方法理解这个世界的运行方式，同时在我们的生产生活中概率与统计也有很广泛的应用空间。
本文简要地介绍了概率与统计这门学科的发展历史以及常见的概念，以及它在一些行业中应用，并进一步思考其在信息时代的未来发展方向。
关键词：概率；统计；应用一、概率与统计的简介（1）概率与统计的发展历程概率与统计就是一门研究随机事件发生的数量规律的数学学科，其目的是揭示蕴含在随机现象中的结构和规律。
概率与统计的起源与赌博有着很深的渊源，意大利的数学家卡诺丹、费马以及瑞士的雅各-伯努利等人被认为是概率与统计学科的创始人，他们在一开始就是研究赌博的输赢问题。
一次赌局的输赢是随机的，但次数增多后总会呈现一定的规律性，为此在17世纪末卡丹诺还出版过一本《论赌博》。
到了18世纪，《推想的艺术》、《机遇原理》等著作相继问世，概率与统计在社会实践中不断被应用，比如人口普查、计算保险收益率等。
而19世纪到二战结束期间可以说是这门学科发展史上极为重要的时期，很多重要的概念、观点和方法都是在这一时期建立和发展起来的，并且不断地被细化分类。
（2）概率与统计中常用的概念在高中阶段我们就学习过了很多关于概率与统计的概念，比如古典概型、独立事件、对立事件、必然事件和随机事件等。
也学习了很多参数，例如表示一组数据集中程度的三个最常见的参数：平均数、众数和中位数，还有表示数据离散程度的极差、方差、标准差，反映了数据波动范围的大小。
我们还学习了公式法、列表法、树状图法等方法来求某一事件发生的概率。
熟练掌握这些知识能帮助我们系统快速的分析数据，抓住关键信息，解决实际问题。
二、概率与统计在生活中的应用（1）概率与统计在经济学中的应用概率与统计的综合应用不断促进着经济学的发展，现今的经济研究离不开概率与统计的方法，比如抽样检查、价格控制、多元分析等，经济学家会根据市场规律信息建立经济学模型，分析当前经济形势，预测市场发展。
概率与统计的综合应用
概率与统计的综合应用概率与统计是数学中非常重要的两个分支，它们在现实生活中有着广泛的应用。
概率是研究随机事件发生的可能性的数学理论，而统计是通过对数据进行收集、整理、分析和解释来揭示事物规律的学科。
本文将探讨概率与统计在实际应用中的综合应用。
一、市场调研中的样本抽取市场调研是了解消费者需求、预测市场变化的重要手段之一。
在进行市场调研时，为了节约时间和资源，我们无法对全体消费者进行调查，而是通过从大样本中随机选择若干个样本来代表整个人群。
这就涉及到概率与统计的综合应用。
在样本抽取过程中，我们可以利用概率论中的随机抽样方法，如简单随机抽样、分层抽样、整群抽样等。
通过概率方法设计样本抽取方式，可以保证样本的随机性和代表性，从而提高市场调研的准确性。
二、医学实验中的统计分析在医学实验中，我们经常需要通过比较不同治疗方法的效果来确定最佳的治疗方案。
这时需要进行统计分析，以便从数据中得出科学合理的结论。
首先，我们可以利用概率论中的假设检验方法来验证实验结果的显著性。
假设检验就是根据样本数据对总体参数作出推断的统计方法，通过计算概率值来判断研究结果是否具有显著性。
其次，我们可以运用概率与统计的方法来进行样本容量的确定。
由于人体实验具有一定的风险，为了尽可能减少实验带来的损害，我们需要确定足够的样本容量来保证实验结果的可靠性。
通过概率与统计的方法，可以计算出所需的样本容量，从而达到有效的实验设计和结果分析。
三、金融风险评估中的概率模型金融风险评估是保险、银行、证券等金融机构的核心工作之一。
为了评估风险，我们可以建立基于概率的风险模型，从而预测未来的风险情况。
在金融风险评估中，我们可以运用统计分析方法对历史数据进行抽样、分析和建模。
通过分析历史数据的概率分布，可以预测未来的风险水平，并采取相应的措施进行风险管理。
四、质量控制中的过程能力评估在生产制造过程中，质量控制是非常重要的环节。
为了评估生产过程的稳定性和一致性，我们可以运用概率与统计的方法来进行过程能力评估。
高考数学概率统计解答题专题
高考数学概率统计解答题专题一、归类解析题型一：离散型随机变量的期望与方差【解题指导】离散型随机变量的期望和方差的求解，一般分两步：一是定型，即先判断随机变量的分布是特殊类型，还是一般类型，如两点分布、二项分布、超几何分布等属于特殊类型；二是定性，对于特殊类型的期望和方差可以直接代入相应公式求解，而对于一般类型的随机变量，应先求其分布列然后代入相应公式计算，注意离散型随机变量的取值与概率的对应．【例】某品牌汽车4S店，对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如下表所示．已知分9期付款的频率为0.2.4S店经销一辆该品牌的汽车，顾客分3期付款，其利润为1万元；分6期或9期付款，其利润为1.5万元；分12期或15期付款，其利润为2万元．用η表示经销一辆汽车的利润.(1)求上表中的a，b值；(2)若以频率作为概率，求事件A“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位采用分9期付款”的概率P(A)；(3)求η的分布列及期望E(η)．【变式训练】某项大型赛事，需要从高校选拔青年志愿者，某大学生实践中心积极参与，从8名学生会干部(其中男生5名，女生3名)中选3名参加志愿者服务活动．若所选3名学生中的女生人数为X，求X的分布列及期望．题型二：概率与统计的综合应用【解题指导】概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点．它与其他知识融合、渗透，情境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性．【例】某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X的分布列；(2)若要求P (X ≤n )≥0.5，确定n 的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n ＝19与n ＝20之中选其一，应选用哪个？ 【变式训练】经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获得利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品．以X (单位：t,100≤X ≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T (单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T 表示为X 的函数；(2)根据直方图估计利润T 不少于57 000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X ∈[100,110)，则取X ＝105，且X ＝105的概率等于需求量落入[100,110)的频率)，求T 的期望． 题型三：概率与统计案例的综合应用【解题指导】 概率与统计案例的综合应用常涉及相互独立事件同时发生的概率、频率分布直方图的识别与应用、数字特征、独立性检验等基础知识，考查学生的阅读理解能力、数据处理能力、运算求解能力及应用意识．【例】高铁、网购、移动支付和共享单车被誉为中国的“新四大发明”，彰显出中国式创新的强劲活力．某移动支付公司从我市移动支付用户中随机抽取100名进行调查，得到如下数据：每周移动支付次数1次 2次 3次 4次 5次 6次及以上总计 男 10 8 7 3 2 15 45 女 5 4 6 4 6 30 55 总计1512137845100(1)把每周使用移动支付超过3次的用户称为“移动支付活跃用户”，能否在犯错误概率不超过0.005的前提下，认为是否为“移动支付活跃用户”与性别有关？(2)把每周使用移动支付6次及6次以上的用户称为“移动支付达人”，视频率为概率，在我市所有“移动支付达人”中，随机抽取4名用户．①求抽取的4名用户中，既有男“移动支付达人”又有女“移动支付达人”的概率；②为了鼓励男性用户使用移动支付，对抽出的男“移动支付达人”每人奖励300元，记奖励总金额为X ，求X 的分布列及期望． 附公式及表如下：χ2＝nn 11n 22－n 12n 212n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2.P (χ2≥k 0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【变式训练】电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料是否可以认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷合计 男 女 10 55 合计(2)将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列、期望E (X )和方差D (X )． 附：χ2＝n n 11n 22－n 12n 212n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2.P (χ2≥k 0) 0.10 0.05 0.01 k 02.7063.8416.635二、专题突破训练1．为了增强消防安全意识，某中学对全体学生做了一次消防知识讲座，从男生中随机抽取50人，从女生中随机抽取70人参加消防知识测试，统计数据得到如下列联表：优秀 非优秀 合计 男生 15 35 50 女生 30 40 70 合计4575120(1)试判断能否有90%的把握认为消防知识的测试成绩优秀与否与性别有关？(2)为了宣传消防知识，从该校测试成绩获得优秀的同学中采用分层抽样的方法，随机选出6人组成宣传小组．现从这6人中随机抽取2人到校外宣传，求到校外宣传的同学中男生人数X 的分布列和期望． 附：χ2＝n n 11n 22－n 12n 212n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2.2(1)求出y关于x的回归直线方程y＝b x＋a，并在坐标系中画出回归直线；(2)试预测加工10个零件需要的时间．3．为了评估天气对某市运动会的影响，制定相应预案，该市气象局通过对最近50多年气象数据资料的统计分析，发现8月份是该市雷电天气高峰期，在31天中平均发生雷电14.57天(如图所示)．如果用频率作为概率的估计值，并假定每一天发生雷电的概率均相等，且相互独立．(1)求在该市运动会开幕(8月12日)后的前3天比赛中，恰好有2天发生雷电天气的概率(精确到0.01)；(2)设运动会期间(8月12日至23日，共12天)，发生雷电天气的天数为X，求X的期望和方差(精确到0.01)．4．某婴幼儿游泳馆为了吸引顾客，推出优惠活动，即对首次消费的顾客按80元收费，并注册成为会员，对会员消费的不同次数给予相应的优惠，标准如下：假设每位顾客游泳1(1)估计该游泳馆1位会员至少消费2次的概率；(2)某会员消费4次，求这4次消费中，游泳馆获得的平均利润；(3)假设每个会员最多消费4次，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，从该游泳馆的会员中随机抽取2位，记游泳馆从这2位会员的消费中获得的平均利润之差的绝对值为X，求X的分布列和期望E(X)．。
第5章 5.4 统计与概率的应用-(新教材)人教B版(2019)高中数学必修第二册课件
x
＝
1 20
(2.5×4
＋
7.5×8
＋
12.5×5
＋
17.5×2
＋
22.5×1)
＝
9.5(min)．
s2
＝
1 20
[
(2.5－
9.5)2×4＋
(7.5－
9.5)2×8＋
(12.5－
9.5)2×5＋
(17.5－
9.5)2×2＋(22.5－9.5)2×1]＝28.5(min2)．
s＝ 28.5≈5.34(min)．
[解] (1)由中位数可知，85 分排在第 25 名之后，从名次上讲， 85 分不算是上游，但也不能单以名次来判断学习成绩的好坏，小刚 得了 85 分，说明他对这阶段的学习内容掌握较好．
(2)甲班学生成绩的中位数为 87 分，说明高于或等于 87 分的学 生占一半以上，而平均分为 79 分，标准差很大，说明低分也多，两 极分化严重，建议对学习有困难的同学多给一些帮助；
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)事件 A 发生的概率很小时，该事件为不可能事件．( ) (2)某医院治愈某种病的概率为 0.8，则 10 个人去治疗，一定有 8 人能治愈．( ) (3)平时的多次比赛中，小明获胜的次数比小华高，所以这次比 赛应选小明参加．( )
(1)× (2)× (3)√ [(1)概率很小的事件，也是随机事件，不 可能事件的概率为 0.
[跟进训练]
1．某校甲班、乙班各有 49 名学生，两班在一次数学测验中的
成绩(满分 100 分)统计如下表：
班级 平均分 众数 中位数 标准差
甲班
79
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
70
87
三年级数学上册综合应用概率与统计
三年级数学上册综合应用概率与统计在三年级数学上册的学习中，综合应用概率与统计是一个重要的知识点。
通过学习这一内容，学生可以了解到统计数据的收集和整理，并且能够应用概率来解决一些实际问题。
下面将从实际生活中的案例出发，详细介绍三年级数学上册综合应用概率与统计的相关内容。
案例一：小明的植物种子小明是一个热爱植物的孩子，他购买了一包花草种子，准备种植在花盆里。
他想知道这包种子中不同种类花卉的比例。
为了回答这个问题，小明随机抽取了10颗种子，并统计了其中各种花卉的数量。
统计结果如下：玫瑰花：4颗向日葵：2颗郁金香：1颗牵牛花：3颗根据这个统计数据，小明可以通过简单的计算得出每种花卉在种子包中的概率。
玫瑰花的概率为4/10，向日葵的概率为2/10，郁金香的概率为1/10，牵牛花的概率为3/10。
同时，小明还可以绘制饼图来直观展示这几种花卉的比例。
通过这个案例，孩子们不仅可以学习到如何进行统计数据的收集和整理，还可以通过计算概率来解答问题。
同时，饼图的绘制也有助于孩子们更好地理解各种花卉在种子包中的比例关系。
案例二：小王的零食盒小王是一个爱吃零食的孩子，他把自己最喜欢的零食收集在一个小盒子里。
他想知道在这个零食盒里，不同种类零食的比例。
为了回答这个问题，小王随机抽取了15个零食，并统计了其中各种零食的数量。
统计结果如下：薯片：5个巧克力：4个饼干：2个糖果：4个根据这个统计数据，小王可以通过计算概率的方式得出薯片的概率为5/15，巧克力的概率为4/15，饼干的概率为2/15，糖果的概率为4/15。
此外，小王还可以绘制柱状图来展示这几种零食的比例关系。
通过这个案例，孩子们不仅可以学习到如何统计数据，还可以通过计算概率来得到各种零食的比例。
同时，柱状图的绘制也能够帮助孩子们更好地理解零食种类的分布情况。
通过以上两个案例的介绍，我们可以看出，在三年级的数学上册中，综合应用概率与统计是一个很实用的知识点。
通过学习这一内容，孩子们可以了解到统计数据的收集和整理的方法，并能够运用概率的思想解决实际问题。
中考数学复习攻略 专题5 统计与概率综合(含答案)
专题五 统计与概率综合统计图表：认真审题，从统计图表中获取有用信息，根据题意求出相应的量．统计量的计算：中位数是排出来的，众数是数出来的，平均数、方差是算出来的．概率的计算和应用：利用画树状图或列表法列举所有等可能结果是解决这类题目的关键．利用画树状图或列表法可以不重复不遗漏地列出所有等可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，画树状图适合两步或两步以上完成的事件．注意用到的知识点：概率等于所求情况数与总情况数之比．中考重难点突破 统计图表与三数的综合【例1】(2021·苏州中考)为增强学生的环保意识，共建绿色文明校园，某学校组织“废纸宝宝旅行记”活动．经统计，七年级5个班级一周回收废纸情况如表．班级一班 二班 三班 四班 五班 废纸质量/kg4.54.45.13.35.7则每个班级回收废纸的平均质量为( C ) A ．5 kg B ．4.8 kg C ．4.6 kg D ．4.5 kg【解析】求五个班废纸回收质量的平均数即可得出答案．1．(2021·盘锦中考)甲、乙、丙、丁四人10次随堂测验的成绩如图所示，从图中可以看出这10次测验平均成绩较高且较稳定的是( C )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁概率的计算【例2】(2019·百色适应性演练)欢度端午节，小新用不透明袋子装了4个粽子来学校与同学分享，其中有豆沙棕和肉棕各1个，板栗粽2个，这些粽子形状与大小完全一样．(1)若小新随机从袋子中取出一个粽子，取出的是肉粽的概率是多少？(2)若小新随机从袋子中取出两个粽子，试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出小新取出的两个都是板栗粽的概率．【解析】(1)直接根据概率公式计算可得结果；(2)画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，利用概率公式计算可得结果． 【解答】解：(1)∵一共有4个粽子，其中肉粽有1个，∴取出的是肉粽的概率是14；(2)由题意，画树状图：由图可知，共有12种等可能的结果，其中小新取出的两个都是板栗粽的结果有2种，∴小新取出的两个都是板栗粽的概率为212 ＝16.2．(2021·南通中考)一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4. (1)随机摸取一个小球的标号是奇数，该事件的概率为________；(2)随机摸取一个小球后放回，再随机摸取一个小球．求两次取出小球标号的和等于5的概率．解：(1)12；(2)由题意，画树状图：由图可知，共有16种等可能的结果，其中两次取出小球标号的和等于5的结果有4种，∴两次取出小球标号的和等于5的概率为416 ＝14.统计与概率的综合【例3】(2021·西藏中考)为铸牢中华民族共同体意识，不断巩固民族大团结，红星中学即将举办庆祝建党100周年“中华民族一家亲，同心共筑中国梦”主题活动．学校拟定了演讲比赛、文艺汇演、书画展览、知识竞赛四种活动方案，为了解学生对活动方案的喜爱情况，学校随机抽取了200名学生进行调查(每人只能选择一种方案)，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据以下两幅图所给的信息解答下列问题．甲 乙(1)在抽取的200名学生中，选择“演讲比赛”的人数为________，在扇形统计图中，m 的值为________； (2)根据本次调查结果，估计全校2 000名学生中选择“文艺汇演”的学生大约有多少人？(3)现从喜爱“知识竞赛”的四名同学a ，b ，c ，d 中，任选两名同学参加学校知识竞赛，请用树状图或列表法求出a 同学参加的概率．【解析】(1)总人数乘以A 对应的百分比即可求出其人数，再根据四种方案的人数之和等于总人数求出C 方案人数，再用C 方案人数除以总人数即可得出m 的值；(2)用总人数乘以样本中B 方案人数所占比例即可得出答案；(3)列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【解答】解：(1)40；30；[选择“演讲比赛”的人数为200×20%＝40(人)，则选择“书画展览”的人数为200－(40＋80＋20)＝60(人)，∴在扇形统计图中，m %＝60200×100%＝30%，即m ＝30.](2)估计全校2 000名学生中选择“文艺汇演”的学生大约有2 000×80200＝800(人)；(3)由题意，列表：a b c da (b ，a ) (c ，a )(d ，a ) b (a ，b )(c ，b ) (d ，b ) c (a ，c ) (b ，c ) (d ，c ) d (a ，d ) (b ，d ) (c ，d )由表可知，共有12种等可能的结果，其中a 同学参加的结果有6种，∴a 同学参加的概率为612 ＝12.3．(2020·百色一模)学校实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高，陈老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状，对该班部分学生进行调查，把调查结果分成四类(A ：特别好，B ：好，C ：一般，D ：较差)．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请根据统计图解答下列问题：(1)本次调查中，陈老师一共调查了______名学生；(2)将条形统计图补充完整；扇形统计图中D 类学生所对应的圆心角是多少度？(3)为了共同进步，陈老师从被调查的A 类和D 类学生中分别选取一名学生进行“兵教兵”互助学习，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率．解：(1)20；(2)C 类学生人数为20×25%＝5(名)，C 类女生人数为5－2＝3(名).D 类学生所占的百分比为1－15%－50%－25%＝10%，D 类学生人数为20×10%＝2(名)，D 类男生人数为2－1＝1(名).补充条形统计图如图所示．扇形统计图中D 类学生所对应的圆心角是360°×10%＝36°； (3)A 类学生中的两名女生分别记为A 1和A 2， 由题意，列表：女A 1 女A 2 男A 男D (女A 1，男D) (女A 2男D) (男A ，男D) 女D (女A 1，女D) (女A 2，女D) (男A ，女D)由表可知，共有6种等可能结果，其中一男一女的结果有3种，∴所选两位同学恰好是一名男生和一名女生的概率为36 ＝12 .中考专题过关1.(2021·陕西中考)今年9月，第十四届全国运动会将在陕西省举行．本届全运会主场馆在西安，开幕式、闭幕式均在西安举行．某校气象兴趣小组的同学们想预估一下西安市今年9月份日平均气温状况．他们收集了西安市近五年9月份每天的日平均气温，从中随机抽取了60天的日平均气温，并绘制成如下统计图．根据以上信息，回答下列问题：(1)这60天的日平均气温的中位数为________，众数为________； (2)求这60天的日平均气温的平均数；(3)若日平均气温在18 ℃～21 ℃的范围内(包含18 ℃和21 ℃)为“舒适温度”．请预估西安市今年9月份日平均气温为“舒适温度”的天数．解：(1)19.5 ℃；19 ℃；[这60天的日平均气温的中位数为19＋202＝19.5(℃)，众数为19 ℃.](2)这60天的日平均气温的平均数为160×(17×5＋18×12＋19×13＋20×9＋21×6＋22×4＋23×6＋24×5)＝20(℃)；(3)∵12＋13＋9＋660×30＝20(天)，∴估计西安市今年9月份日平均气温为“舒适温度”的天数为20天． 2．(2021·营口中考)李老师为缓解小如和小意的压力，准备了四个完全相同(不透明)的锦囊，里面各装有一张纸条，分别写有：A.转移注意力，B.合理宣泄，C.自我暗示，D.放松训练．(1)若小如随机取走一个锦囊，则取走的是写有“自我暗示”的概率是________； (2)若小如和小意每人先后随机抽取一个锦囊(取走后不放回)，请用列表法或画树状图的方法求小如和小意都没有取走“合理宣泄”的概率．解：(1)14；(2)由题意，画树状图：由图可知，共有12种等可能的结果，其中小如和小意都没有取走“合理宣泄”的结果有6种，∴小如和小意都没有取走“合理宣泄”的概率为612 ＝12.3．(2021·盐城中考)圆周率π是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对π有过深入的研究．目前，超级计算机已计算出π的小数部分超过31.4万亿位．有学者发现，随着π小数部分位数的增加，0～9这10个数字出现的频率趋于稳定，接近相同．祖冲之(1)从π的小数部分随机取出一个数字，估计数字是6的概率为________；(2)某校进行校园文化建设，拟从以上4位科学家的画像中随机选用2幅，求其中有一幅是祖冲之的概率．(用画树状图或列表方法求解)解：(1)110；(2) 甲 乙 丙 丁 甲 (乙，甲) (丙，甲) (丁，甲) 乙 (甲，乙) (丙，乙) (丁，乙) 丙 (甲，丙) (乙，丙) (丁，丙) 丁 (甲，丁) (乙，丁) (丙，丁)由表可知，共有∴其中有一幅是祖冲之的概率为612 ＝12.4．(2021·枣庄中考)某中学为组织学生参加庆祝中国共产党成立100周年书画展评活动，全校征集学生书画作品．王老师从全校20个班中随机抽取了A ，B ，C ，D 四个班，对征集作品进行了数量分析统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．图1图2(1)王老师采取的调查方式是________(填“普查”或“抽样调查”)，王老师所调查的4个班共征集到作品______件，并补全条形统计图；(2)在扇形统计图中，表示C 班的扇形圆心角的度数为________；(3)如果全校参展作品中有4件获得一等奖，其中有1件作品的作者是男生，3件作品的作者是女生．现要从获得一等奖的作者中随机抽取两人去参加学校的总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率．(要求用树状图或列表法写出分析过程)解：(1)抽样调查；24；B 班级的件数有4÷60°360°－4－10－4＝6(件)，补全条形统计图如图所示；(2)150°；[1024×360°＝150°.](3)由题意，画树状图如图：由图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好抽中一男一女的结果有6种，∴P (恰好抽中一男一女)＝612 ＝12.5．(2021·济宁中考)某校为了解九年级学生体质健康情况，随机抽取了部分学生进行体能测试，并根据测试结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请回答下列问题．(1)在这次调查中，“优秀”所在扇形的圆心角的度数是________； (2)请补全条形统计图；(3)若该校九年级共有学生1 200人，则估计该校“良好”的人数是________；(4)已知“不及格”的3名学生中有2名男生、1名女生，如果从中随机抽取两名同学进行体能加试，请用列表法或画树状图的方法，求抽到两名男生的概率．解：(1)108°；[在这次调查中，“优秀”所在扇形的圆心角的度数是360°×30%＝108°.] (2)这次调查的人数为12÷30%＝40(人).则及格的人数为40－3－17－12＝8(人).补全条形统计图如图；(3)510人；[估计该校“良好”的人数为1 200×1740＝510(人).](4)由题意，画树状图如图：由图可知，共有6种等可能的结果，其中抽到两名男生的结果有2种，26＝1 3.∴抽到两名男生的概率为。
高考中的概率和统计问题
1．春节前夕，质检部门检查一箱装有2 500件包装食品的质量，抽查总量的2%，在这个问题中，下列说法正确的是( )A ．总体是指这箱2 500件包装食品B ．个体是一件包装食品C ．样本是按2%抽取的50件包装食品D ．样本容量是50 答案 D解析 总体、个体、样本的考查对象是同一事，不同的是考查的范围不同，在本题中，总体、个体是指食品的质量，而样本容量是样本中个体的包含个数．故答案为D.2．在可行域内任取一点，其规则如流程图所示，则能输出数对(x ，y )的概率是( )A.π8B.π4C.π6D.π2 答案 B解析 依题意可行域为正方形AOCD ，输出数对(x ，y )形成的图形为图中阴影部分，故所求概率为：P ＝14π⎝⎛⎭⎫22222·22＝π4.3．已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ<4)＝0.8，则P (0<ξ<2)等于( ) A ．0.6 B ．0.4 C ．0.3 D ．0.2 答案 C解析 ∵P (ξ<4)＝0.8， ∴P (ξ>4)＝0.2，由题意知图象的对称轴为直线x ＝2， P (ξ<0)＝P (ξ>4)＝0.2，∴P (0<ξ<4)＝1－P (ξ<0)－P (ξ>4)＝0.6. ∴P (0<ξ<2)＝12P (0<ξ<4)＝0.3.4．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( ) A.14 B.12 C.34 D.78 答案 C 解析设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为x 、y ，x 、y 相互独立，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4，0≤y ≤4，|x －y |≤2，如图所示．所以两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为P (|x －y |≤2)＝S 正方形－2S △ABC S 正方形＝4×4－2×12×2×24×4＝1216＝34.5.为了从甲、乙两名运动员中选拔一人参加某次运动会跳水项目，对甲、乙两名运动员进行培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取6次，得到茎叶图如图所示．从平均成绩及发挥稳定性的角度考虑，你认为选派________(填甲或乙)运动员合适．答案 甲解析 根据茎叶图，可得x 甲＝16×(78＋79＋81＋84＋93＋95)＝85，x 乙＝16×(75＋80＋83＋85＋92＋95)＝85.s 2甲＝16×[(78－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(84－85)2＋(93－85)2＋(95－85)2]＝1333， s 2乙＝16×[(75－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝1393. 因为x 甲＝x 乙，s 2甲<s 2乙，所以甲运动员的成绩比较稳定，选派甲运动员参赛比较合适．题型一 古典概型与几何概型例1 (1)(2015·陕西)设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( ) A.34＋12π B.14－12π C.12－1π D.12＋1π答案 B解析 由|z |≤1可得(x －1)2＋y 2≤1，表示以(1,0)为圆心，半径为1的圆及其内部，满足y ≥x 的部分为如图阴影所示，由几何概型概率公式可得所求概率为：P ＝14π×12－12×12π×12＝π4－12π＝14－12π.(2)有9张卡片分别写着数字1,2,3,4,5,6,7,8,9，甲、乙二人依次从中抽取一张卡片(不放回)，试求： ①甲抽到写有奇数数字卡片，且乙抽到写有偶数数字卡片的概率； ②甲、乙二人至少抽到一张写有奇数数字卡片的概率．解 ①甲、乙二人依次从9张卡片中抽取一张的可能结果有C 19·C 18，甲抽到写有奇数数字卡片，且乙抽到写有偶数数字卡片的结果有C 15·C 14种，设“甲抽到写有奇数数字卡片，且乙抽到写有偶数数字卡片”的概率为P 1，则P 1＝C 15·C 14C 19·C 18＝2072＝518.②方法一 甲、乙二人至少抽到一张写有奇数数字卡片的事件包含下面的三个事件：“甲抽到写有奇数数字的卡片，乙抽到写有偶数数字的卡片”有C 15·C 14种； “甲抽到写有偶数数字卡片，且乙抽到写有奇数数字卡片”有C 14·C 15种； “甲、乙二人均抽到写有奇数数字卡片”有C 15·C 14种． 设甲、乙二人至少抽到一张写有奇数数字卡片的概率为P 2，则P 2＝C 15·C 14＋C 14·C 15＋C 15·C 14C 19C 18＝6072＝56. 方法二 甲、乙二人至少抽到一张奇数数字卡片的对立事件为两人均抽到写有偶数数字卡片，设为P 2，则P 2＝1－P 2＝1－C 14C 13C 19C 18＝56.思维升华 几何概型与古典概型的本质区别在于试验结果的无限性，几何概型经常涉及的几何度量有长度、面积、体积等，解决几何概型的关键是找准几何测度；古典概型是命题的重点，对于较复杂的基本事件空间，列举时要按照一定的规律进行，做到不重不漏．(1)为了丰富学生的课余生活，促进校园文化建设，我校高二年级通过预赛选出了6个班(含甲、乙)进行经典美文诵读比赛决赛．决赛通过随机抽签方式决定出场顺序．求： ①甲、乙两班恰好在前两位出场的概率；②决赛中甲、乙两班之间的班级数记为X ，求X 的分布列和均值． 解 ①设“甲、乙两班恰好在前两位出场”为事件A ，则P (A )＝A 22×A 44A 66＝115.所以甲、乙两班恰好在前两位出场的概率为115.②随机变量X 的可能取值为0,1,2,3,4.P (X ＝0)＝A 22×A 55A 66＝13，P (X ＝1)＝4×A 22×A 44A 66＝415，P (X ＝2)＝A 24×A 22×A 33A 66＝15， P (X ＝3)＝A 34×A 22×A 22A 66＝215，P (X ＝4)＝A 44×A 22A 66＝115. 随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3 4 P1341515215115因此，E (X )＝0×13＋1×415＋2×15＋3×215＋4×115＝43.(2)已知关于x 的二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1.设点(a ，b )是区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －8≤0，x >0，y >0内的一点，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．解 ∵函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1的图象的对称轴为直线x ＝2ba ，要使f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数， 当且仅当a >0且2ba≤1，即2b ≤a .依条件可知事件的全部结果所构成的区域为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫(a ，b )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －8≤0，a >0，b >0，构成所求事件的区域为三角形部分． 所求概率区间应满足2b ≤a .由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －8＝0，b ＝a 2，得交点坐标为(163，83)，故所求事件的概率为P ＝12×8×8312×8×8＝13.题型二 求离散型随机变量的均值与方差例2 (2015·四川)某市A ，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生，B 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队． (1)求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X 表示参赛的男生人数，求X 的分布列和均值．解 (1)由题意，参加集训的男、女生各有6名，参赛学生全从B 中学抽取(等价于A 中学没有学生入选代表队)的概率为C 33C 34C 36C 36＝1100，因此，A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为 1－1100＝99100. (2)根据题意，X 的可能取值为1,2,3，P (X ＝1)＝C 13C 33C 46＝15，P (X ＝2)＝C 23C 23C 46＝35，P (X ＝3)＝C 33C 13C 46＝15，所以X 的分布列为X 1 2 3 P153515因此，X 的均值为E (X )＝1×P (X ＝1)＋2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3) ＝1×15＋2×35＋3×15＝2.思维升华 离散型随机变量的均值和方差的求解，一般分两步：一是定型，即先判断随机变量的分布是特殊类型，还是一般类型，如二点分布、二项分布、超几何分布等属于特殊类型；二是定性，对于特殊类型的均值和方差可以直接代入相应公式求解，而对于一般类型的随机变量，应先求其分布列然后代入相应公式计算，注意离散型随机变量的取值与概率间的对应．受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：品牌甲 乙 首次出现故障时间x (年)0<x ≤1 1<x ≤2 x >2 0<x ≤2 x >2 轿车数量(辆) 2 3 45 5 45 每辆利润(万元)1231.82.9将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X 1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X 2，分别求X 1，X 2的分布列；(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．解 (1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A ，则P (A )＝2＋350＝110.(2)依题意得，X 1的分布列为X 1 1 2 3 P125350910X 2的分布列为X 2 1.8 2.9 P110910(3)由(2)得E (X 1)＝1×125＋2×350＋3×910＝14350＝2.86(万元)， E (X 2)＝1.8×110＋2.9×910＝2.79(万元)．因为E (X 1)>E (X 2)，所以应生产甲品牌轿车． 题型三 概率与统计的综合应用例3 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品．以X (单位： t,100≤X ≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T (单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T 表示为X 的函数；(2)根据直方图估计利润T 不少于57 000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X ∈[100,110)，则取X ＝105，且X ＝105的概率等于需求量落入[100,110)的频率)，求T 的均值． 解 (1)当X ∈[100,130)时，T ＝500X －300(130－X )＝800X －39 000. 当X ∈[130,150]时，T ＝500×130＝65 000.所以T ＝⎩⎪⎨⎪⎧800X －39 000，100≤X <130，65 000，130≤X ≤150.(2)由(1)知利润T 不少于57 000元当且仅当120≤X ≤150.由直方图知需求量X ∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57 000元的概率的估计值为0.7.(3)依题意可得T 的分布列为T 45 000 53 000 61 000 65 000 P0.10.20.30.4所以E (T )＝45 000×0.1＋思维升华 概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点．它与其他知识融合、渗透，情境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性．以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示．甲组 乙组 9 9 0 X 8 9 111(1)如果X ＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；(2)如果X ＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y 的分布列和均值． (注：方差s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均数)解 (1)当X ＝8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是8,8,9,10，所以平均数x ＝8＋8＋9＋104＝354； 方差s 2＝14[(8－354)2＋(8－354)2＋(9－354)2＋(10－354)2]＝1116. (2)当X ＝9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数是9,9,11,11；乙组同学的植树棵数是9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4＝16(种)可能的结果，这两名同学植树总棵数Y 的可能取值为17,18,19,20,21.事件“Y ＝17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2种可能的结果，因此P (Y ＝17)＝216＝18.同理可得P (Y ＝18)＝14，P (Y ＝19)＝14，P (Y ＝20)＝14，P (Y ＝21)＝18.所以随机变量Y 的分布列为Y 17 18 19 20 21 P1814141418E (Y )＝17×18＋18×14＋19×14＋20×14＋21×18＝19.题型四 概率与统计案例的综合应用例4 电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料是否可以认为“体育迷”与性别有关？(2)将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列、均值E (X )和方差D (X )． 附：χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，解 (1)由所给的频率分布直方图知，“体育迷”人数为100×(10×0.020＋10×0.005)＝25， “非体育迷”人数为75，从而2×2列联表如下：将2×2列联表的数据代入公式计算： χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝100×(30×10－45×15)245×55×75×25＝10033≈3.030. 因为2.706<3.030<3.841，所以有90%的把握认为“体育迷”与性别有关．(2)由频率分布直方图知，抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为14.由题意，X ～B ⎝⎛⎭⎫3，14，从而X 的分布列为E (X )＝np ＝3×14＝34，D (X )＝np (1－p )＝3×14×34＝916.思维升华 统计以考查抽样方法、样本的频率分布、样本特征数的计算为主，概率以考查概率计算为主，往往和实际问题相结合，要注意理解实际问题的意义，使之和相应的概率计算对应起来，只有这样才能有效地解决问题．为了解大学生观看湖南卫视综艺节目“快乐大本营”是否与性别有关，一所大学心理学教师从该校学生中随机抽取了50人进行问卷调查，得到了如下的列联表：喜欢看“快乐大本营”不喜欢看“快乐大本营”合计 女生 5 男生 10 合计50若该教师采用分层抽样的方法从50份问卷调查中继续抽查了10份进行重点分析，知道其中喜欢看“快乐大本营”的有6人．(1)请将上面的列联表补充完整；(2)是否有99.5%的把握认为喜欢看“快乐大本营”节目与性别有关？说明你的理由；(3)已知喜欢看“快乐大本营”的10位男生中，A 1，A 2，A 3，A 4，A 5还喜欢看新闻，B 1，B 2，B 3还喜欢看动画片，C 1，C 2还喜欢看韩剧，现再从喜欢看新闻、动画片和韩剧的男生中各选出1名进行其他方面的调查，求B 1和C 1不全被选中的概率． 下面的临界值表供参考：P (χ2≥k 0)0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(参考公式：χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d )解 (1)由分层抽样知识知，喜欢看“快乐大本营”的同学有50×610＝30人，故不喜欢看“快乐大本营”的同学有50－30＝20人，于是可将列联表补充如下：喜欢看“快乐大本营”不喜欢看“快乐大本营”合计 女生 20 5 25 男生 10 15 25 合计302050(2)∵χ2＝50×(20×15－10×5)230×20×25×25≈8.333>7.879，∴有99.5%的把握认为喜欢看“快乐大本营”节目与性别有关．(3)从喜欢看“快乐大本营”的10位男生中选出喜欢看韩剧、喜欢看新闻、喜欢看动画片的各1名，其一切可能的结果组成的基本事件共有N ＝5×3×2＝30个，用M 表示“B 1，C 1不全被选中”这一事件，则其对立事件M 表示“B 1，C 1全被选中”这一事件，由于M 由(A 1，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 1)，(A 4，B 1，C 1)，(A 5，B 1，C 1)5个基本事件组成，所以P (M )＝530＝16.由对立事件的概率公式得 P (M )＝1－P (M )＝1－16＝56.(时间：80分钟)1．某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数.1 7 92 0 1 5 3(1)根据茎叶图计算样本均值；(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？(3)从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率． 解 (1)样本平均值为17＋19＋20＋21＋25＋306＝1326＝22.(2)由(1)知样本中优秀工人占的比例为26＝13，故推断该车间12名工人中有12×13＝4名优秀工人．(3)设事件A ：“从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人”，则P (A )＝C 14C 18C 212＝1633.2．在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10件产品中任取3件，求： (1)取出的3件产品中一等品件数X 的分布列和均值； (2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．解 (1)由于从10件产品中任取3件的结果数为C 310，从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的结果数为C k 3C 3－k7(k ＝0,1,2,3)，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的概率为P (X ＝k )＝C k 3C 3－k7C 310，k ＝0,1,2,3.所以随机变量X 的分布列是X 的均值E (X )＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×1120＝910.(2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A ，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A 1，“恰好取出2件一等品”为事件A 2，“恰好取出3件一等品”为事件A 3，由于事件A 1，A 2，A 3彼此互斥，且A ＝A 1∪A 2∪A 3，而P (A 1)＝C 13C 23C 310＝340.P (A 2)＝P (X ＝2)＝740.P (A 3)＝P (X ＝3)＝1120，所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝340＋740＋1120＝31120.3．一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有1,2,3,4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为b ，c .(1)z ＝(b －3)2＋(c －3)2，求z ＝4的概率；(2)若方程x 2－bx －c ＝0至少有一根x ∈{1,2,3,4}，就称该方程为“漂亮方程”，求方程为“漂亮方程”的概率．解 (1)因为是投掷两次，因此基本事件(b ，c )：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)共16个． 当z ＝4时，(b ，c )的所有取值为(1,3)，(3,1)， 所以P (z ＝4)＝216＝18.(2)①若方程一根为x ＝1，则1－b －c ＝0， 即b ＋c ＝1，不成立．②若方程一根为x ＝2，则4－2b －c ＝0，即2b ＋c ＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，c ＝2.③若方程一根为x ＝3，则9－3b －c ＝0，即3b ＋c ＝9，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝3.④若方程一根为x ＝4，则16－4b －c ＝0，即4b ＋c ＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c ＝4.由①②③④知(b ，c )的所有可能取值为(1,2)，(2,3)，(3,4)，所以方程为“漂亮方程”的概率为P ＝316.4．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本称出它们的重量(单位：克)，重量的分组区间为(490,495]，(495,500]，…，(510,515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．(1)根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量；(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y 为重量超过505克的产品数量，求Y 的分布列； (3)从该流水线上任取2件产品，设X 为重量超过505克的产品数量，求X 的分布列．解 (1)根据频率分布直方图可知，重量超过505克的产品数量为[(0.01＋0.05)×5]×40＝12(件)． (2)依题意，Y 的可能取值为0,1,2. P (Y ＝0)＝C 228C 240＝63130，P (Y ＝1)＝C 128C 112C 240＝2865，P (Y ＝2)＝C 212C 240＝11130，∴Y 的分布列为Y 0 1 2 P63130286511130(3)利用样本估计总体，该流水线上产品重量超过505克的概率为0.3， 令X 为任取的2件产品中重量超过505克的产品数量， 则X ～B (2,0.3)， ∴X 的分布列为X 0 1 2 P0.490.420.095．如图所示，一圆形靶分成A ，B ，C 三部分，其面积之比为1∶1∶2.某同学向该靶投掷3枚飞镖，每次1枚．假设他每次投掷必定会中靶，且投中靶内各点是随机的．(1)求该同学在一次投掷中投中A 区域的概率；(2)设X 表示该同学在3次投掷中投中A 区域的次数，求X 的分布列；(3)若该同学投中A ，B ，C 三个区域分别可得3分，2分，1分，求他投掷3次恰好得4分的概率． 解 (1)设该同学在一次投掷中投中A 区域的概率为P (A )，依题意得P (A )＝14.(2)依题意知，X ～B (3，14)，从而X 的分布列为(3)设B i 表示事件“第i 次击中目标时，击中B 区域”，C i 表示事件“第i 次击中目标时，击中C 区域”，i ＝1,2,3.依题意知P ＝P (B 1C 2C 3)＋P (C 1B 2C 3)＋P (C 1C 2B 3)＝3×14×12×12＝316.6．一次考试共有12道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个是正确的．评分标准规定：“每题只选一个选项，答对得5分，不答或答错得零分”．某考生已确定有8道题的答案是正确的，其余题中：有两道题都可判断两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只好乱猜．请求出该考生： (1)得60分的概率；(2)所得分数X 的分布列和均值．解 (1)设“可判断两个选项是错误的”两道题之一选对为事件A ，“有一道题可以判断一个选项是错误的”选对为事件B ，“有一道题不理解题意”选对为事件C ， ∴P (A )＝12，P (B )＝13，P (C )＝14，∴得60分的概率为P ＝12×12×13×14＝148.(2)X 可能的取值为40,45,50,55,60. P (X ＝40)＝12×12×23×34＝18；P (X ＝45)＝C 12×12×12×23×34＋12×12×13×34＋12×12×23×14＝1748； P (X ＝50)＝12×12×23×34＋C 12×12×12×13×34＋C 12×12×12×23×14＋12×12×13×14＝1748； P (X ＝55)＝C 12×12×12×13×14＋12×12×23×14＋12×12×13×34＝748； P (X ＝60)＝12×12×13×14＝148.X 的分布列为E (X )＝40×18＋45×1748＋50×1748＋55×748＋60×148＝57512.。